Страница:
Смаллиан Рэймонд
Как же называется эта книга
Рэймонд Смаллиан
Как же называется эта книга?
От переводчика
Что может быть более далеким от истины, чем представление о математике как о застывшей науке, давно остановившейся а своем развитии и превратившейся в своего рода свод правил для решения задач? Однако такое превратное представление об одной из наиболее быстро развивающихся наук современности бытует у очень многих. Между тем математика непрестанно меняет свой облик, пополняет свой арсенал новыми идеями, мощными и гибкими методами, расширяет сферу приложений, черпает новые постановки задач не только из логики внутреннего развития, но и из других областей науки.
Столь странное противоречие объясняется тем, что между рубежами, завоеванными современной математикой, и традиционно читаемыми "устоявшимися" курсами математики существует разрыв, красочно описанный замечательным представителем этой науки, педагогом и популяризатором Гуго Штейнгаузом: "В математике несравненно явственней, чем в других дисциплинах, ощущается, насколько растянуто шествие всего человечества. Среди наших современников есть люди, чьи познания в математике относятся к эпохе более древней, чем египетские пирамиды, и они составляют значительное большинство. Математические познания незначительной части людей дошли до эпохи средневековья, а уровня математики XVIII века не достигает и один на тысячу... Но расстояние между теми, кто идет в авангарде, и необозримой массой путников все возрастает, процессия растягивается, и идущие впереди отдаляются все более и более. Они скрываются из виду, их мало кто знает, о них рассказывают удивительнейшие истории. Находятся и такие, кто просто не верит в их существование".
"Растянутость шествия всего человечества" особенно ощутима, когда речь заходит не о рецептурной, алгоритмической, а об "идейной" стороне математики.
С незапамятных времен математические рассуждения считаются общепризнанным эталоном доказательности, достойным всяческого подражания (достаточно упомянуть "Этику"
Спинозы, "изложенную на геометрический манер", или "Математические начала натуральной философии" Ньютона).
Строгость математических доказательств, непреложность получаемых с их помощью выводов, незыблемость математических истин вошли в поговорку. Но прописные истины, подобно разменной монете, от частого употребления стираются и теряют в весе. Доверять им по меньшей мере неосмотрительно, а получить достоверную информации о действительном положении вещей нелегко не только для человека далекого от математики, но и для математика, не занимающегося специально лроблемами оснований математики и математической логики. Те, кто, желая похвалить обоснованность чьей-либо аргументации, с легкостью называют ее математически строгой и безупречной, как правило, не в состоянии объяснить, что означает "доказать", почему доказательство "доказывает", или ответить, всякое ли утверждение можно доказать или опровергнуть. Подобные вопросы способны поставить в тупик и несравненно более искушенного в математике нематематика, который умеет вычислить значение истинности таких высказываний, как "Речка движется и не движется", или импликации "Если гром не грянет, то мужик не перекрестится", знает, чем исключающее "или" (Либо пан, либо пропал) отличается от неисключающего (Надобно либо уменье, либо везенье а лучше всего и то, и другое), постиг различие между причинно-следственной связью и импликацией и усвоил немало других премудростей алгебры логики.
Простота подобных вопросов обманчива, их наивность иллюзорна. Они затрагивают тонкие и глубокие проблемы теории логического вывода и оснований математики, над решением которых трудилось не одно поколение логиков, математиков и философов. При всей общности понимания того, что составляет существо математического доказательства, и преемственности поколений каждая эпоха вносит свой вклад в недостижимый идеал математической строгости, вводя поправки и дополнения в то, что было сделано ранее.
Предлагаемая вниманию читателя книга американского ученого Рэймонда М. Смаллиана, известного своими работами в области математической логики, опровергает известные слова Пифагора о том, что в математику нет царской дороги. Перед ее читателем открывается редкая, чтобы не сказать уникальная, возможность проникнуть в существо одного из величайших достижений математической логики нашего века - в доказательство знаменитой теоремы Гёделя о неполноте. По занимательности, динамичности и напряжённости действия книга Смаллиана не уступает лучшим образцам приключенческого жанра. Намного превосходя по глубине научного содержания большинство научно-популярных произведений и даже отдельные сугубо научные издания, книга Смаллиана помогает читателю совершить головокружительное восхождение от "дурацких штучек" (как автор называет элементарные логические задачи, не требующие для своего решения ничего, кроме находчивости, внимания и здравого смысла) к одной из вершин современной математической логики, на покорение которой обычно приходится затрачивать немало сил и средств. Попутно автор знакомит читателя со своенравной Порцией и ее не менее своенравными прапра...
правнучками до N-го колена, проницательным инспектором Крэгом, искусными мастерами Челлини и Беллини, приглашает побывать на островах, населенных рыцарями, неизменно говорящими правду, и столь же неукоснительно лгущими лжецами, побывать в замке графа Дракулы Задунайского и, пережив множество увлекательных приключений, завершить необычайное путешествие на гёделевых и дважды гёделевых островах.
С непостижимой ловкостью фокусника (не все ученые коллеги автора знают, что в годы аспирантуры он выступал в этом качестве на профессиональной эстраде) Смаллиан демонстрирует новые, порой весьма неожиданные варианты известных задач, изобретает необычайно изящные головоломки собственной конструкции, раскрывая перед читателем логику "во всем ее блеске и великолепии".
Профессор Смаллиан умеет неопровержимо доказать, что либо он, либо читатель не существует, причем неизвестно, какая из альтернатив истинна! Чтобы постичь столь высокое искусство доказательства, необходимо внимательно прочитать его книгу. Поэтому пока мы ограничимся утверждением (с истинностью которого не может не согласиться даже тот, кто не читал книги), что книга Смаллиана с неуловимо исчезающим названием "Как же называется эта книга?" (попробуйте объяснить кому-нибудь, как она называется, и вы поймете, что имеется в виду) попадет в руки либо читателю, интересующемуся математикой, либо читателю, для которого математика не представляет ни малейшего интереса (хотя заранее неизвестно, какая альтернатива уготована тому или иному экземпляру книги). С неменьшей уверенностью можно утверждать, что и тот и другой прочитают ее с интересом и пользой.
