Ивин Александр Архипович. Логика. Учебное пособие. Издание 2-е

   Еще два закона контрапозиции:
   если дело обстоит так, что если А, то не-В, то если В, то не-А; например: «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;
   если верно, что если не-А, то В, то если не-В, то А; например: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».
 

Законы де Моргана

   Именем английского логика XIX в. А. Де Моргана называются логические законы, связывающие с помощью отрицания высказывания, образованные с помощью союзов «и» и «или».
   Один из этих законов можно выразить так: отрицание высказывания «А и В» эквивалентно высказыванию «не-А или не-В».
   Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, если и только если завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».
   Другой закон:
   неверно, что А и В, если и только если неверно А и неверно В. Например: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, если и только если он не знает ни арифметики, ни геометрии».
   На основе этих законов, используя отрицание, связку «и» можно определить через «или», и наоборот:
   «А и В» означает «неверно, что не-А или не-В»,
   «А или В» означает «неверно, что не-А и не-В».
   Например: «Идет дождь и идет снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».
 

Модус поненс и модус толленс

   «Модусом» в логике называется разновидность некоторой общей формы рассуждения. Далее будут перечислены четыре близких друг другу модуса, известных еще средневековым логикам.
   Модус поненс, называемый иногда гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания перейти к утверждению следствия этого высказывания:
   Если А, то В; А
   В
   Здесь высказывания «если А, то В» и «А» – посылки, высказывание «В» – заключение. Горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другая запись:
   Если А, то В. А. Следовательно, В.
   Благодаря этому модусу от посылки «если А, то В», используя посылку «А», мы как бы отделяем заключение «В». На этом основании данный модус иногда называется «правилом отделения». Например:
   Если у человека диабет, он болен.
   У человека диабет.
   Человек болен.
   Рассуждение по правилу отделения идет от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания. Например, правильным является умозаключение:
   Если таллий – металл, он проводит электрический ток.
   Таллий – металл.
   Таллий проводит электрический ток.
   Но внешне сходное с ним умозаключение:
   Если бы электролит был металлом, он проводил бы электрический ток.
   Электролит проводит электрический ток.
   Электролит – металл.
   логически некорректно. Рассуждая по последней схеме, можно прийти от истинных посылок к ложному заключению. Против смешения правила отделения с этой неправильной схемой рассуждения предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия рассуждать допустимо, от подтверждения следствия к подтверждению основания – нет.
   Модусом толленсом называется следующая схема рассуждения:
   Если A, то B; неверно B
   Неверно A
   Здесь высказывания «если А, то В» и «неверно В» являются посылками, а высказывание «неверно А» – заключением. Другая запись:
   Если А, то В. Не-В. Следовательно, не-А.
   Посредством этой схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания. Например: «Если гелий – металл, он электропроводен. Гелий неэлектропроводен. Следовательно, гелий – не металл».
   По схеме модус толленс идет процесс фальсификации, установления ложности теории или гипотезы в результате ее эмпирической проверки. Из проверяемой теории Т выводится некоторое эмпирическое утверждение А, то есть устанавливается условное высказывание «если Т, то А». Посредством эмпирических методов познания (наблюдения, измерения или эксперимента) предложение А сопоставляется с реальным положением дел. Выясняется, что А ложно и истинно предложение не-А. Из посылок «если Т, то А» и «не-А» следует «не-Т», то есть ложность теории Т.
   С модусом толленсом нередко смешивается внешне сходное с ним умозаключение:
   Если А, то В; неверно А
   Неверно В
   В последнем умозаключении от утверждения условного высказывания и отрицания его основания осуществляется переход к отрицанию его следствия, что является логически некорректным шагом. Рассуждение по такой схеме может привести от истинных посылок к ложному заключению. Например:
   Если бы глина была металлом, она была бы пластична. Но глина – не металл.
   Неверно, что глина пластична.
   Все металлы пластичны, и если бы глина была металлом, она также являлась бы пластичной. Однако глина не является металлом. Но из этого очевидным образом не вытекает, что глина не пластична. Кроме металлов, есть и другие пластичные вещества, и глина в их числе.
   Против смешения модуса толленса с данной некорректной схемой рассуждения предостерегает совет: от отрицания следствия условного высказывания заключать к отрицанию основания этого высказывания можно, а от отрицания основания к отрицанию следствия – нет.
 

