Страница:
Следует отметить, что такой размер достаточен для демонстрации практически любого изображения на практически любом экране – за исключением разве что чертежей с тонкими линиями или каких-нибудь совсем уж особых случаев, вроде демонстрации панорамы, специально отснятой с высоким разрешением. Причем, не забудьте, еще и экран должен быть соответствующим: обычный аналоговый телевизор обеспечивает разрешение меньше, чем 800х600 точек (640х480 для NTSC, 768х576 для PAL/SECAM). Компьютерный монитор, конечно, может выдать и побольше (кроме бюджетных ЖК-моделей с экраном 17”, все они сейчас имеют возможность установки разрешения 1280х1024), проекторы для домашних кинотеатров дают 1024х768, приличные плазменные панели – 1366х768, и так далее, но принципиально эти цифры не отличаются. Как видите, для демонстрации картинки в отличном качестве можно ориентироваться на цифру в 1—1,3 мегапиксела и тем избавить себя от любой критики, а 2 мегапиксела заведомо перекроют даже самый высокий уровень требований стандарта HDTV. Куда большее значение будут иметь цветопередача, уровень шумов и JPEG-искажения.
Но как это выражается в цифрах? Качественная печать уровня Vogue предполагает разрешение не менее трехсот точек на дюйм (dpi), к обоснованию этого числа мы еще вернемся. То есть наш 8-мегапиксельный кадр (2448х3264) может обеспечить изображение размером примерно 8х12 дюймов (20х30 см), что соответствует формату А4 (210х297 мм) или полосе глянцевого журнала. К этой же величине мы приходим, если будем отталкиваться от зрения. Как мы уже указывали, следует ориентироваться на то, что с расстояния 30 см человек с отличным зрением различает примерно 6 линий на мм. Если взять с запасом по два пиксела на линию, то как раз и получим все те же 300 dpi (12 точек/мм х 25,4 мм). На самом деле, в полиграфии подсчет производится несколько сложнее, но если вы сдадите верстальщику любого журнала, не обязательно Vogue, кадр 3264х2448, то он вам скажет большое спасибо, потому что растягивать ему ничего не придется, скорее даже ужимать. Я знаком с профессионалами, которые пользуются камерами с 6-мегапиксельной матрицей и вполне этим довольны, причем все остальное – прежде всего объектив – у них сильно получше, чем в любительских камерах. Ведь мы брали двукратный запас пикселов на сторону кадра, а если использовать «статистически обоснованный» метод подсчета, согласно которому достаточно 6х1,5 = 9 точек/мм, то получим величину 230 dpi, что для размера 8х12” даст необходимый размер 1840х2760, или всего 5 мегапикселов.
Напрашивается все тот же вывод: от качества объектива качество картинки зависит много больше, чем от мегапикселов. Сверх некоего предела, который в данном случае чуть выше установленного для бюджетных моделей лимита в 3—4 Мп, но не настолько, чтобы стоило гнаться непременно за 8-Мп камерой. И вот тут мы уже с полной определенностью можем ответить на поставленный ранее вопрос: так чем же 8-мегапиксельная «мыльница» Nikon Coolpix P1 хуже 6-мегапиксельного Nikon D70? Да тем, что даже «китовый» Nikkor обеспечивает для D70 разрешение, вполне соответствующее его 6 мегапикселам, ведь у него матрица намного больше (в половину пленочного кадра). К тому же под эти параметры подогнаны все остальные характеристики – уровень шумов, алгоритмы обработки. А для использования 8 мегапикселов на полную катушку даже при большей, чем у P1, матрице размером 2/3” (Nikon Coolpix 8800) нужен объектив с разрешением почти 200 лин./мм по самым строгим подсчетам, а если принять «статистически обоснованную» методику – то и все 300. Поверить в то, что существуют подобные объективы для компактных камер любительского класса, тем более с 10-кратным зуммированием, как у упомянутой Nikon, невозможно. Сделать качественный объектив профессионального уровня с зумом больше 3—4 крат еще не удалось никому.
С этим свойством Nikon D70 связана забавная история. Дело в том, что вероятность возникновения муара на цифровых изображениях (что обусловлено их регулярной структурой и имеет место, если на объекте наличествует какой-нибудь растр – тюлевые занавески, длинные волосы, одежда в мелкий рубчик) тем выше, чем выше истинное разрешение камеры. Инженеры фирмы, надеясь на то, что пользователи такой камеры разбираются в предмете, ради повышения четкости снимков вообще убрали муаровый фильтр. В конце концов, не каждый же снимок содержит фактуры, вызывающие эффект муара? В результате форумы в Интернете наполнились злорадными репликами неискушенных приверженцев других «брэндов», и даже наблюдались случаи возврата камер в магазины. А ведь превосходная четкость изображения как раз и является одной из изюминок этой камеры, а муар убирается автоматически при конвертации из RAW. В более продвинутой модели D70S фильтр все же пришлось установить, «во избежание».
Напоследок давайте разберемся с разрешением, необходимым для печати на принтерах, потому что c этим делом в пособиях, статьях и, соответственно, в головах пользователей царит полный бардак, если не сказать хуже – загляните на любой фотофорум. Речь пойдет о струйных принтерах как самых употребительных для фотопечати; другие разновидности (термосублимационные и лазерные) пока не слишком распространены, вдобавок они ближе к традиционной полиграфии. Заодно поймем, откуда берутся пресловутые 300 dpi и к чему их надо приставлять.
