Страница:
Варианты к «Введению» 1513 года[36]
I
О пользе учения
Поэтому[37] необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать. Ибо я вижу, что в наших странах постоянно требуется живопись, и живописцев великое множество, и им приходится чрезвычайно многое делать, но им сильно недостает истинных знаний. Поэтому все мы нуждаемся в некотором обучении. Ибо многие работают несознательно, понапрасну теряя силы и время, тот же, кто понимает правильно, что он должен делать, работает гораздо легче.II
Некоторые грубые люди, ненавидящие науки, осмеливаются говорить, что последние порождают высокомерие. Этого не может быть. Ибо знания порождают смиренное добродушие. Но обычно невежественные люди, не желающие ничему учиться, презирают науки и говорят, что от них исходит много дурного, а некоторые совсем полны зла. Но этого не может быть, ибо Бог создал все науки, поэтому все они должны быть исполнены милосердия, добродетели и добра. Поэтому я считаю хорошими все науки. Разве хороший и острый меч не может быть использован и для правосудия, и для убийства? Станет ли меч от этого лучше или хуже? Так же и с науками. Благочестивый и хороший по натуре человек станет благодаря им еще лучше, ибо они учат отличать добро от зла. Поэтому я полагаю, следует, чтобы каждый определил сам, к чему он всего более склонен, и чтобы он этому обучился.
Из трактата «Руководство к измерению»*
* Настоящий перевод сделан по первому изданию трактата. Полное название книги: «Руководство к измерению с помощью циркуля и линейки в линиях, плоскостях и целых телах, составленное Альбрехтом Дюрером и напечатанное на пользу всем любящим знания с надлежащими рисунками в 1525 году».
Посвящение Пиркгеймеру
Моему любезнейшему господину и другу, господину Вилибальду Пиркгеймеру желаю я, Альбрехт Дюрер, здоровия и благополучия. Милостивый господин и друг! До сих пор в наших немецких землях многие способные юноши, посвятившие себя искусству живописи, обучались без всякой основы, только путем ежедневной практики. Так вырастали они в невежестве, подобно дикому, неподрезанному дереву. Хотя некоторые из них благодаря постоянным упражнениям и достигали свободы руки, так что они выполняли свои произведения с силой, все же они действовали необдуманно, следуя лишь собственной прихоти. Когда же понимающие живописцы и истинные художники видели такие непродуманные произведения, они не без основания смеялись над слепотой этих людей, ибо для истинного разума нет более неприятного «зрелища», чем фальшь в картине, будь эта картина даже написана со всем старанием. Единственной же причиной, почему такие живописцы находили удовольствие в своих заблуждениях, было то, что они не изучали науки измерения[38], без которой невозможно сделаться настоящим мастером; но это была вина их учителей, которые и сами не владели таковой наукой. Но так как она является истинной основой всякой живописи, я решил изложить ее начала и основания для всех жаждущих знаний юношей, дабы они, овладев искусством измерения с помощью циркуля и линейки, могли бы благодаря этому познать и увидеть своими глазами истину и чтобы они не только жаждали знаний, но также могли достигнуть настоящего и более полного понимания.
Я не обращаю внимания на то, что у нас теперь, в наши времена, некоторые весьма презирают искусство живописи и утверждают, будто оно служит идолопоклонству. Ибо всякий христианин столь же мало может быть склонен к ложной вере картиной или статуей, как добродетельный человек – к убийству тем, что он носит оружие на боку. Надо быть поистине неразумным человеком, чтобы молиться на картину, дерево или камень. Поэтому картина, если она достойна, искусно и хорошо выполнена, приносит больше добра, чем зла[39]. В какой чести и почете находилось искусство у греков и римлян, в полной мере показывают древние книги, однако впоследствии они либо совсем были потеряны, либо, пролежав около тысячи лет под спудом, лишь двести лет назад были снова извлечены на свет итальянцами. Но искусства очень легко забываются и лишь медленно и с трудом открываются заново. Поэтому я надеюсь, что ни один разумный человек не станет порицать это мое начинание по составлению руководства, ибо оно проистекает из добрых намерений, и послужит на благо всем жаждущим знаний, и может принести пользу не только живописцам, но и золотых дел мастерам, скульпторам, каменотесам, столярам и всем тем, кто пользуется измерениями. Никого не принуждают пользоваться этим моим учением. Но я хорошо знаю, что тот, кто овладеет им, извлечет оттуда не только основательные начала, но благодаря ежедневной практике достигнет большего понимания и будет искать дальше и откроет гораздо больше того, о чем я здесь сообщаю. Поскольку же я, милостивый господин и друг, знаю, что Вы любитель всех наук, я посвятил Вам эту книжечку из особой склонности и дружеского расположения не потому, чтобы я думал преподнести Вам здесь нечто великое или превосходное, но для того, чтобы Вы могли знать и судить о моем добром расположении и о том, что, хотя я этой своей работой и не могу быть особенно Вам полезен, душа моя всегда готова ответить в равной мере на благосклонность и любовь, которые Вы питаете ко мне.
