где l - один из корней трёхчлена ax 2+ bx + c, применима, если корни этого трёхчлена действительны. На практике Э. п. требуют громоздких преобразований и потому вместо них обычно пользуются теми или иными искусств. приёмами, упрощающими вычисление.
Аналогичные подстановки делаются в теории чисел при решении неопределённых уравнений 2-й степени в рациональных числах.
Эйлера постоянная
Э'йлера постоя'нная,предел
С
=0,577215 ...,
рассмотренный Л. в 1740. Эйлер дал для Сряд представлений в форме рядов и интегралов; например,
,
,
где x( s) - .Встречается в теории различных классов специальных функций, например .До сих пор неизвестно, является ли Э. п. иррациональным числом.
Эйлера уравнение
Э'йлера уравне'ние,
1) дифференциальное уравнение вида
, (*)
где a o, ..., a n-постоянные числа; при х>0 уравнение (*) подстановкой х = etсводится к с постоянными коэффициентами. Изучалось Л. с 1740. К уравнению (*) сводится подстановкой x' = ax + bуравнение
.
2) Дифференциальное уравнение вида
,
где X( x) = a 0x 4+ a 1x 3+ a 2 x 2+ a 3x+ a 4, Y( y) = а 0у 4+а 1у 3 +а 2у 2 +а 3у +a 4.Л. Эйлер рассматривал это уравнение в ряде работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение этого уравнения имеет вид F( х, у) =0, где F( х, у) -симметричный многочлен четвёртой степени от хи у.Этот результат Эйлера послужил основой теории эллиптических интегралов.
3) Дифференциальное уравнение вида
'
служащее в для разыскания экстремалей интеграла
.
Выведено Л. Эйлером в 1744.
Эйлера уравнения
Э'йлера уравне'ния,
1) в механике - динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. в 1765.
Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид
I
x
+(
I
z- I
y) w
yw
z
=
M
x,
I
y
+(
I
x- I
z) w
z
w
x= M
y, (1)
I
z
+(
I
y
- I
x) w
x
w
y
= M
z,
где
I
x,
I
y,
I
z-
тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, w
х
,
w
у,
w
z-проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси,
M
x,
M
y,
M
z-гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей;
,
,
-проекции углового ускорения.
Кинематические Э. у. дают выражения w х , w у, w z через j, y, q и имеют вид
w
x
=
sin q sinj +
cosj,
w
у=
sin q cosj -
sinj, (2)
w
z
=
+
cos q.
Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.
2) В гидромеханике - дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность r, проекции скоростей частиц жидкости u, u, w и проекции действующей объёмной силы X, У, Zрассматривать как функции координат x, у, zточек пространства и времени t(переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:
,
,
.
Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить u, u, w, р, r, как функции х, у, zи t.Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера
.
В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния r = j ( р) (или r -const, когда жидкость несжимаема).
Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.
Лит.:Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.
С. М. Тарг.
Эйлера формулы
Э'йлера фо'рмулыв математике, важнейшие формулы, установленные Л. .
1) Э. ф., связывающие тригонометрические функции с показательной (1743):
e ix= cos х + isin х,
,
.
2) Э. ф., дающая разложение функции sin хв бесконечное произведение (1740):
.
3) Тождество Эйлера о простых числах:
,
где s= 1, 2,..., и произведение берётся по всем простым числам р.
4) Тождество Эйлера о четырёх квадратах:
( a 2+ b 2 + c 2 + d 2)( p 2 + q 2 + r 2 + s 2 = x 2 +y 2 +z 2 +t 2, где
,
,
,
.
5) формула Эйлера о кривизнах (1760):
.
Она даёт выражение кривизны 1 /Rлюбого нормального сечения поверхности через её главные кривизны 1 /R 1и 1/ R 2и угол j между одним из главных направлений и данным направлением.
Эйлеру принадлежит также суммирования, для коэффициентов разложений функций в .
