— Очень признателен вам, сэр, что вы избавили меня от неприятностей с полицейским управлением. Я в полиции служу недавно и еще не выучил назубок все правила. Но мне все равно необходимо доложить об убийстве. И полисмен поспешил к телефонной будке. Через минуту он закричал на весь перрон:
— Все в порядке! Они поймали настоящего убийцу, когда тот бежал со станции. Еще раз благодарю вас, сэр!
— Должно быть, я непроходимо глуп, — заметил мистер Томпкинс, когда поезд снова тронулся, — но что означает вся эта неразбериха с одновременностью? Имеет ли одновременность вообще какой-нибудь смысл в этой стране?
— Имеет, — гласил ответ профессора, — но лишь в определенной степени, иначе я не смог бы помочь бедняге-носильщику. Дело в том, что если существует естественный предел скорости для движения любого тела или распространения любого сигнала, то одновременность в обычном смысле этого слова утрачивает смысл. Вам, вероятно, будет легче понять суть дела на следующем примере. Предположим, что у вас есть друг, живущий в далеком городе, с которым вы переписываетесь, и почтовый поезд, который отправляется раз в сутки, — самое быстрое средство сообщения. Предположим теперь, что какое-то происшествие случилось с вами в воскресенье и вы узнали, что аналогичное происшествие должно произойти с вашим другом. Ясно, что вы не можете уведомить его об этом раньше вторника. С другой стороны, если бы он знал заранее о том, что произойдет с вами, то последний день, когда он мог предупредить вас о грядущем событии, был четверг на прошлой неделе. Таким образом, в течение шести дней — с четверга на прошлой неделе до вторника на будущей неделе — ваш друг не способен ни повлиять на вашу судьбу в воскресенье, ни узнать о том, что с вами произошло. С точки зрения причинности он изъят из общения с вами, или, так сказать, экскоммуницирован.
— А что если ему послать телеграмму? — предложил мистер Томпкинс.
— Но ведь я предположил, что скорость почтового поезда — максимально возможная. Примерно так и обстоит дело в этой стране. У нас на родине максимальной скоростью является скорость света, и вы не можете послать сигнал, которой распространялся бы быстрее, чем радиосигнал.
— Пусть так, — согласился мистер Томпкинс, — но даже если ничто не может превзойти скорость почтового поезда, я все равно не понимаю, какое это имеет отношение к одновременности. Мой друг и я по-прежнему обедаем по воскресеньям в одно и то же время. Разве не так?
— Нет, не так. Ваше утверждение вообще не имело бы смысла: один наблюдатель согласился бы с тем, что вы с приятелем обедаете одновременно, а другие наблюдатели, производившие свои наблюдения из других поездов, утверждали бы, что вы обедаете по воскресеньям в то самое время, когда ваш друг завтракает по пятницам или ужинает по вторникам. Но никто не может наблюдать вас и вашего друга за одновременной трапезой, если вас разделяет временной интервал более трех дней.
— Но как это может быть? — воскликнул недоверчиво мистер Томпкинс.
— Происходит все это точно так, как вы, возможно, уяснили себе из моих лекций. Верхний предел скорости должен оставаться одним и тем же при наблюдении из различных движущихся систем отсчета. Приняв такое предположение, мы с необходимостью приходим к заключению о том, что…
Тут разговор, к сожалению, прервался, так как поезд прибыл на ту станцию, где мистеру Томпкинсу нужно было сходить.
Когда мистер Томпкинс спустился к завтраку на длинную застекленную веранду отеля на следующее утро после своего прибытия на побережье, его ожидал приятный сюрприз: на противоположном конце стола против него восседал старый профессор с красивой молодой девушкой, которая оживленно что-то говорила ему, часто поглядывая в ту сторону, где сидел мистер Томпкинс.
— Должно быть, я совершил большую глупость, когда заснул в поезде, — подумал мистер Томпкинс, сердясь на себя все больше и больше, — а профессор все еще помнит тот глупый вопрос, который я задал ему о молодеющих пассажирах. Но по крайней мере это позволяет мне продолжить знакомство с профессором и расспросить его о том, что мне по-прежнему непонятно.
Даже самому себе мистер Томпкинс не хотел признаться, что думает не только о профессоре, но и о его хорошенькой спутнице.
— Да, да, конечно, я помню, что видел вас на своих лекциях, — сказал профессор, когда они выходили из обеденного зала. — Познакомьтесь, это моя дочь Мод. Она занимается живописью.
