TheLib.Ru » Энциклопедии » БСЭ » Большая Советская Энциклопедия (ПР) » онлайн-чтение (стр. 13)

 

 

А,которое и называется пределом функции fв точке x 0,(или при x® x 0) при этом пишется

или

f( x) ® Aпри x ® x 0

 В силу этого определения на П. функций переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

  Определение П. функции можно сформулировать и не прибегая к понятию П. последовательности: число Аназывается пределом функции fв точке x 0,если для любого числа e > 0 существует такое число d > 0, что для всех точек х¹ x 0,удовлетворяющих условию ½ х - x 0½ < d , x¹ x 0,выполняется неравенство ½ f( x) -A½ < e.

  Все основные элементарные функции: постоянные, х a , a x, sin x,cos x,tg xи ctg xи arcsin x,arccos x,arctg xи arcctg xво всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция

,

являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q= 1/(1 + x 2) ,0 < q< 1 ,в точке х= 0 имеет П., равный 1, ибо f( x) = 1 + x 2при x¹ 0 .Этот П. не совпадает со значением функции fв нуле: f(0) = 0. Функция же

, x¹ 0,

вовсе не имеет П. при х® 0 ,ибо уже для значений x n= 1 /(p/2 + p n) последовательность соответствующих значений функции f( x n) = ( -1) n не имеет П.

  Если П. функции при х® х 0равен нулю, то она называется бесконечно малой при х® х 0.Например, функция sin xбесконечно мала при х® 0 .Для того чтобы функция fимела при х® х 0П., равный А,необходимо и достаточно, чтобы f( x) = A+ a( x) ,где a( х) является бесконечно малой при х® х 0

 Если при определении П. функции fв точке x 0рассматриваются только точки х,лежащие левее (правее) точки x 0,то получающийся П. называется пределом слева (справа) и обозначается  (соответственно ).

 Функция имеет П. в некоторой точке, если её П. слева в этой точке равен её П. справа. Понятие П. функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности:

, ,

  Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х,удовлетворяющих условию x > d, выполняется неравенство ½ f( x) - А½ < e.

  Примером функций, всегда имеющих П., являются .Так, если функция fопределена на интервале ( а, b) и не убывает, то в каждой точке х, а< х< b,она имеет конечный П. как слева, так и справа; в точке в П. справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция fограничена снизу, а в точке bП. слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к П. может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f( x) = x  при х® 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

  Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция fимеет в точке x 0П. в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х'и х'',удовлетворяющих условию ½ х’ - x 0½ < d, ½ x'' - x 0½ < d, x'  ¹ x 0, x'’¹ x 0,выполняется неравенство ½ f( x'') - f( x')½ < e.

  Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных П. вида , ,  и т.д.; в этих случаях функция f  называется бесконечно большой при х® х 0,При х® х 0+ 0 или При х® +Ґ соответственно и т.д. Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х,удовлетворяющих условию х< -d, выполняется неравенство f( x) > e .

  Расширение понятия предела функции. Если функция fопределена на некотором множестве Ечисловой прямой и точка x 0такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е,то аналогично данному выше определению П. функции, заданной в некоторой окрестности точки x 0,кроме, быть может, самой точки x 0,определяется понятие предела функции по множеству Е

,

для этого следует лишь в определении П. всегда дополнительно требовать, чтобы точка хпринадлежала множеству Е: хО Е.  П. последовательности x n, n= 1, 2 ,..., является при таком определении понятия П. частным случаем П. функции по множеству, а именно функции f,определённой на множестве натуральных чисел n формулой f( n) = x n, n= 1, 2 ,....

  Функция, равная нулю при рациональных хи единице при иррациональных, не имеет П. при х® 0 ,однако по множеству рациональных чисел она при х® 0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным переменным, например . Распространяется понятие П. и на функции, которые могут принимать не только действительные, но и комплексные значения.

