Однако существовала проблема. Не так легко отвергнуть и бесконечность, и ноль. Оглянемся во времени. На протяжении всей истории происходили события, но если не существует бесконечности, не может быть и бесконечного числа событий. Таким образом, должно было иметь место первое событие: творение. Однако что существовало до творения? Пустота? Для Аристотеля это было неприемлемо. Напротив, если не было первого события, Вселенная должна была существовать всегда – и всегда существовать в будущем. Приходилось признать или бесконечность, или ноль: без них Вселенная лишается смысла.
Аристотель так ненавидел идею пустоты, что предпочел признать существование вечной и бесконечной Вселенной существованию той, в которой имел бы место вакуум. Он говорил, что вечность была «потенциальной» бесконечностью, как бесконечное деление Зенона. (Это было натяжкой, но многие ученые согласились с таким аргументом, некоторые даже приняли историю творения как еще одно доказательство существования Бога. Средневековые философы и теологи были обречены сражаться с этой загадкой на протяжении нескольких столетий.)
Каким бы неверным ни был взгляд Аристотеля на физику, он был настолько влиятелен, что более тысячелетия затмевал все ему противоречащие, в том числе и более реалистические. Наука так и не могла бы двинуться вперед, пока мир не избавился от аристотелевой физики вместе с аристотелевым отрицанием бесконечностей Зенона.
Несмотря на всю свою ученость, Зенон впутался в крупные неприятности. Около 435 года до н. э. он вступил в заговор против тирана Элеи, Неарха, и провозил оружие для его свержения. К несчастью для Зенона, Неарх узнал о заговоре, и Зенон был схвачен. Рассчитывая узнать, кто были его сообщники, Неарх подверг Зенона пыткам. Скоро Зенон стал умолять палачей прекратить пытки и пообещал назвать своих сотоварищей. Когда Неарх приблизился, Зенон настоял на том, чтобы тиран подошел совсем вплотную, потому что лучше было сохранить имена заговорщиков в секрете. Неарх наклонился к Зенону. Неожиданно тот вцепился зубами в ухо Неарха. Неарх закричал, но Зенон не отпускал. Палачи смогли заставить его разжать зубы, только зарезав его. Так погиб повелитель бесконечного.
Со временем другой древний грек превзошел Зенона в вопросе бесконечного. Это был Архимед, эксцентричный математик из Сиракуз. Он был единственным мыслителем своего времени, бросившим взгляд в бесконечность.
Сиракузы были богатейшим городом острова Сицилия, а Архимед был их самым знаменитым жителем. О его юности мало что известно, по-видимому, он родился около 287 года до н. э. на Самосе, родине Пифагора. Перебравшись в Сиракузы, Архимед решал многие инженерные проблемы для их правителя, тирана Гиерона. Однажды тиран попросил Архимеда определить, изготовлена ли его корона из чистого золота или из сплава золота с серебром. Эта задача была не по силам всем ученым того времени. Однажды, погрузившись в ванну, Архимед заметил, что вода переливается через край. Он неожиданно подумал о том, что сможет измерить плотность короны и тем самым определить чистоту золота, погрузив ее в сосуд с водой и измерив объем вытесненной жидкости. Взволнованный своим прозрением, Архимед выскочил из ванны и побежал по улице Сиракуз, восклицая: «Эврика! Эврика!» и забыв о том, что совершенно гол.
Таланты Архимеда были полезны и войскам Сиракуз. В III веке до н. э. греческая гегемония прекратила существование. Империя Александра Македонского распалась на враждующие государства, и на Западе играла мышцами новая сила: Рим. И Рим имел виды на Сиракузы. Как говорит легенда, Архимед вооружил войско Сиракуз удивительным оружием для защиты города: катапультами, метавшими камни, мощными кранами, которые захватывали римские корабли, поднимали вверх и опрокидывали в воду, и зеркалами, отражавшими солнечный свет и таким образом на расстоянии поджигавшими римские суда. Римские солдаты так боялись этих боевых машин, что, увидев над стеной веревку или кусок дерева, обращались в бегство, думая, что это Архимед нацеливает свое оружие.
Архимед увидел бесконечность благодаря полировке своих зеркал. Греки уже не одно столетие интересовались коническими сечениями. Если рассечь конус плоскостью, можно получить окружности, эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от того, под каким углом к оси конуса проведена плоскость. Параболическое зеркало обладает одной особенностью: оно собирает в точку солнечные лучи (или лучи от любого удаленного источника света) и фокусирует всю переносимую ими энергию на очень малой площади. Зеркало, которое смогло бы поджечь корабль, должно было быть параболическим. Архимед изучал свойства параболы и именно при этом впервые соприкоснулся с бесконечностью.
