Страница:
Гарднер Мартин
Остров пяти красок
Мартин ГАРДНЕР
ОСТРОВ ПЯТИ КРАСОК
В Монровии, столице Либерии, есть только один магазин москательных товаров. Когда я сказал темнокожему клерку, сколько галлонов краски мне нужно, он поднял в удивлении кустистые брови и присвистнул:
- Не иначе, как вы собрались выкрасить гору, мистер!
- Нет, - заверил я его, - не гору, всего лишь остров.
Клерк улыбнулся. Он думал, что я шучу, но я действительно собирался выкрасить целый остров в пять цветов: красный, синий, зеленый, желтый и пурпурный.
Для чего мне это понадобилось? Чтобы ответить на этот вопрос, мне придется вернуться на несколько лет назад и объяснить, почему я заинтересовался проблемой "четырех красок" - знаменитой, тогда еще не решенной проблемой топологии. В 1947 г. профессор Венского университета Станислав Сляпенарский прочитал в Чикагском университете цикл лекций по топологии и теории относительности. Я в то время был преподавателем математического факультета Чикагского университета (теперь я уже доцент). Мы подружились, и мне выпала честь представить его членам общества "Мебиус" в тот вечер, когда он прочитал свою сенсационную лекцию о "нульсторонних поверхностях". Читатели, следившие за научными достижениями Сляпенарского, должно быть, помнят, что он вскоре после этого скончался от сердечного приступа в начале 1948 г.
Проблема четырех красок была темой моей докторской диссертации. Еще до визита Сляпенарского в США мы обменялись с ним несколькими письмами, обсуждая различные аспекты этой трудной проблемы. Гипотеза о четырех красках утверждает, что для правильной раскраски любой карты (при которой любые две сопредельные страны, имеющие общий отрезок границы, будут выкрашены в различные цвета, и две страны не считаются сопредельными, если их границы имеют лишь одну общую точку) достаточно четырех красок. Страны на карте могут быть любых размеров и самых причудливых очертаний. Число их также может быть произвольным. Гипотеза четырех красок была впервые высказана одним из создателей топологии, Мебиусом, в 1860 г., и, хотя над решением ее бились лучшие умы в математике, ее не удавалось ни доказать, ни опровергнуть [рассказ написан в 1952 г.; положительное решение проблемы четырех красок было найдено в 1978 г.].
По странному стечению обстоятельств проблема четырех красок была решена для всех поверхностей, кроме сферы и плоскости. В 1890 г. Р.Дж.Хивуд доказал, что для раскраски поверхности тора (поверхности бублика) необходимо и достаточно семи красок, а в 1934 г. Филип Франклин доказал, что шести красок достаточно для раскраски карт на односторонних поверхностях типа листа Мебиуса и бутылки Клейна.
Открытие Сляпенарским нульсторонних поверхностей возымело далеко идущие последствия для изучения свойств бутылки Клейна и произвело подлинный переворот в исследованиях по проблеме четырех красок. Как сейчас вижу мощную фигуру Сляпенарского, который, улыбаясь и теребя бородку, говорит: "Дорогой Мартин, если история топологии чему-нибудь и учит, то только тому, что следует ожидать самых неожиданных и удивительных связей между, казалось бы, совершенно не связанными между собой топологическими проблемами".
Развивая некоторые идеи Сляпенарского, я опубликовал в 1950 г. свою известную работу с опровержением "доказательства" Хивуда (полагавшего, что для правильной раскраски карты плоскости необходимо и достаточно пяти красок). По всеобщему убеждению топологов, для правильной раскраски плоскости или сферы достаточно четырех красок, но в свете новейших достижений становится ясно, что от строгого доказательства такого утверждения мы в настоящее время находимся дальше, чем когда-либо.
Вскоре после выхода в свет моей работы по проблеме четырех красок мне довелось завтракать в университетском клубе "Четырехугольник" с профессором Альмой Буш. Альма - один из ведущих наших антропологов и, несомненно, самая красивая женщина во всем университете. Хотя ей уже под сорок, выглядит она молодо и весьма женственна. Глаза у нее светло-серые, и когда Альма о чем-то думает, то имеет обыкновение чуть-чуть их щурить.
Альма только что вернулась из экспедиции на небольшой остров, расположенный в нескольких сотнях миль от побережья Либерии у западной кромки африканского материка. Она возглавляла группу студентов-антропологов, изучавших нравы и обычаи пяти племен, населявших остров. Племена эти представляли огромный интерес для антрополога, так как их обычаи варьировались в необычайно широких пределах.
- Остров разделен на пять областей, - сообщила мне Альма, вставляя сигарету в длинный мундштук из черной пластмассы.
- Все они граничат друг с другом. Это важно для понимания тамошних нравов. Общность границ позволяет племенам поддерживать некое единство культур. Что с тобой, Марти? Почему у тебя такой изумленный вид?
Я застыл, так и не донеся вилку до рта, и медленно положил ее на стол.
- Потому, что ты рассказываешь невероятные вещи. Такого просто не может быть.
Альма была уязвлена:
- Чего не может быть?
- Пяти племен, имеющих общие границы. Это противоречит знаменитой проблеме четырех красок.
- Противоречит чему?
- Проблеме четырех красок, - повторил я. - Есть такая проблема в топологии. Хотя она никем не доказана и не опровергнута, никто не сомневается, что она верна.
Я принялся концом ложки чертить на скатерти, пытаясь объяснить Альме, в чем здесь дело.
Альма быстро схватила общую идею.
- Может быть, у островных племен другая математика? - высказала она предположение, щурясь от дыма сигареты.
Я покачал головой.
- Математика, дорогая моя, едина для всех культур. Дважды два всегда четыре, даже в Африке.
Альма не разделяла моего мнения. Она сказала, что в математическом мышлении первобытных обществ имеются весьма значительные культурные "вариации". Лично ей известно, добавила она, одно племя, стоящее на крайне низком уровне развития, члены которого считают, что если к двум лодкам прибавить две лодки, то неизменно получится пять лодок.
- Значит, они просто не умеют считать, - заметил я.
- Так, как ты, - добавила Альма. В ее серых глазах прыгали смешинки.
- Видишь ли, Альма, - сказал я, когда мы приступили к малиновому компоту, - если твой остров действительно разделен так, как ты говоришь, на пять областей, каждая из которых имеет общую границу с четырьмя другими областями, то я начинаю верить в математические способности твоих островитян. Нет ли у тебя карты острова?