Ю. Данилов
От автора
Линде Ветцель и Джозефу Бевандо, чьи мудрые советы были для меня неоценимы
Я хочу от души поблагодарить...
Прежде всего моих добрых друзей Роберта и Ильзу Коуэн и их десятилетнюю дочь Ленору, прочитавших рукопись этой книги и высказавших множество полезных советов. (В частности, Ленора угадала правильный ответ на ключевой вопрос главы 4:
существует ли Трулюлю в действительности или его выдумал Шалтай-Болтай?)
Выражаю свою искреннюю признательность Григу и Мелвину Фиттингам (авторам чудесной и полезной книги "Во славу простых вещей") за их интерес к моей работе и за то, что они обратили на нее внимание Оскара Коллиера из издательства "Прентис-холл". Думаю, что мне следует особо поблагодарить Мелвина за то, что он возник в этой книге (опровергнув своим появлением мое доказательство того, что он никак не мог бы появиться!).
Работать с Оскаром Коллиером и другими сотрудниками издательства "Прентис-холл" для меня было удовольствием.
Миссис Илене Макгрэт, перепечатавшая рукопись книги, высказала много полезных советов, которые я с благодарностью принял. Выражаю признательность Дороти Лахман, весьма изобретательно находившей нужные детали и оттенки.
Я хотел бы еще раз подчеркнуть роль Джозефа Бевандо и Линды Ветцель, которым посвящена эта книга. Они были моими преданными и надежными помощниками на протяжении всей работы над книгой.
Я благодарен моей жене Бланш, помогавшей мне своими вопросами. Надеюсь, что эта книга поможет ей решить, за кого она вышла замуж: за рыцаря или за лжеца.
Рэймонд М. Смаллиан
Часть первая. Логические развлечения
I. Одурачен или не одурачен?
1. Остался ли я в дураках?
Мое первое знакомство с логикой произошло, когда мне было шесть лет. Случилось это 1 апреля 1925 г. В тот день я был болен гриппом, инфлюэнцой или чем-то еще в этом же роде.
Утром ко мне в спальню заглянул мой брат Эмиль (он на десять лет старше меня) и сказал: "Рэймонд, сегодня первое апреля, день шуток и розыгрышей, и я одурачу тебя так, как тебя еще никто не одурачивал!" Весь день я терпеливо ждал, когда Эмиль меня одурачит, но он так и не появился. Поздно вечером мама спросила: "Рэймонд, почему ты не спишь?" Я ответил: "Жду, когда Эмиль меня одурачит". Мама позвала Эмиля и строгим голосом приказала: "Эмиль, немедленно разыграй малыша! Он ждет, когда ты его одурачишь". Эмиль послушно направился к моей кроватке, и между нами произошел следующий диалог.
Эмиль. Ты с утра ждешь, когда я тебя одурачу?
Рэймонд. Жду.
Эмиль. Я никак тебя не одурачиваю. Верно?
Рэймонд. Верно!
Эмиль. Но ведь ты ждал, что я тебя одурачу?
Рэймонд. Ждал.
Эмиль. Вот я тебя и одурачил.
Помнится, в тот день я долго еще ворочался в постели после того, как мама выключила свет, и ломал голову над тем, оставил меня брат в дураках или не оставил. С одной стороны, если брат меня не одурачил. то я не получил того, что мне было обещано, и, следовательно, остался в дураках.
(Так рассуждал мой старший брат.) Но с тем же основанием можно утверждать, что если брат меня одурачил, то я получил обещанное, и тогда не понятно, в каком смысле меня следует считать оставшимся в дураках. Как же все-таки обстоит дело:
одурачил меня брат или не одурачил?
Я не стану сейчас отвечать на этот вопрос. В нашей книге мы еще не раз вернемся к нему в той или иной форме. В нем воплощен некий тонкий принцип, который будет одной из главных тем нашей книги.
2. Лгал ли я?
Аналогичный случай произошел со мной много лет спустя, когда я был аспирантом Чикагского университета. В ту пору я выступал на эстраде как профессиональный фокусник, но в моих делах произошла небольшая заминка, и мне необходимо было экстренно изыскать способ, как восполнить убытки. Я решил попробовать, не подойдет ли мне работа коммивояжера.
Предложив свои услуги компании, занимавшейся торговлей пылесосами, я получил приглашение явиться для проверки профессиональной пригодности. Среди прочих мне задали вопрос: "Не возражаете ли вы против того, что вам время от времени придется немного лгать?" У меня были весьма сильные возражения. Ложь, исходящую от коммивояжера, я считал особенно недопустимой, так как она создает превратное представление о продукции. Однако, подумав про себя, что если я выскажу вслух свое мнение, то заведомо лишусь работы, я солгал и сказал: "Нет, не имею ничего против".
По дороге домой мне пришло в голову следующее. Я спросил себя, вызывает ли у меня какие-нибудь возражения данный мной лживый ответ, и сказал "Нет". А поскольку я не имею ничего против этой конкретной лжи, то, значит, я не возражаю и против любой лжи. Следовательно, мой ответ "Нет" при проверке профессиональной пригодности был не ложью, а истиной!
До сих пор мне не вполне ясно, солгал я тогда или не солгал. С помощью формальной логики мне удалось бы доказать, что я изрек истину, так как допущение о том, что я лгал, приводит к противоречию. Таким образом, логика вынуждает меня поверить в то, что я сказал истину. Но в то же время меня не покидает ощущение, что я солгал!
Коль скоро речь зашла о лжи, я не могу не вспомнить случай, происшедший с Бертраном Расселлом и философом Дж.Э. Муром.
Расселл отзывался о Муре как об одном из самых правдивых людей, с которыми ему когда-либо приходилось встречаться.
Однажды Рассел спросил Мура: "Случалось ли вам солгать?"
Мур ответил: "Да!" Комментируя этот краткий диалог, Расселл заметил: "Думаю, что это была единственная ложь, высказанная Муром!"
