Страница:
Единица представляется наиболее подходящей для начала счета, но это заставляет нас помещать ноль на неестественное для него место. Для других культур, как, например, майя, живших в Мексике и в Центральной Америке, начало счета с единицы вовсе не казалось рациональным. На самом деле майя имели систему чисел и календарь более логичные, чем наши. Как и у вавилонян, в их системе величина числа зависела от места, на котором стоит обозначающая его цифра. Единственным существенным отличием служило то, что вместо 60 в качестве основы майя использовали 20, с остатками более ранней десятеричной системы. Как и вавилонянам, им требовался ноль, чтобы определять, что какая цифра значит. Для пущего интереса майя пользовались цифрами двух типов: простой основывался на точках и черточках, более сложный – на глифах, гротескных лицах. Нетрудно воочию убедиться, насколько странно сейчас выглядят цифры майя (рис. 3).
Рис. 3: Цифры майя
Как и египтяне, майя создали превосходный солнечный календарь. Поскольку их система счета основывалась на числе 20, майя, естественно, разделили год на 18 месяцев, по 20 дней каждый, что в сумме давало 360 дней. Особый период из пяти дней в конце года, называвшийся «уайеб», доводил общее количество до 365. В отличие от египтян, впрочем, майя включали в свою систему счета ноль, так что делали очевидную вещь: начинали отсчет дней с ноля. Первый день месяца – Зип, например, обычно именовался «установление» или «посадка» Зип. Следующим днем было 1 Зип, за ним следовало 2 Зип и так далее, пока не доходило до 19 Зип.
Потом наступала «посадка» Зоц – 0 Зоц; дальше следовало 1 Зоц и так далее. Каждый месяц имел 20 дней, имевших номера от 0 до 19, а не от 1 до 20, как мы делаем сегодня. (Майяский календарь был удивительно сложен. Помимо солнечного календаря, существовал ритуальный, состоявший из двадцати недель, по тринадцать дней каждая. В соединении с солнечным годом он давал календарный круг, в котором каждый день 52-летнего цикла имел собственное название.)
Майяская система была более осмысленной, чем западная. Поскольку западный календарь был создан во времена, когда ноля не существовало, мы не имеем ни нулевого дня, ни нулевого года. Это, казалось бы, незначительное упущение привело к огромным трудностям: вызвало разногласия по поводу начала тысячелетия. Майя никогда не стали бы спорить о том, является ли первым годом XXI века 2000 или 2001 год. Однако наш календарь создавали не майя, это были египтяне, а позже римляне. По этой причине мы оказались с неудобным, лишенным ноля календарем.
Отсутствие ноля у египтян повредило и календарю, и будущему западной математики. На самом деле египетская цивилизация повредила математике не в единственном отношении. Будущие трудности оказались связаны не только с отсутствием ноля. У египтян был чрезвычайно громоздкий способ обращаться с дробями. Они не думали о 3/4 как об отношении трех к четырем, как мы делаем сегодня; они рассматривали 3/4 как сумму 1/2 и 1/4. За единственным исключением – 2/3 – все египетские дроби записывались как суммы чисел, имеющих вид 1/n (где n – натуральное число), – так называемые дробные единицы. Длинные цепочки этих дробных единиц делали чрезвычайно трудными манипуляции с дробями в египетской (и греческой) системе счисления.
Наличие ноля делает эту громоздкую систему устаревшей. В вавилонской системе, имевшей ноль, записывать дроби было легко. Как мы можем заменить 1/2 выражением 0,5, а 3/4 – 0,75, вавилоняне использовали выражения 0,30 для 1/2 и 0,45 для 3/4 (на самом деле вавилонская шестидесятеричная система даже лучше подходила для записи дробей, чем наша современная десятеричная).
К несчастью, греки и римляне настолько ненавидели ноль, что держались за запись по египетскому образцу и не переходили на вавилонскую систему, несмотря на то, что пользоваться последней легче. Для сложных вычислений, какие, например, нужны для астрономических таблиц, греческая система была такой громоздкой, что математики преобразовывали дробные единицы в вавилонскую шестидесятеричную систему, выполняли вычисления, а затем переводили ответ обратно на греческий лад. Они могли бы избавить себя от многих трудоемких действий (мы все знаем, как надоедает переводить дроби из одного вида в другой). Однако греки так презирали ноль, что отказывались использовать его в своих записях, несмотря на то, что видели, насколько он полезен. Причина этого крылась в том, что ноль был опасен.
Устрашающие свойства пустоты
Трудно представить себе, что можно бояться числа. Однако ноль был неразрывно связан с бездной – с пустотой. Людей преследовал изначальный страх перед бездной и хаосом, а также и перед нолем.
Древние народы верили, что до возникновения Вселенной существовали только пустота и хаос. Древние греки утверждали, что сначала матерью всего была тьма, а из тьмы возник хаос. Тьма и хаос породили остальную Вселенную. Еврейские предания о сотворении мира говорят, что земля была в состоянии хаоса и пустоты, пока Бог не пролил свет и не придал ему его свойства. На иврите это выражается так: tohu v’bohu. Роберт Грейвз связывает tohu с Техомотом, доисторическим семитским драконом, свидетелем рождения Вселенной, тело которого стало небом и землей. Bohu связывалось с Бегемотом, знаменитым чудовищем из еврейских легенд. Согласно древнеиндийской традиции, Создатель сбивал масло из хаоса и превратил его в землю, а северный миф рассказывает о том, как открытая бездна покрылась льдом, а из хаоса, порожденного смешением огня и льда, возник первобытный великан. Пустота и беспорядок были изначальным естественным состоянием космоса, и всегда существовал грызущий страх перед тем, что в конце времен беспорядок и бездна воцарятся снова. Ноль олицетворял собой эту бездну.
