Страница:
Оказывается, я так удачно проткнул шар (в самой нижней точке), что он, выпустив газ, тут же превратился в гигантский парашют. Мы с Единичкой плавно опустились на землю, не получив даже царапины. Нам, однако, очень трудно было выбраться из корзины: она закуталась в гигантскую оболочку шара, обмоталась стропилами, и мы целый час выбирались из нашего плена. А выбравшись, увидели, что приземлились на вершине какой-то горы у самого края глубочайшей ямы.
Я сразу же понял, что то был кратер ещё не погашенного вулкана. Из самой середины его высоко в небо поднималась струя не то пара, не то дыма. А внизу, на дне кратера, полыхал огонь.
Что было делать? Другой на моём месте растерялся бы. Другой, но не я. Усадив Единичку на склон вулкана, я уселся рядом, намереваясь скатиться вниз, подальше от беды. Но Единичка потянула носом и сказала:
— Как вкусно пахнет! По-моему, чем-то жареным…
Клянусь треугольником Паскаля, она была права! Мне сразу же отчаянно захотелось есть.
Я заглянул в кратер. На самом дне его пылал костёр. Сидевшие вокруг огня люди жарили мясо на вертелах. Конечно же, это были вулканологи. Увидев нас, они отчаянно замахали руками, приглашая разделить с ними ужин. Сами понимаете, что мы не заставили себя упрашивать. Уплетая за обе щеки, я спросил у гостеприимных хозяев, давно ли они сюда спустились.
— Давно! — отвечали они смеясь. — Завтра утром будет ровно миллион… секунд.
Вот чудаки! Считают время не на дни, а на секунды! А что такое секунда? Пролетела — и нет её. Подумаешь, миллион секунд! Я тоже, шутки ради, решил переключиться на новый счёт времени. И когда меня спросили о возрасте, я ответил, что живу на свете ровно миллиард минут. Как быстро летит время! Выходит, что каких-нибудь три четверти миллиарда минут назад я был совсем ещё крошкой. Однако Единичка — надо было ей вмешаться! — сказала, что для миллиарда минут я выгляжу слишком молодо.
Вскоре мы выбрались из гостеприимного вулкана и, осмотревшись, решили идти прямо навстречу солнцу, на восток. Единичка, конечно, стала говорить, что мы идём на запад, но переубедить меня ей не удалось.
Стемнело. Мы хотели отдохнуть, — как бы не так: нам помешали дети. Надо сказать, дети мне вообще-то никогда не мешают, но на этот раз я был возмущён их несправедливостью.
Ребят было четверо: трое мальчиков и одна девочка. Они что-то весело напевали и делили между собой яблоки. Яблок было очень много. Мальчики отдали небольшую часть девочке, а остальное…
— Остальное мы разделим поровну на троих, — сказал один парнишка.
— Как не стыдно обижать девочку! — вмешался я. — Почему вы дали ей так мало яблок, а себе оставили целую гору? Сейчас же удвойте её порцию! Слышите? Удвойте сейчас же!
Мальчики переглянулись.
— Уважаемый Магистр, — отвечали они (узнали-таки меня!), — если мы удвоим порцию этой девочки, на нас троих останется только половина всех яблок. Какая же это справедливость?
Не в силах сдержать возмущение, я увёл Единичку от этих противных маленьких скупердяев, но она (нет, вы только подумайте!) — она помахала им на прощание ручкой да ещё сказала: «Мальчики, вы все очень симпатичные!» Не понимаю, как могут нравиться такие жадины?
Как вы уже знаете, разволновавшись, я начинаю возводить целые числа в какие-нибудь степени. Это меня успокаивает. Вот и тут я стал возводить во вторую степень числа, оканчивающиеся пятёркой. Ну, скажем, 35, 55 или 85… Но едва я успевал вслух назвать число, как Единичка молниеносно выпаливала ответ. Так и .не удалось мне успокоиться.
Но какая всё-таки сообразительная девочка! Она мгновенно возводила в квадрат Любое число, оканчивающееся на 5. И если бы только двузначные числа, это ещё куда ни шло! Но она так же мгновенно возводила в квадрат и трехзначные числа. А это не фунт изюма! Попробуйте-ка быстро в уме возвести в квадрат трехзначное число, оканчивающееся пятёркой! Сами увидите, как это трудно.
Незаметно подошли мы с Единичкой к какому-то неизвестному городу. На городских воротах красовалась надпись: «КАНАЛ». Я сразу догадался, что либо для нас опустят подъёмный мост, как в древних рыцарских замках, либо нам придётся пуститься вплавь через этот КАНАЛ. Однако ни моста, ни воды поблизости не было.
Мы свободно прошли через ворота и увидели ряд зданий с вывесками. На одной я прочитал: «ПАНАМА». Что за чепуха? Неужели мы попали на Панамский канал, в Америку? Но это же невозможно! Может быть, перед нами просто шляпный магазин, где продают панамы?
Но тут Единичка обратила внимание на то, что слово «ПАНАМА» написано раздельно: «П-АНА-МА». А на другом здании она прочитала: «П-АНА-ФИ». Ничего не понимаю: ПАНАМА, ПАНАФИ… Тогда любопытная Единичка сбегала куда-то и разузнала наконец, в чём дело. Оказывается, слово «КАНАЛ» сокращённо означает Комбинат АНАЛОГИЙ, «П-АНА-МА» — это Полная АНАлогия МАтематическая, а «П-АНА-ФИ» — тоже Полная АНАлогия, но уже ФИзическая. Чудно! Что ещё за аналогии такие?!