— Рад познакомиться с вами, мисс Мод, — ответил мистер Томпкинс и подумал, что никогда не слышал более красивого имени. — Думаю, что здешние красоты дадут вам немало материала для ваших этюдов.
— Мод непременно покажет их вам когда-нибудь, — пообещал профессор. — А сейчас скажите мне лучше, много ли вы почерпнули из моей лекции?
— О да, очень много! Более того, я на себе прочувствовал все эти релятивистские сокращения материальных объектов и сумасшедшее поведение часов, когда побывал в городе, где скорость света составляла только километров десять в час.
— Жаль, что вы пропустили мою следующую лекцию о кривизне пространства и ее связи с силами ньютоновской гравитации, — задумчиво произнес профессор.
— Но здесь, на побережье, у нас хватит времени, и я надеюсь объяснить вам все это. Например, понимаете ли вы, в чем разница между положительной и отрицательной кривизной пространства?
— Папочка, — вмешалась мисс Мод, капризно надув губы, — если вы собираетесь снова беседовать о физике, то я лучше займусь этюдами.
— Хорошо, девочка, иди, — согласился профессор, опускаясь в легкое кресло. — Я вижу, что вы молодой человек, не очень сведущи в математике, но думаю, что удастся объяснить вам все очень просто. Для большей наглядности я буду говорить о поверхности. Представьте себе, что мистер Шелл (вы знаете, о ком я говорю, — это тот самый господин, который владеет бензозаправочными станциями «Шелл Ойл») решил как-то раз проследить за тем, чтобы его заправочные станции были равномерно распределены по территории какой-нибудь страны, например, Америки. Для этого мистер Шелл отдал правлению своей фирмы, расположенному где-то в центре страны (если я не ошибаюсь, многие склонны думать, что сердце Америки находится в Канзас-Сити), распоряжение сосчитать число станций на расстоянии сто, двести, триста и т. д. миль от центра. Со школьной скамьи мистер Шелл вынес воспоминания о том, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса, и ожидает, что в случае равномерного распределения заправочных станций число их в результате подсчетов будет возрастать, как последовательность чисел 1; 4; 9; 16 и т.д. Когда в правление «Шелл Ойл» стали поступать отчеты, глава фирмы к своему великому удивлению обнаружил, что число станций возрастает гораздо медленнее, например, как числа, образующие последовательность 1; 3,8; 8,5; 15,0 и т.д.
— Что за дьявольщина, — воскликнул мистер Шелл, — мои управляющие в Америке ничего не смыслят в своем деле! Ну скажите на милость, зачем им понадобилось сосредотачивать заправочные станции в окрестностях Канзас-Сити?
Прав ли мистер Шелл в своем заключении?
— В самом деле, прав ли он? — повторил мистер Томпкинс, мысли которого где-то витали.
— Мистер Шелл глубоко заблуждается, — мрачно изрек профессор. — Он упустил из виду, что поверхность Земли не плоская, а сферическая, а на сфере площадь, заключенная внутри круга данного радиуса, растет медленнее, чем на плоскости. Можете вы представить себе это наглядно? Нет? Тогда возьмите глобус и убедитесь сами в том, что я прав. Например, если вы находитесь на Северном полюсе, то окружность радиусом в половину меридиана есть не что иное, как экватор, а заключенная внутри нее площадь поверхности Земли есть площадь северного полушария. С увеличением радиуса площадь на поверхности сферы возрастает только вдвое, а не вчетверо, как было бы на плоскости. Теперь, надеюсь, ясно?
— О, да, — кивнул мистер Томпкинс, делая вид, будто он внимательно следит за объяснениями. — А что такое положительная или отрицательная кривизна?
— У сферы кривизна считается положительной. Как вы видели на примере земного шара, положительная кривизна соответствует конечной поверхности, имеющей конечную площадь. Примером поверхности с отрицательной кривизной может служить седло.
— Седло? — переспросил мистер Томпкинс.
— Да, седло, или на поверхности Земли седлообразный перевал между двумя горными вершинами. Предположим, что некий ботаник обитает в горной хижине, расположенной на таком седловидном перевале, и занимается изучением плотности сосен, растущих вокруг его жилища. Подсчитав число сосен, растущих не далее ста, двухсот, трехсот и т. д. футов от хижины, он обнаружит, что число сосен возрастает быстрее, чем квадрат расстояния, поскольку на седловидной поверхности площадь, заключенная внутри данного радиуса, растет быстрее, чем на плоскости. О таких поверхностях говорят, что они обладают отрицательной кривизной. Если вы попытаетесь, растянув, наложить седловидную поверхность на плоскость, то вам придется сделать складки. Если же вы задумаете наложить на плоскость сферическую поверхность, то вам придется где-то проделать в ней дырочку.
