Релевантную логику обычно характеризуют как раздел
современной символической логики, точнее, - как один из
разделов современной неклассической логики. При этом имеют в
виду просто совокупность ряда систем (E, R, NR, T, RM, EM и
т.д.), лишенных известных парадоксов логического следования и
импликации. По виду - это некоторые дедуктивные теории. Однако
по существу - это чисто формальные (логистические) системы,
поскольку имеют лишь формальные семантики, и остается
невыясненным смысл интуитивно вводимых фундаментальных понятий
логического следования, импликации, закона, условий истинности
формул. В силу этого остаются неясными ни практические
возможности применения этих систем, ни их теоретическая
значимость. Ясно, что последнее относится и к релевантной
логике в целом при указанном ее понимании.
Возможна, однако, и другая трактовка релевантной логики, а
именно как нового этапа развития современной символической
логики. Развитие состоит в усовершенствовании,
"релевантизации", отдельных систем (классической,
интуиционистской логики, модальных систем и др.), страдающих
парадоксами следования и импликации, за счет устранения
парадоксов, указывающих на неточность фундаментальных понятий
логических систем.
Так оказывается, что результатами подобного развития
классической пропозициональной логики (КПЛ) и логики предикатов
являются основные системы современной релевантной логики -
соответственно E (of Entailment) и EQ (of Entailment with Quanґ
tification). Это будет показано далее относительно системы E
(ее формулировку см. в конце статьи)
увидим, состоит, во-первых, в том, что в результате выяснения и
устранения источников парадоксов классического понятия
следования, оно заменяется более точным отношением -
релевантным следованием; во-вторых, в расширении языка
классической логики за счет добавления импликации "" как
языкового аналога указанного отношения релевантного следования
(интенсиональной импликации)[2].
С введением интенсиональной импликации в языке появляется
логическая связка, соответствующая союзу "если..., то..."
естественного языка, применяемая в конкретных науках для
выражения их законов и необходимых связей вообще. Получаемое
усовершенствование дедуктивного аппарата классической логики и
выразительных возможностей языка существенно повышает ее
методологическое значение. Как показала практика, отношение
логического следования играет важную роль для выяснения многих
понятий и процедур познания. Но в той же практике, например при
попытках выяснения понятий онтологической необходимости, закона
науки, контрфактических высказываний, диспозиционных
предикатов, научного объяснения и т.п. выявились как недостатки
понятия следования, так и недостаточность выразительных
возможностей языка классической логики именно в силу отсутствия
в нем средств выражения необходимых связей.
Указанное преобразование классической логики немаловажно и
в философском отношении. Появление законов нового вида (AB),
(AB) (при сохранении всех законов классической логики, при
условии адекватного понимания материальной импликации, а именно
- истолковании (AB) как высказывания фактофиксирующего
характера (AB))[3] приводит к
расширению и уточнению понятий аналитического знания и
логической необходимости. Изменяется представление о самой
природе логического знания в связи с тем, что выявляется
информативность законов логики. Появляется пример развития
логического знания в форме, аналогичной переходам от геометрии
Евклида к неевклидовой, к релятивистской механике от
Ньютоновской, связанной с известным принципом "соответствия". И
здесь, как и в других случаях, теория, сменяемая другими -
классическая логика - сохраняет свое значение для определенных
целей, а именно в случаях, когда нас интересует связь между
высказываниями по их истинностным значениям, а не по
содержаниям, (например в формализованном семантическом языке
релевантной логики).
Более того, при обобщении понятия следования - за счет
обобщения понятия семантической информации, которое применяется
для его определения, - семантически выявляется ряд видов этого
отношения и, соответственно, логических систем для одного и
того же языка КПЛ (наряду с классическим и релевантным
следованием - следование системы Хао-Вана, двойственной ей,
первопорядкового фрагмента логики Лукасевича [2, ї5].
Задача, которую предстоит осуществить, состоит по существу
в построении содержательной семантики системы E как результата
анализа КПЛ. Решение этой задачи распадается на две части: 1.
анализ источников парадоксов понятия следования КПЛ и
формирование в результате их устранения понятия релевантного
следования для формул языка этой системы; 2. определение этого
понятия для E в целом, а вместе с ним и понятия интенсиональной
ипликации. В первой части - семантике обобщенных описаний
состояний - существенно используется понятие информативности
высказываний, во второй - семантике информационных ослаблений
высказываний - мы имеем дело с самой информацией высказываний,
которую представляют их логические структуры (экспликат
логического содержания).
Понятие релевантного следования для формул КПЛ.
Предполагаемый язык системы КПЛ содержит связки , , и
счетное множество пропозициональных переменных p1,
p2,... pn,.... Связки определяются
обычным образом, но с использованием понятия о.с. - (описания
возможного мира). Как у Р.Карнапа, о.с. - это множество, каждый
элемент которого есть pi или pi,
удовлетворяющее двум условиям: (а) для каждого и для
каждой переменной pi она или ее отрицание являтся
элементом (i(pi pi)) и (b) никакая
переменная не входит ни в одно о.с. вместе со своим отрицанием
(i(pi pi)).
