Страница:
Важный класс Р. составляют абсолютно сходящиеся ряды: Р. (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Р.
.
Если Р. абсолютно сходится, то он и просто сходится. Р.
абсолютно сходится, а Р.
сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Р. и произведение абсолютно сходящегося Р. на число являются также абсолютно сходящимися Р. На абсолютно сходящиеся Р. наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть
(9)
— P., составленный из тех же членов, что и Р. (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р. (1) сходится абсолютно, то Р. (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р. (1). Если Р. (1) и Р. (6) абсолютно сходятся, то Р., полученный из всевозможных попарных произведений u mu n членов этих Р., расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причём если сумма этого Р. равна s, а суммы Р. (1) и (6) равны соответственно s 1и s 2, то s= s 1s 2,т. е. абсолютно сходящиеся Р. можно почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для Р. с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.
Для Р., не абсолютно сходящихся (такие Р. называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р. можно получить Р., имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Р. Примером условно сходящегося Р. может служить Р.
.
Если в этом Р. переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:
,
то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Р. Например, признак Лейбница: если
,
,
то знакочередующийся Р.
(10)
сходится. Более общие признаки можно получить, например, с помощью преобразования Абеля для Р., представимых в виде
. (11)
Признак Абеля: если последовательность { a n} монотонна и ограничена, а Р.
сходится, то Р. (11) также сходится. Признак Дирихле: если последовательность { a n} монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм Р.
ограничена, то Р. (11) сходится. Например, по признаку Дирихле Р.
сходится при всех действительных a .
Иногда рассматриваются Р. вида
.
Такой Р. называется сходящимся, если сходятся Р.
и
сумма этих Р. называется суммой исходного Р.
Р. более сложной структуры являются кратные ряды, т. е. Р. вида
,
где
—заданные числа (вообще говоря, комплексные), занумерованные
kиндексами,
n
1, n
2,..., n
k, каждый из которых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие из Р. этого типа —
двойные ряды.
Для некоторых числовых Р. удаётся получить простые формулы для величины или оценки их остатка, что весьма важно, например, при оценке точности вычислений, проводимых с помощью Р. Например, для суммы геометрической прогрессии (2)
r n= q n+ 1/(1 - q), ½ q½< 1,
для P. (7) при сделанных предположениях
,
а для P. (10)
½ r n½ Ј u n+1
С помощью некоторых специальных преобразований иногда удаётся «улучшить» сходимость сходящегося Р. В математике используются не только сходящиеся Р., но и расходящиеся. Для последних вводятся более общие понятия суммы Р. (см. Суммирование рядов и интегралов). Так, например, расходящийся Р. (5) можно просуммировать определённым способом к 1/ 2.
Функциональные ряды. Понятие Р. естественным образом обобщается на случай, когда членами Р. являются функции u n= u n( x) (действительные, комплексные или, более общо, функции, значения которых принадлежат какому-то метрическому пространству), определённые на некотором множестве Е.В этом случае ряд
,
(11)
называется функциональным.
Если Р. (11) сходится в каждой точке множества Е,то он называется сходящимся на множестве Е.Пример: Р.
сходится на всей комплексной плоскости. Сумма сходящегося Р. непрерывных, например, на некотором отрезке, функций не обязательно является непрерывной функцией. Условия, при которых на функциональные Р. переносятся свойства непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости конечных сумм функций, формулируются в терминах равномерной сходимости Р. Сходящийся Р. (11) называется равномерно сходящимся на множестве
Е,если во всех точках
Еотклонение частичных сумм Р.
при достаточно больших номерах nот суммы Р.
не превышает одной и той же сколь угодно малой величины, точнее, каково бы ни было наперёд заданное число e > О, существует такой номер n e, что
для всех номеров nЈ n eи всех точек хО Е.Это условие равносильно тому, что
[
— верхняя грань
на
Е]
.Например, Р.
равномерно сходится на отрезке [0, q] при 0 < q< 1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1].
Критерий Коши: для того чтобы Р. (11) равномерно сходился на множестве Е,необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер n e, что для всех номеров п³ n e, р… 0 и всех точек
выполнялось неравенство
Признак Вейерштрасса: если существует такой сходящийся числовой Р.
,
что
к
,
, n= 1, 2,..., то Р. (11) равномерно сходится на
Е.
