Страница:
Дирижер или жонглер?
Как же мне поспеть-то одному на всех?.. Боже мой, у меня всего четыре ученика, и я не могу обеспечить индивидуальный подход! Что же может сделать учитель, у которого сорок человек в классе?.. Учителя часто любят сравнивать с дирижером. Я сам себе кажусь похожим скорее на жонглера, у которого вот-вот все рассыплется по арене. Так и сейчас, пока я пытаюсь беседовать с Женей - что да почему, Дима уже вытащил карточку для следующего задания ("Четвертый - лишний") и спрашивает: "Папа, а это что, следующая задача?" Остальные двое уже рвут у него карточки из рук и безжалостно мнут их при этом, не щадя вечернего родительского труда. Женя уже тоже косится в их сторону. Я разжимаю кулак, мы бегло проверяем, сколько пуговиц, и переходим к следующей задаче.
Услышать от ребенка правильное объяснение важнее, чем получить от него правильный ответ
Правила игры "Четвертый - лишний" общеизвестны. Детям дают четыре карточки, на которых изображены или такие фигуры, как на рисунке 6, или нарисованы, например, заяц, ежик, белка и чемодан. Нужно сказать, какой из этих рисунков лишний.
Забавно наблюдать, как дети почти всегда дают правильный ответ, хотя далеко не всегда могут его объяснить. "Лишний - чемодан". - "Почему?" - "Потому что он не заяц, не ежик и не белка". - "Ах, вот как! А по-моему, лишний заяц. Потому что он не ежик, не белка и не чемодан!" Мальчики смотрят на меня в недоумении и заявляют настойчиво: "Нет, лишний - чемодан!"
Я пытаюсь узнать, нельзя ли все три не-лишних предмета - зайца, ежика и белку - назвать одним общим словом. Наконец Петя, который по словарному запасу опережает остальных, первый находит нужное слово - "животные". И в дальнейшем он часто выручал нас в этой ситуации.
Лишние выстраиваются в очередь
Между прочим, я даю также и задачи с неоднозначным ответом. Например: воробей, пчела, улитка и самолет. Можно лишним считать самолет (неживой), а можно улитку (не умеет летать).
В таких задачах я по очереди сам "назначал" лишних, а мальчики должны были давать объяснения. Так я пытался их убедить, что правильное объяснение важнее, чем правильный ответ, - прообраз общематематической идеи о необходимости не только делать правильные утверждения, но и эту правильность доказывать.
Схема "четвертый - лишний" и ее разновидности очень удобны для того, чтобы учить детей угадывать закономерности (эта грань математического мышления забывается школьной педагогикой). Иногда удобнее брать восемь картинок, которые должны разделиться по выделенным признакам на две равные группы. Именно такой схемой пользовался М.М.Бонгард в своей знаменитой книге "Проблемы узнавания". И уж совсем трудные логические задачи получаются с пересекающимися классами.
Например, пять картинок нужно разбить на две равные группы, по три картинки в каждой; при этом одна из картинок общая - она принадлежит обеим группам. Вот например: мяч, автомобильная шина, резиновые сапоги, пальто, шапка. Здесь три предмета из резины (мяч, шина, сапоги) и три предмета одежды (сапоги, пальто, шапка); общий элемент - сапоги.
Когда мы впервые встретились с Сашей Звонкиным, я рассказал ему о том, как мы с моими литстудийцами играем в подобную игру на лексическом материале. Группу из семи слов, заранее подобранных мной, студийцы пробуют разделить на две группы по четыре слова в каждой: Клюшка, дорога, гараж, хоккеист, ворота, матч, автомобиль; или Книга, тетрадь, осень, дерево, буква, лист, ветка.
Ключик к решению (найти слово-омоним, разные значения которого вписываются в разные ряды) быстро обнаруживают даже дошкольники. И весело выстраивают семерки в две шеренги по четыре слова в каждой: Клюшка-хоккеист-матч-ворота и дорога- гараж-автомобиль-ворота; Книга-тетрадь-буква-лист и осень-дерево-ветка-лист.
Любят эту игру и подростки, и взрослые. А придумывать такие задачи с детьми - редкое удовольствие.
Отдельный вопрос: как физически поделить пять картинок на две группы по три - не рвать же одну карточку пополам.
Мы пользовались стандартным приемом: двумя веревочными кругами, в пересечении которых помещали общий предмет.
Всегда ли мыслить нестандартно означает мыслить творчески?
Дима все время представлял собой проблему. "Это хоть и дядя, но похож на тетю", - говорил он про старика с огромной бородой и помещал его в общество женщин. Про автомобильную шину он долго доказывал нам всем, что это тоже одежда, так как ее можно носить на поясе. Когда же никто с ним не согласился, он сказал: "Все равно это одежда, потому что ее надевают на автомобиль".
Кто-нибудь скажет: вот, мальчик умеет мыслить творчески, нестандартно. Насчет "нестандартно" согласен, но вот творчески... Человек по-настоящему творческий умеет предложить неожиданное, нестандартное решение и при этом остаться в рамках задачи. У Димы пока присутствует только первый компонент, а вот остаться в рамках задачи или хотя бы вблизи от них он не умеет. Надо как-то суметь, не подавив одно, развить другое. А как этого добиться, я не знаю.
Детям нужно полноценное интеллектуально-эстетическое удовольствие
Наша следующая (и последняя на этот раз) задача - из области геометрии. Я извлекаю цветную детскую мозаику, купленную в магазине "Лейпциг" (увы, в одном экземпляре: в момент покупки я еще не помышлял о кружке).
Мозаика представляет собой прямоугольное поле с отверстиями. В них вставляются одинаковые по форме фишечки пяти разных цветов (рисунок 7), цвет фишек очень яркий, насыщенный, приятный для глаз. Наша задача - про симметрию. Сначала я выкладываю ось - одноцветную вертикальную линию, проходящую посередине поля. Я называю эту линию "зеркалом"; в это зеркало сейчас будут смотреться разные фигурки. Я строю с одной стороны от оси разнообразные небольшие фигурки, а мальчики должны построить симметричные им фигурки с другой стороны. Я варьирую все, что можно - цвет, размер, расположение фигур (на следующих занятиях будет меняться также и расположение оси: сначала она станет горизонтальной, затем пойдет по диагонали). С помощью настоящего зеркала мы проверяем наши решения: оказывается ли за зеркалом то же самое, что мы видим в зеркале? Мальчики справляются с задачей на удивление легко, почти не допускают ошибок. Не могу понять, почему эта тема (осевая симметрия) вызывает трудности в шестом классе! Мы впоследствии посвятили ей много занятий. Симметрия в самом деле очень богатая тема.