Лит.см. при ст. .
Эйлера функция
Э'йлера фу'нкция,число j( а) натуральных чисел, меньших, чем а, и взаимно простых с а:
,
где p 1, ..., p k-простые делители числа а.Введена Л. в 1760-61. Если числа аи bвзаимно просты, тоj( ab) = j( а) j( b). При т>1 и наибольшем общем делителе ( а, m) =1, а, m- взаимно просты, имеет место a j( m) =1 (mod m) (теорема Эйлера). Э. ф. встречаются во многих вопросах .
Эйлера числа
Э'йлера чи'слав математике, целые числа Е п, являющиеся коэффициентами при t n/ n!, в разложении функции 1 /ch t(см. ) в степенной ряд:
Введены Л. в 1755. Э. ч. связаны рекуррентным соотношением ( Е+1) n+( E¾1) n= 0, n= 1, 2, 3,..., E 0= 1 (после возведения в степень надо вместо E kподставить E k) и с -соотношениями
,
и
.
Встречаются в различных формулах математического анализа.
Эйлера число
Э'йлера число',один из движения жидкостей или газов. Характеризует соотношение между силами давления, действующими на элементарный объём жидкости или газа, и инерционными силами. Э. ч. Euопределяют формулой
(иногда 2
p/ru
2), где
p
2,
p
1-давления в двух характерных точках потока (или движущегося в нём тела), ru
2/2- скоростной напор, r - плотность жидкости или газа, u
-скорость течения (или скорость тела). В случае течений жидкости с
аналогичный критерий называется числом кавитации
,
где p 0-характерное давление, р н -давление насыщенных паров жидкости. В сжимаемых газовых потоках Э. ч. в форме Eu= 2 p/ru 2связано с другими критериями подобия - Ми отношением удельных теплоёмкостей среды g -формулой Eu =2 /g M 2, где g = c p/ c v( c p -удельная теплоёмкость при постоянном давлении, c v-то же при постоянном объёме). Названо по имени Л. .
Эйлера-Маклорена формула
Э'йлера-Макло'рена фо'рмула,формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:
где B v- , R n-остаточный член. Э.-М. ф. применяется для приближённого вычисления определённых интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Например, при m =1, р =0, n =2 m +1,
Э. - М. ф. даёт следующее выражение:
.
Э.-М. ф. была впервые приведена Л. в 1738. Независимо формула была открыта позднее К. (1742).
Эйлера-Фурье формулы
Э'йлера-Фурье' фо'рмулы,формулы для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд (ряд Фурье). Э.-Ф. ф. названы по имени Л. , давшего (1777) первый их вывод, и Ж. , систематически (начиная с 1811) пользовавшегося тригонометрическими рядами при изучении задач теплопроводности. См. , .
Эйлерова характеристика
Э'йлерова характери'стикамногогранника, число a o-a 1+a 2, где a o- число вершин, a 1- число рёбер и a 2- число граней многогранника. Если многогранник выпуклый или гомеоморфен (см. ) выпуклому, то его Э. х. равна двум (теорема Л. Эйлера, 1758, известная ещё Р. Декарту).
Э. х. произвольного комплекса есть число
, где
n- размерность комплекса, a
o
-число его вершин, a
1
-число его рёбер, вообще a
k
есть число входящих в комплекс
k-мерных симплексов. Оказывается, что Э. х. равна
(формула Эйлера-Пуанкаре), где p
k
есть
k-мерное число Бетти данного комплекса (см.
)
.Отсюда следует топологическая инвариантность Э. х. Ввиду топологической инвариантности Э. х. говорят об Э. х. поверхности, а также полиэдра, подразумевая под этим Э. х. любой триангуляции этой поверхности (этого полиэдра).
Лит.:Александров П. С., Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии. 2 изд., М., 1976.