Утверждающе-отрицающий и отрицающе-утверждающий модусы

   Утверждающе-отрицающим модусом именуются следующие схемы рассуждения:
   Либо А, либо В; А Неверно В и
   Либо А, либо В; В
   Неверно А
   Другая запись:
   Либо А, либо В. А. Следовательно, не-В.
   Либо А, либо В. В. Следовательно, не-А.
   Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:
   Лермонтов родился в Москве либо в Петербурге.
   Он родился в Москве.
   Неверно, что Лермонтов родился в Петербурге.
   Связка «либо, либо», входящая в утверждающе-отрицающий модус, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающим «или» (имеет место первое или второе, но возможно, что и первое и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению. Например:
   На Южном полюсе был Амундсен или был Скотт.
   На Южном полюсе был Амундсен.
   Неверно, что там был Скотт.
   Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно. Правильным является умозаключение:
   На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.
   На этом полюсе первым был Амундсен.
   Неверно, что там первым был Скотт.
   Отрицающе-утверждающим модусом называется разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не-первое; значит, второе. Первая посылка – высказывание с «или»; вторая – категорическое высказывание, отрицающее один из членов первого сложного высказывания; заключением является второй член этого высказывания:
   А или В; неверно А
   В
   или
   А или В; неверно В
   А
   Другая форма записи:
   А или В. Не-А. Следовательно, В.
   А или В. Не-В. Следовательно, А.
   Например:
   Множество является конечным или оно бесконечною.
   Множество не является конечным.
   Множество бесконечно.
   Средневековые логики называли утверждающе-отрицающий модус модусом понендо толленс, а отрицающе-утверждающий модус модусом толлендо поненс.
 

Конструктивная и деструктивная дилеммы

   Дилеммами называются рассуждения, посылками которых являются по меньшей мере два условных высказывания (высказывания с «если, то») и одно разделительное высказывание (высказывание с «или»).
   Выделяются следующие разновидности дилеммы.
   Простая конструктивная (утверждающая) дилемма:
   Если А, то С.
   Если В, то С.
   А или В.
   С
   Например: «Если прочту детектив Агаты Кристи, то хорошо проведу вечер; если прочту детектив Жоржа Сименона, тоже хорошо проведу вечер; прочту детектив Кристи или прочту детектив Сименона; значит, хорошо проведу вечер».
   Рассуждение этого типа в математике принято называть доказательством по случаям. Однако число случаев, перебираемых последовательно в математическом доказательстве, обычно превышает два, так что дилемма приобретает вид:
   Если бы было справедливо первое допущение, теорема была бы верна;
   при справедливости второго допущения теорема также была бы верна;
   при верном третьем допущении теорема верна;
   если верно четвертое допущение, теорема верна;
   справедливо или первое, или второе, или третье, или четвертое допущение.
   Значит, теорема верна.
   Сложная конструктивная дилемма:
   Если А, то В.
   Если С, то Д.
   А или С.
   В или Д.
   Например: «Если будет дождь, мы пойдем в кино; если будет холодно, пойдем в театр; будет дождь или будет холодно; следовательно, мы пойдем в кино или пойдем в театр».
   Простая деструктивная (отрицающая) дилемма:
   Если А, то В.
   Если А, то С.
   Неверно В или неверно С.
   Неверно А.
   Например: «Если число делится на 6, то оно делится на 3; если число делится на 6, то оно делится на 2; рассматриваемое число не делится на 2 или не делится на 3; следовательно, число не делится на 6».
   Сложная деструктивная дилемма:
   Если А, то В.
   Если С, то Д.
   Не-В или не-Д.
   Не-А или не-С.
   Например: «Если поеду на север, то попаду в Тверь; если поеду на юг, то попаду в Тулу; но не буду в Твери или не буду в Туле; следовательно, не поеду на север или не поеду на юг».
 