Чтобы понять особенности параболы, Архимед должен был научиться измерять ее. Например, никто не знал, как определить площадь части плоскости, ограниченной параболой и пересекающей ее прямой. Площади треугольников и кругов вычислять было легко; слегка менее правильные кривые, вроде параболы, были за пределами возможностей математиков того времени. Однако Архимед нашел способ измерить площадь параболы, используя бесконечное приближение. Первым шагом было вписать в параболу треугольник. В два маленьких незанятых пространства Архимед вписывал по треугольнику. После этого оставалось четыре еще меньших зазора, которые в свою очередь заполнялись вписанными треугольниками, и так далее (рис. 12). Это похоже на Ахиллеса и черепаху: бесконечная серия шагов, каждый из которых делается все меньше и меньше. Площади маленьких треугольников быстро приближались к нолю.
Рис. 12. Парабола Архимеда
После долгих и сложных вычислений Архимед сложил площади бесконечного числа треугольников и так нашел площадь параболы. Однако любой его современник отверг бы такое рассуждение: Архимед использовал такой инструмент, как бесконечность, который был категорически запрещен его коллегами-математиками. Чтобы их удовлетворить, Архимед предложил также доказательство, основанное на принятых тогда понятиях, использовавшее так называемую аксиому Архимеда, хотя сам Архимед приписывал заслугу ее открытия более ранним математикам. Как вы, возможно, помните, эта аксиома гласит, что любое число, снова и снова прибавляемое к самому себе, превзойдет любое другое число. Ноль, ясное дело, сюда не был включен.
Доказательство Архимеда с использованием треугольников было очень близко к идее предела и бесконечно малых, без их действительного открытия. В своих более поздних работах Архимед вычислил объемы тел вращения параболы и окружности вокруг прямой, что, как знает любой изучающий математику, есть одно из первых домашних заданий при изучении курса дифференциального и интегрального исчисления. Однако аксиома Архимеда отвергала ноль, который является мостом между областями конечных и бесконечных величин, мостом, абсолютно необходимым для дифференциального и интегрального исчисления и высшей математики.
Даже блестящий мыслитель Архимед иногда вместе со своими современниками пренебрегал нолем. Он верил в аристотелевскую вселенную, заключенную в гигантскую сферу. В шутку он решил вычислить, сколько песчинок заполнило бы (сферическую) Вселенную. В своем труде «Псаммит» («Исчисление песчинок») Архимед впервые подсчитал, сколько песчинок уляжется на семечке ромашки, сколько семечек ромашки уляжется на пальце… Перейдя от ширины пальца к стадию (стандартной греческой единице измерения расстояний), а затем к величине Вселенной, Архимед нашел, что Вселенную, заключенную во внешнюю сферу неподвижных звезд, заполнят 1051 песчинок. (1051 – это действительно очень, очень большое число. Если, например, взять 1051 молекул воды, то при условии, что каждый человек – мужчина, женщина и ребенок – будет выпивать по тонне воды в секунду, потребуется более 150 тысяч лет, чтобы такое количество воды было выпито.) Это число было настолько велико, что греческая система нумерации не могла с ним справиться. Архимеду пришлось изобрести новый способ записывать действительно огромные числа.
В греческой системе самым большим числом была мириада, и пересчитывая мириады, греки могли дойти до мириады мириад (100 000 000) и немного больше. Однако Архимед пошел дальше, «нажав кнопку перезагрузки». Он просто начал с мириады мириад, выбрав 100 000 000 в качестве единицы, и начал отсчет заново, назвав эти новые числа «числами второго порядка». (Архимед не считал 100 000 001 равным единице, а 100 000 000 – равным нолю, как поступил бы современный математик. Архимеду не приходило в голову, что начало с ноля было бы более осмысленным.) Числа второго порядка шли от мириады мириад до мириады мириад мириад мириад мириад мириад (1 000 000 000 000 000 000 000 000). Так продолжалось, пока Архимед не добрался до мириады в степени мириады, что он назвал числами первого периода. Это был очень громоздкий способ справиться с проблемой, однако так достигалось решение и даже давало гораздо большие возможности, чем Архимеду требовалось для его мысленного эксперимента.
