Страница:
Музей и библиотека сделали Александрию непревзойденным интеллектуальным центром планеты, местом, где величайшие ученые бывшей империи Александра изучали геометрию и свойства пространства. Если бы журнал «Новости Соединенных Штатов и мира»[61] расширил свой обзор академических вузов на всю историю человечества, Александрия обскакала бы в гонке за первое место и Кембридж Ньютона, и Геттинген Гаусса и Принстон Эйнштейна. Буквально все великие греческие мыслители-математики после Евклида трудились в этой невообразимой библиотеке.
В 212 году до н. э. главный библиотекарь Александрии Эратосфен Киренский[62], человек, преодолевший за всю жизнь не более нескольких сотен миль, первым в истории рассчитал обхват Земли. Эти расчеты потрясли его сограждан, показав, сколь малую часть нашей планеты знала в те поры цивилизация. Купцы, первооткрыватели и провидцы, вероятно, мечтательно размышляли о том, есть ли разумная жизнь по ту сторону океана. Подвиг современности, сопоставимый по масштабам с эратосфеновским, – первым обнаружить, что Вселенная не ограничивается пределами нашей Солнечной системы.
Эратосфену озарение насчет нашей планеты далось без всяких дальних странствий. Как и у Эйнштейна, у него получилось применить геометрию. Эратосфен заметил, что в полдень в городе Сиене (ныне Асуан) во время летнего солнцестояния палка, воткнутая в землю, не отбрасывает тени[63]. Для Эратосфена это означало, что палка, воткнутая в землю, оказывалась параллельна солнечным лучам. Если представить Землю в виде окружности и нарисовать прямую из центра через точку на поверхности, представляющую Сиене, и далее в пространство, она окажется тоже параллельной лучам солнца. Теперь двинемся по прямой на поверхности Земли прочь из Сиене – в Александрию. Там вновь нарисуем линию, проведенную из центра Земли через точку-Александрию. Эта линия уже не будет параллельна лучам солнца – она пересекает их под некоторым углом, оттого и появляется видимая тень.
Эратосфену для вычисления части земной окружности – арки между Сиене и Александрией – хватило длины тени от палки, воткнутой в Александрии, и теоремы из «Начал» о линии, пересекающей две параллельные прямые. Он обнаружил, что эта дуга составляет одну пятидесятую от длины обхвата Земли.
Подтянув к делу, вероятно, первого в истории научного ассистента, Эратосфен нанял некого безымянного гражданина, чтобы тот прошел пешком от одного города к другому и замерил расстояние. Нанятый субъект прилежно доложил, что оно составляет примерно 500 миль. Умножив это расстояние на 50, Эратосфен определил обхват Земли в 250 000 миль – с четырехпроцентной погрешностью, а это фантастически точный результат, за который ему бы наверняка дали Нобелевскую премию, а его безымянному ходоку, быть может, – постоянную ставку в библиотеке.
Эратосфен оказался не единственным александрийцем своего времени, кто внес значительный вклад в понимание мира. Астроном Аристарх Самосский, также трудившийся в Александрии, применил гениальный, хоть и довольно затейливый метод, объединивший тригонометрию и простенькую модель небес, для расчета вполне осмысленной приблизительной величины Луны и расстояния до нее. Еще раз подчеркнем: у греков возникло новое представление об их месте во Вселенной.
Еще одна знаменитость, привлеченная Александрией, – Архимед. Родившись в Сиракузах, городе на острове Сицилия, Архимед приехал в Александрию учиться в великой школе математиков. Мы, быть может, и не знаем, кем был тот гений, что впервые обточил камень или дерево до округлой формы и поразил изумленных зевак явлением первого колеса, но мы точно знаем[64], кто открыл принцип рычага: Архимед. Он, кроме того, открыл принципы гидростатики и много разного привнес в физику и инженерное дело. Математику он поднял на такую высоту, выше которой без инструментария символьной алгебры и аналитической геометрии забраться было невозможно еще около восемнадцати веков.
Одно из достижений Архимеда в математике – доведение до совершенства методов матанализа, не слишком далеких от предложенных Ньютоном и Лейбницем. С учетом отсутствия картезианской геометрии это достижение смотрится еще более впечатляющим. Главной победой, одержанной с помощью его метода, сам Архимед считал определение объема сферы, вписанной в цилиндр (т. е. сферы, радиус которой равен радиусу и высоте цилиндра), – он равен двум третям объема этого цилиндра. Архимед так гордился этим открытием[65], что потребовал высечь изображение шара в цилиндре на своем надгробии.
Когда римляне захватили Сиракузы, Архимеду было семьдесят пять. Он был убит римским солдатом, когда изучал рисунок, вычерченный на песке. На его надгробие нанесли изображение, о котором он просил. Спустя более сотни лет римский оратор Цицерон посетил Сиракузы и нашел захоронение Архимеда рядом с воротами в город. Заброшенная могила заросла колючкой и вереском. Цицерон распорядился восстановить могилу. Увы, ныне ее уже не найти.
И астрономия в Александрии тоже достигла пика развития[66]: во II веке до н. э. – стараниями Гиппарха, а во II веке н. э. – Клавдия Птолемея (не родственника царя). Гиппарх наблюдал небеса тридцать пять лет, сложил свои наблюдения с данными вавилонян и разработал модель Солнечной системы, согласно которой пять известных тогда планет, Солнце и Луна двигались по общей круговой орбите вокруг Земли. Ему так ловко удалось описать движение Солнца и Луны, как это видно с Земли, что он мог предсказывать лунные затмения с точностью до пары часов. Птолемей усовершенствовал и расширил эти результаты в книге «Альмагест», осуществив мечту Платона дать рациональное объяснение движению небесных тел, и она была главным астрономическим трудом вплоть до Коперника.