Сумма равномерно сходящегося Р. непрерывных на некотором отрезке (или, более общо, на некотором топологическом пространстве) функций является непрерывной на этом отрезке (пространстве) функцией. Сумма равномерно сходящегося Р. интегрируемых на некотором множестве функций является интегрируемой на этом множестве функцией, и Р. можно почленно интегрировать. Если последовательность частичных сумм Р. интегрируемых функций сходится в среднем к некоторой интегрируемой функции, то интеграл от этой почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерной функции равен сумме Р. из интегралов от членов Р. Интегрируемость в этих теоремах понимается в смысле Римана или Лебега. Для интегрируемых по Лебегу функций достаточным условием возможности почленного интегрирования Р. с почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерная оценка их абсолютных величин некоторой интегрируемой по Лебегу функцией. Если члены сходящегося на некотором отрезке Р. (11) дифференцируемы на нём и Р. из их производных сходится равномерно, то сумма Р. также дифференцируема на этом отрезке и Р. можно почленно дифференцировать.
Понятие функционального Р. обобщается и на случай кратных Р. В различных разделах математики и её приложениях широко используется разложение функции в функциональные Р., прежде всего в степенные ряды, тригонометрические рядыи, более общо, в Р. по специальным функциям некоторых операторов.
К понятию бесконечных сумм подошли ещё учёные Древней Греции, у них уже встречалась сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с положительным знаменателем меньшим единицы. Как самостоятельное понятие Р. вошёл в математику в 17 в. И. Ньютон и Г. Лейбниц систематически использовали Р. для решения уравнений как алгебраических, так и дифференциальных. Формальная теория Р. успешно развивалась в 18—19 вв. в работах Я. и И. Бернулли,Б. Тейлора,К. Маклорена,Л. Эйлера,Ж. Д' Аламбера,Ж. Лагранжа и др. В этот период использовались как сходящиеся, так и расходящиеся Р., хотя не было полной ясности в вопросе о законности действий над ними. Точная теория Р. была создана в 19 в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса,Б. Больцано,О. Коши,П. Дирихле,Н. Абеля,К. Вейерштрасса,Г. Римана и др.
Лит.:Маркушевич А. И., Ряды. Элементарный очерк, 3 изд., М., 1957; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1973; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.
Л. Д. Кудрявцев.
электродных потенциалов
в растворах электролитов. Электродом сравнения обычно служит стандартный
водородный электрод
. Поэтому в Р. н. включают и водород, электродный потенциал которого принимается равным нулю. В СССР и многих других европейских странах электродному потенциалу принято давать знак, одинаковый со знаком заряда электрода из данного металла по отношению к стандартному водородному электроду (в США принято давать обратный знак). Наибольшие отрицательные потенциалы характерны для щелочных металлов (около — 3
в), за ними следуют щёлочноземельные металлы и т. д.; наиболее положительные потенциалы имеют благородные металлы (около + 1,5
в; численные значения см. в ст.
Металлы,табл. 2 и 3). В Р. н. часто включают неметаллы, ионы и некоторые химические соединения. Наиболее распространённые металлы расположены в Р. н. в следующей последовательности: Li, К, Ca, Na, Mg, Al, Mn, Zn, Fe, Co, Ni, Sn, Pb, H
2, Cu, Hg, Ag, Au (см. там же).
.Если Р. абсолютно сходится, то он и просто сходится. Р.
абсолютно сходится, а Р.
сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Р. и произведение абсолютно сходящегося Р. на число являются также абсолютно сходящимися Р. На абсолютно сходящиеся Р. наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть
(9)— P., составленный из тех же членов, что и Р. (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р. (1) сходится абсолютно, то Р. (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р. (1). Если Р. (1) и Р. (6) абсолютно сходятся, то Р., полученный из всевозможных попарных произведений u mu n членов этих Р., расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причём если сумма этого Р. равна s, а суммы Р. (1) и (6) равны соответственно s 1и s 2, то s= s 1s 2,т. е. абсолютно сходящиеся Р. можно почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для Р. с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.
Для Р., не абсолютно сходящихся (такие Р. называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р. можно получить Р., имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Р. Примером условно сходящегося Р. может служить Р.
.Если в этом Р. переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:
,то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Р. Например, признак Лейбница: если
,
,то знакочередующийся Р.
(10)сходится. Более общие признаки можно получить, например, с помощью преобразования Абеля для Р., представимых в виде
. (11)Признак Абеля: если последовательность { a n} монотонна и ограничена, а Р.
сходится, то Р. (11) также сходится. Признак Дирихле: если последовательность { a n} монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм Р.
ограничена, то Р. (11) сходится. Например, по признаку Дирихле Р.
сходится при всех действительных a .
Иногда рассматриваются Р. вида
.Такой Р. называется сходящимся, если сходятся Р.
и
сумма этих Р. называется суммой исходного Р.
