Страница:
Руководствуясь аналогией, автор Хроник делит продолжительность мира на 12 периодов, из которых, как он полагает, ЮУ2 уже прошли. Последнее уточнение, наряду с общим наивным образом числа в первых книгах Ветхого Завета, указывает, что вавилонский цифровой символизм проник в Израиль в форме мифов задолго до того, как евреям стали известны хотя бы азы астрологии.
Миф же о 12 племенах, скорее всего как всякая космическая теория, произошел от значения числа 12. Так и 10 заповедей, откуда бы они ни произошли, расценивают как отпечаток божественного одобрения. В многочисленных отрывках 10, как и у Гомера, символизирует бесконечность или огромное количество.
Лучшим подтверждением сказанного является упоминание 700 жен и 100 наложниц у Соломона. Видимо, упоминание о 70 женах и 300 наложницах более реально, однако величие Соломона должно было подтверждаться не меньшим по значимости числом, чем десятикратное, стократное или тысячекратное.
Возможно, в поздних обновлениях под влиянием пифагорейских математиков самым совершенным числом стало 10. Ной относился к десятому поколению и «был человек праведный и непорочный в роде своем» (Быт., 6: 9). Десятикратное повторение фразы «Господь сказал» во время рассказа о творении, бесспорно, вытекает из его распоряжений, перечисленных в любой из трех версий Декалога, десяти заповедей (Исх., 34: 1—28; Исх., 23: 1-19; Втор., 5: 6-21).
Десять бедствий, выведенных из семи первых источников, показывают силу Иеговы, десятая часть отдается в знак того, что из целого десятина отдается Господу. Собственность Иова уместна, ибо перечислена в группах из семи сыновей и трех дочерей, 7000 овец и 3000 скота, 500 пар запряженных волов и 500 ослов. «И был человек этот непорочен, справедлив и богобоязнен» (Иов., 1:1).
В обрядах 10 является весьма значимым числом. В храме Соломона находилось 10 чаш для омовения, 10 подсвечников, 10 престолов. Херувимы высотой в 10 локтей с таким же размахом крыльев. Медная купель в диаметре также составляла 10 локтей. Десять священников Давид «поставил на службу перед ковчегом» (1 Пар., 16: 4).
В нашем беглом обзоре невозможно полностью осветить все источники, посвященные соблюдению евреями числового символизма, и вдаваться в отдельные или спорные случаи, не имеющие прямого отношения к поздним представлениям. Лучшего результата мы достигнем, обратив внимание на особую группу еврейских сочинений, подпадающих под общее понятие «апокалипсические» и благодаря использованию их астрологических знаний открывающих новую стадию в истории числового символизма.
Потеряв политическую независимость, евреи задумались о том, чтобы объединить своих разрозненных представителей с помощью жесткой формализованной религии. В результате «обнаружили» многие древние рукописи, в которых древние патриархи и пророки предупреждали о будущих бедствиях (сегодня осознанных), вытекающих из моральной распущенности, подчеркивая необходимость строгой привязанности к законам. Они верили в Мессию, несущего духовную свободу и, по некоторым версиям, искупление грехов набожным людям.
Их влияние обуславливалось высказываниями в форме видений, дарованных им за их необычайную набожность. Самыми известными трудами подобного рода являются книги пророков Иезекииля и Даниила, наряду с Новым Заветом – прототипом Откровения. Встречается множество подобных апокрифов, причем их авторы заявляют о том, что они относятся к древности. Среди них – эфиопская «Книга Еноха», славянская «Книга тайн Еноха», «Заветы двенадцати патриархов», «Восхождение Исаака», «Апокалипсис Варуха», «Моисея», «Апокалипсис Авраама» и в подобном ключе «Пророчества Сивиллы».
Помимо значения в упрочении традиционных священных чисел евреев по отношению к их астрологическим источникам (четырем узловым точкам, 12 знакам зодиака) откровения помогали подчеркнуть неотъемлемую идентичность всех групп, определяемых идентичным номером.
В их числе четыре времени года, четыре фазы луны, четыре добавленных дня для согласования календаря с солнечным годом. Осознание того, что эти четвертичные периоды соотносятся с выражениями одной и той же фундаментальной истины, отражается в именовании лунных фаз на основании важнейших точек. Возможно, следует заметить, что 4 – архетипический образ для макрокосмоса: «Даю ему имя от четырех стихий Востока, Запада, Севера и Юга» (Книга тайн Еноха, 30: 13).
К счастью, данное положение объясняется в «Пророчестве Сивиллы», где говорится, что греческие направления, приведенные в заданном порядке, воспроизводят исходные буквы имени Адам.
Общая взаимосвязь делает возможным прогнозирование, и продолжительность мира можно предсказать благодаря знанию вечных образцов. Среди больших астрономических чисел оказались 4, 12 и 7. Возраст мира, как известно, делился на четыре периода, 12 частей или на 7000 дней, 70 поколений или 7 недель.
Вовсе не предполагалось, чтобы числа откровений были доступны обыденному сознанию. Первоначально в астрологии они представляли собой план Вселенной. В таком качестве они известны Господу и немногим, на которых распространялась его благодать (например, Енох). Для благочестивых это предмет поклонения, не говоря о моральном постижении. Окружавший число сакральный ореол пояснялся священным числом, известным только Господу, который определил время прихода Мессии: «И тогда останется известное мне число праведных».
Когда число наконец открылось святому Иоанну, оно оказалось астрологически целостным образованием: «И я слышал, число запечатленных было сто сорок четыре тысячи из всех колен сынов Израилевых» (Откр., 7: 4).
Глава 3
Миф же о 12 племенах, скорее всего как всякая космическая теория, произошел от значения числа 12. Так и 10 заповедей, откуда бы они ни произошли, расценивают как отпечаток божественного одобрения. В многочисленных отрывках 10, как и у Гомера, символизирует бесконечность или огромное количество.