Я не обращаю внимания на то, что у нас теперь, в наши времена, некоторые весьма презирают искусство живописи и утверждают, будто оно служит идолопоклонству. Ибо всякий христианин столь же мало может быть склонен к ложной вере картиной или статуей, как добродетельный человек – к убийству тем, что он носит оружие на боку. Надо быть поистине неразумным человеком, чтобы молиться на картину, дерево или камень. Поэтому картина, если она достойна, искусно и хорошо выполнена, приносит больше добра, чем зла[39]. В какой чести и почете находилось искусство у греков и римлян, в полной мере показывают древние книги, однако впоследствии они либо совсем были потеряны, либо, пролежав около тысячи лет под спудом, лишь двести лет назад были снова извлечены на свет итальянцами. Но искусства очень легко забываются и лишь медленно и с трудом открываются заново. Поэтому я надеюсь, что ни один разумный человек не станет порицать это мое начинание по составлению руководства, ибо оно проистекает из добрых намерений, и послужит на благо всем жаждущим знаний, и может принести пользу не только живописцам, но и золотых дел мастерам, скульпторам, каменотесам, столярам и всем тем, кто пользуется измерениями. Никого не принуждают пользоваться этим моим учением. Но я хорошо знаю, что тот, кто овладеет им, извлечет оттуда не только основательные начала, но благодаря ежедневной практике достигнет большего понимания и будет искать дальше и откроет гораздо больше того, о чем я здесь сообщаю. Поскольку же я, милостивый господин и друг, знаю, что Вы любитель всех наук, я посвятил Вам эту книжечку из особой склонности и дружеского расположения не потому, чтобы я думал преподнести Вам здесь нечто великое или превосходное, но для того, чтобы Вы могли знать и судить о моем добром расположении и о том, что, хотя я этой своей работой и не могу быть особенно Вам полезен, душа моя всегда готова ответить в равной мере на благосклонность и любовь, которые Вы питаете ко мне.
Из книги I
Наимудрейший Евклид[40] заложил основы геометрии. Кто хорошо их понимает, тому совершенно не нужны эти написанные дальше вещи. Ибо они написаны только для юношей и для тех, кто не имеет хорошего учителя. Если хотят научить юношей измерению, необходимо, чтобы они узнали сначала, с помощью каких основ и каким образом производится измерение. В воображаемых или реально существующих предметах можно измерять три вещи: во-первых, длину, не имеющую ни ширины, ни толщины; во-вторых, длину, обладающую шириной; в-третьих, длину, имеющую и ширину, и толщину. Началом и концом всех этих вещей является точка. Точка же это такая вещь, которая не имеет ни величины, ни длины, ни ширины, ни толщины. И все же она есть начало и конец всех телесных вещей, которые могут быть сделаны или представлены в воображении. Как известно тем, кто понимает в этой науке, точка не занимает никакого места, ибо она неделима, однако в наших чувствах и мыслях она может быть помещена в любом конце или месте. Ибо я могу мысленно забросить точку высоко в воздух или поместить в глубину, которой я сам не могу достигнуть.
Но чтобы сделать это понятным юношам для их практической работы, я изображу для них точку прикосновением пера и напишу рядом слово «точка», дабы ее обозначить: точка • Если же теперь протянуть эту точку от ее первоначального места до другого конца, то это называется линией, и эта линия представляет собой длину без всякой толщины и ширины и может быть протянута сколь угодно далеко. Эту линию я нарисую здесь пером в виде прямого штриха и напишу на ней название «линия»: линия, дабы через посредство прямой черты можно было постигнуть разумом невидимую линию, ибо таким путем внутреннее понятие находит выражение во внешнем произведении. Поэтому я намереваюсь рисовать рядом все вещи, которые я буду описывать в этой книжечке, чтобы юноши видели все, что я делаю, изображенным перед глазами и тем лучше бы это поняли. Теперь следует заметить, что линии могут быть проведены различным образом, и особенно [важны] три линии, из которых можно многое сделать. Это, во-первых, прямая линия, во-вторых, линия окружности и затем еще кривая линия, которая делается от руки или может быть проведена от точки к точке, в чем некоторые проявляют искусство, выводя из нее много различий. И я не знаю лучшего наименования для такой кривой линии, нежели извилистая линия[41], ибо она может быть проведена туда и сюда, как угодно. И чтобы это было вполне понятно, я нарисовал их здесь внизу.