Определение условий истинности и ложности формул в мире
(TA/ и FA/) аналогично табличным, однако (в целях, смысл
которых будет ясен ниже), условия истинности и ложности
определяются независимо друг от друга.
Df I. 1. Tpi/ е.т.е. pi 1'. Fpi/
е.т.е. pi
2. T(AB)/ е.т.е. TA/ TB/ 2'. F(AB)/ е.т.е. FA/
FB/
3. T(AB)/ е.т.е. TA/ TB/ 3'. F(AB)/ е.т.е. FA/
FB/
4. TA/ е.т.е. FA/ 4'. FA/ е.т.е. TA/
Согласно известному в классической логике определению
отношения логического следования A|=B, оно обладает двумя
основными свойствами: 1.зависит лишь от логических содержаний
высказываний (что означает A0|=B0 е.т.е.
A|=B, где A0, B0 - конкретные
высказывания, а A, B - их логические формы, т.е. формулы
соответствующего языка с интерпретированными логическими
константами); 2. при истинности A относительно некоторого мира
- и тем самым при интерпретации пропозициональных переменных A
- истинно также B при той же интерпретации. В этом определении
не ясно, чем именно обусловлено свойство 2. Очевидно дело в
том, что "A|=B" означает, что информация B (IB)
составляет часть информации A (IA). Последнее же
равносильно "информативность B (iB) информативности A
(iA). Мы представим эту величину
теоретико-множественным образом. В случае, например, двоичных
единиц измерения, обычное числовое определение ее как
-log2P(A), где P(A) есть вероятность A, для наших
целей логического анализа не является подходящим. Во-первых, в
нем не отражается относительность величины информативности A по
отношению к некоторому исходному множеству возможностей N, и в
силу этого скрыта характеристика этой величины как показателя
того, насколько это исходное множество ограничивается принятием
A за истину. Учитывая эти характеристики, i(A) можно
трактовать как пару <NA, N>. В нашем случае N
- множество о.с., а NC - для любой формулы С - {:
TC/}.
Ясно теперь, что i(B,N) i(A,N) равносильно
NANB. Последнее - согласно известному
математическому положению - равносильно N(TA/
TB/).
Но и это уточненное определение классического |=
по-прежнему парадоксально, ибо i(A) для любого закона
логики есть пара <N, N>, а для его отрицания - <,
N>. Значит для любого B B|=A и ЪА|=B. Все дело в понимании
классических о.с., а точнее, в используемом в традиционной
теории понятии семантической информации. Определяя i(A)
относительно множества классических о.с. N (т.е. i(A,
N)), мы используем определенное знание о соответвствующих
возможных мирах, а именно совокупность указанных выше условий
(а) и (b). Это значит, что определяем не
информативность A самого по себе, а то, что оно добавляет к
информативности (а), (b). Если информация A уже
содержится в указанном множестве (имеющихся знаний о мирах), то
i(A) является нулевой, а i(ЪА) - бесконечна (ЪА
содержит всю информацию, заключенную в совокупности всех формул
языка). Так и происходит с закономи логики. Для получения
информации высказывания A самого по себе относительно множества
возможных миров необходимо отвлечение от всякого знания
относительно его элементов (в нашем случае - от указанных
условий (а) и (б)). В таком случае о.с. должно
пониматься просто как множество, элементы которого суть
pi или Ърi. Допустимы о.с., в которых для
какого-то i не содержатся pi и Ърi, и
даже пустое вообще, а также о.с., содержащие одновременно
pi и Ърi. Мы называем такие множества
обобщенными о.с. Обобщенные о.с. a - это любое
подмножество множества {p1, Ър1,...
pn, Ърn,...}. Ясно, что противоречивые и
не определенные относительно каких-то pi возможные
миры допускаются как абстрактные возможности именно в силу
отвлечения от (а) и (б) и лишь в связи с
определением информативности формул.
Если теперь в Df I и во всех приведенных
определениях, связанных с |=, - обобщенные о.с., и множество N
классических возможных миров заменить на множество M обобщенных
о.с., тогда мы получим следующие определения релевантного
следования для формул языка КПЛ.
Df II. A|=B е.т.е. I(B, M) часть I(A, M) е.т.е.
MAMB е.т.е. M(TA/ TB/).
Для любого непустого множества высказываний Г имеем:
Df IIa. Г|=B е.т.е. в Г имеются A1,... Ak, k1
такие, что (A1 ... Ak|=B) (при какой-нибудь расстановке
скобок в конъюнкции).
Нетрудно видеть, что при обобщении о.с. в DF I
сохраняется однозначность определения T и F для любой A и
любого о.с. из M. Но ясно, что к классическим случаям TA/ при
FA/ и FA/ при TA/ добавляются случаи
TA/ и FA/ одновременно, как и TA/ вместе с
FA/. Понятие релевантного следования не парадоксально,
поскольку ни для какой A MA не является
универсальным, а также пустым. Информативными оказываются таже
и законы логики.
Для перехода к части II введем понятия интенсиональной
импликации и логических законов нового вида (AB).
Df III. A|=B е.т.е. |=(AB).
