Страница:
Успехи Ньютона как физика были бы невозможны, если бы он не разработал необходимый математический аппарат, о чем мы уже говорили. Это фактически была совершенно новая область математики – математический анализ. С его помощью Ньютон показал, что эллиптическая форма орбит обусловлена движением под действием силы, направленной к одному из фокусов эллипса, величина которой обратно пропорциональна квадрату расстояния от него. Однако только в 1685 году с помощью созданного им аппарата математического анализа Ньютон сумел доказать, что гравитационное притяжение Земли можно рассматривать так, как если бы вся ее масса была сосредоточена в центре. Этот факт был принципиальным, он позволил Ньютону обосновать использованный ранее способ сравнения ускорений Луны и яблока.
С помощью своих законов механики Ньютон убедительно доказал, что нет деления на тела, которые притягивают, и тела, которые притягиваются. Все тяготеющие тела взаимопритягиваются, то есть законы гравитации имеют универсальный смысл.
Повторим коротко его вывод. У поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением g независимо от их массы (веса), а сила, действующая на тело на поверхности Земли, пропорциональна его массе (весу), поэтому F = mg. Далее, согласно третьему закону механики, если на тело массой m со стороны другого тела массой M действует некоторая сила, то тело массой m действует на тело массой M точно с такой же, но противоположно направленной силой. Скажем, не только Земля притягивает Луну, но и Луна притягивает Землю. Следовательно, сила взаимного притяжения двух тел должна быть пропорциональна каждой из масс. То, что эта сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами было уже установлено. Поэтому сила взаимного притяжения двух масс m и M, удаленных на расстояние r друг от друга, определяется выражением:
которое и является формулировкой закона всемирного тяготения; здесь G – это коэффициент пропорциональности, называемый постоянной всемирного тяготения. Величина G показывает, насколько сильно гравитационное взаимодействие. Это одна из фундаментальных мировых констант, чисел, значения которых определяют поведение и Вселенной в целом, и отдельных ее частей.
Понятие «масса», входящее во второй закон Ньютона, имеет смысл инертной массы – меры сопротивления тела любому изменению состояния его движения. Из второго закона Ньютона следует, что если к двум телам с разными массами приложить одинаковую силу, то менее массивное тело приобретает большее ускорение, чем тело с большей массой. Но понятие «массы» в законе всемирного тяготения имеет другой смысл – это «тяготеющая масса», или мера того, что условно можно назвать «количеством тяготения», присущим данному телу.
Нет логических оснований считать эти два вида массы тождественными. В конце концов, тяготеющую массу можно рассматривать как гравитационный эквивалент электрического заряда; два тела с одинаковой инертной массой могут иметь совершенно различные электрические заряды и, следовательно, приобретать разные ускорения под действием одного и того же электрического поля. В противоположность этому, в гравитационном поле Земли тела как с разными, так и с равными инертными массами всегда падают с одним и тем же ускорением. А это может быть только в том случае, если отношение тяготеющей массы к инертной для всех тел одинаково.
Ньютон провел серию экспериментов, чтобы выяснить, не оказывается ли это отношение различным для разных тел. Такого различия он не обнаружил, не обнаружено оно и до сих пор. Поскольку эти два вида массы всегда находятся в одной и той же пропорции друг к другу, единицу измерения для них подобрали так, чтобы их отношение оказалось равным единице. Это выражается в том, что формула для силы притяжения на поверхности Земли имеет вид второго закона: F = mg.
Факт равенства инертной и тяготеющей масс известен как принцип эквивалентности. Ниже мы увидим, что этот принцип служит одним из ключевых положений общей теории относительности Эйнштейна.
Значение закона всемирного тяготения нельзя переоценить. Ньютон показал, что тело совершает движение по какой-либо кривой конического сечения (окружности, эллипсу, параболе или гиперболе) в том случае, если на него действует сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния и направленная к фокусу этой кривой. И наоборот, движение тела под действием такой силы подчиняется законам Кеплера. Ньютон показал также, что действием такой универсальной силы можно объяснить движение Луны и планет, ускорение падающих тел, поведение спутников Юпитера и океанские приливы.
Были объяснены и предсказаны и другие явления. Ньютон предсказал, что в результате вращения вокруг своей оси Земля должна быть слегка выпуклой вблизи экватора и сплюснутой у полюсов. Он объяснил, как это отклонение формы Земли от идеальной сферы приводит к прецессии – явлению, открытому Гиппархом почти 2000 лет назад. В результате прецессии – медленного поворота земной оси – полюс небесной сферы описывает на небе окружность. Если бы Земля была идеальным шаром, то этого бы не наблюдалось, но вследствие экваториальной выпуклости Земли и наклона ее оси гравитационное воздействие на нее со стороны Солнца и Луны заставляет земную ось поворачиваться, описывая коническую поверхность. Точно так же вращается ось волчка, если при его запуске отклонить ось от вертикального направления, здесь внешней силой, вызывающей прецессию, является сила притяжения Земли.