Лучшим подтверждением сказанного является упоминание 700 жен и 100 наложниц у Соломона. Видимо, упоминание о 70 женах и 300 наложницах более реально, однако величие Соломона должно было подтверждаться не меньшим по значимости числом, чем десятикратное, стократное или тысячекратное.
Возможно, в поздних обновлениях под влиянием пифагорейских математиков самым совершенным числом стало 10. Ной относился к десятому поколению и «был человек праведный и непорочный в роде своем» (Быт., 6: 9). Десятикратное повторение фразы «Господь сказал» во время рассказа о творении, бесспорно, вытекает из его распоряжений, перечисленных в любой из трех версий Декалога, десяти заповедей (Исх., 34: 1—28; Исх., 23: 1-19; Втор., 5: 6-21).
Десять бедствий, выведенных из семи первых источников, показывают силу Иеговы, десятая часть отдается в знак того, что из целого десятина отдается Господу. Собственность Иова уместна, ибо перечислена в группах из семи сыновей и трех дочерей, 7000 овец и 3000 скота, 500 пар запряженных волов и 500 ослов. «И был человек этот непорочен, справедлив и богобоязнен» (Иов., 1:1).
В обрядах 10 является весьма значимым числом. В храме Соломона находилось 10 чаш для омовения, 10 подсвечников, 10 престолов. Херувимы высотой в 10 локтей с таким же размахом крыльев. Медная купель в диаметре также составляла 10 локтей. Десять священников Давид «поставил на службу перед ковчегом» (1 Пар., 16: 4).
В нашем беглом обзоре невозможно полностью осветить все источники, посвященные соблюдению евреями числового символизма, и вдаваться в отдельные или спорные случаи, не имеющие прямого отношения к поздним представлениям. Лучшего результата мы достигнем, обратив внимание на особую группу еврейских сочинений, подпадающих под общее понятие «апокалипсические» и благодаря использованию их астрологических знаний открывающих новую стадию в истории числового символизма.
Потеряв политическую независимость, евреи задумались о том, чтобы объединить своих разрозненных представителей с помощью жесткой формализованной религии. В результате «обнаружили» многие древние рукописи, в которых древние патриархи и пророки предупреждали о будущих бедствиях (сегодня осознанных), вытекающих из моральной распущенности, подчеркивая необходимость строгой привязанности к законам. Они верили в Мессию, несущего духовную свободу и, по некоторым версиям, искупление грехов набожным людям.
Их влияние обуславливалось высказываниями в форме видений, дарованных им за их необычайную набожность. Самыми известными трудами подобного рода являются книги пророков Иезекииля и Даниила, наряду с Новым Заветом – прототипом Откровения. Встречается множество подобных апокрифов, причем их авторы заявляют о том, что они относятся к древности. Среди них – эфиопская «Книга Еноха», славянская «Книга тайн Еноха», «Заветы двенадцати патриархов», «Восхождение Исаака», «Апокалипсис Варуха», «Моисея», «Апокалипсис Авраама» и в подобном ключе «Пророчества Сивиллы».
Помимо значения в упрочении традиционных священных чисел евреев по отношению к их астрологическим источникам (четырем узловым точкам, 12 знакам зодиака) откровения помогали подчеркнуть неотъемлемую идентичность всех групп, определяемых идентичным номером.
В их числе четыре времени года, четыре фазы луны, четыре добавленных дня для согласования календаря с солнечным годом. Осознание того, что эти четвертичные периоды соотносятся с выражениями одной и той же фундаментальной истины, отражается в именовании лунных фаз на основании важнейших точек. Возможно, следует заметить, что 4 – архетипический образ для макрокосмоса: «Даю ему имя от четырех стихий Востока, Запада, Севера и Юга» (Книга тайн Еноха, 30: 13).
К счастью, данное положение объясняется в «Пророчестве Сивиллы», где говорится, что греческие направления, приведенные в заданном порядке, воспроизводят исходные буквы имени Адам.
Общая взаимосвязь делает возможным прогнозирование, и продолжительность мира можно предсказать благодаря знанию вечных образцов. Среди больших астрономических чисел оказались 4, 12 и 7. Возраст мира, как известно, делился на четыре периода, 12 частей или на 7000 дней, 70 поколений или 7 недель.
Вовсе не предполагалось, чтобы числа откровений были доступны обыденному сознанию. Первоначально в астрологии они представляли собой план Вселенной. В таком качестве они известны Господу и немногим, на которых распространялась его благодать (например, Енох). Для благочестивых это предмет поклонения, не говоря о моральном постижении. Окружавший число сакральный ореол пояснялся священным числом, известным только Господу, который определил время прихода Мессии: «И тогда останется известное мне число праведных».
Когда число наконец открылось святому Иоанну, оно оказалось астрологически целостным образованием: «И я слышал, число запечатленных было сто сорок четыре тысячи из всех колен сынов Израилевых» (Откр., 7: 4).
Глава 3
Пифагорейский культ чисел
Пока астрологические числа Древнего Вавилона вместе с их многочисленными ассоциациями переносились в христианскую эпоху, в Греции зародилась независимая философия числа, которая во многих своих вариантах стала известна в Средние века как пифагорейская.
О самом Пифагоре (580–500 гг. до н. э.), которого Геродот называл «величайшим эллинским мудрецом», достоверно ничего не известно. Согласно легенде, после путешествий и длительного пребывания в Вавилоне и Египте он вернулся на Запад и основал в Южной Италии тайный культ, трактующий мистическое объяснение Вселенной.
Члены братства объединялись пожизненно, связанные клятвой и особым мистическим ритуалом, напоминавшим некоторые восточные мистерии, и соблюдением строгих этических и рациональных предписаний. Школа быстро расширялась и приобрела значительное политическое влияние, однако благодаря ее политическим или религиозным взглядам подвергалась жестоким преследованиям. Как предполагают, во время их Пифагор и погиб.