Типы линий
Следует заметить, что имевшиеся выше в виду три линии могут быть проведены длинными или короткими. И если стремиться достигнуть этого, не будучи стесненным временем, то прямая линия может быть продолжена бесконечно вовне или же она может быть представлена наименьшей. Ее можно применять трояким образом: как отвесную, поперечную[42] или косую. Линию же окружности можно употреблять целиком или частями. И она не может быть сделана более длинной, чем от начала и снова до того же места, где она началась; если же провести ее дальше, она опять вернется на прежний путь. Эта линия окружности может быть сделана большой или малой. Если же заставить ее подниматься вверх или опускаться вниз, то из нее получится извилистая линия. Извилистую же линию можно изменять бесконечно – в длину, вдаль, вверх или вниз, – благодаря чему можно сделать много удивительных вещей. И если, как известно, можно сделать много редкостных вещей при помощи одной только линии – о чем ничего не ведают те, кто об этом не размышляет, и здесь тоже об этом будет мало сказано, – нетрудно представить себе, чтó можно сделать с помощью двух, трех или многих линий, и особенно если применять вместе все три типа линий со всеми их разновидностями. Ибо можно сделать много таких линий, которые не могут быть проведены без помощи других. Также следует знать, что такое параллельные линии, называемые так по-латыни, которые я на нашем немецком языке буду называть парными[43]. Это такие линии, которые всегда идут на одном расстоянии друг от друга, будь то прямые, извилистые или линии окружности…[44]
Параллельные линии
Спиральную линию[45] я вычерчиваю так: я провожу отвесную линию, которую обозначаю вверху а и внизу b, и делю ее тремя точками с, d, e на четыре равные части. Затем я делю часть de точечкой f на две равные части. Затем я ставлю слева от линии букву g, справа h. Затем я беру циркуль и ставлю его одной ножкой в точку d, а другой в точку а и провожу линию на стороне h до точки b внизу. Затем я беру циркуль и ставлю его одной ножкой в точку f, а другой в точку с и провожу на стороне g линию вниз до точки b. Снова я беру циркуль и ставлю его одной ножкой в точку d и провожу на стороне h другой ножкой линию из точки с до точки е. Затем я ставлю циркуль одной ножкой в точку f, а другой в точку d и провожу на стороне g линию до точки е. Затем я ставлю циркуль на линию аb одной ножкой посередине df, а другой в точку d и провожу оттуда на стороне h линию до точки f. Итак, линия готова и употребляется для многих вещей, и среди прочего – для волюты капители. И чтобы это было более понятно, я провел здесь две поперечные линии из точек а и с от спиральной линии назад…[46]
Построение спирали
Эта линия употребляется для епископского посоха.
Эта линия употребляется для побега с листвой.
Древние показали, что можно сделать три рода сечений конуса, которые отличались бы друг от друга и не имели бы одинаковой с его основанием циркульной формы. Еще можно сделать сечение посередине конуса, которое будет иметь подобную конусу форму; его не принимают в расчет. Но я хочу научить построению первых трех сечений, каждое из которых дает особую линию, а также вычерчиванию этих линий. Первое сечение ученые называют эллипсом, оно разрезает конус наклонно, не срезая ничего от основания. Этот наклонный срез должен быть сделан с одной стороны выше, а с другой – ниже, так что с одной стороны он ближе к основанию, а с другой – дальше. Второе сечение образует в чертеже линию, парную стороне конуса ab или противоположной, по желанию; его ученые называют параболой. Третье сечение образует в чертеже отвесную линию, парную линии, проведенной из центра конуса вверх до его вершины; это они называют гиперболой. Я не умею назвать эти три линии по-немецки, но мы дадим им наименования, чтобы можно было их узнавать. Эллипс я буду называть яйцевидной линией, потому что он почти подобен яйцу. Парабола пусть называется зажигательной линией, ибо если сделать из нее зеркало, то оно будет зажигать. Гиперболу же я буду называть вилообразной линией.
Если теперь я захочу начертить яйцевидную линию – эллипс, я должен сначала начертить конус, показать на нем сечение и сделать внизу его план. Это я делаю следующим образом…[47]
Построение эллипса
Параболу следует делать подобным же образом, как и эллипс…[48]
Построение параболы
Если же ты хочешь сделать из вышеназванной параболы, или зажигательной линии, зажигательное зеркало, то сделай высоту до вершины конуса, из которого ты будешь вырезать параболу, не больше ширины его основания или пусть конус будет иметь форму правильного треугольника. Если ты затем рассечешь его по параболе и возьмешь эту линию и сделаешь по ней вогнутое зеркало и срежешь его немного спереди, то в точке, где соберутся преломившиеся лучи солнца, они будут очень сильно жечь. Чтобы понять это, ты должен прежде всего обратить внимание на то, что каждая видимая в зеркале вещь отражается от зеркала так же, как она туда попадает, но будет видна в стороне, противоположной той, где она в действительности находится. Поэтому левое становится правым и наоборот. Для лучшего понимания я нарисую это внизу. Итак, я провожу поперечную линию ab, под ней понимай плоское зеркало или воду, в которую ты смотришь. Затем с одной стороны наверху я устанавливаю свет с и ставлю напротив, с другой стороны – человечка, который смотрит в зеркало или воду. Если обозначить его глаз d, то глаз увидит свет не раньше, чем углы [наклона] светового луча с и линии луча зрения d окажутся равными. Это получается следующим образом. Если ты проведешь из точки е, где происходит отражение, отвесную линию вверх и поставишь циркуль одной ножкою в эту точку, другою же ножкою проведешь вверх от линии ab [дугу] и, измерив, найдешь, что луч света с и луч зрения d находятся на одинаковом расстоянии от отвесной линии, то это и будет точка, в которой можно увидеть свет. Если же теперь твое зрение будет направлено через зеркало вниз, то пересечение опущенной из верхнего света с вниз отвесной линии и линии d покажет, на какой глубине будет виднеться свет в воде или в зеркале. Сходным же образом в соответствии со своей природой перекрещиваются лучи солнца в сделанном из линии параболы зеркале, причем все они, выходя из зеркала, собираются в одной точке и сильно жгут, а в чем причина этого, показали математики; кто захочет, может это прочитать. Здесь ты увидишь нарисованным это мое предыдущее объяснение…[49]
Построение формы зажигательного зеркала
И как я здесь ранее обещал, я начертил некоторые линии, но можно начертить еще множество других для всяких надобностей, и из них можно сделать удивительные вещи. И кто поразмыслит сам о предыдущем и попробует сделать своими руками, тот извлечет из этого пользу и пойдет дальше.