— Кажется, я начинаю понимать, — задумчиво произнес мистер Томпкинс. — Вы хотите сказать, что седловидная поверхность бесконечная, хотя и искривленная.
— Вот именно! — одобрительно кивнул профессор. — Седловидная поверхность простирается во все стороны до бесконечности и нигде не замыкается. Разумеется, в моем примере с седловидным перевалом поверхность перестает быть поверхностью отрицательной кривизны, как только вы спускаетесь с гор, и переходит в искривленную поверхность земного шара с положительной кривизной. Но, разумеется, ничто не мешает вам вообразить поверхность, сохраняющую повсюду отрицательную кривизну.
— Но какое отношение имеет все это к искривленному трехмерному пространству?
— Самое непосредственное. Представьте себе, что какие-то ваши объекты равномерно распределены по всему пространству. Под равномерным я понимаю такое распределение, при котором расстояние между любыми соседними объектами всегда одно и то же. Предположим, что вы подсчитываете число объектов, расположенных не далее того или иного расстояния от вас. Если это число растет как квадрат расстояния, то пространство плоское. Если же число объектов растет медленнее или быстрее, то пространство обладает соответственно положительной или отрицательной кривизной.
— Значит, в случае пространства положительной кривизны объем, заключенный в пределах данного расстояния, меньше, а в случае пространства отрицательной кривизны — больше, чем в случае плоского пространства? — с удивлением спросил мистер Томпкинс.
— Вот именно! — улыбнулся профессор. — Я вижу, что теперь вы поняли меня правильно. Чтобы определить знак кривизны той огромной Вселенной, в которой мы живем, необходимо лишь производить такие подсчеты удаленных объектов. Большие туманности, о которых вы, возможно, слышали, рассеяны равномерно в космическом пространстве, и их можно наблюдать вплоть до расстояний в несколько миллионов световых лет. Для исследования кривизны Вселенной это очень удобные объекты.
— И получается, что наша Вселенная конечна и замкнута?
— Видите ли, — ответил профессор, — в действительности эта проблема все еще не решена. В своих работах по космологии Эйнштейн утверждал, что наша Вселенная имеет конечные размеры, замкнута и не изменяется во времени. Однако в более поздней работе русского математика Ал. Фридмана было показано, что фундаментальные уравнения Эйнштейна допускают такую возможность, как расширение или сжатие Вселенной на более позднем этапе развития. Это математическое заключение было подтверждено американским астрономом Э. Хабблом, который, используя стодюймовый телескоп обсерватории Маунт Вилсон, обнаружил, что галактики разлетаются, т.е. наша Вселенная расширяется. Существует, однако, все еще нерешенная проблема относительно того, будет ли это расширение продолжаться неограниченно или радиус Вселенной достигнет своего максимального значения, после чего в отдаленном будущем расширение сменится сжатием. Ответ на этот вопрос могут дать только более подробные астрономические наблюдения.
Пока профессор говорил, вокруг стали происходить весьма необычные изменения: один конец коридора сжался и стал крохотным, сдавив всю стоявшую там мебель, зато другой конец расширился и продолжал увеличиваться в размерах, хотя уже сейчас, как показалось мистеру Томпкинсу, он мог вместить всю Вселенную. Ужасная мысль пронеслась в голове мистера Томпкинса: что если кусочек пространства с пляжем, где мисс Мод рисовала свои этюды, оторвался от основной части Вселенной? — Тогда, — подумал мистер Томпкинс, — я никогда не увижу ее снова!
Мистер Томпкинс бросился к выходу. Последнее, что он услышал, был голос профессора, кричавшего ему вслед:
— Осторожнее! Квантовая постоянная также сходит с ума!
Когда мистер Томпкинс достиг пляжа, ему показалось, что он переполнен. Тысячи девушек носились по всем направлениям, создавая дикую неразбериху.
— Как же я смогу найти мою Мод в этой толпе? — растерянно подумал мистер Томпкинс. Но приглядевшись, он заметил, что все девушки выглядели точно так же, как дочь профессора, и понял, что это необычайное сходство было игрой принципа неопределенности. В следующий момент волна аномально большой квантовой постоянной прошла, и перед мистером Томпкинсом на пляже оказалась мисс Мод с испуганным выражением в глазах.