Р. более сложной структуры являются кратные ряды, т. е. Р. вида
,где
—заданные числа (вообще говоря, комплексные), занумерованные
kиндексами,
n
1, n
2,..., n
k, каждый из которых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие из Р. этого типа —
двойные ряды.Для некоторых числовых Р. удаётся получить простые формулы для величины или оценки их остатка, что весьма важно, например, при оценке точности вычислений, проводимых с помощью Р. Например, для суммы геометрической прогрессии (2)
r n= q n+ 1/(1 - q), ½ q½< 1,
для P. (7) при сделанных предположениях
,а для P. (10)
½ r n½ Ј u n+1
С помощью некоторых специальных преобразований иногда удаётся «улучшить» сходимость сходящегося Р. В математике используются не только сходящиеся Р., но и расходящиеся. Для последних вводятся более общие понятия суммы Р. (см. Суммирование рядов и интегралов). Так, например, расходящийся Р. (5) можно просуммировать определённым способом к 1/ 2.
Функциональные ряды. Понятие Р. естественным образом обобщается на случай, когда членами Р. являются функции u n= u n( x) (действительные, комплексные или, более общо, функции, значения которых принадлежат какому-то метрическому пространству), определённые на некотором множестве Е.В этом случае ряд
называется функциональным.
Если Р. (11) сходится в каждой точке множества Е,то он называется сходящимся на множестве Е.Пример: Р.
сходится на всей комплексной плоскости. Сумма сходящегося Р. непрерывных, например, на некотором отрезке, функций не обязательно является непрерывной функцией. Условия, при которых на функциональные Р. переносятся свойства непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости конечных сумм функций, формулируются в терминах равномерной сходимости Р. Сходящийся Р. (11) называется равномерно сходящимся на множестве
Е,если во всех точках
Еотклонение частичных сумм Р.
при достаточно больших номерах nот суммы Р.
не превышает одной и той же сколь угодно малой величины, точнее, каково бы ни было наперёд заданное число e > О, существует такой номер n e, что
для всех номеров nЈ n eи всех точек хО Е.Это условие равносильно тому, что
[
— верхняя грань
на
Е]
.Например, Р.
равномерно сходится на отрезке [0, q] при 0 < q< 1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1].
Критерий Коши: для того чтобы Р. (11) равномерно сходился на множестве Е,необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер n e, что для всех номеров п³ n e, р… 0 и всех точек
выполнялось неравенство
Признак Вейерштрасса: если существует такой сходящийся числовой Р.
,что
к
,
Сумма равномерно сходящегося Р. непрерывных на некотором отрезке (или, более общо, на некотором топологическом пространстве) функций является непрерывной на этом отрезке (пространстве) функцией. Сумма равномерно сходящегося Р. интегрируемых на некотором множестве функций является интегрируемой на этом множестве функцией, и Р. можно почленно интегрировать. Если последовательность частичных сумм Р. интегрируемых функций сходится в среднем к некоторой интегрируемой функции, то интеграл от этой почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерной функции равен сумме Р. из интегралов от членов Р. Интегрируемость в этих теоремах понимается в смысле Римана или Лебега. Для интегрируемых по Лебегу функций достаточным условием возможности почленного интегрирования Р. с почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерная оценка их абсолютных величин некоторой интегрируемой по Лебегу функцией. Если члены сходящегося на некотором отрезке Р. (11) дифференцируемы на нём и Р. из их производных сходится равномерно, то сумма Р. также дифференцируема на этом отрезке и Р. можно почленно дифференцировать.
Понятие функционального Р. обобщается и на случай кратных Р. В различных разделах математики и её приложениях широко используется разложение функции в функциональные Р., прежде всего в степенные ряды, тригонометрические рядыи, более общо, в Р. по специальным функциям некоторых операторов.
К понятию бесконечных сумм подошли ещё учёные Древней Греции, у них уже встречалась сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с положительным знаменателем меньшим единицы. Как самостоятельное понятие Р. вошёл в математику в 17 в. И. Ньютон и Г. Лейбниц систематически использовали Р. для решения уравнений как алгебраических, так и дифференциальных. Формальная теория Р. успешно развивалась в 18—19 вв. в работах Я. и И. Бернулли,Б. Тейлора,К. Маклорена,Л. Эйлера,Ж. Д' Аламбера,Ж. Лагранжа и др. В этот период использовались как сходящиеся, так и расходящиеся Р., хотя не было полной ясности в вопросе о законности действий над ними. Точная теория Р. была создана в 19 в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса,Б. Больцано,О. Коши,П. Дирихле,Н. Абеля,К. Вейерштрасса,Г. Римана и др.
Лит.:Маркушевич А. И., Ряды. Элементарный очерк, 3 изд., М., 1957; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1973; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.
Л. Д. Кудрявцев.