Птолемей также написал книгу под названием «География»[67], которая описывала земное мироздание. Картография – предмет крайне математичный, поскольку карты – плоские, Земля – почти сферическая, а сферу нельзя описать при помощи плоскости, сохранив при этом точными и расстояния, и углы. «География» – начало серьезной картографии.
Ко II веку н. э. значительно развились и математика, и физика, и картография, и инженерное дело. К тому времени мы уже знали, что материя состоит из неделимых кусочков под названием атомы. Мы изобрели логику и доказательство, геометрию и тригонометрию, а также некоторую разновидность матанализа. В астрономии и науке о пространстве мы владели знанием, что мир очень стар и что мы обитаем на шаре. Мы даже располагали размерами этого шара. Мы начали понимать свое место во Вселенной. Мы изготовились двигаться дальше. Сейчас-то мы знаем, что есть и другие солнечные системы – всего-то в десятках световых лет от нас. Продлись Золотой век без заминок, мы, быть может, уже послали бы к ним исследовательские корабли. Может, мы бы оказались на Луне в 969-м, а не в 1969-м году. Может, мы бы поняли о пространстве и жизни то, что у нас сейчас и в голове не укладывается. Однако обстоятельства сложились так, что прогресс, начатый греками, задержался на тысячелетие.
Не исключено, что о причинах средневекового интеллектуального заката написано больше слов, чем было в свитках Александрийской библиотеки. Простого ответа нет. Династия Птолемеев пришла в упадок за два века до рождения Христа. Птолемей XII передал царствование сыну и дочери, унаследовавшим власть после смерти правителя в 51 году до н. э. В 49 году до н. э. его сын устроил заговор против сестрицы и прибрал всю власть к рукам. Сестрица же и сама была не промах – нашла способ добраться до самого римского императора и попросить о помощи (в те времена, хоть формально и не завися от Рима, империя Птолемеев уже находилась под римским господством). С этого начался роман Клеопатры с Юлием Цезарем. В итоге Клеопатра заявила, что собирается родить Цезарю сына. Римский император – мощный союзник египтянам, однако этот альянс был обречен – вместе с самим Цезарем. После того, как двадцать три римских сенатора напали на своего императора и закололи его во время Мартовских ид 44 года до н. э., внучатый племянник Цезаря, Октавиан, подчинил Риму и Александрию, и Египет.
Поскольку Рим завоевал Грецию, римляне получили доступ к интеллектуальному достоянию греков. Наследники греческих традиций покорили бо́льшую часть мира и столкнулись со многими техническими и инженерными трудностями, однако их императоры не поддерживали математику так, как это делали Александр или Птолемей Египетский, и цивилизация их не произвела на свет ни одного математического гения масштабов Пифагора, Евклида или Архимеда. За 1100 лет их правления – с 750 года до н. э. – история не помнит ни одной доказанной римлянами теоремы и ни одного математика. Для греков определение расстояний было математической задачей с участием равных и подобных треугольников, параллакса и геометрии. В римских учебниках[68] в словесно сформулированной задаче от читателя требовалось найти метод определения ширины реки, когда другой берег занят врагом. «Враг» – понятие, чья полезность в математике довольно спорна, зато оно – ключевое для римской манеры мышления.
В абстрактной математике римляне не разбирались – и гордились этим. Цицерон сказал: «Греки держали геометров в высочайшем почете. Потому и более всего развили они математику. Но мы положили предел этому искусству его пользой в измерении и счете». Вероятно, о римлянах можно было бы сказать: «Римляне держали воинов в высочайшем почете. Потому более всего развили они насилие и мародерство. Но мы положили предел этому искусству его пользой в покорении мира».
Нельзя сказать, что римляне не были образованы. Были. Они даже писали на латыни всякие технические методички, но те были исковерканными работами, одолженными у греков. К примеру, главный переводчик Евклида на латынь, римский сенатор из почтенной семьи Аниций Манлий Северин Боэций[69] – своего рода редактор «Ридерз Дайджест» римских времен. Боэций разбил работы Евклида на части, создав некоторый конспект для студентов, готовящихся к тестам с вариантами ответов. На современном жаргоне можно было бы назвать этот труд «Евклид для “чайников”» или рекламировать по телевизору с подписью «ЗВОНИТЕ 1-800-ДОКАЖИ-КА», но во времена Боэция это была вполне авторитетная работа.
Боэций приводил лишь определения и теоремы и, похоже, считал аппроксимации точными результатами. И это еще цветочки. В некоторых случаях он попросту ляпал ошибки – вот где ягодки-то. За перевирание идей греков Боэция не секли, не распинали, не жгли на костре и вообще не подвергали ни одному из популярных наказаний, применявшихся к умникам в Средние века. Его падение произошло из-за увлечения политикой. В 524 году ему отрубили голову за «заговорщические связи» с Восточной Римской империей. Лучше бы портил математику.
Еще одна показательная в своем головотяпстве книга того периода была написана бывалым купцом из Александрии. «Земля, – писал этот римлянин, – плоская. Необитаемая ее область имеет форму прямоугольника, длинная сторона которого вдвое длиннее его короткой… На севере размещается конического вида гора, вокруг которой вращаются солнце и луна». Его книга «Topographia Christiana»[70] была основана не на логике и наблюдении, а на Писании. Видимо, ничего так чтиво, сгодится полистать, потягивая вкусное, насыщенное свинцом римское вино: «Топография» была бестселлером аж до XII века, покуда сами римляне не стали историей.