  Предел интегральных сумм. Ещё одно важное понятие П. возникает при определении .Пусть, например, функция fопределена на отрезке [ a, b] .Совокупность { x i} таких точек x i,что

  a= x 0< x 1< ...< x i< ...< x n-1< x n  = b,

 наз. разбиением отрезка [ a, b]. Пусть x i-1 Ј x I  < x i,D x i =   x i- x i-1, i= 1, 2,..., n.Тогда сумма f(x 1 )D x 1+ f(x 2 )D x 2+ ...+ f(x n )D x nназывается интегральной суммой функции f. Число Аявляется пределом интегральных сумм и называется определённым интегралом:

,

если для любого e > 0 существует такое d > 0, что каково бы ни было разбиение { xi} отрезка [ a, b] ,для которого D x i < d, и каковы бы ни были точки x i, x i-1  Ј x I  Ј x i, i= 1, 2,..., n,выполняется неравенство

½ f(x 1)D x 1+ f(x 2)D x 2+... + f(x n)D x n   - A| < e.

  Понятие П. интегральных сумм может быть введено и с помощью П. последовательности.

  Обобщения понятия предела. Ввиду разнообразия употребляемых в математике специальных видов понятия П. естественно возникло стремление включить их как частный случай в то или иное общее понятие П. Например, можно ввести понятие П., обобщающее как понятие П. функции, так и понятие П. интегральных сумм. Система S непустых подмножеств некоторого множества Еназывается направлением, если для каждых двух подмножеств Аи Вэтой системы выполняется одно из включений АМ Вили BМ Aи пересечение всех множеств из S пусто. Пусть на множестве Езадана числовая функция f.Число аназывается пределом функции fпо направлению S, если для любого e > 0 существует такое множество Аиз S, что во всех его точках выполняется неравенство | f( x) - а| < e .При определении П. функции fв точке x 0за направление следует взять совокупность всех окрестностей этой точки с достаточно малыми радиусами за вычетом самой точки х 0 .При определении П. интегральных сумм функции f, заданной на отрезке [ а, b] ,следует рассмотреть множество Е,элементами которого являются всевозможные разбиения отрезка [ а, b] с выбранными в них точками x i. Подмножества E hмножества Е,отвечающие разбиениям, длины D x i, отрезков которых не превышают h, образуют направление. П. интегральных сумм (которые, очевидно, являются функциями, определёнными на множестве Е) по указанному направлению является интеграл.

  Понятие П. обобщается на более широкие классы функций, например на функции, заданные на частично упорядоченных множествах, или на функции, являющиеся отображениями одного пространства (метрического или, более общо, топологического) на другое. Наиболее полно задача определения П. решается в топологии и означает в общем случае, что некоторый объект, обозначенный f( x) ,меняющийся при изменений др. объекта, обозначенного через х,при достаточно близком приближении объекта хк объекту х 0сколь угодно близко приближается к объекту А.Основным в такого рода понятиях П. является понятие близости объектов хи x 0 , f( x) и А,которые нуждаются в математическом определении. Только после того как это будет сделано, высказанному определению П. можно будет придать чёткий смысл и оно станет содержательным. Различные понятия близости и изучаются, в частности, в топологии.

  Встречаются, однако, понятия П. др. природы, не связанные с топологией, например понятие П. последовательности множеств. Последовательность множеств A n, n= 1, 2,..., называется сходящейся, если существует такое множество А,называемое её пределом, что каждая его точка принадлежит всем множествам A n ,начиная с некоторого номера, и каждая точка из объединения всех множеств A n ,не принадлежащая A, принадлежит лишь конечному числу A n .

  Историческая справка. К понятию П. вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью .Так, ,рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории П. Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие П. не было сформулировано, не было создано и каких-либо основ общей теории.

  Новый этап в развитии понятия П. наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. ,И. ,Б. ,Б. и др. широко используют при вычислении площадей и объёмов , метод актуальных бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, которые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положительных конечных величин. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод исчерпывания ( из Сен-Винцента, П. ,Х. и др.). На основе интуитивного понятия П. появляются попытки создать общую теорию П. Так, И. первый отдел первой книги («О движении тел») своего труда «Математические начала натуральной философии» посвящает своеобразной теории П. под названием «Метод первых и последних отношений», которую он берёт за основу своего .В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию «потенциальной» бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положит, конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о П. Понятие П., намечавшееся у математиков 17 в., в 18 в. постепенно всё больше анализировалось (Л. ,Ж. , Л. ,братья и др.) и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математического анализа.