Эйлеровы интегралы
Э'йлеровы интегра'лы,интегралы вида
(1)
(Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л. в 1730-31, ранее рассматривалась И. и Дж. ) и
(2)
[Э. и. второго рода, или
,
рассмотренная Л. Эйлером в 1729-30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название «Э. и.» дано А.
.Э. и. позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные коэффициенты
и факториал
n!, ибо, если
аи
b- натуральные числа, то
, Г (
а+1) =
а!
Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, если аи bположительны, и перестают существовать, если аи bотрицательны. Имеют место соотношения
В (
a,
b)
=B (
b,
a),
;
последнее сводит бета-функцию к гамма-функции. Существует ряд соотношений между Э. и. при различных значениях аргумента, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Э. и. можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов аи b. Э. и. встречаются во многих вопросах теории , к ним сводятся многие определённые интегралы, не выражаемые элементарно. Э. и. называется также интеграл
выражающий т. н. .
Лит.:Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Артин Е., Введение в теорию гамма-функций, пер. с нем., М.- Л., 1934; Уиттекер Е. Т., Ватсон Д. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.
Эйлеровы углы
Э'йлеровы углы',углы j, q, y определяющие положение прямоугольной декартовой системы координат OXYZотносительно другой прямоугольной декартовой системы координат Oxyzс той же (см. рис. ). Пусть OK -ось (линия узлов), совпадающая с линией пересечения координатной плоскости Охупервой системы с координатной плоскостью ОХУвторой системы и направленная так, что оси Oz, OZ, OKобразуют тройку той же ориентации. Тогда Э. у. будут: j - угол собственного вращения - угол между осями Oxи OK, отсчитываемый в плоскости Охуот оси Oxв направлении кратчайшего поворота от Oxк Оу, q - угол нутации, не превосходящий p -угол между осями Ozи OZ; y - угол прецессии - угол между осями OKи OX, отсчитываемый в плоскости ОХУот оси OKв направлении кратчайшего поворота от OXк ОУ. При q = 0 или p Э. у. не определяются. Введены Л. в 1748. Широко используются в динамике твёрдого тела (например, в теории ) и небесной механике.
Рис. к ст. Эйлеровы углы.
Эйлер-Хельпин Ханс Карл Август Симон фон
Э'йлер-Хе'льпин(Euler-Chelpin) Ханс Карл Август Симон фон (15.2.1873, Аугсбург, Германия, - 6.11.1964, Стокгольм), шведский биохимик, член Королевской шведской АН. Потомок Л. .Отец У. .Окончил мюнхенскую АХ (1893), затем изучал химию и медицину в университетах Берлина, Страсбура и Гёттингена. Организатор и председатель (1908-63) Шведского химического общества. Профессор Стокгольмского университета (1906-29), директор Института органической химии и института витаминов (с 1929). Основные работы посвящены изучению механизма различных биохимических процессов. Исследовал кинетику и выяснил механизм ферментации сахаров. Отметил увеличение скорости химических реакций в живых организмах под действием ферментов и предложил назвать это явление .Изучал структуру и механизм действия витамина А (совместно с П. ) и доказал, что b-каротин является провитамином А и содержится в пигменте глаза. Внёс значительный вклад в изучение биохимии опухолей. Нобелевская премия (1929, совместно с А. ) .Э.-Х. - иностранный член АН СССР (1927).
Соч.: Grundlagen und Ergebnisse der Pflanzenchemie, Tl 1-3, Braunschweig, 1908-09; Chemie der Enzyme, 3 Aufl., Tl 1-2, Mьnch., 1925¾34.
Лит.:Тютюнник В. М., Ганс Карл Август Симон фон Эйлер-Хелпин, «Журнал
Всесоюзного хим. общества им. Д. И. Менделеева», 1975, т. 20, № 6, с. 642-43.
Эймёйден
Эймёйден(Ijmuiden), город и порт в Нидерландах, в провинции Северная Голландия, на Северном море. Аванпорт Амстердама, с которым Э. связывает канал Нордзе (или Амстердамский). Входит в амстердамскую агломерацию. Центр чёрной металлургии; химическая, цементная промышленность.