Однако страх перед нолем коренился глубже, чем страх бездны. Для древних математические свойства ноля были непостижимы, столь же окутаны тайной, как и рождение Вселенной. Причина этого крылась в том, что ноль отличается от всех остальных чисел. В отличие от других цифр в вавилонской системе, нолю никогда не позволялось стоять в одиночку – и не без основания. Оказавшись сам по себе, ноль ведет себя странно, по крайней мере не так, как остальные числа.
Если прибавить число к самому себе, оно изменится. Один плюс один – уже не один, а два. Два и два дают четыре. А вот ноль плюс ноль есть ноль. Это нарушает основной принцип счисления, называемый аксиомой Архимеда и говорящий, что если прибавлять число к самому себе достаточное количество раз, результат превзойдет по величине любое другое число. (Аксиома Архимеда была сформулирована в терминах площадей; число рассматривалось как разница между двумя неравными площадями.) Ноль же отказывается увеличиваться. Он также отказывается увеличивать любое другое число. Сложите два и ноль, и вы получите два; дело выглядит так, словно вы и не складывали ничего. То же самое происходит и при вычитании. Отнимите ноль от двух, и вы получите два. Ноль не имеет реальности. Однако это лишенное реальности число угрожает нарушить простейшие математические операции, такие как умножение и деление.
В области чисел умножение означает растяжение – в буквальном смысле слова. Представьте себе, что числовая ось – это резиновая лента с делениями на ней (рис. 4). Умножение на два может рассматриваться как растяжение резиновой ленты вдвое: то деление, которое приходилось на отметку «один», теперь переместилось на «два»; приходившееся на «три» – на «шесть». Аналогично умножение на одну вторую сходно с некоторым сжатием резиновой ленты: деление на «два» перемещается на «один», деление на «три» – на «полтора».
Рис. 4. Резиновая лента для умножения
Но что происходит при умножении на ноль? Сколько бы раз ни взять ноль, все равно будет ноль, и все деления соберутся на ноле. Резиновая лента порвалась. Вся числовая ось нарушилась.
К несчастью, нет способа обойти этот неприятный факт. Любое число ноль раз – ноль; это свойство нашей системы счисления. Чтобы в повседневно используемых числах был смысл, они должны обладать тем, что именуется свойством дистрибутивности, что лучше всего видно на примере. Представьте себе, что в магазине игрушек мячи продаются по две штуки, а кубики – по три. Соседний магазин игрушек торгует наборами из двух мячей и трех кубиков. Каждая упаковка из двух мячей и каждая упаковка из трех кубиков – такой же один предмет, как и упаковка с набором мячей и кубиков из соседнего магазина. Если быть последовательным, то покупка семи упаковок мячей и семи упаковок кубиков в первом магазине должна быть тем же самым, что и покупка семи наборов во втором. Это и есть свойство дистрибутивности. Используя математическую запись, мы выразили бы это так: 7 × 2 + 7 × 3 = 7 × (2 + 3). Все получается правильно.
Если же применить это свойство к нолю, получается нечто странное. Мы знаем, что 0 + 0 = 0. Возьмем в качестве примера число 2. 2 + 0 = 2 + (0 + 0); согласно свойству дистрибутивности, мы также знаем, что 2 × (0 + 0) – то же самое, что 2 × 0 + 2 × 0. Однако это означает, что 2 × 0 = 2 × 0 + 2 × 0. Чем бы ни было 2 × 0, когда вы прибавляете это число к самому себе, оно остается тем же самым, очень похожим на ноль. На самом деле это он и есть. Если вычесть 2 × 0 из обеих частей равенства, мы увидим, что 0 = 2 × 0. Таким образом, что бы вы ни делали, умножение числа на ноль дает ноль. Это зловредное число сжимает числовую ось в точку. Однако сколь бы досадным ни было это свойство, истинная сила ноля делается очевидной при делении, а не умножении.
Если умножение растягивает числовую ось, то деление сжимает ее. Умножьте какое-нибудь число на два, и вы растянете резиновую ленту – числовую ось – вдвое; разделите результат на два, и резиновая лента сожмется вдвое, произведя действие, обратное умножению. Производя деление, вы уничтожаете следствие умножения: метка на резиновой ленте, переместившаяся на новое место, возвращается в прежнее положение.
Мы видели, что произошло при умножении числа на ноль: числовая ось была уничтожена. Деление на ноль должно было быть противоположностью умножению на ноль – оно должно было бы восстановить числовую ось. К несчастью, этого не происходит.
В предыдущем примере мы видели, что 2 × 0 есть 0. Таким образом, чтобы совершить действие, обратное умножению, мы должны предположить, что (2 × 0) / 0 вернет нас к 2. Точно так же (3 × 0) / 0 должно вернуть нас к 3, (4 × 0) / 0 – к 4… Однако каждое из чисел 2 × 0, 3 × 0, 4 × 0, как мы видели, равно 0, так что (2 × 0) / 0 = 0 / 0, (3 × 0) / 0 = 0 / 0, (4 × 0) / 0 = 0 / 0. Увы, это означает, что 0 / 0 = 2, а также 0 / 0 = 3, 0 / 0 = 4… Это же бессмыслица!
Странные вещи происходят и в том случае, если мы посмотрим на 1 / 0 с другой точки зрения. Умножение на ноль должно произвести действие, обратное делению на ноль, так что 1 / 0 × 0 должно быть равно 1. Однако мы видели, что любое число, умноженное на ноль, дает ноль. Нет такого числа, которое, умноженное на ноль, давало бы 1, по крайней мере, среди чисел, с которыми мы встречались.
