С начала 16 в. Р. украшается зданиями и ансамблями, призванными, по замыслу пап, возродить величие античного Р. Ренессансное строительство началось у Ватикана и на противоположном берегу Тибра, развиваясь к Пьяцца Навона и Капитолию. В Ватикане, подвергнутом полной реконструкции, были возведены грандиозный собор св. Петра (1506-1614, архитекторы Браманте, Микеланджело, Дж. делла Порта, Виньола, К. Мадерна и др.), купол которого стал главным архитектурным акцентом в панораме Р., а также дворы Бельведера и Сан-Дамазо). Деловой центр ренессансного Р. находился в районе моста Сант-Анджело, где в 1540-е гг. была намечена первая трехлучевая композиция улиц, расходящихся от площади Сан-Чельсо. Среди римских построек эпохи Возрождения - палаццо: Венеция (с 1452, очевидно, по планам Л. Б. Альберта или Б. Росселлино), Канчеллерия, Фарнезе, Вндони-Каффарелли (около 1515-20, архитектор Рафаэль); виллы: Варнезина (1509-11, архитектор Б. Перуцци; фрески Рафаэля, Дж. Романо и др.), Мадама (с 1517, архитекторы Рафаэль, А. да Сангалло Младший): церкви: Сан-Пьетро ин Монторио (1480-е гг., архитектор Б. Понтелли; во дворе - Темпьетто), Санта-Мария делла Паче (фасад - 1656, архитектор Пьетро да Кортона), Санта-Мария дель Анима (начало 16 в., архитекторы Дж. да Сангалло и Браманте), Сант-Элиджо дельи Орефичи (илл. см. при ст. Рафаэль ) .Со 2-й четверти 16 в. в некоторых римских зданиях появляются черты маньеризма (палаццо Массимо алле Колонне); вилла Джулия, ныне музей. Приёмы, предвосхищающие градостроительство 17-18 вв., характерны для созданного Микеланджело ансамбля Капитолия (новый светский центр города), в котором наглядно раскрыта связь папской столицы с античным Р. [с 1546; ансамбль включает: палаццо деи Сенатори, палаццо деи Консерватори, главное здание Капитолийских музеев, античную статую Марка Аврелия. При Сиксте V (1585-90) были проложены прямые улицы, соединившие важнейшие раннехристианские базилики и связавшие районы города в единую систему.
В сети этих улиц, дополненных многочисленными ансамблями, ярко выразилось свойственное барокко понимание города как целостного организма, постигаемого в движении, последовательно открывающем виды на эффектные архитектурные мизансцены. К важнейшим ансамблям барокко относятся: Пьяцца дель Пополо (16-17 вв.; завершена в 1816-20, архитектор Дж. Валадье) с древнеегипетским обелиском в точке схода 3-лучевой системы магистралей и 3 церквами, площадью св. Петра, Пьяцца Навона (17 в.), Пьяцца ди Спанья .Среди отдельных памятников барочного зодчества - палаццо: Квиринале (с 1574, архитекторы Ф. Понцио, К. Мадерна, Л. Бернини и др.), Латерано (1586-90, архитектор Д. Фонтана), Боргезе (1590-1615, архитекторы М. Лонги Старший, Ф. Понцио), Барберини, Фальконьери (1639-41, архитектор Ф. Борромини), Монтечиторио (1650-90, архитекторы Л. Бернини, К. Фонтана), Дориа-Памфили (17-18 вв., архитектор А. дель Гранде и др.; ныне картинная галерея); виллы: Боргезе (ныне музей) и др.; церкви: Иль Джезу (1568-84, архитектор Дж. Виньола; фасад -1575, архитектор Дж. делла Порта), Сан-Луиджи деи Франчези (1518-88; фасад - 1589, архитектор Дж. делла Порта), Сант-Андреа делла Балле (1591-1663, архитекторы П. Оливьери, К. Мадерна, К. Райнальди), Сан-Карло алле Куатро Фонтане, Сант-Иво алла Сапиенца, обе - архитекторф Ф. Борромини; Сант-Андреа аль Квиринале (1653-58, архитектор Л. Бернини). Пышные дворцы, парки и церкви, неожиданно раскрывающиеся площади и видовые площадки, пространственные акценты в виде лестниц, обелисков, фонтанов (Четырёх рек, Треви и др.) и декоративных скульптур вносят в восприятие барочной архитектуры Р. (во многом определившей и облик современного города) фабульную увлекательность.