Самое пространное описание раннего пифагорейства дается Аристотелем: «В это же время и раньше так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили ее и, овладев, стали считать ее начала началами всего существующего. А поскольку среди этих начал числа от природы суть первое, в числах пифагорейцы усматривали (так им казалось) много сходства с существующим и возникающим, более, чем в огне, земле и воде (например, некое свойство чисел справедливость, а иное – душа и ум, другое – удача, так можно сказать по каждому остальному случаю). Далее они видели, что свойства и соотношения, присущие гармонии, выразимы в числах. Следовательно, им казалось, что все остальное по своей природе явно уподобляемо числам, и числа – первое во всей природе. Они предположили, что элементы чисел – суть элементы всего существующего, небо есть гармония и число. И все, что они могли в числах и гармониях показать согласующимся с состояниями, частями неба и всем мироустроением, они сводили вместе и приводили в соответствие друг с другом; и если у них где-то получался тот или иной пробел, они стремились восполнить его, чтобы все учение было связным» (Метафизика, кн. 1).
Очевидно, Аристотель не выказывает благожелательности. Тем не менее Филолай (ок. 450 г. до н. э.), чей труд, посвященный пифагорейским доктринам, сохранился фрагментами, подтверждает это заявление основным положением пифагорейства: «В основе всех вещей лежит число, – учил Пифагор, познать мир – значит познать управляющие им числа».
Источник подхода пифагорейцев к числу – два главных принципа: возвышение десятка, содержащего все числа и, следовательно, вещи, и в геометрической концепции математики. Из первой посылки, по Аристотелю, образовалась их космическая теория.
В центре Вселенной помещен центральный огонь, вокруг которого вращаются Земля, Солнце, Луна, планеты и постоянные звезды. Итоговое целое из девяти сфер настолько отвратительно их вере в силу организованной и математической Вселенной, что невидимая «противоположная земля» должна была завершить эту декаду. Число 10 для осознания завершенности было просто необходимо, поскольку все вещи содержались внутри декады, а после 10 числа просто повторялись.
С другой стороны, геометрический подход к математике доказывал связь (отличную от астрологической) между абстрактным числом и конкретной реальностью. Именно благодаря цифрам, заметил Филолай, вещи и становятся известными. Следовательно, число 1 представляется точкой. Число 2 позволяет расширение, ибо линия проводится, присоединяясь к точке.
Все же ни точка, ни линия не являются вещественными предметами. Как бы то ни было, триада представлена треугольником, первой плоской фигурой и, следовательно, первым реальным числом. Треугольник становится основой базы всех предметов, постижимых чувствами. Суть замечания Платона – в том, что поверхность состоит из треугольников.
Что же касается числа 3, это самое фундаментальное представление поверхности, так что из числа 4 производится первое геометрическое тело. Ведь если четвертая точка устанавливается в среднем положении над треугольником и соединяется линиями с тремя его точками, получается пирамида, или тетраэдр, четырехгранник, состоящий из треугольных поверхностей.
Или, как подметили поздние комментаторы, поверхность ограничивается тремя точками, восходящими к размещенной сверху. Выявлены пять подобных «регулярных» твердых тел, состоящих в основном из треугольников. Первые четыре – тетраэдр, октаэдр (восьмигранник), икосаэдр (двадцатигранник) и куб – ассоциировались у Платона с огнем, воздухом, водой и землей.
Подчеркнем, огонь, первый принцип пифагорейской космографии, оставался единственной фигурой, чья поверхность четырехугольная и связана с землей, таким образом добавляя философскую поддержку традиционной вере в квадратную форму земли.
Существовавшие четыре элемента во многом влияли на стабильность мышления многих греческих философов, полагавших, что есть четыре, вместо пяти, постоянных тела. Платон или подчеркивал, что пятый включает и
управляет остальными четырьмя, или обходил выдвинутое положение, когда заявлял, что додекаэдр, двенадцатигранник с 12 пятиугольными лицевыми сторонами, «используется, чтобы приукрасить Вселенную созвездиями». Позже философы уделяли особое внимание определению природы двенадцатигранника.
Здесь, как и в «Республике», порядок осуществления действия и терминология геометрические по своим свойствам. «Свадебное число» «Республики» образуется из известных 3, 4, 5 правильных треугольников, знакомых египтянам по крайней мере уже в 1000 году до н. э. Они явно любимые фигуры и самого Пифагора. Вероятно, так вполне было в Античности, где измерения оказывались необычно рациональными и чьи стороны, 3 и 4, первые ровные числа и первое солидное число, объединялись, чтобы произвести гипотенузу, 5, число постоянных тел.
Краткое изложение Эвклидом трудов греческих математиков также свидетельствует о преобладании геометрического мышления над арифметическим и обнаружении гармонических пропорций, приписанных Пифагору. Должно быть, оно происходит из геометрического опыта прижимания натянутой струны или наблюдения за относительным весом кузнечных молотов.
Из геометрии вытекает пифагорейская концепция совершенного числа, которым является сумма не ее делителей, а ее кратных частей. Она, должно быть, придает особый вес их философии, обнаруживая, что первое совершенное число 6 = (1 + 2 + 3) находится в области больших 3, 4, 5 правильных треугольников, а второе совершенное число – 28 – оказывается астрологическим значительным.
Подобное сочетание философии и геометрии побуждало рассматривать «математику» и «пифагорейство» как почти трансформируемые понятия. Некоторые пифагорейские открытия, например различение четных и нечетных чисел, простого числа, оказывались исключительно математическими.
Другой пример организации рациональных целых чисел образуется по аналогии с точными числами. Далее начинают классифицировать числа, подразделяя на простые и составные, исходя из отношений числа к кратным частям. Сказанное относится также и к геометрической концепции.
Согласно терминологии, используемой в алгебре, кратные части чисел являются делителями, исключающими себя. Следовательно, простое число делится на единицу и самое себя. Так, например, делителями 6 являются 1, 2, З и 1 + 2 + 3 = 6. Составное число то, чьи части складываются в сумму меньшую, чем число. Кратные части 14 – 1, 2, 7, целое же составляет всего 10. Избыточное число также предоставляет части для деления: 12 – 1, 2, 3, 4, 6, в сумме же 16.