Хуже всего то, что если вы необдуманно разделите на ноль, вы можете разрушить все основы логики и математики. Достаточно всего один раз – один-единственный – разделить на ноль, и это позволит вам математически доказать все что угодно. Вы сможете доказать, что 1 + 1 = 42, а из этого вывести, что Эдгар Гувер был инопланетянином, Уильям Шекспир – узбеком, и даже что небо – в горошек. (Приложение А поможет вам доказать, что Уинстон Черчилль был морковкой.)
Умножение на ноль уничтожает числовую ось. Однако деление на ноль разрушает всю систему математики.
Это простое число обладает большим могуществом. Оно стало самым важным математическим инструментом. Однако благодаря своим странным математическим и философским свойствам ноль пришел в столкновение с фундаментальной западной философией.
Глава 2
Запад отвергает ноль
Ноль вступил в противоречие с одним из центральных принципов западной философии, утверждением, корни которого уходят в нумерологию Пифагора и парадоксы Зенона. На этом основании покоилась вся греческая философия: пустоты не существует.
Греческая вселенная, созданная Пифагором, Аристотелем и Птолемеем, выжила и после падения греческой цивилизации. В этой вселенной не существует такой вещи, как ничто. Ноля не существует. По этой причине Запад почти два тысячелетия не мог принять ноль. Последствия этого были печальны. Отсутствие ноля препятствовало росту математики, душило новое в науке и попутно вызвало путаницу с календарем. Прежде чем принять ноль, философы Запада должны были разрушить свою вселенную.
Происхождение греческой философии чисел
Египтяне, которые изобрели геометрию, не особенно задумывались о математике. Для них это был всего лишь инструмент измерения хода времени и земельных участков. Отношение греков было совсем иным. Для них числа и философия были нераздельны, и к обоим они относились очень серьезно. Греки заходили слишком далеко, когда дело касалось чисел. В прямом смысле слова.
…Гиппас из Метапонта стоял на палубе, готовясь к смерти. Вокруг него стояли последователи культа, тайного братства, которое он предал. Гиппас раскрыл секрет, который был смертельно опасен для греческого мышления, секрет, который грозил подорвать всю философию братства. За это сам великий Пифагор приговорил его к смерти через утопление. Для защиты своей философии – нумерологии – братство готово было убивать. Однако как ни смертелен был секрет, раскрытый Гиппасом, он был незначителен по сравнению с опасностями, которые таил ноль!
Возглавлял культ Пифагор, древний радикалист. Согласно большинству источников, он родился в VI веке до н. э. на Самосе, греческом острове у побережья современной Турции, знаменитом своим храмом Геры и великолепным вином. Даже по стандартам суеверных древних греков взгляды Пифагора были эксцентричны. Он был твердо убежден, что он – реинкарнация Эуфорба, троянского героя. Это помогало Пифагору верить в то, что все души – включая души животных – возрождаются после смерти в других телах. По этой причине он придерживался вегетарианства. Бобы, впрочем, находились под запретом, поскольку они вызывают скопление газов и по виду напоминают гениталии.
Пифагор мог бы быть древним последователем нью-эйдж; он был красноречивым оратором, признанным ученым и харизматичным учителем. Говорят, он написал конституцию для живущих в Италии греков. Ученики стекались к нему, и он скоро приобрел множество последователей, которые хотели учиться у мастера.
Пифагорейцы жили согласно учению своего вождя. Среди прочего они верили, что заниматься любовью лучше всего зимой, а не летом; что все болезни вызываются несварением; что следует есть сырую пищу и пить только воду; что не следует носить одежду из шерсти. Однако в центре их философии находился самый важный принцип: все есть число.
Греки унаследовали числа от геометров-египтян. В результате в греческой математике не было существенного различия между фигурами и числами; для греческих философов-математиков они были примерно одним и тем же. Даже сегодня у нас имеются, благодаря их значимости, квадраты целых чисел и треугольные числа (рис. 5). В те дни доказать математическую теорему часто было все равно, что нарисовать прекрасную картину; инструментами древнегреческих математиков были не карандаш и бумага, это были линейка и циркуль. Для Пифагора связь между фигурами и числами была глубокой и таинственной. Каждое число-форма имело скрытое значение, а самые красивые из них были священны.
Рис. 5. Квадраты чисел и треугольные числа
Мистическим символом пифагорейского культа была, естественно, «число-форма»: пентаграмма, пятилучевая звезда. Эта простая фигура – взгляд в бесконечность. В сердцевине линий звезды лежит пятиугольник. Соединение углов пятиугольника прямыми создает маленькую повернутую вверх ногами пятилучевую звезду, в своих пропорциях точно такую же, как исходная. Эта звезда в свою очередь содержит еще меньший пятиугольник, а тот – еще меньшую звезду с ее крохотным пятиугольником и так далее (рис. 6). Как это ни любопытно, для пифагорейцев самой важной особенностью пентаграммы было не это самоповторение, но нечто скрытое среди прямых, составляющих звезду: золотое сечение, суть пифагорейского взгляда на Вселенную.
Рис. 6. Пентаграмма
Важность золотого сечения связана с открытием Пифагора, о котором теперь редко вспоминают.
В современной школе дети узнают о Пифагоре по его знаменитой теореме: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Однако на самом деле это было давно известно. Такое открытие было сделано более чем за тысячу лет до Пифагора. В Древней Греции Пифагор был знаменит другим открытием: музыкальной гаммой.