Последним великим ученым, работавшим в Александрийской библиотеке, оказалась Гипатия[71], первая великая женщина-ученый, чье имя сохранила для нас история. Она родилась в Александрии около 370 года н. э. в семье знаменитого математика и философа Теона. Теон выучил дочь математике. Она стала его ближайшим сотрудником и в конце концов полностью затмила его. Один из ее учеников Дамаский, со временем превратившийся в ее сурового критика, писал о ней: «Она по натуре своей была изощренней и талантливей отца своего». Ее судьба и ее более широкое значение долго обсуждались множеством великих вроде Вольтера или Эдварда Гиббона в «Истории упадка и разрушения Римской империи»[72].
На рубеже V века Александрия была одним из величайших оплотов христианства. Из-за этого между государством и Церковью происходила нешуточная борьба. В те времена Александрия пережила множество общественных беспорядков и конфликтов между христианами и нехристианами вроде греческих неоплатоников и иудеев. В 391 году христианская толпа ворвалась в библиотеку и сожгла бо́льшую ее часть.
15 октября 412 года[73] умер христианский архиепископ Александрии. Ему наследовал его племянник по имени Кирилл, которого часто описывают как субъекта жадного до власти и в целом неприятного. Светскую власть в тот период представлял некто по имени Орест – префект Александрии и светский владыка Египта в 412–415 годах.
Гипатия считала себя интеллектуальной наследницей Платона и Пифагора – никак не Христианской церкви. Некоторые утверждают, что она даже училась в Афинах, где удостоилась лаврового венка, а им награждали лучших афинских учеников; по возвращении в Александрию Гипатия надевала этот венок при всяком появлении на публике. Судя по всему, это она написала важные комментарии к двум знаменитым греческим трудам – «Арифметике» Диофанта и «Коническим сечениям» Аполлония; эти работы читают и поныне.
О Гипатии также говорили, что была она красавицей и впечатляющим оратором; она читала многолюдные открытые лекции о Платоне и Аристотеле. Дамаский писал[74], что «весь город преклонялся пред нею и боготворил ее». В конце каждого дня она усаживалась в колесницу и отправлялась в академию – в роскошно украшенную залу лекций, где в подвесных лампах курились благовонные масла, а громадный купол был расписан греческим художником. Гипатия в белых одеяниях и неизменном лавровом венке вставала перед публикой и зачаровывала ее своим греческим красноречием. К ней стекались ученики из Рима, Афин и других великих городов Империи. Посещал ее лекции и римский префект Орест.
Орест подружился с Гипатией и стал ее наперсником. Они часто встречались и обсуждали не только ее лекции, но и дела городской и политической важности. Это и сделало ее союзницей Ореста в борьбе с Кириллом. Кириллу она, видимо, представлялась фигурой угрожающей: ее ученики занимали высокие посты и в Александрии, и вне ее. Гипатии хватало смелости продолжать лекции, хотя Кирилл и его приспешники распускали слухи о том, что она ведьма, владеющая черной магией, и наводит на горожан сатанинские чары.
Есть несколько версий того, что произошло далее, и большинство из них не противоречит друг другу[75]. Однажды утром, во время Великого поста 415 года Гипатия взошла на колесницу – по некоторым сведениям, рядом со своим домом, а по некоторым – на улице по дороге к дому. Несколько сотен Кирилловых прихвостней – христианских монахов из некого монастыря в пустыне – набросились на нее, избили и потащили в церковь. В церкви ее раздели догола и ободрали с нее плоть то ли заостренной черепицей, то ли глиняными черепками. После чего порвали ее на куски и сожгли останки. Согласно одному свидетельству, части ее тела разбросали по всему городу.
Все работы Гипатии уничтожили. Вскоре та же участь постигла и остатки библиотеки. Орест покинул Александрию – быть может, его отозвали, и по историческим документам о нем более ничего не известно. Следующие имперские чиновники наделили Кирилла властью, которой он так алкал. Впоследствии его канонизировали.
По оценкам недавних исторических исследований[76], на одного знаменитого математика в истории человечества приходится три миллиона человек. Ныне исследовательские труды широко доступны по всему миру. В IV веке, когда свитки кропотливо копировали вручную примитивными орудиями письма, потеря такого произведения означала, что труд, в ней заключенный, попадал в Красную книгу. Мы не можем представить, какие великие сокровища вавилонской и греческой математики были утеряны навсегда в пожаре библиотеки, содержавшей более 200 000 свитков. Но мы точно знаем, что в библиотеке содержалось более сотни пьес Софокла, из которых до наших дней дотянуло лишь семь. Гипатия была воплощением греческой науки и рационализма. С ее смертью наступила гибель греческой культуры.
С падением Рима (около 476 года н. э.) Европе достались огромные каменные храмы, театры и особняки, современные городские удобства типа уличного освещения, проточной горячей воды и канализации, но очень мало чего из достижений ума. К 800 году[77] сохранились лишь фрагменты перевода Евклидовых «Начал» на латынь. Вписанные в подборку обзорных текстов, они содержали только формулы, как попало примененные округления и никаких попыток выводов. Греческая традиция абстрагирования и доказательства, казалось, утеряна навсегда. Блистательная исламская цивилизация процветала, а Европа скатывалась в глубокую интеллектуальную пропасть. Этот период европейской истории получил соответствующее название: Темные века.