  Современная теория П. начала формироваться в начале 19 в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования ряда основных объектов математического анализа (интегралов функций действительных и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих уравнений и т.п.). Впервые в работах О. понятие П. стало основой построения математического анализа. Им были получены основные признаки существования П. последовательностей, основные теоремы о П. и. что очень важно, дан внутренний критерий сходимости последовательности, носящий теперь его имя. Наконец, он определил интеграл как П. интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно понятие П. последовательности и функции оформилось на базе теории действительного числа в работах Б. и К. .Из дальнейших обобщений понятия П. следует отметить понятия П., данные в работах С. О. (опубликовано в 1923), американских математиков Э. Г. Мура и Г. Л. Смита (1922) и французского математика А. Картана (1937).

  Лит.:Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1-2, М., 1971-73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1-2, М., 1970; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1-2, М., 1973; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967.

  Л. Д. Кудрявцев.

Предельная равнина

Преде'льная равни'на,почти равнина, то же, что .

Предельная точка

Преде'льная то'чкамножества А,такая точка x пространства, сколь угодно близко от которой имеются отличные от x точки множества А,т. е. в любой которой содержится бесконечное множество точек из А.Характеристическим свойством П. т. множества Aявляется существование по крайней мере одной сходящейся к ней различных точек множества А.П. т. множества Ане обязана ему принадлежать. Так, например, всякая точка числовой прямой является П. т. для множества Арациональных её точек: ко всякому как рациональному, так и иррациональному числу можно подобрать сходящуюся к нему последовательность различных рациональных чисел. Не всякое бесконечное множество имеет П. т. - таково, например, множество всех целых чисел. Однако всякое бесконечное и ограниченное множество любого евклидова пространства имеет по крайней мере одну П. т.

  Лит.:Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948.

Предельная эффективность капитала

Преде'льная эффекти'вность капита'ла(англ. marginal efficiency of capital), термин буржуазной политической экономии, означающий ожидаемую на дополнительный капитал. Это понятие наиболее четко сформулировано Дж. М. (Великобритания) и получило распространение в работах представителей .По Кейнсу, П. э. к. - первое определяющее, которым руководствуется капиталист при решении вопроса об ,т.к. их размер зависит от той нормы прибыли, которую он рассчитывает получить. Вторым определяющим выступает процентная ставка на капитал. Капиталист проводит сравнение между П. э. к. и нормой .Инвестирование осуществляется лишь в том случае, если процентная ставка на капитал ниже нормы прибыли, ожидаемой от капиталовложений. Чем больше разрыв между этими показателями, тем сильнее побуждение капиталиста к инвестированию. Т. о., объём текущих инвестиций зависит от соотношения между П. э. к. и нормой процента: повышение нормы процента вызывает понижение П. э. к. и уменьшение инвестиций, понизившаяся норма процента и повысившаяся доступность ,наоборот, вызывают рост инвестиций. Кейнс исходит из предположения, что предприниматель расширяет свои инвестиции до тех пор, пока П. э. к. не снизится до уровня нормы процента. Однако такое предположение несостоятельно. Во-первых, Кейнс считает, что предприниматель применяет только .В действительности же самая возможность использования ссудного капитала обусловлена наличием собственного капитала. Поэтому вопрос о норме процента имеет подчинённое значение для предпринимателя. Во-вторых, Кейнс признаёт распространённый в буржуазной политической экономии закон убывающей производительности капитала, согласно которому с увеличением вложения каждой дополнительной единицы капитала его производительность или эффективность снижается. Однако Кейнс не отвечает на вопрос, почему с увеличением применяемого в производстве капитала норма прибыли должна снижаться и почему в конечном счёте она должна снизиться до нормы процента.