Рис. 7. Мистический монохорд
Однажды, говорит легенда, Пифагор играл с монохордом – коробкой с натянутой на ней струной (рис. 7). Передвигая туда-сюда подвижную подставку, Пифагор менял звуки, которые издавал инструмент. Он быстро обнаружил, что струна ведет себя странно, но предсказуемо. Когда вы дергаете струну без подставки, вы получаете чистую ноту, тон, известный как основной. Перемещение подставки, на которую опирается струна, меняет высоту издаваемого звука. Когда вы помещаете подставку точно в середине монохорда, так, что она касается струны в центре, каждая половина струны издает одну и ту же ноту: тон, ровно на октаву выше основного. Незначительное перемещение подставки может разделить струну так, что на одну часть придется три пятых длины струны, а на другую – две пятых; в этом случае, как заметил Пифагор, отрезки струны издают две ноты, образующие вверх и вниз от основного тона чистую квинту, которая, как считалось, выражает самое мощное и запоминающееся музыкальное переживание. Другие соотношения дают другие тона, которые могут успокаивать или беспокоить. (Диссонирующий интервал тритон, состоящий из трех целых тонов, например, был прозван «дьяволом в музыке» и отвергался средневековыми музыкантами.) Странным было то, что когда Пифагор помещал подставку так, что струна разделялась не в простой пропорции, извлекаемые ноты плохо сочетались. Звуки обычно оказывались диссонирующими, а иногда и хуже. Часто тон шатался, как пьяный, по гамме.
Для Пифагора исполнение музыки было математическим действием. Как квадраты и треугольники, струна являлась для него «число-формой», так что деление струны на части оказывалось тем же, что и нахождение отношения двух чисел. Гармония монохорда была гармонией математики – и гармонией Вселенной.
Пифагор пришел к заключению, что пропорция управляет не только музыкой, но и всеми другими видами красоты. Для пифагорейцев отношения и пропорции контролировали музыкальную красоту, физическую красоту, красоту математическую. Понять природу было так же просто, как понять математические законы пропорций. Такая философия – взаимозависимость музыки, математики и природы – вела к созданию самой ранней пифагорейской модели расположения планет. Пифагор утверждал, что Земля находится в центре Вселенной, а Солнце, Луна, планеты и звезды вращаются вокруг Земли, находясь внутри сфер (рис. 8). Пропорции сфер были прекрасны и упорядочены, и когда сферы двигались, они издавали музыку. Самые дальние планеты, Юпитер и Сатурн, двигались быстрее всего и производили самые высокие звуки. Самые ближние, такие как Луна, издавали более низкие ноты.
Рис. 8. Пифагорейская Вселенная
Все вместе движущиеся небесные тела создавали «музыку сфер»; небеса представляли собой прекрасный математический оркестр. Именно это Пифагор и имел в виду, говоря: «Все есть число».
Поскольку пропорции были ключом к пониманию природы, пифагорейцы и более поздние греческие математики тратили много сил на изучение их свойств. В конце концов они разделили пропорции на десять различных классов, назвав их гармоническим средним. Одно из этих средних давало самое «красивое» число на свете: золотое сечение.
Достижение этого восхитительного среднего было делом особого деления струны: нужно было разделить ее на две части так, чтобы отношение меньшей части к большей было таким же, как отношение большей части к целому (см. Приложение B). Выраженное словесно, такое отношение не кажется чем-то особенным, однако числа, связанные с золотым сечением, представлялись самыми красивыми объектами. Даже сегодня художники и архитекторы интуитивно ощущают, что такое соотношение длины и ширины наиболее эстетически привлекательно, а потому золотое сечение определяет пропорции многих произведений искусства. Некоторые историки и математики утверждают, что Парфенон, величественный афинский храм, был построен так, что золотое сечение осуществлено во всех его частях и деталях. Даже природа, кажется, учитывает золотое сечение в своих созданиях. Сравните соотношение размеров любых двух соседних камер раковины наутилуса или отношение направленных по часовой стрелке и против нее углублений на ананасе, и вы увидите, что эти пропорции близки к золотому сечению (рис. 9).
Рис. 9. Парфенон, раковина наутилуса и золотое сечение
Пентаграмма стала священным символом для братства пифагорейцев, потому что элементы звезды разделяются именно так: пентаграмма полна примеров золотого сечения, а для пифагорейцев золотое сечение было царем чисел. Тот факт, что золотое сечение было излюбленным соотношением и художников, и природы, считался доказательством правильности утверждения пифагорейцев о том, что музыка, красота, архитектура, природа и само строение космоса связаны между собой и нераздельны. На взгляд пифагорейцев, пропорции правили миром, а то, что было истиной для пифагорейцев, скоро стало истиной для всего Запада. Сверхъестественная связь между эстетикой, пропорциями и вселенной надолго сделалась центральным принципом западной цивилизации. Еще во времена Шекспира ученые говорили о революции разных пропорций сфер и обсуждали небесную музыку, звучащую по всему космосу.
В системе Пифагора нолю не было места. Эквивалентность чисел и фигур делала древних греков повелителями геометрии, однако она была связана с серьезным недостатком. Она мешала тому, чтобы рассматривать ноль как число. Какая фигура, в конце концов, могла быть нолем?
Легко визуально представить себе квадрат шириной и высотой в две единицы, но что за квадрат с нулевой шириной и высотой? Трудно представить себе квадрат, не имеющий ни ширины, ни высоты, не имеющий никакой материальности. Это означало, что умножение на ноль бессмысленно. Умножение двух чисел эквивалентно нахождению площади прямоугольника, но какой может быть площадь прямоугольника с нулевой высотой или шириной?
