Страница:
Владимир Викторович Булыгин
В сути вещей
Посвящается
Булыгину Виктору Ильичу – моему отцу, а также А.Ф. Лосеву, Р. Эшби, М. Эриксону и В.Ф. Турчину – людям, которых я считаю своими учителями.
А также хочу выразить благодарность за помощь в написании этой книги: Булыгиной Ольге Александровне, Ежову Виктору Семеновичу, Крашенинникову Михаилу Васильевичу, Кулику Борису Александровичу, Кузнецовой Татьяне Александровне, Пашиной Марине Вячеславовне, Субикиной Татьяне Ивановне, Федорову Вячеславу Алексеевичу.
И еще мне хочется сказать спасибо: Фишер Эмме Августовне (преподавателю географии в средней школе г. Тапа), Калинкиной Екатерине Петровне (преподавателю математики и классному руководителю в средней школе г. Тапа), Дмитриеву Владимиру Геннадиевичу (преподавателю истории и воспитателю в интернате г. Тапа). Хайновской Валентине Васильевне (преподавателю физики в институте связи г. Новосибирска).
А также хочу выразить благодарность за помощь в написании этой книги: Булыгиной Ольге Александровне, Ежову Виктору Семеновичу, Крашенинникову Михаилу Васильевичу, Кулику Борису Александровичу, Кузнецовой Татьяне Александровне, Пашиной Марине Вячеславовне, Субикиной Татьяне Ивановне, Федорову Вячеславу Алексеевичу.
И еще мне хочется сказать спасибо: Фишер Эмме Августовне (преподавателю географии в средней школе г. Тапа), Калинкиной Екатерине Петровне (преподавателю математики и классному руководителю в средней школе г. Тапа), Дмитриеву Владимиру Геннадиевичу (преподавателю истории и воспитателю в интернате г. Тапа). Хайновской Валентине Васильевне (преподавателю физики в институте связи г. Новосибирска).
Вступление
Что должен? Идтить к землям доселе неизведанным, …ибо живу. Знать, что еще не ведомо, … ибо мыслю. А хочу-то что? Да, то же! Прикоснуться к тайне творения, потому что живу и мыслю.
И поэтому вопросы. …Стоит ли думать об основах математики не математику? А математику о философии? Или физику о биологии? … Стоит.
Говорят, что когда-то рухнула Вавилонская башня и первый грех – это грех познания. Возможно и так. Только вот бегаем мы до сих пор по миру с разными языками и знаниями. И с настолько разными, что понять друг друга не можем. … А ведь когда-то … в Греции было иначе – о философе можно было сказать, что он математик и наоборот.
Поэтому … идтить и, возможно, по нескольким дорожкам одновременно, … покуда еще живой.
Рассел сводит понятие «существовать» к свойству пропозициональной функции [4]: «пропозициональная функция есть просто любое выражение, которое содержит неопределенную конституенту или несколько неопределённых конституент и которое становится пропозицией, как только определяются неопределённые конституенты».
И у него же [4]: «Если вы говорите: единороги существуют, последнее будет означать, что существует [некий] х такой, что х единорог». Но что можно подставить вместо неопределённой конституенты, чтобы «х – единорог» было истинным? Только единорога! Тогда истинным будет только «существует единорог такой, что единорог – то же самое, что единорог».
Если понятие «существует» можно заменить на «то же самое», то «не существует» можно заменить на «не то же самое». Верно, что сказать «золотая гора не существует» все равно, что сказать «ничто существующее не является одновременно золотым и горой». И верно, что сказать «золотая гора существует» все равно, что сказать «нечто существующее является одновременно золотым и горой».
Формально, «золотая гора» = «золотая гора», либо «золотая гора» = («золотая» и «гора») – означает, что «золотая гора» существует. И «золотая гора» ≠ «золотая гора» – означает, что «золотая гора» не существует. И, следовательно, не существование золотой горы также означает:
«золотая гора» ≠ («золотая» и «гора»), либо «золотая гора» = не («золотая» и «гора»), либо «золотая гора» = («не золотая» или «не гора»), либо «нет золотой горы», либо «ноль золотой горы».
И поэтому вопросы. …Стоит ли думать об основах математики не математику? А математику о философии? Или физику о биологии? … Стоит.
Говорят, что когда-то рухнула Вавилонская башня и первый грех – это грех познания. Возможно и так. Только вот бегаем мы до сих пор по миру с разными языками и знаниями. И с настолько разными, что понять друг друга не можем. … А ведь когда-то … в Греции было иначе – о философе можно было сказать, что он математик и наоборот.
Поэтому … идтить и, возможно, по нескольким дорожкам одновременно, … покуда еще живой.
А они – «по ту сторону» логики, ныне принятой… Математика в ее нынешнем виде заменяет понятие «существовать» на «по крайней мере один, но, возможно, даже все». Пожалуй, никто не станет возражать, что есть разница между «существует» и «существуют», что есть разница между единственным числом и числом множественным. Но ведь множественное число определяется через единственное, а не наоборот! Поэтому «существует» может быть заменено на «один», а «существуют» на «больше, чем один и, возможно, даже все».
Сейчас,
В себя взглянув
И исчезая,
Находим там
Свои сердца.
Рассел сводит понятие «существовать» к свойству пропозициональной функции [4]: «пропозициональная функция есть просто любое выражение, которое содержит неопределенную конституенту или несколько неопределённых конституент и которое становится пропозицией, как только определяются неопределённые конституенты».