  Теория П. э. к. Кейнса является вульгарным истолкованием имеющейся в капиталистической действительности и вскрытой ещё К. Марксом тенденции нормы прибыли к понижению (см. ) .Кейнс назвал эту тенденцию снижением П. э. к. и связал её с избыточным предложением капитала. По Кейнсу, рост инвестиций приводит к созданию новых капитальных благ, конкурирующих со старыми. Расширение выпуска продукции, считает он, неминуемо должно привести к снижению цен, что уменьшит ожидаемую прибыль. Такое явление может продолжаться до тех пор, пока норма процента не превысит П. э. к. Если же норма процента упадёт до нуля, капиталы будут непрерывно предлагаться до тех пор, пока они не насытят до предела рынок. В этом случае возникнут избыточные капиталы, не находящие применения, и норма прибыли катастрофически снизится. Т. о., Кейнс даёт искажённый анализ тенденции нормы прибыли к понижению, сохраняющей свою силу и в условиях монополистического капитализма. В его толковании не проводится чёткого различия между нормой и массой прибыли, превратно объясняются причины, вызывающие снижение нормы прибыли, неправильно показывается влияние этого понижения на капиталистическое накопление.

  Лит.:Кейнс Дж. М., Общая теория занятости, процента и денег, пер. с англ., М., 1948; Хаберлер Г., Процветание и депрессия, пер, с англ., М., 1960; Блюмин И. Г., Критика буржуазной политической экономии, т. 2, М., 1962.

  С. С. Носова.

Предельно-допустимая концентрация

Преде'льно-допусти'мая концентра'ция(ПДК), максимальное количество вредного вещества в единице объёма (воздуха, воды или др. жидкостей) или веса (например, пищевых продуктов), которое при ежедневном воздействии в течение неограниченно продолжительного времени не вызывает в организме каких-либо патологических отклонений, а также неблагоприятных наследственных изменений у потомства. Для установления ПДК используют расчётные методы, результаты биологических экспериментов, а также материалы динамических наблюдений за состоянием здоровья лиц, подвергшихся воздействию вредных веществ. Уровни ПДК одного и того же вещества различны для разных объектов внешней среды (например, в СССР для свинца и его неорганических соединений ПДК в воде водоёмов хозяйственно-питьевого назначения - 0,1 мг/л,в воздухе производственных помещений - 0,01 мг/м 3,в атмосферном воздухе - 0,007 мг/м 3) .В СССР при нормировании ПДК учитывают воздействие вещества на людей любого возраста (в т. ч. и больных) в течение всей жизни, а также др. факторы (например, влияние на общий санитарный режим водоёма, возможности возникновения неприятных запахов в окружающем воздухе и т.д.). Правилами по охране поверхностных вод определены раздельные ПДК для водоёмов хозяйственно-питьевого и рыбопромыслового назначения. Установлено, что принятые уровни ПДК веществ в атмосферном воздухе, рассчитанные на охрану здоровья человека, в ряде случаев недостаточны для охраны зелёных насаждений; современной разрабатываются нормативы ПДК, учитывающие вредные влияния соответствующих веществ и на зелёные насаждения. Уровни ПДК включены в ГОСТы, санитарные нормы и др. нормативные документы, обязательные для исполнения на всей территории СССР; их учитывают при проектировании технологических процессов, оборудования, очистных устройств и пр. в порядке санитарного надзора систематически контролирует соблюдение нормативов ПДК в воде водоёмов хозяйственно-питьевого водопользования (см. ) ,атмосферном воздухе (см. ) и в воздухе производственных помещений; контроль за состоянием водоёмов рыбопромыслового назначения осуществляют органы рыбнадзора.

  В зарубежных социалистических странах перечень нормируемых веществ и уровни их ПДК аналогичны нормативам в СССР. В некоторых капиталистических странах также установлены ПДК для отдельных вредных веществ в водоёмах хозяйственно-питьевого водопользования, атмосферном воздухе и воздухе рабочих помещений. Однако, по мнению сов. учёных-гигиенистов, количество нормируемых веществ является недостаточным, а уровни их ПДК в большинстве случаев завышены.