Альма покачала головой:
- Топографические съемки острова никогда не проводились. Надеюсь, нам удастся положить его на карту по возвращении.
Разумеется, слова Альмы мало в чем убедили меня, но она упрямо стояла на своем, и я никак не мог разобрать, говорит ли она серьезно или просто разыгрывает меня.
- А почему бы тебе не отправиться с нами? - предложила Альма, стряхивая пепел. - Я пробуду там с месяц. Мне нужно проверить кое-какие данные перед тем, как опубликовать их, а ты тем временем займешься топографической съемкой острова. Если то, о чем я тебе рассказала, не подтвердится, обязуюсь возместить твои расходы.
Что я терял? Разумеется, мысль о розыгрыше по-прежнему не оставляла меня, но вскоре должны были начаться летние каникулы, а путешествие обещало быть приятным и необычным. Кроме того, мне давно хотелось посмотреть, как работают антропологи, и когда мы с Альмой не спорили, то отношения между нами не оставляли желать лучшего.
Из Нью-Йорка в Монровию мы отправились на теплоходе. В Монровии был небольшой аэродром, откуда до острова можно было добраться на самолете, совершавшем еженедельно рейс туда и обратно. На остров по воздуху доставлялись различные припасы, а с острова на материк - кокосовые орехи, служившие сырьем для добывания пальмового масла, и кофе, которые составляли две основные статьи экспорта. Альма отвела мне место в палатке, в которой студенты-антропологи устроили свой штаб.
Небо было безоблачным, солнце палило немилосердно. Я облачился в шорты и рубашку цвета хаки и огромный пробковый шлем, защищавший мою голову от палящих лучей солнца. Альма также переоделась в шорты, но, должен признаться, выглядела в них лучше, чем я.
Лагерь наш был расположен на полянке у самой опушки девственного тропического леса. Стоило сделать шаг, как из-под ног в разные стороны разбегались сотни юрких ящерок. В воздухе стоял неумолчный гул несметных полчищ мух и москитов, но мы обильно умащивали все открытые части тела какой-то отвратительно пахнувшей жидкостью для отпугивания насекомых, и мошкара беспокоила нас значительно меньше, чем можно было ожидать.
На второй день нашего пребывания на острове Альма познакомила меня с одним из островитян по имени Агуз. По-английски Агуз не говорил, но Альма уже в достаточной мере владела местным диалектом, чтобы общаться с ним. Это был высокий добродушный негр с крутыми скулами, ослепительно белыми зубами и темно-коричневой кожей приятного теплого оттенка. Мощный торс был обнажен, только на шее красовался галстук-бабочка. Брюки Агуза заканчивались на несколько дюймов выше лодыжек, выставляя на всеобщее обозрение носки в красную и желтую клеточку. С кожаного ремня свисал брелок со значком какого-то университетского клуба. Когда мы обменялись рукопожатиями, Агуз что-то прорычал.
- Он счастлив познакомиться с вами, - перевела Альма.
Агуз был одним из членов племени хийику, составлявшего интеллектуальную элиту острова. Лет десять назад, пояснила Альма, группа антропологов из Принстонского университета занималась изучением обычаев хийику, и Агуз перенял у них манеру одеваться.
Альма договорилась с Агузом совершить втроем пеший поход по всему острову. К счастью, островок был невелик: площадь его не превышала 25 квадратных миль. Пустившись в путь с утра пораньше, мы могли к вечеру успеть обойти весь остров. Я прихватил с собой блокнот и коробку карандашей, чтобы набросать хотя бы грубую карту пяти областей.
Свой первый визит мы нанесли племени хийику, на территории которого был расположен наш лагерь. Деревня, где жили хийику, была скоплением круглых глиняных хижин с коническими крышами из пальмовых листьев. Соплеменники Агуза были одеты так же, как он, если не считать брелока со значком университетского клуба, подаренного Агузу одним из принстонских профессоров. Обитатели деревни высыпали из хижин и, покуривая трубки, наблюдали за нами с философской невозмутимостью. Большинство женщин сидели разбившись на мелкие группы и плели маты из пальмового волокна.
На верхнем листке своего блокнота я нарисовал круг и закрасил его синим. Точная конфигурация территории, занимаемой хийику, была неизвестна, но для моих целей было вполне достаточно и этого грубого приближения. Когда мы, двигаясь на запад, оказались на территории, занимаемой племенем вольфези, я слева от синего кружка поставил загогулину и закрасил ее в зеленый цвет.
Этот цвет я выбрал потому, что весь, с позволения сказать, костюм вольфези состоял из нитки зеленых бус. Это племя состояло из одних лишь мужчин. Альма сумела бы рассказать вам массу интересных деталей, но я опущу их и замечу только, что все мужчины вольфези были холостяками, собранными из остальных четырех племен. Вольфези составляли как бы резервуар, из которого по мере надобности черпали пополнение другие племена, когда болезнь или войны понижали численность их мужского населения ниже обычного уровня.
Вольфези все время распевали песни, плясали и произвели на меня впечатление счастливых людей, вполне довольных жизнью. Их жизнь, как объяснила мне Альма, постоянно омрачал лишь страх быть выбранным по жребию в мужья для девушки одного из четырех остальных племен. Несчастные, на которых падал жребий, нередко кончали жизнь самоубийством, бросаясь с высокой скалы. Агуз показал мне ее. На местном диалекте она называлась "кала улукиффир" - "скала несчастных".
С трудом продираясь сквозь заросли какого-то кустарника, мы вышли на берег узкой тихой речки. Огромный плот из бревен едва выступал из светлой жирной грязи, устилавшей дно реки. Агуз столкнул плот в воду, взобрался на него и принялся отталкиваться длинным бамбуковым шестом. Мы перешли вброд узкую полоску топкой грязи у берега и присоединились к нему. Лавируя шестом, Агуз направил плот вниз по течению извилистой реки.
Гигантские пальмы склонялись над нами, образуя зеленый свод, сквозь который прорывались лишь отдельные лучи света, отбрасывавшие затейливые тени и блики на поверхности реки. Время от времени мы проплывали мимо огромных, сплошь облепленных грязью крокодилов, нежившихся на мелководье.