Случай, происшедший со мной в молодости, когда я вознамерился было стать коммивояжером, поднимает вопрос о том, может ли человек лгать, не зная, что он лжет. Я бы ответил на такой вопрос отрицательно. Я считаю, что лгать означает высказывать не ложное утверждение, а утверждение, которое тот, кто его высказывает, считает ложным.
Действительно, если кто-то высказывает утверждение, считая его ложным, а оно оказывается истинным, то я бы сказал, что этот "кто-то" лжет.
В одном из учебников по аномальной психологии я прочитал о следующем происшествии. Врачи в психиатрической лечебнице собирались выписать пациента, страдающего шизофренией, и решили подвергнуть его проверке при помощи детектора лжи.
Среди прочих пациенту был задан вопрос: "Вы Наполеон?"
Пациент ответил отрицательно. Детектор показал, что он лжет.
Следующий эпизод, также вычитанный мною из какой-то книги, свидетельствует о том, что иногда животные способны лукавить. В комнате, к потолку которой на бечевке был подвешен банан, ставился эксперимент на шимпанзе. Банан висел так высоко, что дотянуться до него было невозможно. В комнате находились шимпанзе и экспериментатор и, если не считать банана и бечевки, не было ничего, кроме нескольких деревянных ящиков различных размеров. Цель эксперимента состояла в том, чтобы установить, сообразит ли шимпанзе составить из ящиков пирамиду, взобраться на нее и достать банан. А вот что произошло на деле. Экспериментатор стоял в углу комнаты и наблюдал за поведением шимпанзе. Обезьяна подошла к нему и стала настойчиво тянуть за рукав на середину комнаты. Экспериментатор, уступая нажиму, медленно последовал за шимпанзе. Когда они дошли до середины комнаты, обезьяна внезапно вспрыгнула ему на плечи и схватила банан.
3. Шутка, обернувшаяся против меня.
У моего товарища по аспирантуре в Чикагском университете было двое братьев в возрасте шести и восьми лет. Я бывал у них дома и часто показывал ребятам фокусы. Однажды я пришел и предложил: "Хотите, я покажу вам необыкновенный фокус?
Превращу вас в львов!" К моему удивлению, один из братьев охотно согласился. "Вот будет здорово! - сказал он. - Непременно преврати нас в львов!" Я попытался отговориться: "Пожалуй, этого не следует делать, потому что превратить вас потом снова в людей было бы невозможно". Младший брат ответил: "Все равно преврати нас в львов. Ну, пожалуйста!" "Но я же не смогу вернуть вам человеческий облик!" - пытался выкрутиться я. "Я хочу, чтобы ты превратил нас в львов!" - заорал в ответ старший брат, а младший спросил: "А как это делается?"
"При помощи волшебных слов", - ответил я. "А что это за слова?" поинтересовался один из братьев. "Чтобы сказать тебе волшебные слова, мне придется произнести их вслух, и тогда вы превратитесь в львов", схитрил я.
Братья задумались, а потом один из них спросил: "А нет ли таких волшебных слов, которые могли бы превратить нас из львов снова в людей?" "Есть, - ответил я, - но дело в том, что как только я произнесу первые волшебные слова, то не только вы, но я все люди на свете, в том числе и я сам, превратятся в львов. Львы не умеют говорить, и поэтому на целом свете не останется никого, кто смог бы произнести другие волшебные слова и снова превратить нас в людей".
Старший брат сказал: "Не можешь сказать, тогда напиши волшебные слова!" Младший забеспокоился: "Тебе хорошо, а я еще не научился читать!" Я попытался успокоить его:
"Волшебные слова обладают такой силой, что даже если их молча написать на клочке бумаги, то все люди на свете все равно превратятся в львов". Братья разочарованно вздохнули.
Примерно через неделю я встретил восьмилетнего брата, и он остановил меня: "Привет, Смаллиан! Я как раз хотел задать тебе один вопрос". Не подозревая подвоха, я спросил: "О чем?" Мальчик ответил: "Как же ты сам ухитрился узнать волшебные слова?"
II. Головоломки и дурацкие штучки
А. НЕСКОЛЬКО ДОБРЫХ СТАРЫХ ЗНАКОМЫХ
Начнем с нескольких хорошо известных головоломок, служивших развлечением не одному поколению. Некоторые из них покажутся вам знакомыми, но даже в них вы обнаружите новые подробности.
4. На чей портрет я смотрю?
Когда я был маленьким, эта головоломка пользовалась необычайной популярностью. Сейчас она менее известна. Эта головоломка обладает одной замечательной особенностью:
большинство людей дают неправильный ответ на вопрос задачи, но вопреки всем аргументам упрямо отстаивают свое решение.
Помню, однажды лет 50 тому назад в одной компании разгорелся многочасовой спор по поводу этой головоломки, но тем, кто верно решил ее, так и не удалось убедить остальных в правильности полученного решения. Вот эта головоломка.
Человек разглядывает портрет. "Чей это портрет вы рассматриваете?" спрашивают у него, и человек отвечает: "В семье я рос один, как перст, один. И все ж отец того, кто на портрете, - сын моего отца (вы не ослышались, все верно - сын!)". Чей портрет разглядывает человек?
5.
Предположим, что в предыдущей задаче человек, разглядывающий портрет, ответил на вопрос так: "В семье я рос один; как перст, один. И все же сын того, кто на портрете, - сын моего отца (вы не ослышались, все верно сын!)".
Чей портрет разглядывает этот человек?
6. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб?
Вот еще одна головоломка времен моего детства, которая мне очень нравится. Под всесокрушающим пушечным ядром мы понимаем ядро, сметающее на своем пути все, что попадается, а под несокрушимым столбом - столб, который нельзя ни повалить, ни сломать. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадает в несокрушимый столб?
7.
Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
8.
Новый поворот в предыдущей задаче. Предположим, что в ящике шкафа лежат несколько синих и столько же красных носков.
Известно, что минимальное число носков, которые я должен взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одинакового цвета, совпадает с минимальным числом носков, которые требуется взять из ящика, чтобы из них можно было составить по крайней мере одну пару носков разного цвета. Сколько носков в ящике?
9.