Мы рассматривали картинки с симметричными узорами из книг по популярной математике. Мы рисовали симметричные фигуры разноцветными фломастерами на клетчатой бумаге; делали симметричные кляксы, складывая лист бумаги пополам; вырезали новогодние снежинки; находили ошибки в симметричных рисунках, в которых были специально сделаны кое-где нарушения, отклонения от точной симметрии; среди восьми карточек находили четыре симметричные и четыре несимметричные фигуры; у одной фигуры находили все возможные оси симметрии. Другие виды перемещений - центральная симметрия, поворот, параллельный перенос - оказываются для детей несколько более сложными, а вот осевая симметрия буквально идет "на ура".
А мозаика стала вскоре моим любимейшим инструментом. Это не игра, а настоящий клад всевозможных задач по геометрии, комбинаторике, логике, угадыванию закономерностей. А однажды она мне преподала один незабываемый урок на тему о том, что для детей важнее. Дело было так. Мальчики с удовольствием ходили на занятия, а иногда даже в ответ на мои слова "урок окончен" просили позаниматься еще. Я, конечно, гордился собой, пока вдруг не заметил, что их просьбы продолжить занятие следуют только тогда, когда мы занимаемся с мозаикой.
Я решил проверить свою догадку. Следующее занятие было без мозаики. Так оно и есть: говорю "урок окончен" - дети спокойно встают и расходятся.
Меня охватили глубочайшие сомнения. Мозаика в самом деле очень красива, нет ничего удивительного в том, что ребятам нравится с нею играть. А моя математика, думал я, здесь ни при чем; я ее протаскиваю как обузу, как никому не нужный довесок, как нагрузку к интересной игрушке! И вот в следующий раз я устраиваю решающую проверку. Мы опять занимаемся с мозаикой; опять мальчики не хотят заканчивать занятие. И тогда я говорю: "Нет, давайте мы урок все-таки закончим, а с мозаикой я вам разрешаю поиграть просто так". В ответ следует единодушный вопль возмущения, и Петя резюмирует общую точку зрения в решительных словах: "Э, не-ет! Мы хотим задачу!!" Вот так я понял, где лежит истина.
Детям нужно полноценное интеллектуально-эстетическое удовольствие. Если одна из двух половин отсутствует, полноценность теряется, а с ней и ощущение праздника.
Новогодняя елка без игрушек имеет в глазах детей так же мало притягательности, как игрушки без елки. Только когда они соединяются вместе, наступает праздник. Я надеюсь, что в будущем, через годы, когда мои ребята будут заниматься более абстрактной, "умственной" математикой, они будут получать от этого больше удовольствия, чем их сверстники. Ведь возникающие у них в уме абстрактные образы и понятия будут где-то на дне сознания эмоционально сливаться, окрашиваться воспоминаниями о разноцветных радостях детства.
Вот и сейчас - мы уже прошли два круга, то есть каждый из ребят решил по две задачи на симметрию, пора бы уже кончать, но мальчики не унимаются, хотят еще. Мне кажется, что они уже устали. И я нахожу неожиданный выход: "Давайте вы будете задавать мне задачи, а я буду их решать". Дети в восторге! С новым пылом они строят фигурки, а я - им симметричные. Работаю старательно.
Ошибки как педагогический инструмент
Вдруг в голову приходит новая идея: я начинаю нарочно делать ошибки
Идея использования преднамеренных ошибок прочно вошла в теорию и практику развивающего образования (система Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова). Там такие ошибки получили название "ловушки".
Петя первый это замечает; счастью детей нет конца. К мальчикам как будто пришло второе дыхание. Теперь они с горящими глазами, не отрываясь, следят за моей рукой, встречая каждую новую ошибку воинственными дикарскими кличами.
Но пора все же закругляться. Я отодвигаю мозаику, благодарю всех и объявляю занятие оконченным. "А когда же фокусы будут?" - вдруг вспоминает Андрюша. "Ну как же, Андрюша! Ведь ты сам и показывал фокусы! Пуговиц было не видно, они были спрятаны у меня в кулаке, а ты сумел их сосчитать". Сумел, правда, не он, а Женя, но Андрюша, видимо, об этом забыл, потому что выглядит вполне удовлетворенным.
Очень интересное наблюдение, которое непременно нужно учитывать, занимаясь с дошкольниками и младшими школьниками: когда в группе малышей кто-нибудь справляется с задачей, которую решали все вместе, каждый ребенок ощущает себя решившим задачу!
Мы встаем. Я смотрю на часы: неужели прошло всего двадцать пять минут? Сейчас дети разойдутся, а я останусь приводить в порядок свои мысли, придумывать новые задачи, новые подходы, приемы. И еще - клеить, вырезать, раскрашивать. Одним словом, готовить то, что в педагогике зовется скучным сливом "дидактический материал". Ведь до следующего занятия - всего одна неделя.
Теория вероятностей для выращивания вундеркиндов?
Когда я решался выступить с этими заметками перед широкой аудиторией, я больше всего боялся, что кто-нибудь примет меня за очередного пророка, предлагающего еще один способ выращивания вундеркиндов. Некоторый повод для такого мнения дают темы наших математических занятий. Их "взрослые" названия звучат порой удручающе научно: теория вероятностей, программирование, топология, комбинаторика...
Я представлял себе читателя - восторженного и увлекающегося, воспитанного на лекциях типа "Неизведанные возможности нашей психики", - который станет говорить: "Вы представляете, у него малые дети изучают теорию вероятностей! Взрослые люди, с высшим образованием ничего в этом понять не могут, а малыши прекрасно разбираются!"
И другого - более здравомыслящего и скептического, который будет возражать: "Не понимаю, зачем забивать им голову такой ерундой! Пусть у ребенка будет нормальное детство".
Обидно было бы слышать такие диалоги, так как обе точки зрения основаны на чистейшем недоразумении.
Нет, конечно, мы не "изучаем" никаких формул и теорем математической теории вероятностей. Я не верю в существование детей, сколь угодно одаренных, которые были бы способны к такому изучению. А что же делать вместо этого?