Естественно теперь расширить язык КПЛ добавлением "" к его
логическим связкам. Получаем язык системы E, и задача далее
состоит в том, чтобы доопределить отношение релевантного
следования также для формул, содержащих .
Прежде всего можно расширить понятие следования в Df
II и законов вида |=(AB), предполагая в Df I, Df II, Df
III формулы любых порядков, но рассматривая при этом (AB)
как элементарные и учитывая лишь то, что для таких формул C
также имеет смысл TC/ и FC/. Это означает расширение о.с. за
счет включения в них формул, содержазщих "". Таким образом в
возможных мирах учитывается не только положение дел
фактического характера, но и связи между таковыми.
Обратим внимание на содержательное различие логических
законов и допущений вида (AB). Для этого вспомним, что
пропозициональные переменные вводятся в язык логики
высказываний как знаки некоторых высказываний, от структур
которых отвлекаются в рамках этой логики. Эти высказывания
(точнее было бы говорить - описываемые ими ситуации в возможных
мирах) назовем интенсиональными значениями пропозициональных
переменных. Наличие таковых подразумевается в известных
правилах подстановки вместо пропозициональных переменных.
Теперь ясно, что (AB) является законом е.т.е. A|=B при всех
интенсиональных значениях пропозициональных переменных в A и B,
или, иначе говоря, - при любых подстановках вместо этих
переменных. (AB) как допущение означает, что имеются в виду те
значения пропозициональных переменных A и B (те подстановки
вместо них), при которых A|=B. Иначе говоря, в первом случае
переменные в A и B рассматриваются в интерпретации всеобщности,
во втором - в условной интерпретации. Аналогично можно говорить
об интерпретации всеобщности и условной метаязыковых переменных
A, B, C и соответственно различать схемы логических законов и
допущений. Таким образом, (AB) в любом случае есть утверждение
о следовании. Тогда в случае T(AB)/ имеем (по Df II)
TA/ TB/, а также
ТЪВ/ ТЪА/[4].
Однако следует учитывать - и в этом проявляется специфика
интенсиональной импликации, - что при отнесении (AB) к
некоторому миру a ее переменные получают некоторую
интерпретацию, а все выражение - дополнительный смысл, по
крайней мере о непустоте относительно A и B, т.е. TA/
ТЪА/ TB/ ТЪВ/. Из этого и двух
предыдущих выражений следует очевидно (классически) ТЪА/
TB/. Этим оправдывается схема E-11
Выделим в качестве базиса для расширения понятий A|=B,
|=(AB), |=Ъ(AB) следующие множества законов части I.
IV. 1. AA. 2. (AB)A. 3. (AB)B. 4. A(AB). 5. B(AB).
6. AA. 7. AA. 8. (A(BC))((AB)(AC)). 9. A(AA).
10. (AA)A. 11. (AB)(AB). Таким образом наряду со схемой E11 семантически
оправдываются схемы аксиом 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9 системы E (см. стр.11).
Для обоснования других аксиом и правил E используем
понятие информационного ослабления высказываний и некоторые
принципы такого ослабления. Предполагаем известными понятия
положительных и отрицательных вхождений подформул в некоторую
формулу. Истинная или принятая за истинную формула вида (CD)
указывает на то, что D информационно слабее или эквивалентна С
(для краткости будем говорить, что она слабее). Формула А
информационно ослабляется , если какие-либо ее положительные
подформулы заменяются информационно более слабыми (согласно,
например, каким-нибудь логическим законам вида (CD)), или
отрицательные заменяются более сильными. Например,
((p1p2)p1) как и
(p1(p1p2)) слабее, чем
(p1p1); (p1p2)
сильнее, а Ъ(p1p2) слабее, чем p1
и т.п. Совокупность соотношений в IV дает исходные
данные о соотношении по информации между составляющими их
формулами.
Основные принципы информационного ослабления высказываний.
Принцип ослабления на основе допущений:
Пусть G - формула вида
(A1B1)...(AkBk), k1 (для
семантического обоснования E достаточно k2), С - произвольная формула, имеющая
положительные вхождения какой-нибудь Ai или (и) отрицательное
какой-нибудь Bj, 1ik, 1jk. C0G - результат
замены в C по крайней мере одного положительного вхождения в нее формулы
Ai на Bi или (и) какого-нибудь отрицательного
вхождения Bj на Aj; при этом, если в C есть подформула
вида EF или EF, то какая-нибудь из указанных замен осуществлена в E и
какая-нибудь в F, либо ни E, ни F не затронуты этим преобразованием (условие
R), тогда:
1) (G(CC0G)), C0G -
результат ослабления C на основе допущения G. Если какая-нибудь
(AiBi) в G есть
AiAi, то замены тривиальны, однако
считаем, что они осуществляются во всех положительных и
отрицательных вхождениях Ai в C. При этом выявляется
важная роль законов тождества в обеспечении релевантности
следования. Так (AB)((AD)(BD)) не получается согласно 1): не
выполнено условие R (консеквент этой импликации может быть (см.
далее п.4а) ослаблен до (AD)D, что, будучи законом, не
релевантно тем не менее антецеденту). Но |=
((AB)(DD))((AD)(BD)).