Вот многим знакомая логическая задача. Известно, что в Нью-Йорке жителей больше, чем волос на голове у любого из них, и что среди жителей Нью-Йорка нет полностью лысых, у которых на голове не осталось бы ни одного волоса. Следует ли отсюда, что в Нью-Йорке непременно найдутся по крайней мере два жителя с одинаковым числом волос на голове?
Приведем еще один вариант этой задачи, незначительно отличающийся от предыдущего. О населении города Поданк известно следующее.
1. Среди жителей Поданка не найдется двух с равным числом волос на голове.
2. Ни у одного жителя Поданка на голове не растет ровно 518 волос.
3. Жителей в Поданке больше, чем волос на голове любого из них.
Какова наибольшая численность населения Поданка?
10. Кто убийца?
В этой истории речь пойдет о караване, идущем через пустыню Сахару. Однажды караван остановился на ночлег. Обозначим трех главных действующих лиц A, B и C. A ненавидел C и решил убить его, подсыпав яду в бурдюк с питьевой водой (единственным запасом воды, которым располагал C).
Независимо от A другой караванщик B также решил убить C и (не зная, что принадлежащая тому питьевая вода уже отравлена) проделал в бурдюке крохотную дырочку, чтобы вода потихоньку вытекала. Через несколько дней C умер от жажды.
Спрашивается, кто убийца? A или B?
Одни считают убийцей караванщика B, поскольку C все равно не успел принять яд, подсыпанный его недругом A, и умер бы, даже если бы A не отравил воду. Другие считают убийцей караванщика A, так как, по их мнению, действия караванщика B не оказали ни малейшего влияния на исход событий: коль скоро A отравил воду, C обречен и умер бы, даже если бы другой его недруг B не проделал дырочку в бурдюке с водой.
Чьи рассуждения правильны?
В связи с нашей задачей я вспомнил анекдот о лесорубе, который в поисках работы забрел в лагерь лесозаготовителей.
Управляющий встретил его не слишком обнадеживающе. "Не знаю, подойдет ли тебе работа, - сказал он. - Мы здесь валим лес". Лесоруб обрадовался: "Эта работа как раз по мне". Управляющий решил испытать его в деле. "Вот топор, - сказал он. - Посмотрим, сколько времени потребуется тебе, чтобы свалить вон то дерево". Лесоруб бросился к дереву и свалил его одним ударом топора. Управляющий был потрясен, но не сдавался. "Великолепно, - сказал он, - а теперь попробуй повалить вон то большое дерево".
Лесоруб подошел к огромному дереву и двумя ударами - трах, бах! повалил и его. "Невероятно! - воскликнул управляющий. - B жизни не видал ничего подобного. Вы, конечно, приняты! Но где вы научились так валить лес?" "Я изрядно попрактиковался и набил руку в лесу Сахары", ответил лесоруб. Управляющий на миг задумался. "Вы хотели сказать "в пустыне Сахаре?" - переспросил он. "Теперь там пустыня", - пояснил лесоруб.
11. Еще один юридический казус.
Двоих судили за убийство. Присяжные признали одного из обвиняемых виновным, а другого невиновным. Судья обратился к тому, кто был признан виновным, и сказал: "Это самое странное дело из всех, которые мне приходилось разбирать.
Хотя ваша вина вне всяких сомнений установлена, по закону я должен выпустить вас на свободу".
Как объяснить столь неожиданное заявление судьи?
12. Двое краснокожих.
Двое краснокожих сидели на бревнышке, один повыше ростом, другой пониже. Тот, кто пониже ростом, доводится сыном тому, кто повыше ростом, хотя тот, кто повыше ростом, - не его отец.
Как вы это объясните?
13. Часы остановились.
Вот превосходная старинная задача-головоломка. У одного человека не было наручных часов, но зато дома висели точные настенные часы, которые он иногда забывал заводить.
Однажды, забыв в очередной раз завести часы, он отправился в гости к своему другу, провел у того вечер, а вернувшись домой, сумел правильно поставить часы. Каким образом ему удалось это сделать, если время в пути заранее известно не было?
14. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
Б. ДУРАЦКИЕ ШТУЧКИ
Я долго колебался, не зная, как назвать эту книгу. Перебрал множество названий типа "Занимательная логика", "Логические забавы и развлечения", но никак не мог выбрать подходящее. Тогда я решил заглянуть в Большой энциклопедический словарь. Раскрыв его на статье "Развлечения", я прочитал: "См. Увеселения".
Последовав совету, я почерпнул множество полезнейших сведений о буффонаде, играх, забавах, занимательных потехах, проказах, развлечениях, шалостях, шутках, шутовстве и юморе. Я узнал, что можно подшутить над кем-нибудь, устроить розыгрыш, затеять возню, устроить кутерьму, поднять пыль столбом, дым коромыслом и что бывают выходки, проделки, ужимки и даже "дурацкие штучки".
Добравшись до этого выражения, я рассмеялся и сказал жене:
"Знаешь, мне кажется, что "Дурацкие штучки" - великолепное название для моей книги". Однако, сколь ни выразительным было бы такое название, оно могло бы создать у читателя неправильное представление о ее содержании в целом, поскольку многие ее разделы вряд ли подходят под него. Тем не менее вы вскоре увидите, что название "Дурацкие штучки" как нельзя лучше подходит для названия этого раздела.
15. Две монеты.
У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?
16.
Этот вопрос обращен к тем читателям, которые знают хоть что-нибудь о католицизме. Может ли католик жениться на сестре своей вдовы?
17.
Некто живет на двадцать пятом этаже тридцатиэтажного здания. Каждое утро (кроме субботы и воскресенья) он входит в лифт, спускается вниз и отправляется на работу.
Вечером, вернувшись домой, он входит в лифт, поднимается на двадцать четвертый этаж, а оттуда - пешком - еще на один этаж.
Почему он выходит из лифта на двадцать четвертом этаже вместо того, чтобы подняться прямо на двадцать пятый этаж?
18. Грамматический вопрос.
Если вы любите грамматику, то вас, может быть, заинтересует следующий вопрос. Как правильно сказать: "не вижу белый желток" или "белого желтка"?
19. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Как же называется эта книга?
От переводчика
Что может быть более далеким от истины, чем представление о математике как о застывшей науке, давно остановившейся а своем развитии и превратившейся в своего рода свод правил для решения задач? Однако такое превратное представление об одной из наиболее быстро развивающихся наук современности бытует у очень многих. Между тем математика непрестанно меняет свой облик, пополняет свой арсенал новыми идеями, мощными и гибкими методами, расширяет сферу приложений, черпает новые постановки задач не только из логики внутреннего развития, но и из других областей науки.
Столь странное противоречие объясняется тем, что между рубежами, завоеванными современной математикой, и традиционно читаемыми "устоявшимися" курсами математики существует разрыв, красочно описанный замечательным представителем этой науки, педагогом и популяризатором Гуго Штейнгаузом: "В математике несравненно явственней, чем в других дисциплинах, ощущается, насколько растянуто шествие всего человечества. Среди наших современников есть люди, чьи познания в математике относятся к эпохе более древней, чем египетские пирамиды, и они составляют значительное большинство. Математические познания незначительной части людей дошли до эпохи средневековья, а уровня математики XVIII века не достигает и один на тысячу... Но расстояние между теми, кто идет в авангарде, и необозримой массой путников все возрастает, процессия растягивается, и идущие впереди отдаляются все более и более. Они скрываются из виду, их мало кто знает, о них рассказывают удивительнейшие истории. Находятся и такие, кто просто не верит в их существование".
"Растянутость шествия всего человечества" особенно ощутима, когда речь заходит не о рецептурной, алгоритмической, а об "идейной" стороне математики.
С незапамятных времен математические рассуждения считаются общепризнанным эталоном доказательности, достойным всяческого подражания (достаточно упомянуть "Этику"
Спинозы, "изложенную на геометрический манер", или "Математические начала натуральной философии" Ньютона).
Строгость математических доказательств, непреложность получаемых с их помощью выводов, незыблемость математических истин вошли в поговорку. Но прописные истины, подобно разменной монете, от частого употребления стираются и теряют в весе. Доверять им по меньшей мере неосмотрительно, а получить достоверную информации о действительном положении вещей нелегко не только для человека далекого от математики, но и для математика, не занимающегося специально лроблемами оснований математики и математической логики. Те, кто, желая похвалить обоснованность чьей-либо аргументации, с легкостью называют ее математически строгой и безупречной, как правило, не в состоянии объяснить, что означает "доказать", почему доказательство "доказывает", или ответить, всякое ли утверждение можно доказать или опровергнуть. Подобные вопросы способны поставить в тупик и несравненно более искушенного в математике нематематика, который умеет вычислить значение истинности таких высказываний, как "Речка движется и не движется", или импликации "Если гром не грянет, то мужик не перекрестится", знает, чем исключающее "или" (Либо пан, либо пропал) отличается от неисключающего (Надобно либо уменье, либо везенье а лучше всего и то, и другое), постиг различие между причинно-следственной связью и импликацией и усвоил немало других премудростей алгебры логики.
Простота подобных вопросов обманчива, их наивность иллюзорна. Они затрагивают тонкие и глубокие проблемы теории логического вывода и оснований математики, над решением которых трудилось не одно поколение логиков, математиков и философов. При всей общности понимания того, что составляет существо математического доказательства, и преемственности поколений каждая эпоха вносит свой вклад в недостижимый идеал математической строгости, вводя поправки и дополнения в то, что было сделано ранее.
Предлагаемая вниманию читателя книга американского ученого Рэймонда М. Смаллиана, известного своими работами в области математической логики, опровергает известные слова Пифагора о том, что в математику нет царской дороги. Перед ее читателем открывается редкая, чтобы не сказать уникальная, возможность проникнуть в существо одного из величайших достижений математической логики нашего века - в доказательство знаменитой теоремы Гёделя о неполноте. По занимательности, динамичности и напряжённости действия книга Смаллиана не уступает лучшим образцам приключенческого жанра. Намного превосходя по глубине научного содержания большинство научно-популярных произведений и даже отдельные сугубо научные издания, книга Смаллиана помогает читателю совершить головокружительное восхождение от "дурацких штучек" (как автор называет элементарные логические задачи, не требующие для своего решения ничего, кроме находчивости, внимания и здравого смысла) к одной из вершин современной математической логики, на покорение которой обычно приходится затрачивать немало сил и средств. Попутно автор знакомит читателя со своенравной Порцией и ее не менее своенравными прапра...
правнучками до N-го колена, проницательным инспектором Крэгом, искусными мастерами Челлини и Беллини, приглашает побывать на островах, населенных рыцарями, неизменно говорящими правду, и столь же неукоснительно лгущими лжецами, побывать в замке графа Дракулы Задунайского и, пережив множество увлекательных приключений, завершить необычайное путешествие на гёделевых и дважды гёделевых островах.
С непостижимой ловкостью фокусника (не все ученые коллеги автора знают, что в годы аспирантуры он выступал в этом качестве на профессиональной эстраде) Смаллиан демонстрирует новые, порой весьма неожиданные варианты известных задач, изобретает необычайно изящные головоломки собственной конструкции, раскрывая перед читателем логику "во всем ее блеске и великолепии".
Профессор Смаллиан умеет неопровержимо доказать, что либо он, либо читатель не существует, причем неизвестно, какая из альтернатив истинна! Чтобы постичь столь высокое искусство доказательства, необходимо внимательно прочитать его книгу. Поэтому пока мы ограничимся утверждением (с истинностью которого не может не согласиться даже тот, кто не читал книги), что книга Смаллиана с неуловимо исчезающим названием "Как же называется эта книга?" (попробуйте объяснить кому-нибудь, как она называется, и вы поймете, что имеется в виду) попадет в руки либо читателю, интересующемуся математикой, либо читателю, для которого математика не представляет ни малейшего интереса (хотя заранее неизвестно, какая альтернатива уготована тому или иному экземпляру книги). С неменьшей уверенностью можно утверждать, что и тот и другой прочитают ее с интересом и пользой.