Дошкольники у подножья высшей математики
В качестве первого шага надо задать себе такой вопрос: откуда возникла теория вероятностей? Где ее корни?
Ясно - как и многие другие науки, как даже сама арифметика, теория вероятностей возникла из наблюдений над определенными явлениями реального мира, а именно - над случайными, непредсказуемыми явлениями.
Следующий шаг - понять, что как раз вот такие наблюдения, предшествующие науке, вполне можно проводить вместе с детьми. Не все, конечно, - лишь самые простые. Да дети и сами, без нас, этим занимаются - например, тогда, когда играют в игры с участием игральной кости (кубика с написанными на нем очками от 1 до 6).
Нам остается только чуть-чуть выпятить, самую малость подчеркнуть вероятностную природу их наблюдений. Как? Есть много способов. Можно, например, вместо кубика предложить детям кособокий многогранник, чтобы они увидели, как игра становится "несправедливой": одни цифры выпадают чаще, чем другие. Или можно придумать игру, в которой требуется считать сумму очков на двух костях. Здесь тоже дети рано или поздно заметят, что, скажем, сумма 7 выпадает гораздо чаще, чем сумма 2. В такого рода деятельности мы не ограничены ничем, кроме собственной фантазии и реальных возможностей реальных детей. Если дети поняли что-то, если какое-то зерно запало в разум - очень хорошо. Если нет - значит, мы просто играли.
Замечательный девиз для взрослого, предлагающего дошкольникам интеллектуальные игры: "Если дети что-нибудь усвоят, очень хорошо. Если ничего не поймут, - а я и не рассчитывал, что поймут! Мы просто играли".
(А играть вместе со взрослыми для малышей всегда особое удовольствие!)
Итак, сформулирую еще раз общее направление поиска: не наука сама по себе, как готовый продукт прошлых поколений, а те предварительные, предшествующие ей наблюдения, которые послужили толчком к ее появлению (Подчеркнуто мной. ? ВЛ).
Блестящая идея! Она справедлива для любого учебного предмета: прежде чем переходить к систематическому изучению любой науки, целесообразно приобщить ребенка (особенно в дошкольном возрасте) к наблюдениям, которые в истории человечества предшествовали возникновению этой науки. Входя в науку не через освоение готовых знаний, а через собственные наблюдения, впечатления и размышления, ребенок сохраняет свое видение мира, а значит и способность к самостоятельным открытиям (а не только к использованию опыта предков).
Хочу рассмотреть один пример более подробно.
Увлекательная, если сначала пощупать руками
Всего лишь одна простая задачка - а как много она дает поводов для размышлений! Здесь и психология, и педагогика, и математика (и даже чуточку философия) сплелись в нерасторжимый узел. Вот сейчас увидите.
Задача эта относится к области комбинаторики. Когда-то такую науку проходили в школе, в девятом классе. Потом сочли очень трудной (вспомните хотя бы такое пугало, как бином Ньютона!) и из программы исключили. А все трудности старшеклассников состояли попросту в том, что им приходилось сразу начинать с формул, не пощупав ничего руками. В данном случае выражение "пощупать руками" надо понимать буквально. Ведь в комбинаторике речь идет о подсчете количества тех или иных комбинаций предметов. Только самих предметов-то нет - их надо вообразить, и комбинации тоже. Вот если бы начать с комбинирования реальных кубиков, фишек...
Мы рассаживаемся вокруг мозаики.
Любопытно, связан ли порядок в игрушках с порядком в мыслях?
Задание такое: надо построить "бусы" - цепочку из пяти фишек, в которой две фишки должны быть черными, а оставшиеся три - белыми. Это, разумеется, можно сделать разными способами. Так вот, наша задача как раз и состоит в том, чтобы перебрать все способы и при этом избежать повторений.
[Image14.gif (8772 bytes)]
Рис.1.
По науке эти последовательности называются сочетаниями из пяти элементов по два: их количество обозначается С25 и равно { 5х(5?1)} 2 = 10. Ничего этого дети, конечно, не знают и на наших занятиях не узнают. Они просто строят бусы - по очереди, один за другим. Каждый результат проверяется всеми вместе - действительно ли он новый или совпадает с каким-нибудь из построенных ранее. Порой и спорим.
[Image15.gif (1360 bytes)]
Рис.2.
Например, вот это (рисунок 2) - одно решение или два разных? В конце концов доходим до десяти решений.
Главный вопрос комбинаторики - сколько всего имеется решений. Но мальчики еще очень далеки от него. Они вообще пока не видят разницы между "это невозможно" и "у меня не получается", и выражают твердую уверенность в том, что уж я-то могу построить и одиннадцатое решение, и двенадцатое, и вообще сколько захочу. Приходится взяться за дело мне самому. Ребята перебирали свои решения как попало, без всякой системы. Зато я демонстрирую образец систематичности: перебираю решения в строго определенном порядке. Сначала ставлю одну черную фишку на первое место, а вторую - поочередно на второе, третье, четвертое, пятое места. Когда эта серия исчерпана, ставлю первую фишку на второе место, и т. д.
Вы думаете, это производит впечатление? Ни малейшего. Единственное, что они поняли, - это то, что у меня тоже ничего не вышло. Отличить одно решение от другого они уже могут, а вот отличить порядок от беспорядка им пока не по силам. Надо отложить эту задачу этак на полгодика. (А пока, может быть, приучать их складывать все игрушки на свои места. Любопытно, связан ли порядок в игрушках с порядком в мыслях?)
К чему ведет взрослая привычка подставлять свою точку зрения вместо ребячьей
Полгода прошло. Но не давать же детям ту же самую задачу снова! Мне приходит в голову, сохранив математическое существо задачи, изменить ее внешнее, физическое оформление. Каждый получает листок, на котором нарисованы сцепленные друг с другом кружочки, по пять штук в каждом ряду (рисунок 3).
[Image17.gif (1541 bytes)]
Рис.3.
Задача состоит в том, чтобы в каждой цепочке два кружка закрасить, а остальные три оставить пустыми. Разумеется, разными способами и без повторений. Чемпионом будет тот, кто найдет больше всего решений.
(И еще одна деталь, на первый взгляд пустячная. Я даю всем ребятам фломастеры самых разных цветов, а в дальнейших обсуждениях этот факт старательно игнорирую: каждый раз два кружка можно закрашивать любым цветом. Я надеюсь, что, в какой-то мере это подчеркнет чисто комбинаторную природу задачи. А в другой группе я вместо кружков рисовал квадраты, треугольники и т. п.).