Сегодня великие нерешенные проблемы математики формулируются в теоретических формулах, которые математики не в силах доказать. В древней Греции, однако, «число-формы» побуждали мыслить иначе. Знаменитые нерешенные вопросы имели геометрическую форму: имея только линейку и циркуль, можно ли было построить квадрат, площадью равный заданному кругу? Можно ли было с помощью этих инструментов разделить угол на три части?[6] Геометрические построения и фигуры были одним и тем же. Ноль был числом, которое не имело никакого геометрического смысла, так что, чтобы включить его в свою математику, грекам пришлось бы полностью изменить способ вычислений. Они предпочли этого не делать.
Как и египтяне, майя создали превосходный солнечный календарь. Поскольку их система счета основывалась на числе 20, майя, естественно, разделили год на 18 месяцев, по 20 дней каждый, что в сумме давало 360 дней. Особый период из пяти дней в конце года, называвшийся «уайеб», доводил общее количество до 365. В отличие от египтян, впрочем, майя включали в свою систему счета ноль, так что делали очевидную вещь: начинали отсчет дней с ноля. Первый день месяца – Зип, например, обычно именовался «установление» или «посадка» Зип. Следующим днем было 1 Зип, за ним следовало 2 Зип и так далее, пока не доходило до 19 Зип.
Потом наступала «посадка» Зоц – 0 Зоц; дальше следовало 1 Зоц и так далее. Каждый месяц имел 20 дней, имевших номера от 0 до 19, а не от 1 до 20, как мы делаем сегодня. (Майяский календарь был удивительно сложен. Помимо солнечного календаря, существовал ритуальный, состоявший из двадцати недель, по тринадцать дней каждая. В соединении с солнечным годом он давал календарный круг, в котором каждый день 52-летнего цикла имел собственное название.)
Майяская система была более осмысленной, чем западная. Поскольку западный календарь был создан во времена, когда ноля не существовало, мы не имеем ни нулевого дня, ни нулевого года. Это, казалось бы, незначительное упущение привело к огромным трудностям: вызвало разногласия по поводу начала тысячелетия. Майя никогда не стали бы спорить о том, является ли первым годом XXI века 2000 или 2001 год. Однако наш календарь создавали не майя, это были египтяне, а позже римляне. По этой причине мы оказались с неудобным, лишенным ноля календарем.
Отсутствие ноля у египтян повредило и календарю, и будущему западной математики. На самом деле египетская цивилизация повредила математике не в единственном отношении. Будущие трудности оказались связаны не только с отсутствием ноля. У египтян был чрезвычайно громоздкий способ обращаться с дробями. Они не думали о 3/4 как об отношении трех к четырем, как мы делаем сегодня; они рассматривали 3/4 как сумму 1/2 и 1/4. За единственным исключением – 2/3 – все египетские дроби записывались как суммы чисел, имеющих вид 1/n (где n – натуральное число), – так называемые дробные единицы. Длинные цепочки этих дробных единиц делали чрезвычайно трудными манипуляции с дробями в египетской (и греческой) системе счисления.
Наличие ноля делает эту громоздкую систему устаревшей. В вавилонской системе, имевшей ноль, записывать дроби было легко. Как мы можем заменить 1/2 выражением 0,5, а 3/4 – 0,75, вавилоняне использовали выражения 0,30 для 1/2 и 0,45 для 3/4 (на самом деле вавилонская шестидесятеричная система даже лучше подходила для записи дробей, чем наша современная десятеричная).
К несчастью, греки и римляне настолько ненавидели ноль, что держались за запись по египетскому образцу и не переходили на вавилонскую систему, несмотря на то, что пользоваться последней легче. Для сложных вычислений, какие, например, нужны для астрономических таблиц, греческая система была такой громоздкой, что математики преобразовывали дробные единицы в вавилонскую шестидесятеричную систему, выполняли вычисления, а затем переводили ответ обратно на греческий лад. Они могли бы избавить себя от многих трудоемких действий (мы все знаем, как надоедает переводить дроби из одного вида в другой). Однако греки так презирали ноль, что отказывались использовать его в своих записях, несмотря на то, что видели, насколько он полезен. Причина этого крылась в том, что ноль был опасен.
Устрашающие свойства пустоты
В начале времен, когда жил Имир,
не было в мире ни песка, ни моря,
земли еще не было и небосвода,
бездна зияла, трава не росла.
Старшая Эдда[3]
Трудно представить себе, что можно бояться числа. Однако ноль был неразрывно связан с бездной – с пустотой. Людей преследовал изначальный страх перед бездной и хаосом, а также и перед нолем.
Древние народы верили, что до возникновения Вселенной существовали только пустота и хаос. Древние греки утверждали, что сначала матерью всего была тьма, а из тьмы возник хаос. Тьма и хаос породили остальную Вселенную. Еврейские предания о сотворении мира говорят, что земля была в состоянии хаоса и пустоты, пока Бог не пролил свет и не придал ему его свойства. На иврите это выражается так: tohu v’bohu. Роберт Грейвз связывает tohu с Техомотом, доисторическим семитским драконом, свидетелем рождения Вселенной, тело которого стало небом и землей. Bohu связывалось с Бегемотом, знаменитым чудовищем из еврейских легенд. Согласно древнеиндийской традиции, Создатель сбивал масло из хаоса и превратил его в землю, а северный миф рассказывает о том, как открытая бездна покрылась льдом, а из хаоса, порожденного смешением огня и льда, возник первобытный великан. Пустота и беспорядок были изначальным естественным состоянием космоса, и всегда существовал грызущий страх перед тем, что в конце времен беспорядок и бездна воцарятся снова. Ноль олицетворял собой эту бездну.
Однако страх перед нолем коренился глубже, чем страх бездны. Для древних математические свойства ноля были непостижимы, столь же окутаны тайной, как и рождение Вселенной. Причина этого крылась в том, что ноль отличается от всех остальных чисел. В отличие от других цифр в вавилонской системе, нолю никогда не позволялось стоять в одиночку – и не без основания. Оказавшись сам по себе, ноль ведет себя странно, по крайней мере не так, как остальные числа.