Посредством 1) получаем обоснование схем E-10, 13. В
качестве G для той и другой имеем (AB); в качестве C - для 10 -
B;тогда A есть B0(AB). В 13 (AC) есть
(BC)0(AB).
Простой модификацией 1) является:
2) |= ((GC)C0G) - принцип самоослабления допущений. Он
содержится, очевидно, в 1), т.е. имеем
3) |= ((G(CC0G))((GC)C0G).
Равносильным образом 2) можно представить очевидно в виде
правила G,C|=C0G; если G есть (CB), то
имеем m.p. Второе правило E (введение ) получается из Df IIа
(стр. 6).
Если в 1) имеем |=G, т.е. G верна для любых подстановок,
то это значит, что и консеквент также общезначим в том же
смысле, и G может быть опущена. В результате имеем принцип
логического ослабления (вместо G употребим L для отражения
того, что имеем дело с законом):
4) |= (CC0L), при этом не нужно условие R (поскольку в L
всегда можно подразумевать нужный закон тождества). И не обязательно должны
быть какие-то замены, связанные с понятием ослабления.
Если имеем |= C, то
4а) |=C0L (ослабление закона логики является законом) при
этом:
5) |= ((CC0L)C0L). Аналогично при
общезначимости G в 1) имеем :
6) |= ((G(CC0G))(CC0G)).
5) и 6)оправдывают E-12, в которой B есть
(AA)0L или имеет вид
DD0(AA). Посредством 1) в сочетании с 4а)
оправдываются схемы E-3 и E-6. В силу 1) имеем:
|=(((AB)(AC))((AA)(BC))), L-ослаблением этого на основе 9 из
IV по 4а) получаем E-3. Аналогично для E-6 с
использованием для L-ослабления 10 из IV.
Для оправдания E-14 учитываем, что истинность ее
антецедента возможна лишь, если A - формула типа G (в 1)), а B
- графически равна A0A. Имеем тогда
(A(AB))((AA)B) - частный случай 3. - и по 4а, используя 9 из
IV в качестве L получаем E-14.
И наконец заметим, что каждый закон вида (AB) получается
из какого-нибудь закона C L-ослаблением C посредством усиления
C.
Этим завершается семантическое обоснование системы E, а
тем самым доказательство ее семантической непротиворечивости.
Для доказательства теоремы полноты устанавливаем, что:
1. каждый закон, получаемый по Df III, есть
тавтологичная импликация в смысле [1, ї15]; 2.каждая
тавтологичная импликация есть теорема E; и 3. все принципы
ослабления как схемы формул E, доказуемы в E.
---------------------------------------------------------------
Аксиомы (схемы) системы E:
1. (AB)A. 2. (AB)B. 3. ((AB)(AC))(A(BC)). 4. A(AB).
5. B(AB). 6. ((AC)(BC))((AB)C).
7. (A(BC))((AB)(AC). 8. AA. 9. AA.
10. (AB)(BA). 11. (AB)(AB). 12. ((AA)B)B.
13. (AB)((BC)(AC)). 14. (A(AB))(AB).
Правила вывода: (AB), A |- B (m.p.); A, B |- (AB) (введение ).
Заметим, что E-11 равносильна (AA)A, а E-14 равносильна
(A(BC))((AB)(AC)).
Литература:
1. Anderson A.R., Belnap N.D. Jr Entailment. The logic of
Relevance and Necessity,. 1975. v. 1.
2. Войшвилло Е.К. Философско-методологические аспекты
релевантной логики, 1988. Изд-во Московского Университета.
3. Войшвилло Е.К. Символическая логика. Классическая и
релевантная, 1989, М., "Высшая школа".
------------------------------------------------------------
1 Система E является результатом реконструкции
А.Андерсоном и Н.Белнапом [1] системы с так называемой сильной импликацией,
сформулированной В.Аккерманом в работе, явившейся по существу началом развития
релевантной логики.
2 Указанное понимание релевантной логики, изложенное автором в [2,
3], в частности идея релевантизации существующих систем, реализована
аспирантами кафедры логики МГУ В.Шрамко в отношении интуиционистской логики и
отчасти Б.Камаевым применительно к некоторым модальным логикам.
3 Так называемые парадоксы материальной импликации возникают именно
в результате неправильного истолкования как союза "если..., то...". В лучшем
случае это правомерно для главного вхождения в общезначимой формуле AB с учетом
однако того, что она указывает на связь между истинностными значениями A и B, а
не между ситуациями, которые описывают эти высказывания.
4 Контрпозитивность A|=B (т.е. A|=B е.т.е. ЪВ|=ЪА) доказывается в
[2, 3] с использованием нормальных форм для формул КПЛ.
5 Возможно другое обоснование этой схемы при более точном учете
смысла AB, соотнесенной с некоторым миром . В ней утверждается необходимая
связь между ситуациями A и B, а именно отношение детерминированности B при
наличии A. Это значит, что при AB невозможно АЪВ, а тем самым имеем Ъ(АЪВ), что
эквивалентно - согласно Df I - ЪАВ. Указанная здесь трактовка AB
существенна для приложений E, например в логике научного познания.