— Ах, это вы! — вздохнула она с облегчением. — А мне показалось, что огромная толпа затопчет меня. Должно быть, я перегрелась на солнце и это мне померещилось. Подождите, пожалуйста, меня здесь, я только на минутку сбегаю в отель за шляпой.
— Нет-нет, мы не должны расставаться, — запротестовал мистер Томпкинс.
— Мне кажется, что скорость света также меняется. Вернувшись со шляпой, вы можете застать меня дряхлым стариком.
— Не говорите чепухи, — возразила девушка, но взяла мистера Томпкинса под руку. А на полпути к отелю новая волна неопределенности накрыла их, и мистер Томпкинс и его спутница оказались размазанными по всему берегу. Одновременно с окрестных холмов начала распространяться складка пространства, причудливо искажая очертания прибрежных скал и рыбацких домиков. Лучи Солнца, отраженные от интенсивного гравитационного поля, полностью исчезли за горизонтом, и мистер Томпкинс погрузился в кромешную тьму.
Прошла целая вечность, прежде чем столь милый его сердцу голос не привел его в чувство.
— О, я вижу мой папочка совсем усыпил вас своими разговорами о физике,
— прощебетала мисс Мод. — Не хотите ли вы пойти со мной поплавать? Вода сегодня просто великолепная.
Мистер Томпкинс подпрыгнул со своего легкого кресла, как на пружинах.
— Так это был только сон, — подумал он, когда они спускались к пляжу. — Или сон только теперь начинается?
— Все в порядке! Они поймали настоящего убийцу, когда тот бежал со станции. Еще раз благодарю вас, сэр!
— Должно быть, я непроходимо глуп, — заметил мистер Томпкинс, когда поезд снова тронулся, — но что означает вся эта неразбериха с одновременностью? Имеет ли одновременность вообще какой-нибудь смысл в этой стране?
— Имеет, — гласил ответ профессора, — но лишь в определенной степени, иначе я не смог бы помочь бедняге-носильщику. Дело в том, что если существует естественный предел скорости для движения любого тела или распространения любого сигнала, то одновременность в обычном смысле этого слова утрачивает смысл. Вам, вероятно, будет легче понять суть дела на следующем примере. Предположим, что у вас есть друг, живущий в далеком городе, с которым вы переписываетесь, и почтовый поезд, который отправляется раз в сутки, — самое быстрое средство сообщения. Предположим теперь, что какое-то происшествие случилось с вами в воскресенье и вы узнали, что аналогичное происшествие должно произойти с вашим другом. Ясно, что вы не можете уведомить его об этом раньше вторника. С другой стороны, если бы он знал заранее о том, что произойдет с вами, то последний день, когда он мог предупредить вас о грядущем событии, был четверг на прошлой неделе. Таким образом, в течение шести дней — с четверга на прошлой неделе до вторника на будущей неделе — ваш друг не способен ни повлиять на вашу судьбу в воскресенье, ни узнать о том, что с вами произошло. С точки зрения причинности он изъят из общения с вами, или, так сказать, экскоммуницирован.
— А что если ему послать телеграмму? — предложил мистер Томпкинс.
— Но ведь я предположил, что скорость почтового поезда — максимально возможная. Примерно так и обстоит дело в этой стране. У нас на родине максимальной скоростью является скорость света, и вы не можете послать сигнал, которой распространялся бы быстрее, чем радиосигнал.
— Пусть так, — согласился мистер Томпкинс, — но даже если ничто не может превзойти скорость почтового поезда, я все равно не понимаю, какое это имеет отношение к одновременности. Мой друг и я по-прежнему обедаем по воскресеньям в одно и то же время. Разве не так?
— Нет, не так. Ваше утверждение вообще не имело бы смысла: один наблюдатель согласился бы с тем, что вы с приятелем обедаете одновременно, а другие наблюдатели, производившие свои наблюдения из других поездов, утверждали бы, что вы обедаете по воскресеньям в то самое время, когда ваш друг завтракает по пятницам или ужинает по вторникам. Но никто не может наблюдать вас и вашего друга за одновременной трапезой, если вас разделяет временной интервал более трех дней.
— Но как это может быть? — воскликнул недоверчиво мистер Томпкинс.