Но все же греческую мысль воскресили. Интерес к книгам вроде «Топографии» увял, а работы Боэция были заменены переводами поточней. В период позднего Средневековья группа философов создала пространство мысли, в которой процветали великие математики XVI века – Ферма, Лейбниц, Ньютон. Один из таких мыслителей оказался в центре следующей революции геометрии и нашего понимания пространства. Имя ему Рене Декарт.
Часть II. История Декарта
Глава 7. Революция местоположения
Глава 8. Происхождение широты и долготы
В 212 году до н. э. главный библиотекарь Александрии Эратосфен Киренский[62], человек, преодолевший за всю жизнь не более нескольких сотен миль, первым в истории рассчитал обхват Земли. Эти расчеты потрясли его сограждан, показав, сколь малую часть нашей планеты знала в те поры цивилизация. Купцы, первооткрыватели и провидцы, вероятно, мечтательно размышляли о том, есть ли разумная жизнь по ту сторону океана. Подвиг современности, сопоставимый по масштабам с эратосфеновским, – первым обнаружить, что Вселенная не ограничивается пределами нашей Солнечной системы.
Эратосфену озарение насчет нашей планеты далось без всяких дальних странствий. Как и у Эйнштейна, у него получилось применить геометрию. Эратосфен заметил, что в полдень в городе Сиене (ныне Асуан) во время летнего солнцестояния палка, воткнутая в землю, не отбрасывает тени[63]. Для Эратосфена это означало, что палка, воткнутая в землю, оказывалась параллельна солнечным лучам. Если представить Землю в виде окружности и нарисовать прямую из центра через точку на поверхности, представляющую Сиене, и далее в пространство, она окажется тоже параллельной лучам солнца. Теперь двинемся по прямой на поверхности Земли прочь из Сиене – в Александрию. Там вновь нарисуем линию, проведенную из центра Земли через точку-Александрию. Эта линия уже не будет параллельна лучам солнца – она пересекает их под некоторым углом, оттого и появляется видимая тень.
Эратосфену для вычисления части земной окружности – арки между Сиене и Александрией – хватило длины тени от палки, воткнутой в Александрии, и теоремы из «Начал» о линии, пересекающей две параллельные прямые. Он обнаружил, что эта дуга составляет одну пятидесятую от длины обхвата Земли.
Подтянув к делу, вероятно, первого в истории научного ассистента, Эратосфен нанял некого безымянного гражданина, чтобы тот прошел пешком от одного города к другому и замерил расстояние. Нанятый субъект прилежно доложил, что оно составляет примерно 500 миль. Умножив это расстояние на 50, Эратосфен определил обхват Земли в 250 000 миль – с четырехпроцентной погрешностью, а это фантастически точный результат, за который ему бы наверняка дали Нобелевскую премию, а его безымянному ходоку, быть может, – постоянную ставку в библиотеке.
Эратосфен оказался не единственным александрийцем своего времени, кто внес значительный вклад в понимание мира. Астроном Аристарх Самосский, также трудившийся в Александрии, применил гениальный, хоть и довольно затейливый метод, объединивший тригонометрию и простенькую модель небес, для расчета вполне осмысленной приблизительной величины Луны и расстояния до нее. Еще раз подчеркнем: у греков возникло новое представление об их месте во Вселенной.
Еще одна знаменитость, привлеченная Александрией, – Архимед. Родившись в Сиракузах, городе на острове Сицилия, Архимед приехал в Александрию учиться в великой школе математиков. Мы, быть может, и не знаем, кем был тот гений, что впервые обточил камень или дерево до округлой формы и поразил изумленных зевак явлением первого колеса, но мы точно знаем[64], кто открыл принцип рычага: Архимед. Он, кроме того, открыл принципы гидростатики и много разного привнес в физику и инженерное дело. Математику он поднял на такую высоту, выше которой без инструментария символьной алгебры и аналитической геометрии забраться было невозможно еще около восемнадцати веков.
Одно из достижений Архимеда в математике – доведение до совершенства методов матанализа, не слишком далеких от предложенных Ньютоном и Лейбницем. С учетом отсутствия картезианской геометрии это достижение смотрится еще более впечатляющим. Главной победой, одержанной с помощью его метода, сам Архимед считал определение объема сферы, вписанной в цилиндр (т. е. сферы, радиус которой равен радиусу и высоте цилиндра), – он равен двум третям объема этого цилиндра. Архимед так гордился этим открытием[65], что потребовал высечь изображение шара в цилиндре на своем надгробии.
Когда римляне захватили Сиракузы, Архимеду было семьдесят пять. Он был убит римским солдатом, когда изучал рисунок, вычерченный на песке. На его надгробие нанесли изображение, о котором он просил. Спустя более сотни лет римский оратор Цицерон посетил Сиракузы и нашел захоронение Архимеда рядом с воротами в город. Заброшенная могила заросла колючкой и вереском. Цицерон распорядился восстановить могилу. Увы, ныне ее уже не найти.
И астрономия в Александрии тоже достигла пика развития[66]: во II веке до н. э. – стараниями Гиппарха, а во II веке н. э. – Клавдия Птолемея (не родственника царя). Гиппарх наблюдал небеса тридцать пять лет, сложил свои наблюдения с данными вавилонян и разработал модель Солнечной системы, согласно которой пять известных тогда планет, Солнце и Луна двигались по общей круговой орбите вокруг Земли. Ему так ловко удалось описать движение Солнца и Луны, как это видно с Земли, что он мог предсказывать лунные затмения с точностью до пары часов. Птолемей усовершенствовал и расширил эти результаты в книге «Альмагест», осуществив мечту Платона дать рациональное объяснение движению небесных тел, и она была главным астрономическим трудом вплоть до Коперника.