Галлей, анализируя данные о наблюдениях комет и основываясь на законах Ньютона, сделал вывод, что часть из этих наблюдений относится к одной и той же комете и предсказал ее следующее появление. Когда предсказание оправдалось, комету назвали его именем. Комета Галлея, единственная из короткопериодических комет (орбитальный период около 76 лет), доступная для наблюдения невооруженным глазом. Последний раз она появилась вблизи Солнца и Земли, согласно все тем же расчетам по формулам Ньютона, в марте 1986 года. Тогда комету Галлея наблюдали не только многочисленные любители астрономии и профессиональные ученые, но и пять международных космических аппаратов.
С открытием закона всемирного тяготения стало возможным изучение влияния планет друг на друга, вызванного их взаимным притяжением. Так, исследуя возмущения в движении Урана, удалось точно рассчитать орбиту неизвестной планеты за Ураном, которая эти возмущения вызывала. Позднее ее обнаружили точно в расчетном месте и назвали Нептуном.
В 1803 году английский астроном и оптик Вильям Гершель (1738–1822) опубликовал данные своих наблюдений, из которых следовало, что многие звезды, видимые как точки, на самом деле состоят из пары звезд, медленно обращающихся одна вокруг другой под воздействием взаимного притяжения; такие системы получили название двойных звезд. Последующие наблюдения показали, что движение двойных звезд подчиняется законам Кеплера и закону всемирного тяготения Ньютона. В 1842 году известный немецкий астроном Фридрих Бессель (1784–1846) на основе закона Ньютона предсказал существование невидимого спутника у звезды Сириус. Спутник был открыт через 10 лет!
Уже к концу первой половины XIX века было установлено, что закон всемирного тяготения Ньютона в наблюдаемой Вселенной выполняется повсеместно.
Корпускулярная теория гравитации
Глава 4
Протяженность и длительность. Методы измерений
Чтобы прийти к замечательным выводам, ставшими впоследствии законами механики, Галилей, Ньютон и многие другие ученые, экспериментируя с материальными телами на Земле и изучая движение небесных тел, должны были производить измерения. Определяли размеры тел и расстояния между ними (протяженности), положения тел и пройденные ими расстояния при движении. Особое место в механике занимает изучение последовательности событий, продолжительности событий (длительности), частоты возникновения событий. Все это осуществляется путем измерений момента каждого события по часам.
Говоря о пространственных измерениях, нельзя не вспомнить Декарта и Ферма, внесших неоценимый вклад в систематизацию этого процесса. Декарт был убежденным материалистом, а одним из главных свойств материальных вещей считал протяженность, которая может проявляться по-разному. Декарт отрицал существование пустого пространства на том основании, что везде, где есть протяженность, которую можно измерить, есть материя. Один из его тезисов: «В мире нет ничего, кроме движущейся материи различных видов. Материя состоит из элементарных частиц, локальное взаимодействие которых и производит все природные явления». Эти философские убеждения повлияли на выбор проблем, которые ему было интересно исследовать. Он стал одним из создателей аналитической геометрии, которую разрабатывал одновременно с французским математиком Пьером Ферма (1601–1665). Геометрические задачи стало возможно исследовать как алгебраические с помощью метода координат.
По мнению историков, Ферма, как математик, был более одаренным, чем Декарт. Он восхищался греками и был продолжателем их традиций. Ферма задавал положение точки на плоскости с помощью значений длин двух отрезков – абсциссы и ординаты, а кривая определялась уравнением, связывающим длины этих отрезков. Эта идея активно использовалась древними греками. Архимед, например, описывает конические сечения через их «симптомы», – пропорции, связывающие абсциссы и ординаты точек. Однако древние греки применяли лишь словесное описание пропорций, а Ферма представляет свои формулировки в виде уравнений, хотя тоже не символизированных. Это, конечно, значительно облегчает анализ проблем, но подход остается чисто геометрическим, пространственным.
Ферма изложил результаты своих исследования в трактате «Введение в изучение плоских и телесных мест». Книга была опубликована только в 1679 году, уже после его смерти, хотя в основном французские математики узнали о ее идеях и выводах значительно раньше, в 1630-х годах. Дело в том, что Ферма был юристом, и массу времени у него отнимала служба. Параллельно он занимался математикой и вел активную переписку с учеными того времени, его результаты были известны всему сообществу. Известно, что был он очень доброжелательным в своих письмах, иногда одно и то же объяснял много раз с разных позиций, не реагируя на возможно недоброжелательный тон оппонента.
Рене Декарт в детстве отличался хрупким здоровьем, но был чрезвычайно любознательным. Начальное образование он получил в иезуитском колледже. Учителя отбили, казалось, его природное стремление к познанию. Некоторое время он вел разгульный образ жизни, играл в карты. Однако религиозное образование сыграло и свою положительную роль в становлении ученого. Оно только укрепило в молодом Декарте недоверие к тогдашней философии и настроило на поиск своих ответов на вопросы, которые он сам для себя определял. Позже Декарт сформулировал свой метод познания как дедуктивные (математические) рассуждения над результатами воспроизводимых опытов. Достаточно времени было отдано Декартом военной службе, на которую он поступил, чтобы больше и не понаслышке узнать мир. Сначала он был в революционной Голландии, затем в Германии, где участвовал в недолгой битве за Прагу (Тридцатилетняя война). Затем – еще участие в осаде Ла-Рошели. Все это время он продолжал заниматься философией и математикой, как ее частью, и другими науками – от медицины до метеорологии. Он вел обширную переписку с лучшими учеными Европы. Свободомыслие Декарта стало известно иезуитам, и те обвинили его в ереси. Поэтому Декарт в 1628 году переезжает в Голландию, где проводит 20 лет. В 1634 году он закончил свою первую, очень важную книгу под названием «Мир». Но момент для издания был неудачным – годом ранее инквизиция судила Галилея. Теория Коперника, принятая и в книге Декарта, была официально запрещена. Поэтому Декарт решил не печатать этот труд.