Эймер Теодор Густав Генрих
Э'ймер(Eimer) Теодор Густав Генрих (22.2.1843, Штефа, близ Цюриха, Швейцария, - 29.5.1898, Тюбинген), немецкий зоолог. Изучал медицину и естественной науки в университетах Тюбингена, Фрейбурга, Гейдельберга, Берлина. Доктор философии (1869). Профессор политехникума в Дармштадте (с 1874) и университета в Тюбингене (с 1875). Основные труды по морфологии, гистологии и физиологии беспозвоночных и позвоночных животных, изучению вариаций окраски у кишечнополостных, чешуекрылых и ящериц. В теоретических работах отстаивал положение о наследовании приобретённых признаков и представления об автономном развитии признаков организмов в заранее заданном определённом направлении (см. ) .В вопросе о происхождение организмов был сторонником .Представитель так называемого «классического трансформизма».
Соч.: Zoologische Studien auf Capri, [Tl] 1-2, Lpz., 1873-74; Die Entstehung der Arten auf Grund von Vererben erwerbener Eigenschaften..., Tl 1-3, Jena - Lpz, 1888-1901.
Эймери шельфовый ледник
Э'ймери ше'льфовый ледни'к(Amery Ice Shelf), в Восточной Антарктиде, между Берегами Ларса Кристенсена и Ингрид Кристенсен. Протяжённость более 200 км, толщина от 400 до 800 м.В глубину материка простирается на 250 км.На Ю. причленяется к леднику Ламберта (основному источнику питания). Площадь около 40 тыс. км 2, в 1964 от Э. ш. л. откололся гигантский айсберг площадью около 11 тыс. км 2 .Открыт в 1931 Британско-австралийско-новозеландской экспедицией (БАНЗАРЭ). Назван в честь В. Б. Эймери - представителя правительства Великобритании в Австралии. В 1968 на леднике работала временная австралийская станция - База Эймери. С 1971 по 1974 в районе Э. ш. л. советская антарктическими экспедициями были выполнены комплексные геолого-географические исследования, для чего на леднике была создана временная станция Содружество.
Эймерии
Эйме'рии,внутриклеточные паразитические простейшие из отряда .
Эйнар Йоунссон
Э'йнар Йо'унссон(Einar Jуnsson) (11.5.1874, Гальтафедль, - 18.10.1954, Рейкьявик), исландский скульптор. В 1893-99 учился в Копенгагене у С. Синдинга и в АХ. В 1915-19 работал в США. Крупнейший исландский ваятель 20 в., Э. И. создавал монументальные композиции, близкие стилю «модерн» (памятник Ингольфру Арнарсону в Рейкьявике, см. илл. ), реалистические портреты («Э. К. Прайс», см. илл. ).
Лит.:[Grцndal В., Behrens С.], Einar Jуnsson, Stockh., 1954.
Рейкьявик. Памятник Ингольфру Арнарсону. 1907. Скульптор Эйнар Йоунссон.
Эйнар Йоунссон. Портрет Э. К. Прайса. Мрамор. Ок. 1915-19. Филадельфийский музей искусства.
Эйнауди Луиджи
Эйна'уди(Einбudi) Луиджи (24.3.1874, Карру, близ г. Кунео, - 30.10.1961, Рим), политический и государственный деятель Италии, видный экономист. Окончил Туринский университет. Издавал ряд экономических журналов, преподавал в Миланском и Туринском университетах. С 1943 до 1945 в эмиграции, в Швейцарии. В 1945-48 управляющий Банком Италии. В 1945 стал член Консультативной ассамблеи, в 1946 избран в Учредительное собрание по спискам Либеральной партии. В 1947-48 заместитель председатель Совета Министров и министр бюджета. В 1948-55 президент Италии. В 1955 назначен пожизненно сенатором. Автор работ по вопросам экономики и финансов. Действительный и почётный член многих академий и научных обществ (итальянских и зарубежных).