Птолемей также написал книгу под названием «География»[67], которая описывала земное мироздание. Картография – предмет крайне математичный, поскольку карты – плоские, Земля – почти сферическая, а сферу нельзя описать при помощи плоскости, сохранив при этом точными и расстояния, и углы. «География» – начало серьезной картографии.
Ко II веку н. э. значительно развились и математика, и физика, и картография, и инженерное дело. К тому времени мы уже знали, что материя состоит из неделимых кусочков под названием атомы. Мы изобрели логику и доказательство, геометрию и тригонометрию, а также некоторую разновидность матанализа. В астрономии и науке о пространстве мы владели знанием, что мир очень стар и что мы обитаем на шаре. Мы даже располагали размерами этого шара. Мы начали понимать свое место во Вселенной. Мы изготовились двигаться дальше. Сейчас-то мы знаем, что есть и другие солнечные системы – всего-то в десятках световых лет от нас. Продлись Золотой век без заминок, мы, быть может, уже послали бы к ним исследовательские корабли. Может, мы бы оказались на Луне в 969-м, а не в 1969-м году. Может, мы бы поняли о пространстве и жизни то, что у нас сейчас и в голове не укладывается. Однако обстоятельства сложились так, что прогресс, начатый греками, задержался на тысячелетие.
Не исключено, что о причинах средневекового интеллектуального заката написано больше слов, чем было в свитках Александрийской библиотеки. Простого ответа нет. Династия Птолемеев пришла в упадок за два века до рождения Христа. Птолемей XII передал царствование сыну и дочери, унаследовавшим власть после смерти правителя в 51 году до н. э. В 49 году до н. э. его сын устроил заговор против сестрицы и прибрал всю власть к рукам. Сестрица же и сама была не промах – нашла способ добраться до самого римского императора и попросить о помощи (в те времена, хоть формально и не завися от Рима, империя Птолемеев уже находилась под римским господством). С этого начался роман Клеопатры с Юлием Цезарем. В итоге Клеопатра заявила, что собирается родить Цезарю сына. Римский император – мощный союзник египтянам, однако этот альянс был обречен – вместе с самим Цезарем. После того, как двадцать три римских сенатора напали на своего императора и закололи его во время Мартовских ид 44 года до н. э., внучатый племянник Цезаря, Октавиан, подчинил Риму и Александрию, и Египет.
Поскольку Рим завоевал Грецию, римляне получили доступ к интеллектуальному достоянию греков. Наследники греческих традиций покорили бо́льшую часть мира и столкнулись со многими техническими и инженерными трудностями, однако их императоры не поддерживали математику так, как это делали Александр или Птолемей Египетский, и цивилизация их не произвела на свет ни одного математического гения масштабов Пифагора, Евклида или Архимеда. За 1100 лет их правления – с 750 года до н. э. – история не помнит ни одной доказанной римлянами теоремы и ни одного математика. Для греков определение расстояний было математической задачей с участием равных и подобных треугольников, параллакса и геометрии. В римских учебниках[68] в словесно сформулированной задаче от читателя требовалось найти метод определения ширины реки, когда другой берег занят врагом. «Враг» – понятие, чья полезность в математике довольно спорна, зато оно – ключевое для римской манеры мышления.
В абстрактной математике римляне не разбирались – и гордились этим. Цицерон сказал: «Греки держали геометров в высочайшем почете. Потому и более всего развили они математику. Но мы положили предел этому искусству его пользой в измерении и счете». Вероятно, о римлянах можно было бы сказать: «Римляне держали воинов в высочайшем почете. Потому более всего развили они насилие и мародерство. Но мы положили предел этому искусству его пользой в покорении мира».
Нельзя сказать, что римляне не были образованы. Были. Они даже писали на латыни всякие технические методички, но те были исковерканными работами, одолженными у греков. К примеру, главный переводчик Евклида на латынь, римский сенатор из почтенной семьи Аниций Манлий Северин Боэций[69] – своего рода редактор «Ридерз Дайджест» римских времен. Боэций разбил работы Евклида на части, создав некоторый конспект для студентов, готовящихся к тестам с вариантами ответов. На современном жаргоне можно было бы назвать этот труд «Евклид для “чайников”» или рекламировать по телевизору с подписью «ЗВОНИТЕ 1-800-ДОКАЖИ-КА», но во времена Боэция это была вполне авторитетная работа.
Боэций приводил лишь определения и теоремы и, похоже, считал аппроксимации точными результатами. И это еще цветочки. В некоторых случаях он попросту ляпал ошибки – вот где ягодки-то. За перевирание идей греков Боэция не секли, не распинали, не жгли на костре и вообще не подвергали ни одному из популярных наказаний, применявшихся к умникам в Средние века. Его падение произошло из-за увлечения политикой. В 524 году ему отрубили голову за «заговорщические связи» с Восточной Римской империей. Лучше бы портил математику.
Еще одна показательная в своем головотяпстве книга того периода была написана бывалым купцом из Александрии. «Земля, – писал этот римлянин, – плоская. Необитаемая ее область имеет форму прямоугольника, длинная сторона которого вдвое длиннее его короткой… На севере размещается конического вида гора, вокруг которой вращаются солнце и луна». Его книга «Topographia Christiana»[70] была основана не на логике и наблюдении, а на Писании. Видимо, ничего так чтиво, сгодится полистать, потягивая вкусное, насыщенное свинцом римское вино: «Топография» была бестселлером аж до XII века, покуда сами римляне не стали историей.