современной символической логики, точнее, - как один из
разделов современной неклассической логики. При этом имеют в
виду просто совокупность ряда систем (E, R, NR, T, RM, EM и
т.д.), лишенных известных парадоксов логического следования и
импликации. По виду - это некоторые дедуктивные теории. Однако
по существу - это чисто формальные (логистические) системы,
поскольку имеют лишь формальные семантики, и остается
невыясненным смысл интуитивно вводимых фундаментальных понятий
логического следования, импликации, закона, условий истинности
формул. В силу этого остаются неясными ни практические
возможности применения этих систем, ни их теоретическая
значимость. Ясно, что последнее относится и к релевантной
логике в целом при указанном ее понимании.
Возможна, однако, и другая трактовка релевантной логики, а
именно как нового этапа развития современной символической
логики. Развитие состоит в усовершенствовании,
"релевантизации", отдельных систем (классической,
интуиционистской логики, модальных систем и др.), страдающих
парадоксами следования и импликации, за счет устранения
парадоксов, указывающих на неточность фундаментальных понятий
логических систем.
Так оказывается, что результатами подобного развития
классической пропозициональной логики (КПЛ) и логики предикатов
являются основные системы современной релевантной логики -
соответственно E (of Entailment) и EQ (of Entailment with Quanґ
tification). Это будет показано далее относительно системы E
(ее формулировку см. в конце статьи)
увидим, состоит, во-первых, в том, что в результате выяснения и
устранения источников парадоксов классического понятия
следования, оно заменяется более точным отношением -
релевантным следованием; во-вторых, в расширении языка
классической логики за счет добавления импликации "" как
языкового аналога указанного отношения релевантного следования
(интенсиональной импликации)[2].
С введением интенсиональной импликации в языке появляется
логическая связка, соответствующая союзу "если..., то..."
естественного языка, применяемая в конкретных науках для
выражения их законов и необходимых связей вообще. Получаемое
усовершенствование дедуктивного аппарата классической логики и
выразительных возможностей языка существенно повышает ее
методологическое значение. Как показала практика, отношение
логического следования играет важную роль для выяснения многих
понятий и процедур познания. Но в той же практике, например при
попытках выяснения понятий онтологической необходимости, закона
науки, контрфактических высказываний, диспозиционных
предикатов, научного объяснения и т.п. выявились как недостатки
понятия следования, так и недостаточность выразительных
возможностей языка классической логики именно в силу отсутствия
в нем средств выражения необходимых связей.
Указанное преобразование классической логики немаловажно и
в философском отношении. Появление законов нового вида (AB),
(AB) (при сохранении всех законов классической логики, при
условии адекватного понимания материальной импликации, а именно
- истолковании (AB) как высказывания фактофиксирующего
характера (AB))[3] приводит к
расширению и уточнению понятий аналитического знания и
логической необходимости. Изменяется представление о самой
природе логического знания в связи с тем, что выявляется
информативность законов логики. Появляется пример развития
логического знания в форме, аналогичной переходам от геометрии
Евклида к неевклидовой, к релятивистской механике от
Ньютоновской, связанной с известным принципом "соответствия". И
здесь, как и в других случаях, теория, сменяемая другими -
классическая логика - сохраняет свое значение для определенных
целей, а именно в случаях, когда нас интересует связь между
высказываниями по их истинностным значениям, а не по
содержаниям, (например в формализованном семантическом языке
релевантной логики).
Более того, при обобщении понятия следования - за счет
обобщения понятия семантической информации, которое применяется
для его определения, - семантически выявляется ряд видов этого
отношения и, соответственно, логических систем для одного и
того же языка КПЛ (наряду с классическим и релевантным
следованием - следование системы Хао-Вана, двойственной ей,
первопорядкового фрагмента логики Лукасевича [2, ї5].
Задача, которую предстоит осуществить, состоит по существу
в построении содержательной семантики системы E как результата
анализа КПЛ. Решение этой задачи распадается на две части: 1.
анализ источников парадоксов понятия следования КПЛ и
формирование в результате их устранения понятия релевантного
следования для формул языка этой системы; 2. определение этого
понятия для E в целом, а вместе с ним и понятия интенсиональной
ипликации. В первой части - семантике обобщенных описаний
состояний - существенно используется понятие информативности
высказываний, во второй - семантике информационных ослаблений
высказываний - мы имеем дело с самой информацией высказываний,
которую представляют их логические структуры (экспликат
логического содержания).
Понятие релевантного следования для формул КПЛ.
Предполагаемый язык системы КПЛ содержит связки , , и
счетное множество пропозициональных переменных p1,
p2,... pn,.... Связки определяются
обычным образом, но с использованием понятия о.с. - (описания
возможного мира). Как у Р.Карнапа, о.с. - это множество, каждый
элемент которого есть pi или pi,
удовлетворяющее двум условиям: (а) для каждого и для
каждой переменной pi она или ее отрицание являтся
элементом (i(pi pi)) и (b) никакая
переменная не входит ни в одно о.с. вместе со своим отрицанием
(i(pi pi)).