Однако как бы ни велики были придуманные Архимедом числа, они были конечными – и их было достаточно, чтобы переполнить Вселенную песком. Бесконечность не была нужна в греческой Вселенной. Возможно, имея больше времени, Архимед начал бы видеть соблазн бесконечного и ноля. Однако ученый встретил свою судьбу, когда пересчитывал песчинки. Римляне были слишком сильны для Сиракуз. Воспользовавшись малым числом защитников сторожевой башни и легкой возможностью влезть на стену, римляне сумели проникнуть в город. Как только жители Сиракуз обнаружили, что римские солдаты уже внутри стен, они так перепугались, что и не думали о сопротивлении. Римляне хлынули в город, но Архимед был глух к царившей вокруг панике. Он сидел на земле и чертил окружности на песке, стараясь доказать теорему. Римский солдат увидел перед собой оборванного 75-летнего старика и потребовал, чтобы тот шел за ним. Архимед отказался, потому что доказательство было еще не закончено. Обозленный солдат зарезал его. Так погиб величайший мыслитель древнего мира, бессмысленно убитый римлянином.
Убийство Архимеда оказалось одним из величайших вкладов римлян в математику. Римская эра длилась около семи столетий. Все это время заметного развития математики не происходило. История шла вперед: христианство распространилось по Европе, Римская империя пала, Александрийская библиотека была сожжена, и начались Темные века. Прошло еще семь столетий, прежде чем Запад вновь приблизился к открытию ноля. Тем временем два монаха разработали календарь без ноля, чем обрекли нас на вечную путаницу.
Свидания вслепую
Эта «глупая ребяческая дискуссия» – о том, начинается ли новый век с года 00 или с года 01, – снова и снова возникает каждую сотню лет. Если бы только средневековые монахи знали о ноле, наш календарь не был бы так нелогичен.
Монахов нельзя винить за их невежество. Ведь в Средние века на Западе изучали математику только христианские монахи, они были единственными, кто чему-то учился. Математика была нужна монахам для двух вещей: молитв и денег. Чтобы считать деньги, они должны были знать… ну, как считать. Для этого они использовали абак или счетную доску – приспособление, похожее на абак, где камешки или иные предметы можно было передвигать. Такое занятие не требовало особых знаний, но по средневековым стандартам представлялось искусством. Чтобы молиться, монахам нужно было знать дату и время суток. В результате отсчет времени был жизненно важен для церковных ритуалов. Монахи должны были день за днем произносить разные молитвы в разные часы суток. (Английское слово noon – «полдень» – происходит от латинского nones: службы в средневековых церквях в середине дня.) Как мог ночной сторож знать, когда поднимать своих собратьев с удобных соломенных подстилок, чтобы они начали дневное богослужение? И если у вас не было точного календаря, вы не могли знать, когда праздновать Пасху. Это была большая проблема.
Аристотель так ненавидел идею пустоты, что предпочел признать существование вечной и бесконечной Вселенной существованию той, в которой имел бы место вакуум. Он говорил, что вечность была «потенциальной» бесконечностью, как бесконечное деление Зенона. (Это было натяжкой, но многие ученые согласились с таким аргументом, некоторые даже приняли историю творения как еще одно доказательство существования Бога. Средневековые философы и теологи были обречены сражаться с этой загадкой на протяжении нескольких столетий.)
Каким бы неверным ни был взгляд Аристотеля на физику, он был настолько влиятелен, что более тысячелетия затмевал все ему противоречащие, в том числе и более реалистические. Наука так и не могла бы двинуться вперед, пока мир не избавился от аристотелевой физики вместе с аристотелевым отрицанием бесконечностей Зенона.
Несмотря на всю свою ученость, Зенон впутался в крупные неприятности. Около 435 года до н. э. он вступил в заговор против тирана Элеи, Неарха, и провозил оружие для его свержения. К несчастью для Зенона, Неарх узнал о заговоре, и Зенон был схвачен. Рассчитывая узнать, кто были его сообщники, Неарх подверг Зенона пыткам. Скоро Зенон стал умолять палачей прекратить пытки и пообещал назвать своих сотоварищей. Когда Неарх приблизился, Зенон настоял на том, чтобы тиран подошел совсем вплотную, потому что лучше было сохранить имена заговорщиков в секрете. Неарх наклонился к Зенону. Неожиданно тот вцепился зубами в ухо Неарха. Неарх закричал, но Зенон не отпускал. Палачи смогли заставить его разжать зубы, только зарезав его. Так погиб повелитель бесконечного.
Со временем другой древний грек превзошел Зенона в вопросе бесконечного. Это был Архимед, эксцентричный математик из Сиракуз. Он был единственным мыслителем своего времени, бросившим взгляд в бесконечность.