Но предположим, что исходное изображение сверхкачественное. Следует ли заботиться о том, чтобы делать разрешение снимка, например, кратным физическому разрешению принтера? Отсюда и получаются те самые точные цифры в 288 dpi (так как для принтеров Epson, которые очень любят профессионалы, физическое разрешение равно 2880 dpi или кратно этой цифре). Как я сейчас попытаюсь показать, все это от лукавого и в большинстве случаев о разрешении снимка при струйной печати специально вообще задумываться не надо.
Можно ли перенести полиграфические расчеты (см. врезку) на струйную печать? По моему мнению – нельзя. В струйных принтерах научились регулировать величину точки растра за счет того, что в одно место выстреливается сразу много капель и их число можно регулировать. Точки имеют случайные размеры, очертания и, главное, положения, совсем не так, как в полиграфии. При этом методе – называемом еще амплитудной модуляцией – приемлемая передача полутонов возможна даже при относительно грубом растре, и величина линиатуры вообще не применима. И для качества принтера большее значение имеет не само по себе физическое разрешение (конечно, сверх некоего предела, который уже достигнут во всех современных моделях), а минимальный размер капли красителя, который он может выдать. Притом, как известно, поверх этого основного способа в струйных принтерах придумывают еще всякие ухищрения, вроде того, что капля специально делится на множество мелких, что позволяет более тонко регулировать полутона.
Теоретики рассуждают так: допустим, принтер имеет такой же строгий растр, как и типографское печатное устройство. Тогда для воспроизведения 256 оттенков нужен квадрат 16х16 точек. Если плотность печати 2400 dpi (HP), то линиатура как раз и получается 150 lpi. Но все это чисто умозрительные рассуждения. Во-первых, квадрат 16х16 для каждого цвета получается исходя из оттенков серого. А цветов в современном фотопринтере даже не четыре, как в модели CMYK, а минимум шесть, притом для каждого можно получить точку диаметром 12 мкм и даже меньше, и они вовсе необязательно будут ложиться рядом, а не поверх друг друга. И красители там не кроющие, а прозрачные. И разрешение в 2400 dpi имеется только по горизонтали (шаг каретки), по вертикали (механизм передвижения бумаги) он раза в два меньше. И не забудем еще, что на бумаге 256 оттенков все равно не получишь (см. врезку), так стоит ли стараться?
Производители не декларируют для струйных принтеров никаких линиатур, и правильно делают. Перед нами типичное аналоговое устройство печати (при достаточно высоком физическом разрешении, конечно, но все современные принтеры таковым обладают), и задумываться следует над тем, что нам дает исходная картинка, а не что может воспроизвести принтер. Если у вас сверхчеткое изображение – будьте спокойны, принтер вас не подведет, установите ли вы для него 288, 289 dpi или любую другую цифру, в пределах того, что обеспечивает исходная картинка.
Но чтобы при очень качественных оригиналах ничего не потерять, имеет смысл задумываться над алгоритмами растяжения (и даже сжатия) снимков для печати и специально устанавливать разрешение. А для всех любительских камер, и тем более для всех без исключения оригиналов в формате JPEG, этот вопрос не играет ни малейшей роли, и можно спокойно положиться на программу печати и драйвер принтера, которые все сделают за вас, и сделают очень грамотно. А про все эти разрешения лучше вообще забыть, оставив их счастливым обладателям камер класса Canon Mark II.
Физическое разрешение печатающего устройства (dpi) и заданное разрешение полученного изображения (lpi) оказываются связаны между собой простой зависимостью: число градаций серого = единица плюс квадрат отношения разрешения (dpi) к линиатуре (lpi). Для современных фотонаборных автоматов характерно физическое разрешение в 2540 dpi (100 точек на миллиметр). Что при всех воспроизводимых 256 градациях серого при расчете по формуле, приведенной выше, соответствует линиатуре в 160 lpi или размеру полутоновой точки растра в 0,16 мм – вполне приличная величина, близкая к пределу разрешающей способности глаза на расстоянии комфортного чтения. При желании линиатура может быть установлена и значительно большей, потому что на бумаге с ее динамическим диапазоном максимум в 2 D (то есть контрастом между черным и белым максимум в сто раз) 256 градаций серого никому не нужны, они просто неразличимы. На практике газеты печатают с растром 60—100 lpi, журналы – 133—150 lpi; для специальной печати (например, для дензнаков) используют величины и больше, но там важно уже не столько число оттенков, сколько разрешение само по себе.
Ясно, что разрешение исходного снимка (напомню, мы считаем, что оптика нас не лимитирует) должно быть не хуже, чем линиатура. А лучше – с запасом. Если принять двукратный запас, то и получим пресловутые 300 dpi.