С превращением Р. в столицу Италии его рост стал особенно интенсивным; застраивались (преимущественно доходными домами) район Прати у Ватикана, восточные и юго-восточные районы. Большинство римских вилл [за исключением виллы Адриана (2 в.) и виллы д'Эсте (1550-72, архитектор П. Лигорио) - обе в Тиволи] оказались включенными в черту города, а многие из их парков стали общественными. В соответствии с генеральным планом 1873 прокладывались новые артерии (Корсо Витторио Эмануэле, Виа Национале), строились многочисленные здания и ансамбли помпезно-эклектического характера (памятник Виктору Эммануилу II). Общественный центр Р. переместился на Пьяцца Колонна.
В 1930-х гг. была предпринята попытка вернуть Р. «императорское величие», которая сопровождалась расчисткой античных памятников, строительством комплекса несостоявшейся Всемирной выставки (район Эспозиционе универсале романа, ЭУР), прокладкой новых магистралей (Виа деи Фори Империали, Виа ди Кончилиационе), для чего сносились ценные исторические кварталы (район Борго). Постройки этих лет решены в стиле неоклассицизма (спортивный комплекс форо Италико, 1928-34, архитектор М. Пьячентини и др.: комплекс ЭУР, с 1937, архитекторы М. Пьячентини, Дж. Пагано и др. (Илл. см. также к ст. Пьячентини ) .
После 2-й мировой войны территория города быстро разрастается во всех направлениях. С 1930-х гг. создалась чрезмерная концентрация транспорта на узких улицах и площадях 16-18 вв. в центре Р., поэтому в 1950-60-х гг. встал вопрос о прокладке периферийных магистралей в обход исторических районов города. Построенная к Олимпийским играм 1960 Виа Олимпика, связавшая Форо Италико с ЭУР, а также восточные и южные отрезки скоростной кольцевой автострады, ряд тоннелей и пересечений в 2 уровнях лишь частично облегчили эти трудности [с Олимпийскими играми связаны также реконструкция Форо Италико, возведение Олимпийского городка, Дворца спорта и так называемого Палаццетто (Малого дворца спорта). Районы старой застройки сохраняются по возможности в первоначальном состоянии (однако без их оздоровления); здесь возводятся лишь отдельные сооружения, нередко органически связанные с историческим окружением (вокзал Термини); Дом на площади Золотых медалей; посольство Великобритании, 1970, архитектор Б. Спенс). Новое строительство развивается главным образом на периферии. Район ЭУР превратился в 1960-1970-е гг. в крупнейший деловой центр Р., распространяющегося далее на Ю.-З. Растущие с 1930-х гг. кварталы домов для рабочих, однообразные, лишённые достаточного количества обслуживающих учреждений, располагаются преимущественно на равнинах (Тусколано, Дон Боско, Номентано) и состоят из 5-6-, 7-8- и 10-12-этажных домов. Подчёркнуто экстравагантные по архитектуре богатые кварталы возникли на С. и С.-З., на холмах (Париоли, Монте-Марио, Винья-Клара); здесь искусно используются особенности рельефа, но общественные зелёные зоны (на территории бывших вилл) нередко распродаются под застройку. Жилые районы Р. плохо связаны с центром и основными местами приложения труда. Решению этой проблемы призвано помочь создание (по генеральному плану 1964) «оси обслуживания», т. е. системы касательных к городу магистралей, соединяющих с ЭУР 2 новых общественных центра, намеченных в районах Ченточелла и Пьетралата.
В. Ф. Маркузон.