Сиракузы были богатейшим городом острова Сицилия, а Архимед был их самым знаменитым жителем. О его юности мало что известно, по-видимому, он родился около 287 года до н. э. на Самосе, родине Пифагора. Перебравшись в Сиракузы, Архимед решал многие инженерные проблемы для их правителя, тирана Гиерона. Однажды тиран попросил Архимеда определить, изготовлена ли его корона из чистого золота или из сплава золота с серебром. Эта задача была не по силам всем ученым того времени. Однажды, погрузившись в ванну, Архимед заметил, что вода переливается через край. Он неожиданно подумал о том, что сможет измерить плотность короны и тем самым определить чистоту золота, погрузив ее в сосуд с водой и измерив объем вытесненной жидкости. Взволнованный своим прозрением, Архимед выскочил из ванны и побежал по улице Сиракуз, восклицая: «Эврика! Эврика!» и забыв о том, что совершенно гол.
Таланты Архимеда были полезны и войскам Сиракуз. В III веке до н. э. греческая гегемония прекратила существование. Империя Александра Македонского распалась на враждующие государства, и на Западе играла мышцами новая сила: Рим. И Рим имел виды на Сиракузы. Как говорит легенда, Архимед вооружил войско Сиракуз удивительным оружием для защиты города: катапультами, метавшими камни, мощными кранами, которые захватывали римские корабли, поднимали вверх и опрокидывали в воду, и зеркалами, отражавшими солнечный свет и таким образом на расстоянии поджигавшими римские суда. Римские солдаты так боялись этих боевых машин, что, увидев над стеной веревку или кусок дерева, обращались в бегство, думая, что это Архимед нацеливает свое оружие.
Архимед увидел бесконечность благодаря полировке своих зеркал. Греки уже не одно столетие интересовались коническими сечениями. Если рассечь конус плоскостью, можно получить окружности, эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от того, под каким углом к оси конуса проведена плоскость. Параболическое зеркало обладает одной особенностью: оно собирает в точку солнечные лучи (или лучи от любого удаленного источника света) и фокусирует всю переносимую ими энергию на очень малой площади. Зеркало, которое смогло бы поджечь корабль, должно было быть параболическим. Архимед изучал свойства параболы и именно при этом впервые соприкоснулся с бесконечностью.
Чтобы понять особенности параболы, Архимед должен был научиться измерять ее. Например, никто не знал, как определить площадь части плоскости, ограниченной параболой и пересекающей ее прямой. Площади треугольников и кругов вычислять было легко; слегка менее правильные кривые, вроде параболы, были за пределами возможностей математиков того времени. Однако Архимед нашел способ измерить площадь параболы, используя бесконечное приближение. Первым шагом было вписать в параболу треугольник. В два маленьких незанятых пространства Архимед вписывал по треугольнику. После этого оставалось четыре еще меньших зазора, которые в свою очередь заполнялись вписанными треугольниками, и так далее (рис. 12). Это похоже на Ахиллеса и черепаху: бесконечная серия шагов, каждый из которых делается все меньше и меньше. Площади маленьких треугольников быстро приближались к нолю.
После долгих и сложных вычислений Архимед сложил площади бесконечного числа треугольников и так нашел площадь параболы. Однако любой его современник отверг бы такое рассуждение: Архимед использовал такой инструмент, как бесконечность, который был категорически запрещен его коллегами-математиками. Чтобы их удовлетворить, Архимед предложил также доказательство, основанное на принятых тогда понятиях, использовавшее так называемую аксиому Архимеда, хотя сам Архимед приписывал заслугу ее открытия более ранним математикам. Как вы, возможно, помните, эта аксиома гласит, что любое число, снова и снова прибавляемое к самому себе, превзойдет любое другое число. Ноль, ясное дело, сюда не был включен.
Доказательство Архимеда с использованием треугольников было очень близко к идее предела и бесконечно малых, без их действительного открытия. В своих более поздних работах Архимед вычислил объемы тел вращения параболы и окружности вокруг прямой, что, как знает любой изучающий математику, есть одно из первых домашних заданий при изучении курса дифференциального и интегрального исчисления. Однако аксиома Архимеда отвергала ноль, который является мостом между областями конечных и бесконечных величин, мостом, абсолютно необходимым для дифференциального и интегрального исчисления и высшей математики.