Закон Клавия

   Этот закон можно передать так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или, короче: высказывание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно.
   Если неверно, что А, то А.
   А
   Например: если условием того, чтобы машина не работала, является ее работа, то машина работает.
   Закон назван именем Клавия – ученого-иезуита, жившего в XVI в., одного из создателей григорианского календаря. Клавий обратил внимание на этот закон в своем комментарии к «Началам» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал из допущения, что она является ложной.
   Закон Клавия лежит в основе рекомендации, касающейся доказательства: если хочешь доказать А, выводи А из допущения, что верным является не-А. Например, нужно доказать утверждение «Трапеция имеет четыре стороны». Отрицание этого утверждения: «Неверно, что трапеция имеет четыре стороны». Если из этого отрицания удается вывести утверждение, то последнее будет истинно.
   В романе И.С.Тургенева «Рудин» есть такой диалог:
   – Стало быть, по-вашему, убеждений нет?
   – Нет – и не существует.
   – Это ваше убеждение?
   – Да.
   – Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно на первый случай.
   Ошибочному мнению, что никаких убеждений нет, противопоставляется его отрицание: есть по меньшей мере одно убеждение, а именно убеждение, что убеждений нет. Отсюда следует, что убеждения существуют.
   К закону Клавия близок по своей логической структуре другой закон, отвечающий этой же общей схеме: если из утверждения вытекает его отрицание, то последнее истинно. Например, если условием того, что поезд прибудет вовремя, будет его опоздание, то поезд опоздает. Схема этого рассуждения такова:
   Если А, то не-А.
   Не-А.
   Эту схему однажды использовал древнегреческий философ Демокрит в споре с софистом Протагором. Последний утверждал: «Истинно все то, что кому-либо приходит в голову». На это Демокрит ответил, что из положения «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отрицания: «Не все высказывания истинны». И, значит, это отрицание, а не положение Протагора на самом деле истинно.

4. О так называемых законах логики

   В прошлом веке получила широкое распространение концепция «расширенной» формальной логики. Ее сторонники резко сдвинули центр тяжести логических исследований с изучения правильных способов рассуждения на разработку проблем теории познания, причинности, индукции и т.д. В логику были введены темы, интересные и важные сами по себе, но не имеющие к ней прямого отношения. Собственно логическая проблематика отошла на задний план. Вытеснившие ее методологические проблемы трактовались, как правило, упрощенно, без учета динамики научного познания.
   С развитием математической логики это направление в логике, путающее ее с поверхностно понятой методологией и пронизанное психологизмом, постепенно захирело.
 

Трактовка логических законов в традиционной логике

   Отголоском идеи «расширенной» логики является, в частности, разговор о так называемых основных законах мышления, или основных законах логики.
   Согласно этой «широкой» трактовке логики основные законы – это наиболее очевидные из всех утверждений логики, являющиеся чем-то вроде аксиом этой науки. Они образуют как бы фундамент логики, на который опирается все ее здание. Сами же они ниоткуда не выводимы, да и не требуют никакой опоры в силу своей исключительной очевидности.
   Под это до крайности расплывчатое понятие основных законов можно было подвести самые разнородные идеи. Обычно к таким законам относили закон противоречия, закон исключенного третьего и закон тождества. Нередко к ним добавляли еще закон достаточного основания и принцип «обо всех и ни об одном».
   Согласно последнему принципу, сказанное обо всех предметах какого-то рода верно и о некоторых из них и о каждом в отдельности; неприложимое ко всем предметам неверно также в отношении некоторых и отдельных из них.
   Действительно, это так. Но совершенно непонятно, какое отношение имеет эта истина к основаниям логики. В современной логике это один из бесконечного множества ее законов.
   Закон достаточного основания вообще не является принципом логики – ни основным, ни второстепенным. Он требует, чтобы ничто не принималось просто так, на веру. В случае каждого утверждения следует указывать основания, в силу которых оно считается истинным. Разумеется, это никакой не закон логики. Скорее всего это некоторый методологический принцип, не особенно ясный, но в общем небесполезный.
   Закон тождества, как он толковался в «расширенной» логике, тоже имел только отдаленное сходство с соответствующим логическим законом. В процессе рассуждения значения понятий и утверждений не следует изменять. Они должны оставаться тождественными самим себе, иначе свойства одного объекта незаметно окажутся приписанными совершенно другому. Чтобы этого не случилось, надо выделять обсуждаемые объекты по достаточно устойчивым признакам.
   Требование не изменять и не подменять значения в ходе рассуждения является, конечно, совершенно справедливым. Но столь же очевидно, что оно не относится к законам логики.
   Что касается законов противоречия и исключенного третьего, то и они в рамках «расширенной» логики приобретали ярко выраженный методологический уклон. Первый закон обычно превращался в запрещение говорить одновременно «да» и «нет», утверждать и отрицать одно и то же об одном и том же предмете, рассматриваемом в одном и том же отношении. Второй подменялся требованием, чтобы решение каждого вопроса доводилось до полной определенности. Анализ следует считать завершенным только тогда, когда установлена истинность либо рассматриваемого положения, либо его отрицания.
   Это – полезные советы, но не законы логики.
   В итоге можно сказать, что рассуждения «расширенной» логики об основных законах мышления затемняют и запутывают проблему логических законов.
   Как ясно показала современная логика, законов логики бесконечное множество. Деление их на основные и неосновные лишено ясных оснований.
   Несостоятельна также подмена логических законов расплывчатыми методологическими советами. Никакого фундамента в виде короткого перечня основополагающих принципов у науки логики нет. Этим она не отличается от всех других научных дисциплин.
   Основных принципов, из которых выводилось бы или на которые опиралось бы все остальное содержание, нет ни у математики, ни у психологии, ни у любой иной науки. Иногда, правда, говорят о таких принципах или о фундаменте какой-то отрасли знания. В прошлом веке термин «основные принципы» нередко фигурировал в названиях научных книг. Но все это не должно пониматься буквально и прямолинейно.
   Удивительно, что разговор об основных принципах логики иногда возникает даже в наше время.
 