Определение условий истинности и ложности формул в мире
(TA/ и FA/) аналогично табличным, однако (в целях, смысл
которых будет ясен ниже), условия истинности и ложности
определяются независимо друг от друга.
Df I. 1. Tpi/ е.т.е. pi 1'. Fpi/
е.т.е. pi
2. T(AB)/ е.т.е. TA/ TB/ 2'. F(AB)/ е.т.е. FA/
FB/
3. T(AB)/ е.т.е. TA/ TB/ 3'. F(AB)/ е.т.е. FA/
FB/
4. TA/ е.т.е. FA/ 4'. FA/ е.т.е. TA/
Согласно известному в классической логике определению
отношения логического следования A|=B, оно обладает двумя
основными свойствами: 1.зависит лишь от логических содержаний
высказываний (что означает A0|=B0 е.т.е.
A|=B, где A0, B0 - конкретные
высказывания, а A, B - их логические формы, т.е. формулы
соответствующего языка с интерпретированными логическими
константами); 2. при истинности A относительно некоторого мира
- и тем самым при интерпретации пропозициональных переменных A
- истинно также B при той же интерпретации. В этом определении
не ясно, чем именно обусловлено свойство 2. Очевидно дело в
том, что "A|=B" означает, что информация B (IB)
составляет часть информации A (IA). Последнее же
равносильно "информативность B (iB) информативности A
(iA). Мы представим эту величину
теоретико-множественным образом. В случае, например, двоичных
единиц измерения, обычное числовое определение ее как
-log2P(A), где P(A) есть вероятность A, для наших
целей логического анализа не является подходящим. Во-первых, в
нем не отражается относительность величины информативности A по
отношению к некоторому исходному множеству возможностей N, и в
силу этого скрыта характеристика этой величины как показателя
того, насколько это исходное множество ограничивается принятием
A за истину. Учитывая эти характеристики, i(A) можно
трактовать как пару <NA, N>. В нашем случае N
- множество о.с., а NC - для любой формулы С - {:
TC/}.
Ясно теперь, что i(B,N) i(A,N) равносильно
NANB. Последнее - согласно известному
математическому положению - равносильно N(TA/
TB/).
Но и это уточненное определение классического |=
по-прежнему парадоксально, ибо i(A) для любого закона
логики есть пара <N, N>, а для его отрицания - <,
N>. Значит для любого B B|=A и ЪА|=B. Все дело в понимании
классических о.с., а точнее, в используемом в традиционной
теории понятии семантической информации. Определяя i(A)
относительно множества классических о.с. N (т.е. i(A,
N)), мы используем определенное знание о соответвствующих
возможных мирах, а именно совокупность указанных выше условий
(а) и (b). Это значит, что определяем не
информативность A самого по себе, а то, что оно добавляет к
информативности (а), (b). Если информация A уже
содержится в указанном множестве (имеющихся знаний о мирах), то
i(A) является нулевой, а i(ЪА) - бесконечна (ЪА
содержит всю информацию, заключенную в совокупности всех формул
языка). Так и происходит с закономи логики. Для получения
информации высказывания A самого по себе относительно множества
возможных миров необходимо отвлечение от всякого знания
относительно его элементов (в нашем случае - от указанных
условий (а) и (б)). В таком случае о.с. должно
пониматься просто как множество, элементы которого суть
pi или Ърi. Допустимы о.с., в которых для
какого-то i не содержатся pi и Ърi, и
даже пустое вообще, а также о.с., содержащие одновременно
pi и Ърi. Мы называем такие множества
обобщенными о.с. Обобщенные о.с. a - это любое
подмножество множества {p1, Ър1,...
pn, Ърn,...}. Ясно, что противоречивые и
не определенные относительно каких-то pi возможные
миры допускаются как абстрактные возможности именно в силу
отвлечения от (а) и (б) и лишь в связи с
определением информативности формул.
Если теперь в Df I и во всех приведенных
определениях, связанных с |=, - обобщенные о.с., и множество N
классических возможных миров заменить на множество M обобщенных
о.с., тогда мы получим следующие определения релевантного
следования для формул языка КПЛ.
Df II. A|=B е.т.е. I(B, M) часть I(A, M) е.т.е.
MAMB е.т.е. M(TA/ TB/).
Для любого непустого множества высказываний Г имеем:
Df IIa. Г|=B е.т.е. в Г имеются A1,... Ak, k1
такие, что (A1 ... Ak|=B) (при какой-нибудь расстановке
скобок в конъюнкции).
Нетрудно видеть, что при обобщении о.с. в DF I
сохраняется однозначность определения T и F для любой A и
любого о.с. из M. Но ясно, что к классическим случаям TA/ при
FA/ и FA/ при TA/ добавляются случаи
TA/ и FA/ одновременно, как и TA/ вместе с
FA/. Понятие релевантного следования не парадоксально,
поскольку ни для какой A MA не является
универсальным, а также пустым. Информативными оказываются таже
и законы логики.
Для перехода к части II введем понятия интенсиональной
импликации и логических законов нового вида (AB).
Df III. A|=B е.т.е. |=(AB).