ОПЫТЫ: Рождественская милицейская история
Наука:
Полиграфия
Ладно, с демонстрацией на экране покончили. Но в основном снимки делаются вовсе не для экрана, а для печати. О печати на принтерах поговорим ниже, а пока разберемся с полиграфией. Советую внимательно рассмотреть иллюстрации в хороших «глянцевых» журналах – Vogue, Beauty, Penthouse, Cosmopolitan и пр., коих не меньше тысячи в любом киоске. Более интересное занятие – просмотр работ знаменитых фотографов: Хельмута Ньютона, Анселя Адамса и прочих. В Интернете это может показаться пустой тратой времени, но все же некоторое представление вы получите[См., например, сайт фотографа и дизайнера Алексея Никишина, раздел «Известные фотографы»]. Такие снимки нельзя получить никакой компакт-камерой, и не мечтайте. Минимум требований – широкопленочный аппарат с кадром 6х7 см и/или соответствующий цифровой задник к нему. И оптика. И освещение. И лаборатория, и Macintosh с дисплеем 22”. И еще много чего, начиная с квалификации и опыта.Но как это выражается в цифрах? Качественная печать уровня Vogue предполагает разрешение не менее трехсот точек на дюйм (dpi), к обоснованию этого числа мы еще вернемся. То есть наш 8-мегапиксельный кадр (2448х3264) может обеспечить изображение размером примерно 8х12 дюймов (20х30 см), что соответствует формату А4 (210х297 мм) или полосе глянцевого журнала. К этой же величине мы приходим, если будем отталкиваться от зрения. Как мы уже указывали, следует ориентироваться на то, что с расстояния 30 см человек с отличным зрением различает примерно 6 линий на мм. Если взять с запасом по два пиксела на линию, то как раз и получим все те же 300 dpi (12 точек/мм х 25,4 мм). На самом деле, в полиграфии подсчет производится несколько сложнее, но если вы сдадите верстальщику любого журнала, не обязательно Vogue, кадр 3264х2448, то он вам скажет большое спасибо, потому что растягивать ему ничего не придется, скорее даже ужимать. Я знаком с профессионалами, которые пользуются камерами с 6-мегапиксельной матрицей и вполне этим довольны, причем все остальное – прежде всего объектив – у них сильно получше, чем в любительских камерах. Ведь мы брали двукратный запас пикселов на сторону кадра, а если использовать «статистически обоснованный» метод подсчета, согласно которому достаточно 6х1,5 = 9 точек/мм, то получим величину 230 dpi, что для размера 8х12” даст необходимый размер 1840х2760, или всего 5 мегапикселов.
Напрашивается все тот же вывод: от качества объектива качество картинки зависит много больше, чем от мегапикселов. Сверх некоего предела, который в данном случае чуть выше установленного для бюджетных моделей лимита в 3—4 Мп, но не настолько, чтобы стоило гнаться непременно за 8-Мп камерой. И вот тут мы уже с полной определенностью можем ответить на поставленный ранее вопрос: так чем же 8-мегапиксельная «мыльница» Nikon Coolpix P1 хуже 6-мегапиксельного Nikon D70? Да тем, что даже «китовый» Nikkor обеспечивает для D70 разрешение, вполне соответствующее его 6 мегапикселам, ведь у него матрица намного больше (в половину пленочного кадра). К тому же под эти параметры подогнаны все остальные характеристики – уровень шумов, алгоритмы обработки. А для использования 8 мегапикселов на полную катушку даже при большей, чем у P1, матрице размером 2/3” (Nikon Coolpix 8800) нужен объектив с разрешением почти 200 лин./мм по самым строгим подсчетам, а если принять «статистически обоснованную» методику – то и все 300. Поверить в то, что существуют подобные объективы для компактных камер любительского класса, тем более с 10-кратным зуммированием, как у упомянутой Nikon, невозможно. Сделать качественный объектив профессионального уровня с зумом больше 3—4 крат еще не удалось никому.
С этим свойством Nikon D70 связана забавная история. Дело в том, что вероятность возникновения муара на цифровых изображениях (что обусловлено их регулярной структурой и имеет место, если на объекте наличествует какой-нибудь растр – тюлевые занавески, длинные волосы, одежда в мелкий рубчик) тем выше, чем выше истинное разрешение камеры. Инженеры фирмы, надеясь на то, что пользователи такой камеры разбираются в предмете, ради повышения четкости снимков вообще убрали муаровый фильтр. В конце концов, не каждый же снимок содержит фактуры, вызывающие эффект муара? В результате форумы в Интернете наполнились злорадными репликами неискушенных приверженцев других «брэндов», и даже наблюдались случаи возврата камер в магазины. А ведь превосходная четкость изображения как раз и является одной из изюминок этой камеры, а муар убирается автоматически при конвертации из RAW. В более продвинутой модели D70S фильтр все же пришлось установить, «во избежание».
Напоследок давайте разберемся с разрешением, необходимым для печати на принтерах, потому что c этим делом в пособиях, статьях и, соответственно, в головах пользователей царит полный бардак, если не сказать хуже – загляните на любой фотофорум. Речь пойдет о струйных принтерах как самых употребительных для фотопечати; другие разновидности (термосублимационные и лазерные) пока не слишком распространены, вдобавок они ближе к традиционной полиграфии. Заодно поймем, откуда берутся пресловутые 300 dpi и к чему их надо приставлять.