И у него же [4]: «Если вы говорите: единороги существуют, последнее будет означать, что существует [некий] х такой, что х единорог». Но что можно подставить вместо неопределённой конституенты, чтобы «х – единорог» было истинным? Только единорога! Тогда истинным будет только «существует единорог такой, что единорог – то же самое, что единорог».
Если понятие «существует» можно заменить на «то же самое», то «не существует» можно заменить на «не то же самое». Верно, что сказать «золотая гора не существует» все равно, что сказать «ничто существующее не является одновременно золотым и горой». И верно, что сказать «золотая гора существует» все равно, что сказать «нечто существующее является одновременно золотым и горой».
Формально, «золотая гора» = «золотая гора», либо «золотая гора» = («золотая» и «гора») – означает, что «золотая гора» существует. И «золотая гора» ≠ «золотая гора» – означает, что «золотая гора» не существует. И, следовательно, не существование золотой горы также означает:
«золотая гора» ≠ («золотая» и «гора»), либо «золотая гора» = не («золотая» и «гора»), либо «золотая гора» = («не золотая» или «не гора»), либо «нет золотой горы», либо «ноль золотой горы».
Смысл вещи то, чем она отличается от всего другого и при помощи чего она отождествляется сама с собой, т. е. отождествляет с собой все те моменты, которые отмечены в ней как отличающие её от всего другого.
А.Ф. Лосев
Глава 1. Тождество
1.1. Отношение отношений
Объект – это отношение. Отношение чего? Отношение отношений. И первородный грех лежит на отношениях тождества и различия. … А как же тогда быть со свойствами, которые, как ныне принято, определяют объект? За ответом отсылаю к «Феномену науки» В. Турчина [1]:
«В философии решающий удар аристотелевской логике нанес Гегель. Он показал своей диалектикой, что мир надо рассматривать не как совокупность объектов, обладающих некоторыми свойствами, а как совокупность объектов, находящихся в некоторых отношениях друг к другу. При этом свойства не исключаются, конечно, из рассмотрения, ибо понятие отношения является более общим, чем понятие свойства. Отношение может быть определено для произвольного числа объектов. В частности, число объектов может быть равно единице; такое отношение и есть свойство».
И там же, … но от себя бы еще добавил, что и нынешние математики в своем большинстве живут в до Декартовской (Гегелевской) эпохе [1]:
«Но, если даже предположить, что греческие математики школы Платона познакомились бы с арифметической буквенной символикой, трудно представить, чтобы они воспроизвели научный подвиг Декарта. Ведь отношение не было для них идеей и не имело, следовательно, реального существования. Кому же придет в голову обозначать буквой то, чего нет?»
Итак, «a = b R c» означает, что «а – то же, что отношение (т. е. R) b к c». Причем, как «b», так и «с» сами могут быть отношением к чему-то другому, а не только свойством, например: «b = d R h», «с = w R q». Тогда «a = (d R h) R (w R q)». … Сама же пара (a, b R c) симметрична, т. е. «a» во всех мирах заменима на «b R c» и «b R c» заменима на «a».
И если кого-то смущает, что «объект – это отношение отношений» и для кого Гегель – лишь несварение мыслей, тот пусть задастся вопросом: для равенства y=f(x), если «x» – объект, а «f» – отношение, что есть «y»? «Y» – то же самое, что …
«В философии решающий удар аристотелевской логике нанес Гегель. Он показал своей диалектикой, что мир надо рассматривать не как совокупность объектов, обладающих некоторыми свойствами, а как совокупность объектов, находящихся в некоторых отношениях друг к другу. При этом свойства не исключаются, конечно, из рассмотрения, ибо понятие отношения является более общим, чем понятие свойства. Отношение может быть определено для произвольного числа объектов. В частности, число объектов может быть равно единице; такое отношение и есть свойство».
И там же, … но от себя бы еще добавил, что и нынешние математики в своем большинстве живут в до Декартовской (Гегелевской) эпохе [1]:
«Но, если даже предположить, что греческие математики школы Платона познакомились бы с арифметической буквенной символикой, трудно представить, чтобы они воспроизвели научный подвиг Декарта. Ведь отношение не было для них идеей и не имело, следовательно, реального существования. Кому же придет в голову обозначать буквой то, чего нет?»
Итак, «a = b R c» означает, что «а – то же, что отношение (т. е. R) b к c». Причем, как «b», так и «с» сами могут быть отношением к чему-то другому, а не только свойством, например: «b = d R h», «с = w R q». Тогда «a = (d R h) R (w R q)». … Сама же пара (a, b R c) симметрична, т. е. «a» во всех мирах заменима на «b R c» и «b R c» заменима на «a».
И если кого-то смущает, что «объект – это отношение отношений» и для кого Гегель – лишь несварение мыслей, тот пусть задастся вопросом: для равенства y=f(x), если «x» – объект, а «f» – отношение, что есть «y»? «Y» – то же самое, что …
1.2. Часть и целое
Не будем тревожить мышление «только математиков», ибо оно покоится с миром. … Поговорим лучше об элементе множества и множестве в терминах часть и целое. Может ли целое быть своей частью? Для случая, если частей больше одной, ответ однозначен: целое не может быть своей частью. А если она (часть) одна? Верно ли, что «a ≠ {a}»?