Учебные заведения, научные и культурные учреждения.Высшие учебные заведения: Римский университет,частный Международный университет социальных наук, Высшая школа физического воспитания, Академия изящных искусств и художественный лицей, Национальная академия драматического искусства им. С. Д'Амико (имеется учебный театр), Национальная академия танца, Консерватория «Санта-Чечилия». Научные учреждения: Национальная академия деи Линчей , Академия медицинских наук, Национальная академия Сорока (членов) и другие академии, Национальный совет по научным исследованиям, Национальный институт ядерной физики, Астрономическая обсерватория, более 100 научных обществ, центров и институтов по различным областям науки и искусства. Крупнейшие библиотеки: Национальная центральная библиотека, библиотека университета, библиотека Анджелика, библиотека Касанатенсе, библиотека Национальной академии деи Линчей, библиотека Валличеллиана и другие Музеи: Национальный римский музей (музей Терм), Музей Виллы Джулия, Галерея Боргезе, Музей этнографии и доисторического периода Луиджи Пигорини, Национальная галерея античного искусства, Национальная галерея современного искусства, Музей Барракко, Национальный музей народных искусств и традиций, Музей римской цивилизации, Национальный музей восточного искусства, Музей Рима, Капитолийские музеи и др., музеи Ватикана.
В Р. имеются (1975): Римская опера («Театро дель опера»), постоянная драматическая труппа «Театро ди Рома», выступающая в помещении театров: «Арджентина», «Театро чирко», «Абако», «Театрино Э. Флайано». Существуют также театральные здания: «Балле», «Элизео», «Квирино», «Театро делле арти», «Россини», «Гольдони», «Тординона», «Театро делле музе» и др., в которых выступают лучшие итальянские драматические труппы. Работают «Театр марионеток» и театр для детей «Аль Торкьо». В летнее время оперные театральные представления устраиваются в Термах Каракаллы, драматические - в «Амфитеатро куэрчо дель Тассо», «Театро делле фонтане» и др. Национальная академия «Санта-Чечилия» (с 2 концертными залами). Большой известностью пользуется киногородок «Чинечитта», где находятся крупнейшие итальянские кинофирмы, в том числе К. Понти.
Лит.:Storia di Roma in XXX volumi, Bologna, 1938-; Сергеенко М. Е., Жизнь древнего Рима, М. - Л., 1964; Грегоровиус Ф., История города Рима в средние века, пер. с нем., т. 1-5, СПБ. 1902-12; Богемский Г. Д., По городам Италии, М., 1955; Персианова О. М., По городам Италии, Л., 1968; Гаврилин В. М., Рим, М., 1960; Галкина И., «Вечный город» сегодня, в книге: Земля и люди. Географический календарь, М., 1973: Buгсhard P., Rzym, Warsz., 1972; Krasicki I, Rzymskie ABC, Warsz., 1966: Straszewicz L., Rzym jako metropolia swiatowa. «Przegld geograficzny», 1969, t. 41, zesz. 4: Touring club italiano. Guida ditalia, t. 16 - Roma e dintorni, 6 ed., Mil., 1962; Брунов Н. И., Рим. Архитектура эпохи барокко, [М., 1937]; Пилявский В. И., Рим, Л., 1972; Valentini R., Zucchetti G., Codice topografico della citta di Roma, v. 1-4, Roma, 1940-53; Le chiese di Roma, v. 1-91, Roma, 1946-61; Bruhns L., Die Kunst der Stadt Rom, [Bd 1-2], W., [1951]; Lugli G., Fontes ad topographiam veteris urbis, v. 1, Romae, с 1952 (изд. продолжается); Piccinato L., Problemi urbanistici di Roma, Mil., [1960]; Nash E., Pictorial dictionary of ancient Rome, v. 1-2, N. Y., 1961-62; Insolera I., Roma moderna. Un secolo di storia urbanistica, [Torino], 2 ed., 1962 (4 ed., Torino, 1971).
Рим. Вид части города. В центре - замок Сант-Анджело (135-140) и мост Сант-Анджело (136) через р. Тибр.
Рим. Дворец цивилизаии на территории Всемирной римской выставки (ЭУР). 1950. Архитекторы Д. Гуэррини, Э. Ла Падула, М. Романо.
Рим. Порта Пиа. 1561. Арх. Микеланджело.
Рим. Вид на город со стороны Капитолийского холма. В центре, на втором плане, - Колизей (75-80).
Пьяцца ди Спанья (площадь Испании) в Риме. Лестница. 1725. Архитекторы А. Спекки, Ф. Де Санктис. План.
Вилла папы Юлия III (вилла Джулия) в Риме. 1550-55. Архитекторы Дж. Виньола, Б. Амманати, Дж. Вазари. Второй дворик.
Италия. Л. Бернини. Центральная часть главного фасада дворца Барберини в Риме. После 1629.
Браманте. Храм Темпьетто в Риме. 1502.