Числа характеризуются и метафорически. Обнаружили, что сумма любого числа последовательных арифметических понятий (начинающихся с одного) образует треугольник 1, 2, 3.
Отсюда и распознавание треугольных номеров. Квадратные номера выстраиваются добавлением любого числа последовательных понятий серии нечетных чисел, начиная с 1. Последовательное добавление четных чисел, следуя той же самой схеме, создает продолговатые числа со сторонами, различающимися единицей. Продолговатое число еще является удвоением числа треугольного. Наконец, взятое восемь раз любое треугольное число плюс 1 равно квадрату.
При этом исключительное философское наполнение числа вовсе не теряли из виду. Многие, следуя руководству Платона и, возможно, Пифагора, продолжали видеть в декаде архетипический образец Вселенной, а в членах декады – воплощение божественных идей. Например, доктрина так называемых неопифагорейцев, преуспевавших с I столетия до н. э. вплоть до V века, создавших традицию, которая явно сохранилась и послужила примером для несохранившихся сочинений их предшественников.
Описание школы дошло до нас в сочинениях Филона Александрийского (Филона Иудейского, Philon Alexandreos; ок. 25 г. до н. э. – ок. 50 г. н. э.), Никомаха (греч. Νικόμαχος; ок. 60 – ок. 120 г. н. э.) и Плутарха из Херонеи (др. – греч. Πλούταρχος; ок. 45 – ок. 127 г. н. э.). Все авторы, представлявшие пифагорейство в Средние века, сходились в суждениях по поводу значения и свойств чисел. Для них число являлось первым принципом и арифметическим ключом к космическим тайнам. Никомах, в частности, писал: «Все, что по природе подчиняется систематическому методу, устроено во Вселенной как в частях, так и в целом, определено и сведено к соответствию с числом, благодаря продуманности и разумению его, того, кто создал все сущее. Ведь образец был устроен как предварительный набросок, доминирование числа, ранее существовавшего в сознании создавшего мир Господа.
Только отвлеченное и нематериальное во всех смыслах число. Однако в то же время истинная и неизменная сущность, что с ним соотносится, как художественный план, должна создать вещи, время, движение, небеса, звезды, любые изменения. Необходимо, чтобы научное число, устанавливаясь над всем, что отмечено, гармонично устроится не только с помощью других, но благодаря самому себе».
Поскольку числовые понятия после 10 проистекают из декады и прямо «очевидны и бесспорны», упорядоченные и ограниченные предшествуют неограниченным и бесконечным. Отсюда через анализ свойств первых десяти чисел выявится не только их природа, но также образец Вселенной в том виде, в каком он существует с точки зрения Господа.
Видимые усилия греческой философии обычно направлялись в сторону анализа разложения единства. Говорят, Эмпедокл из Акраганта (др. – греч. Ἐμπεδοκλῆς; ок. 490 – ок. 430 г. до н. э.) заявлял, что «Вселенная попеременно находится в движении и в покое, когда любовь производит одного из многих или соперничает, чтобы произвести многих из одного. В покое же в промежуточные периоды».
Даже здесь, где размещены два государства, объединяющий импульс, очевидно, воспринимается как самый желанный. Вполне естественно, пифагорейцы считали монады первым принципом, из которого вытекают другие цифры.
Само по себе не число, а, скорее, сущность является бытием, как и точка, назначенная потенциальным числом. Она, хотя и не плоская, может организовывать плоские (двухмерные) фигуры. Как первый создатель, монада является добродетелью и Господом.
Они в равной степени нечетные и одинаковые, мужское и женское, ведь, когда добавляют единицу к нечетному, образуется четное, она же, добавляясь к четному, снова производит нечетное. Это основа и создатель числа, однако, хотя действительно и является великим единым нечетным, более родственна мужской нечетности, чем к женской одинаковости. Короче говоря, они всегда используются, чтобы представить добродетельное, желаемое и существенное, неделимое и несозданное.
Если 1 – точка и доводится отцом числу, то линия – мать числа. Что же касается линии, она образуется расширением монады, и, поскольку каждое число, даже большое, объединяется в группу, декада приобретает мистическую известность как многообразное единое.
Линия не является ни пространственной, ни конкретной, следовательно, как и монада, точка скорее принцип, чем действительное число. В таком качестве она представляет собой разнообразие, отличающееся от единства и по той причине иногда имеющее эпитет «открытый».
Таким образом, представляет материю или существование, мать элементов, вечное, но не постоянное, противопоставленное Сущности или Идее. Поскольку все делимое изменчиво и материально, число избыточно и недостаточно множественности и человеку, ибо он одновременно является животным и разумным существом.
Судя по всему, отмеченные первые две принципа находятся в вечной оппозиции, отчего представляют соответственно интеллектуальное и чувственное, бессмертное и смертное, день и ночь, правое и левое, восток и запад, луну и месяц, равенство и неравенство.
От неустойчивой дуады исходит вереница однородных чисел, называемых женскими, потому что они слабее, чем нечетные, поскольку полые в центре, в то время как нечетные числа делятся, середина всегда остается. Более того, нечетное число всегда лучшее, ибо оно, даже смешанное (добавленное), всегда обеспечивает нечетное. Однородное плюс неоднородное никогда не образует нечетную сумму, однако образует однородное число. Однородные числа – дурное предзнаменование, относящееся к низшим богам.
Если женские числа еще недостаточно порицаются, к ним прикрепляется стигмата бесконечности, явно по аналогии с линией. Идея бесконечности оказалась мощной, можно утверждать, что принципы ограниченности и общности стали самым значимым вкладом пифагорейцев в математическую мысль, поскольку, по аналогии с их математикой, так во многом поддерживалась вера в упорядоченный и ограниченный мир.
Бесконечность, как заявляет Прокл, должна восприниматься не родственной Единому, а быть с ним в противоречии. Значит, многообразие богов ограничено.