Мы направились к зданию с вывеской «П-АНА-МА». Здесь было несколько десятков дверей, на каждой двери табличка с названием отдела. Каждый отдел занимается своими вопросами, причём самыми разнообразными. Так в одном и том же отделе одновременно исследовалось и прямолинейное равномерное движение, и давление жидкости на стенки сосуда. Тут же вычисляли длину окружности и сверх того изучали ещё много всяких явлений, не имеющих между собой ничего общего. В следующем отделе изучали законы падения тел и тут же вычисляли площадь круга. А вот у третьей двери висела совсем уж нелепая табличка: «Кручение валов и мыльные пузыри». По-моему, пытаться объять необъятное — дело дилетантов. Я даже не стал заходить в эту «ПАНАМУ» и направился к другому зданию под вывеской «П-АНА-ФИ». И вот тут-то мы с Единичкой очутились в поистине волшебном царстве! Нас роскошно, с ветерком прокатили в восхитительном лифте имени Альберта Эйнштейна. Сами понимаете, что такое название зря не даётся. Но в чём, собственно, дело, нам не объяснили. Впрочем, расспрашивать было некогда. У меня нет слов, чтобы описать все, что мы испытали при этом сказочном лифтополете. Может быть, я сумею поделиться с вами впечатлениями позже, когда приду в себя. Так что ждите моего следующего послания. Ждите — не пожалеете!
ПЯТНАДЦАТОЕ ЗАСЕДАНИЕ КРМ
ПИСЬМО ЕДИНИЧКИ
И получилось 378 225.
А вот у Тани произошла заминка. Она стала возводить в квадрат 435. Как и полагается, отделила 35 (в этом числе 7 пятёрок). Приписала семёрку к четвёрке и умножила на четыре: 47*4=188. Быстро возвела в квадрат 35, получила 1225, а дальше…
— Чепуха получается!
В самом деле, приписав к 188 число 1225, Таня получила явно нелепый ответ, раз в 10 больше возможного: 1881225!
— Выходит, в Единичкином способе есть какой-то изъян, — грустно заключила она. — Жаль!
— Никакого изъяна, — успокоил я Таню. — Дело в том, что приписывать справа можно только трех-, но не четырехзначные числа. А у тебя-то получилось четырехзначное — 1225.
— Не могу же я сделать из него трехзначное! — вспылила Таня.
— И не надо! Припиши только последние три цифры — 225, а единицу прибавь к числу слева — к 188. Получишь 189. Вот к ста восьмидесяти девяти и приписывай теперь 225. И получишь 189225.
— И как это вы догадались? — позавидовал Нулик. — Только мне-то нужно точное математическое доказательство. Знаете сами, без доказательств я ничему не верю.
Все согласились, что президент прав. Поэтому решили непременно найти Единичкиному правилу точное обоснование. Поиски, правда, отложили, а пока что занялись последним приключением Магистра, и Нулик тут же, с ходу спросил, что такое аналогия?
— Аналогия — это подобие, соответствие, — объяснил я. — Иногда такие соответствия можно найти между самыми на первый взгляд разными явлениями.
— Ах так?! — обрадовался президент. — Тогда, может, скажете, какая аналогия между падением тел и площадью круга или между длиной окружности и давлением жидкости?
— Спроси ещё, что общего между кручением вала и мыльными пузырями! — возмутился Сева.
— На первый взгляд ничего, конечно, — сказал я. — Но математики, между прочим, обнаруживают иногда аналогии в явлениях самых разных.
— Каким образом? — полюбопытствовал Нулик.
Вместо ответа я рассказал ребятам
СКАЗКУ ПРО КЛЮЧИК.
ПУТЕВЫЕ ЗАМЕТКИ РАССЕЯННОГО МАГИСТРА
Я сразу же понял, что то был кратер ещё не погашенного вулкана. Из самой середины его высоко в небо поднималась струя не то пара, не то дыма. А внизу, на дне кратера, полыхал огонь.
Что было делать? Другой на моём месте растерялся бы. Другой, но не я. Усадив Единичку на склон вулкана, я уселся рядом, намереваясь скатиться вниз, подальше от беды. Но Единичка потянула носом и сказала:
— Как вкусно пахнет! По-моему, чем-то жареным…
Клянусь треугольником Паскаля, она была права! Мне сразу же отчаянно захотелось есть.
Я заглянул в кратер. На самом дне его пылал костёр. Сидевшие вокруг огня люди жарили мясо на вертелах. Конечно же, это были вулканологи. Увидев нас, они отчаянно замахали руками, приглашая разделить с ними ужин. Сами понимаете, что мы не заставили себя упрашивать. Уплетая за обе щеки, я спросил у гостеприимных хозяев, давно ли они сюда спустились.
— Давно! — отвечали они смеясь. — Завтра утром будет ровно миллион… секунд.
Вот чудаки! Считают время не на дни, а на секунды! А что такое секунда? Пролетела — и нет её. Подумаешь, миллион секунд! Я тоже, шутки ради, решил переключиться на новый счёт времени. И когда меня спросили о возрасте, я ответил, что живу на свете ровно миллиард минут. Как быстро летит время! Выходит, что каких-нибудь три четверти миллиарда минут назад я был совсем ещё крошкой. Однако Единичка — надо было ей вмешаться! — сказала, что для миллиарда минут я выгляжу слишком молодо.
Вскоре мы выбрались из гостеприимного вулкана и, осмотревшись, решили идти прямо навстречу солнцу, на восток. Единичка, конечно, стала говорить, что мы идём на запад, но переубедить меня ей не удалось.
Стемнело. Мы хотели отдохнуть, — как бы не так: нам помешали дети. Надо сказать, дети мне вообще-то никогда не мешают, но на этот раз я был возмущён их несправедливостью.
Ребят было четверо: трое мальчиков и одна девочка. Они что-то весело напевали и делили между собой яблоки. Яблок было очень много. Мальчики отдали небольшую часть девочке, а остальное…
— Остальное мы разделим поровну на троих, — сказал один парнишка.
— Как не стыдно обижать девочку! — вмешался я. — Почему вы дали ей так мало яблок, а себе оставили целую гору? Сейчас же удвойте её порцию! Слышите? Удвойте сейчас же!
Мальчики переглянулись.
— Уважаемый Магистр, — отвечали они (узнали-таки меня!), — если мы удвоим порцию этой девочки, на нас троих останется только половина всех яблок. Какая же это справедливость?
Не в силах сдержать возмущение, я увёл Единичку от этих противных маленьких скупердяев, но она (нет, вы только подумайте!) — она помахала им на прощание ручкой да ещё сказала: «Мальчики, вы все очень симпатичные!» Не понимаю, как могут нравиться такие жадины?