Ю. Данилов
От автора
Линде Ветцель и Джозефу Бевандо, чьи мудрые советы были для меня неоценимы
Я хочу от души поблагодарить...
Прежде всего моих добрых друзей Роберта и Ильзу Коуэн и их десятилетнюю дочь Ленору, прочитавших рукопись этой книги и высказавших множество полезных советов. (В частности, Ленора угадала правильный ответ на ключевой вопрос главы 4:
существует ли Трулюлю в действительности или его выдумал Шалтай-Болтай?)
Выражаю свою искреннюю признательность Григу и Мелвину Фиттингам (авторам чудесной и полезной книги "Во славу простых вещей") за их интерес к моей работе и за то, что они обратили на нее внимание Оскара Коллиера из издательства "Прентис-холл". Думаю, что мне следует особо поблагодарить Мелвина за то, что он возник в этой книге (опровергнув своим появлением мое доказательство того, что он никак не мог бы появиться!).
Работать с Оскаром Коллиером и другими сотрудниками издательства "Прентис-холл" для меня было удовольствием.
Миссис Илене Макгрэт, перепечатавшая рукопись книги, высказала много полезных советов, которые я с благодарностью принял. Выражаю признательность Дороти Лахман, весьма изобретательно находившей нужные детали и оттенки.
Я хотел бы еще раз подчеркнуть роль Джозефа Бевандо и Линды Ветцель, которым посвящена эта книга. Они были моими преданными и надежными помощниками на протяжении всей работы над книгой.
Я благодарен моей жене Бланш, помогавшей мне своими вопросами. Надеюсь, что эта книга поможет ей решить, за кого она вышла замуж: за рыцаря или за лжеца.
Рэймонд М. Смаллиан
Часть первая. Логические развлечения
I. Одурачен или не одурачен?
1. Остался ли я в дураках?
Мое первое знакомство с логикой произошло, когда мне было шесть лет. Случилось это 1 апреля 1925 г. В тот день я был болен гриппом, инфлюэнцой или чем-то еще в этом же роде.
Утром ко мне в спальню заглянул мой брат Эмиль (он на десять лет старше меня) и сказал: "Рэймонд, сегодня первое апреля, день шуток и розыгрышей, и я одурачу тебя так, как тебя еще никто не одурачивал!" Весь день я терпеливо ждал, когда Эмиль меня одурачит, но он так и не появился. Поздно вечером мама спросила: "Рэймонд, почему ты не спишь?" Я ответил: "Жду, когда Эмиль меня одурачит". Мама позвала Эмиля и строгим голосом приказала: "Эмиль, немедленно разыграй малыша! Он ждет, когда ты его одурачишь". Эмиль послушно направился к моей кроватке, и между нами произошел следующий диалог.
Эмиль. Ты с утра ждешь, когда я тебя одурачу?
Рэймонд. Жду.
Эмиль. Я никак тебя не одурачиваю. Верно?
Рэймонд. Верно!
Эмиль. Но ведь ты ждал, что я тебя одурачу?
Рэймонд. Ждал.
Эмиль. Вот я тебя и одурачил.
Помнится, в тот день я долго еще ворочался в постели после того, как мама выключила свет, и ломал голову над тем, оставил меня брат в дураках или не оставил. С одной стороны, если брат меня не одурачил. то я не получил того, что мне было обещано, и, следовательно, остался в дураках.
(Так рассуждал мой старший брат.) Но с тем же основанием можно утверждать, что если брат меня одурачил, то я получил обещанное, и тогда не понятно, в каком смысле меня следует считать оставшимся в дураках. Как же все-таки обстоит дело:
одурачил меня брат или не одурачил?
Я не стану сейчас отвечать на этот вопрос. В нашей книге мы еще не раз вернемся к нему в той или иной форме. В нем воплощен некий тонкий принцип, который будет одной из главных тем нашей книги.
2. Лгал ли я?
Аналогичный случай произошел со мной много лет спустя, когда я был аспирантом Чикагского университета. В ту пору я выступал на эстраде как профессиональный фокусник, но в моих делах произошла небольшая заминка, и мне необходимо было экстренно изыскать способ, как восполнить убытки. Я решил попробовать, не подойдет ли мне работа коммивояжера.
Предложив свои услуги компании, занимавшейся торговлей пылесосами, я получил приглашение явиться для проверки профессиональной пригодности. Среди прочих мне задали вопрос: "Не возражаете ли вы против того, что вам время от времени придется немного лгать?" У меня были весьма сильные возражения. Ложь, исходящую от коммивояжера, я считал особенно недопустимой, так как она создает превратное представление о продукции. Однако, подумав про себя, что если я выскажу вслух свое мнение, то заведомо лишусь работы, я солгал и сказал: "Нет, не имею ничего против".
По дороге домой мне пришло в голову следующее. Я спросил себя, вызывает ли у меня какие-нибудь возражения данный мной лживый ответ, и сказал "Нет". А поскольку я не имею ничего против этой конкретной лжи, то, значит, я не возражаю и против любой лжи. Следовательно, мой ответ "Нет" при проверке профессиональной пригодности был не ложью, а истиной!
До сих пор мне не вполне ясно, солгал я тогда или не солгал. С помощью формальной логики мне удалось бы доказать, что я изрек истину, так как допущение о том, что я лгал, приводит к противоречию. Таким образом, логика вынуждает меня поверить в то, что я сказал истину. Но в то же время меня не покидает ощущение, что я солгал!
Коль скоро речь зашла о лжи, я не могу не вспомнить случай, происшедший с Бертраном Расселлом и философом Дж.Э. Муром.
Расселл отзывался о Муре как об одном из самых правдивых людей, с которыми ему когда-либо приходилось встречаться.
Однажды Рассел спросил Мура: "Случалось ли вам солгать?"
Мур ответил: "Да!" Комментируя этот краткий диалог, Расселл заметил: "Думаю, что это была единственная ложь, высказанная Муром!"