Последним великим ученым, работавшим в Александрийской библиотеке, оказалась Гипатия[71], первая великая женщина-ученый, чье имя сохранила для нас история. Она родилась в Александрии около 370 года н. э. в семье знаменитого математика и философа Теона. Теон выучил дочь математике. Она стала его ближайшим сотрудником и в конце концов полностью затмила его. Один из ее учеников Дамаский, со временем превратившийся в ее сурового критика, писал о ней: «Она по натуре своей была изощренней и талантливей отца своего». Ее судьба и ее более широкое значение долго обсуждались множеством великих вроде Вольтера или Эдварда Гиббона в «Истории упадка и разрушения Римской империи»[72].
На рубеже V века Александрия была одним из величайших оплотов христианства. Из-за этого между государством и Церковью происходила нешуточная борьба. В те времена Александрия пережила множество общественных беспорядков и конфликтов между христианами и нехристианами вроде греческих неоплатоников и иудеев. В 391 году христианская толпа ворвалась в библиотеку и сожгла бо́льшую ее часть.
15 октября 412 года[73] умер христианский архиепископ Александрии. Ему наследовал его племянник по имени Кирилл, которого часто описывают как субъекта жадного до власти и в целом неприятного. Светскую власть в тот период представлял некто по имени Орест – префект Александрии и светский владыка Египта в 412–415 годах.
Гипатия считала себя интеллектуальной наследницей Платона и Пифагора – никак не Христианской церкви. Некоторые утверждают, что она даже училась в Афинах, где удостоилась лаврового венка, а им награждали лучших афинских учеников; по возвращении в Александрию Гипатия надевала этот венок при всяком появлении на публике. Судя по всему, это она написала важные комментарии к двум знаменитым греческим трудам – «Арифметике» Диофанта и «Коническим сечениям» Аполлония; эти работы читают и поныне.
О Гипатии также говорили, что была она красавицей и впечатляющим оратором; она читала многолюдные открытые лекции о Платоне и Аристотеле. Дамаский писал[74], что «весь город преклонялся пред нею и боготворил ее». В конце каждого дня она усаживалась в колесницу и отправлялась в академию – в роскошно украшенную залу лекций, где в подвесных лампах курились благовонные масла, а громадный купол был расписан греческим художником. Гипатия в белых одеяниях и неизменном лавровом венке вставала перед публикой и зачаровывала ее своим греческим красноречием. К ней стекались ученики из Рима, Афин и других великих городов Империи. Посещал ее лекции и римский префект Орест.
Орест подружился с Гипатией и стал ее наперсником. Они часто встречались и обсуждали не только ее лекции, но и дела городской и политической важности. Это и сделало ее союзницей Ореста в борьбе с Кириллом. Кириллу она, видимо, представлялась фигурой угрожающей: ее ученики занимали высокие посты и в Александрии, и вне ее. Гипатии хватало смелости продолжать лекции, хотя Кирилл и его приспешники распускали слухи о том, что она ведьма, владеющая черной магией, и наводит на горожан сатанинские чары.
Есть несколько версий того, что произошло далее, и большинство из них не противоречит друг другу[75]. Однажды утром, во время Великого поста 415 года Гипатия взошла на колесницу – по некоторым сведениям, рядом со своим домом, а по некоторым – на улице по дороге к дому. Несколько сотен Кирилловых прихвостней – христианских монахов из некого монастыря в пустыне – набросились на нее, избили и потащили в церковь. В церкви ее раздели догола и ободрали с нее плоть то ли заостренной черепицей, то ли глиняными черепками. После чего порвали ее на куски и сожгли останки. Согласно одному свидетельству, части ее тела разбросали по всему городу.
Все работы Гипатии уничтожили. Вскоре та же участь постигла и остатки библиотеки. Орест покинул Александрию – быть может, его отозвали, и по историческим документам о нем более ничего не известно. Следующие имперские чиновники наделили Кирилла властью, которой он так алкал. Впоследствии его канонизировали.
По оценкам недавних исторических исследований[76], на одного знаменитого математика в истории человечества приходится три миллиона человек. Ныне исследовательские труды широко доступны по всему миру. В IV веке, когда свитки кропотливо копировали вручную примитивными орудиями письма, потеря такого произведения означала, что труд, в ней заключенный, попадал в Красную книгу. Мы не можем представить, какие великие сокровища вавилонской и греческой математики были утеряны навсегда в пожаре библиотеки, содержавшей более 200 000 свитков. Но мы точно знаем, что в библиотеке содержалось более сотни пьес Софокла, из которых до наших дней дотянуло лишь семь. Гипатия была воплощением греческой науки и рационализма. С ее смертью наступила гибель греческой культуры.
С падением Рима (около 476 года н. э.) Европе достались огромные каменные храмы, театры и особняки, современные городские удобства типа уличного освещения, проточной горячей воды и канализации, но очень мало чего из достижений ума. К 800 году[77] сохранились лишь фрагменты перевода Евклидовых «Начал» на латынь. Вписанные в подборку обзорных текстов, они содержали только формулы, как попало примененные округления и никаких попыток выводов. Греческая традиция абстрагирования и доказательства, казалось, утеряна навсегда. Блистательная исламская цивилизация процветала, а Европа скатывалась в глубокую интеллектуальную пропасть. Этот период европейской истории получил соответствующее название: Темные века.
Но все же греческую мысль воскресили. Интерес к книгам вроде «Топографии» увял, а работы Боэция были заменены переводами поточней. В период позднего Средневековья группа философов создала пространство мысли, в которой процветали великие математики XVI века – Ферма, Лейбниц, Ньютон. Один из таких мыслителей оказался в центре следующей революции геометрии и нашего понимания пространства. Имя ему Рене Декарт.