Как вы уже знаете, разволновавшись, я начинаю возводить целые числа в какие-нибудь степени. Это меня успокаивает. Вот и тут я стал возводить во вторую степень числа, оканчивающиеся пятёркой. Ну, скажем, 35, 55 или 85… Но едва я успевал вслух назвать число, как Единичка молниеносно выпаливала ответ. Так и .не удалось мне успокоиться.
Но какая всё-таки сообразительная девочка! Она мгновенно возводила в квадрат Любое число, оканчивающееся на 5. И если бы только двузначные числа, это ещё куда ни шло! Но она так же мгновенно возводила в квадрат и трехзначные числа. А это не фунт изюма! Попробуйте-ка быстро в уме возвести в квадрат трехзначное число, оканчивающееся пятёркой! Сами увидите, как это трудно.
Незаметно подошли мы с Единичкой к какому-то неизвестному городу. На городских воротах красовалась надпись: «КАНАЛ». Я сразу догадался, что либо для нас опустят подъёмный мост, как в древних рыцарских замках, либо нам придётся пуститься вплавь через этот КАНАЛ. Однако ни моста, ни воды поблизости не было.
Мы свободно прошли через ворота и увидели ряд зданий с вывесками. На одной я прочитал: «ПАНАМА». Что за чепуха? Неужели мы попали на Панамский канал, в Америку? Но это же невозможно! Может быть, перед нами просто шляпный магазин, где продают панамы?
Но тут Единичка обратила внимание на то, что слово «ПАНАМА» написано раздельно: «П-АНА-МА». А на другом здании она прочитала: «П-АНА-ФИ». Ничего не понимаю: ПАНАМА, ПАНАФИ… Тогда любопытная Единичка сбегала куда-то и разузнала наконец, в чём дело. Оказывается, слово «КАНАЛ» сокращённо означает Комбинат АНАЛОГИЙ, «П-АНА-МА» — это Полная АНАлогия МАтематическая, а «П-АНА-ФИ» — тоже Полная АНАлогия, но уже ФИзическая. Чудно! Что ещё за аналогии такие?!
Мы направились к зданию с вывеской «П-АНА-МА». Здесь было несколько десятков дверей, на каждой двери табличка с названием отдела. Каждый отдел занимается своими вопросами, причём самыми разнообразными. Так в одном и том же отделе одновременно исследовалось и прямолинейное равномерное движение, и давление жидкости на стенки сосуда. Тут же вычисляли длину окружности и сверх того изучали ещё много всяких явлений, не имеющих между собой ничего общего. В следующем отделе изучали законы падения тел и тут же вычисляли площадь круга. А вот у третьей двери висела совсем уж нелепая табличка: «Кручение валов и мыльные пузыри». По-моему, пытаться объять необъятное — дело дилетантов. Я даже не стал заходить в эту «ПАНАМУ» и направился к другому зданию под вывеской «П-АНА-ФИ». И вот тут-то мы с Единичкой очутились в поистине волшебном царстве! Нас роскошно, с ветерком прокатили в восхитительном лифте имени Альберта Эйнштейна. Сами понимаете, что такое название зря не даётся. Но в чём, собственно, дело, нам не объяснили. Впрочем, расспрашивать было некогда. У меня нет слов, чтобы описать все, что мы испытали при этом сказочном лифтополете. Может быть, я сумею поделиться с вами впечатлениями позже, когда приду в себя. Так что ждите моего следующего послания. Ждите — не пожалеете!
ПЯТНАДЦАТОЕ ЗАСЕДАНИЕ КРМ
чуть было не сорвалось из-за серьёзных разногласий: никак не могли договориться, где его проводить. Спортзал, класс, прогулка по бульварам — все это уже было и больше никого не устраивало. Нулик заявил, что заседать следует только на воздушном шаре. Сева хотел отправиться на вершину какого-нибудь вулкана. Олег считал, что не мешало бы посетить один из научно-исследовательских институтов. Предложения, как видите, достаточно смелые, но мало осуществимые… Спорили долго. Наконец Таня нашла выход, который примирил всех:
— Купим по воздушному шарику, отправимся на Ленинские горы и побродим вокруг здания университета.
— То, да не то, — вздохнул Нулик.
— Зато по карману, — рассмеялся Сева.
Олег сразу же посоветовал не тратить попусту времени на явные нелепости Магистра.
Президент надулся:
— А я только что собирался сказать, что воздушный шар не мог взмыть вверх из-за потери карандаша.
— Собирался и сказал. Чего ж тебе ещё?
— Ещё то, что оболочка шара не могла превратиться в парашют.
— Ладно, — махнул рукой Олег. — С тобой каши не сваришь. Давай выговаривайся.
— Да нет, у меня все, — торопливо сказал Нулик. — Я только хотел уточнить: надевают ли в воздухе акваланги и имеются ли у парашюта стропила? Наверное, Магистр перепутал их со стропами? А теперь можно переходить к вулканологам.
— Какие там вулканологи! — фыркнул Сева. — Конечно, это были археологи. Они сами и выкопали ту яму, которую Магистр принял за кратер «непогашенного» вулкана. Неужели ты сразу не догадался?
— Догадался, да стоит ли говорить о таких «явных нелепостях»? — вывернулся президент.
— Но, но! Без хитростей! — погрозил пальцем Сева. — Сосчитай-ка лучше, сколько дней в миллионе секунд.
Нулик наморщил лоб и зашевелил губами.
— Миллион секунд… это будет… В общем, наверное, больше суток.
— Уж конечно, больше, — кивнул Сева, — но раз этак в двенадцать…
— Ого! Что же тогда миллиард минут, которые прожил Магистр? Лет двести, никак не меньше!
— Около двух тысяч, — поправил Олег.
Все засмеялись.
— Да, права была Единичка, — сказала Таня. — Для человека двух тысяч лет от роду Магистр действительно выглядит моложаво.
— Представляю себе, что было на земле триллион минут тому назад! Наверное, тогда ещё жили эти… неандертальцы? — спросил Нулик.
— Где там! Тогда ещё и питекантропов не было. Ведь триллион минут — значит два миллиона лет!
— А квадриллион минут тому назад, — продолжал приставать президент, — что было тогда?