— Происходит все это точно так, как вы, возможно, уяснили себе из моих лекций. Верхний предел скорости должен оставаться одним и тем же при наблюдении из различных движущихся систем отсчета. Приняв такое предположение, мы с необходимостью приходим к заключению о том, что…
Тут разговор, к сожалению, прервался, так как поезд прибыл на ту станцию, где мистеру Томпкинсу нужно было сходить.
Когда мистер Томпкинс спустился к завтраку на длинную застекленную веранду отеля на следующее утро после своего прибытия на побережье, его ожидал приятный сюрприз: на противоположном конце стола против него восседал старый профессор с красивой молодой девушкой, которая оживленно что-то говорила ему, часто поглядывая в ту сторону, где сидел мистер Томпкинс.
— Должно быть, я совершил большую глупость, когда заснул в поезде, — подумал мистер Томпкинс, сердясь на себя все больше и больше, — а профессор все еще помнит тот глупый вопрос, который я задал ему о молодеющих пассажирах. Но по крайней мере это позволяет мне продолжить знакомство с профессором и расспросить его о том, что мне по-прежнему непонятно.
Даже самому себе мистер Томпкинс не хотел признаться, что думает не только о профессоре, но и о его хорошенькой спутнице.
— Да, да, конечно, я помню, что видел вас на своих лекциях, — сказал профессор, когда они выходили из обеденного зала. — Познакомьтесь, это моя дочь Мод. Она занимается живописью.
— Рад познакомиться с вами, мисс Мод, — ответил мистер Томпкинс и подумал, что никогда не слышал более красивого имени. — Думаю, что здешние красоты дадут вам немало материала для ваших этюдов.
— Мод непременно покажет их вам когда-нибудь, — пообещал профессор. — А сейчас скажите мне лучше, много ли вы почерпнули из моей лекции?
— О да, очень много! Более того, я на себе прочувствовал все эти релятивистские сокращения материальных объектов и сумасшедшее поведение часов, когда побывал в городе, где скорость света составляла только километров десять в час.
— Жаль, что вы пропустили мою следующую лекцию о кривизне пространства и ее связи с силами ньютоновской гравитации, — задумчиво произнес профессор.
— Но здесь, на побережье, у нас хватит времени, и я надеюсь объяснить вам все это. Например, понимаете ли вы, в чем разница между положительной и отрицательной кривизной пространства?
— Папочка, — вмешалась мисс Мод, капризно надув губы, — если вы собираетесь снова беседовать о физике, то я лучше займусь этюдами.
— Хорошо, девочка, иди, — согласился профессор, опускаясь в легкое кресло. — Я вижу, что вы молодой человек, не очень сведущи в математике, но думаю, что удастся объяснить вам все очень просто. Для большей наглядности я буду говорить о поверхности. Представьте себе, что мистер Шелл (вы знаете, о ком я говорю, — это тот самый господин, который владеет бензозаправочными станциями «Шелл Ойл») решил как-то раз проследить за тем, чтобы его заправочные станции были равномерно распределены по территории какой-нибудь страны, например, Америки. Для этого мистер Шелл отдал правлению своей фирмы, расположенному где-то в центре страны (если я не ошибаюсь, многие склонны думать, что сердце Америки находится в Канзас-Сити), распоряжение сосчитать число станций на расстоянии сто, двести, триста и т. д. миль от центра. Со школьной скамьи мистер Шелл вынес воспоминания о том, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса, и ожидает, что в случае равномерного распределения заправочных станций число их в результате подсчетов будет возрастать, как последовательность чисел 1; 4; 9; 16 и т.д. Когда в правление «Шелл Ойл» стали поступать отчеты, глава фирмы к своему великому удивлению обнаружил, что число станций возрастает гораздо медленнее, например, как числа, образующие последовательность 1; 3,8; 8,5; 15,0 и т.д.
Прав ли мистер Шелл в своем заключении?
— В самом деле, прав ли он? — повторил мистер Томпкинс, мысли которого где-то витали.
— Мистер Шелл глубоко заблуждается, — мрачно изрек профессор. — Он упустил из виду, что поверхность Земли не плоская, а сферическая, а на сфере площадь, заключенная внутри круга данного радиуса, растет медленнее, чем на плоскости. Можете вы представить себе это наглядно? Нет? Тогда возьмите глобус и убедитесь сами в том, что я прав. Например, если вы находитесь на Северном полюсе, то окружность радиусом в половину меридиана есть не что иное, как экватор, а заключенная внутри нее площадь поверхности Земли есть площадь северного полушария. С увеличением радиуса площадь на поверхности сферы возрастает только вдвое, а не вчетверо, как было бы на плоскости. Теперь, надеюсь, ясно?