Ни у кого не вызывает возражений утверждение, что «a есть a», т. е. «a = a». Но как быть с формулировкой: «a» – это то, что «a»? Связка «… это то, что …» как раз группирует то, что находится после нее и именует эту совокупность тем, что находится перед ней. Например, синий квадрат – это то, что квадрат и синий: «синий квадрат» = {квадрат, синий}. Понятно, что «синий квадрат» – не то же самое, что «квадрат». И понятно, что «синий квадрат» – не то же самое, что «синий». Так вот, «синий квадрат» как целое через знак тождества связывает свои части, которые по отдельности не равны целому. Но квадрат как целое будет равен квадрату как части, если других частей нет. Иначе говоря, «а = {а}» вырождается в «а = а».
Среди аргументов, которые критикуют эту концепцию, следующие: парадокс Рассела и довод, кочующий по учебникам: «Так, пусть a = {a, b} содержит два элемента. Рассмотрим множество {a}, содержащее своим единственным элементом множество «a». Тогда «a» содержит два элемента, в то время как {a} – лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно». … Посыл, как видно, изначально не верен: рассматривается «а = {а, b}», а не «а = {а}».
Парадокс Рассела не многим сложнее. Напомню, как он звучит: «Пусть К – множество всех множеств, которые не содержит себя в качестве своего элемента. Содержит ли К само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению К, оно не должно быть элементом – противоречие. Если нет – то, по определению К, оно должно быть элементом К – вновь противоречие». … Не сложнее по той простой причине, что сразу утверждается «по определению К, оно не должно быть элементом».
Вообще говоря, считается, что источником парадоксов являются самореферентные структуры. Но это не так! Все они имеют не просто структуру с самореференцией, а самореференцию с отрицанием: «а = {а, не}», а не «а = {а}». … Предложение «а = {а, не}» противоречиво, а вот предложение вида «не-а = {а, не}» не противоречиво.
Применительно к парадоксу Рассела, это означает, что приравнивается изначально неравное «содержит в себе то, что не содержит в себе» или, короче, «содержит = {не, содержит}». Другими словами, он только потому является парадоксом, что приравнивает один из элементов множества к множеству, содержащему не только этот элемент.
Конечно, есть разница c тем, как общепринято формируется множество. Так, запись «м = {a, s | b}» означает, что множество «m» задается свойством «b» и содержит элементы «а» и «s». Но вот смысл отношения целого и частей здесь иной: «a = {b, c}, «s = {b, p}».
Например, если s – синий квадрат, p – синий, b – квадрат, с – красный, a – красный квадрат, то «множество квадратов м = {красный квадрат, синий квадрат | быть квадратом}», «красный квадрат = {квадрат, красный}», «синий квадрат = {квадрат, синий}» (смотри рис. 1)
Семантическое целое имеет вид ориентированного (направленного) графа. Считается, что отношение симметричности не свойственно направленному графу. Но это верно лишь для случая, если рассматривать только вершины (состояния) и не учитывать «содержание» направленности ребер. … Пару (семантическое целое, части семантического целого) вполне можно рассматривать как симметричное отношение. Об этом следующие три статьи, которые были написаны ранее и в разное время – об отношении тождества как таковом (смотри рис. 2)
Ни у кого не вызывает возражений утверждение, что «a есть a», т. е. «a = a». Но как быть с формулировкой: «a» – это то, что «a»? Связка «… это то, что …» как раз группирует то, что находится после нее и именует эту совокупность тем, что находится перед ней. Например, синий квадрат – это то, что квадрат и синий: «синий квадрат» = {квадрат, синий}. Понятно, что «синий квадрат» – не то же самое, что «квадрат». И понятно, что «синий квадрат» – не то же самое, что «синий». Так вот, «синий квадрат» как целое через знак тождества связывает свои части, которые по отдельности не равны целому. Но квадрат как целое будет равен квадрату как части, если других частей нет. Иначе говоря, «а = {а}» вырождается в «а = а».
Среди аргументов, которые критикуют эту концепцию, следующие: парадокс Рассела и довод, кочующий по учебникам: «Так, пусть a = {a, b} содержит два элемента. Рассмотрим множество {a}, содержащее своим единственным элементом множество «a». Тогда «a» содержит два элемента, в то время как {a} – лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно». … Посыл, как видно, изначально не верен: рассматривается «а = {а, b}», а не «а = {а}».
Парадокс Рассела не многим сложнее. Напомню, как он звучит: «Пусть К – множество всех множеств, которые не содержит себя в качестве своего элемента. Содержит ли К само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению К, оно не должно быть элементом – противоречие. Если нет – то, по определению К, оно должно быть элементом К – вновь противоречие». … Не сложнее по той простой причине, что сразу утверждается «по определению К, оно не должно быть элементом».
Вообще говоря, считается, что источником парадоксов являются самореферентные структуры. Но это не так! Все они имеют не просто структуру с самореференцией, а самореференцию с отрицанием: «а = {а, не}», а не «а = {а}». … Предложение «а = {а, не}» противоречиво, а вот предложение вида «не-а = {а, не}» не противоречиво.
Применительно к парадоксу Рассела, это означает, что приравнивается изначально неравное «содержит в себе то, что не содержит в себе» или, короче, «содержит = {не, содержит}». Другими словами, он только потому является парадоксом, что приравнивает один из элементов множества к множеству, содержащему не только этот элемент.