Случай, происшедший со мной в молодости, когда я вознамерился было стать коммивояжером, поднимает вопрос о том, может ли человек лгать, не зная, что он лжет. Я бы ответил на такой вопрос отрицательно. Я считаю, что лгать означает высказывать не ложное утверждение, а утверждение, которое тот, кто его высказывает, считает ложным.
Действительно, если кто-то высказывает утверждение, считая его ложным, а оно оказывается истинным, то я бы сказал, что этот "кто-то" лжет.
В одном из учебников по аномальной психологии я прочитал о следующем происшествии. Врачи в психиатрической лечебнице собирались выписать пациента, страдающего шизофренией, и решили подвергнуть его проверке при помощи детектора лжи.
Среди прочих пациенту был задан вопрос: "Вы Наполеон?"
Пациент ответил отрицательно. Детектор показал, что он лжет.
Следующий эпизод, также вычитанный мною из какой-то книги, свидетельствует о том, что иногда животные способны лукавить. В комнате, к потолку которой на бечевке был подвешен банан, ставился эксперимент на шимпанзе. Банан висел так высоко, что дотянуться до него было невозможно. В комнате находились шимпанзе и экспериментатор и, если не считать банана и бечевки, не было ничего, кроме нескольких деревянных ящиков различных размеров. Цель эксперимента состояла в том, чтобы установить, сообразит ли шимпанзе составить из ящиков пирамиду, взобраться на нее и достать банан. А вот что произошло на деле. Экспериментатор стоял в углу комнаты и наблюдал за поведением шимпанзе. Обезьяна подошла к нему и стала настойчиво тянуть за рукав на середину комнаты. Экспериментатор, уступая нажиму, медленно последовал за шимпанзе. Когда они дошли до середины комнаты, обезьяна внезапно вспрыгнула ему на плечи и схватила банан.
3. Шутка, обернувшаяся против меня.
У моего товарища по аспирантуре в Чикагском университете было двое братьев в возрасте шести и восьми лет. Я бывал у них дома и часто показывал ребятам фокусы. Однажды я пришел и предложил: "Хотите, я покажу вам необыкновенный фокус?
Превращу вас в львов!" К моему удивлению, один из братьев охотно согласился. "Вот будет здорово! - сказал он. - Непременно преврати нас в львов!" Я попытался отговориться: "Пожалуй, этого не следует делать, потому что превратить вас потом снова в людей было бы невозможно". Младший брат ответил: "Все равно преврати нас в львов. Ну, пожалуйста!" "Но я же не смогу вернуть вам человеческий облик!" - пытался выкрутиться я. "Я хочу, чтобы ты превратил нас в львов!" - заорал в ответ старший брат, а младший спросил: "А как это делается?"
"При помощи волшебных слов", - ответил я. "А что это за слова?" поинтересовался один из братьев. "Чтобы сказать тебе волшебные слова, мне придется произнести их вслух, и тогда вы превратитесь в львов", схитрил я.
Братья задумались, а потом один из них спросил: "А нет ли таких волшебных слов, которые могли бы превратить нас из львов снова в людей?" "Есть, - ответил я, - но дело в том, что как только я произнесу первые волшебные слова, то не только вы, но я все люди на свете, в том числе и я сам, превратятся в львов. Львы не умеют говорить, и поэтому на целом свете не останется никого, кто смог бы произнести другие волшебные слова и снова превратить нас в людей".
Старший брат сказал: "Не можешь сказать, тогда напиши волшебные слова!" Младший забеспокоился: "Тебе хорошо, а я еще не научился читать!" Я попытался успокоить его:
"Волшебные слова обладают такой силой, что даже если их молча написать на клочке бумаги, то все люди на свете все равно превратятся в львов". Братья разочарованно вздохнули.
Примерно через неделю я встретил восьмилетнего брата, и он остановил меня: "Привет, Смаллиан! Я как раз хотел задать тебе один вопрос". Не подозревая подвоха, я спросил: "О чем?" Мальчик ответил: "Как же ты сам ухитрился узнать волшебные слова?"
II. Головоломки и дурацкие штучки
А. НЕСКОЛЬКО ДОБРЫХ СТАРЫХ ЗНАКОМЫХ
Начнем с нескольких хорошо известных головоломок, служивших развлечением не одному поколению. Некоторые из них покажутся вам знакомыми, но даже в них вы обнаружите новые подробности.
4. На чей портрет я смотрю?
Когда я был маленьким, эта головоломка пользовалась необычайной популярностью. Сейчас она менее известна. Эта головоломка обладает одной замечательной особенностью:
большинство людей дают неправильный ответ на вопрос задачи, но вопреки всем аргументам упрямо отстаивают свое решение.
Помню, однажды лет 50 тому назад в одной компании разгорелся многочасовой спор по поводу этой головоломки, но тем, кто верно решил ее, так и не удалось убедить остальных в правильности полученного решения. Вот эта головоломка.
Человек разглядывает портрет. "Чей это портрет вы рассматриваете?" спрашивают у него, и человек отвечает: "В семье я рос один, как перст, один. И все ж отец того, кто на портрете, - сын моего отца (вы не ослышались, все верно - сын!)". Чей портрет разглядывает человек?
5.
Предположим, что в предыдущей задаче человек, разглядывающий портрет, ответил на вопрос так: "В семье я рос один; как перст, один. И все же сын того, кто на портрете, - сын моего отца (вы не ослышались, все верно сын!)".
Чей портрет разглядывает этот человек?
6. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб?
Вот еще одна головоломка времен моего детства, которая мне очень нравится. Под всесокрушающим пушечным ядром мы понимаем ядро, сметающее на своем пути все, что попадается, а под несокрушимым столбом - столб, который нельзя ни повалить, ни сломать. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадает в несокрушимый столб?
7.
Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
8.
Новый поворот в предыдущей задаче. Предположим, что в ящике шкафа лежат несколько синих и столько же красных носков.
Известно, что минимальное число носков, которые я должен взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одинакового цвета, совпадает с минимальным числом носков, которые требуется взять из ящика, чтобы из них можно было составить по крайней мере одну пару носков разного цвета. Сколько носков в ящике?
9.