Какая красивая педагогическая находка! Педагог задумал не сообщать детям готовые знания, развить их способность наблюдать, осмысливать наблюдения и благодаря этому самостоятельно обнаруживать природные закономерности. В данном случае усилия А.Звонкина направлены на то, чтобы дети открыли вероятностный характер некоторых явлений. Для этого взрослый хочет "самую малость подчеркнуть вероятностную природу" наблюдаемых детьми явлений. Как же это сделать, не сообщая детям законов теории вероятности? Неожиданное и изящное педагогическое решение состоит в том, чтобы сначала предложить ребенку лишние данные, хорошо заметные малышу, а затем "тщательно игнорировать их". Таким образом педагог, не называя сути явления, указывает на то, что не относится к сути наблюдаемого явления. Какой своеобразный педагогический "минус-прием"! Надо взять на вооружение.
Несколько минут самостоятельной работы (показывающей между прочим, что задача на бумаге труднее задачи на мозаике, несмотря на прошедшие полгода), затем шумный обмен мнениями и результатами. Теперь у всех по десять решений.
"А вы помните, у нас уже была один раз очень похожая задача..."
Ведь вот как легко промахнуться, подставив свою точку зрения вместо ребячьей! Что значит похожая? Мне как-то казалось само собой разумеющимся: похожая задача - это та, где тоже фигурировали сочетания из пяти предметов по два. А дети считают похожими те задачи, в которых тоже надо было рисовать фломастерами. Не люблю подсказывать, но на этот раз приходится. Мальчики с радостью хватаются за мозаику, строят бусы на ней и даже сами догадываются сверить решения на мозаике и на листочках. Кто-то вспоминает, что в прошлый раз тоже получилось десять решений. Это, наконец-то, повод для первого сомнения. "А что, и правда больше нельзя построить?" Я загадочно улыбаюсь и перехожу к другому заданию.
Вы обратили внимание на то, как последовательно педагог реализует свой принцип: "Не объяснять ребенку закономерности и правила, известные взрослым, а давать ему материал для размышлений и наблюдений". Этому же принципу стремятся следовать учителя, работающие по системе развивающего образования Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова.
Золотая жила, или Задача-хамелеон
Кажется, я набрел на золотую жилу. Вскоре та же задача появляется в третий, в четвертый и даже в пятый раз.
Посмотрите, как непохоже она выглядит в своем новомобличье. В порядке очереди каждый получает листок клетчатойбумаги, на котором нарисован прямоугольник 3х4 клетки.(Секундный спор о том квадрат это или нет, после чего можноформулировать условие задачи.) Требуется нарисовать всевозможные дороги из левого нижнего угла в правый верхний,но при одном условии: из каждой клетки можно передвигатьсятолько направо или вверх (рисунок 4). Встретив эту задачу в книге, я и сам не сразу сообразил, как она связана с предыдущими. Если вам, уважаемые читатели, это тоже не совсем ясно, потерпите немного - сейчас все разъяснится.
а а а б б
а а а б б
а а а б б
Рис. 4.
Работа кипит, чувствуется возросшая квалификация моих "математиков": и ошибок меньше, и все десять решений найдены довольно быстро.
(Вот еще один "подводный камень": мальчики уже начинают привыкать к тому, что во всех комбинаторных задачах ответом служит число 10. Обязательно надо будет в ближайшее же время подбросить им побольше задач с разным количеством решений.)
Теперь время самого важного вопроса: чтобы пройти из угла в угол листочка, сколько шагов надо сделать направо и сколько вверх?
Только сначала надо договориться о том, что такое шаг, а то я считаю шагом переход из клетки в соседнюю, а ребята - любой прямолинейный отрезок. Договариваемся.
Из-за чего ребенок делает ошибки, то есть решает задачу, которую мы перед ним поставили, не так, как мы считаем правильным? Одна из самых распространенных причин детских "ошибок" - мы. Точнее ? наша непособность четко сформулировать задание (или небрежность наших формулировок). Мы вкладываем в свое задание один смысл, а ребенок воспринимает сказанное нами по-своему, иначе, чем мы. Отсюда простой вывод: если ребенок совершает ошибку, нужно проверить, правильно ли мы дали задание, нет ли в нашей формулировке задания неоднозначности.
Ну теперь-то уж ответ очевиден? Опять нет! Я в недоумении и после занятия обдумываю причину.
А и в самом деле, вопрос казался мне простым только по недомыслию.
Как часто учебные и жизненные задачи (те, которые жизнь задает в виде "проблемных ситуаций") кажутся нам простыми только по недомыслию! Случается это обычно со взрослыми, которым когда-то подсказали одно из возможных решений задачи как единственно правильное (а есть ли другие решения, они не проверяли). Или из-за того, что эти задачи и ситуации стали привычными для нас, взрослых, и мы забыли, как нам было трудно найти решение впервые. Или по иной причине. Так или иначе, давайте выведем из этого наблюдения еще одно золотое правило: задавая малышу задачу, каждый раз будем глядеть на нее глазами ребенка и пробовать решить ее так, будто решаем впервые.
Кстати, это пример того, как благотворно для нас общение с малышом, как оно "вынуждает" нас (помогает нам) вспоминать об источниках и границах наших знаний, освобождаться от шаблонов и привычных заблуждений.
Ведь именно на этом свойстве - что количество шагов по горизонтали и по вертикали одинаково для всех путей - основано координатное представление векторов, то есть тот факт, что при сложении векторов их координаты тоже складываются. Четко помню, как когда-то меня, уже взрослого, поразило(как важно, став учителем или родителем, помнить о том, что поражает в детстве! ? ВЛ) это свойство векторов. На его основе можно сделать хорошую серию задач и с ее помощью даже дать намек на отрицательные числа (если допускать шаги назад, но подсчитывать их со знаком минус).
Как важно хотя бы на мгновение усомниться
Ну а пока на занятии мы старательно подсчитываем шаги: оказывается, каждая дорожка содержит ровно три шага направо и ровно два шага вверх.
Поэтому на следующем занятии мы пишем такие последовательности: ВВППП, ВПВПП, ВППВП и т.д. - в каждой три буквы П и две буквы В. По замыслу каждая буква П обозначает шаг направо, а буква В - шаг вверх (рисунок 5).