Конечно, есть разница c тем, как общепринято формируется множество. Так, запись «м = {a, s | b}» означает, что множество «m» задается свойством «b» и содержит элементы «а» и «s». Но вот смысл отношения целого и частей здесь иной: «a = {b, c}, «s = {b, p}».
Например, если s – синий квадрат, p – синий, b – квадрат, с – красный, a – красный квадрат, то «множество квадратов м = {красный квадрат, синий квадрат | быть квадратом}», «красный квадрат = {квадрат, красный}», «синий квадрат = {квадрат, синий}» (смотри рис. 1)
Семантическое целое имеет вид ориентированного (направленного) графа. Считается, что отношение симметричности не свойственно направленному графу. Но это верно лишь для случая, если рассматривать только вершины (состояния) и не учитывать «содержание» направленности ребер. … Пару (семантическое целое, части семантического целого) вполне можно рассматривать как симметричное отношение. Об этом следующие три статьи, которые были написаны ранее и в разное время – об отношении тождества как таковом (смотри рис. 2)
1.3. Образ = операнд, если оператор
Если из операнда при воздействии на него оператора следует только образ и ничто иное, то образ – то же самое, что операнд, при воздействии на операнд оператора.
В.В. Булыгин
Здесь и далее понятия образ, операнд и оператор соответствуют трактовке Эшби, а именно [2]:
«Итак, нечто (бледная кожа) подвержена действию некоторого фактора (солнечных лучей) и превращается в темную кожу. То, что испытывает действие (бледную кожу), мы будем называть операндом; действующий фактор будем называть оператором; а то, во что превращается операнд, будем называть образом».
Темная кожа – это бледная кожа, если на бледную кожу действуют солнечные лучи. Если же в этом предложении опустить оператор, то о равенстве не может быть и речи. Сам Эшби хоть и упоминает о тождестве, но лишь применительно к рефлексии [2]:
«Важным преобразованием, которое, впрочем, начинающий может не признать за преобразование является тождественное преобразование. При этом преобразовании не происходит никаких изменений, и каждый образ совпадает со своим операндом».
Здесь же важно то, что в общем случае образ не равен операнду, и то, что соблюдается симметричность: «образ = операнд, если оператор» и «операнд, если оператор = образ». … Это же и математическим языком для пары (Y, F(X)), где оператор соответствует понятию функции F, образ – значению Y, а операнд – аргументу X: «образ = оператор(операнд)» влечет выполнение отношения «оператор(операнд) = образ». Ввиду важности подчеркну еще раз: отношение тождества выполняется для пары (Y, F(X)), а не для пары (Y, X)!
Другими словами, если из В при условии С следует только А и ничто иное, то «А = В, если С» или «А = С(В)». Если же определено еще, например, «В = D, если H», то «А = (D, если H), если С» или А = С(H(D))».
Даже для случая синонимии, когда Синоним1 и Синоним2 обозначают один и тот предмет или знак, говорить об их тождестве не приходится. Они будут тождественны только при условии, если Синоним2, например, преобразовать в Синоним1 (или наоборот): Синоним1 = преобразовать_в_Синоним1(Синоним2)
Рассмотрим известный пример [3]: «быть братом – то же самое, что быть сиблингом мужского пола». Быть братом – не то же самое, что быть мужского пола. Но быть братом (образ) – то же самое, что быть мужского пола (операнд), если у родителей есть еще дети (оператор). Быть братом не близнецом (образ) – то же самое, что быть мужского пола (операнд), если у родителей есть еще дети и если ни один из них не является с ним одновременно рожденным (оператор).
Аналогично и с химерами Рассела [4]. Химера – не то же самое, что животное. Химера – не то же самое, что дышать огнем. Но химера (образ) – то же самое, что животное (операнд), если дышать огнем (оператор).
С этих же позиций рассмотрим и парадокс лжеца: следующее высказывание истинно, предыдущее высказывание ложно (Платон: «Сократ лжет». Сократ: «Платон не лжет»). Если истинно, что высказывание ложно, то оно ложно. Если ложно, что высказывание ложно, то оно истинно. Или что то же и другими словами: утверждение (образ) – это отрицание (операнд), если отрицается (оператор) отрицание (операнд); отрицание (образ) – это утверждение (операнд), если отрицается (оператор) утверждение (операнд).
Итак, парадокс лжеца ведет себя как замкнутое однозначное преобразование, где «нет» как оператор – не то же самое, что «нет» как операнд или образ (смотри табл. 1):
Таблица 1
В логике предикатов принято описывать связь типа [5]: «Мама есть женщина» или, схематически, «a есть F» («a is an F»), где «a» обозначает единичный термин, а «F» – общий, соединяя общий термин с единичным (предикация). Но общее не равно единичному! Мама – не то же самое, что женщина. Мама (образ) то же самое, что женщина (операнд), если родила/воспитывает ребенка (оператор).
1.4. Существовать – что это?
Что значит быть «тем же самым»? Для последовательности, где А переходит в D, а D в B и т. д. (A D B C D E B A E B C E D A D B C E), можно ли предсказать появление С? Оказывается, что можно. Переход из В в С существует, переход из В в С остается тем же самым при определенном условии (смотри табл. 2).
Таблица 2
Взаимозаменяемость существования и «того же самого» подчеркивает и Фреге [6]: «Не обязательно употреблять слово существовать; вместо него можно сказать: быть самотождественным».