— О, да, — кивнул мистер Томпкинс, делая вид, будто он внимательно следит за объяснениями. — А что такое положительная или отрицательная кривизна?
— У сферы кривизна считается положительной. Как вы видели на примере земного шара, положительная кривизна соответствует конечной поверхности, имеющей конечную площадь. Примером поверхности с отрицательной кривизной может служить седло.
— Седло? — переспросил мистер Томпкинс.
— Да, седло, или на поверхности Земли седлообразный перевал между двумя горными вершинами. Предположим, что некий ботаник обитает в горной хижине, расположенной на таком седловидном перевале, и занимается изучением плотности сосен, растущих вокруг его жилища. Подсчитав число сосен, растущих не далее ста, двухсот, трехсот и т. д. футов от хижины, он обнаружит, что число сосен возрастает быстрее, чем квадрат расстояния, поскольку на седловидной поверхности площадь, заключенная внутри данного радиуса, растет быстрее, чем на плоскости. О таких поверхностях говорят, что они обладают отрицательной кривизной. Если вы попытаетесь, растянув, наложить седловидную поверхность на плоскость, то вам придется сделать складки. Если же вы задумаете наложить на плоскость сферическую поверхность, то вам придется где-то проделать в ней дырочку.
— Кажется, я начинаю понимать, — задумчиво произнес мистер Томпкинс. — Вы хотите сказать, что седловидная поверхность бесконечная, хотя и искривленная.
— Вот именно! — одобрительно кивнул профессор. — Седловидная поверхность простирается во все стороны до бесконечности и нигде не замыкается. Разумеется, в моем примере с седловидным перевалом поверхность перестает быть поверхностью отрицательной кривизны, как только вы спускаетесь с гор, и переходит в искривленную поверхность земного шара с положительной кривизной. Но, разумеется, ничто не мешает вам вообразить поверхность, сохраняющую повсюду отрицательную кривизну.
— Но какое отношение имеет все это к искривленному трехмерному пространству?
— Самое непосредственное. Представьте себе, что какие-то ваши объекты равномерно распределены по всему пространству. Под равномерным я понимаю такое распределение, при котором расстояние между любыми соседними объектами всегда одно и то же. Предположим, что вы подсчитываете число объектов, расположенных не далее того или иного расстояния от вас. Если это число растет как квадрат расстояния, то пространство плоское. Если же число объектов растет медленнее или быстрее, то пространство обладает соответственно положительной или отрицательной кривизной.
— Вот именно! — улыбнулся профессор. — Я вижу, что теперь вы поняли меня правильно. Чтобы определить знак кривизны той огромной Вселенной, в которой мы живем, необходимо лишь производить такие подсчеты удаленных объектов. Большие туманности, о которых вы, возможно, слышали, рассеяны равномерно в космическом пространстве, и их можно наблюдать вплоть до расстояний в несколько миллионов световых лет. Для исследования кривизны Вселенной это очень удобные объекты.
— И получается, что наша Вселенная конечна и замкнута?
— Видите ли, — ответил профессор, — в действительности эта проблема все еще не решена. В своих работах по космологии Эйнштейн утверждал, что наша Вселенная имеет конечные размеры, замкнута и не изменяется во времени. Однако в более поздней работе русского математика Ал. Фридмана было показано, что фундаментальные уравнения Эйнштейна допускают такую возможность, как расширение или сжатие Вселенной на более позднем этапе развития. Это математическое заключение было подтверждено американским астрономом Э. Хабблом, который, используя стодюймовый телескоп обсерватории Маунт Вилсон, обнаружил, что галактики разлетаются, т.е. наша Вселенная расширяется. Существует, однако, все еще нерешенная проблема относительно того, будет ли это расширение продолжаться неограниченно или радиус Вселенной достигнет своего максимального значения, после чего в отдаленном будущем расширение сменится сжатием. Ответ на этот вопрос могут дать только более подробные астрономические наблюдения.
Пока профессор говорил, вокруг стали происходить весьма необычные изменения: один конец коридора сжался и стал крохотным, сдавив всю стоявшую там мебель, зато другой конец расширился и продолжал увеличиваться в размерах, хотя уже сейчас, как показалось мистеру Томпкинсу, он мог вместить всю Вселенную. Ужасная мысль пронеслась в голове мистера Томпкинса: что если кусочек пространства с пляжем, где мисс Мод рисовала свои этюды, оторвался от основной части Вселенной? — Тогда, — подумал мистер Томпкинс, — я никогда не увижу ее снова!