Галстук-бабочка на шее Агуза задвигался вверх и вниз, послышались нечленораздельные звуки, которые Альма перевела мне как сообщение о том, что мы вступаем на территорию племени гезелломо. Она была расположена к северу от вольфези. Я согнал со своего блокнота огромную стрекозу и нанес на свою карту-схему красное пятно, расположив его над зеленым.
Проплыв с полмили или около того по территории гезелломо, Агуз причалил к берегу, и мы сошли на сушу. Небольшой подъем по склону сквозь заросли высокой травы - и мы на краю деревни гезелломо.
Вряд ли мне нужно подробно описывать это замечательное племя, поскольку профессор Буш обстоятельно изложила его обычаи в своей книге, которая должна вскоре выйти из печати. Скажу лишь, что гезелломо единственное из известных антропологам первобытных племен, организованное, по словам Альмы, на "филиархальной" основе. В возрасте от одного года до пяти дети здесь находятся под контролем родителей. Но начиная с пяти лет контроль переходит в руки детей, и местные обычаи предписывают родителям абсолютное повиновение.
По совету Агуза мы решили обойти деревню гезелломо стороной. Заходить в нее опасно, так как детишки считают всех взрослых заодно со своими родителями и непременно попытались бы "приспособить нас к делу". Я видел издали, как взрослые гезелломо выполняли различные мелкие поручения детей, а те стояли вокруг и либо наблюдали, либо были увлечены своими играми. Один мальчишка лет семи на наших глазах нещадно выпорол своего отца ременной плетью.
Благополучно миновав деревню, мы побрели на юго-восток. Пройдя около мили, Агуз указал на видневшиеся вдали пальмы, аккуратно посаженные рядком, и сообщил, что перед нами граница между гезелломо и хийику. Я достал свой блокнот и продолжил красное пятно до синего круга.
Усталость от трудного пути сквозь непролазные заросли кустарника в немилосердном тропическом зное брала свое. Все изрядно выбились из сил и проголодались. Мы устроили привал на крупных обломках бурого песчаника и закусили. Издали доносился слабый рокот барабанов.
Вскоре после полудня мы добрались до поселения племени бебопулу. У мужчин и женщин бебопулу существовал обычай продевать сквозь ушные раковины крупную кость.
Вся одежда бебопулу состояла из набедренной повязки. Мы прошли мимо небольшой группы бебопулу, которые били в огромные тамтамы и пели. Впоследствии Альма опубликовала в "Философикл мэгэзин" статью, в которой выдвинула теорию о том, что традиционное "продевание" кости в уши могло оказать определенное влияние на характер музыки бебопулу.
Когда мы добрались до восточной границы территории, занимаемой бебопулу, Агуз обратил наше внимание на участки, граничившие с территориями трех других племен. Насколько я мог понять, территория бебопулу, которую я закрасил пурпурным цветом, простиралась на юг, а затем на запад и, обогнув южный конец синей территории, доходила до зеленой. Я протянул свою карту-схему Альме.
- Обрати внимание на то, что синяя территория со всех сторон окружена территориями трех других цветов. Пятая территория не может иметь с ней общую границу.
Альма показала карту Агузу, и какое-то время они о чем-то говорили между собой.
- Агуз говорит, что не знает, как выглядит их остров с неба, но ты, по его словам, где-то допустил ошибку.
Я взглянул на Агуза. На лице его не дрогнул ни один мускул, но меня не покидало довольно неприятное чувство, что в глубине души он считает меня идиотом.
Последнюю территорию, которую мы посетили, населяло племя, решительно не поддающееся никакому описанию. По сути дела их отличительной особенностью и было то, что они не поддавались описанию. Даже антропологам, затратившим годы на изучение обычаев и культуры этого племени, оказалось не под силу выделить какую-нибудь их особенность.
Альма пыталась установить характерные антропологические показатели типичного представителя этого племени, но статистическая обработка, по существу, ничего не давала. У пятого племени не было вождя, оно не ведало разделения труда, родственных уз, у него не было сложившихся ритуалов по случаю рождения, вступления в брак или смерти. У племени не было религиозных воззрений и полностью отсутствовали традиции и обычаи. Более того, у племени не было даже своего названия.
Пятую территорию я закрасил желтым цветом. Мы прошли участки, граничившие с зеленой, красной или пурпурной областью, и когда Агуз, наконец, указал на противоположный берег ручейка и сообщил, что там начинается территория хийику (синяя территория), я ощутил, как у меня по спине забегали мурашки.
- Не может быть! - воскликнул я. - Иначе мы где-то должны были бы пересечь чью-то территорию!
Альма перевела мои слова Агузу. Он упрямо затряс головой.
Разумеется, я был убежден, что где-то мы допустили какую-то ошибку. Территория одного из племен могла состоять из двух несвязных кусков. Агуз мог неправильно указать границы между племенами. Какая-то ошибка непременно должна была быть! Когда мы вскоре после захода солнца вернулись в лагерь, между мной и Альмой вспыхнул спор. Альма утверждала, что я проиграл и, следовательно, должен сам покрыть издержки за поездку.
Я снял пробковый шлем и промокнул носовым платком свою лысину. Если бы раздобыть точную карту с очертаниями пяти областей! Можно было бы, конечно, произвести топографическую съемку, но для этого требовались приборы, которых у нас не было, да если бы они и были, то толку от них все равно было бы мало, так как я совершенно не умел ими пользоваться. Внезапно мне пришла в голову потрясающая идея.
- Как ты думаешь, - спросил я у Альмы, - можно было бы в Монровии взять напрокат какой-нибудь распылитель?
Альма прищурилась от дыма сигареты и сказала, что, по ее мнению, это вполне возможно.
- Если бы нам удалось раздобыть распылитель, - продолжал я, - мы могли бы пометить каждую территорию пятнами соответствующего цвета, и на цветном аэрофотоснимке форма каждой территории была бы великолепно видна.
Альма подарила мне очаровательную улыбку и заявила, что мой план великолепен. Ей в любом случае нужно было снять карту острова, а предложенный мною метод позволял выполнить эту задачу быстрее, чем другие.
- Краска за мой счет, - щедро предложила она.
Тут мы и подошли к тому самому месту, с которого я начал свой рассказ. У подрядчика, принимавшего заказы на выполнение строительных работ, мы взяли напрокат дюжину распылителей краски. Я купил двадцать тысяч галлонов самой дешевой краски, какую только смог найти, водоэмульсионную, английского производства. Вернувшись на остров, мы без труда набрали бригаду мальчишек племени хийику и обучили их, как пользоваться распылителями краски.