Иногда можно услышать мнение, что существование можно утверждать только по отношению к предикату «F», но не по отношению к единичному (субъекту) «а». Считаю, что сказать «а» не существует, означает то же, что не существует хотя бы одно «F» этого «а». С другой стороны, если все «F» этого «а» существуют, то существует и само «а» (образ).
Пример из Эшби [2]: «Так, мы сначала рассматривали маятник, как если бы он состоял только из одной переменной «угловое отклонение от вертикали»; мы обнаружили, что определенная таким образом система не обладает однозначностью. Если бы мы хотели продолжать, мы попробовали бы ввести другие определения, например вектор: (угловое отклонение, масса маятника), который также оказался бы неподходящим. В конце концов, мы попробовали бы вектор: (угловое отклонение, угловая скорость) и нашли бы, что определенные по такому способу состояния дадут нам желаемую однозначность».
Если, как указано Эшби, убрать из рассмотрения хоть какое-нибудь «F», например, угловую скорость, то и маятник перестанет существовать. Для существования маятника необходимы все «F»: как угловое отклонение, так и угловая скорость.
Не следует смешивать абстрактное и конкретное (конкретное и более конкретное). Маятник – не то же самое, что маятник железный. Железный маятник (образ) = маятник (операнд), если железный (оператор). На существование маятника никак не влияет удаление железного из железного маятника. Если двигаться в сторону абстрагирования понятий, то в основе увидим существование [6]:
«Для предложения «Имеются березы» следует выбрать другое вышестоящее понятие, например, «дерево». Если же надо представить вещи максимально общим образом, то потребуется разыскать такое понятие, которое стоит выше всех других понятии. Это понятие, если иметь в виду, что оно именно таково, обладая неограниченным объемом, не имеет никакого содержания, ведь любое содержание может состоять лишь в известном ограничении объема. В качестве такового может быть выбрано понятие самотождественный».
Таблица 2
Взаимозаменяемость существования и «того же самого» подчеркивает и Фреге [6]: «Не обязательно употреблять слово существовать; вместо него можно сказать: быть самотождественным».
Иногда можно услышать мнение, что существование можно утверждать только по отношению к предикату «F», но не по отношению к единичному (субъекту) «а». Считаю, что сказать «а» не существует, означает то же, что не существует хотя бы одно «F» этого «а». С другой стороны, если все «F» этого «а» существуют, то существует и само «а» (образ).
Пример из Эшби [2]: «Так, мы сначала рассматривали маятник, как если бы он состоял только из одной переменной «угловое отклонение от вертикали»; мы обнаружили, что определенная таким образом система не обладает однозначностью. Если бы мы хотели продолжать, мы попробовали бы ввести другие определения, например вектор: (угловое отклонение, масса маятника), который также оказался бы неподходящим. В конце концов, мы попробовали бы вектор: (угловое отклонение, угловая скорость) и нашли бы, что определенные по такому способу состояния дадут нам желаемую однозначность».
Если, как указано Эшби, убрать из рассмотрения хоть какое-нибудь «F», например, угловую скорость, то и маятник перестанет существовать. Для существования маятника необходимы все «F»: как угловое отклонение, так и угловая скорость.
Не следует смешивать абстрактное и конкретное (конкретное и более конкретное). Маятник – не то же самое, что маятник железный. Железный маятник (образ) = маятник (операнд), если железный (оператор). На существование маятника никак не влияет удаление железного из железного маятника. Если двигаться в сторону абстрагирования понятий, то в основе увидим существование [6]:
«Для предложения «Имеются березы» следует выбрать другое вышестоящее понятие, например, «дерево». Если же надо представить вещи максимально общим образом, то потребуется разыскать такое понятие, которое стоит выше всех других понятии. Это понятие, если иметь в виду, что оно именно таково, обладая неограниченным объемом, не имеет никакого содержания, ведь любое содержание может состоять лишь в известном ограничении объема. В качестве такового может быть выбрано понятие самотождественный».
1.5. Истинно при условии
Требования в логике быть истинным и «иметь познавательную ценность» противоречивы, но только в первом приближении. Другими словами, статья о разрешении парадокса анализа.
Стоим и смотрим в окно. Деревья. Снег. … Из проезжающего поезда. Стоим или едем? Наверно, физик и математик только усмехнутся, прочитав что-то подобное. Но не все так просто. Переформулируем. В становится А и В становится S. И если противоречие между A и S относительно B решается, то по отношению к отдельным высказываниям B → A и B → S этого не скажешь. (смотри рис. 1)
Начнем с начала – с истины. Не вижу принципиальной разницы между истиной и тождеством в своей основе. Другими словами, истина есть тождество, если сознание отображает реальность тождественным образом. Более того, само «есть» тоже тождественно тождеству. Этот, казалось бы, хоть и не совсем очевидный факт приводит к еще более неочевидному – к стиранию грани между диалектикой и математикой.
О любой вещи можно сказать, что она есть то же самое, т. е. тождественна себе. Различие → Различие есть различие → Тождественно, что различие есть различие → Тождество есть то, что различие есть различие → (=) = (≠ = ≠) → (=) = (≠)
Итак, тождество есть различие, и различие есть тождество. Этот парадоксальный вывод вроде бы подрывает основы самой науки, если бы не одно «но»…
Чтобы показать значимость этой «но» не только для философии и математики, но и для вполне обычного, рассмотрим видовые различия. Такие различия создают иерархии, уточняя свойства от самых общих до более конкретных. Животное, например, может стать слоном, а может и собакой (животное → слон, животное → собака). С точки зрения логики, эти отнесенные друг к другу высказывания ложны. Как поступать в таких случаях показал в своей книге «Введение в кибернетику» Р. Эшби.