Печать и разрешение
В любом пособии по цифровым камерам или по «Фотошопу» вы можете прочитать, что для печати фотографий требуется разрешение «около 300 dpi». Иногда приводятся иные цифры – 250, 240 или даже вычисленные на основе неких специальных соображений 288 dpi. Если вы рассмотрите этот вопрос с точки зрения реального качества цифровых фотографий, как мы делали выше, то поймете, что вас просто надувают, и как ни удивительно – чаще всего бескорыстно. Приняв во внимание все сказанное выше, вы уже можете сообразить, что дело вовсе не в dpi, а в реальном разрешении снимка, с одной стороны, и в ограничениях, которые накладывает зрение, – с другой. Пейзажные снимки без мелких деталей растягиваются на печать в формате А4 даже в случае 2-мегапиксельной матрицы так, что ни один нормальный человек не отличит их от 6-мегапиксельных. А если оптика плохая, то и мелкие детали вы получите совершенно одинаковые, что при шести мегапикселах, что при двух. Опыт Романа Косячкова с изображением в 0,3 Мп, о котором я упоминал в первой части статьи, тому свидетельство.Но предположим, что исходное изображение сверхкачественное. Следует ли заботиться о том, чтобы делать разрешение снимка, например, кратным физическому разрешению принтера? Отсюда и получаются те самые точные цифры в 288 dpi (так как для принтеров Epson, которые очень любят профессионалы, физическое разрешение равно 2880 dpi или кратно этой цифре). Как я сейчас попытаюсь показать, все это от лукавого и в большинстве случаев о разрешении снимка при струйной печати специально вообще задумываться не надо.
Можно ли перенести полиграфические расчеты (см. врезку) на струйную печать? По моему мнению – нельзя. В струйных принтерах научились регулировать величину точки растра за счет того, что в одно место выстреливается сразу много капель и их число можно регулировать. Точки имеют случайные размеры, очертания и, главное, положения, совсем не так, как в полиграфии. При этом методе – называемом еще амплитудной модуляцией – приемлемая передача полутонов возможна даже при относительно грубом растре, и величина линиатуры вообще не применима. И для качества принтера большее значение имеет не само по себе физическое разрешение (конечно, сверх некоего предела, который уже достигнут во всех современных моделях), а минимальный размер капли красителя, который он может выдать. Притом, как известно, поверх этого основного способа в струйных принтерах придумывают еще всякие ухищрения, вроде того, что капля специально делится на множество мелких, что позволяет более тонко регулировать полутона.
Теоретики рассуждают так: допустим, принтер имеет такой же строгий растр, как и типографское печатное устройство. Тогда для воспроизведения 256 оттенков нужен квадрат 16х16 точек. Если плотность печати 2400 dpi (HP), то линиатура как раз и получается 150 lpi. Но все это чисто умозрительные рассуждения. Во-первых, квадрат 16х16 для каждого цвета получается исходя из оттенков серого. А цветов в современном фотопринтере даже не четыре, как в модели CMYK, а минимум шесть, притом для каждого можно получить точку диаметром 12 мкм и даже меньше, и они вовсе необязательно будут ложиться рядом, а не поверх друг друга. И красители там не кроющие, а прозрачные. И разрешение в 2400 dpi имеется только по горизонтали (шаг каретки), по вертикали (механизм передвижения бумаги) он раза в два меньше. И не забудем еще, что на бумаге 256 оттенков все равно не получишь (см. врезку), так стоит ли стараться?
Производители не декларируют для струйных принтеров никаких линиатур, и правильно делают. Перед нами типичное аналоговое устройство печати (при достаточно высоком физическом разрешении, конечно, но все современные принтеры таковым обладают), и задумываться следует над тем, что нам дает исходная картинка, а не что может воспроизвести принтер. Если у вас сверхчеткое изображение – будьте спокойны, принтер вас не подведет, установите ли вы для него 288, 289 dpi или любую другую цифру, в пределах того, что обеспечивает исходная картинка.
Но чтобы при очень качественных оригиналах ничего не потерять, имеет смысл задумываться над алгоритмами растяжения (и даже сжатия) снимков для печати и специально устанавливать разрешение. А для всех любительских камер, и тем более для всех без исключения оригиналов в формате JPEG, этот вопрос не играет ни малейшей роли, и можно спокойно положиться на программу печати и драйвер принтера, которые все сделают за вас, и сделают очень грамотно. А про все эти разрешения лучше вообще забыть, оставив их счастливым обладателям камер класса Canon Mark II.
300 dpi
Цифра в 300 dpi получается в полиграфии из соображений необходимой линиатуры (измеряется в линиях на дюйм, lpi). При типографской печати мы располагаем только одной краской, прозрачность которой регулировать нельзя. Как в таком случае обеспечить полутона? Единственный очевидный способ: там, где изображение светлее, часть точек (лучше всего в случайном порядке) не закрашивать. Те, кто видел советские газеты полувековой давности , отлично понимает, о чем я говорю: там растр был таким грубым, что описанную технику воспроизведения полутонов можно было разглядеть невооруженным взглядом. С повышением разрешения печатающих устройств качество стало более приемлемым, но принцип сохранился (и в цвете он точно такой же, только там не один, а четыре разноцветных растра, наложенные друг на друга под разными углами, по числу красок в модели CMYK). Этот метод передачи полутонов называется частотной модуляцией.Физическое разрешение печатающего устройства (dpi) и заданное разрешение полученного изображения (lpi) оказываются связаны между собой простой зависимостью: число градаций серого = единица плюс квадрат отношения разрешения (dpi) к линиатуре (lpi). Для современных фотонаборных автоматов характерно физическое разрешение в 2540 dpi (100 точек на миллиметр). Что при всех воспроизводимых 256 градациях серого при расчете по формуле, приведенной выше, соответствует линиатуре в 160 lpi или размеру полутоновой точки растра в 0,16 мм – вполне приличная величина, близкая к пределу разрешающей способности глаза на расстоянии комфортного чтения. При желании линиатура может быть установлена и значительно большей, потому что на бумаге с ее динамическим диапазоном максимум в 2 D (то есть контрастом между черным и белым максимум в сто раз) 256 градаций серого никому не нужны, они просто неразличимы. На практике газеты печатают с растром 60—100 lpi, журналы – 133—150 lpi; для специальной печати (например, для дензнаков) используют величины и больше, но там важно уже не столько число оттенков, сколько разрешение само по себе.