Известная всем «Геометрия» Декарта была опубликована в 1637 году. Вряд ли он испытывал влияние Ферма, его метод сложился задолго до выхода «Геометрии», еще в 1620-х годах. Тем не менее собственно геометрические идеи Декарта и Ферма практически тождественны. Заслуга Декарта в том, что он создал новую алгебру, основанную на понятии отношения геометрических величин. Ферма был подвержен влиянию геометрической алгебры греков. У него и математиков, которым он следовал, можно складывать и вычитать только однородные величины, а в коэффициенты обязательно включается указание на их геометрическую природу. При этом простое алгебраическое уравнение раздувается неимоверно. Декарт, прежде всего, был философом, основоположником рационализма, утверждающего неограниченную способность человека познавать мир. Отношения, с которыми имеет дело алгебра Декарта, не геометрические пространственные объекты, а умозрительные понятия – «числа», мало того, выраженные «буквами». Его символика мало чем отличается от современной. Он следует некоторому набору интуитивно ясных истин и использует определенные правила или методы.
Именно Декарт впервые ввел координатную систему, которая является прообразом принятой в наши дни, но идеологически несколько отличается. Он далеко не всегда использовал прямоугольную систему координат. Кривая на плоскости рассматривалась относительно некоторой прямой с делениями. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, перпендикулярных или наклонных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направление отсчета от начала координат. Современное представление координатной системы, получившее имя Декарта, сформировалось только в XVIII веке. В ней для каждой из координат обычно вводят взаимно перпендикулярные оси, расстояния на которых градуированы одинаково. Тогда, например, легко вычисляется длина радиус-вектора в трехмерном пространстве (рис. 4.1):
Рис. 4.1. Система координат Декарта
r2 = x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + c2.
В итоге, появилось ясное понимание, как определить положение тела (точки) как на плоскости, так и в 3-мерном пространстве.
Абсолютные пространство и время
Инерциальная система отсчета. Принцип относительности Галилея
С помощью своих законов механики Ньютон убедительно доказал, что нет деления на тела, которые притягивают, и тела, которые притягиваются. Все тяготеющие тела взаимопритягиваются, то есть законы гравитации имеют универсальный смысл.
Повторим коротко его вывод. У поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением g независимо от их массы (веса), а сила, действующая на тело на поверхности Земли, пропорциональна его массе (весу), поэтому F = mg. Далее, согласно третьему закону механики, если на тело массой m со стороны другого тела массой M действует некоторая сила, то тело массой m действует на тело массой M точно с такой же, но противоположно направленной силой. Скажем, не только Земля притягивает Луну, но и Луна притягивает Землю. Следовательно, сила взаимного притяжения двух тел должна быть пропорциональна каждой из масс. То, что эта сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами было уже установлено. Поэтому сила взаимного притяжения двух масс m и M, удаленных на расстояние r друг от друга, определяется выражением:
Понятие «масса», входящее во второй закон Ньютона, имеет смысл инертной массы – меры сопротивления тела любому изменению состояния его движения. Из второго закона Ньютона следует, что если к двум телам с разными массами приложить одинаковую силу, то менее массивное тело приобретает большее ускорение, чем тело с большей массой. Но понятие «массы» в законе всемирного тяготения имеет другой смысл – это «тяготеющая масса», или мера того, что условно можно назвать «количеством тяготения», присущим данному телу.
Нет логических оснований считать эти два вида массы тождественными. В конце концов, тяготеющую массу можно рассматривать как гравитационный эквивалент электрического заряда; два тела с одинаковой инертной массой могут иметь совершенно различные электрические заряды и, следовательно, приобретать разные ускорения под действием одного и того же электрического поля. В противоположность этому, в гравитационном поле Земли тела как с разными, так и с равными инертными массами всегда падают с одним и тем же ускорением. А это может быть только в том случае, если отношение тяготеющей массы к инертной для всех тел одинаково.
Ньютон провел серию экспериментов, чтобы выяснить, не оказывается ли это отношение различным для разных тел. Такого различия он не обнаружил, не обнаружено оно и до сих пор. Поскольку эти два вида массы всегда находятся в одной и той же пропорции друг к другу, единицу измерения для них подобрали так, чтобы их отношение оказалось равным единице. Это выражается в том, что формула для силы притяжения на поверхности Земли имеет вид второго закона: F = mg.
Факт равенства инертной и тяготеющей масс известен как принцип эквивалентности. Ниже мы увидим, что этот принцип служит одним из ключевых положений общей теории относительности Эйнштейна.