Аполлодор из Дамаска. Колонна Траяна в Риме. 111-114.
Палаццетто (Малый дворец спорта) в Риме. 1957. Архитекторы П. Л. Нерви, А. Вителлоцци.
Рим. Фрагмент стены форума Нервы. 1 в.
Микеланджело. Площадь Капитолия в Риме. Начата в 1546. План.
Планы площадей в городах Западной Европы в 16-19 вв. 4. Пьяцца дель Пополо в Риме: 1-1 - улица Виа дель Корсо (восходит к античному периоду); 2-2 - улица Виа дель Бабуино (проложена в 1534-49); 3-3 - улица Виа ди Рипетта (пробита в 1513-21); 4 - обелиск (1589); 5 - церковь Санта-Мария деи Мираколи (1662); 6 - церковь Санта-Мария ин Монте Санто (1662); 7 - рампы (1816-20); 8 - терраса Пинчо (1816-20). 5. Королевская площадь (ныне площадь Биржи) в Бордо. 1728. Архитекторы Ж. Габриель и Ж. А. Габриель (1 - набережная; 2 - монумент Людовика XV)
Рим. Церковь Санта-Мария ин Козмедин. Перестроена в 772-795 и в 12 в.
Браманте. Двор церкви Сапта-Мария долла Паче в Риме. 1500-04.
Рим. Пьяцца Навона. 17 в.
Рим. План.
Апсиды собора св. Петра в Риме (1546-64).
Рим. Демонстрация против провокаций неофашистов. Январь 1975.
Рим. Площадь Капитолия. Начата в 1546. Архитектор Микеланджело.
У. Луччикенти. Дом на площади Золотых медалей в Риме. 1953.
Италия. Л. Бернини. Церковь Сант-Андреа аль Квиринале в Риме. 1653-58.
Рим. Комплекс Олимпийского стадиона у г. Марио.
Конная статуя императора Марка Аврелия. Бронза. 161-180. Установлена Микеланджело в 1538 на пл. Капитолия в Риме.
Микеланджело и Дж. делла Порта. Западный фасад и купол собора св. Петра в Риме. 1586-93.
Барокко. Л. Бернини. Скала Реджа (Королевская лестница) в Ватикане в Риме. 1663-66.
Рим. Парк виллы Боргезе. 17 в.
Микеланджело. Фасад Палаццо Фарнезе в Риме. После 1546.
Площадь св. Петра в Риме. 1657-63. Архитектор Л. Бернини. План.
Ватикан. В центре - собор и площадь св. Петра.
Барокко. Ф. Борромини. Церковь Сант-Иво алла Сапиенца в Риме. 1642-60.
Рим. Арка Тита. 81.
Барокко. А. Спекки, Ф. Де Санктис. Лестница на Пьяцца ди Спанья в Риме. 1725
Бернини. Площадь св. Петра в Риме. 1657-63.
Рим. Улица Витторио Венето.
Рим. Пьяцца ди Спанья.
Рим. Панорама района Всемирной римской выставки (ЭУР). Начата в 1937. Архитекторы Дж. Пагано, М. Пьячентини и др.
Ф. Борромини. Церковь Сан-Карло алле Куатро Фонтане в Риме. 1634-67.
Э. Монтуори и др. Вокзал Термини в Риме. 1950.
Рим. Развалины Дворца Септимия Севера на Палатине. Нач. 3 в.
Дж. Саккони. Памятник Виктору Эммануилу II в Риме. 1885-1911.
Казино (1613, архитектор Дж. Вазанцио) виллы Боргезе в Риме.
Рим. Вид центра города - Пьяцца Венеция и Виа дель Корсо.
Рим. Римский форум. Начат в 6 в. до н.э.
Рим. Городская автострада Х. Колумба.
Браманте. Ниша двора Бельведера в Ватикане в Риме. 1503-45.
Дж. делла Порта. Фасад церкви Иль Джезу в Риме. 1575.
Рим. Фасад Бизилики Санти-Джованни ин Латерано. 1735. Архитектор А. Галилеи.
Дом-«люкс» (с магазинами и мастерскими в торцовом помещении, с гаражами в подвалах и садом) в жилом комплексе Винья-Клара в Риме. 1950-е гг.
Рим. Аппиева дорога (Виа Аппиа). 312 до н.э.