Ясно, что разрешение исходного снимка (напомню, мы считаем, что оптика нас не лимитирует) должно быть не хуже, чем линиатура. А лучше – с запасом. Если принять двукратный запас, то и получим пресловутые 300 dpi.
ОПЫТЫ: Рождественская милицейская история
Эта история началась осенью 2001-го совершенно буднично, и ничто не предвещало, что она растянется на четыре года и отвлечет на себя значительные силы ростовской милиции. Дело происходило в одном из восточных районов области. Места там степные, засушливые и малонаселенные, живут там в основном крестьяне, занимающиеся разведением овец. Хутора расположены далеко друг от друга, в каждом из них свои устои, порядки и даже власть.
В один прекрасный день в районное отделение милиции поступило заявление от жителей одного из хуторов – народ требовал разобраться с пропажей большого количества индюков (любопытный штрих: местные жители почему-то называют этих птиц индю’ки).
Участковый, в зону ответственности которого входил хутор, разобрался с делом мгновенно. Этот человек был из породы тех «Анискиных», про которых раньше снимали фильмы, – всё и всех знающий, работающий здесь черт знает сколько лет, пользующийся заслуженным авторитетом у местных жителей… Расследование показало, что во многих семьях двух соседних с обиженным хуторов на обед был суп из птицы, а массовая и прекрасно организованная пропажа индюков – следствие давней затаенной обиды жителей этих селений. Таким образом, вроде как восторжествовала крестьянская справедливость. А чтобы восторжествовал закон, необходимо было всесторонне рассмотреть поступившее от граждан заявление, надлежащим образом все оформить и посадить в тюрьму на срок от трех до пяти лет половину населения двух хуторов. Но ведь жалко…
В результате милиционер придумал гениальный ход: рядом с местом, где обычно бродили индюки, проходило железнодорожное полотно и имелся небольшой полустанок. Опрос жителей выявил двух надежных свидетелей, которые дали письменное заявление о том, что видели, как в определенное время на этом полустанке ненадолго остановился товарный состав. При этом индюки, очевидно, движимые любопытством, под воздействием приступа внезапного кретинизма организованно погрузились в вагоны и отбыли в неизвестном направлении. Факт прохождения состава и его остановки подтверждался расписанием движения поездов. На этом расследование можно было считать законченным. Фокус в том, что все, что происходит в поездах, на железнодорожном полотне и на расстоянии девяти метров от него, подпадает под юрисдикцию Управления внутренних дел на транспорте (УВДТ), куда и передается дело для дальнейшего расследования. А это уже другое ведомство, волокита… Отсюда и возникла практика «перетаскивания» неопознанных трупов, найденных в поле, поближе к железнодорожному полотну – вроде как тело выпало из проходящего мимо поезда.
К несчастью, как раз в этот момент из столицы прибыла комиссия с инспекторской проверкой, и нераскрытое преступление было совсем ни к чему. Поэтому сотрудники ведомства быстренько провели собственное расследование и установили, что когда интересующий нас состав прибыл на ближайшую крупную станцию, индюков в нем уже не было. Естественно, прилагались свидетельские показания работников станции. Таким образом, следовало, что умные птицы, скорее всего, покинули состав во время одной из остановок на маршруте следования. Список мест остановок тоже прилагался, и дело снова передавалось в районный ОВД. Предполагалось, что индюки будут пытаться вернуться домой.
Ну тут уж милиционеры пошли на принцип, и привлеченные участковые быстренько нашли еще двух совершенно надежных свидетелей, которые дали письменные показания о том, что видели, как во время остановки поезда индюки с него слезли и пересели в другой состав, стоявший на соседнем пути. Кроме того, к делу приложили справку известного орнитолога, который утверждал, что индюки – очень умные стайные птицы и что осенью у них мог внезапно пробудиться инстинкт к переселению в теплые края. Дело снова направлялось на дополнительное расследование в УВДТ.
Но и в УВДТ, хоть это и другое ведомство, работают не менее упрямые милиционеры. Находились все новые свидетели, клятвенно заверявшие, что индюки проносились мимо них в поездах, пересаживались в другие составы, но упрямо не хотели прибывать ни на одну крупную станцию. В какой-то момент движение индюков стало настолько хаотичным, что контролировать его без привлечения математических алгоритмов обработки информации стало невозможно. И у одного из следователей созрела гениальная мысль назначить компьютерно-техническую экспертизу. Это была лишняя возможность затянуть дело на время производства экспертизы. К сожалению, в тот момент я не знал еще подоплеки и потому ретиво взялся за работу.