Значение закона всемирного тяготения нельзя переоценить. Ньютон показал, что тело совершает движение по какой-либо кривой конического сечения (окружности, эллипсу, параболе или гиперболе) в том случае, если на него действует сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния и направленная к фокусу этой кривой. И наоборот, движение тела под действием такой силы подчиняется законам Кеплера. Ньютон показал также, что действием такой универсальной силы можно объяснить движение Луны и планет, ускорение падающих тел, поведение спутников Юпитера и океанские приливы.
Были объяснены и предсказаны и другие явления. Ньютон предсказал, что в результате вращения вокруг своей оси Земля должна быть слегка выпуклой вблизи экватора и сплюснутой у полюсов. Он объяснил, как это отклонение формы Земли от идеальной сферы приводит к прецессии – явлению, открытому Гиппархом почти 2000 лет назад. В результате прецессии – медленного поворота земной оси – полюс небесной сферы описывает на небе окружность. Если бы Земля была идеальным шаром, то этого бы не наблюдалось, но вследствие экваториальной выпуклости Земли и наклона ее оси гравитационное воздействие на нее со стороны Солнца и Луны заставляет земную ось поворачиваться, описывая коническую поверхность. Точно так же вращается ось волчка, если при его запуске отклонить ось от вертикального направления, здесь внешней силой, вызывающей прецессию, является сила притяжения Земли.
Галлей, анализируя данные о наблюдениях комет и основываясь на законах Ньютона, сделал вывод, что часть из этих наблюдений относится к одной и той же комете и предсказал ее следующее появление. Когда предсказание оправдалось, комету назвали его именем. Комета Галлея, единственная из короткопериодических комет (орбитальный период около 76 лет), доступная для наблюдения невооруженным глазом. Последний раз она появилась вблизи Солнца и Земли, согласно все тем же расчетам по формулам Ньютона, в марте 1986 года. Тогда комету Галлея наблюдали не только многочисленные любители астрономии и профессиональные ученые, но и пять международных космических аппаратов.
С открытием закона всемирного тяготения стало возможным изучение влияния планет друг на друга, вызванного их взаимным притяжением. Так, исследуя возмущения в движении Урана, удалось точно рассчитать орбиту неизвестной планеты за Ураном, которая эти возмущения вызывала. Позднее ее обнаружили точно в расчетном месте и назвали Нептуном.
В 1803 году английский астроном и оптик Вильям Гершель (1738–1822) опубликовал данные своих наблюдений, из которых следовало, что многие звезды, видимые как точки, на самом деле состоят из пары звезд, медленно обращающихся одна вокруг другой под воздействием взаимного притяжения; такие системы получили название двойных звезд. Последующие наблюдения показали, что движение двойных звезд подчиняется законам Кеплера и закону всемирного тяготения Ньютона. В 1842 году известный немецкий астроном Фридрих Бессель (1784–1846) на основе закона Ньютона предсказал существование невидимого спутника у звезды Сириус. Спутник был открыт через 10 лет!
Уже к концу первой половины XIX века было установлено, что закон всемирного тяготения Ньютона в наблюдаемой Вселенной выполняется повсеместно.
Корпускулярная теория гравитации
Теория гравитации Ньютона завоевывала все больше сторонников. В законе обратных квадратов мало кто сомневался. Шли дискуссии о природе гравитации. Поскольку механизм передачи гравитационного взаимодействия с помощью частиц (корпускул) казался самым естественным, то именно он был более популярным. Как это ни странно, корпускулярный подход имеет сторонников и в наше время, и теория продолжает развиваться. Поэтому нельзя не рассказать о ней, хотя бы кратко.
Сейчас чаще всего корпускулярную теорию гравитации связывают с именем Жоржа-Луи Ле Сажа (1724–1803), швейцарского математика и физика. Тем не менее, первое известное построение такой теории принадлежит другому швейцарскому математику из Базеля Николасу Фатио де Дуилье (1664–1753). В 1690 году содержание его рукописи зачитали перед Лондонским Королевским обществом, но она не произвела впечатления. Однако де Дуилье не оставил своих исследований, хотя теория не воспринималась, и ни одна из его рукописей не была издана при жизни. Их частичное издание проходило на протяжении последующих столетий, почти до наших дней.
Некоторые фрагменты рукописей Фатио, включая одну в стиле поэмы, были приобретены Ле Сажем, но и он не смог найти издателя. А в 1748 году Ле Саж на их основе предложил свой вариант, который давал простое механическое объяснение формуле всемирного тяготения. Некоторое время эти результаты были не очень известны, но стали темой повышенного интереса в конце XIX века в контексте только что появившейся кинетической теории газов.
Обсудим содержание теории Ле Сажа. Предполагается, что Вселенная заполнена быстрыми маленькими «гравитационными частицами», интенсивность потока которых изотропна. Тогда удаленный от всех других тел объект A (рис. 3.2) испытывает равномерное сдавливание внутрь, но внешней направленной силы не возникает. Появление рядом другого объекта B приведет к их взаимной экранировке, и из-за дисбаланса сил внешних ударов тела будут прижимаются друг к другу. Этим имитируется сила притяжения.