Мистер Томпкинс бросился к выходу. Последнее, что он услышал, был голос профессора, кричавшего ему вслед:
— Осторожнее! Квантовая постоянная также сходит с ума!
Когда мистер Томпкинс достиг пляжа, ему показалось, что он переполнен. Тысячи девушек носились по всем направлениям, создавая дикую неразбериху.
— Как же я смогу найти мою Мод в этой толпе? — растерянно подумал мистер Томпкинс. Но приглядевшись, он заметил, что все девушки выглядели точно так же, как дочь профессора, и понял, что это необычайное сходство было игрой принципа неопределенности. В следующий момент волна аномально большой квантовой постоянной прошла, и перед мистером Томпкинсом на пляже оказалась мисс Мод с испуганным выражением в глазах.
— Ах, это вы! — вздохнула она с облегчением. — А мне показалось, что огромная толпа затопчет меня. Должно быть, я перегрелась на солнце и это мне померещилось. Подождите, пожалуйста, меня здесь, я только на минутку сбегаю в отель за шляпой.
— Нет-нет, мы не должны расставаться, — запротестовал мистер Томпкинс.
— Мне кажется, что скорость света также меняется. Вернувшись со шляпой, вы можете застать меня дряхлым стариком.
— Не говорите чепухи, — возразила девушка, но взяла мистера Томпкинса под руку. А на полпути к отелю новая волна неопределенности накрыла их, и мистер Томпкинс и его спутница оказались размазанными по всему берегу. Одновременно с окрестных холмов начала распространяться складка пространства, причудливо искажая очертания прибрежных скал и рыбацких домиков. Лучи Солнца, отраженные от интенсивного гравитационного поля, полностью исчезли за горизонтом, и мистер Томпкинс погрузился в кромешную тьму.
Прошла целая вечность, прежде чем столь милый его сердцу голос не привел его в чувство.
— О, я вижу мой папочка совсем усыпил вас своими разговорами о физике,
— прощебетала мисс Мод. — Не хотите ли вы пойти со мной поплавать? Вода сегодня просто великолепная.
Мистер Томпкинс подпрыгнул со своего легкого кресла, как на пружинах.
— Так это был только сон, — подумал он, когда они спускались к пляжу. — Или сон только теперь начинается?
Глава 4
Лекция профессора об искривленном пространстве, гравитации и вселенной
Леди и джентльмены!
Сегодня я намереваюсь рассмотреть проблему искривленного пространства и ее связь с явлениями гравитации. Не сомневаюсь, что каждый из вас без труда может представить себе искривленную линию (кривую) или искривленную поверхность, но при упоминании об искривленном трехмерном пространстве ваши лица вытягиваются и вы склонны думать, что это нечто весьма необычное и почти сверхъестественное. Почему искривленное пространство вызывает всеобщий «ужас»? Действительно ли понятие искривленного пространства труднее для понимания, чем понятие искривленной поверхности? Многие из вас, поразмыслив немного над этими вопросами, вероятно, скажут, что представить искривленное трехмерное пространство труднее по одной-единственной причине: мы не можем взглянуть на пространство «со стороны», как мы смотрим на искривленную поверхность шара, или, если обратиться к другому примеру, на такую особым образом изогнутую поверхность, как седло. Но те, кто так говорят, обрекают себя на незнание строго математического смысла кривизны, существенно отличающегося от общеупотребляемого значения этого слова. Мы, математики, называем поверхность искривленной, если свойства геометрических фигур, начерченных на ней, отличны от свойств фигур на плоскости, и измеряем кривизну отклонением от классических правил Евклида. Если вы начертите треугольник на плоском листе бумаги, то, как известно из элементарной геометрии, сумма его внутренних углов равна двум прямым. Вы можете изогнуть этот лист бумаги, придав ему форму цилиндра, конуса или какой-нибудь более сложной фигуры, но сумма углов начерченного на нем треугольника неизменно будет оставаться равной двум прямым углам.