Агуз был назначен бригадиром. Территорию каждого племени мы метили краской того же цвета, какой был на моей "карте". Закрашивать всю территорию потребовало бы слишком больших затрат, поэтому мы решили распылять краску пятнами диаметром около десяти футов с интервалами в сто футов. С самолета территория каждого племени казалась бы раскрашенной в горошек, и границы были бы легко различимы. На открытых участках работа продвигалась быстро, но там, где земля была скрыта под почти непроницаемым пологом джунглей, нам довелось столкнуться с немалыми трудностями. Мальчишкам приходилось карабкаться на деревья и распылять краску по самым верхушкам.
Каждый день я сопровождал бригаду, чтобы проследить за работой. Все было сделано как надо. В том, что четыре территории имели общие границы, сомнений не было: у каждой из них к какому-нибудь участку границы примыкала территория другого цвета.
Решающим должен был быть пятый цвет!
К распылению желтой краски мы приступили на двенадцатый день работы. Желтая территория граничила с красной, зеленой и пурпурной. Мы приближались к синей территории. Нервы мои были напряжены до предела.
Бригада маляров медленно продвигалась сквозь подлесок. Заходившее солнце отбрасывало длинные тени. Попугай с красивым ярким оперением, получив свою порцию краски из распылителя, с шумом взлетел и скрылся, издавая пронзительные крики. Небольшая коричневая змея, обрызганная желтой краской, шипя уползла в укромное местечко. Неожиданно я схватил Альму за плечо.
- Клянусь тенью Мебиуса! - воскликнул я хрипло не в силах унять бешено колотившееся сердце. - Я вижу отсюда синие пятна!
В прекрасных серых глазах Альмы вспыхнуло торжество.
- Так кто был прав?
Я уселся на большой пень и вытер пот, градом катившийся по лицу. Голова раскалывалась от нестерпимой боли. В висках стучало. Сквозь монотонный неумолчный гул насекомых издали доносился четкий, зажигательный ритм барабанов бебопулу. Агуз стоял, поигрывая брелоком, в ожидании дальнейших приказаний.
Я был в полной растерянности. Строго говоря, пять областей никак не могли иметь общие границы. Я знал, что проблему четырех красок удалось доказать для случая, когда число стран не превышает 35. Но что если в эти доказательства вкралась какая-нибудь ошибка? Если остров действительно опровергает утверждение проблемы четырех красок, мое открытие станет одним из величайших поворотных пунктов в топологии! Я стряхнул с фляги какого-то белого муравья или термита и отхлебнул большой глоток воды. Мало-помалу мне становилось лучше.
Через несколько дней, когда очередным рейсом прилетел самолет из Монровии, мы решили произвести аэрофотосъемку острова. К сожалению, самолетик был маленьким с двумя открытыми кабинами, поэтому лететь мог только фотограф с камерой. Как только снимки будут сделаны, пилот высадит фотографа, и возьмет меня, чтобы я мог с воздуха посмотреть на раскрашенный остров.
Я нервно обмахивался шлемом и наблюдал за тем, как самолет, медленно описав круг над островом, пошел на снижение. Пробежав немного, самолет остановился, и фотограф спрыгнул на землю. Я поспешно подбежал, намереваясь занять место в кабине, но пилот, грубоватый на вид африканец, великолепно говоривший по-английски, покачал головой.
- Съемки заняли больше времени, чем я рассчитывал, - сказал он твердо. - Мне необходимо через полчаса вернуться в Монровию. Жаль, но ничего не поделаешь. Вернусь через неделю. Тогда и покатаю вас.
Напрасны были мои мольбы и просьбы. Когда самолет взлетел, я обернулся к фотографу.
- На что хоть похож остров сверху?
Фотограф нахмурился.
- Не могу вам сказать. Цвета переплелись весьма причудливо. Я пытался набросать эскиз, но задача оказалась слишком сложной, и ее пришлось оставить.
Я спросил, не состояла ли какая-нибудь область из нескольких отдельных частей, полностью окруженных другим цветом. Фотограф отрицательно покачал головой.
- Все территории были из одного куска. И все доходили до побережья.
- Гм, интересно, - пробормотал я. И тут мне в голову пришла мысль, окончательно доконавшая меня. Я стукнул себя по лбу и застонал.
Альма, думая, что мне плохо, плеснула мне в лицо холодной воды из лагерного колодца, принесенной в сосуде из высушенной тыквы. Я сел на землю и схватился за голову обеими руками, пытаясь хоть как-то унять пульсирующую боль.
Вы спросите, что случилось? Внезапно я понял, что если территория каждого племени имеет выход к морю, то море граничит с территориями всех пяти племен. Море было шестым цветом!
Проявить цветную пленку в лагере или в Монровии было невозможно. Не оставалось ничего другого, как ждать, пока мы вернемся домой.
Через три дня хлынул тропический ливень. Он шел, не переставая, до конца недели. Когда пилот прилетел на остров очередным рейсом, он сообщил, что всю краску смыло.
Нетерпение, с которым я ожидал увидеть снимки, достигло таких размеров, что я не мог дождаться, когда Альма завершит работу на острове. Обратным рейсом я улетел в Монровию, а оттуда на теплоходе вернулся в Штаты.
В Нью-Йорке я отдал проявить снимки в фотолабораторию, и когда зашел получить их через несколько дней, глаза мои были красны от бессонницы.
- Боюсь, что ваш фотограф выбрал не тот светофильтр, - сказал лаборант, показывая мне пленку на просвет.
На всех снимках остров получился сплошным темно-красным пятном! Я взял снимки и побрел вдоль улицы, бессознательно бормоча себе под нос.
Мои академические обязанности не позволяли мне вернуться на остров раньше следующей осени. Вернувшись к себе в Чикаго, я попытался рассказать коллегам об острове с пятью территориями, но, слушая меня, они только печально качали головами и вежливо улыбались. Некий профессор из Висконсина, сообщили мне коллеги, сумел доказать гипотезу четырех красок для случая, когда число стран не превышает 83. Декан предложил мне месячный отпуск.
- Вы очень устали, вам нужно отдохнуть, - были его слова.
К концу лета я снова набрал свой обычный вес. Настроение мое начало улучшаться. Я тщательно изучил расписание авиарейсов на Монровию: во мне созрело решение вернуться на остров и выкрасить его еще раз.