О боги, я был допущен в диспетчерские Северо-Кавказской железной дороги, получил доступ к специализированному программному обеспечению – мечта хакеров и фанатов Railroad Tycoon. Работа закипела: я отсекал заведомо невозможные маршруты движения индюков, пытался найти логику в их действиях. Я ведь еще не знал, что здесь имеется другая, «высшая» логика. Мои усилия вскоре стали давать результаты, и, думаю, в конце концов, я бы докопался до истины – все шло к тому, что индюки сошли-таки с поезда, причем не так уж далеко от родного хутора. Понимали это и мои оппоненты. А год неумолимо приближался к концу, за халатность при проведении расследования можно было схлопотать выговор, что гарантировало лишение годовой премии и тринадцатой зарплаты. Поэтому на одном из полустанков стая индюков… разделилась.
Любой из тех, кто работает с вероятностными алгоритмами, наверняка знает, что подобное действие приводит даже не к удвоению, а к учетверению работы. По наивности и от большого энтузиазма я бы еще справился, но стая продолжила рассредотачиваться, делясь на все более мелкие группы. Когда первые сведения о движении проклятых индюков стали поступать уже с Транссибирской магистрали, я понял, что обречен, и пошел за консультацией к следователю, ведущему это дело.
После задушевной беседы, перемежавшейся распитием различного рода напитков, я, наконец, был ознакомлен с подлинным смыслом данного расследования. Совместно был разработан генеральный план продвижения индюков. Теперь, под моим чутким руководством, они неизменно продвигались к югу и покидали границы РФ, переезжая на территорию суверенной и практически никому неподконтрольной Абхазии. Если обнаруживалась группа пернатых, маршрут которой не укладывался в мою схему, предлагалось провести дополнительное расследование. Обычно оказывалось, что это не наши индюки или вообще не индюки. Несколько затруднила мои действия особо упорная группа, движение которой по железнодорожной магистрали наблюдал практически в полном составе некий райотдел милиции (железнодорожная ветка проходила у них под окнами), о чем имелись соответствующие рапорта. Движение этой группы никак не согласовывалось с генеральной линией, и для того, чтобы вернуться на маршрут, от которого они отклонились, не имелось подходящих поездов. Но, в конце концов, с помощью пересадок в трех электричках я решил и эту проблему.
К слову, попутно удалось оптимизировать графики движения некоторых поездов Северо-Кавказской железной дороги. Так любимый всеми ростовчанами дополнительный «летний» поезд №642 Ростов—Адлер стал проводить в пути в одну сторону на три часа меньше, а в другую – почти на два. Оказалось, что научно, с использованием компьютерной техники к этому вопросу раньше не подходили. Таким образом, к удовольствию всех заинтересованных лиц, проблему удалось разрешить бескровно. Дело прекратили, никого не наказали, индюки, видимо, ассимилировались в теплых краях и на родину не вернулись.
Пару лет спустя, встретившись с одноклассником, избравшим карьеру биолога, после совместного распития неизвестных напитков, я узнал следующую историю. Товарищ рассказал, что бюллетень «Вопросы прикладной орнитологии» недавно напечатал интереснейшую статью одного известного ученого, в которой приводились неопровержимые, даже подкрепленные милицейскими документами факты необычайного поведения домашних птиц, в частности индюков. Автор статьи делал вывод, что птицы, проживая долгое время совместно с человеком, серьезно эволюционируют. В них даже просыпается коллективный разум. Причем сила их разума во многом определялась солнечной активностью. Поэтому на юге России птицы изменялись быстрее. Ученый проводил крайне смелые эксперименты, закончившиеся полным успехом. Результаты их могут привести к настоящей революции в орнитологии.
Что же, с нетерпением ожидаю запроса из Академии наук…
Участковый, в зону ответственности которого входил хутор, разобрался с делом мгновенно. Этот человек был из породы тех «Анискиных», про которых раньше снимали фильмы, – всё и всех знающий, работающий здесь черт знает сколько лет, пользующийся заслуженным авторитетом у местных жителей… Расследование показало, что во многих семьях двух соседних с обиженным хуторов на обед был суп из птицы, а массовая и прекрасно организованная пропажа индюков – следствие давней затаенной обиды жителей этих селений. Таким образом, вроде как восторжествовала крестьянская справедливость. А чтобы восторжествовал закон, необходимо было всесторонне рассмотреть поступившее от граждан заявление, надлежащим образом все оформить и посадить в тюрьму на срок от трех до пяти лет половину населения двух хуторов. Но ведь жалко…
В результате милиционер придумал гениальный ход: рядом с местом, где обычно бродили индюки, проходило железнодорожное полотно и имелся небольшой полустанок. Опрос жителей выявил двух надежных свидетелей, которые дали письменное заявление о том, что видели, как в определенное время на этом полустанке ненадолго остановился товарный состав. При этом индюки, очевидно, движимые любопытством, под воздействием приступа внезапного кретинизма организованно погрузились в вагоны и отбыли в неизвестном направлении. Факт прохождения состава и его остановки подтверждался расписанием движения поездов. На этом расследование можно было считать законченным. Фокус в том, что все, что происходит в поездах, на железнодорожном полотне и на расстоянии девяти метров от него, подпадает под юрисдикцию Управления внутренних дел на транспорте (УВДТ), куда и передается дело для дальнейшего расследования. А это уже другое ведомство, волокита… Отсюда и возникла практика «перетаскивания» неопознанных трупов, найденных в поле, поближе к железнодорожному полотну – вроде как тело выпало из проходящего мимо поезда.