Даже блестящий мыслитель Архимед иногда вместе со своими современниками пренебрегал нолем. Он верил в аристотелевскую вселенную, заключенную в гигантскую сферу. В шутку он решил вычислить, сколько песчинок заполнило бы (сферическую) Вселенную. В своем труде «Псаммит» («Исчисление песчинок») Архимед впервые подсчитал, сколько песчинок уляжется на семечке ромашки, сколько семечек ромашки уляжется на пальце… Перейдя от ширины пальца к стадию (стандартной греческой единице измерения расстояний), а затем к величине Вселенной, Архимед нашел, что Вселенную, заключенную во внешнюю сферу неподвижных звезд, заполнят 1051 песчинок. (1051 – это действительно очень, очень большое число. Если, например, взять 1051 молекул воды, то при условии, что каждый человек – мужчина, женщина и ребенок – будет выпивать по тонне воды в секунду, потребуется более 150 тысяч лет, чтобы такое количество воды было выпито.) Это число было настолько велико, что греческая система нумерации не могла с ним справиться. Архимеду пришлось изобрести новый способ записывать действительно огромные числа.
В греческой системе самым большим числом была мириада, и пересчитывая мириады, греки могли дойти до мириады мириад (100 000 000) и немного больше. Однако Архимед пошел дальше, «нажав кнопку перезагрузки». Он просто начал с мириады мириад, выбрав 100 000 000 в качестве единицы, и начал отсчет заново, назвав эти новые числа «числами второго порядка». (Архимед не считал 100 000 001 равным единице, а 100 000 000 – равным нолю, как поступил бы современный математик. Архимеду не приходило в голову, что начало с ноля было бы более осмысленным.) Числа второго порядка шли от мириады мириад до мириады мириад мириад мириад мириад мириад (1 000 000 000 000 000 000 000 000). Так продолжалось, пока Архимед не добрался до мириады в степени мириады, что он назвал числами первого периода. Это был очень громоздкий способ справиться с проблемой, однако так достигалось решение и даже давало гораздо большие возможности, чем Архимеду требовалось для его мысленного эксперимента.
Однако как бы ни велики были придуманные Архимедом числа, они были конечными – и их было достаточно, чтобы переполнить Вселенную песком. Бесконечность не была нужна в греческой Вселенной. Возможно, имея больше времени, Архимед начал бы видеть соблазн бесконечного и ноля. Однако ученый встретил свою судьбу, когда пересчитывал песчинки. Римляне были слишком сильны для Сиракуз. Воспользовавшись малым числом защитников сторожевой башни и легкой возможностью влезть на стену, римляне сумели проникнуть в город. Как только жители Сиракуз обнаружили, что римские солдаты уже внутри стен, они так перепугались, что и не думали о сопротивлении. Римляне хлынули в город, но Архимед был глух к царившей вокруг панике. Он сидел на земле и чертил окружности на песке, стараясь доказать теорему. Римский солдат увидел перед собой оборванного 75-летнего старика и потребовал, чтобы тот шел за ним. Архимед отказался, потому что доказательство было еще не закончено. Обозленный солдат зарезал его. Так погиб величайший мыслитель древнего мира, бессмысленно убитый римлянином.
Убийство Архимеда оказалось одним из величайших вкладов римлян в математику. Римская эра длилась около семи столетий. Все это время заметного развития математики не происходило. История шла вперед: христианство распространилось по Европе, Римская империя пала, Александрийская библиотека была сожжена, и начались Темные века. Прошло еще семь столетий, прежде чем Запад вновь приблизился к открытию ноля. Тем временем два монаха разработали календарь без ноля, чем обрекли нас на вечную путаницу.
Свидания вслепую
Это глупая ребяческая дискуссия, только показывающая недостаток мозгов у тех, кто придерживается мнения, противоположного высказанному нами.
The Times, 26 декабря 1799 года
Эта «глупая ребяческая дискуссия» – о том, начинается ли новый век с года 00 или с года 01, – снова и снова возникает каждую сотню лет. Если бы только средневековые монахи знали о ноле, наш календарь не был бы так нелогичен.
Монахов нельзя винить за их невежество. Ведь в Средние века на Западе изучали математику только христианские монахи, они были единственными, кто чему-то учился. Математика была нужна монахам для двух вещей: молитв и денег. Чтобы считать деньги, они должны были знать… ну, как считать. Для этого они использовали абак или счетную доску – приспособление, похожее на абак, где камешки или иные предметы можно было передвигать. Такое занятие не требовало особых знаний, но по средневековым стандартам представлялось искусством. Чтобы молиться, монахам нужно было знать дату и время суток. В результате отсчет времени был жизненно важен для церковных ритуалов. Монахи должны были день за днем произносить разные молитвы в разные часы суток. (Английское слово noon – «полдень» – происходит от латинского nones: службы в средневековых церквях в середине дня.) Как мог ночной сторож знать, когда поднимать своих собратьев с удобных соломенных подстилок, чтобы они начали дневное богослужение? И если у вас не было точного календаря, вы не могли знать, когда праздновать Пасху. Это была большая проблема.
Конец бесплатного ознакомительного фрагмента