ОСТРОВ ПЯТИ КРАСОК
В Монровии, столице Либерии, есть только один магазин москательных товаров. Когда я сказал темнокожему клерку, сколько галлонов краски мне нужно, он поднял в удивлении кустистые брови и присвистнул:
- Не иначе, как вы собрались выкрасить гору, мистер!
- Нет, - заверил я его, - не гору, всего лишь остров.
Клерк улыбнулся. Он думал, что я шучу, но я действительно собирался выкрасить целый остров в пять цветов: красный, синий, зеленый, желтый и пурпурный.
Для чего мне это понадобилось? Чтобы ответить на этот вопрос, мне придется вернуться на несколько лет назад и объяснить, почему я заинтересовался проблемой "четырех красок" - знаменитой, тогда еще не решенной проблемой топологии. В 1947 г. профессор Венского университета Станислав Сляпенарский прочитал в Чикагском университете цикл лекций по топологии и теории относительности. Я в то время был преподавателем математического факультета Чикагского университета (теперь я уже доцент). Мы подружились, и мне выпала честь представить его членам общества "Мебиус" в тот вечер, когда он прочитал свою сенсационную лекцию о "нульсторонних поверхностях". Читатели, следившие за научными достижениями Сляпенарского, должно быть, помнят, что он вскоре после этого скончался от сердечного приступа в начале 1948 г.
Проблема четырех красок была темой моей докторской диссертации. Еще до визита Сляпенарского в США мы обменялись с ним несколькими письмами, обсуждая различные аспекты этой трудной проблемы. Гипотеза о четырех красках утверждает, что для правильной раскраски любой карты (при которой любые две сопредельные страны, имеющие общий отрезок границы, будут выкрашены в различные цвета, и две страны не считаются сопредельными, если их границы имеют лишь одну общую точку) достаточно четырех красок. Страны на карте могут быть любых размеров и самых причудливых очертаний. Число их также может быть произвольным. Гипотеза четырех красок была впервые высказана одним из создателей топологии, Мебиусом, в 1860 г., и, хотя над решением ее бились лучшие умы в математике, ее не удавалось ни доказать, ни опровергнуть [рассказ написан в 1952 г.; положительное решение проблемы четырех красок было найдено в 1978 г.].
По странному стечению обстоятельств проблема четырех красок была решена для всех поверхностей, кроме сферы и плоскости. В 1890 г. Р.Дж.Хивуд доказал, что для раскраски поверхности тора (поверхности бублика) необходимо и достаточно семи красок, а в 1934 г. Филип Франклин доказал, что шести красок достаточно для раскраски карт на односторонних поверхностях типа листа Мебиуса и бутылки Клейна.
Открытие Сляпенарским нульсторонних поверхностей возымело далеко идущие последствия для изучения свойств бутылки Клейна и произвело подлинный переворот в исследованиях по проблеме четырех красок. Как сейчас вижу мощную фигуру Сляпенарского, который, улыбаясь и теребя бородку, говорит: "Дорогой Мартин, если история топологии чему-нибудь и учит, то только тому, что следует ожидать самых неожиданных и удивительных связей между, казалось бы, совершенно не связанными между собой топологическими проблемами".
Развивая некоторые идеи Сляпенарского, я опубликовал в 1950 г. свою известную работу с опровержением "доказательства" Хивуда (полагавшего, что для правильной раскраски карты плоскости необходимо и достаточно пяти красок). По всеобщему убеждению топологов, для правильной раскраски плоскости или сферы достаточно четырех красок, но в свете новейших достижений становится ясно, что от строгого доказательства такого утверждения мы в настоящее время находимся дальше, чем когда-либо.
Вскоре после выхода в свет моей работы по проблеме четырех красок мне довелось завтракать в университетском клубе "Четырехугольник" с профессором Альмой Буш. Альма - один из ведущих наших антропологов и, несомненно, самая красивая женщина во всем университете. Хотя ей уже под сорок, выглядит она молодо и весьма женственна. Глаза у нее светло-серые, и когда Альма о чем-то думает, то имеет обыкновение чуть-чуть их щурить.
Альма только что вернулась из экспедиции на небольшой остров, расположенный в нескольких сотнях миль от побережья Либерии у западной кромки африканского материка. Она возглавляла группу студентов-антропологов, изучавших нравы и обычаи пяти племен, населявших остров. Племена эти представляли огромный интерес для антрополога, так как их обычаи варьировались в необычайно широких пределах.
- Остров разделен на пять областей, - сообщила мне Альма, вставляя сигарету в длинный мундштук из черной пластмассы.
- Все они граничат друг с другом. Это важно для понимания тамошних нравов. Общность границ позволяет племенам поддерживать некое единство культур. Что с тобой, Марти? Почему у тебя такой изумленный вид?
Я застыл, так и не донеся вилку до рта, и медленно положил ее на стол.
- Потому, что ты рассказываешь невероятные вещи. Такого просто не может быть.
Альма была уязвлена:
- Чего не может быть?
- Пяти племен, имеющих общие границы. Это противоречит знаменитой проблеме четырех красок.
- Противоречит чему?
- Проблеме четырех красок, - повторил я. - Есть такая проблема в топологии. Хотя она никем не доказана и не опровергнута, никто не сомневается, что она верна.
Я принялся концом ложки чертить на скатерти, пытаясь объяснить Альме, в чем здесь дело.
Альма быстро схватила общую идею.
- Может быть, у островных племен другая математика? - высказала она предположение, щурясь от дыма сигареты.
Я покачал головой.
- Математика, дорогая моя, едина для всех культур. Дважды два всегда четыре, даже в Африке.
Альма не разделяла моего мнения. Она сказала, что в математическом мышлении первобытных обществ имеются весьма значительные культурные "вариации". Лично ей известно, добавила она, одно племя, стоящее на крайне низком уровне развития, члены которого считают, что если к двум лодкам прибавить две лодки, то неизменно получится пять лодок.
- Значит, они просто не умеют считать, - заметил я.
- Так, как ты, - добавила Альма. В ее серых глазах прыгали смешинки.
- Видишь ли, Альма, - сказал я, когда мы приступили к малиновому компоту, - если твой остров действительно разделен так, как ты говоришь, на пять областей, каждая из которых имеет общую границу с четырьмя другими областями, то я начинаю верить в математические способности твоих островитян. Нет ли у тебя карты острова?