— Эк куда тебя занесло! — отбивался Олег… — Ведь два квадриллиона минут — это около четырех миллиардов лет. А в это время и планеты-то нашей ещё не существовало.
— Подумать только! — удивился президент.
— На этот вопрос мы потратили по крайней мере 1000 секунд, — вмешался Сева. — Не довольно ли?
— В самом деле, — согласился Нулик. — Я только хотел спросить, будем мы выяснять, пошёл Магистр на восток или на запад?
— Не будем, — отрезал Сева.
— Поверим и на этот раз Единичке, — предложила Таня, — она не ошибается. А вот о несправедливых мальчиках и обиженной девочке поговорить стоит…
— И потому прошу слова, — перебил её Сева. — Мальчишки и в самом деле никого не обидели: ни себя, ни девочку. В этом легко убедиться. Ведь стоило им послушаться Магистра и удвоить девочкину порцию, как у них осталась бы только половина всех яблок. А девочка получила бы…
— Вторую половину! — подсказал Нулик.
— Значит, у девочки была четвёртая часть всего урожая, а у трех мальчиков…
— Три четверти! — снова подсказал президент.
— И никакой несправедливости. Яблоки были честно поделены на четыре части поровну.
Незаметно подошли мы к Ленинским горам и постояли некоторое время, любуясь великолепной панорамой зимнего заснеженного города. Но тут, заметив лыжный трамплин, Нулик захотел во что бы то ни стало съехать с него вместе с Пончиком. Таня не без труда отговорила его от этой затеи.
— Если хочешь непременно поломать голову, так уж лучше над тем, как Единичка в уме возводила в квадрат числа, оканчивающиеся пятёркой.
— И как она это делала? — поинтересовался малыш.
— Как? Очень просто. Допустим, надо возвести в квадрат число 75. Отделяем мысленно число единиц, то есть пятёрку, а число десятков — 7 — умножаем на число, следующее за семёркой, то есть на восемь. Семью восемь — 56. Теперь к этому произведению приписываем справа квадрат пяти — 25. Вот и ответ: 75^2=5625. Быстро и просто!
Нулик пришёл в восторг от остроумного способа и тотчас же принялся возводить в квадрат число 65: отделив пятёрку, умножил 6 на 7, получил 42 и приписал 25. И представьте себе, ответ получился точный: 4225.
Сева, однако, заметил, что это легко и просто с двузначными числами. А вот если взять трехзначное…
— Попробуйте в уме возвести в квадрат 615. Ведь для этого надо помножить 61 на 62. И не на бумажке, а в уме! А это и долго и нудно…
Все согласились, что Единичкин способ хорош только для двузначных чисел.
— Но ведь она возводила в квадрат и трехзначные, — напомнил Нулик. — Но каким образом?
Сева пожал плечами:
— Откуда я знаю? Об этом надо бы спросить у неё.
— Надо бы, — согласился президент, — да где она?
— Не так далеко, как ты думаешь, — сказал я, медленно засовывая руку в карман.
Ребята переглянулись.
— Вы хотите сказать… она там? — с запинкой произнёс Нулик, заворожённо следя за моей рукой.
Я не мог не улыбнуться.
— Успокойся. Всего только письмо от неё. В ту же секунду члены КРМ, издав какой-то поросячий визг, повисли на мне как связка бананов.
В общем, прошло не менее минуты, пока письмо, переходя из рук в руки, очутилось наконец у Тани и все успокоились настолько, что она смогла его прочитать.
— Купим по воздушному шарику, отправимся на Ленинские горы и побродим вокруг здания университета.
— То, да не то, — вздохнул Нулик.
— Зато по карману, — рассмеялся Сева.
Олег сразу же посоветовал не тратить попусту времени на явные нелепости Магистра.
Президент надулся:
— А я только что собирался сказать, что воздушный шар не мог взмыть вверх из-за потери карандаша.
— Собирался и сказал. Чего ж тебе ещё?
— Ещё то, что оболочка шара не могла превратиться в парашют.
— Ладно, — махнул рукой Олег. — С тобой каши не сваришь. Давай выговаривайся.
— Да нет, у меня все, — торопливо сказал Нулик. — Я только хотел уточнить: надевают ли в воздухе акваланги и имеются ли у парашюта стропила? Наверное, Магистр перепутал их со стропами? А теперь можно переходить к вулканологам.
— Какие там вулканологи! — фыркнул Сева. — Конечно, это были археологи. Они сами и выкопали ту яму, которую Магистр принял за кратер «непогашенного» вулкана. Неужели ты сразу не догадался?
— Догадался, да стоит ли говорить о таких «явных нелепостях»? — вывернулся президент.
— Но, но! Без хитростей! — погрозил пальцем Сева. — Сосчитай-ка лучше, сколько дней в миллионе секунд.
Нулик наморщил лоб и зашевелил губами.
— Миллион секунд… это будет… В общем, наверное, больше суток.
— Уж конечно, больше, — кивнул Сева, — но раз этак в двенадцать…
— Ого! Что же тогда миллиард минут, которые прожил Магистр? Лет двести, никак не меньше!
— Около двух тысяч, — поправил Олег.
Все засмеялись.
— Да, права была Единичка, — сказала Таня. — Для человека двух тысяч лет от роду Магистр действительно выглядит моложаво.
— Представляю себе, что было на земле триллион минут тому назад! Наверное, тогда ещё жили эти… неандертальцы? — спросил Нулик.
— Где там! Тогда ещё и питекантропов не было. Ведь триллион минут — значит два миллиона лет!
— А квадриллион минут тому назад, — продолжал приставать президент, — что было тогда?
— Эк куда тебя занесло! — отбивался Олег… — Ведь два квадриллиона минут — это около четырех миллиардов лет. А в это время и планеты-то нашей ещё не существовало.
— Подумать только! — удивился президент.
— На этот вопрос мы потратили по крайней мере 1000 секунд, — вмешался Сева. — Не довольно ли?
— В самом деле, — согласился Нулик. — Я только хотел спросить, будем мы выяснять, пошёл Магистр на восток или на запад?
— Не будем, — отрезал Сева.