Если прибавить число к самому себе, оно изменится. Один плюс один – уже не один, а два. Два и два дают четыре. А вот ноль плюс ноль есть ноль. Это нарушает основной принцип счисления, называемый аксиомой Архимеда и говорящий, что если прибавлять число к самому себе достаточное количество раз, результат превзойдет по величине любое другое число. (Аксиома Архимеда была сформулирована в терминах площадей; число рассматривалось как разница между двумя неравными площадями.) Ноль же отказывается увеличиваться. Он также отказывается увеличивать любое другое число. Сложите два и ноль, и вы получите два; дело выглядит так, словно вы и не складывали ничего. То же самое происходит и при вычитании. Отнимите ноль от двух, и вы получите два. Ноль не имеет реальности. Однако это лишенное реальности число угрожает нарушить простейшие математические операции, такие как умножение и деление.
В области чисел умножение означает растяжение – в буквальном смысле слова. Представьте себе, что числовая ось – это резиновая лента с делениями на ней (рис. 4). Умножение на два может рассматриваться как растяжение резиновой ленты вдвое: то деление, которое приходилось на отметку «один», теперь переместилось на «два»; приходившееся на «три» – на «шесть». Аналогично умножение на одну вторую сходно с некоторым сжатием резиновой ленты: деление на «два» перемещается на «один», деление на «три» – на «полтора».
Но что происходит при умножении на ноль? Сколько бы раз ни взять ноль, все равно будет ноль, и все деления соберутся на ноле. Резиновая лента порвалась. Вся числовая ось нарушилась.
К несчастью, нет способа обойти этот неприятный факт. Любое число ноль раз – ноль; это свойство нашей системы счисления. Чтобы в повседневно используемых числах был смысл, они должны обладать тем, что именуется свойством дистрибутивности, что лучше всего видно на примере. Представьте себе, что в магазине игрушек мячи продаются по две штуки, а кубики – по три. Соседний магазин игрушек торгует наборами из двух мячей и трех кубиков. Каждая упаковка из двух мячей и каждая упаковка из трех кубиков – такой же один предмет, как и упаковка с набором мячей и кубиков из соседнего магазина. Если быть последовательным, то покупка семи упаковок мячей и семи упаковок кубиков в первом магазине должна быть тем же самым, что и покупка семи наборов во втором. Это и есть свойство дистрибутивности. Используя математическую запись, мы выразили бы это так: 7 × 2 + 7 × 3 = 7 × (2 + 3). Все получается правильно.
Если же применить это свойство к нолю, получается нечто странное. Мы знаем, что 0 + 0 = 0. Возьмем в качестве примера число 2. 2 + 0 = 2 + (0 + 0); согласно свойству дистрибутивности, мы также знаем, что 2 × (0 + 0) – то же самое, что 2 × 0 + 2 × 0. Однако это означает, что 2 × 0 = 2 × 0 + 2 × 0. Чем бы ни было 2 × 0, когда вы прибавляете это число к самому себе, оно остается тем же самым, очень похожим на ноль. На самом деле это он и есть. Если вычесть 2 × 0 из обеих частей равенства, мы увидим, что 0 = 2 × 0. Таким образом, что бы вы ни делали, умножение числа на ноль дает ноль. Это зловредное число сжимает числовую ось в точку. Однако сколь бы досадным ни было это свойство, истинная сила ноля делается очевидной при делении, а не умножении.
Если умножение растягивает числовую ось, то деление сжимает ее. Умножьте какое-нибудь число на два, и вы растянете резиновую ленту – числовую ось – вдвое; разделите результат на два, и резиновая лента сожмется вдвое, произведя действие, обратное умножению. Производя деление, вы уничтожаете следствие умножения: метка на резиновой ленте, переместившаяся на новое место, возвращается в прежнее положение.
Мы видели, что произошло при умножении числа на ноль: числовая ось была уничтожена. Деление на ноль должно было быть противоположностью умножению на ноль – оно должно было бы восстановить числовую ось. К несчастью, этого не происходит.
В предыдущем примере мы видели, что 2 × 0 есть 0. Таким образом, чтобы совершить действие, обратное умножению, мы должны предположить, что (2 × 0) / 0 вернет нас к 2. Точно так же (3 × 0) / 0 должно вернуть нас к 3, (4 × 0) / 0 – к 4… Однако каждое из чисел 2 × 0, 3 × 0, 4 × 0, как мы видели, равно 0, так что (2 × 0) / 0 = 0 / 0, (3 × 0) / 0 = 0 / 0, (4 × 0) / 0 = 0 / 0. Увы, это означает, что 0 / 0 = 2, а также 0 / 0 = 3, 0 / 0 = 4… Это же бессмыслица!
Странные вещи происходят и в том случае, если мы посмотрим на 1 / 0 с другой точки зрения. Умножение на ноль должно произвести действие, обратное делению на ноль, так что 1 / 0 × 0 должно быть равно 1. Однако мы видели, что любое число, умноженное на ноль, дает ноль. Нет такого числа, которое, умноженное на ноль, давало бы 1, по крайней мере, среди чисел, с которыми мы встречались.
Хуже всего то, что если вы необдуманно разделите на ноль, вы можете разрушить все основы логики и математики. Достаточно всего один раз – один-единственный – разделить на ноль, и это позволит вам математически доказать все что угодно. Вы сможете доказать, что 1 + 1 = 42, а из этого вывести, что Эдгар Гувер был инопланетянином, Уильям Шекспир – узбеком, и даже что небо – в горошек. (Приложение А поможет вам доказать, что Уинстон Черчилль был морковкой.)