Чтобы устранить противоречие следует найти различия в условиях. Этими условиями будет то, что собака «лает», а у слона есть «хобот». Поэтому животное становится слоном, если у животного есть хобот и животное становится собакой, если животное лает. Обратно, слон есть животное, если животное имеет хобот, и собака есть животное, если животное лает (смотри рис. 3).
Но этот же принцип поиска условия можно распространить и на первичное высказывание! Абстрактно это выглядит так: при условии C, B → A. Ставшее уже есть, поэтому A есть B при условии С.
Итак, если существует B → A, то существует условие для В, такое что В = А. Другими словами, если различия тождественны, то существует условие для этой истины.
Об этом можно подумать и так: целое может быть своей частью (например, А) при условии, что другие части имеют значение «не быть», и целое может быть своей не частью (т. е не этой А, а В, например), если другие части (включая и противоположную часть для указанной не части) принимают значение «не быть». (смотри рис. 4)
Поднимемся по эволюционному дереву. Нечто (нечто можно заменить на существующее и на быть) становится и живым и неживым. Устраним ложь высказывания тем, что введем условия, различающие преобразования в живое и в неживое. Нечто становится живым при условии «само двигается» и становится неживым в противном случае. С момента ввода различия можно говорить и о тождестве, т. е. о том, что живое есть нечто, которое двигается само. Аналогично, животное есть живое, если у него есть теплая кровь. Поэтому слона можно определить и через нечто. Слон есть существующее, если само двигается с теплой кровью и с хоботом.
В чем истина переменной? Как может изменяемое быть тем же самым? Допустим, что имеем изменяемое от А к В, от В к С, от С к А. Тогда А → В → С тождественно повторяемому А → В → С.
Еще пример. Допустим, что имеем изменяемое от А к непредсказуемому, от непредсказуемого к С, от С к А. Тогда А → непредсказуемое → С тождественно повторяемому А → непредсказуемое → С. В предельном случае истина переменной в том, что ее значение может быть иным.
Стоим и смотрим в окно. Деревья. Снег. … Из проезжающего поезда. Стоим или едем? Наверно, физик и математик только усмехнутся, прочитав что-то подобное. Но не все так просто. Переформулируем. В становится А и В становится S. И если противоречие между A и S относительно B решается, то по отношению к отдельным высказываниям B → A и B → S этого не скажешь. (смотри рис. 1)
Начнем с начала – с истины. Не вижу принципиальной разницы между истиной и тождеством в своей основе. Другими словами, истина есть тождество, если сознание отображает реальность тождественным образом. Более того, само «есть» тоже тождественно тождеству. Этот, казалось бы, хоть и не совсем очевидный факт приводит к еще более неочевидному – к стиранию грани между диалектикой и математикой.
О любой вещи можно сказать, что она есть то же самое, т. е. тождественна себе. Различие → Различие есть различие → Тождественно, что различие есть различие → Тождество есть то, что различие есть различие → (=) = (≠ = ≠) → (=) = (≠)
Итак, тождество есть различие, и различие есть тождество. Этот парадоксальный вывод вроде бы подрывает основы самой науки, если бы не одно «но»…
Чтобы показать значимость этой «но» не только для философии и математики, но и для вполне обычного, рассмотрим видовые различия. Такие различия создают иерархии, уточняя свойства от самых общих до более конкретных. Животное, например, может стать слоном, а может и собакой (животное → слон, животное → собака). С точки зрения логики, эти отнесенные друг к другу высказывания ложны. Как поступать в таких случаях показал в своей книге «Введение в кибернетику» Р. Эшби.
Чтобы устранить противоречие следует найти различия в условиях. Этими условиями будет то, что собака «лает», а у слона есть «хобот». Поэтому животное становится слоном, если у животного есть хобот и животное становится собакой, если животное лает. Обратно, слон есть животное, если животное имеет хобот, и собака есть животное, если животное лает (смотри рис. 3).
Но этот же принцип поиска условия можно распространить и на первичное высказывание! Абстрактно это выглядит так: при условии C, B → A. Ставшее уже есть, поэтому A есть B при условии С.
Итак, если существует B → A, то существует условие для В, такое что В = А. Другими словами, если различия тождественны, то существует условие для этой истины.
Об этом можно подумать и так: целое может быть своей частью (например, А) при условии, что другие части имеют значение «не быть», и целое может быть своей не частью (т. е не этой А, а В, например), если другие части (включая и противоположную часть для указанной не части) принимают значение «не быть». (смотри рис. 4)
Поднимемся по эволюционному дереву. Нечто (нечто можно заменить на существующее и на быть) становится и живым и неживым. Устраним ложь высказывания тем, что введем условия, различающие преобразования в живое и в неживое. Нечто становится живым при условии «само двигается» и становится неживым в противном случае. С момента ввода различия можно говорить и о тождестве, т. е. о том, что живое есть нечто, которое двигается само. Аналогично, животное есть живое, если у него есть теплая кровь. Поэтому слона можно определить и через нечто. Слон есть существующее, если само двигается с теплой кровью и с хоботом.