К несчастью, как раз в этот момент из столицы прибыла комиссия с инспекторской проверкой, и нераскрытое преступление было совсем ни к чему. Поэтому сотрудники ведомства быстренько провели собственное расследование и установили, что когда интересующий нас состав прибыл на ближайшую крупную станцию, индюков в нем уже не было. Естественно, прилагались свидетельские показания работников станции. Таким образом, следовало, что умные птицы, скорее всего, покинули состав во время одной из остановок на маршруте следования. Список мест остановок тоже прилагался, и дело снова передавалось в районный ОВД. Предполагалось, что индюки будут пытаться вернуться домой.
Ну тут уж милиционеры пошли на принцип, и привлеченные участковые быстренько нашли еще двух совершенно надежных свидетелей, которые дали письменные показания о том, что видели, как во время остановки поезда индюки с него слезли и пересели в другой состав, стоявший на соседнем пути. Кроме того, к делу приложили справку известного орнитолога, который утверждал, что индюки – очень умные стайные птицы и что осенью у них мог внезапно пробудиться инстинкт к переселению в теплые края. Дело снова направлялось на дополнительное расследование в УВДТ.
Но и в УВДТ, хоть это и другое ведомство, работают не менее упрямые милиционеры. Находились все новые свидетели, клятвенно заверявшие, что индюки проносились мимо них в поездах, пересаживались в другие составы, но упрямо не хотели прибывать ни на одну крупную станцию. В какой-то момент движение индюков стало настолько хаотичным, что контролировать его без привлечения математических алгоритмов обработки информации стало невозможно. И у одного из следователей созрела гениальная мысль назначить компьютерно-техническую экспертизу. Это была лишняя возможность затянуть дело на время производства экспертизы. К сожалению, в тот момент я не знал еще подоплеки и потому ретиво взялся за работу.
О боги, я был допущен в диспетчерские Северо-Кавказской железной дороги, получил доступ к специализированному программному обеспечению – мечта хакеров и фанатов Railroad Tycoon. Работа закипела: я отсекал заведомо невозможные маршруты движения индюков, пытался найти логику в их действиях. Я ведь еще не знал, что здесь имеется другая, «высшая» логика. Мои усилия вскоре стали давать результаты, и, думаю, в конце концов, я бы докопался до истины – все шло к тому, что индюки сошли-таки с поезда, причем не так уж далеко от родного хутора. Понимали это и мои оппоненты. А год неумолимо приближался к концу, за халатность при проведении расследования можно было схлопотать выговор, что гарантировало лишение годовой премии и тринадцатой зарплаты. Поэтому на одном из полустанков стая индюков… разделилась.
Любой из тех, кто работает с вероятностными алгоритмами, наверняка знает, что подобное действие приводит даже не к удвоению, а к учетверению работы. По наивности и от большого энтузиазма я бы еще справился, но стая продолжила рассредотачиваться, делясь на все более мелкие группы. Когда первые сведения о движении проклятых индюков стали поступать уже с Транссибирской магистрали, я понял, что обречен, и пошел за консультацией к следователю, ведущему это дело.
После задушевной беседы, перемежавшейся распитием различного рода напитков, я, наконец, был ознакомлен с подлинным смыслом данного расследования. Совместно был разработан генеральный план продвижения индюков. Теперь, под моим чутким руководством, они неизменно продвигались к югу и покидали границы РФ, переезжая на территорию суверенной и практически никому неподконтрольной Абхазии. Если обнаруживалась группа пернатых, маршрут которой не укладывался в мою схему, предлагалось провести дополнительное расследование. Обычно оказывалось, что это не наши индюки или вообще не индюки. Несколько затруднила мои действия особо упорная группа, движение которой по железнодорожной магистрали наблюдал практически в полном составе некий райотдел милиции (железнодорожная ветка проходила у них под окнами), о чем имелись соответствующие рапорта. Движение этой группы никак не согласовывалось с генеральной линией, и для того, чтобы вернуться на маршрут, от которого они отклонились, не имелось подходящих поездов. Но, в конце концов, с помощью пересадок в трех электричках я решил и эту проблему.
К слову, попутно удалось оптимизировать графики движения некоторых поездов Северо-Кавказской железной дороги. Так любимый всеми ростовчанами дополнительный «летний» поезд №642 Ростов—Адлер стал проводить в пути в одну сторону на три часа меньше, а в другую – почти на два. Оказалось, что научно, с использованием компьютерной техники к этому вопросу раньше не подходили. Таким образом, к удовольствию всех заинтересованных лиц, проблему удалось разрешить бескровно. Дело прекратили, никого не наказали, индюки, видимо, ассимилировались в теплых краях и на родину не вернулись.
Пару лет спустя, встретившись с одноклассником, избравшим карьеру биолога, после совместного распития неизвестных напитков, я узнал следующую историю. Товарищ рассказал, что бюллетень «Вопросы прикладной орнитологии» недавно напечатал интереснейшую статью одного известного ученого, в которой приводились неопровержимые, даже подкрепленные милицейскими документами факты необычайного поведения домашних птиц, в частности индюков. Автор статьи делал вывод, что птицы, проживая долгое время совместно с человеком, серьезно эволюционируют. В них даже просыпается коллективный разум. Причем сила их разума во многом определялась солнечной активностью. Поэтому на юге России птицы изменялись быстрее. Ученый проводил крайне смелые эксперименты, закончившиеся полным успехом. Результаты их могут привести к настоящей революции в орнитологии.