Но чтобы сделать это понятным юношам для их практической работы, я изображу для них точку прикосновением пера и напишу рядом слово «точка», дабы ее обозначить: точка • Если же теперь протянуть эту точку от ее первоначального места до другого конца, то это называется линией, и эта линия представляет собой длину без всякой толщины и ширины и может быть протянута сколь угодно далеко. Эту линию я нарисую здесь пером в виде прямого штриха и напишу на ней название «линия»: линия, дабы через посредство прямой черты можно было постигнуть разумом невидимую линию, ибо таким путем внутреннее понятие находит выражение во внешнем произведении. Поэтому я намереваюсь рисовать рядом все вещи, которые я буду описывать в этой книжечке, чтобы юноши видели все, что я делаю, изображенным перед глазами и тем лучше бы это поняли. Теперь следует заметить, что линии могут быть проведены различным образом, и особенно [важны] три линии, из которых можно многое сделать. Это, во-первых, прямая линия, во-вторых, линия окружности и затем еще кривая линия, которая делается от руки или может быть проведена от точки к точке, в чем некоторые проявляют искусство, выводя из нее много различий. И я не знаю лучшего наименования для такой кривой линии, нежели извилистая линия[41], ибо она может быть проведена туда и сюда, как угодно. И чтобы это было вполне понятно, я нарисовал их здесь внизу.
Типы линий
Следует заметить, что имевшиеся выше в виду три линии могут быть проведены длинными или короткими. И если стремиться достигнуть этого, не будучи стесненным временем, то прямая линия может быть продолжена бесконечно вовне или же она может быть представлена наименьшей. Ее можно применять трояким образом: как отвесную, поперечную[42] или косую. Линию же окружности можно употреблять целиком или частями. И она не может быть сделана более длинной, чем от начала и снова до того же места, где она началась; если же провести ее дальше, она опять вернется на прежний путь. Эта линия окружности может быть сделана большой или малой. Если же заставить ее подниматься вверх или опускаться вниз, то из нее получится извилистая линия. Извилистую же линию можно изменять бесконечно – в длину, вдаль, вверх или вниз, – благодаря чему можно сделать много удивительных вещей. И если, как известно, можно сделать много редкостных вещей при помощи одной только линии – о чем ничего не ведают те, кто об этом не размышляет, и здесь тоже об этом будет мало сказано, – нетрудно представить себе, чтó можно сделать с помощью двух, трех или многих линий, и особенно если применять вместе все три типа линий со всеми их разновидностями. Ибо можно сделать много таких линий, которые не могут быть проведены без помощи других. Также следует знать, что такое параллельные линии, называемые так по-латыни, которые я на нашем немецком языке буду называть парными[43]. Это такие линии, которые всегда идут на одном расстоянии друг от друга, будь то прямые, извилистые или линии окружности…[44]
Параллельные линии
Спиральную линию[45] я вычерчиваю так: я провожу отвесную линию, которую обозначаю вверху а и внизу b, и делю ее тремя точками с, d, e на четыре равные части. Затем я делю часть de точечкой f на две равные части. Затем я ставлю слева от линии букву g, справа h. Затем я беру циркуль и ставлю его одной ножкой в точку d, а другой в точку а и провожу линию на стороне h до точки b внизу. Затем я беру циркуль и ставлю его одной ножкой в точку f, а другой в точку с и провожу на стороне g линию вниз до точки b. Снова я беру циркуль и ставлю его одной ножкой в точку d и провожу на стороне h другой ножкой линию из точки с до точки е. Затем я ставлю циркуль одной ножкой в точку f, а другой в точку d и провожу на стороне g линию до точки е. Затем я ставлю циркуль на линию аb одной ножкой посередине df, а другой в точку d и провожу оттуда на стороне h линию до точки f. Итак, линия готова и употребляется для многих вещей, и среди прочего – для волюты капители. И чтобы это было более понятно, я провел здесь две поперечные линии из точек а и с от спиральной линии назад…[46]
Построение спирали
Эта линия употребляется для епископского посоха.