Плотин добавляет: «Бесспорно, мироздание велико и прекрасно, но прекрасно только в той степени, как если единство удерживает его от рассеянности в бесконечности».
Поскольку 1 и 2 являются единственными принципами или возможными числами, 3 становится первым настоящим числом и представляет всю реальность не только через образ «поверхности», но и имеет начало, середину и конец. Благодаря свойствам триады, единство и разнообразие которых составляется, они возвращаются к гармонии, «потому что среднее число, выступающее посредником, связывает два других в единый завершенный порядок».
Не менее мистическое объяснение дается в Theologoumena arithmeticae: «Как сычуг [четвертый отдел желудка теленка] свертывает текущее молоко с помощью созидательных и активных способностей, объединяющая сила монады, двигающая дуаду/триаду, источник свободного движения и разламывания, устанавливает связи и форму, то есть число, над триадой, являясь началом фактического числа, определяющегося сочетанием монад».
Согласно пифагорейской теории триаду можно выявить в логике христианской Троицы. Хотя Господь, по существу, Един, однако «каждый божественный порядок имеет внутреннее единство и происхождение от своего высшего, своего низшего и своего последнего термина». Возможно, лучшее определение триады в том, что она представляет собой совершенное единство, поскольку постижима человеком через опыт благодаря свойствам своей формы. По той же причине она соотносится Плотином и Диогеном Лаэртским с душой. 3 является также первым нечетным числом, мужским, конечным и богоподобным. Помимо этих качеств, стоит отметить, что прогрессия нечетных чисел от монады всегда производит квадрат.
Тетрада завершает список архетипических чисел, представляющих точку, линию, поверхность и твердое тело. Однако они получили известность, прежде всего, благодаря тому, что производят декаду, или как сумма (1 + 2 + + 3 + 4 = 10), или в цифровом выражении 10 как трехгранное число. Эта фигура называется «тетрактис», легендарная клятва пифагорейцев.
Лукиан в книге «Собор богов. Продажа жизней с аукциона. Рыбак, или Воскресшие» характеризует пифагорейцев как просителей, они предлагают возможному покупателю «посчитать». Когда тот считает до 4, философ перебивает со словами: «На самом деле это десять, клянусь тебе в этом!»
Филон добавляет, что существует четыре группы чисел: единица, десяток, сотня и тысяча, и все они измеряются тетрактис ом. Равно как 1+2 + 3 + 4=10, так и 10 + 20 + 30 + 40 = 100, 100 + 100 + 300 + 400 = 1000. 4 тоже число квадрата, представленное в элементах, сезонах, четырех возрастах человека, четырех принципах разумного животного, лунных фазах и четырех версиях.
Сложение и умножение мужского 3 и женского 2 образует «свадебные числа» 5 и 6. Оба они порождение первопричины, ибо неразложимы на множители и всегда возвращаются к себе. Природа 5 охватывает все живущее: пять сущностей, пять частей музыкальной гармонии, пять зон, пять жителей мира (растений, рыб, птиц, животных, людей) и пять чувств. Капелла определяет их как числа этого мира, поскольку из совершенного круга, представленного как 10, он выдвигает данное полушарие.
6 – женское «свадебное число». Его несовершенство проистекает из того, что оно единственное совершенное число внутри декады и вбирает базовые номера 1, 2 и 3. Капелла называет его Венерой.
Пифагорейская философия числа вряд ли утвердилась, если бы не отвела особую роль могущественной гептаде (гептаграмме). Она считала 7 символом совершенной изоляции и, следовательно, первым родственником монады. Один цикл завершается совершенным числом 6.8 – это куб числа 2, 9 – квадрат 3. 10 – сумма первых четырех чисел.
Именно число 7 Платон выделил среди планет как «подвижный образ вечности». Следовательно, это палладий, чистое число, не порожденное и не порождающееся внутри декады. Макробий считает его универсальным благодаря бесчисленным гептадам в микро– и макрокосмосе.
Подчеркнем, что оно в первую очередь число гармонии, ибо семь тонов, возможно вызываемых меняющимися скоростями планет, также соотносимы с семью гласными звуками и семью звездами скопления Плеяды, называемыми Порфирием «лирой муз».
В неопифагорейских комментариях относительно этого числа прослеживается усиление влияния астрологии. Капелла с большим трудом объясняет этот древний лунный символ, замечая, что он состоит из четырех фаз и трех форм, правда, три формы превратились в одну повторяющуюся. К тому же благодаря другим необъяснимым совпадением, которые продолжают поддерживать связи с алтарем нумерологии, сумма первых семи чисел равна 28!
8 – первый куб, совершенный благодаря свойствам своей поверхности. 9 – первая мужская площадь, совершенная форма совершенного числа 3. Абсолютно очевидно, что почти всякое число может считаться совершенным по той или иной причине. Другое «совершенство» 9 в связи с его соседством с 10.
Девять серий неподвижных звезд, семь планет и Земля, созданные Господом, соответственно, первое и десятое.
В мистическом смысле 10 и 1 единые, как 100 и 1000, «границы» числа. В декаде многообразие возвращается к единству. 10 является категорией, итогом всех вещей, охватывающих мир. Самое совершенное из всех идеальных чисел именуется Порфирием «понятное», «постигаемое всех различий чисел, причин, видов и пропорций».
Все высшие числа порождаются числами декады и от «родителей» наследуют свои добродетели и качества. Некоторые большие числа почитаются особо. 27 – первый нечетный, или мужской, куб. 28 – второе идеальное число и обозначение лунного месяца.
О самом Пифагоре (580–500 гг. до н. э.), которого Геродот называл «величайшим эллинским мудрецом», достоверно ничего не известно. Согласно легенде, после путешествий и длительного пребывания в Вавилоне и Египте он вернулся на Запад и основал в Южной Италии тайный культ, трактующий мистическое объяснение Вселенной.