Рис. 3.2. Схема корпускулярной теории гравитации
Однако развитие теории требовало постоянной корректировки. Например, если считать, что столкновение частиц полностью упруго (рис. 3.2), то отраженные частицы между объектами A и B компенсируют «экранирующий» эффект. Пришлось «подгонять» коэффициент отражения. Чтобы имитировать пропорциональность массам в законе притяжения, приходится вводить ряд ограничений и на сами частицы, и на строение вещества. Эти ограничения и в то время выглядели умозрительными, а с точки зрения современных представлений недопустимы, и т. д.
Поэтому теорию Ле Сажа скорее отклоняли, чем принимали. Мы приведем несколько пунктов современной критики.
1) Гравитационные частицы Ле Сажа не вписываются в современную хорошо подтвержденную Стандартную модель элементарных частиц.
2) Чтобы объяснить движения небесных тел, частицы Ле Сажа должны иметь скорость, существенно превышающую световую, что также противоречит современным данным (см. ниже).
3) Требуемая большая интенсивность фона гравитационных частиц противоречит модели горячей Вселенной (см. ниже).
4) Существуют также возражения, связанные с термодинамикой среды гравитационных частиц.
Все это вызывает значительный пессимизм в отношении теории Ле Сажа. Он усиливается успехами общей теории относительности. Тем не менее, периодически появляются новые работы, развивающие корпускулярную теорию, видимо, из-за наглядности и простоты. Возможной причиной внимания является отсутствие теории тяготения на микроуровне. Но мы к корпускулярной теории больше не вернемся.
Сейчас чаще всего корпускулярную теорию гравитации связывают с именем Жоржа-Луи Ле Сажа (1724–1803), швейцарского математика и физика. Тем не менее, первое известное построение такой теории принадлежит другому швейцарскому математику из Базеля Николасу Фатио де Дуилье (1664–1753). В 1690 году содержание его рукописи зачитали перед Лондонским Королевским обществом, но она не произвела впечатления. Однако де Дуилье не оставил своих исследований, хотя теория не воспринималась, и ни одна из его рукописей не была издана при жизни. Их частичное издание проходило на протяжении последующих столетий, почти до наших дней.
Некоторые фрагменты рукописей Фатио, включая одну в стиле поэмы, были приобретены Ле Сажем, но и он не смог найти издателя. А в 1748 году Ле Саж на их основе предложил свой вариант, который давал простое механическое объяснение формуле всемирного тяготения. Некоторое время эти результаты были не очень известны, но стали темой повышенного интереса в конце XIX века в контексте только что появившейся кинетической теории газов.
Обсудим содержание теории Ле Сажа. Предполагается, что Вселенная заполнена быстрыми маленькими «гравитационными частицами», интенсивность потока которых изотропна. Тогда удаленный от всех других тел объект A (рис. 3.2) испытывает равномерное сдавливание внутрь, но внешней направленной силы не возникает. Появление рядом другого объекта B приведет к их взаимной экранировке, и из-за дисбаланса сил внешних ударов тела будут прижимаются друг к другу. Этим имитируется сила притяжения.
Однако развитие теории требовало постоянной корректировки. Например, если считать, что столкновение частиц полностью упруго (рис. 3.2), то отраженные частицы между объектами A и B компенсируют «экранирующий» эффект. Пришлось «подгонять» коэффициент отражения. Чтобы имитировать пропорциональность массам в законе притяжения, приходится вводить ряд ограничений и на сами частицы, и на строение вещества. Эти ограничения и в то время выглядели умозрительными, а с точки зрения современных представлений недопустимы, и т. д.
Поэтому теорию Ле Сажа скорее отклоняли, чем принимали. Мы приведем несколько пунктов современной критики.
1) Гравитационные частицы Ле Сажа не вписываются в современную хорошо подтвержденную Стандартную модель элементарных частиц.
2) Чтобы объяснить движения небесных тел, частицы Ле Сажа должны иметь скорость, существенно превышающую световую, что также противоречит современным данным (см. ниже).
3) Требуемая большая интенсивность фона гравитационных частиц противоречит модели горячей Вселенной (см. ниже).
4) Существуют также возражения, связанные с термодинамикой среды гравитационных частиц.
Все это вызывает значительный пессимизм в отношении теории Ле Сажа. Он усиливается успехами общей теории относительности. Тем не менее, периодически появляются новые работы, развивающие корпускулярную теорию, видимо, из-за наглядности и простоты. Возможной причиной внимания является отсутствие теории тяготения на микроуровне. Но мы к корпускулярной теории больше не вернемся.
Глава 4
От механики Ньютона до электродинамики Максвелла
Мне не стоило большого труда отыскание того, с чего следует начинать, так как я уже знал, что начинать надо с самого простого и доступного пониманию…
Рене Декарт «Рассуждении о методе»
Сейчас нам придется отвлечься от понятий, связанных непосредственно с теорией тяготения. Дело в следующем: чтобы подойти к обсуждению общей теории относительности (теории тяготения) необходимо понимать, что представляет собой ее предшественница – специальная теория относительности, не имеющая прямого отношения к описанию тяготения. Это связано с тем, что одна теория в определенном смысле «вырастает» из другой. Действительно, специальную теорию относительности можно мыслить как теорию плоского пространства-времени, в то время как общая теория относительности – это теория искривленного пространства-времени. В этой главе мы обсудим предпосылки создания специальной теории относительности, а в следующей – принципы ее построения, интерпретацию и интересные эффекты.