Альма покачала головой:
- Топографические съемки острова никогда не проводились. Надеюсь, нам удастся положить его на карту по возвращении.
Разумеется, слова Альмы мало в чем убедили меня, но она упрямо стояла на своем, и я никак не мог разобрать, говорит ли она серьезно или просто разыгрывает меня.
- А почему бы тебе не отправиться с нами? - предложила Альма, стряхивая пепел. - Я пробуду там с месяц. Мне нужно проверить кое-какие данные перед тем, как опубликовать их, а ты тем временем займешься топографической съемкой острова. Если то, о чем я тебе рассказала, не подтвердится, обязуюсь возместить твои расходы.
Что я терял? Разумеется, мысль о розыгрыше по-прежнему не оставляла меня, но вскоре должны были начаться летние каникулы, а путешествие обещало быть приятным и необычным. Кроме того, мне давно хотелось посмотреть, как работают антропологи, и когда мы с Альмой не спорили, то отношения между нами не оставляли желать лучшего.
Из Нью-Йорка в Монровию мы отправились на теплоходе. В Монровии был небольшой аэродром, откуда до острова можно было добраться на самолете, совершавшем еженедельно рейс туда и обратно. На остров по воздуху доставлялись различные припасы, а с острова на материк - кокосовые орехи, служившие сырьем для добывания пальмового масла, и кофе, которые составляли две основные статьи экспорта. Альма отвела мне место в палатке, в которой студенты-антропологи устроили свой штаб.
Небо было безоблачным, солнце палило немилосердно. Я облачился в шорты и рубашку цвета хаки и огромный пробковый шлем, защищавший мою голову от палящих лучей солнца. Альма также переоделась в шорты, но, должен признаться, выглядела в них лучше, чем я.
Лагерь наш был расположен на полянке у самой опушки девственного тропического леса. Стоило сделать шаг, как из-под ног в разные стороны разбегались сотни юрких ящерок. В воздухе стоял неумолчный гул несметных полчищ мух и москитов, но мы обильно умащивали все открытые части тела какой-то отвратительно пахнувшей жидкостью для отпугивания насекомых, и мошкара беспокоила нас значительно меньше, чем можно было ожидать.
На второй день нашего пребывания на острове Альма познакомила меня с одним из островитян по имени Агуз. По-английски Агуз не говорил, но Альма уже в достаточной мере владела местным диалектом, чтобы общаться с ним. Это был высокий добродушный негр с крутыми скулами, ослепительно белыми зубами и темно-коричневой кожей приятного теплого оттенка. Мощный торс был обнажен, только на шее красовался галстук-бабочка. Брюки Агуза заканчивались на несколько дюймов выше лодыжек, выставляя на всеобщее обозрение носки в красную и желтую клеточку. С кожаного ремня свисал брелок со значком какого-то университетского клуба. Когда мы обменялись рукопожатиями, Агуз что-то прорычал.
- Он счастлив познакомиться с вами, - перевела Альма.
Агуз был одним из членов племени хийику, составлявшего интеллектуальную элиту острова. Лет десять назад, пояснила Альма, группа антропологов из Принстонского университета занималась изучением обычаев хийику, и Агуз перенял у них манеру одеваться.
Альма договорилась с Агузом совершить втроем пеший поход по всему острову. К счастью, островок был невелик: площадь его не превышала 25 квадратных миль. Пустившись в путь с утра пораньше, мы могли к вечеру успеть обойти весь остров. Я прихватил с собой блокнот и коробку карандашей, чтобы набросать хотя бы грубую карту пяти областей.
Свой первый визит мы нанесли племени хийику, на территории которого был расположен наш лагерь. Деревня, где жили хийику, была скоплением круглых глиняных хижин с коническими крышами из пальмовых листьев. Соплеменники Агуза были одеты так же, как он, если не считать брелока со значком университетского клуба, подаренного Агузу одним из принстонских профессоров. Обитатели деревни высыпали из хижин и, покуривая трубки, наблюдали за нами с философской невозмутимостью. Большинство женщин сидели разбившись на мелкие группы и плели маты из пальмового волокна.
На верхнем листке своего блокнота я нарисовал круг и закрасил его синим. Точная конфигурация территории, занимаемой хийику, была неизвестна, но для моих целей было вполне достаточно и этого грубого приближения. Когда мы, двигаясь на запад, оказались на территории, занимаемой племенем вольфези, я слева от синего кружка поставил загогулину и закрасил ее в зеленый цвет.
Этот цвет я выбрал потому, что весь, с позволения сказать, костюм вольфези состоял из нитки зеленых бус. Это племя состояло из одних лишь мужчин. Альма сумела бы рассказать вам массу интересных деталей, но я опущу их и замечу только, что все мужчины вольфези были холостяками, собранными из остальных четырех племен. Вольфези составляли как бы резервуар, из которого по мере надобности черпали пополнение другие племена, когда болезнь или войны понижали численность их мужского населения ниже обычного уровня.
Вольфези все время распевали песни, плясали и произвели на меня впечатление счастливых людей, вполне довольных жизнью. Их жизнь, как объяснила мне Альма, постоянно омрачал лишь страх быть выбранным по жребию в мужья для девушки одного из четырех остальных племен. Несчастные, на которых падал жребий, нередко кончали жизнь самоубийством, бросаясь с высокой скалы. Агуз показал мне ее. На местном диалекте она называлась "кала улукиффир" - "скала несчастных".
С трудом продираясь сквозь заросли какого-то кустарника, мы вышли на берег узкой тихой речки. Огромный плот из бревен едва выступал из светлой жирной грязи, устилавшей дно реки. Агуз столкнул плот в воду, взобрался на него и принялся отталкиваться длинным бамбуковым шестом. Мы перешли вброд узкую полоску топкой грязи у берега и присоединились к нему. Лавируя шестом, Агуз направил плот вниз по течению извилистой реки.
Гигантские пальмы склонялись над нами, образуя зеленый свод, сквозь который прорывались лишь отдельные лучи света, отбрасывавшие затейливые тени и блики на поверхности реки. Время от времени мы проплывали мимо огромных, сплошь облепленных грязью крокодилов, нежившихся на мелководье.