Как же мне поспеть-то одному на всех?.. Боже мой, у меня всего четыре ученика, и я не могу обеспечить индивидуальный подход! Что же может сделать учитель, у которого сорок человек в классе?.. Учителя часто любят сравнивать с дирижером. Я сам себе кажусь похожим скорее на жонглера, у которого вот-вот все рассыплется по арене. Так и сейчас, пока я пытаюсь беседовать с Женей - что да почему, Дима уже вытащил карточку для следующего задания ("Четвертый - лишний") и спрашивает: "Папа, а это что, следующая задача?" Остальные двое уже рвут у него карточки из рук и безжалостно мнут их при этом, не щадя вечернего родительского труда. Женя уже тоже косится в их сторону. Я разжимаю кулак, мы бегло проверяем, сколько пуговиц, и переходим к следующей задаче.
Услышать от ребенка правильное объяснение важнее, чем получить от него правильный ответ
Правила игры "Четвертый - лишний" общеизвестны. Детям дают четыре карточки, на которых изображены или такие фигуры, как на рисунке 6, или нарисованы, например, заяц, ежик, белка и чемодан. Нужно сказать, какой из этих рисунков лишний.
Забавно наблюдать, как дети почти всегда дают правильный ответ, хотя далеко не всегда могут его объяснить. "Лишний - чемодан". - "Почему?" - "Потому что он не заяц, не ежик и не белка". - "Ах, вот как! А по-моему, лишний заяц. Потому что он не ежик, не белка и не чемодан!" Мальчики смотрят на меня в недоумении и заявляют настойчиво: "Нет, лишний - чемодан!"
Я пытаюсь узнать, нельзя ли все три не-лишних предмета - зайца, ежика и белку - назвать одним общим словом. Наконец Петя, который по словарному запасу опережает остальных, первый находит нужное слово - "животные". И в дальнейшем он часто выручал нас в этой ситуации.
Лишние выстраиваются в очередь
Между прочим, я даю также и задачи с неоднозначным ответом. Например: воробей, пчела, улитка и самолет. Можно лишним считать самолет (неживой), а можно улитку (не умеет летать).
В таких задачах я по очереди сам "назначал" лишних, а мальчики должны были давать объяснения. Так я пытался их убедить, что правильное объяснение важнее, чем правильный ответ, - прообраз общематематической идеи о необходимости не только делать правильные утверждения, но и эту правильность доказывать.
Схема "четвертый - лишний" и ее разновидности очень удобны для того, чтобы учить детей угадывать закономерности (эта грань математического мышления забывается школьной педагогикой). Иногда удобнее брать восемь картинок, которые должны разделиться по выделенным признакам на две равные группы. Именно такой схемой пользовался М.М.Бонгард в своей знаменитой книге "Проблемы узнавания". И уж совсем трудные логические задачи получаются с пересекающимися классами.
Например, пять картинок нужно разбить на две равные группы, по три картинки в каждой; при этом одна из картинок общая - она принадлежит обеим группам. Вот например: мяч, автомобильная шина, резиновые сапоги, пальто, шапка. Здесь три предмета из резины (мяч, шина, сапоги) и три предмета одежды (сапоги, пальто, шапка); общий элемент - сапоги.
Когда мы впервые встретились с Сашей Звонкиным, я рассказал ему о том, как мы с моими литстудийцами играем в подобную игру на лексическом материале. Группу из семи слов, заранее подобранных мной, студийцы пробуют разделить на две группы по четыре слова в каждой: Клюшка, дорога, гараж, хоккеист, ворота, матч, автомобиль; или Книга, тетрадь, осень, дерево, буква, лист, ветка.
Ключик к решению (найти слово-омоним, разные значения которого вписываются в разные ряды) быстро обнаруживают даже дошкольники. И весело выстраивают семерки в две шеренги по четыре слова в каждой: Клюшка-хоккеист-матч-ворота и дорога- гараж-автомобиль-ворота; Книга-тетрадь-буква-лист и осень-дерево-ветка-лист.
Любят эту игру и подростки, и взрослые. А придумывать такие задачи с детьми - редкое удовольствие.
Отдельный вопрос: как физически поделить пять картинок на две группы по три - не рвать же одну карточку пополам.
Мы пользовались стандартным приемом: двумя веревочными кругами, в пересечении которых помещали общий предмет.
Всегда ли мыслить нестандартно означает мыслить творчески?
Дима все время представлял собой проблему. "Это хоть и дядя, но похож на тетю", - говорил он про старика с огромной бородой и помещал его в общество женщин. Про автомобильную шину он долго доказывал нам всем, что это тоже одежда, так как ее можно носить на поясе. Когда же никто с ним не согласился, он сказал: "Все равно это одежда, потому что ее надевают на автомобиль".
Кто-нибудь скажет: вот, мальчик умеет мыслить творчески, нестандартно. Насчет "нестандартно" согласен, но вот творчески... Человек по-настоящему творческий умеет предложить неожиданное, нестандартное решение и при этом остаться в рамках задачи. У Димы пока присутствует только первый компонент, а вот остаться в рамках задачи или хотя бы вблизи от них он не умеет. Надо как-то суметь, не подавив одно, развить другое. А как этого добиться, я не знаю.
Детям нужно полноценное интеллектуально-эстетическое удовольствие
Наша следующая (и последняя на этот раз) задача - из области геометрии. Я извлекаю цветную детскую мозаику, купленную в магазине "Лейпциг" (увы, в одном экземпляре: в момент покупки я еще не помышлял о кружке).
Мозаика представляет собой прямоугольное поле с отверстиями. В них вставляются одинаковые по форме фишечки пяти разных цветов (рисунок 7), цвет фишек очень яркий, насыщенный, приятный для глаз. Наша задача - про симметрию. Сначала я выкладываю ось - одноцветную вертикальную линию, проходящую посередине поля. Я называю эту линию "зеркалом"; в это зеркало сейчас будут смотреться разные фигурки. Я строю с одной стороны от оси разнообразные небольшие фигурки, а мальчики должны построить симметричные им фигурки с другой стороны. Я варьирую все, что можно - цвет, размер, расположение фигур (на следующих занятиях будет меняться также и расположение оси: сначала она станет горизонтальной, затем пойдет по диагонали). С помощью настоящего зеркала мы проверяем наши решения: оказывается ли за зеркалом то же самое, что мы видим в зеркале? Мальчики справляются с задачей на удивление легко, почти не допускают ошибок. Не могу понять, почему эта тема (осевая симметрия) вызывает трудности в шестом классе! Мы впоследствии посвятили ей много занятий. Симметрия в самом деле очень богатая тема.