Законы логики как элементы логической системы

   Есть еще один предрассудок, культивировавшийся «расширенной» логикой и доживший до наших дней, – это обсуждение законов логики в полном отрыве их от всех иных ее важных тем и понятий и даже в изоляции их друг от друга.
   При чтении старых книг по логике постепенно складывается впечатление разрозненности, необязательности и несвязанности рассматриваемых в них тем. Если удалить из старого учебника логики, скажем, раздел о законе исключенного третьего, на трактовке других законов это не скажется. Можно вообще устранить из такого учебника всякое упоминание об основных законах. И при этом все оставшееся не нужно будет даже перефразировать.
   Логические законы интересны, конечно, и сами по себе. Но если они действительно являются важными элементами механизма мышления – а это, несомненно, так, – они должны быть неразрывно связаны с другими элементами этого механизма. И прежде всего с центральным понятием логики – понятием логического следования, и значит, с понятием доказательства.
   Современная логика устанавливает такую связь. Доказать утверждение – значит показать, что оно является логическим следствием других утверждений, истинность которых уже установлена. Заключение логически следует из принятых посылок, если оно связано с ними логическим законом.
   Без логического закона нет логического следования и нет самого доказательства.

5. Логические тавтологии

   В обычном языке слово «тавтология» означает повторение того, что уже было сказано: «Жизнь есть жизнь» или «Не повезет так не повезет».
   Тавтологии бессодержательны и пусты, они не несут никакой информации. От них стремятся избавиться как от ненужного балласта, загромождающего речь и затрудняющего общение.
   Иногда, правда, случается, что тавтология наполняется вдруг каким-то чужим содержанием. Попадая в определенный контекст, она как бы принимается светить отраженным светом.
   Французский капитан Ла Паллис пал в битве при Павии в 1525 г. В его честь солдаты сложили дошедшую до наших дней песню «За четверть часа до смерти он был еще живой…». Понятая буквально, эта строка песни, ставшая ее названием, является тавтологией. Как таковая она совершенно пуста. Всякий человек до самой своей смерти жив. Сказать о ком-то, что он был жив за день до своей смерти или за четверть часа до нее, значит, ровным счетом ничего о нем не сказать.
   И тем не менее какая-то мысль, какое-то содержание за этой строкой стоит. Оно каким-то образом напоминает о бренности человеческой жизни и особенно жизни солдата, о случайности и, так сказать, неожиданности момента смерти и о чем-то еще другом.
   Один писатель сказал о своем герое: он дожил до самой смерти, а потом умер. Козьме Пруткову принадлежит афоризм: «Не будь цветов, все ходили бы в одноцветных одеяниях». Буквально говоря, это тавтологии и пустота. Но на самом деле смысл здесь все-таки есть, хотя это и не собственный смысл.
   С легкой руки Л.Витгенштейна слово «тавтология» стало широко использоваться для характеристики законов логики.
   Став логическим термином, оно получило строгие определения применительно к отдельным разделам логики. В общем случае логическая тавтология – это выражение, остающееся истинным независимо от того, о какой области объектов идет речь, или «всегда истинное выражение».
   Все законы логики являются логическими тавтологиями. Если в формуле, представляющей закон, заменить переменные любыми постоянными выражениями соответствующей категории, эта формула превратится в истинное высказывание.
   Например, в формулу «А или не-А», представляющую закон исключенного третьего, вместо переменной А должны подставляться высказывания, т.е. выражения языка, являющиеся истинными или ложными. Результаты таких постановок: «Дождь идет или не идет», «Два плюс два равно нулю или не равно нулю», «Бог существует или его нет» и тому подобное. Каждое из этих сложных высказываний является истинным. И какие бы дальнейшие высказывания ни подставлялись вместо А – как истинные, так и ложные, – результат будет тем же – полученное высказывание будет истинным.
   Аналогично в случае формул, представляющих закон противоречия, закон тождества, закон двойного отрицания и т.д. «Неверно, что бог существует и не существует; дождь идет и не идет; что я иду быстро и не иду быстро» – все это высказывания, полученные из формулы: «Неверно, что А и не-А», и все они являются истинными. «Если бога нет, то его нет; если я иду быстро, то я иду быстро; если два равно нулю, то два равно нулю» – это результаты подстановок в формулу «Если А, то А» и опять-таки истинные высказывания.
 