Эйнгард
Э'йнгард,Эйнхард, Эгингард (Einhard, Eginhard) (ок. 770, Майнгау, - 14.3.840, Зелигенштадт), деятель , сподвижник Карла Великого. Получил образование в школе Фульдского монастыря. При дворе Карла Великого обратил на себя внимание познаниями в различных областях науки и искусства, стал активным член «Академии». Руководил постройкой собора в Ахене, дворца в Ингельхейме и др. Написанная им после смерти императора «Жизнь Карла Великого» (на латинском яз.) пользовалась в средние века большой популярностью. Это сочинение насыщено большим фактическим материалом, однако ради прославления Карла Э. допускал искажения в описании его внешней политики, войн. Сохранилось несколько его произведений религиозного характера и более 60 писем.
Соч.: Vie de Charlemagne, P., 1923.
Лит.:Kleinclausz A., Eginhard, P., 1942.
Эйндховен
Э'йндховен(Eindhoven), город в Нидерландах, в провинции Северный Брабант, на р. Дроммел. 192,6 тыс. жит. (1977), в агломерации 360,7 тыс. жит. Важный транспортный узел. Крупный центр электротехнической и электронной промышленности (заводы концерна «Филипс», выпускающие радио- и телеаппаратуру, звукозаписывающую и звуковоспроизводящую аппаратуру, электронные компоненты, бытовые электроприборы и т.п.). Автостроение, производство велосипедов. Лёгкая (текстильная, кожевенная, обувная отрасли) и пищевая промышленность. Технический университет (с 1956). Музей концерна «Филипс».
Эйнзидель Иоганн Август фон
Э'йнзидель(Einsiedel) Иоганн Август фон (4.3.1754, Лумпциг, близ г. Альтенбург, - 8.5.1837, замок Шарфенштейн, близ г. Цшопау), немецкий философ-материалист, друг И. В. Гёте и И. Г. Гердера (последнему принадлежат выписки из сочинений Э., впервые изданные в ГДР, - «Ideen», В., 1957). Задача философии, по Э., - «свести духовный мир к миру телесному»; согласно Э., мысли - «движения мозга», вызываемые воздействием на органы чувств внешнего мира. Отвергая библейский миф о творении и учение о бессмертии души, Э. отстаивал идею естественного возникновения жизни и происхождения человека. Считал религию результатом невежества, христианство характеризовал как религию рабов. Критиковал религиозную мораль, утверждая, что «истинная мораль» безрелигиозна. С просветительских и демократических позиций Э. выступал против абсолютизма и феод. порядков, осуждал политический и духовный гнёт. Он был убеждён в грядущем наступлении «золотого века», когда прекратятся войны, исчезнут неравенство, несправедливость и эгоизм, а труд станет удовольствием. Утопические представления Э. о будущем обществе носили следы мелкобуржуазных иллюзий.
Лит.:Гулыга А. В., Из истории немецкого материализма, М., 1962; Stiehler G., A. von Einsiedel, в сборнике: Beitrдge zur Geschichte des vormarxistischen Materialismus, B., 1961; Stolpe H., Materialistische Strцmungen im klassischen Weimar, «Weimar Beitrдge», 1963, № 3.
Б. В. Мееровский.
Эйнманн Эдуард
Э'йнманнЭдуард [р. 10(23).1.1913, дер. Кулламаа, ныне Раплаского района Эстонской ССР], советский график и живописец, народный художник Эст. ССР (1963), член-корреспондент АХ СССР (1958). Член КПСС с 1948. Учился в Таллине в Государственном высшем художественном училище - училище прикладного искусства им. Я. Коорта (1938-41). В 1944-51 преподавал в Тартуском художественном институте (в 1948-51 директор). Основатель Союза художников Эстонской ССР (1943), председатель правления (1950-57). Для Э. - мастера портретных рисунков и гравюры, характерны стремление объективно и всесторонне передать физический и духовный склад человека, тщательная светотеневая моделировка («В. Лойк», уголь, 1955, «Лейли из Вигала», сангина, 1958, «С. Корн», сухая игла, 1960). Награжден орденом Ленина, 3 другими орденами, а также медалями.