Члены братства объединялись пожизненно, связанные клятвой и особым мистическим ритуалом, напоминавшим некоторые восточные мистерии, и соблюдением строгих этических и рациональных предписаний. Школа быстро расширялась и приобрела значительное политическое влияние, однако благодаря ее политическим или религиозным взглядам подвергалась жестоким преследованиям. Как предполагают, во время их Пифагор и погиб.
Самое пространное описание раннего пифагорейства дается Аристотелем: «В это же время и раньше так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили ее и, овладев, стали считать ее начала началами всего существующего. А поскольку среди этих начал числа от природы суть первое, в числах пифагорейцы усматривали (так им казалось) много сходства с существующим и возникающим, более, чем в огне, земле и воде (например, некое свойство чисел справедливость, а иное – душа и ум, другое – удача, так можно сказать по каждому остальному случаю). Далее они видели, что свойства и соотношения, присущие гармонии, выразимы в числах. Следовательно, им казалось, что все остальное по своей природе явно уподобляемо числам, и числа – первое во всей природе. Они предположили, что элементы чисел – суть элементы всего существующего, небо есть гармония и число. И все, что они могли в числах и гармониях показать согласующимся с состояниями, частями неба и всем мироустроением, они сводили вместе и приводили в соответствие друг с другом; и если у них где-то получался тот или иной пробел, они стремились восполнить его, чтобы все учение было связным» (Метафизика, кн. 1).
Очевидно, Аристотель не выказывает благожелательности. Тем не менее Филолай (ок. 450 г. до н. э.), чей труд, посвященный пифагорейским доктринам, сохранился фрагментами, подтверждает это заявление основным положением пифагорейства: «В основе всех вещей лежит число, – учил Пифагор, познать мир – значит познать управляющие им числа».
Источник подхода пифагорейцев к числу – два главных принципа: возвышение десятка, содержащего все числа и, следовательно, вещи, и в геометрической концепции математики. Из первой посылки, по Аристотелю, образовалась их космическая теория.
В центре Вселенной помещен центральный огонь, вокруг которого вращаются Земля, Солнце, Луна, планеты и постоянные звезды. Итоговое целое из девяти сфер настолько отвратительно их вере в силу организованной и математической Вселенной, что невидимая «противоположная земля» должна была завершить эту декаду. Число 10 для осознания завершенности было просто необходимо, поскольку все вещи содержались внутри декады, а после 10 числа просто повторялись.
С другой стороны, геометрический подход к математике доказывал связь (отличную от астрологической) между абстрактным числом и конкретной реальностью. Именно благодаря цифрам, заметил Филолай, вещи и становятся известными. Следовательно, число 1 представляется точкой. Число 2 позволяет расширение, ибо линия проводится, присоединяясь к точке.
Все же ни точка, ни линия не являются вещественными предметами. Как бы то ни было, триада представлена треугольником, первой плоской фигурой и, следовательно, первым реальным числом. Треугольник становится основой базы всех предметов, постижимых чувствами. Суть замечания Платона – в том, что поверхность состоит из треугольников.
Что же касается числа 3, это самое фундаментальное представление поверхности, так что из числа 4 производится первое геометрическое тело. Ведь если четвертая точка устанавливается в среднем положении над треугольником и соединяется линиями с тремя его точками, получается пирамида, или тетраэдр, четырехгранник, состоящий из треугольных поверхностей.
Или, как подметили поздние комментаторы, поверхность ограничивается тремя точками, восходящими к размещенной сверху. Выявлены пять подобных «регулярных» твердых тел, состоящих в основном из треугольников. Первые четыре – тетраэдр, октаэдр (восьмигранник), икосаэдр (двадцатигранник) и куб – ассоциировались у Платона с огнем, воздухом, водой и землей.
Подчеркнем, огонь, первый принцип пифагорейской космографии, оставался единственной фигурой, чья поверхность четырехугольная и связана с землей, таким образом добавляя философскую поддержку традиционной вере в квадратную форму земли.
Существовавшие четыре элемента во многом влияли на стабильность мышления многих греческих философов, полагавших, что есть четыре, вместо пяти, постоянных тела. Платон или подчеркивал, что пятый включает и
управляет остальными четырьмя, или обходил выдвинутое положение, когда заявлял, что додекаэдр, двенадцатигранник с 12 пятиугольными лицевыми сторонами, «используется, чтобы приукрасить Вселенную созвездиями». Позже философы уделяли особое внимание определению природы двенадцатигранника.
Здесь, как и в «Республике», порядок осуществления действия и терминология геометрические по своим свойствам. «Свадебное число» «Республики» образуется из известных 3, 4, 5 правильных треугольников, знакомых египтянам по крайней мере уже в 1000 году до н. э. Они явно любимые фигуры и самого Пифагора. Вероятно, так вполне было в Античности, где измерения оказывались необычно рациональными и чьи стороны, 3 и 4, первые ровные числа и первое солидное число, объединялись, чтобы произвести гипотенузу, 5, число постоянных тел.
Краткое изложение Эвклидом трудов греческих математиков также свидетельствует о преобладании геометрического мышления над арифметическим и обнаружении гармонических пропорций, приписанных Пифагору. Должно быть, оно происходит из геометрического опыта прижимания натянутой струны или наблюдения за относительным весом кузнечных молотов.
Из геометрии вытекает пифагорейская концепция совершенного числа, которым является сумма не ее делителей, а ее кратных частей. Она, должно быть, придает особый вес их философии, обнаруживая, что первое совершенное число 6 = (1 + 2 + 3) находится в области больших 3, 4, 5 правильных треугольников, а второе совершенное число – 28 – оказывается астрологическим значительным.
Подобное сочетание философии и геометрии побуждало рассматривать «математику» и «пифагорейство» как почти трансформируемые понятия. Некоторые пифагорейские открытия, например различение четных и нечетных чисел, простого числа, оказывались исключительно математическими.
Другой пример организации рациональных целых чисел образуется по аналогии с точными числами. Далее начинают классифицировать числа, подразделяя на простые и составные, исходя из отношений числа к кратным частям. Сказанное относится также и к геометрической концепции.