— Поверим и на этот раз Единичке, — предложила Таня, — она не ошибается. А вот о несправедливых мальчиках и обиженной девочке поговорить стоит…
— И потому прошу слова, — перебил её Сева. — Мальчишки и в самом деле никого не обидели: ни себя, ни девочку. В этом легко убедиться. Ведь стоило им послушаться Магистра и удвоить девочкину порцию, как у них осталась бы только половина всех яблок. А девочка получила бы…
— Вторую половину! — подсказал Нулик.
— Значит, у девочки была четвёртая часть всего урожая, а у трех мальчиков…
— Три четверти! — снова подсказал президент.
— И никакой несправедливости. Яблоки были честно поделены на четыре части поровну.
Незаметно подошли мы к Ленинским горам и постояли некоторое время, любуясь великолепной панорамой зимнего заснеженного города. Но тут, заметив лыжный трамплин, Нулик захотел во что бы то ни стало съехать с него вместе с Пончиком. Таня не без труда отговорила его от этой затеи.
— Если хочешь непременно поломать голову, так уж лучше над тем, как Единичка в уме возводила в квадрат числа, оканчивающиеся пятёркой.
— И как она это делала? — поинтересовался малыш.
— Как? Очень просто. Допустим, надо возвести в квадрат число 75. Отделяем мысленно число единиц, то есть пятёрку, а число десятков — 7 — умножаем на число, следующее за семёркой, то есть на восемь. Семью восемь — 56. Теперь к этому произведению приписываем справа квадрат пяти — 25. Вот и ответ: 75^2=5625. Быстро и просто!
Нулик пришёл в восторг от остроумного способа и тотчас же принялся возводить в квадрат число 65: отделив пятёрку, умножил 6 на 7, получил 42 и приписал 25. И представьте себе, ответ получился точный: 4225.
Сева, однако, заметил, что это легко и просто с двузначными числами. А вот если взять трехзначное…
— Попробуйте в уме возвести в квадрат 615. Ведь для этого надо помножить 61 на 62. И не на бумажке, а в уме! А это и долго и нудно…
Все согласились, что Единичкин способ хорош только для двузначных чисел.
— Но ведь она возводила в квадрат и трехзначные, — напомнил Нулик. — Но каким образом?
Сева пожал плечами:
— Откуда я знаю? Об этом надо бы спросить у неё.
— Надо бы, — согласился президент, — да где она?
— Не так далеко, как ты думаешь, — сказал я, медленно засовывая руку в карман.
Ребята переглянулись.
— Вы хотите сказать… она там? — с запинкой произнёс Нулик, заворожённо следя за моей рукой.
Я не мог не улыбнуться.
— Успокойся. Всего только письмо от неё. В ту же секунду члены КРМ, издав какой-то поросячий визг, повисли на мне как связка бананов.
В общем, прошло не менее минуты, пока письмо, переходя из рук в руки, очутилось наконец у Тани и все успокоились настолько, что она смогла его прочитать.
ПИСЬМО ЕДИНИЧКИ
«Дорогие члены Клуба Рассеянного Магистра — Таня, Сева, Олег, Нулик и, конечно, Пончик! Мне уже очень давно хочется лично познакомиться с вами. Надеюсь, это удастся скоро — как только я вернусь домой. А пока познакомимся письменно.Единичкин способ понравился, и все тут же стали проверять его на практике. Сева, например, стал возводить в квадрат недавно избранное им число 615. Отделил 15, установил, что в нём содержатся три пятёрки, и приписал тройку справа от шести: 63. Далее умножил 63 на шесть, то есть на оставшееся после отделения число: 63*6=378. Ребята внимательно следили за его рассуждениями. Затем по известному уже правилу Сева возвёл в квадрат 15, получил, естественно, 225 и приписал это число к числу 378.
Я по-прежнему путешествую с Магистром. Мы с ним очень подружились. В общем, он хороший и добрый. И умный. Да-да, не смейтесь. Разве виноват человек, что родился таким рассеянным! Думаю, и мы с вами не всегда так уж внимательны. Признаться, я тоже частенько посматриваю на уроках по сторонам, а когда меня вдруг спросят, отвечаю невпопад. А пишу я письмо потому, что вам иначе не догадаться, как возводить в квадрат трехзначные числа в уме. (Не догадаться потому, что способ выдумала я сама.)
Следите за мной внимательно. Возьмём число 215 и возведём его в квадрат. Сперва мысленно отделим, только не одну, а две последние цифры — 15. Далее узнаем, сколько в этом отделённом числе заключено пятёрок. Ясно, три. Припишем эту тройку к цифре 2, оставшейся в числе 215 слева. Получаем 23. Умножим 23 все на ту же двойку: 23*2=46. А дальше остаются пустяки. Припишем к числу 46 квадрат отделённой части — 15, он равен 225. (Это вы уже, вероятно, запомнили, возводя в квадрат двузначные числа.) И вот окончательный ответ: 215^2=46225. Ну как, ловко? Поупражняйтесь-ка сами!
Я теперь буду вам часто писать. Жаль только, что не могу дать своего обратного адреса: ведь мы с Магистром никогда не знаем, где очутимся завтра! Ну, всего вам хорошего. До свидания.
Единичка».
И получилось 378 225.
А вот у Тани произошла заминка. Она стала возводить в квадрат 435. Как и полагается, отделила 35 (в этом числе 7 пятёрок). Приписала семёрку к четвёрке и умножила на четыре: 47*4=188. Быстро возвела в квадрат 35, получила 1225, а дальше…
— Чепуха получается!
В самом деле, приписав к 188 число 1225, Таня получила явно нелепый ответ, раз в 10 больше возможного: 1881225!
— Выходит, в Единичкином способе есть какой-то изъян, — грустно заключила она. — Жаль!
— Никакого изъяна, — успокоил я Таню. — Дело в том, что приписывать справа можно только трех-, но не четырехзначные числа. А у тебя-то получилось четырехзначное — 1225.
— Не могу же я сделать из него трехзначное! — вспылила Таня.
— И не надо! Припиши только последние три цифры — 225, а единицу прибавь к числу слева — к 188. Получишь 189. Вот к ста восьмидесяти девяти и приписывай теперь 225. И получишь 189225.