Умножение на ноль уничтожает числовую ось. Однако деление на ноль разрушает всю систему математики.
Это простое число обладает большим могуществом. Оно стало самым важным математическим инструментом. Однако благодаря своим странным математическим и философским свойствам ноль пришел в столкновение с фундаментальной западной философией.
Глава 2
Из ничего ничто и выйдет
Запад отвергает ноль
Ничто не возникает из ничего.
Лукреций. «О природе вещей»[4]
Ноль вступил в противоречие с одним из центральных принципов западной философии, утверждением, корни которого уходят в нумерологию Пифагора и парадоксы Зенона. На этом основании покоилась вся греческая философия: пустоты не существует.
Греческая вселенная, созданная Пифагором, Аристотелем и Птолемеем, выжила и после падения греческой цивилизации. В этой вселенной не существует такой вещи, как ничто. Ноля не существует. По этой причине Запад почти два тысячелетия не мог принять ноль. Последствия этого были печальны. Отсутствие ноля препятствовало росту математики, душило новое в науке и попутно вызвало путаницу с календарем. Прежде чем принять ноль, философы Запада должны были разрушить свою вселенную.
Происхождение греческой философии чисел
В начале была пропорция, и пропорция была у Бога, и пропорция была Богом.
Иоанн, 1:1[5]
Египтяне, которые изобрели геометрию, не особенно задумывались о математике. Для них это был всего лишь инструмент измерения хода времени и земельных участков. Отношение греков было совсем иным. Для них числа и философия были нераздельны, и к обоим они относились очень серьезно. Греки заходили слишком далеко, когда дело касалось чисел. В прямом смысле слова.
…Гиппас из Метапонта стоял на палубе, готовясь к смерти. Вокруг него стояли последователи культа, тайного братства, которое он предал. Гиппас раскрыл секрет, который был смертельно опасен для греческого мышления, секрет, который грозил подорвать всю философию братства. За это сам великий Пифагор приговорил его к смерти через утопление. Для защиты своей философии – нумерологии – братство готово было убивать. Однако как ни смертелен был секрет, раскрытый Гиппасом, он был незначителен по сравнению с опасностями, которые таил ноль!
Возглавлял культ Пифагор, древний радикалист. Согласно большинству источников, он родился в VI веке до н. э. на Самосе, греческом острове у побережья современной Турции, знаменитом своим храмом Геры и великолепным вином. Даже по стандартам суеверных древних греков взгляды Пифагора были эксцентричны. Он был твердо убежден, что он – реинкарнация Эуфорба, троянского героя. Это помогало Пифагору верить в то, что все души – включая души животных – возрождаются после смерти в других телах. По этой причине он придерживался вегетарианства. Бобы, впрочем, находились под запретом, поскольку они вызывают скопление газов и по виду напоминают гениталии.
Пифагор мог бы быть древним последователем нью-эйдж; он был красноречивым оратором, признанным ученым и харизматичным учителем. Говорят, он написал конституцию для живущих в Италии греков. Ученики стекались к нему, и он скоро приобрел множество последователей, которые хотели учиться у мастера.
Пифагорейцы жили согласно учению своего вождя. Среди прочего они верили, что заниматься любовью лучше всего зимой, а не летом; что все болезни вызываются несварением; что следует есть сырую пищу и пить только воду; что не следует носить одежду из шерсти. Однако в центре их философии находился самый важный принцип: все есть число.
Греки унаследовали числа от геометров-египтян. В результате в греческой математике не было существенного различия между фигурами и числами; для греческих философов-математиков они были примерно одним и тем же. Даже сегодня у нас имеются, благодаря их значимости, квадраты целых чисел и треугольные числа (рис. 5). В те дни доказать математическую теорему часто было все равно, что нарисовать прекрасную картину; инструментами древнегреческих математиков были не карандаш и бумага, это были линейка и циркуль. Для Пифагора связь между фигурами и числами была глубокой и таинственной. Каждое число-форма имело скрытое значение, а самые красивые из них были священны.
Мистическим символом пифагорейского культа была, естественно, «число-форма»: пентаграмма, пятилучевая звезда. Эта простая фигура – взгляд в бесконечность. В сердцевине линий звезды лежит пятиугольник. Соединение углов пятиугольника прямыми создает маленькую повернутую вверх ногами пятилучевую звезду, в своих пропорциях точно такую же, как исходная. Эта звезда в свою очередь содержит еще меньший пятиугольник, а тот – еще меньшую звезду с ее крохотным пятиугольником и так далее (рис. 6). Как это ни любопытно, для пифагорейцев самой важной особенностью пентаграммы было не это самоповторение, но нечто скрытое среди прямых, составляющих звезду: золотое сечение, суть пифагорейского взгляда на Вселенную.
Важность золотого сечения связана с открытием Пифагора, о котором теперь редко вспоминают.
В современной школе дети узнают о Пифагоре по его знаменитой теореме: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Однако на самом деле это было давно известно. Такое открытие было сделано более чем за тысячу лет до Пифагора. В Древней Греции Пифагор был знаменит другим открытием: музыкальной гаммой.