Согласно терминологии, используемой в алгебре, кратные части чисел являются делителями, исключающими себя. Следовательно, простое число делится на единицу и самое себя. Так, например, делителями 6 являются 1, 2, З и 1 + 2 + 3 = 6. Составное число то, чьи части складываются в сумму меньшую, чем число. Кратные части 14 – 1, 2, 7, целое же составляет всего 10. Избыточное число также предоставляет части для деления: 12 – 1, 2, 3, 4, 6, в сумме же 16.
Числа характеризуются и метафорически. Обнаружили, что сумма любого числа последовательных арифметических понятий (начинающихся с одного) образует треугольник 1, 2, 3.
Отсюда и распознавание треугольных номеров. Квадратные номера выстраиваются добавлением любого числа последовательных понятий серии нечетных чисел, начиная с 1. Последовательное добавление четных чисел, следуя той же самой схеме, создает продолговатые числа со сторонами, различающимися единицей. Продолговатое число еще является удвоением числа треугольного. Наконец, взятое восемь раз любое треугольное число плюс 1 равно квадрату.
При этом исключительное философское наполнение числа вовсе не теряли из виду. Многие, следуя руководству Платона и, возможно, Пифагора, продолжали видеть в декаде архетипический образец Вселенной, а в членах декады – воплощение божественных идей. Например, доктрина так называемых неопифагорейцев, преуспевавших с I столетия до н. э. вплоть до V века, создавших традицию, которая явно сохранилась и послужила примером для несохранившихся сочинений их предшественников.
Описание школы дошло до нас в сочинениях Филона Александрийского (Филона Иудейского, Philon Alexandreos; ок. 25 г. до н. э. – ок. 50 г. н. э.), Никомаха (греч. Νικόμαχος; ок. 60 – ок. 120 г. н. э.) и Плутарха из Херонеи (др. – греч. Πλούταρχος; ок. 45 – ок. 127 г. н. э.). Все авторы, представлявшие пифагорейство в Средние века, сходились в суждениях по поводу значения и свойств чисел. Для них число являлось первым принципом и арифметическим ключом к космическим тайнам. Никомах, в частности, писал: «Все, что по природе подчиняется систематическому методу, устроено во Вселенной как в частях, так и в целом, определено и сведено к соответствию с числом, благодаря продуманности и разумению его, того, кто создал все сущее. Ведь образец был устроен как предварительный набросок, доминирование числа, ранее существовавшего в сознании создавшего мир Господа.
Только отвлеченное и нематериальное во всех смыслах число. Однако в то же время истинная и неизменная сущность, что с ним соотносится, как художественный план, должна создать вещи, время, движение, небеса, звезды, любые изменения. Необходимо, чтобы научное число, устанавливаясь над всем, что отмечено, гармонично устроится не только с помощью других, но благодаря самому себе».
Поскольку числовые понятия после 10 проистекают из декады и прямо «очевидны и бесспорны», упорядоченные и ограниченные предшествуют неограниченным и бесконечным. Отсюда через анализ свойств первых десяти чисел выявится не только их природа, но также образец Вселенной в том виде, в каком он существует с точки зрения Господа.
Видимые усилия греческой философии обычно направлялись в сторону анализа разложения единства. Говорят, Эмпедокл из Акраганта (др. – греч. Ἐμπεδοκλῆς; ок. 490 – ок. 430 г. до н. э.) заявлял, что «Вселенная попеременно находится в движении и в покое, когда любовь производит одного из многих или соперничает, чтобы произвести многих из одного. В покое же в промежуточные периоды».
Даже здесь, где размещены два государства, объединяющий импульс, очевидно, воспринимается как самый желанный. Вполне естественно, пифагорейцы считали монады первым принципом, из которого вытекают другие цифры.
Само по себе не число, а, скорее, сущность является бытием, как и точка, назначенная потенциальным числом. Она, хотя и не плоская, может организовывать плоские (двухмерные) фигуры. Как первый создатель, монада является добродетелью и Господом.
Они в равной степени нечетные и одинаковые, мужское и женское, ведь, когда добавляют единицу к нечетному, образуется четное, она же, добавляясь к четному, снова производит нечетное. Это основа и создатель числа, однако, хотя действительно и является великим единым нечетным, более родственна мужской нечетности, чем к женской одинаковости. Короче говоря, они всегда используются, чтобы представить добродетельное, желаемое и существенное, неделимое и несозданное.
Если 1 – точка и доводится отцом числу, то линия – мать числа. Что же касается линии, она образуется расширением монады, и, поскольку каждое число, даже большое, объединяется в группу, декада приобретает мистическую известность как многообразное единое.
Линия не является ни пространственной, ни конкретной, следовательно, как и монада, точка скорее принцип, чем действительное число. В таком качестве она представляет собой разнообразие, отличающееся от единства и по той причине иногда имеющее эпитет «открытый».
Таким образом, представляет материю или существование, мать элементов, вечное, но не постоянное, противопоставленное Сущности или Идее. Поскольку все делимое изменчиво и материально, число избыточно и недостаточно множественности и человеку, ибо он одновременно является животным и разумным существом.
Судя по всему, отмеченные первые две принципа находятся в вечной оппозиции, отчего представляют соответственно интеллектуальное и чувственное, бессмертное и смертное, день и ночь, правое и левое, восток и запад, луну и месяц, равенство и неравенство.
От неустойчивой дуады исходит вереница однородных чисел, называемых женскими, потому что они слабее, чем нечетные, поскольку полые в центре, в то время как нечетные числа делятся, середина всегда остается. Более того, нечетное число всегда лучшее, ибо оно, даже смешанное (добавленное), всегда обеспечивает нечетное. Однородное плюс неоднородное никогда не образует нечетную сумму, однако образует однородное число. Однородные числа – дурное предзнаменование, относящееся к низшим богам.