— И как это вы догадались? — позавидовал Нулик. — Только мне-то нужно точное математическое доказательство. Знаете сами, без доказательств я ничему не верю.
Все согласились, что президент прав. Поэтому решили непременно найти Единичкиному правилу точное обоснование. Поиски, правда, отложили, а пока что занялись последним приключением Магистра, и Нулик тут же, с ходу спросил, что такое аналогия?
— Аналогия — это подобие, соответствие, — объяснил я. — Иногда такие соответствия можно найти между самыми на первый взгляд разными явлениями.
— Ах так?! — обрадовался президент. — Тогда, может, скажете, какая аналогия между падением тел и площадью круга или между длиной окружности и давлением жидкости?
— Спроси ещё, что общего между кручением вала и мыльными пузырями! — возмутился Сева.
— На первый взгляд ничего, конечно, — сказал я. — Но математики, между прочим, обнаруживают иногда аналогии в явлениях самых разных.
— Каким образом? — полюбопытствовал Нулик.
Вместо ответа я рассказал ребятам
СКАЗКУ ПРО КЛЮЧИК.
Однажды, в древние времена, набрели люди на огромную неприступную крепость-дворец, где никто уже давно не жил. В этом дворце были тысячи комнат, залов, галерей, башен… Однако проникнуть туда не мог никто — все двери были заперты, а ключей не было. Но люди оказались любознательными, им не терпелось выяснить, что скрывается за каждой запертой дверью. Позвали искусных мастеров и велели им подобрать ключи ко всем замкам. Легко сказать — ко всем! Ведь замков сотни, тысячи! Но мастера были чудо-мастерами. Они подобрали ключи особые. Каждый ключ открывал не один, а много — несколько десятков, а то и сотен замков. И вот необыкновенные тайны, скрытые в крепости, стали постепенно открываться людям. И всё же многие двери так до сих пор и остаются запертыми, а потомки искусных мастеров все ещё ломают головы, подбирая к ним ключи.
— Интересная сказка! — похвалил президент. — Но при чём здесь математика и математические аналогии?
— Сказка — ложь, да в ней намёк, добрым молодцам урок! — ответил я. — Ведь к любой математической задаче тоже надо сперва подобрать подходящий ключик. Вот попробуем решить такую задачу. В магазины привезли яблоки одного сорта, и поэтому продавали их повсюду по одной цене. Спрашивается: какую выручку от продажи этих яблок получил каждый магазин в отдельности?
— Как же решать задачу, когда ничего не известно — ни цены, ни сколько яблок завезено? — рассердился Нулик.
— В таком случае, — предложил я, — решим задачу попроще. Пусть нам нужно узнать выручку только одного магазина, который продал 50 килограммов яблок по шестидесяти копеек за килограмм.
— Другой разговор! — оживился президент. — Умножим 50 на 60, и выручка в кармане — 30 рублей!
— Правильно! Но ведь точно так же ты будешь вычислять выручку и любого другого магазина. Поэтому все решения можно обобщить одним-единственным. Обозначим цену буквой a, а количество проданных яблок буквой x. Тогда выручка (обозначим её буквой y) окажется равной a, умноженному на х, то есть: ax. Получим равенство: y=ax. Остаётся подставить вместо букв числа, то есть цену и количество яблок, проданных каждым магазином, — и задача решена.
— Понятно! — просиял Нулик. — Значит, равенство y=ax — тот самый ключик, который пригоден для всех фруктовых магазинов?
— Что фруктовые магазины! Будь ключик пригоден только для магазинов, великие возможности математики были бы слишком сужены. Одним и тем же математическим равенством можно выразить явления самые разнородные! Вот, например, что общего между выручкой магазина и полётом ракеты на Венеру? Казалось бы, ничего? Ан нет, общее есть! И тут и там надо воспользоваться одним и тем же ключиком. Пусть ракета уже вырвалась из объятий земного притяжения и с постоянной скоростью несётся в космосе. Стоит обозначить скорость ракеты все той же буквой a, а время её полёта буквой x, как мы сразу вычислим путь y, который пролетит ракета за это время. Надо только подставить соответствующие числа в наше волшебное «яблочное» равенство: y=ax.
Возьмём теперь совсем другую задачу: каково давление жидкости на дно сосуда? И тут нам поможет все тот же ключик: y=ax. Только теперь буквой a будет обозначен удельный вес жидкости, а буквой x — высота её уровня над дном сосуда. Много самых различных задач поможет нам решить волшебный ключик. В том-то и ценность математики, что для явлений разного порядка — из области механики, физики, химии, астрономии, биологии — она находит общие математические выражения. Иначе говоря, между многими различными явлениями существует ПОЛНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ, то есть соответствие.
— П-АНА-МА, — подмигнул президент.
— Можно и так, — улыбнулся я. — Вот почему математика проникла во все области человеческих знаний. Конечно, не все явления можно охватить одной аналогией. Равенство y=ax, например, уже не пригодно для того, чтобы выяснить, какой путь пролетает за каждую секунду падающее тело. Тут нужен другой ключик: y=ax^2. Но и этот ключик пригоден в разных случаях: для вычисления площади круга и для многих других аналогичных задач… Разные группы задач требуют и разных ключей, иногда, кстати, очень сложных и замысловатых. Впрочем, учёные — мастера изготовлять и подбирать ключи самых причудливых фасонов!
Сева осторожно дотронулся до моей руки.
— Но какая всё-таки аналогия между кручением вала и мыльными пузырями?
— Сразу видно, что ты не учёный. Учёный никогда не скажет — мыльные пузыри, но непременно — мыльные плёнки.
— Хорошо, пусть плёнки. Но при чём они здесь?