Вот многим знакомая логическая задача. Известно, что в Нью-Йорке жителей больше, чем волос на голове у любого из них, и что среди жителей Нью-Йорка нет полностью лысых, у которых на голове не осталось бы ни одного волоса. Следует ли отсюда, что в Нью-Йорке непременно найдутся по крайней мере два жителя с одинаковым числом волос на голове?
Приведем еще один вариант этой задачи, незначительно отличающийся от предыдущего. О населении города Поданк известно следующее.
1. Среди жителей Поданка не найдется двух с равным числом волос на голове.
2. Ни у одного жителя Поданка на голове не растет ровно 518 волос.
3. Жителей в Поданке больше, чем волос на голове любого из них.
Какова наибольшая численность населения Поданка?
10. Кто убийца?
В этой истории речь пойдет о караване, идущем через пустыню Сахару. Однажды караван остановился на ночлег. Обозначим трех главных действующих лиц A, B и C. A ненавидел C и решил убить его, подсыпав яду в бурдюк с питьевой водой (единственным запасом воды, которым располагал C).
Независимо от A другой караванщик B также решил убить C и (не зная, что принадлежащая тому питьевая вода уже отравлена) проделал в бурдюке крохотную дырочку, чтобы вода потихоньку вытекала. Через несколько дней C умер от жажды.
Спрашивается, кто убийца? A или B?
Одни считают убийцей караванщика B, поскольку C все равно не успел принять яд, подсыпанный его недругом A, и умер бы, даже если бы A не отравил воду. Другие считают убийцей караванщика A, так как, по их мнению, действия караванщика B не оказали ни малейшего влияния на исход событий: коль скоро A отравил воду, C обречен и умер бы, даже если бы другой его недруг B не проделал дырочку в бурдюке с водой.
Чьи рассуждения правильны?
В связи с нашей задачей я вспомнил анекдот о лесорубе, который в поисках работы забрел в лагерь лесозаготовителей.
Управляющий встретил его не слишком обнадеживающе. "Не знаю, подойдет ли тебе работа, - сказал он. - Мы здесь валим лес". Лесоруб обрадовался: "Эта работа как раз по мне". Управляющий решил испытать его в деле. "Вот топор, - сказал он. - Посмотрим, сколько времени потребуется тебе, чтобы свалить вон то дерево". Лесоруб бросился к дереву и свалил его одним ударом топора. Управляющий был потрясен, но не сдавался. "Великолепно, - сказал он, - а теперь попробуй повалить вон то большое дерево".
Лесоруб подошел к огромному дереву и двумя ударами - трах, бах! повалил и его. "Невероятно! - воскликнул управляющий. - B жизни не видал ничего подобного. Вы, конечно, приняты! Но где вы научились так валить лес?" "Я изрядно попрактиковался и набил руку в лесу Сахары", ответил лесоруб. Управляющий на миг задумался. "Вы хотели сказать "в пустыне Сахаре?" - переспросил он. "Теперь там пустыня", - пояснил лесоруб.
11. Еще один юридический казус.
Двоих судили за убийство. Присяжные признали одного из обвиняемых виновным, а другого невиновным. Судья обратился к тому, кто был признан виновным, и сказал: "Это самое странное дело из всех, которые мне приходилось разбирать.
Хотя ваша вина вне всяких сомнений установлена, по закону я должен выпустить вас на свободу".
Как объяснить столь неожиданное заявление судьи?
12. Двое краснокожих.
Двое краснокожих сидели на бревнышке, один повыше ростом, другой пониже. Тот, кто пониже ростом, доводится сыном тому, кто повыше ростом, хотя тот, кто повыше ростом, - не его отец.
Как вы это объясните?
13. Часы остановились.
Вот превосходная старинная задача-головоломка. У одного человека не было наручных часов, но зато дома висели точные настенные часы, которые он иногда забывал заводить.
Однажды, забыв в очередной раз завести часы, он отправился в гости к своему другу, провел у того вечер, а вернувшись домой, сумел правильно поставить часы. Каким образом ему удалось это сделать, если время в пути заранее известно не было?
14. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
Б. ДУРАЦКИЕ ШТУЧКИ
Я долго колебался, не зная, как назвать эту книгу. Перебрал множество названий типа "Занимательная логика", "Логические забавы и развлечения", но никак не мог выбрать подходящее. Тогда я решил заглянуть в Большой энциклопедический словарь. Раскрыв его на статье "Развлечения", я прочитал: "См. Увеселения".
Последовав совету, я почерпнул множество полезнейших сведений о буффонаде, играх, забавах, занимательных потехах, проказах, развлечениях, шалостях, шутках, шутовстве и юморе. Я узнал, что можно подшутить над кем-нибудь, устроить розыгрыш, затеять возню, устроить кутерьму, поднять пыль столбом, дым коромыслом и что бывают выходки, проделки, ужимки и даже "дурацкие штучки".
Добравшись до этого выражения, я рассмеялся и сказал жене:
"Знаешь, мне кажется, что "Дурацкие штучки" - великолепное название для моей книги". Однако, сколь ни выразительным было бы такое название, оно могло бы создать у читателя неправильное представление о ее содержании в целом, поскольку многие ее разделы вряд ли подходят под него. Тем не менее вы вскоре увидите, что название "Дурацкие штучки" как нельзя лучше подходит для названия этого раздела.
15. Две монеты.
У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?
16.
Этот вопрос обращен к тем читателям, которые знают хоть что-нибудь о католицизме. Может ли католик жениться на сестре своей вдовы?
17.
Некто живет на двадцать пятом этаже тридцатиэтажного здания. Каждое утро (кроме субботы и воскресенья) он входит в лифт, спускается вниз и отправляется на работу.
Вечером, вернувшись домой, он входит в лифт, поднимается на двадцать четвертый этаж, а оттуда - пешком - еще на один этаж.
Почему он выходит из лифта на двадцать четвертом этаже вместо того, чтобы подняться прямо на двадцать пятый этаж?
18. Грамматический вопрос.
Если вы любите грамматику, то вас, может быть, заинтересует следующий вопрос. Как правильно сказать: "не вижу белый желток" или "белого желтка"?
19. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?