Если женские числа еще недостаточно порицаются, к ним прикрепляется стигмата бесконечности, явно по аналогии с линией. Идея бесконечности оказалась мощной, можно утверждать, что принципы ограниченности и общности стали самым значимым вкладом пифагорейцев в математическую мысль, поскольку, по аналогии с их математикой, так во многом поддерживалась вера в упорядоченный и ограниченный мир.
Бесконечность, как заявляет Прокл, должна восприниматься не родственной Единому, а быть с ним в противоречии. Значит, многообразие богов ограничено.
Плотин добавляет: «Бесспорно, мироздание велико и прекрасно, но прекрасно только в той степени, как если единство удерживает его от рассеянности в бесконечности».
Поскольку 1 и 2 являются единственными принципами или возможными числами, 3 становится первым настоящим числом и представляет всю реальность не только через образ «поверхности», но и имеет начало, середину и конец. Благодаря свойствам триады, единство и разнообразие которых составляется, они возвращаются к гармонии, «потому что среднее число, выступающее посредником, связывает два других в единый завершенный порядок».
Не менее мистическое объяснение дается в Theologoumena arithmeticae: «Как сычуг [четвертый отдел желудка теленка] свертывает текущее молоко с помощью созидательных и активных способностей, объединяющая сила монады, двигающая дуаду/триаду, источник свободного движения и разламывания, устанавливает связи и форму, то есть число, над триадой, являясь началом фактического числа, определяющегося сочетанием монад».
Согласно пифагорейской теории триаду можно выявить в логике христианской Троицы. Хотя Господь, по существу, Един, однако «каждый божественный порядок имеет внутреннее единство и происхождение от своего высшего, своего низшего и своего последнего термина». Возможно, лучшее определение триады в том, что она представляет собой совершенное единство, поскольку постижима человеком через опыт благодаря свойствам своей формы. По той же причине она соотносится Плотином и Диогеном Лаэртским с душой. 3 является также первым нечетным числом, мужским, конечным и богоподобным. Помимо этих качеств, стоит отметить, что прогрессия нечетных чисел от монады всегда производит квадрат.
Тетрада завершает список архетипических чисел, представляющих точку, линию, поверхность и твердое тело. Однако они получили известность, прежде всего, благодаря тому, что производят декаду, или как сумма (1 + 2 + + 3 + 4 = 10), или в цифровом выражении 10 как трехгранное число. Эта фигура называется «тетрактис», легендарная клятва пифагорейцев.
Лукиан в книге «Собор богов. Продажа жизней с аукциона. Рыбак, или Воскресшие» характеризует пифагорейцев как просителей, они предлагают возможному покупателю «посчитать». Когда тот считает до 4, философ перебивает со словами: «На самом деле это десять, клянусь тебе в этом!»
Филон добавляет, что существует четыре группы чисел: единица, десяток, сотня и тысяча, и все они измеряются тетрактис ом. Равно как 1+2 + 3 + 4=10, так и 10 + 20 + 30 + 40 = 100, 100 + 100 + 300 + 400 = 1000. 4 тоже число квадрата, представленное в элементах, сезонах, четырех возрастах человека, четырех принципах разумного животного, лунных фазах и четырех версиях.
Сложение и умножение мужского 3 и женского 2 образует «свадебные числа» 5 и 6. Оба они порождение первопричины, ибо неразложимы на множители и всегда возвращаются к себе. Природа 5 охватывает все живущее: пять сущностей, пять частей музыкальной гармонии, пять зон, пять жителей мира (растений, рыб, птиц, животных, людей) и пять чувств. Капелла определяет их как числа этого мира, поскольку из совершенного круга, представленного как 10, он выдвигает данное полушарие.
6 – женское «свадебное число». Его несовершенство проистекает из того, что оно единственное совершенное число внутри декады и вбирает базовые номера 1, 2 и 3. Капелла называет его Венерой.
Пифагорейская философия числа вряд ли утвердилась, если бы не отвела особую роль могущественной гептаде (гептаграмме). Она считала 7 символом совершенной изоляции и, следовательно, первым родственником монады. Один цикл завершается совершенным числом 6.8 – это куб числа 2, 9 – квадрат 3. 10 – сумма первых четырех чисел.
Именно число 7 Платон выделил среди планет как «подвижный образ вечности». Следовательно, это палладий, чистое число, не порожденное и не порождающееся внутри декады. Макробий считает его универсальным благодаря бесчисленным гептадам в микро– и макрокосмосе.
Подчеркнем, что оно в первую очередь число гармонии, ибо семь тонов, возможно вызываемых меняющимися скоростями планет, также соотносимы с семью гласными звуками и семью звездами скопления Плеяды, называемыми Порфирием «лирой муз».
В неопифагорейских комментариях относительно этого числа прослеживается усиление влияния астрологии. Капелла с большим трудом объясняет этот древний лунный символ, замечая, что он состоит из четырех фаз и трех форм, правда, три формы превратились в одну повторяющуюся. К тому же благодаря другим необъяснимым совпадением, которые продолжают поддерживать связи с алтарем нумерологии, сумма первых семи чисел равна 28!
8 – первый куб, совершенный благодаря свойствам своей поверхности. 9 – первая мужская площадь, совершенная форма совершенного числа 3. Абсолютно очевидно, что почти всякое число может считаться совершенным по той или иной причине. Другое «совершенство» 9 в связи с его соседством с 10.
Девять серий неподвижных звезд, семь планет и Земля, созданные Господом, соответственно, первое и десятое.
В мистическом смысле 10 и 1 единые, как 100 и 1000, «границы» числа. В декаде многообразие возвращается к единству. 10 является категорией, итогом всех вещей, охватывающих мир. Самое совершенное из всех идеальных чисел именуется Порфирием «понятное», «постигаемое всех различий чисел, причин, видов и пропорций».
Все высшие числа порождаются числами декады и от «родителей» наследуют свои добродетели и качества. Некоторые большие числа почитаются особо. 27 – первый нечетный, или мужской, куб. 28 – второе идеальное число и обозначение лунного месяца.