Эта линия употребляется для побега с листвой.
Древние показали, что можно сделать три рода сечений конуса, которые отличались бы друг от друга и не имели бы одинаковой с его основанием циркульной формы. Еще можно сделать сечение посередине конуса, которое будет иметь подобную конусу форму; его не принимают в расчет. Но я хочу научить построению первых трех сечений, каждое из которых дает особую линию, а также вычерчиванию этих линий. Первое сечение ученые называют эллипсом, оно разрезает конус наклонно, не срезая ничего от основания. Этот наклонный срез должен быть сделан с одной стороны выше, а с другой – ниже, так что с одной стороны он ближе к основанию, а с другой – дальше. Второе сечение образует в чертеже линию, парную стороне конуса ab или противоположной, по желанию; его ученые называют параболой. Третье сечение образует в чертеже отвесную линию, парную линии, проведенной из центра конуса вверх до его вершины; это они называют гиперболой. Я не умею назвать эти три линии по-немецки, но мы дадим им наименования, чтобы можно было их узнавать. Эллипс я буду называть яйцевидной линией, потому что он почти подобен яйцу. Парабола пусть называется зажигательной линией, ибо если сделать из нее зеркало, то оно будет зажигать. Гиперболу же я буду называть вилообразной линией.
Если теперь я захочу начертить яйцевидную линию – эллипс, я должен сначала начертить конус, показать на нем сечение и сделать внизу его план. Это я делаю следующим образом…[47]
Построение эллипса
Параболу следует делать подобным же образом, как и эллипс…[48]
Построение параболы
Если же ты хочешь сделать из вышеназванной параболы, или зажигательной линии, зажигательное зеркало, то сделай высоту до вершины конуса, из которого ты будешь вырезать параболу, не больше ширины его основания или пусть конус будет иметь форму правильного треугольника. Если ты затем рассечешь его по параболе и возьмешь эту линию и сделаешь по ней вогнутое зеркало и срежешь его немного спереди, то в точке, где соберутся преломившиеся лучи солнца, они будут очень сильно жечь. Чтобы понять это, ты должен прежде всего обратить внимание на то, что каждая видимая в зеркале вещь отражается от зеркала так же, как она туда попадает, но будет видна в стороне, противоположной той, где она в действительности находится. Поэтому левое становится правым и наоборот. Для лучшего понимания я нарисую это внизу. Итак, я провожу поперечную линию ab, под ней понимай плоское зеркало или воду, в которую ты смотришь. Затем с одной стороны наверху я устанавливаю свет с и ставлю напротив, с другой стороны – человечка, который смотрит в зеркало или воду. Если обозначить его глаз d, то глаз увидит свет не раньше, чем углы [наклона] светового луча с и линии луча зрения d окажутся равными. Это получается следующим образом. Если ты проведешь из точки е, где происходит отражение, отвесную линию вверх и поставишь циркуль одной ножкою в эту точку, другою же ножкою проведешь вверх от линии ab [дугу] и, измерив, найдешь, что луч света с и луч зрения d находятся на одинаковом расстоянии от отвесной линии, то это и будет точка, в которой можно увидеть свет. Если же теперь твое зрение будет направлено через зеркало вниз, то пересечение опущенной из верхнего света с вниз отвесной линии и линии d покажет, на какой глубине будет виднеться свет в воде или в зеркале. Сходным же образом в соответствии со своей природой перекрещиваются лучи солнца в сделанном из линии параболы зеркале, причем все они, выходя из зеркала, собираются в одной точке и сильно жгут, а в чем причина этого, показали математики; кто захочет, может это прочитать. Здесь ты увидишь нарисованным это мое предыдущее объяснение…[49]
Построение формы зажигательного зеркала
И как я здесь ранее обещал, я начертил некоторые линии, но можно начертить еще множество других для всяких надобностей, и из них можно сделать удивительные вещи. И кто поразмыслит сам о предыдущем и попробует сделать своими руками, тот извлечет из этого пользу и пойдет дальше.
Из книги II
Показав выше, как следует вычерчивать некоторые линии, я хочу теперь перейти, как я обещал в начале, к планам, или плоскостям, и научить делать некоторые из этих фигур.