Мы рассматривали картинки с симметричными узорами из книг по популярной математике. Мы рисовали симметричные фигуры разноцветными фломастерами на клетчатой бумаге; делали симметричные кляксы, складывая лист бумаги пополам; вырезали новогодние снежинки; находили ошибки в симметричных рисунках, в которых были специально сделаны кое-где нарушения, отклонения от точной симметрии; среди восьми карточек находили четыре симметричные и четыре несимметричные фигуры; у одной фигуры находили все возможные оси симметрии. Другие виды перемещений - центральная симметрия, поворот, параллельный перенос - оказываются для детей несколько более сложными, а вот осевая симметрия буквально идет "на ура".
А мозаика стала вскоре моим любимейшим инструментом. Это не игра, а настоящий клад всевозможных задач по геометрии, комбинаторике, логике, угадыванию закономерностей. А однажды она мне преподала один незабываемый урок на тему о том, что для детей важнее. Дело было так. Мальчики с удовольствием ходили на занятия, а иногда даже в ответ на мои слова "урок окончен" просили позаниматься еще. Я, конечно, гордился собой, пока вдруг не заметил, что их просьбы продолжить занятие следуют только тогда, когда мы занимаемся с мозаикой.
Я решил проверить свою догадку. Следующее занятие было без мозаики. Так оно и есть: говорю "урок окончен" - дети спокойно встают и расходятся.
Меня охватили глубочайшие сомнения. Мозаика в самом деле очень красива, нет ничего удивительного в том, что ребятам нравится с нею играть. А моя математика, думал я, здесь ни при чем; я ее протаскиваю как обузу, как никому не нужный довесок, как нагрузку к интересной игрушке! И вот в следующий раз я устраиваю решающую проверку. Мы опять занимаемся с мозаикой; опять мальчики не хотят заканчивать занятие. И тогда я говорю: "Нет, давайте мы урок все-таки закончим, а с мозаикой я вам разрешаю поиграть просто так". В ответ следует единодушный вопль возмущения, и Петя резюмирует общую точку зрения в решительных словах: "Э, не-ет! Мы хотим задачу!!" Вот так я понял, где лежит истина.
Детям нужно полноценное интеллектуально-эстетическое удовольствие. Если одна из двух половин отсутствует, полноценность теряется, а с ней и ощущение праздника.
Новогодняя елка без игрушек имеет в глазах детей так же мало притягательности, как игрушки без елки. Только когда они соединяются вместе, наступает праздник. Я надеюсь, что в будущем, через годы, когда мои ребята будут заниматься более абстрактной, "умственной" математикой, они будут получать от этого больше удовольствия, чем их сверстники. Ведь возникающие у них в уме абстрактные образы и понятия будут где-то на дне сознания эмоционально сливаться, окрашиваться воспоминаниями о разноцветных радостях детства.
Вот и сейчас - мы уже прошли два круга, то есть каждый из ребят решил по две задачи на симметрию, пора бы уже кончать, но мальчики не унимаются, хотят еще. Мне кажется, что они уже устали. И я нахожу неожиданный выход: "Давайте вы будете задавать мне задачи, а я буду их решать". Дети в восторге! С новым пылом они строят фигурки, а я - им симметричные. Работаю старательно.
Ошибки как педагогический инструмент
Вдруг в голову приходит новая идея: я начинаю нарочно делать ошибки
Идея использования преднамеренных ошибок прочно вошла в теорию и практику развивающего образования (система Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова). Там такие ошибки получили название "ловушки".
Петя первый это замечает; счастью детей нет конца. К мальчикам как будто пришло второе дыхание. Теперь они с горящими глазами, не отрываясь, следят за моей рукой, встречая каждую новую ошибку воинственными дикарскими кличами.
Но пора все же закругляться. Я отодвигаю мозаику, благодарю всех и объявляю занятие оконченным. "А когда же фокусы будут?" - вдруг вспоминает Андрюша. "Ну как же, Андрюша! Ведь ты сам и показывал фокусы! Пуговиц было не видно, они были спрятаны у меня в кулаке, а ты сумел их сосчитать". Сумел, правда, не он, а Женя, но Андрюша, видимо, об этом забыл, потому что выглядит вполне удовлетворенным.
Очень интересное наблюдение, которое непременно нужно учитывать, занимаясь с дошкольниками и младшими школьниками: когда в группе малышей кто-нибудь справляется с задачей, которую решали все вместе, каждый ребенок ощущает себя решившим задачу!
Мы встаем. Я смотрю на часы: неужели прошло всего двадцать пять минут? Сейчас дети разойдутся, а я останусь приводить в порядок свои мысли, придумывать новые задачи, новые подходы, приемы. И еще - клеить, вырезать, раскрашивать. Одним словом, готовить то, что в педагогике зовется скучным сливом "дидактический материал". Ведь до следующего занятия - всего одна неделя.
Теория вероятностей для выращивания вундеркиндов?
Когда я решался выступить с этими заметками перед широкой аудиторией, я больше всего боялся, что кто-нибудь примет меня за очередного пророка, предлагающего еще один способ выращивания вундеркиндов. Некоторый повод для такого мнения дают темы наших математических занятий. Их "взрослые" названия звучат порой удручающе научно: теория вероятностей, программирование, топология, комбинаторика...
Я представлял себе читателя - восторженного и увлекающегося, воспитанного на лекциях типа "Неизведанные возможности нашей психики", - который станет говорить: "Вы представляете, у него малые дети изучают теорию вероятностей! Взрослые люди, с высшим образованием ничего в этом понять не могут, а малыши прекрасно разбираются!"
И другого - более здравомыслящего и скептического, который будет возражать: "Не понимаю, зачем забивать им голову такой ерундой! Пусть у ребенка будет нормальное детство".
Обидно было бы слышать такие диалоги, так как обе точки зрения основаны на чистейшем недоразумении.
Нет, конечно, мы не "изучаем" никаких формул и теорем математической теории вероятностей. Я не верю в существование детей, сколь угодно одаренных, которые были бы способны к такому изучению. А что же делать вместо этого?