Протяженность и длительность. Методы измерений
Математика – мощный и универсальный метод познания природы, образец для других наук.
Рене Декарт «Начала философии»
Чтобы прийти к замечательным выводам, ставшими впоследствии законами механики, Галилей, Ньютон и многие другие ученые, экспериментируя с материальными телами на Земле и изучая движение небесных тел, должны были производить измерения. Определяли размеры тел и расстояния между ними (протяженности), положения тел и пройденные ими расстояния при движении. Особое место в механике занимает изучение последовательности событий, продолжительности событий (длительности), частоты возникновения событий. Все это осуществляется путем измерений момента каждого события по часам.
Говоря о пространственных измерениях, нельзя не вспомнить Декарта и Ферма, внесших неоценимый вклад в систематизацию этого процесса. Декарт был убежденным материалистом, а одним из главных свойств материальных вещей считал протяженность, которая может проявляться по-разному. Декарт отрицал существование пустого пространства на том основании, что везде, где есть протяженность, которую можно измерить, есть материя. Один из его тезисов: «В мире нет ничего, кроме движущейся материи различных видов. Материя состоит из элементарных частиц, локальное взаимодействие которых и производит все природные явления». Эти философские убеждения повлияли на выбор проблем, которые ему было интересно исследовать. Он стал одним из создателей аналитической геометрии, которую разрабатывал одновременно с французским математиком Пьером Ферма (1601–1665). Геометрические задачи стало возможно исследовать как алгебраические с помощью метода координат.
По мнению историков, Ферма, как математик, был более одаренным, чем Декарт. Он восхищался греками и был продолжателем их традиций. Ферма задавал положение точки на плоскости с помощью значений длин двух отрезков – абсциссы и ординаты, а кривая определялась уравнением, связывающим длины этих отрезков. Эта идея активно использовалась древними греками. Архимед, например, описывает конические сечения через их «симптомы», – пропорции, связывающие абсциссы и ординаты точек. Однако древние греки применяли лишь словесное описание пропорций, а Ферма представляет свои формулировки в виде уравнений, хотя тоже не символизированных. Это, конечно, значительно облегчает анализ проблем, но подход остается чисто геометрическим, пространственным.
Ферма изложил результаты своих исследования в трактате «Введение в изучение плоских и телесных мест». Книга была опубликована только в 1679 году, уже после его смерти, хотя в основном французские математики узнали о ее идеях и выводах значительно раньше, в 1630-х годах. Дело в том, что Ферма был юристом, и массу времени у него отнимала служба. Параллельно он занимался математикой и вел активную переписку с учеными того времени, его результаты были известны всему сообществу. Известно, что был он очень доброжелательным в своих письмах, иногда одно и то же объяснял много раз с разных позиций, не реагируя на возможно недоброжелательный тон оппонента.
Рене Декарт в детстве отличался хрупким здоровьем, но был чрезвычайно любознательным. Начальное образование он получил в иезуитском колледже. Учителя отбили, казалось, его природное стремление к познанию. Некоторое время он вел разгульный образ жизни, играл в карты. Однако религиозное образование сыграло и свою положительную роль в становлении ученого. Оно только укрепило в молодом Декарте недоверие к тогдашней философии и настроило на поиск своих ответов на вопросы, которые он сам для себя определял. Позже Декарт сформулировал свой метод познания как дедуктивные (математические) рассуждения над результатами воспроизводимых опытов. Достаточно времени было отдано Декартом военной службе, на которую он поступил, чтобы больше и не понаслышке узнать мир. Сначала он был в революционной Голландии, затем в Германии, где участвовал в недолгой битве за Прагу (Тридцатилетняя война). Затем – еще участие в осаде Ла-Рошели. Все это время он продолжал заниматься философией и математикой, как ее частью, и другими науками – от медицины до метеорологии. Он вел обширную переписку с лучшими учеными Европы. Свободомыслие Декарта стало известно иезуитам, и те обвинили его в ереси. Поэтому Декарт в 1628 году переезжает в Голландию, где проводит 20 лет. В 1634 году он закончил свою первую, очень важную книгу под названием «Мир». Но момент для издания был неудачным – годом ранее инквизиция судила Галилея. Теория Коперника, принятая и в книге Декарта, была официально запрещена. Поэтому Декарт решил не печатать этот труд.
Известная всем «Геометрия» Декарта была опубликована в 1637 году. Вряд ли он испытывал влияние Ферма, его метод сложился задолго до выхода «Геометрии», еще в 1620-х годах. Тем не менее собственно геометрические идеи Декарта и Ферма практически тождественны. Заслуга Декарта в том, что он создал новую алгебру, основанную на понятии отношения геометрических величин. Ферма был подвержен влиянию геометрической алгебры греков. У него и математиков, которым он следовал, можно складывать и вычитать только однородные величины, а в коэффициенты обязательно включается указание на их геометрическую природу. При этом простое алгебраическое уравнение раздувается неимоверно. Декарт, прежде всего, был философом, основоположником рационализма, утверждающего неограниченную способность человека познавать мир. Отношения, с которыми имеет дело алгебра Декарта, не геометрические пространственные объекты, а умозрительные понятия – «числа», мало того, выраженные «буквами». Его символика мало чем отличается от современной. Он следует некоторому набору интуитивно ясных истин и использует определенные правила или методы.