Лит.:Bernatein В., Е. Einmann, Tallinn, 1956.
Э. Эйнманн. Портрет Р. Уутмаа. Уголь. 1965.
Эйнтховен Виллем
Э'йнтховен(Einthoven) Виллем (21.5.1860, Самаранг, о. Ява, - 29. 9.1927, Лейден, Нидерланды), нидерландский физиолог. Окончил университет в Утрехте (1885). С 1885 профессор физиологии Лейденского университета. Основные труды по электрофизиологии. Математический анализ электрокардиограмм позволил Э. внести существенные уточнения в расшифровку электрических реакций сердца. В 1903 созданием струнного гальванометра Э. положил начало клинической электрокардиографии. Э. принадлежат идея трёх отведений токов сердца, схема треугольника (треугольник Э.), иллюстрирующая изменение высоты зубцов электрокардиограммы и их взаимодействие в зависимости от способа отведения, физиологическое объяснение каждого зубца и интервала электрокардиограммы. Предложил (1913) .Один из первых исследователей в области нейроэлектрофизиологии. Выявил импульсную активность в т. н. депрессорном нерве, зарегистрировал импульсную активность в нервных путях симпатической системы. Нобелевская премия (1924).
Соч.: Neues Galvanometer, «Annalen der Physik», 1903, Bd 12; Ьber die Deutung des Elektrokardiogramms, «Pflьgers Archiv fьr die gesamte Physiologie des Menschen und der Tiere», 1913, Bd l49; Das Saitengalvanometer und die Messung der Aktionsstrцme des Herzens, в кн.: Les prix Nobel en 1924-1925, Stockh., 1926.
Лит.:Самойлов А. Ф., Воспоминания о профессоре Вильгельме Эйнтховене, в его кн.: Избр. статьи и речи, М.- Л., 1946; Wenckebach (Wien), W. Einthoven, «Deutsche medizinische Wochenschrift», 1927, Jg 53, № 51, S. 2176.
Л. В. Соколова.
«Эйнхейт»
«Э'йнхейт»(«Einheit»), журнал, издаваемый ЦК Социалистической единой партии Германии; см. .
Эйнштейн Альберт
Эйнште'йн(Einstein) Альберт (14.3.1879, Ульм, Германия, - 18.4.1955, Принстон, США), физик, создатель и один из создателей квантовой теории и статистической физики. С 14 лет вместе с семьей жил в Швейцарии. По окончании Цюрихского политехникума (1900) работал учителем сначала в Винтертуре, затем в Шафхаузене. В 1902 получил место эксперта в федеральном патентном бюро в Берне, где работал до 1909. В эти годы Э. были созданы специальная теория относительности, выполнены исследования по статистической физике, броуновскому движению, теории излучения и др. Работы Э. получили известность, и в 1909 он был избран профессором Цюрихского университета, затем Немецкого университета в Праге (1911-12). В 1912 возвратился в Цюрих, где занял кафедру в Цюрихском политехникуме. В 1913 был избран членом Прусской и Баварской АН и в 1914 переехал в Берлин, где был директором физического института и проф. Берлинского университета. В берлинский период Э. завершил создание общей теории относительности, развил далее квантовую теорию излучения. За открытие законов фотоэффекта и работы в области теоретической физики Э. была присуждена Нобелевская премия (1921). В 1933 он был вынужден покинуть Германию, впоследствии в знак протеста против фашизма отказался от германского подданства, вышел из состава академии и переехал в Принстон (США), где стал членом Института высших исследований. В этот период Э. пытался разработать единую теорию поля и занимался вопросами космологии.