В чем истина переменной? Как может изменяемое быть тем же самым? Допустим, что имеем изменяемое от А к В, от В к С, от С к А. Тогда А → В → С тождественно повторяемому А → В → С.
Еще пример. Допустим, что имеем изменяемое от А к непредсказуемому, от непредсказуемого к С, от С к А. Тогда А → непредсказуемое → С тождественно повторяемому А → непредсказуемое → С. В предельном случае истина переменной в том, что ее значение может быть иным.
1.6. Из вымышленного
Витгенштейн:
Сказать о двух предметах, что они тождественны, бессмысленно, а сказать об одном предмете, что он тождественен самому себе, значит ничего не сказать.
Булыгин:
Не совсем. Согласен с Вами в том, что два предмета не могут быть тождественны по той простой причине, что их два. Но когда мы говорим об одном предмете, что он равен себе, мы тем самым подчеркиваем в нем, что он остается тем же самым, а не другим, т. е подчеркиваем в нем то, что он существует, что он есть.
Юм:
Мы не можем ни в какой правильной речи сказать, что предмет такой же, как он сам, если только мы не имеем в виду, что предмет, существующий в одно время, такой же, как и он сам, существующий в другое время.
Булыгин:
Совершенно верно.
Некто:
Какой смысл? Ведь говорить о предмете, что он такой же, как и он сам – тавтология?
Булыгин:
Да, тавтология. Вот и Рамсей считает, что математика как раз занимается, что поиском того, где содержание совершенно обобщено, а форма – тавтология. Поддерживаю. Кроме математики обобщенными формами, т. е абстракциями, занимается еще и философия. Но в отличии от математики, в философии по иному относятся к противоречию, … грехом ее не считая.
Некто:
И что? Отказаться от тождества?
Булыгин:
Проблема больше в психологии, нежели в существующих инструментах исследования этого мира. Возьмем, например, предложение вида: А = В + 2. Мы все время пытаемся приравнять две различные вещи (в нашем случае А и В), но они по определению не равны. Но они могут быть равны, если рассматривать еще что-то третье (в нашем случае +2). … Было одним и стало другим при неком условии. Или что тоже и формально: если из В при условии +2 следует только А и ничто иное, то для пары (А, В + 2) верно тождество.
Некто:
Может кто-нибудь прояснит мне суть того, что мы вкладываем в понятие существовать?
Рассел:
Существовать – случай пропозициональной функции, которая истинна, по крайней мере, при одном значении переменной. Булыгин:
По-вашему, существует кто-то, кто является автором теории дескрипции, он единственен и этот автор – Вы, Рассел. Формально, найдется такое значение Х, что оно тождественно А. … У меня акценты смещены иначе. Существует «быть автором» и существует «теория дескрипции». Тогда, если «быть автором» единственным образом (эта единственность выражается «теорией дескрипции» и ничем иным) преобразуется в «быть автором теории дескрипции» – Расселом. … В этом контексте, Рассел – то же, что автор, если (и только если) теории дескрипции, и Рассел существует – то же, что существует автор теории дескрипции.
Сказать о двух предметах, что они тождественны, бессмысленно, а сказать об одном предмете, что он тождественен самому себе, значит ничего не сказать.
Булыгин:
Не совсем. Согласен с Вами в том, что два предмета не могут быть тождественны по той простой причине, что их два. Но когда мы говорим об одном предмете, что он равен себе, мы тем самым подчеркиваем в нем, что он остается тем же самым, а не другим, т. е подчеркиваем в нем то, что он существует, что он есть.
Юм:
Мы не можем ни в какой правильной речи сказать, что предмет такой же, как он сам, если только мы не имеем в виду, что предмет, существующий в одно время, такой же, как и он сам, существующий в другое время.
Булыгин:
Совершенно верно.
Некто:
Какой смысл? Ведь говорить о предмете, что он такой же, как и он сам – тавтология?
Булыгин:
Да, тавтология. Вот и Рамсей считает, что математика как раз занимается, что поиском того, где содержание совершенно обобщено, а форма – тавтология. Поддерживаю. Кроме математики обобщенными формами, т. е абстракциями, занимается еще и философия. Но в отличии от математики, в философии по иному относятся к противоречию, … грехом ее не считая.
Некто:
И что? Отказаться от тождества?
Булыгин:
Проблема больше в психологии, нежели в существующих инструментах исследования этого мира. Возьмем, например, предложение вида: А = В + 2. Мы все время пытаемся приравнять две различные вещи (в нашем случае А и В), но они по определению не равны. Но они могут быть равны, если рассматривать еще что-то третье (в нашем случае +2). … Было одним и стало другим при неком условии. Или что тоже и формально: если из В при условии +2 следует только А и ничто иное, то для пары (А, В + 2) верно тождество.
Некто:
Может кто-нибудь прояснит мне суть того, что мы вкладываем в понятие существовать?
Рассел:
Существовать – случай пропозициональной функции, которая истинна, по крайней мере, при одном значении переменной. Булыгин:
По-вашему, существует кто-то, кто является автором теории дескрипции, он единственен и этот автор – Вы, Рассел. Формально, найдется такое значение Х, что оно тождественно А. … У меня акценты смещены иначе. Существует «быть автором» и существует «теория дескрипции». Тогда, если «быть автором» единственным образом (эта единственность выражается «теорией дескрипции» и ничем иным) преобразуется в «быть автором теории дескрипции» – Расселом. … В этом контексте, Рассел – то же, что автор, если (и только если) теории дескрипции, и Рассел существует – то же, что существует автор теории дескрипции.