Чтобы было понятно, что такое план, или плоская фигура, то это такая вещь, которая, будучи ограничена и отделена линиями, не заключает в себе никакого тела. Такие фигуры образуются частью прямыми, частью кривыми, а некоторые и прямыми, и кривыми линиями вместе. И подобно тому, как линии ограничивают поверхности, таким же образом поверхности ограничивают тела…[50]
Если хотят воспользоваться линиями окружности, располагая их на полу или на стене[51], можно сочетать их друг с другом двояким образом: во-первых, при посредстве прямоугольных квадратов, во-вторых, при посредстве ромбов. В первом случае сделай правильный квадрат с равными сторонами и углами и раздели его четырьмя парными линиями, отвесными и поперечными, на девять маленьких квадратов и помести в середине каждого точку; и возьми циркуль и помещай его одною ножкою в эти точки одну за другой, другую же ножку открой на такое расстояние, чтобы она коснулась в каждом квадрате всех четырех сторон, и прочерти ею. Тогда каждая окружность коснется четырех других, а между каждыми четырьмя окружностями останутся везде вырезанные вогнутые четырехугольные поля. Во втором случае окружности сочетаются в ромбах, тогда всякий раз между тремя окружностями останутся вырезанные вогнутые треугольные поля. Сделай это следующим образом. Начерти прямоугольник 1, 2, 3, 4 высотою в четыре правильных треугольника, стоящих друг на друге сторонами и вершинами, а шириною в три таковых же, касающихся друг друга углами так, чтобы весь прямоугольник содержал двадцать четыре треугольника – половин и целых, – и обозначь треугольники возле отрезающих их поперечных линий в их углах а, b, с – до r. Затем помещай циркуль одной ножкой в обозначенные буквами точки, другую же ножку открой на половину длины стороны треугольника и проведи из каждой обозначенной буквой точки окружность. Тогда получится семь полных окружностей и десять половинных, что составит двенадцать полных окружностей. И если поместить много таких окружностей друг возле друга, то всегда шесть из них будут касаться седьмой.
Сочетание окружностей в квадратах и ромбах
Можно также различными способами переплетать циркульные линии и делать из этого много вещей. Я покажу из них только один способ или три одного рода, из чего можно вывести все дальнейшее самому. Я описываю окружность из центра а, разделяю ее двенадцатью точками на равные части и провожу из каждой точки циркулем, раскрытым на неизменное расстояние, окружность, касающуюся центра а. Тогда двенадцать окружностей будут пересекать центр тринадцатой а. Затем я провожу внутри большой окружности из центра а еще четыре окружности, которые проходят через точки пересечения прежних и обозначены а, b, с, d, e и т. д.
Переплетение окружностей
Кто захочет вписать в окружность шестиконечную звезду, тот пусть сделает ее с помощью раскрытого на неизменное расстояние циркуля следующим образом. Опиши из центра а окружность и поставь одну ножку циркуля в точку b в верхней части окружности и проведи другой ножкой циркуля круглую черту через центр а от одного конца окружности до другого, там поставь g и с. Затем поставь одну ножку циркуля в точку g, другою проведи линию из точки b через центр а до окружности. Там поставь f. Затем поставь циркуль одной ножкою в точку с и прочерти другою ножкою из точки b через а до окружности, там поставь d. Затем поставь циркуль одной ножкою в точку d и прочерти другою из с через а до окружности, там поставь е. Затем поставь циркуль одной ножкою в точку е и прочерти другою из точки f через а в d. Затем поставь циркуль одной ножкою в точку f и прочерти другою ножкою из g через а в е, тогда это готово. Затем ты сдвигаешь ножки циркуля и проводишь маленькие окружности между буквами…[52]
Все это я далее нарисовал. И из этого ты можешь извлечь еще многое другое. Можно также вычертить много удивительных узоров, используя части окружности.
Построение шестиконечной звезды и других узоров
Теперь я намереваюсь показать сочетания некоторых многоугольных фигур, которые можно перенести на пол[53]. Вопервых, это треугольники; выше они уже были показаны вместе с окружностями, но я все же хочу нарисовать их здесь дальше без окружностей и научить сочетать их иным образом…[54]
Узоры из сочетаний треугольников
Если сочетать друг с другом правильные квадраты, то всякий раз получится одно и то же, с той разницей, что их можно располагать либо наискось, либо поперечно. Но их можно и смещать, как это делают каменотесы, связывая свои квадры, как нарисовано ниже.