Что же, с нетерпением ожидаю запроса из Академии наук…
Наука:
Проблемы 2000 года: Гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера
В одной из предыдущих статей раздела (посвященной гипотезе Ходжа; «КТ» #609) мы уже касались алгебраической геометрии. Тогда же упоминалось, что к ней имеют прямое отношение как минимум три из семи задач на миллион. Об одной из таких задач мы и поговорим: гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера касается рациональных точек алгебраических многообразий – иными словами, рациональных решений полиномиальных уравнений.
Ключевые задачи алгебраической геометрии сформулировать и понять совсем не трудно. Вот, например, общее направление, к которому относится и гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера: выяснить, сколько у данного полиномиального уравнения решений в рациональных[Имеющих вид p/q, где p, q – целые. – Л.Л.-М.] числах. Но чтобы сформулировать саму гипотезу, требуется изрядная подготовка.
Первым, кто поставил проблему поиска рациональных решений в ее современном смысле, был великий французский математик Анри Пуанкаре. Пуанкаре сделал для развития математики (в том числе алгебраической геометрии) и физики очень многое. О других его достижениях у нас еще будет повод поговорить, ведь именно он сформулировал одну из «задач на миллион», в его честь и названную гипотезой Пуанкаре.
Брайан Берч (Bryan Birch) и Питер Свиннертон-Дайер (Peter Swinnerton-Dyer) (да-да, Берч-Свиннертон-Дайер – это два человека, а не три) занимались этой проблемой в начале шестидесятых. Примечательно, что у истоков гипотезы стоит один из ранних компьютеров – кембриджский EDSAC, с помощью которого Берч и Свиннертон-Дайер исследовали поведение так называемых эллиптических кривых (что это такое, поясним чуть позже).
Итак, в чем же суть проблемы, о которой мы сегодня рассказываем? Рассмотрим кривую, заданную полиномиальным уравнением с двумя переменными. Одна из важнейших характеристик такой кривой – ее род (genus). Дать здесь классическое определение рода кривой будет трудно, но мы приблизимся к нему с другой стороны. Начнем с поверхностей. Наверное, каждый в детстве читал о топологах, которые не могут отличить кружку от бублика – ведь обе поверхности топологически эквивалентны тору. Так вот, у поверхностей тоже есть род; род бублика, например, равен единице. А вообще род поверхности (если быть точным, род «ориентируемой поверхности») – это количество замкнутых кривых, по которым ее можно разрезать так, чтобы она не распалась на отдельные части. Можете сами попробовать: сферу или плоскость так разрезать нельзя, у них род 0, тор (он же бублик[]) можно разрезать один раз, хоть вдоль, хоть поперек, но после этого останется либо цилиндр, либо кусок плоскости, и второго разреза уже не получится. Все ориентируемые поверхности похожи на сферу с ручками (термин из алгебраической геометрии): сколько у сферы ручек, столько и разрезов можно сделать.
Введение
Алгебраическую геометрию, как и многие другие области математики, невозможно причислить ни к древним, ни к современным разделам науки. С одной стороны, ничто не ново под луной: еще древних греков, заложивших основы самого метода математического познания, интересовали проблемы, которые и сегодня исследует алгебраическая геометрия. С другой же – о глубине современных методов и задач этой науки древние греки не могли даже догадываться (как зачастую и нынешние математики, работающие в других областях).Ключевые задачи алгебраической геометрии сформулировать и понять совсем не трудно. Вот, например, общее направление, к которому относится и гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера: выяснить, сколько у данного полиномиального уравнения решений в рациональных[Имеющих вид p/q, где p, q – целые. – Л.Л.-М.] числах. Но чтобы сформулировать саму гипотезу, требуется изрядная подготовка.
Немного истории
Как мы уже упоминали, общая проблема поиска рациональных решений была поставлена – и в самых простых частных случаях решена – очень давно. Одна из древнейших формулировок, встречающаяся еще в арабских трактатах X века, имеет геометрическую природу. Это так называемая задача о конгруэнтных числах: какие рациональные числа могут быть площадями прямоугольных треугольников с рациональными длинами сторон? Однажды Фибоначчи[Он же Леонардо Пизанский, итальянский ученый и одновременно купец (1170—1250). – Л.Л.-М.], находясь при дворе Фредерика II, не сходя с места нашел такой треугольник с площадью 5; есть и более экзотические примеры. Ответ таков (желающие могут его проверить): n – конгруэнтное число тогда и только тогда, когда число рациональных решений уравнения y2 = x3 – n2x бесконечно.Брайан Берч (Bryan Birch) и Питер Свиннертон-Дайер (Peter Swinnerton-Dyer) (да-да, Берч-Свиннертон-Дайер – это два человека, а не три) занимались этой проблемой в начале шестидесятых. Примечательно, что у истоков гипотезы стоит один из ранних компьютеров – кембриджский EDSAC, с помощью которого Берч и Свиннертон-Дайер исследовали поведение так называемых эллиптических кривых (что это такое, поясним чуть позже).
Суть