  А. М. Сточик.

Предельное состояние

Преде'льное состоя'ниев строительной технике, состояние строительной конструкции или основания здания (сооружения), при котором они перестают удовлетворять эксплуатационным требованиям. Понятием «П. с.» пользуются при расчёте конструкций по методу того же названия, разработанному в СССР и введённому (СНиП) в 1955. По сравнению с ранее применявшимися методами (по допускаемым напряжениям и по разрушающим нагрузкам) метод расчёта по П. с. является более совершенным; он отличается полнотой оценки несущей способности и надёжности конструкций благодаря учёту вероятностных свойств действующих на конструкции нагрузок и сопротивлений этим нагрузкам, особенностей работы отдельных видов конструкций, а также пластических свойств материалов.

  В методе расчёта по П. с. вместо ранее применявшегося единого коэффициента запаса прочности используют несколько независимых коэффициентов, каждый из которых имеет определенное значение в обеспечении надёжности конструкции и гарантии от возникновения П. с. Основной из них: коэффициент безопасности по материалу (и грунту), учитывающий статистическую изменчивость прочностных свойств материалов (грунтов), а также некоторые др. факторы, исключающие или сильно затрудняющие возможность статистической оценки, например отличие сопротивлений материалов в конструкциях от определяемых испытаниями контрольных образцов; коэффициент перегрузки, учитывающий возможное отклонение величин нагрузок от исходных (нормативных) значений из-за изменчивости нагрузок и отступления от условий нормальной эксплуатации; коэффициент условий работы, учитывающий особенности действительные работы элементов конструкций, оснований, а также зданий и сооружений в целом, не отражаемые непосредственно в расчётах; коэффициент надёжности, учитывающий степень капитальности зданий и сооружений, а также значимость последствий наступления тех или иных П. с.

  Различают П. с., при которых конструкция становится непригодной к нормальной эксплуатации, и П. с., при которых она полностью утрачивает несущую способность. Пригодность к нормальной эксплуатации обычно определяется требованиями жёсткости, ограничениями осадок, трещиностойкостью и т.д. Потеря несущей способности может проявляться в виде хрупкого, вязкого, усталостного разрушения материала, изменения конфигурации конструкции, а также потери устойчивости её формы, положения и т.д. Основная цель расчёта по П. с. - предотвратить их возникновение в течение всего срока службы здания (сооружения).

  Метод расчёта по П. с. получил широкое распространение в СССР, странах - членах СЭВ и странах, входящих в Международную организацию по стандартизации и Европейский комитет по бетону. В СССР этот метод применяется также при расчёте некоторых машиностроительных конструкций, например металлических конструкций мостовых, подвесных и башенных грузоподъёмных кранов.

  Лит.:Строительные нормы и правила, ч. 2, раздел А, гл. 10. Строительные конструкции и основания. Основные положения проектирования, М., 1972; Балдин В. А. [и др.], К выходу СНиП II - А. 10-71, «Строительная механика и расчет сооружений», 1972, № 4.

  А. А. Бать, В. А. Отставнов.

Предельной полезности теория

Преде'льной поле'зности тео'рия,буржуазная теория, пытающаяся дать объяснение процессам ценообразования в условиях капиталистического  хозяйства. Возникла в последней трети 19 в. в противовес теории трудовой стоимости К. Маркса. Разрабатывалась У. С. (Великобритания), Л. (Швейцария), К. ,Э. (Австрия). Буржуазные экономисты не могли примириться с тем, что марксистская теория не только даёт объяснение процессам ценообразования, но и вскрывает источник капиталистической эксплуатации в виде и тем самым показывает основу непримиримых противоречий между двумя основными классами капиталистического общества. Конкретно-исторические условия, способствовавшие возникновению и развитию П. п. т., были связаны с вовлечением в сферу действия капиталистического рынка новых территорий и сфер хозяйства. Усиление рыночных отношений затушёвывало производственную основу ценообразования и способствовало буржуазной фетишизации рыночных процессов.