Браманте. Двор Палаццо Канчеллерия в Риме. После 1499.
Перуцци. Дворик Палаццо Массимо алле Колонне в Риме. 1536.
Рим. Пьяцца дель Пополо. 16-17 вв. Архитектор К. Райнальди и др.
Риман Георг Фридрих Бернхард
Ри'ман(Riemann) Георг Фридрих Бернхард (17.9.1826, Брезеленц, Нижняя Саксония, - 20.7.1866, Селаска, близ Интры, Италия), немецкий математик. В 1846 поступил в Гёттингенский университет: слушал лекции К. Гаусса,многие идеи которого были им развиты позже. В 1847-49 слушал лекции К. Якоба по механике и П. Дирихле по теории чисел в Берлинском университете; в 1849 вернулся в Гёттинген, где сблизился с сотрудником Гаусса физиком В. Вебером,который пробудил в нём глубокий интерес к вопросам математического естествознания.
В 1851 защитил докторскую диссертацию «Основы общей теории функций одной комплексной переменной». С 1854 приват-доцент, с 1857 профессор Гёттингенского университета. Лекции Р. легли в основу ряда курсов (математической физики, теории тяготения, электричества и магнетизма, эллиптических функций), изданных после смерти Р. его учениками. Умер от туберкулёза.
Работы Р. оказали большое влияние на развитие математики 2-й половины 19 в. и в 20 в. В докторской диссертации Р. положил начало геометрическому направлению теории аналитических функций;им введены так называемые римановы поверхности, важные при исследованиях многозначных функций, разработана теория конформных отображений и даны в связи с этим основные идеи топологии, изучены условия существования аналитических функций внутри областей различного вида (так называемый принцип Дирихле) и т.д. Разработанные Р. методы получили широкое применение в его дальнейших трудах по теории алгебраических функций и интегралов, по аналитической теории дифференциальных уравнений (в частности, уравнений, определяющих гипергеометрические функции), по аналитической теории чисел (например, Р. указана связь распределения простых чисел со свойствами дзета-функции,в частности с распределением её нулей в комплексной области - так называемая гипотеза Римана, справедливость которой ещё не доказана) и т.д.
В ряде работ Р. исследовал разложимость функций в тригонометрические ряды и в связи с этим определил необходимые и достаточные условия интегрируемости в смысле Р. (см. Интеграл ) ,что имело значение для теории множеств и функций действительного переменного. Р. также предложил методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными (например, с помощью так называемых инвариантов Римана и функции Римана).
В знаменитой лекции 1854 «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1867) Р. дал общую идею математического пространства (по его словам, «многообразия»), включая функциональные и топологические пространства. Он рассматривал здесь геометрию в широком смысле как учение о непрерывных n-мерных многообразиях, т. е. совокупностях любых однородных объектов и, обобщая результаты Гаусса по внутренней геометрии поверхности, дал общее понятие линейного элемента (дифференциала расстояния между точками многообразия, см. Риманова геометрия ) ,определив тем самым то, что называется финслеровыми пространствами. Более подробно Р. рассмотрел так называемые римановы пространства,обобщающие пространства геометрий Евклида, Лобачевского и Римана (см. Неевклидовы геометрии ) ,характеризующиеся специальным видом линейного элемента, и развил учение об их кривизне. Обсуждая применение своих идей к физическому пространству, Р. поставил вопрос о «причинах метрических свойств» его, как бы предваряя то, что было сделано в общей теории относительности (см. Тяготение ) .
Предложенные Р. идеи и методы раскрыли новые пути в развитии математики и нашли применение в механике и физике.
Соч.: Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, 2 Aufl., N. Y., 1953; в рус. пер. - Сочинения, М. - Л., 1948.
Лит.:Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер. с нем., ч. 1, М. - Л., 1937.
Г. Ф. Б. Риман.