Естественно теперь расширить язык КПЛ добавлением "" к его
логическим связкам. Получаем язык системы E, и задача далее
состоит в том, чтобы доопределить отношение релевантного
следования также для формул, содержащих .
Прежде всего можно расширить понятие следования в Df
II и законов вида |=(AB), предполагая в Df I, Df II, Df
III формулы любых порядков, но рассматривая при этом (AB)
как элементарные и учитывая лишь то, что для таких формул C
также имеет смысл TC/ и FC/. Это означает расширение о.с. за
счет включения в них формул, содержазщих "". Таким образом в
возможных мирах учитывается не только положение дел
фактического характера, но и связи между таковыми.
Обратим внимание на содержательное различие логических
законов и допущений вида (AB). Для этого вспомним, что
пропозициональные переменные вводятся в язык логики
высказываний как знаки некоторых высказываний, от структур
которых отвлекаются в рамках этой логики. Эти высказывания
(точнее было бы говорить - описываемые ими ситуации в возможных
мирах) назовем интенсиональными значениями пропозициональных
переменных. Наличие таковых подразумевается в известных
правилах подстановки вместо пропозициональных переменных.
Теперь ясно, что (AB) является законом е.т.е. A|=B при всех
интенсиональных значениях пропозициональных переменных в A и B,
или, иначе говоря, - при любых подстановках вместо этих
переменных. (AB) как допущение означает, что имеются в виду те
значения пропозициональных переменных A и B (те подстановки
вместо них), при которых A|=B. Иначе говоря, в первом случае
переменные в A и B рассматриваются в интерпретации всеобщности,
во втором - в условной интерпретации. Аналогично можно говорить
об интерпретации всеобщности и условной метаязыковых переменных
A, B, C и соответственно различать схемы логических законов и
допущений. Таким образом, (AB) в любом случае есть утверждение
о следовании. Тогда в случае T(AB)/ имеем (по Df II)
TA/ TB/, а также
ТЪВ/ ТЪА/[4].
Однако следует учитывать - и в этом проявляется специфика
интенсиональной импликации, - что при отнесении (AB) к
некоторому миру a ее переменные получают некоторую
интерпретацию, а все выражение - дополнительный смысл, по
крайней мере о непустоте относительно A и B, т.е. TA/
ТЪА/ TB/ ТЪВ/. Из этого и двух
предыдущих выражений следует очевидно (классически) ТЪА/
TB/. Этим оправдывается схема E-11
Выделим в качестве базиса для расширения понятий A|=B,
|=(AB), |=Ъ(AB) следующие множества законов части I.
IV. 1. AA. 2. (AB)A. 3. (AB)B. 4. A(AB). 5. B(AB).
6. AA. 7. AA. 8. (A(BC))((AB)(AC)). 9. A(AA).
10. (AA)A. 11. (AB)(AB). Таким образом наряду со схемой E11 семантически
оправдываются схемы аксиом 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9 системы E (см. стр.11).
Для обоснования других аксиом и правил E используем
понятие информационного ослабления высказываний и некоторые
принципы такого ослабления. Предполагаем известными понятия
положительных и отрицательных вхождений подформул в некоторую
формулу. Истинная или принятая за истинную формула вида (CD)
указывает на то, что D информационно слабее или эквивалентна С
(для краткости будем говорить, что она слабее). Формула А
информационно ослабляется , если какие-либо ее положительные
подформулы заменяются информационно более слабыми (согласно,
например, каким-нибудь логическим законам вида (CD)), или
отрицательные заменяются более сильными. Например,
((p1p2)p1) как и
(p1(p1p2)) слабее, чем
(p1p1); (p1p2)
сильнее, а Ъ(p1p2) слабее, чем p1
и т.п. Совокупность соотношений в IV дает исходные
данные о соотношении по информации между составляющими их
формулами.
Основные принципы информационного ослабления высказываний.
Принцип ослабления на основе допущений:
Пусть G - формула вида
(A1B1)...(AkBk), k1 (для
семантического обоснования E достаточно k2), С - произвольная формула, имеющая
положительные вхождения какой-нибудь Ai или (и) отрицательное
какой-нибудь Bj, 1ik, 1jk. C0G - результат
замены в C по крайней мере одного положительного вхождения в нее формулы
Ai на Bi или (и) какого-нибудь отрицательного
вхождения Bj на Aj; при этом, если в C есть подформула
вида EF или EF, то какая-нибудь из указанных замен осуществлена в E и
какая-нибудь в F, либо ни E, ни F не затронуты этим преобразованием (условие
R), тогда:
1) (G(CC0G)), C0G -
результат ослабления C на основе допущения G. Если какая-нибудь
(AiBi) в G есть
AiAi, то замены тривиальны, однако
считаем, что они осуществляются во всех положительных и
отрицательных вхождениях Ai в C. При этом выявляется
важная роль законов тождества в обеспечении релевантности
следования. Так (AB)((AD)(BD)) не получается согласно 1): не
выполнено условие R (консеквент этой импликации может быть (см.
далее п.4а) ослаблен до (AD)D, что, будучи законом, не
релевантно тем не менее антецеденту). Но |=
((AB)(DD))((AD)(BD)).