Узоры из сочетаний квадратов
Узоры из сочетаний ромбов
Ромбы же, имеющие друг против друга по два широких и по два узких угла, можно сочетать друг с другом двояким образом. Во-первых, так, чтобы все они разделялись косыми крестообразными линиями. В другом случае прислони два из них сторонами друг к другу, третий же вдвинь поперечно между ними, – тогда это будет выглядеть, как куб[55], – и таким же образом ставь их дальше друг на друга. Если соединить восемь ромбов их острыми углами, то получится звезда. Это можно сделать и шестью и пятью, как нарисовано выше…[56]
Можно также соединять на плоскости различные фигуры – треугольники, квадраты, пятиугольники, шестиугольники, семиугольники и восьмиугольники, из которых можно делать много удивительных вещей для деревянных и каменных полов, как было указано выше. Также можно сочетать неправильные и правильные фигуры, из чего можно сделать красивые и необыкновенные вещи, причем получаются удивительные линии и узоры. Если бы я должен был все это здесь показать, книжечка стала бы слишком длинной. Поэтому пусть каждый придумывает дальше сам…[57]
Чтобы было понятно, что такое план, или плоская фигура, то это такая вещь, которая, будучи ограничена и отделена линиями, не заключает в себе никакого тела. Такие фигуры образуются частью прямыми, частью кривыми, а некоторые и прямыми, и кривыми линиями вместе. И подобно тому, как линии ограничивают поверхности, таким же образом поверхности ограничивают тела…[50]
Если хотят воспользоваться линиями окружности, располагая их на полу или на стене[51], можно сочетать их друг с другом двояким образом: во-первых, при посредстве прямоугольных квадратов, во-вторых, при посредстве ромбов. В первом случае сделай правильный квадрат с равными сторонами и углами и раздели его четырьмя парными линиями, отвесными и поперечными, на девять маленьких квадратов и помести в середине каждого точку; и возьми циркуль и помещай его одною ножкою в эти точки одну за другой, другую же ножку открой на такое расстояние, чтобы она коснулась в каждом квадрате всех четырех сторон, и прочерти ею. Тогда каждая окружность коснется четырех других, а между каждыми четырьмя окружностями останутся везде вырезанные вогнутые четырехугольные поля. Во втором случае окружности сочетаются в ромбах, тогда всякий раз между тремя окружностями останутся вырезанные вогнутые треугольные поля. Сделай это следующим образом. Начерти прямоугольник 1, 2, 3, 4 высотою в четыре правильных треугольника, стоящих друг на друге сторонами и вершинами, а шириною в три таковых же, касающихся друг друга углами так, чтобы весь прямоугольник содержал двадцать четыре треугольника – половин и целых, – и обозначь треугольники возле отрезающих их поперечных линий в их углах а, b, с – до r. Затем помещай циркуль одной ножкой в обозначенные буквами точки, другую же ножку открой на половину длины стороны треугольника и проведи из каждой обозначенной буквой точки окружность. Тогда получится семь полных окружностей и десять половинных, что составит двенадцать полных окружностей. И если поместить много таких окружностей друг возле друга, то всегда шесть из них будут касаться седьмой.
Сочетание окружностей в квадратах и ромбах
Можно также различными способами переплетать циркульные линии и делать из этого много вещей. Я покажу из них только один способ или три одного рода, из чего можно вывести все дальнейшее самому. Я описываю окружность из центра а, разделяю ее двенадцатью точками на равные части и провожу из каждой точки циркулем, раскрытым на неизменное расстояние, окружность, касающуюся центра а. Тогда двенадцать окружностей будут пересекать центр тринадцатой а. Затем я провожу внутри большой окружности из центра а еще четыре окружности, которые проходят через точки пересечения прежних и обозначены а, b, с, d, e и т. д.
Переплетение окружностей
Кто захочет вписать в окружность шестиконечную звезду, тот пусть сделает ее с помощью раскрытого на неизменное расстояние циркуля следующим образом. Опиши из центра а окружность и поставь одну ножку циркуля в точку b в верхней части окружности и проведи другой ножкой циркуля круглую черту через центр а от одного конца окружности до другого, там поставь g и с. Затем поставь одну ножку циркуля в точку g, другою проведи линию из точки b через центр а до окружности. Там поставь f. Затем поставь циркуль одной ножкою в точку с и прочерти другою ножкою из точки b через а до окружности, там поставь d. Затем поставь циркуль одной ножкою в точку d и прочерти другою из с через а до окружности, там поставь е. Затем поставь циркуль одной ножкою в точку е и прочерти другою из точки f через а в d. Затем поставь циркуль одной ножкою в точку f и прочерти другою ножкою из g через а в е, тогда это готово. Затем ты сдвигаешь ножки циркуля и проводишь маленькие окружности между буквами…[52]
Все это я далее нарисовал. И из этого ты можешь извлечь еще многое другое. Можно также вычертить много удивительных узоров, используя части окружности.
Построение шестиконечной звезды и других узоров
Теперь я намереваюсь показать сочетания некоторых многоугольных фигур, которые можно перенести на пол[53]. Вопервых, это треугольники; выше они уже были показаны вместе с окружностями, но я все же хочу нарисовать их здесь дальше без окружностей и научить сочетать их иным образом…[54]
Узоры из сочетаний треугольников
Если сочетать друг с другом правильные квадраты, то всякий раз получится одно и то же, с той разницей, что их можно располагать либо наискось, либо поперечно. Но их можно и смещать, как это делают каменотесы, связывая свои квадры, как нарисовано ниже.