Риман Карл Вильгельм Юлиус Хуго
Ри'ман(Riemann) Карл Вильгельм Юлиус Хуго (18.7.1849, Гросмельра, близ г. Зондерсхаузен, - 10.7.1919, Лейпциг), немецкий музыковед. Профессор Лейпцигского университета (с 1901), директор основанного им института музыкознания (Collegium musicum, с 1908), института музыкальной науки (с 1914). Деятельность Р. охватывает все области музыкальной теории, а также историю музыки, музыкальную эстетику и критику. При анализе музыкального произведения он привлекал данные естествознания для объяснения явлений гармонии, ритма, музыкальной формы, агогики и др. С его именем связано развитие так называемой функциональной теории в музыковедении. Опираясь на взгляды Ж. Ф. Рамо, Р. разработал систему функциональных отношений аккордов. Среди многочисленных работ Р. - «Музыкальный словарь» (1882), выдержавший затем 12 изданий и переведённый на многие языки (рус. пер. 1901), «Руководство по истории музыки» (т. 1-5, 1901-13). Труды Р. обогатили музыковедение важными теоретическими выводами, вместе с тем в них сказалась ограниченность позитивистской методологии автора, зачастую отсутствие подлинного историзма. Почётный член Национальной академии «Санта-Чечилия» в Риме (1887), королевской Академии во Флоренции (1894), Музыкальной ассоциации в Лондоне (1900), почётный доктор музыки Эдинбургского университета (1899).
Лит.:Мазель Л., Функциональная школа, в книга: Рыжкин И., Мазель Л., Очерки по истории теоретического музыкознания, в. 1, М., 1934; История европейского искусствознания, т. 4, книги 1-2 - Вторая половина XIX в. - нач. XX в., М., 1969.
Римана геометрия
Ри'мана геоме'трия,эллиптическая геометрия, одна из неевклидовых геометрий,т. е. геометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых (в значительной части) отличны от требований аксиом евклидовой геометрии.Основными объектами, или элементами, трёхмерной Р. г. являются точки, прямые и плоскости; основные понятия Р. г. суть понятия принадлежности (точки прямой, точки плоскости), порядка (например, порядка точек на прямой или порядка прямых, проходящих через данную точку в данной плоскости) и конгруэнтности (фигур). Требования аксиом Р. г., касающиеся принадлежности и порядка, полностью совпадают с требованиями аксиом проективной геометрии.Соответственно, в Р. г. имеют место, например, следующие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке), точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие через одну точку). Требования аксиом Р. г., касающиеся конгруэнтности, сходны с требованиями соответствующих аксиом геометрии: во всяком случае они обеспечивают движения фигур по плоскости и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Метрические свойства плоскости Римана «в малом» совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус Rэтой сферы - один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Число К= 1/ R 2называется кривизной пространства Римана (чем меньше К,тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым). Свойства плоскости Римана «в целом» отличаются от свойств целой сферы; так, например, на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке, а на сфере два больших круга, которые играют роль прямых в сферической геометрии, пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость (т. е., если прямая алежит в плоскости a, то любые две точки плоскости a ,не лежащие на прямой а,возможно соединить отрезком, не пересекая прямой а).
По-видимому, первое сообщение о Р. г. сделано Б. Риманом в его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854, опубликовано в 1867), где Р. г. рассматривалась как частный случай римановой геометрии-теории римановых пространств в широком смысле. Р. г. относится к теории пространств постоянной положительной кривизны.
Лит.см. при статье Неевклидовы геометрии.
Н. В. Ефимов.
Римана дзета-функция
Ри'мана дзе'та-фу'нкция(математическая), см. Дзета-функция.
Римана интеграл
Ри'мана интегра'л,обычный определённый интеграл.Само определение Р. и. по существу было дано О. Коши (1823), который, однако, применял его к непрерывным функциям. Б. Риман впервые указал (1853, опубликовано в 1867) необходимое и достаточное условие существования определённого интеграла, которое в современных терминах может быть выражено так: для существования определённого интеграла функции на некотором интервале необходимо и достаточно, чтобы: 1) интервал был конечным; 2) функция была на нём ограниченной и 3) множество точек разрыва функции на этом интервале имело лебеговскую меру нуль (см. Мера множества ) .
Римана сфера
Ри'мана сфе'ра, одно из возможных геометрических изображений совокупности комплексных чисел,введённое Б. Риманом.Комплексное число
z= х+ iy= r(cos j + isin j) = re i j
можно изображать точками на плоскости (комплексной числовой плоскости) с декартовыми координатами х, уили полярными r,j .Для построения Р. с. проводится сфера, касающаяся комплексной числовой плоскости в начале координат; точки комплексной числовой плоскости отображаются на поверхность сферы с помощью