Посредством 1) получаем обоснование схем E-10, 13. В
качестве G для той и другой имеем (AB); в качестве C - для 10 -
B;тогда A есть B0(AB). В 13 (AC) есть
(BC)0(AB).
Простой модификацией 1) является:
2) |= ((GC)C0G) - принцип самоослабления допущений. Он
содержится, очевидно, в 1), т.е. имеем
3) |= ((G(CC0G))((GC)C0G).
Равносильным образом 2) можно представить очевидно в виде
правила G,C|=C0G; если G есть (CB), то
имеем m.p. Второе правило E (введение ) получается из Df IIа
(стр. 6).
Если в 1) имеем |=G, т.е. G верна для любых подстановок,
то это значит, что и консеквент также общезначим в том же
смысле, и G может быть опущена. В результате имеем принцип
логического ослабления (вместо G употребим L для отражения
того, что имеем дело с законом):
4) |= (CC0L), при этом не нужно условие R (поскольку в L
всегда можно подразумевать нужный закон тождества). И не обязательно должны
быть какие-то замены, связанные с понятием ослабления.
Если имеем |= C, то
4а) |=C0L (ослабление закона логики является законом) при
этом:
5) |= ((CC0L)C0L). Аналогично при
общезначимости G в 1) имеем :
6) |= ((G(CC0G))(CC0G)).
5) и 6)оправдывают E-12, в которой B есть
(AA)0L или имеет вид
DD0(AA). Посредством 1) в сочетании с 4а)
оправдываются схемы E-3 и E-6. В силу 1) имеем:
|=(((AB)(AC))((AA)(BC))), L-ослаблением этого на основе 9 из
IV по 4а) получаем E-3. Аналогично для E-6 с
использованием для L-ослабления 10 из IV.
Для оправдания E-14 учитываем, что истинность ее
антецедента возможна лишь, если A - формула типа G (в 1)), а B
- графически равна A0A. Имеем тогда
(A(AB))((AA)B) - частный случай 3. - и по 4а, используя 9 из
IV в качестве L получаем E-14.
И наконец заметим, что каждый закон вида (AB) получается
из какого-нибудь закона C L-ослаблением C посредством усиления
C.
Этим завершается семантическое обоснование системы E, а
тем самым доказательство ее семантической непротиворечивости.
Для доказательства теоремы полноты устанавливаем, что:
1. каждый закон, получаемый по Df III, есть
тавтологичная импликация в смысле [1, ї15]; 2.каждая
тавтологичная импликация есть теорема E; и 3. все принципы
ослабления как схемы формул E, доказуемы в E.
---------------------------------------------------------------
Аксиомы (схемы) системы E:
1. (AB)A. 2. (AB)B. 3. ((AB)(AC))(A(BC)). 4. A(AB).
5. B(AB). 6. ((AC)(BC))((AB)C).
7. (A(BC))((AB)(AC). 8. AA. 9. AA.
10. (AB)(BA). 11. (AB)(AB). 12. ((AA)B)B.
13. (AB)((BC)(AC)). 14. (A(AB))(AB).
Правила вывода: (AB), A |- B (m.p.); A, B |- (AB) (введение ).
Заметим, что E-11 равносильна (AA)A, а E-14 равносильна
(A(BC))((AB)(AC)).
Литература:
1. Anderson A.R., Belnap N.D. Jr Entailment. The logic of
Relevance and Necessity,. 1975. v. 1.
2. Войшвилло Е.К. Философско-методологические аспекты
релевантной логики, 1988. Изд-во Московского Университета.
3. Войшвилло Е.К. Символическая логика. Классическая и
релевантная, 1989, М., "Высшая школа".
------------------------------------------------------------
1 Система E является результатом реконструкции
А.Андерсоном и Н.Белнапом [1] системы с так называемой сильной импликацией,
сформулированной В.Аккерманом в работе, явившейся по существу началом развития
релевантной логики.
2 Указанное понимание релевантной логики, изложенное автором в [2,
3], в частности идея релевантизации существующих систем, реализована
аспирантами кафедры логики МГУ В.Шрамко в отношении интуиционистской логики и
отчасти Б.Камаевым применительно к некоторым модальным логикам.
3 Так называемые парадоксы материальной импликации возникают именно
в результате неправильного истолкования как союза "если..., то...". В лучшем
случае это правомерно для главного вхождения в общезначимой формуле AB с учетом
однако того, что она указывает на связь между истинностными значениями A и B, а
не между ситуациями, которые описывают эти высказывания.
4 Контрпозитивность A|=B (т.е. A|=B е.т.е. ЪВ|=ЪА) доказывается в
[2, 3] с использованием нормальных форм для формул КПЛ.
5 Возможно другое обоснование этой схемы при более точном учете
смысла AB, соотнесенной с некоторым миром . В ней утверждается необходимая
связь между ситуациями A и B, а именно отношение детерминированности B при
наличии A. Это значит, что при AB невозможно АЪВ, а тем самым имеем Ъ(АЪВ), что
эквивалентно - согласно Df I - ЪАВ. Указанная здесь трактовка AB
существенна для приложений E, например в логике научного познания.