Дошкольники у подножья высшей математики
В качестве первого шага надо задать себе такой вопрос: откуда возникла теория вероятностей? Где ее корни?
Ясно - как и многие другие науки, как даже сама арифметика, теория вероятностей возникла из наблюдений над определенными явлениями реального мира, а именно - над случайными, непредсказуемыми явлениями.
Следующий шаг - понять, что как раз вот такие наблюдения, предшествующие науке, вполне можно проводить вместе с детьми. Не все, конечно, - лишь самые простые. Да дети и сами, без нас, этим занимаются - например, тогда, когда играют в игры с участием игральной кости (кубика с написанными на нем очками от 1 до 6).
Нам остается только чуть-чуть выпятить, самую малость подчеркнуть вероятностную природу их наблюдений. Как? Есть много способов. Можно, например, вместо кубика предложить детям кособокий многогранник, чтобы они увидели, как игра становится "несправедливой": одни цифры выпадают чаще, чем другие. Или можно придумать игру, в которой требуется считать сумму очков на двух костях. Здесь тоже дети рано или поздно заметят, что, скажем, сумма 7 выпадает гораздо чаще, чем сумма 2. В такого рода деятельности мы не ограничены ничем, кроме собственной фантазии и реальных возможностей реальных детей. Если дети поняли что-то, если какое-то зерно запало в разум - очень хорошо. Если нет - значит, мы просто играли.
Замечательный девиз для взрослого, предлагающего дошкольникам интеллектуальные игры: "Если дети что-нибудь усвоят, очень хорошо. Если ничего не поймут, - а я и не рассчитывал, что поймут! Мы просто играли".
(А играть вместе со взрослыми для малышей всегда особое удовольствие!)
Итак, сформулирую еще раз общее направление поиска: не наука сама по себе, как готовый продукт прошлых поколений, а те предварительные, предшествующие ей наблюдения, которые послужили толчком к ее появлению (Подчеркнуто мной. ? ВЛ).
Блестящая идея! Она справедлива для любого учебного предмета: прежде чем переходить к систематическому изучению любой науки, целесообразно приобщить ребенка (особенно в дошкольном возрасте) к наблюдениям, которые в истории человечества предшествовали возникновению этой науки. Входя в науку не через освоение готовых знаний, а через собственные наблюдения, впечатления и размышления, ребенок сохраняет свое видение мира, а значит и способность к самостоятельным открытиям (а не только к использованию опыта предков).
Хочу рассмотреть один пример более подробно.
Увлекательная, если сначала пощупать руками
Всего лишь одна простая задачка - а как много она дает поводов для размышлений! Здесь и психология, и педагогика, и математика (и даже чуточку философия) сплелись в нерасторжимый узел. Вот сейчас увидите.
Задача эта относится к области комбинаторики. Когда-то такую науку проходили в школе, в девятом классе. Потом сочли очень трудной (вспомните хотя бы такое пугало, как бином Ньютона!) и из программы исключили. А все трудности старшеклассников состояли попросту в том, что им приходилось сразу начинать с формул, не пощупав ничего руками. В данном случае выражение "пощупать руками" надо понимать буквально. Ведь в комбинаторике речь идет о подсчете количества тех или иных комбинаций предметов. Только самих предметов-то нет - их надо вообразить, и комбинации тоже. Вот если бы начать с комбинирования реальных кубиков, фишек...
Мы рассаживаемся вокруг мозаики.
Любопытно, связан ли порядок в игрушках с порядком в мыслях?
Задание такое: надо построить "бусы" - цепочку из пяти фишек, в которой две фишки должны быть черными, а оставшиеся три - белыми. Это, разумеется, можно сделать разными способами. Так вот, наша задача как раз и состоит в том, чтобы перебрать все способы и при этом избежать повторений.
[Image14.gif (8772 bytes)]
Рис.1.
По науке эти последовательности называются сочетаниями из пяти элементов по два: их количество обозначается С25 и равно { 5х(5?1)} 2 = 10. Ничего этого дети, конечно, не знают и на наших занятиях не узнают. Они просто строят бусы - по очереди, один за другим. Каждый результат проверяется всеми вместе - действительно ли он новый или совпадает с каким-нибудь из построенных ранее. Порой и спорим.
[Image15.gif (1360 bytes)]
Рис.2.
Например, вот это (рисунок 2) - одно решение или два разных? В конце концов доходим до десяти решений.
Главный вопрос комбинаторики - сколько всего имеется решений. Но мальчики еще очень далеки от него. Они вообще пока не видят разницы между "это невозможно" и "у меня не получается", и выражают твердую уверенность в том, что уж я-то могу построить и одиннадцатое решение, и двенадцатое, и вообще сколько захочу. Приходится взяться за дело мне самому. Ребята перебирали свои решения как попало, без всякой системы. Зато я демонстрирую образец систематичности: перебираю решения в строго определенном порядке. Сначала ставлю одну черную фишку на первое место, а вторую - поочередно на второе, третье, четвертое, пятое места. Когда эта серия исчерпана, ставлю первую фишку на второе место, и т. д.
Вы думаете, это производит впечатление? Ни малейшего. Единственное, что они поняли, - это то, что у меня тоже ничего не вышло. Отличить одно решение от другого они уже могут, а вот отличить порядок от беспорядка им пока не по силам. Надо отложить эту задачу этак на полгодика. (А пока, может быть, приучать их складывать все игрушки на свои места. Любопытно, связан ли порядок в игрушках с порядком в мыслях?)
К чему ведет взрослая привычка подставлять свою точку зрения вместо ребячьей
Полгода прошло. Но не давать же детям ту же самую задачу снова! Мне приходит в голову, сохранив математическое существо задачи, изменить ее внешнее, физическое оформление. Каждый получает листок, на котором нарисованы сцепленные друг с другом кружочки, по пять штук в каждом ряду (рисунок 3).
[Image17.gif (1541 bytes)]
Рис.3.
Задача состоит в том, чтобы в каждой цепочке два кружка закрасить, а остальные три оставить пустыми. Разумеется, разными способами и без повторений. Чемпионом будет тот, кто найдет больше всего решений.
(И еще одна деталь, на первый взгляд пустячная. Я даю всем ребятам фломастеры самых разных цветов, а в дальнейших обсуждениях этот факт старательно игнорирую: каждый раз два кружка можно закрашивать любым цветом. Я надеюсь, что, в какой-то мере это подчеркнет чисто комбинаторную природу задачи. А в другой группе я вместо кружков рисовал квадраты, треугольники и т. п.).