Галстук-бабочка на шее Агуза задвигался вверх и вниз, послышались нечленораздельные звуки, которые Альма перевела мне как сообщение о том, что мы вступаем на территорию племени гезелломо. Она была расположена к северу от вольфези. Я согнал со своего блокнота огромную стрекозу и нанес на свою карту-схему красное пятно, расположив его над зеленым.
Проплыв с полмили или около того по территории гезелломо, Агуз причалил к берегу, и мы сошли на сушу. Небольшой подъем по склону сквозь заросли высокой травы - и мы на краю деревни гезелломо.
Вряд ли мне нужно подробно описывать это замечательное племя, поскольку профессор Буш обстоятельно изложила его обычаи в своей книге, которая должна вскоре выйти из печати. Скажу лишь, что гезелломо единственное из известных антропологам первобытных племен, организованное, по словам Альмы, на "филиархальной" основе. В возрасте от одного года до пяти дети здесь находятся под контролем родителей. Но начиная с пяти лет контроль переходит в руки детей, и местные обычаи предписывают родителям абсолютное повиновение.
По совету Агуза мы решили обойти деревню гезелломо стороной. Заходить в нее опасно, так как детишки считают всех взрослых заодно со своими родителями и непременно попытались бы "приспособить нас к делу". Я видел издали, как взрослые гезелломо выполняли различные мелкие поручения детей, а те стояли вокруг и либо наблюдали, либо были увлечены своими играми. Один мальчишка лет семи на наших глазах нещадно выпорол своего отца ременной плетью.
Благополучно миновав деревню, мы побрели на юго-восток. Пройдя около мили, Агуз указал на видневшиеся вдали пальмы, аккуратно посаженные рядком, и сообщил, что перед нами граница между гезелломо и хийику. Я достал свой блокнот и продолжил красное пятно до синего круга.
Усталость от трудного пути сквозь непролазные заросли кустарника в немилосердном тропическом зное брала свое. Все изрядно выбились из сил и проголодались. Мы устроили привал на крупных обломках бурого песчаника и закусили. Издали доносился слабый рокот барабанов.
Вскоре после полудня мы добрались до поселения племени бебопулу. У мужчин и женщин бебопулу существовал обычай продевать сквозь ушные раковины крупную кость.
Вся одежда бебопулу состояла из набедренной повязки. Мы прошли мимо небольшой группы бебопулу, которые били в огромные тамтамы и пели. Впоследствии Альма опубликовала в "Философикл мэгэзин" статью, в которой выдвинула теорию о том, что традиционное "продевание" кости в уши могло оказать определенное влияние на характер музыки бебопулу.
Когда мы добрались до восточной границы территории, занимаемой бебопулу, Агуз обратил наше внимание на участки, граничившие с территориями трех других племен. Насколько я мог понять, территория бебопулу, которую я закрасил пурпурным цветом, простиралась на юг, а затем на запад и, обогнув южный конец синей территории, доходила до зеленой. Я протянул свою карту-схему Альме.
- Обрати внимание на то, что синяя территория со всех сторон окружена территориями трех других цветов. Пятая территория не может иметь с ней общую границу.
Альма показала карту Агузу, и какое-то время они о чем-то говорили между собой.
- Агуз говорит, что не знает, как выглядит их остров с неба, но ты, по его словам, где-то допустил ошибку.
Я взглянул на Агуза. На лице его не дрогнул ни один мускул, но меня не покидало довольно неприятное чувство, что в глубине души он считает меня идиотом.
Последнюю территорию, которую мы посетили, населяло племя, решительно не поддающееся никакому описанию. По сути дела их отличительной особенностью и было то, что они не поддавались описанию. Даже антропологам, затратившим годы на изучение обычаев и культуры этого племени, оказалось не под силу выделить какую-нибудь их особенность.
Альма пыталась установить характерные антропологические показатели типичного представителя этого племени, но статистическая обработка, по существу, ничего не давала. У пятого племени не было вождя, оно не ведало разделения труда, родственных уз, у него не было сложившихся ритуалов по случаю рождения, вступления в брак или смерти. У племени не было религиозных воззрений и полностью отсутствовали традиции и обычаи. Более того, у племени не было даже своего названия.
Пятую территорию я закрасил желтым цветом. Мы прошли участки, граничившие с зеленой, красной или пурпурной областью, и когда Агуз, наконец, указал на противоположный берег ручейка и сообщил, что там начинается территория хийику (синяя территория), я ощутил, как у меня по спине забегали мурашки.
- Не может быть! - воскликнул я. - Иначе мы где-то должны были бы пересечь чью-то территорию!
Альма перевела мои слова Агузу. Он упрямо затряс головой.
Разумеется, я был убежден, что где-то мы допустили какую-то ошибку. Территория одного из племен могла состоять из двух несвязных кусков. Агуз мог неправильно указать границы между племенами. Какая-то ошибка непременно должна была быть! Когда мы вскоре после захода солнца вернулись в лагерь, между мной и Альмой вспыхнул спор. Альма утверждала, что я проиграл и, следовательно, должен сам покрыть издержки за поездку.
Я снял пробковый шлем и промокнул носовым платком свою лысину. Если бы раздобыть точную карту с очертаниями пяти областей! Можно было бы, конечно, произвести топографическую съемку, но для этого требовались приборы, которых у нас не было, да если бы они и были, то толку от них все равно было бы мало, так как я совершенно не умел ими пользоваться. Внезапно мне пришла в голову потрясающая идея.
- Как ты думаешь, - спросил я у Альмы, - можно было бы в Монровии взять напрокат какой-нибудь распылитель?
Альма прищурилась от дыма сигареты и сказала, что, по ее мнению, это вполне возможно.
- Если бы нам удалось раздобыть распылитель, - продолжал я, - мы могли бы пометить каждую территорию пятнами соответствующего цвета, и на цветном аэрофотоснимке форма каждой территории была бы великолепно видна.
Альма подарила мне очаровательную улыбку и заявила, что мой план великолепен. Ей в любом случае нужно было снять карту острова, а предложенный мною метод позволял выполнить эту задачу быстрее, чем другие.
- Краска за мой счет, - щедро предложила она.
Тут мы и подошли к тому самому месту, с которого я начал свой рассказ. У подрядчика, принимавшего заказы на выполнение строительных работ, мы взяли напрокат дюжину распылителей краски. Я купил двадцать тысяч галлонов самой дешевой краски, какую только смог найти, водоэмульсионную, английского производства. Вернувшись на остров, мы без труда набрали бригаду мальчишек племени хийику и обучили их, как пользоваться распылителями краски.