— А вот при чём. Ты уже знаешь о науке, которую называют сопротивлением материалов, иначе — теорией упругости. Дело в том, что среди вопросов, которые эта наука изучает, есть и вопрос о кручении валов или каких-либо других тел. Кстати сказать, закручиваются не только те части машин, которые могут свободно вращаться. Закручивается в полёте от напора воздуха крыло самолёта, хотя крутиться ему не положено и оно крепко вделано в корпус машины. Однако если напор воздуха очень велик, крыло, перекрутившись, может вырваться из своего гнезда, и… ну, что будет тогда, лучше не разъяснять. Так вот, для того чтобы ничего такого не случилось, теория упругости точно подсчитывает, какими должны быть материалы и размеры той или иной детали, и добивается таким образом наибольшей прочности машины. Учёные составили математические уравнения и на случай кручения. Но вот беда — решить их было во многих случаях невозможно. Тут-то и помогла учёным математическая аналогия. Взяли они мыльную плёнку, закрепили по краям (работа тонкая!), нагрузили её и стали исследовать, как она провисает. Изучив поверхность провисшей плёнки, математики нашли для неё нужное уравнение. Нашли и увидели, что уравнение поверхности провисающей мыльной плёнки (или, как её называют, мембраны) в точности совпадает с уравнением кручения вала. И задача, которая казалась неразрешимой, была решена. Ведь экспериментировать на плёнке куда проще, чем изучать деформацию крутящегося вала или самолётного крыла… Так что насчёт ПАНАМЫ пока все.
— А ПАНАФИ? — забеспокоился Нулик. — С чем это едят?
Ребята шумно поддержали своего президента. А Сева — тот даже пробурчал что-то насчёт прогулки в лифте Эйнштейна.
С трудом удалось мне успокоить разбушевавшихся клубменов и убедить их дождаться следующего рассказа Магистра, где, конечно, будет подробное сообщение о его новом удивительном полёте.
— К тому же, — добавил я, — уже темнеет. А для такого вопроса, как лифт Эйнштейна, требуется полная ясность. И мы отправились по домам.
— Интересная сказка! — похвалил президент. — Но при чём здесь математика и математические аналогии?
— Сказка — ложь, да в ней намёк, добрым молодцам урок! — ответил я. — Ведь к любой математической задаче тоже надо сперва подобрать подходящий ключик. Вот попробуем решить такую задачу. В магазины привезли яблоки одного сорта, и поэтому продавали их повсюду по одной цене. Спрашивается: какую выручку от продажи этих яблок получил каждый магазин в отдельности?
— Как же решать задачу, когда ничего не известно — ни цены, ни сколько яблок завезено? — рассердился Нулик.
— В таком случае, — предложил я, — решим задачу попроще. Пусть нам нужно узнать выручку только одного магазина, который продал 50 килограммов яблок по шестидесяти копеек за килограмм.
— Другой разговор! — оживился президент. — Умножим 50 на 60, и выручка в кармане — 30 рублей!
— Правильно! Но ведь точно так же ты будешь вычислять выручку и любого другого магазина. Поэтому все решения можно обобщить одним-единственным. Обозначим цену буквой a, а количество проданных яблок буквой x. Тогда выручка (обозначим её буквой y) окажется равной a, умноженному на х, то есть: ax. Получим равенство: y=ax. Остаётся подставить вместо букв числа, то есть цену и количество яблок, проданных каждым магазином, — и задача решена.
— Понятно! — просиял Нулик. — Значит, равенство y=ax — тот самый ключик, который пригоден для всех фруктовых магазинов?
— Что фруктовые магазины! Будь ключик пригоден только для магазинов, великие возможности математики были бы слишком сужены. Одним и тем же математическим равенством можно выразить явления самые разнородные! Вот, например, что общего между выручкой магазина и полётом ракеты на Венеру? Казалось бы, ничего? Ан нет, общее есть! И тут и там надо воспользоваться одним и тем же ключиком. Пусть ракета уже вырвалась из объятий земного притяжения и с постоянной скоростью несётся в космосе. Стоит обозначить скорость ракеты все той же буквой a, а время её полёта буквой x, как мы сразу вычислим путь y, который пролетит ракета за это время. Надо только подставить соответствующие числа в наше волшебное «яблочное» равенство: y=ax.
Возьмём теперь совсем другую задачу: каково давление жидкости на дно сосуда? И тут нам поможет все тот же ключик: y=ax. Только теперь буквой a будет обозначен удельный вес жидкости, а буквой x — высота её уровня над дном сосуда. Много самых различных задач поможет нам решить волшебный ключик. В том-то и ценность математики, что для явлений разного порядка — из области механики, физики, химии, астрономии, биологии — она находит общие математические выражения. Иначе говоря, между многими различными явлениями существует ПОЛНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ, то есть соответствие.
— П-АНА-МА, — подмигнул президент.
— Можно и так, — улыбнулся я. — Вот почему математика проникла во все области человеческих знаний. Конечно, не все явления можно охватить одной аналогией. Равенство y=ax, например, уже не пригодно для того, чтобы выяснить, какой путь пролетает за каждую секунду падающее тело. Тут нужен другой ключик: y=ax^2. Но и этот ключик пригоден в разных случаях: для вычисления площади круга и для многих других аналогичных задач… Разные группы задач требуют и разных ключей, иногда, кстати, очень сложных и замысловатых. Впрочем, учёные — мастера изготовлять и подбирать ключи самых причудливых фасонов!
Сева осторожно дотронулся до моей руки.
— Но какая всё-таки аналогия между кручением вала и мыльными пузырями?
— Сразу видно, что ты не учёный. Учёный никогда не скажет — мыльные пузыри, но непременно — мыльные плёнки.
— Хорошо, пусть плёнки. Но при чём они здесь?
— А вот при чём. Ты уже знаешь о науке, которую называют сопротивлением материалов, иначе — теорией упругости. Дело в том, что среди вопросов, которые эта наука изучает, есть и вопрос о кручении валов или каких-либо других тел. Кстати сказать, закручиваются не только те части машин, которые могут свободно вращаться. Закручивается в полёте от напора воздуха крыло самолёта, хотя крутиться ему не положено и оно крепко вделано в корпус машины. Однако если напор воздуха очень велик, крыло, перекрутившись, может вырваться из своего гнезда, и… ну, что будет тогда, лучше не разъяснять. Так вот, для того чтобы ничего такого не случилось, теория упругости точно подсчитывает, какими должны быть материалы и размеры той или иной детали, и добивается таким образом наибольшей прочности машины. Учёные составили математические уравнения и на случай кручения. Но вот беда — решить их было во многих случаях невозможно. Тут-то и помогла учёным математическая аналогия. Взяли они мыльную плёнку, закрепили по краям (работа тонкая!), нагрузили её и стали исследовать, как она провисает. Изучив поверхность провисшей плёнки, математики нашли для неё нужное уравнение. Нашли и увидели, что уравнение поверхности провисающей мыльной плёнки (или, как её называют, мембраны) в точности совпадает с уравнением кручения вала. И задача, которая казалась неразрешимой, была решена. Ведь экспериментировать на плёнке куда проще, чем изучать деформацию крутящегося вала или самолётного крыла… Так что насчёт ПАНАМЫ пока все.