Какая красивая педагогическая находка! Педагог задумал не сообщать детям готовые знания, развить их способность наблюдать, осмысливать наблюдения и благодаря этому самостоятельно обнаруживать природные закономерности. В данном случае усилия А.Звонкина направлены на то, чтобы дети открыли вероятностный характер некоторых явлений. Для этого взрослый хочет "самую малость подчеркнуть вероятностную природу" наблюдаемых детьми явлений. Как же это сделать, не сообщая детям законов теории вероятности? Неожиданное и изящное педагогическое решение состоит в том, чтобы сначала предложить ребенку лишние данные, хорошо заметные малышу, а затем "тщательно игнорировать их". Таким образом педагог, не называя сути явления, указывает на то, что не относится к сути наблюдаемого явления. Какой своеобразный педагогический "минус-прием"! Надо взять на вооружение.
Несколько минут самостоятельной работы (показывающей между прочим, что задача на бумаге труднее задачи на мозаике, несмотря на прошедшие полгода), затем шумный обмен мнениями и результатами. Теперь у всех по десять решений.
"А вы помните, у нас уже была один раз очень похожая задача..."
Ведь вот как легко промахнуться, подставив свою точку зрения вместо ребячьей! Что значит похожая? Мне как-то казалось само собой разумеющимся: похожая задача - это та, где тоже фигурировали сочетания из пяти предметов по два. А дети считают похожими те задачи, в которых тоже надо было рисовать фломастерами. Не люблю подсказывать, но на этот раз приходится. Мальчики с радостью хватаются за мозаику, строят бусы на ней и даже сами догадываются сверить решения на мозаике и на листочках. Кто-то вспоминает, что в прошлый раз тоже получилось десять решений. Это, наконец-то, повод для первого сомнения. "А что, и правда больше нельзя построить?" Я загадочно улыбаюсь и перехожу к другому заданию.
Вы обратили внимание на то, как последовательно педагог реализует свой принцип: "Не объяснять ребенку закономерности и правила, известные взрослым, а давать ему материал для размышлений и наблюдений". Этому же принципу стремятся следовать учителя, работающие по системе развивающего образования Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова.
Золотая жила, или Задача-хамелеон
Кажется, я набрел на золотую жилу. Вскоре та же задача появляется в третий, в четвертый и даже в пятый раз.
Посмотрите, как непохоже она выглядит в своем новомобличье. В порядке очереди каждый получает листок клетчатойбумаги, на котором нарисован прямоугольник 3х4 клетки.(Секундный спор о том квадрат это или нет, после чего можноформулировать условие задачи.) Требуется нарисовать всевозможные дороги из левого нижнего угла в правый верхний,но при одном условии: из каждой клетки можно передвигатьсятолько направо или вверх (рисунок 4). Встретив эту задачу в книге, я и сам не сразу сообразил, как она связана с предыдущими. Если вам, уважаемые читатели, это тоже не совсем ясно, потерпите немного - сейчас все разъяснится.
а а а б б
а а а б б
а а а б б
Рис. 4.
Работа кипит, чувствуется возросшая квалификация моих "математиков": и ошибок меньше, и все десять решений найдены довольно быстро.
(Вот еще один "подводный камень": мальчики уже начинают привыкать к тому, что во всех комбинаторных задачах ответом служит число 10. Обязательно надо будет в ближайшее же время подбросить им побольше задач с разным количеством решений.)
Теперь время самого важного вопроса: чтобы пройти из угла в угол листочка, сколько шагов надо сделать направо и сколько вверх?
Только сначала надо договориться о том, что такое шаг, а то я считаю шагом переход из клетки в соседнюю, а ребята - любой прямолинейный отрезок. Договариваемся.
Из-за чего ребенок делает ошибки, то есть решает задачу, которую мы перед ним поставили, не так, как мы считаем правильным? Одна из самых распространенных причин детских "ошибок" - мы. Точнее ? наша непособность четко сформулировать задание (или небрежность наших формулировок). Мы вкладываем в свое задание один смысл, а ребенок воспринимает сказанное нами по-своему, иначе, чем мы. Отсюда простой вывод: если ребенок совершает ошибку, нужно проверить, правильно ли мы дали задание, нет ли в нашей формулировке задания неоднозначности.
Ну теперь-то уж ответ очевиден? Опять нет! Я в недоумении и после занятия обдумываю причину.
А и в самом деле, вопрос казался мне простым только по недомыслию.
Как часто учебные и жизненные задачи (те, которые жизнь задает в виде "проблемных ситуаций") кажутся нам простыми только по недомыслию! Случается это обычно со взрослыми, которым когда-то подсказали одно из возможных решений задачи как единственно правильное (а есть ли другие решения, они не проверяли). Или из-за того, что эти задачи и ситуации стали привычными для нас, взрослых, и мы забыли, как нам было трудно найти решение впервые. Или по иной причине. Так или иначе, давайте выведем из этого наблюдения еще одно золотое правило: задавая малышу задачу, каждый раз будем глядеть на нее глазами ребенка и пробовать решить ее так, будто решаем впервые.
Кстати, это пример того, как благотворно для нас общение с малышом, как оно "вынуждает" нас (помогает нам) вспоминать об источниках и границах наших знаний, освобождаться от шаблонов и привычных заблуждений.
Ведь именно на этом свойстве - что количество шагов по горизонтали и по вертикали одинаково для всех путей - основано координатное представление векторов, то есть тот факт, что при сложении векторов их координаты тоже складываются. Четко помню, как когда-то меня, уже взрослого, поразило(как важно, став учителем или родителем, помнить о том, что поражает в детстве! ? ВЛ) это свойство векторов. На его основе можно сделать хорошую серию задач и с ее помощью даже дать намек на отрицательные числа (если допускать шаги назад, но подсчитывать их со знаком минус).
Как важно хотя бы на мгновение усомниться
Ну а пока на занятии мы старательно подсчитываем шаги: оказывается, каждая дорожка содержит ровно три шага направо и ровно два шага вверх.
Поэтому на следующем занятии мы пишем такие последовательности: ВВППП, ВПВПП, ВППВП и т.д. - в каждой три буквы П и две буквы В. По замыслу каждая буква П обозначает шаг направо, а буква В - шаг вверх (рисунок 5).