Узоры из сочетаний квадратов
Узоры из сочетаний ромбов
Ромбы же, имеющие друг против друга по два широких и по два узких угла, можно сочетать друг с другом двояким образом. Во-первых, так, чтобы все они разделялись косыми крестообразными линиями. В другом случае прислони два из них сторонами друг к другу, третий же вдвинь поперечно между ними, – тогда это будет выглядеть, как куб[55], – и таким же образом ставь их дальше друг на друга. Если соединить восемь ромбов их острыми углами, то получится звезда. Это можно сделать и шестью и пятью, как нарисовано выше…[56]
Можно также соединять на плоскости различные фигуры – треугольники, квадраты, пятиугольники, шестиугольники, семиугольники и восьмиугольники, из которых можно делать много удивительных вещей для деревянных и каменных полов, как было указано выше. Также можно сочетать неправильные и правильные фигуры, из чего можно сделать красивые и необыкновенные вещи, причем получаются удивительные линии и узоры. Если бы я должен был все это здесь показать, книжечка стала бы слишком длинной. Поэтому пусть каждый придумывает дальше сам…[57]
Из книги III
Показав выше некоторые из плоских фигур, я намереваюсь далее рассказать частично о телесных вещах[58]. Сначала я хочу вывести их из плоских фигур следующим образом.
Я беру прежде всего круглую поверхность abсd с центром а и поднимаю ее вверх, насколько я захочу, тогда из этого получится круглая колонна…[59]
Поскольку я начал раньше говорить о колоннах, я хочу написать об этом еще немного. Колонны могут быть сделаны весьма различных видов, и прочность их должна соответствовать тому, что они должны нести. Некоторые делают колонны с подножием и главою, другие же делают столбы, торчащие прямо из пола. Наверху же их разделяют на части соответственно аркам сводов или делают столб гладким и спускают на него лишенные украшения арки, причем иногда получается, что стержни, желобки и другие взаимно противоположные вещи перекрещиваются друг с другом[60]. Тот, кто делает это правильно, может достигнуть необычного и сильного впечатления, как хорошо известно искусным строителям. В подобных столбах могут быть применены различные сочетания желобков, стержней, полочек, выступающих и западающих углов[61]. Но все эти вещи должны быть тщательно вычерчены в плане и затем построены в соответствии с ним. Можно поставить друг против друга четыре столба одинаковой величины, каждый из которых имеет в плане свой особый узор. Когда они воздвигнуты и части столбов смыкаются в свод, это выглядит удивительно. Кто же предпочитает одинаковые вещи, пусть следует своему вкусу. Но поскольку многие, имея достаток, питают большую любовь к редкостным чередованиям в сводах, я хочу начертить ниже одно или два, чтобы те, кому они понравятся, могли ими воспользоваться. Кроме того, я сделаю или начерчу некоторые планы для столбов, а также несколько выступающих карнизов, которые применяются внизу столбов, над полом и бывают высокими или низкими[62]. В этих вещах пусть каждый сам обращает внимание на правильность пропорций, ибо, если бы надо было описать все эти вещи подряд, книжечка стала бы слишком длинной. Планы же, вычерчиваемые простыми штрихами, следует с самого начала выполнять в правильных размерах, как показывают нарисованные далее карнизы. Можно также применять в столбах сочетания всякого рода углов и украшать их как угодно.
Я беру прежде всего круглую поверхность abсd с центром а и поднимаю ее вверх, насколько я захочу, тогда из этого получится круглая колонна…[59]
Поскольку я начал раньше говорить о колоннах, я хочу написать об этом еще немного. Колонны могут быть сделаны весьма различных видов, и прочность их должна соответствовать тому, что они должны нести. Некоторые делают колонны с подножием и главою, другие же делают столбы, торчащие прямо из пола. Наверху же их разделяют на части соответственно аркам сводов или делают столб гладким и спускают на него лишенные украшения арки, причем иногда получается, что стержни, желобки и другие взаимно противоположные вещи перекрещиваются друг с другом[60]. Тот, кто делает это правильно, может достигнуть необычного и сильного впечатления, как хорошо известно искусным строителям. В подобных столбах могут быть применены различные сочетания желобков, стержней, полочек, выступающих и западающих углов[61]. Но все эти вещи должны быть тщательно вычерчены в плане и затем построены в соответствии с ним. Можно поставить друг против друга четыре столба одинаковой величины, каждый из которых имеет в плане свой особый узор. Когда они воздвигнуты и части столбов смыкаются в свод, это выглядит удивительно. Кто же предпочитает одинаковые вещи, пусть следует своему вкусу. Но поскольку многие, имея достаток, питают большую любовь к редкостным чередованиям в сводах, я хочу начертить ниже одно или два, чтобы те, кому они понравятся, могли ими воспользоваться. Кроме того, я сделаю или начерчу некоторые планы для столбов, а также несколько выступающих карнизов, которые применяются внизу столбов, над полом и бывают высокими или низкими[62]. В этих вещах пусть каждый сам обращает внимание на правильность пропорций, ибо, если бы надо было описать все эти вещи подряд, книжечка стала бы слишком длинной. Планы же, вычерчиваемые простыми штрихами, следует с самого начала выполнять в правильных размерах, как показывают нарисованные далее карнизы. Можно также применять в столбах сочетания всякого рода углов и украшать их как угодно.