Агуз был назначен бригадиром. Территорию каждого племени мы метили краской того же цвета, какой был на моей "карте". Закрашивать всю территорию потребовало бы слишком больших затрат, поэтому мы решили распылять краску пятнами диаметром около десяти футов с интервалами в сто футов. С самолета территория каждого племени казалась бы раскрашенной в горошек, и границы были бы легко различимы. На открытых участках работа продвигалась быстро, но там, где земля была скрыта под почти непроницаемым пологом джунглей, нам довелось столкнуться с немалыми трудностями. Мальчишкам приходилось карабкаться на деревья и распылять краску по самым верхушкам.
Каждый день я сопровождал бригаду, чтобы проследить за работой. Все было сделано как надо. В том, что четыре территории имели общие границы, сомнений не было: у каждой из них к какому-нибудь участку границы примыкала территория другого цвета.
Решающим должен был быть пятый цвет!
К распылению желтой краски мы приступили на двенадцатый день работы. Желтая территория граничила с красной, зеленой и пурпурной. Мы приближались к синей территории. Нервы мои были напряжены до предела.
Бригада маляров медленно продвигалась сквозь подлесок. Заходившее солнце отбрасывало длинные тени. Попугай с красивым ярким оперением, получив свою порцию краски из распылителя, с шумом взлетел и скрылся, издавая пронзительные крики. Небольшая коричневая змея, обрызганная желтой краской, шипя уползла в укромное местечко. Неожиданно я схватил Альму за плечо.
- Клянусь тенью Мебиуса! - воскликнул я хрипло не в силах унять бешено колотившееся сердце. - Я вижу отсюда синие пятна!
В прекрасных серых глазах Альмы вспыхнуло торжество.
- Так кто был прав?
Я уселся на большой пень и вытер пот, градом катившийся по лицу. Голова раскалывалась от нестерпимой боли. В висках стучало. Сквозь монотонный неумолчный гул насекомых издали доносился четкий, зажигательный ритм барабанов бебопулу. Агуз стоял, поигрывая брелоком, в ожидании дальнейших приказаний.
Я был в полной растерянности. Строго говоря, пять областей никак не могли иметь общие границы. Я знал, что проблему четырех красок удалось доказать для случая, когда число стран не превышает 35. Но что если в эти доказательства вкралась какая-нибудь ошибка? Если остров действительно опровергает утверждение проблемы четырех красок, мое открытие станет одним из величайших поворотных пунктов в топологии! Я стряхнул с фляги какого-то белого муравья или термита и отхлебнул большой глоток воды. Мало-помалу мне становилось лучше.
Через несколько дней, когда очередным рейсом прилетел самолет из Монровии, мы решили произвести аэрофотосъемку острова. К сожалению, самолетик был маленьким с двумя открытыми кабинами, поэтому лететь мог только фотограф с камерой. Как только снимки будут сделаны, пилот высадит фотографа, и возьмет меня, чтобы я мог с воздуха посмотреть на раскрашенный остров.
Я нервно обмахивался шлемом и наблюдал за тем, как самолет, медленно описав круг над островом, пошел на снижение. Пробежав немного, самолет остановился, и фотограф спрыгнул на землю. Я поспешно подбежал, намереваясь занять место в кабине, но пилот, грубоватый на вид африканец, великолепно говоривший по-английски, покачал головой.
- Съемки заняли больше времени, чем я рассчитывал, - сказал он твердо. - Мне необходимо через полчаса вернуться в Монровию. Жаль, но ничего не поделаешь. Вернусь через неделю. Тогда и покатаю вас.
Напрасны были мои мольбы и просьбы. Когда самолет взлетел, я обернулся к фотографу.
- На что хоть похож остров сверху?
Фотограф нахмурился.
- Не могу вам сказать. Цвета переплелись весьма причудливо. Я пытался набросать эскиз, но задача оказалась слишком сложной, и ее пришлось оставить.
Я спросил, не состояла ли какая-нибудь область из нескольких отдельных частей, полностью окруженных другим цветом. Фотограф отрицательно покачал головой.
- Все территории были из одного куска. И все доходили до побережья.
- Гм, интересно, - пробормотал я. И тут мне в голову пришла мысль, окончательно доконавшая меня. Я стукнул себя по лбу и застонал.
Альма, думая, что мне плохо, плеснула мне в лицо холодной воды из лагерного колодца, принесенной в сосуде из высушенной тыквы. Я сел на землю и схватился за голову обеими руками, пытаясь хоть как-то унять пульсирующую боль.
Вы спросите, что случилось? Внезапно я понял, что если территория каждого племени имеет выход к морю, то море граничит с территориями всех пяти племен. Море было шестым цветом!
Проявить цветную пленку в лагере или в Монровии было невозможно. Не оставалось ничего другого, как ждать, пока мы вернемся домой.
Через три дня хлынул тропический ливень. Он шел, не переставая, до конца недели. Когда пилот прилетел на остров очередным рейсом, он сообщил, что всю краску смыло.
Нетерпение, с которым я ожидал увидеть снимки, достигло таких размеров, что я не мог дождаться, когда Альма завершит работу на острове. Обратным рейсом я улетел в Монровию, а оттуда на теплоходе вернулся в Штаты.
В Нью-Йорке я отдал проявить снимки в фотолабораторию, и когда зашел получить их через несколько дней, глаза мои были красны от бессонницы.
- Боюсь, что ваш фотограф выбрал не тот светофильтр, - сказал лаборант, показывая мне пленку на просвет.
На всех снимках остров получился сплошным темно-красным пятном! Я взял снимки и побрел вдоль улицы, бессознательно бормоча себе под нос.
Мои академические обязанности не позволяли мне вернуться на остров раньше следующей осени. Вернувшись к себе в Чикаго, я попытался рассказать коллегам об острове с пятью территориями, но, слушая меня, они только печально качали головами и вежливо улыбались. Некий профессор из Висконсина, сообщили мне коллеги, сумел доказать гипотезу четырех красок для случая, когда число стран не превышает 83. Декан предложил мне месячный отпуск.
- Вы очень устали, вам нужно отдохнуть, - были его слова.
К концу лета я снова набрал свой обычный вес. Настроение мое начало улучшаться. Я тщательно изучил расписание авиарейсов на Монровию: во мне созрело решение вернуться на остров и выкрасить его еще раз.