Часть II. История Декарта
Где вы находитесь?
Как математики открыли простые принципы графиков функций и координат, что привело к эпохальному прорыву в философии и науке.
Глава 7. Революция местоположения
Откуда вам известно, где вы находитесь? Поняв, что существует пространство как таковое, следом задать этот вопрос – естественнее всего. Может показать ся, что ответ – за картографией, наукой о картах. Но картография – лишь начало. Подлинная теория определения местоположения ведет к понятиям гораздо глубже простого утверждения «Калэмэзу[78] – в квадрате F3».
Определение местоположения не сводится к названию населенного пункта. Представьте, что эмиссар другой планеты приземляется у нас – эдакое тощее существо, голова пузырем, сам дышит кислородом, ну или косматый, похожий на обезьяну субъект, предпочитающий оксид азота. Пожелай мы общаться, нашему гостю не помешал бы словарь. Но хватит ли этого? Если ваше представление о качественном общении сводится к обмену репликами вроде «Я Тарзан, ты Джейн», словарем можно ограничиться, однако для обмена межгалактическими идеями пришлось бы выучить грамматику обоих языков. В математике тоже есть свой словарь – система наименований точек на плоскости, в пространстве или на шаре, но это лишь начало. Подлинная мощь теории местоположения – в способности соотносить разные местоположения, пути между ними и их формы, а также взаимодействовать с ними при помощи уравнений, т. е. в объединении геометрии и алгебры.
Ныне, как говорится в одном старом учебнике по этому предмету[79], «учащемуся в наше время эти приемы даются практически без усилий». Трудно представить себе, до каких еще более грандиозных теорий додумались бы великие астрономы-физики Кеплер и Галилей, владей они приемами геометрии координат, но им пришлось обходиться без них. А вот уже располагая этим знанием, их последователи, Ньютон и Лейбниц, создали математический анализ и современную физику. Если бы геометрия и алгеб ра продолжили существовать порознь, мало какие достижения современной физики и инженерии стали бы возможны.
Подобно революции доказательства, первая веха на пути революции места – изобретение карт – возникла еще в догреческие времена. И хоть греческие гении вложились в этот предмет, конец цивилизации оставил его незавершенным, но сила этого знания уже оказалась на свободе. Следующим шагом в том же направлении стало изобретение графического представления функций, но оно случилось лишь с возрождением интеллектуальной традиции, после «темного» Средневековья. В итоге ушли последние великие греческие математики и картографы, и эта революция отстала на десяток веков.
Определение местоположения не сводится к названию населенного пункта. Представьте, что эмиссар другой планеты приземляется у нас – эдакое тощее существо, голова пузырем, сам дышит кислородом, ну или косматый, похожий на обезьяну субъект, предпочитающий оксид азота. Пожелай мы общаться, нашему гостю не помешал бы словарь. Но хватит ли этого? Если ваше представление о качественном общении сводится к обмену репликами вроде «Я Тарзан, ты Джейн», словарем можно ограничиться, однако для обмена межгалактическими идеями пришлось бы выучить грамматику обоих языков. В математике тоже есть свой словарь – система наименований точек на плоскости, в пространстве или на шаре, но это лишь начало. Подлинная мощь теории местоположения – в способности соотносить разные местоположения, пути между ними и их формы, а также взаимодействовать с ними при помощи уравнений, т. е. в объединении геометрии и алгебры.
Ныне, как говорится в одном старом учебнике по этому предмету[79], «учащемуся в наше время эти приемы даются практически без усилий». Трудно представить себе, до каких еще более грандиозных теорий додумались бы великие астрономы-физики Кеплер и Галилей, владей они приемами геометрии координат, но им пришлось обходиться без них. А вот уже располагая этим знанием, их последователи, Ньютон и Лейбниц, создали математический анализ и современную физику. Если бы геометрия и алгеб ра продолжили существовать порознь, мало какие достижения современной физики и инженерии стали бы возможны.
Подобно революции доказательства, первая веха на пути революции места – изобретение карт – возникла еще в догреческие времена. И хоть греческие гении вложились в этот предмет, конец цивилизации оставил его незавершенным, но сила этого знания уже оказалась на свободе. Следующим шагом в том же направлении стало изобретение графического представления функций, но оно случилось лишь с возрождением интеллектуальной традиции, после «темного» Средневековья. В итоге ушли последние великие греческие математики и картографы, и эта революция отстала на десяток веков.
Глава 8. Происхождение широты и долготы
Кто именно, когда и зачем начертал первую карту, нам неведомо. Однако мы знаем, что некоторые из первых известных нам карт[80] были созданы из тех же соображений, по которым египтяне изобрели геометрию. Эти карты – простые глиняные таблички 2300 годов до н. э. – содержали не топографические легенды или религиозные орнаменты, а записи о налогах на собственность. К 2000 году до н. э. карты земельных владений описывали границы угодий, перечисляли их хозяев и были вполне распространены и в Египте, и в Вавилоне. Можем представить себе увешанную драгоценностями месопотамскую даму, с некоторым трудом удерживающую в руках здоровенную глиняную табличку; она тыкает в некую точку на ней и торжественно произносит нараспев слова древнего языка: «Выбор места решает все».