Однажды, говорит легенда, Пифагор играл с монохордом – коробкой с натянутой на ней струной (рис. 7). Передвигая туда-сюда подвижную подставку, Пифагор менял звуки, которые издавал инструмент. Он быстро обнаружил, что струна ведет себя странно, но предсказуемо. Когда вы дергаете струну без подставки, вы получаете чистую ноту, тон, известный как основной. Перемещение подставки, на которую опирается струна, меняет высоту издаваемого звука. Когда вы помещаете подставку точно в середине монохорда, так, что она касается струны в центре, каждая половина струны издает одну и ту же ноту: тон, ровно на октаву выше основного. Незначительное перемещение подставки может разделить струну так, что на одну часть придется три пятых длины струны, а на другую – две пятых; в этом случае, как заметил Пифагор, отрезки струны издают две ноты, образующие вверх и вниз от основного тона чистую квинту, которая, как считалось, выражает самое мощное и запоминающееся музыкальное переживание. Другие соотношения дают другие тона, которые могут успокаивать или беспокоить. (Диссонирующий интервал тритон, состоящий из трех целых тонов, например, был прозван «дьяволом в музыке» и отвергался средневековыми музыкантами.) Странным было то, что когда Пифагор помещал подставку так, что струна разделялась не в простой пропорции, извлекаемые ноты плохо сочетались. Звуки обычно оказывались диссонирующими, а иногда и хуже. Часто тон шатался, как пьяный, по гамме.
Для Пифагора исполнение музыки было математическим действием. Как квадраты и треугольники, струна являлась для него «число-формой», так что деление струны на части оказывалось тем же, что и нахождение отношения двух чисел. Гармония монохорда была гармонией математики – и гармонией Вселенной.
Пифагор пришел к заключению, что пропорция управляет не только музыкой, но и всеми другими видами красоты. Для пифагорейцев отношения и пропорции контролировали музыкальную красоту, физическую красоту, красоту математическую. Понять природу было так же просто, как понять математические законы пропорций. Такая философия – взаимозависимость музыки, математики и природы – вела к созданию самой ранней пифагорейской модели расположения планет. Пифагор утверждал, что Земля находится в центре Вселенной, а Солнце, Луна, планеты и звезды вращаются вокруг Земли, находясь внутри сфер (рис. 8). Пропорции сфер были прекрасны и упорядочены, и когда сферы двигались, они издавали музыку. Самые дальние планеты, Юпитер и Сатурн, двигались быстрее всего и производили самые высокие звуки. Самые ближние, такие как Луна, издавали более низкие ноты.
Все вместе движущиеся небесные тела создавали «музыку сфер»; небеса представляли собой прекрасный математический оркестр. Именно это Пифагор и имел в виду, говоря: «Все есть число».
Поскольку пропорции были ключом к пониманию природы, пифагорейцы и более поздние греческие математики тратили много сил на изучение их свойств. В конце концов они разделили пропорции на десять различных классов, назвав их гармоническим средним. Одно из этих средних давало самое «красивое» число на свете: золотое сечение.
Достижение этого восхитительного среднего было делом особого деления струны: нужно было разделить ее на две части так, чтобы отношение меньшей части к большей было таким же, как отношение большей части к целому (см. Приложение B). Выраженное словесно, такое отношение не кажется чем-то особенным, однако числа, связанные с золотым сечением, представлялись самыми красивыми объектами. Даже сегодня художники и архитекторы интуитивно ощущают, что такое соотношение длины и ширины наиболее эстетически привлекательно, а потому золотое сечение определяет пропорции многих произведений искусства. Некоторые историки и математики утверждают, что Парфенон, величественный афинский храм, был построен так, что золотое сечение осуществлено во всех его частях и деталях. Даже природа, кажется, учитывает золотое сечение в своих созданиях. Сравните соотношение размеров любых двух соседних камер раковины наутилуса или отношение направленных по часовой стрелке и против нее углублений на ананасе, и вы увидите, что эти пропорции близки к золотому сечению (рис. 9).
Пентаграмма стала священным символом для братства пифагорейцев, потому что элементы звезды разделяются именно так: пентаграмма полна примеров золотого сечения, а для пифагорейцев золотое сечение было царем чисел. Тот факт, что золотое сечение было излюбленным соотношением и художников, и природы, считался доказательством правильности утверждения пифагорейцев о том, что музыка, красота, архитектура, природа и само строение космоса связаны между собой и нераздельны. На взгляд пифагорейцев, пропорции правили миром, а то, что было истиной для пифагорейцев, скоро стало истиной для всего Запада. Сверхъестественная связь между эстетикой, пропорциями и вселенной надолго сделалась центральным принципом западной цивилизации. Еще во времена Шекспира ученые говорили о революции разных пропорций сфер и обсуждали небесную музыку, звучащую по всему космосу.
В системе Пифагора нолю не было места. Эквивалентность чисел и фигур делала древних греков повелителями геометрии, однако она была связана с серьезным недостатком. Она мешала тому, чтобы рассматривать ноль как число. Какая фигура, в конце концов, могла быть нолем?
Легко визуально представить себе квадрат шириной и высотой в две единицы, но что за квадрат с нулевой шириной и высотой? Трудно представить себе квадрат, не имеющий ни ширины, ни высоты, не имеющий никакой материальности. Это означало, что умножение на ноль бессмысленно. Умножение двух чисел эквивалентно нахождению площади прямоугольника, но какой может быть площадь прямоугольника с нулевой высотой или шириной?
Сегодня великие нерешенные проблемы математики формулируются в теоретических формулах, которые математики не в силах доказать. В древней Греции, однако, «число-формы» побуждали мыслить иначе. Знаменитые нерешенные вопросы имели геометрическую форму: имея только линейку и циркуль, можно ли было построить квадрат, площадью равный заданному кругу? Можно ли было с помощью этих инструментов разделить угол на три части?[6] Геометрические построения и фигуры были одним и тем же. Ноль был числом, которое не имело никакого геометрического смысла, так что, чтобы включить его в свою математику, грекам пришлось бы полностью изменить способ вычислений. Они предпочли этого не делать.