1.7. Суждения и однозначность
В традиционной логике используются связки «есть», «суть», которые иногда и только в количественном смысле совпадают со связкой «то же самое». Но даже в этом случае (смотри рис. 1) логические обороты типа «если b только d, и если d только b, то b и d равны» отражают лишь то, что b и d равночисленны, но не то, что b – то же самое, что d.
Как уже отмечалось, множество в математике трактуется как m={a, s | b}, где b – то общее, что есть как у «a», так и у «s». И где «a» соответственно «не-s» и «s» соответственно «не-a». Это «b» относится к «d» однозначно, а к «a», «s» неоднозначно. Там, где применяется оборот «все», там отношения заменимы на отношения однозначности. Поэтому, «а» – однозначно «b», «b» однозначно «d». Там же, где применяется оборот «некоторые», отношения сводимы как к неоднозначности, так и, в вырожденном случае, к однозначности. Поэтому, с учетом рисунка (смотри рис. 1), «d» – однозначно «b», «b» – неоднозначно «a» (поскольку «b» относится также и к «s»). И лишь с вводом условий «с» и «p» переходы становятся однозначны. Так, «b» при условии «с» однозначно «a», и «b» при условии «p» однозначно «s». И наоборот. Допустим, что «b» с неотраженным на рисунке «не-b», имеет общее «d». Тогда «d» также неоднозначно. А с учетом того, что «a = a» = «a ≠ не-a» = «a = не (не-a)», имеем:
1. Asp → Es(~p). Все S суть P. Следовательно, ни одно S не суть не-P. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «a» однозначно «b» → «a» незначно (не имеет отношений неоднозначности и однозначности) «не-b».
2. Esp → As(~p). Ни одно S не суть P. Следовательно, все S суть не-P. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «a» незначно «не-b» > «a» однозначно «не (не-b)».
1 Isp → Os(~p). Некоторые S суть P. Следовательно, некоторые S не суть не-P. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «b» неоднозначно «a» → не то, что «b» неоднозначно именно «не-a» > «b» неоднозначно не «не-a».
2 Osp → Is(~p). Некоторые S не суть P. Следовательно, некоторые S суть не-P. С учетом рисунка (смотри рис. 1), не то, что «b» неоднозначно именно «a» → «b» неоднозначно «не-a».
1 Asp → Ips. Все S суть P. Следовательно, некоторые P суть S. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «a» – однозначно «b» → «b» неоднозначно «a».
2 Esp → Eps. Ни одно S не суть P. Следовательно, ни одно P не суть S. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «s» незначно «не-b» > «не-b» незначно «s».
3 Isp → Ips. Некоторые S суть P. Следовательно, некоторые P суть S. Вообще говоря, «b» неоднозначно «a» → «a» неоднозначно «b».
Как уже отмечалось, множество в математике трактуется как m={a, s | b}, где b – то общее, что есть как у «a», так и у «s». И где «a» соответственно «не-s» и «s» соответственно «не-a». Это «b» относится к «d» однозначно, а к «a», «s» неоднозначно. Там, где применяется оборот «все», там отношения заменимы на отношения однозначности. Поэтому, «а» – однозначно «b», «b» однозначно «d». Там же, где применяется оборот «некоторые», отношения сводимы как к неоднозначности, так и, в вырожденном случае, к однозначности. Поэтому, с учетом рисунка (смотри рис. 1), «d» – однозначно «b», «b» – неоднозначно «a» (поскольку «b» относится также и к «s»). И лишь с вводом условий «с» и «p» переходы становятся однозначны. Так, «b» при условии «с» однозначно «a», и «b» при условии «p» однозначно «s». И наоборот. Допустим, что «b» с неотраженным на рисунке «не-b», имеет общее «d». Тогда «d» также неоднозначно. А с учетом того, что «a = a» = «a ≠ не-a» = «a = не (не-a)», имеем:
1. Asp → Es(~p). Все S суть P. Следовательно, ни одно S не суть не-P. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «a» однозначно «b» → «a» незначно (не имеет отношений неоднозначности и однозначности) «не-b».
2. Esp → As(~p). Ни одно S не суть P. Следовательно, все S суть не-P. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «a» незначно «не-b» > «a» однозначно «не (не-b)».
1 Isp → Os(~p). Некоторые S суть P. Следовательно, некоторые S не суть не-P. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «b» неоднозначно «a» → не то, что «b» неоднозначно именно «не-a» > «b» неоднозначно не «не-a».
2 Osp → Is(~p). Некоторые S не суть P. Следовательно, некоторые S суть не-P. С учетом рисунка (смотри рис. 1), не то, что «b» неоднозначно именно «a» → «b» неоднозначно «не-a».
1 Asp → Ips. Все S суть P. Следовательно, некоторые P суть S. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «a» – однозначно «b» → «b» неоднозначно «a».
2 Esp → Eps. Ни одно S не суть P. Следовательно, ни одно P не суть S. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «s» незначно «не-b» > «не-b» незначно «s».
3 Isp → Ips. Некоторые S суть P. Следовательно, некоторые P суть S. Вообще говоря, «b» неоднозначно «a» → «a» неоднозначно «b».