Именно Декарт впервые ввел координатную систему, которая является прообразом принятой в наши дни, но идеологически несколько отличается. Он далеко не всегда использовал прямоугольную систему координат. Кривая на плоскости рассматривалась относительно некоторой прямой с делениями. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, перпендикулярных или наклонных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направление отсчета от начала координат. Современное представление координатной системы, получившее имя Декарта, сформировалось только в XVIII веке. В ней для каждой из координат обычно вводят взаимно перпендикулярные оси, расстояния на которых градуированы одинаково. Тогда, например, легко вычисляется длина радиус-вектора в трехмерном пространстве (рис. 4.1):
r2 = x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + c2.
В итоге, появилось ясное понимание, как определить положение тела (точки) как на плоскости, так и в 3-мерном пространстве.
Абсолютные пространство и время
Итак, мы отметили два ключевых понятия: протяженность и длительность. Возникает вопрос: по отношению к чему производить их измерение? Один из ответов, кажущийся наиболее естественным, состоит в признании существования абсолютного пространства и времени. Тогда и протяженность, и длительность, и абсолютные пространство и время приобретают самостоятельный физический смысл, становятся частью всего физического учения.
Как определял «абсолютное» пространство Ньютон? Он говорил: «Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным».
Поскольку гелиоцентрическая система стала общепризнанной, то в качестве абсолютного он определял пространство, привязанное к центру тяжести Солнечной системы. Абсолютное пространство представлялось фоном для всей Вселенной, являлось состоянием абсолютного покоя. По отношению к нему в принципе можно определить абсолютное движение тела – от одной абсолютно покоящейся точки к другой.
Аналогично абсолютному пространству, Ньютон постулировал существование абсолютного времени. Он писал в своих «Началах»: «Абсолютное частное математическое время само по себе и по своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью». Другими словами, время идет с неизменной скоростью от одного абсолютного момента к следующему, независимо от того что происходит во Вселенной. Или – для любого наблюдателя, находящегося в любом состоянии движения и в любой точке пространства, время представляется ровным, непрерывным, одинаковым (одним и тем же) потоком, определяющим смену событий.
Как определял «абсолютное» пространство Ньютон? Он говорил: «Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным».
Поскольку гелиоцентрическая система стала общепризнанной, то в качестве абсолютного он определял пространство, привязанное к центру тяжести Солнечной системы. Абсолютное пространство представлялось фоном для всей Вселенной, являлось состоянием абсолютного покоя. По отношению к нему в принципе можно определить абсолютное движение тела – от одной абсолютно покоящейся точки к другой.
Аналогично абсолютному пространству, Ньютон постулировал существование абсолютного времени. Он писал в своих «Началах»: «Абсолютное частное математическое время само по себе и по своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью». Другими словами, время идет с неизменной скоростью от одного абсолютного момента к следующему, независимо от того что происходит во Вселенной. Или – для любого наблюдателя, находящегося в любом состоянии движения и в любой точке пространства, время представляется ровным, непрерывным, одинаковым (одним и тем же) потоком, определяющим смену событий.
Инерциальная система отсчета. Принцип относительности Галилея
Если в рамках точности измерений времени той эпохи можно было согласиться, что часы с одними и теми же (лучшими) техническими характеристиками идут одинаково у всех возможных наблюдателей, а время, измеренное ими, можно считать абсолютным, то с измерениями абсолютных положений ситуация требовала осмысления. Если принципиально возможно определить координаты (положение) какой-либо точки относительно системы, связанной с центром тяжести Солнечной системы, то осуществить это практически на обращающейся вокруг Солнца Земле сложно.
Чтобы разобраться с ситуацией, необходимо ввести несколько определений. Под системой отсчета обычно понимают строго заданный способ измерения положения и времени. Такие измерения можно осуществлять с помощью системы декартовых координат (трех взаимно перпендикулярных осей) – для измерения положения и расстояний и с помощью часов – для отсчета времени. Инерциальной системой называется система отсчета, в которой тела при отсутствии внешних воздействий движутся равномерно и прямолинейно, то есть система, в которой работает первый закон Ньютона. Тогда, как минимум, абсолютное пространство вместе с абсолютным временем может мыслиться как инерциальная система отсчета.