— А ПАНАФИ? — забеспокоился Нулик. — С чем это едят?
Ребята шумно поддержали своего президента. А Сева — тот даже пробурчал что-то насчёт прогулки в лифте Эйнштейна.
С трудом удалось мне успокоить разбушевавшихся клубменов и убедить их дождаться следующего рассказа Магистра, где, конечно, будет подробное сообщение о его новом удивительном полёте.
— К тому же, — добавил я, — уже темнеет. А для такого вопроса, как лифт Эйнштейна, требуется полная ясность. И мы отправились по домам.
ПУТЕВЫЕ ЗАМЕТКИ РАССЕЯННОГО МАГИСТРА
Утки барона Мюнхгаузена
Друзья мои! Мне очень трудно рассказывать все с самого начала, да ещё по порядку, — при этом я обязательно теряю логическую нить. Поэтому начну с конца, потом перейду к началу, а уж затем к середине. Итак, начинаю с конца.
Мне невероятно повезло: я встретил своего давнего друга, барона Мюнхгаузена. Он охотился на львов в своей родной Тарасконии. Увидев меня, барон безумно обрадовался, бросил ружьё и попросил львов не разбегаться, пока не расскажет мне одну из своих правдивых историй.
Оказывается, следуя моему примеру, барон увлёкся математикой и с ходу предложил мне задумать любое большое число, затем отнять от него сумму его цифр, полученную разность умножить тоже на любое число, а в произведении вычеркнуть любую цифру. Наконец, оставшиеся цифры расположить в любом порядке и прочитать полученное число.
— Я немедленно угадаю цифру, которую вы вычеркнули! — заверил меня Мюнхгаузен.
Давно я так не смеялся. Ну и шутник! Предлагает выбрать все любое и берётся отгадать зачёркнутую цифру. Поразительное самомнение! Правильный ответ можно угадать разве случайно. Впрочем, Единичке это почему-то удалось. Везучая девчонка!
Но всё же, должен сказать, у нас с бароном было о чём побеседовать. Он с большим интересом выслушал рассказ о моих скитаниях и, как я и ожидал, не усомнился ни в чём. Приятно всё-таки поболтать с человеком, который тебя понимает!
Не подумайте только, что я всё время говорил о себе. С удовольствием вспоминали мы различные приключения моего друга: и о том, как он привязал свою лошадь к шпилю колокольни, и о том, как летел на пушечном ядре и как одним выстрелом нанизал на нитку целую стаю уток.
Барон был тронут, но особенно оживился, когда зашёл разговор об утках.
— Ученейший из ученейших, храбрейший из храбрейших, мудрейший из мудрейших магистров! — воскликнул он. — Позволю себе перебить вас. История с утками, увы, известна вам далеко не полностью. Человек, который так блестяще описал мои приключения — я имею в виду писателя Распэ, — не знал, что, целясь в уток, я преследовал цель не только гастрономическую, но и… математическую! Ха-ха-ха!
Должен вам сказать, у меня огромное поместье. Наряду со всякой живностью — овцами, коровами и лошадьми — есть в моём хозяйстве и колоссальный выводок домашних уток. Но так как большую часть своей жизни я путешествую, утки, естественно, редко бывают в моём обществе и потому сильно одичали.
От скуки они даже стали учиться летать и вскоре превратились в обыкновенных диких уток.
Мне невероятно повезло: я встретил своего давнего друга, барона Мюнхгаузена. Он охотился на львов в своей родной Тарасконии. Увидев меня, барон безумно обрадовался, бросил ружьё и попросил львов не разбегаться, пока не расскажет мне одну из своих правдивых историй.
Оказывается, следуя моему примеру, барон увлёкся математикой и с ходу предложил мне задумать любое большое число, затем отнять от него сумму его цифр, полученную разность умножить тоже на любое число, а в произведении вычеркнуть любую цифру. Наконец, оставшиеся цифры расположить в любом порядке и прочитать полученное число.
— Я немедленно угадаю цифру, которую вы вычеркнули! — заверил меня Мюнхгаузен.
Давно я так не смеялся. Ну и шутник! Предлагает выбрать все любое и берётся отгадать зачёркнутую цифру. Поразительное самомнение! Правильный ответ можно угадать разве случайно. Впрочем, Единичке это почему-то удалось. Везучая девчонка!
Но всё же, должен сказать, у нас с бароном было о чём побеседовать. Он с большим интересом выслушал рассказ о моих скитаниях и, как я и ожидал, не усомнился ни в чём. Приятно всё-таки поболтать с человеком, который тебя понимает!
Не подумайте только, что я всё время говорил о себе. С удовольствием вспоминали мы различные приключения моего друга: и о том, как он привязал свою лошадь к шпилю колокольни, и о том, как летел на пушечном ядре и как одним выстрелом нанизал на нитку целую стаю уток.
Барон был тронут, но особенно оживился, когда зашёл разговор об утках.
— Ученейший из ученейших, храбрейший из храбрейших, мудрейший из мудрейших магистров! — воскликнул он. — Позволю себе перебить вас. История с утками, увы, известна вам далеко не полностью. Человек, который так блестяще описал мои приключения — я имею в виду писателя Распэ, — не знал, что, целясь в уток, я преследовал цель не только гастрономическую, но и… математическую! Ха-ха-ха!
Должен вам сказать, у меня огромное поместье. Наряду со всякой живностью — овцами, коровами и лошадьми — есть в моём хозяйстве и колоссальный выводок домашних уток. Но так как большую часть своей жизни я путешествую, утки, естественно, редко бывают в моём обществе и потому сильно одичали.
От скуки они даже стали учиться летать и вскоре превратились в обыкновенных диких уток.