Ошибочные истолкования логических тавтологий

   Тавтологический характер законов логики послужил отправным пунктом для многих спекуляций по их поводу.
   Из тавтологии «Дождь идет или не идет» мы ничего не можем узнать о погоде. Тавтология «Неверно, что бог есть и его нет» ровным счетом ничего не говорит о существовании бога. Ни одна тавтология не несет содержательной информации о мире.
   Тавтология не описывает никакого реального положения вещей. Она совместима с любым таким положением. Немыслима ситуация, сопоставлением с которой можно было бы тавтологию опровергнуть.
   Эти специфические особенности тавтологий были истолкованы как несомненное доказательство отсутствия какой-либо связи законов логики с действительностью.
   Такое «исключительное положение» законов логики среди всех предложений подразумевает прежде всего, что законы логики представляют собой априорные, известные до всякого опыта истины. Они не являются бессмысленными, но вместе с тем не имеют и содержательного смысла. Их невозможно ни подтвердить, ни опровергнуть ссылкой на опыт.
   Действительно ли законы логики не несут никакой информации?
   Если бы это было так, они по самой своей природе решительно отличались бы от законов других наук, описывающих действительность и что-то говорящих о ней.
   Мысль об информационной пустоте логических законов является, конечно, ошибочной. В основе ее лежит крайне узкое истолкование опыта, способного подтверждать научные утверждения и законы. Этот опыт сводится к фрагментарным, изолированным ситуациям или фактам. Они достаточны для проверки истинности элементарных описательных утверждений типа «Идет дождь» или «Я иду быстро». Но явно недостаточны для суждения об истинности абстрактных теоретических обобщений, опирающихся не на отдельные разрозненные факты, а на совокупный, систематический опыт. Даже законы опытных наук, подобных биологии или физике, нельзя обосновать простой ссылкой на факты и конкретику. Тем более это невозможно сделать в случае самых абстрактных из всех законов – законов логики. Они должны черпать свое обоснование из предельно широкого опыта мыслительной, теоретической деятельности. За законами логики стоит, конечно, опыт, и в этом они сходны со всеми научными законами. Но опыт не в форме каких-то изолированных, доступных наблюдению ситуаций, а конденсированный опыт всей истории человеческого познания.
   Тавтологии обычного языка нередко наполняются содержанием, пришедшим со стороны, и светят отраженным светом. Так же обстоит дело и с логическими тавтологиями.
   Изолированная от других тавтологий, оторванная от языка и от истории познания, логическая тавтология блекнет и создает впечатление отсутствия всякого содержания.
   Это еще раз подтверждает мысль, что рассуждения о смысле и значении отдельных выражений языка, изъятых из среды своего существования, допустимы и справедливы только в ограниченных пределах. Нужно постоянно иметь в виду, что язык – это единый, целостный организм, части которого взаимосвязаны, взаимообусловлены и не способны действовать вне его.
   Кроме того, сам язык не является некой самодостаточной системой. Он погружен в более широкую среду познания и социальной жизни, когда-то создавшей его и с тех пор постоянно его воссоздающей.
 

Литература

   Бочаров В.А. Логика. – М., 1993.
   Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике. – М., 1991.
   Ивин А.А. Строгий мир логики. – М., 1988.
   Ивин А.А. Элементарная логика. – М., 1994.
   Ивлев Ю.В. Логика. – М., 1992.
   Карри Х.Б. Основания математической логики. – М., 1969.
   Клини С.К. Математическая логика. – М., 1973.
   Новиков П.С. Элементы математической логики. – М., 1973.
   Черч А. Введение в математическую логику. – Т.1. – М., 1960.