Возникает вопрос: есть ли еще инерциальные системы и как они относятся к абсолютному пространству? Обратимся к так называемым преобразованиям Галилея (термин был введен в 1909 году). Они определяют связь между координатами для двух систем отсчета, движущихся относительно друг друга. Если скорость V направлена вдоль оси x, то координаты x в двух системах для постоянной скорости связаны соотношением: x′ = x + Vt. Время t, определенное в механике Ньютона как абсолютное, является одинаковым для всех систем отсчета. Для преобразований Галилея скорость движения частицы v′ в одной системе определяется как простая сумма скорости этой частицы в другой системе и скорости относительного движения систем V, если скорость частицы и относительная скорость систем имеют одно направление: v′ = v + V. Например, если в поезде выстрелят в направлении его движения, то для наблюдателя на перроне скорость пули будет определяться как сумма скорости поезда и скорости пули относительно оружия. Если скорости не параллельны, то используется векторная сумма. Таким образом, преобразования Галилея ясно показывают, что любая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно какой-либо инерциальной системы (скажем, абсолютного пространства), также является инерциальной. Это и есть ответ на вопрос.
Возвратимся к измерениям на Земле. Обычно они производятся в ограниченном пространстве (малом, по сравнению с размерами Земли) и ограничены во времени – малые длительности по сравнению с периодом обращения вокруг Солнца (годом). Такая «лаборатория» с большой степенью точности движется равномерно и прямолинейно относительно абсолютного (по Ньютону) пространства. Если с ней связаны пространственные и временные координатные системы, то она будет инерциальной системой отсчета.
Теперь уместно привести утверждение (постулат), который часто именуется принципом относительности Галилея. По Галилею он звучит так: если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых движется равномерно и прямолинейно относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент, результат будет одинаковым. То есть в двух инерциальных системах законы механики одинаковы. Рассмотрим законы Ньютона в рамках этого принципа. Что касается первого закона, то он справедлив для любой инерциальной системы отсчета просто в силу определения этих систем. Далее, если относительная скорость систем постоянна, то из преобразований Галилея следует также, что ускорение какого-либо тела относительно обеих систем отсчета будет одинаковым (одним и тем же). Тогда, в силу выполнения второго закона Ньютона в любой инерциальной системе отсчета (здесь мы используем принцип), действующие на частицу силы в обеих системах одинаковы. А раз силы одинаковы, то работает и третий закон. Хотя он должен действовать во всех инерциальных системах отсчета и непосредственно, в силу самого принципа.
Чтобы разобраться с ситуацией, необходимо ввести несколько определений. Под системой отсчета обычно понимают строго заданный способ измерения положения и времени. Такие измерения можно осуществлять с помощью системы декартовых координат (трех взаимно перпендикулярных осей) – для измерения положения и расстояний и с помощью часов – для отсчета времени. Инерциальной системой называется система отсчета, в которой тела при отсутствии внешних воздействий движутся равномерно и прямолинейно, то есть система, в которой работает первый закон Ньютона. Тогда, как минимум, абсолютное пространство вместе с абсолютным временем может мыслиться как инерциальная система отсчета.
Возникает вопрос: есть ли еще инерциальные системы и как они относятся к абсолютному пространству? Обратимся к так называемым преобразованиям Галилея (термин был введен в 1909 году). Они определяют связь между координатами для двух систем отсчета, движущихся относительно друг друга. Если скорость V направлена вдоль оси x, то координаты x в двух системах для постоянной скорости связаны соотношением: x′ = x + Vt. Время t, определенное в механике Ньютона как абсолютное, является одинаковым для всех систем отсчета. Для преобразований Галилея скорость движения частицы v′ в одной системе определяется как простая сумма скорости этой частицы в другой системе и скорости относительного движения систем V, если скорость частицы и относительная скорость систем имеют одно направление: v′ = v + V. Например, если в поезде выстрелят в направлении его движения, то для наблюдателя на перроне скорость пули будет определяться как сумма скорости поезда и скорости пули относительно оружия. Если скорости не параллельны, то используется векторная сумма. Таким образом, преобразования Галилея ясно показывают, что любая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно какой-либо инерциальной системы (скажем, абсолютного пространства), также является инерциальной. Это и есть ответ на вопрос.
Возвратимся к измерениям на Земле. Обычно они производятся в ограниченном пространстве (малом, по сравнению с размерами Земли) и ограничены во времени – малые длительности по сравнению с периодом обращения вокруг Солнца (годом). Такая «лаборатория» с большой степенью точности движется равномерно и прямолинейно относительно абсолютного (по Ньютону) пространства. Если с ней связаны пространственные и временные координатные системы, то она будет инерциальной системой отсчета.
Теперь уместно привести утверждение (постулат), который часто именуется принципом относительности Галилея. По Галилею он звучит так: если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых движется равномерно и прямолинейно относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент, результат будет одинаковым. То есть в двух инерциальных системах законы механики одинаковы. Рассмотрим законы Ньютона в рамках этого принципа. Что касается первого закона, то он справедлив для любой инерциальной системы отсчета просто в силу определения этих систем. Далее, если относительная скорость систем постоянна, то из преобразований Галилея следует также, что ускорение какого-либо тела относительно обеих систем отсчета будет одинаковым (одним и тем же). Тогда, в силу выполнения второго закона Ньютона в любой инерциальной системе отсчета (здесь мы используем принцип), действующие на частицу силы в обеих системах одинаковы. А раз силы одинаковы, то работает и третий закон. Хотя он должен действовать во всех инерциальных системах отсчета и непосредственно, в силу самого принципа.