Чем больше храбрецов отправлялось в странствия за семь морей, тем острее становилась потребность в картах – с гораздо более насущной целью. Совсем недавно, в 1915 году, когда судно сэра Эрнеста Шеклтона, «Эндьюренс», оказалось в ледяном плену и потерпело крушение среди антарктической зимы, величайшей опасностью для команды стали не ветры в 200 миль/час и не температуры, опускавшиеся до –70°С, а невозможность найти дорогу назад. И так было всю историю человечества: главная задача мореплавателей и первопроходцев в открытом океане – не потеряться. Допустим, вы отклонились от курса и не располагаете никакой информацией о том, где находитесь. Инструментов навигации у вас нет, а есть лишь примитивнейший приемопередатчик, чтобы позвать на помощь. Как сообщить спасателям о своем местоположении?
Две координаты, описывающие в наши дни положение на поверхности Земли, называются «широта» и «долгота». Представить их можно так: поместим в наш умозрительный ящик с инструментами три точки, две линии и шар. Берем шар и представляем его плавающим в пространстве. Он, понятно, символизирует Землю. Затем разместим на нем три точки в следующем порядке: одну – на Северном полюсе, одну – в центре, а третью – в любом месте на поверхности. Первой линией из нашего набора соединим Северный полюс и центр Земли. Это ось вращения планеты. Второй линией соединим центральную точку и точку на поверхности. Она окажется под некоторым углом к оси Земли. Этот угол, независимо от способа обозначения, определяет вашу широту.
Исходная идея широты пришла на ум античному метеорологу по имени Аристотель. Изучив влияние местоположения на Земле на климат в данной точке, он предложил поделить земной шар на пять климатических зон исходя из их положения относительно севера и юга. Эти зоны со временем включили в карты и провели между ними линии постоянных широт. Теория Аристотеля предполагает, что широту можно определить, хоть и приблизительно, исходя из климата местности: холоднее всего на полюсах, а чем ближе к экватору, тем теплее. Ясное дело, в некоторые дни в Стокгольме может быть теплее, чем в Барселоне, а значит, этот метод не слишком практичен – если только не торчать подолгу на одном месте, наблюдая за погодой. Лучше определять широту, ориентируясь по звездам. Проще всего это делать, найдя звезду, расположенную вдоль оси Земли. И такая звезда в северном полушарии есть, называется она «Полярная».
Полярная звезда полярной была не всегда[81] – земная ось по отношению к звездам не зафиксирована на одном месте. Она прецессирует, описывая узкий конус примерно за 26 000 лет. В некоторых великих пирамидах Древнего Египта есть проходы, выстроенные вдоль линии, проходящей через альфу Дракона: во времена постройки пирамид полярной была именно эта звезда. Древним грекам оказалось труднее: им настоящей полярной звезды было не видать. Всего через 10 000 лет северную полярную звезду наблюдать будет очень просто: ею станет Вега, ярчайшая звезда северного неба.
Чем больше храбрецов отправлялось в странствия за семь морей, тем острее становилась потребность в картах – с гораздо более насущной целью. Совсем недавно, в 1915 году, когда судно сэра Эрнеста Шеклтона, «Эндьюренс», оказалось в ледяном плену и потерпело крушение среди антарктической зимы, величайшей опасностью для команды стали не ветры в 200 миль/час и не температуры, опускавшиеся до –70°С, а невозможность найти дорогу назад. И так было всю историю человечества: главная задача мореплавателей и первопроходцев в открытом океане – не потеряться. Допустим, вы отклонились от курса и не располагаете никакой информацией о том, где находитесь. Инструментов навигации у вас нет, а есть лишь примитивнейший приемопередатчик, чтобы позвать на помощь. Как сообщить спасателям о своем местоположении?
Две координаты, описывающие в наши дни положение на поверхности Земли, называются «широта» и «долгота». Представить их можно так: поместим в наш умозрительный ящик с инструментами три точки, две линии и шар. Берем шар и представляем его плавающим в пространстве. Он, понятно, символизирует Землю. Затем разместим на нем три точки в следующем порядке: одну – на Северном полюсе, одну – в центре, а третью – в любом месте на поверхности. Первой линией из нашего набора соединим Северный полюс и центр Земли. Это ось вращения планеты. Второй линией соединим центральную точку и точку на поверхности. Она окажется под некоторым углом к оси Земли. Этот угол, независимо от способа обозначения, определяет вашу широту.
Исходная идея широты пришла на ум античному метеорологу по имени Аристотель. Изучив влияние местоположения на Земле на климат в данной точке, он предложил поделить земной шар на пять климатических зон исходя из их положения относительно севера и юга. Эти зоны со временем включили в карты и провели между ними линии постоянных широт. Теория Аристотеля предполагает, что широту можно определить, хоть и приблизительно, исходя из климата местности: холоднее всего на полюсах, а чем ближе к экватору, тем теплее. Ясное дело, в некоторые дни в Стокгольме может быть теплее, чем в Барселоне, а значит, этот метод не слишком практичен – если только не торчать подолгу на одном месте, наблюдая за погодой. Лучше определять широту, ориентируясь по звездам. Проще всего это делать, найдя звезду, расположенную вдоль оси Земли. И такая звезда в северном полушарии есть, называется она «Полярная».
Полярная звезда полярной была не всегда[81] – земная ось по отношению к звездам не зафиксирована на одном месте. Она прецессирует, описывая узкий конус примерно за 26 000 лет. В некоторых великих пирамидах Древнего Египта есть проходы, выстроенные вдоль линии, проходящей через альфу Дракона: во времена постройки пирамид полярной была именно эта звезда. Древним грекам оказалось труднее: им настоящей полярной звезды было не видать. Всего через 10 000 лет северную полярную звезду наблюдать будет очень просто: ею станет Вега, ярчайшая звезда северного неба.