Геометрия поверхности не меняется при этих деформациях и с точки зрения «внутренней» кривизны получающиеся поверхности (искривленные в обычном смысле) такие же плоские, как обычная плоскость. Но вы не можете наложить лист бумаги, не растягивая его, на поверхность сферы или седла, а если вы начертите треугольник на поверхности сферы (т.е. построите сферический треугольник), то простые теоремы евклидовой геометрии выполняться не будут. Например, треугольник, образованный северными половинами меридианов и заключенной между ними дугой экватора, имеет два прямых угла при основании и произвольный угол при вершине.
Возможно, вы удивитесь, когда узнаете, что на седловидной поверхности сумма углов треугольника, наоборот, всегда меньше двух прямых.
Таким образом, чтобы определить кривизну поверхности, необходимо изучить геометрию на этой поверхности. Взгляд же извне на поверхность часто бывает ошибочным. Глядя на поверхность извне, вы скорее всего отнесли бы поверхность цилиндра к тому же классу, что и поверхность обручального кольца. Между тем первая поверхность плоская, а вторая неизлечимо искривлена. Как только вы привыкните к этому новому строгому понятию кривизны, у вас не будет более никаких трудностей в понимании того, что имеют в виду физики, рассуждая о том, искривлено или плоско пространство, в котором мы живем. Проблема заключается только в выяснении того, подчиняются или не подчиняются обычным правилам евклидовой геометрии геометрические фигуры, построенные в физическом пространстве.
Но поскольку мы говорим о реальном физическом пространстве, нам необходимо прежде всего дать физическое определение терминов, используемых в геометрии, и, в частности, указать, что мы понимаем под прямыми, из которых построены фигуры.
Думаю, все вы знаете, что прямую чаще всего определяют как кратчайшее расстояние между двумя точками. Прямую можно построить, либо натянув нить между двумя точками, либо с помощью какого-нибудь эквивалентного, но более сложного процесса, установив опытным путем линию между двумя данными точками, вдоль которой минимальное число раз укладывается мерный стержень данной длины.
Чтобы показать, что результаты построения прямой с помощью такого метода зависят от физических условий, представим себе большую круглую платформу, равномерно вращающуюся вокруг своей оси [3], и пусть экспериментатор Э2 пытается найти кратчайшее расстояние между двумя точками на краю платформы. У экспериментатора имеется коробка с огромным числом стержней, каждый длиной 5 дюймов, и он пытается выложить из минимального числа этих стержней линию, соединяющую две данные точки А и В. Если бы платформа не вращалась, то наш экспериментатор расположил бы стержни вдоль штриховой линии между точками А и В. Но из-за вращения платформы его мерные стержни претерпевают релятивистское сокращение, о котором я рассказал вам в моей предыдущей лекции, причем те из них, которые расположены ближе к краю платформы (и, следовательно, обладают большими линейными скоростями), сокращаются сильнее, чем стержни, расположенные ближе к центру. Ясно, что для того чтобы каждый стержень покрывал как можно большее расстояние, стержни необходимо располагать как можно ближе к центру. Но поскольку оба конца линии закреплены на краю платформы, сдвигать все стержни от середины линии слишком близко к центру невыгодно.
В результате наш физик достигнет некоего компромисса между этими двумя условиями, и кратчайшее расстояние будет в конце концов представлено кривой, слегка выпуклой в сторону центра.
Если наш экспериментатор вместо отдельных стержней натянет между двумя данными точками А и В нить, то результат, как нетрудно понять, получится прежним, поскольку каждый отрезок нити претерпевает такое же релятивистское сокращение, как отдельные стержни. Я хочу особо подчеркнуть, что релятивистская деформация натянутой нити, происходящая, когда платформа начинает вращаться, не имеет ничего общего с обычными эффектами центробежной силы. Релятивистская деформация остается неизменной, как бы сильно ни была натянута нить, не говоря уже о том, что обычная центробежная сила действует в противоположном направлении.
Если наблюдатель, находящийся на платформе, вздумает проверить результат своих построений, сравнив полученную «прямую» с лучом света, то он обнаружит, что свет действительно распространяется вдоль построенной им линии. Разумеется, для наблюдателей, стоящих у платформы, луч света вообще не будет искривлен. Они будут интерпретировать результаты движущегося наблюдателя путем суперпозиции, или наложения, вращения платформы и прямолинейного распространения света. Они скажут вам, что если вы нанесете царапину на вращающуюся граммофонную пластинку, двинув рукой по прямой, то царапина на пластинке, конечно же, будет искривленной.
Но для наблюдателя, находящегося на вращающейся платформе, название «прямая» для построенной им кривой вполне разумно: эта кривая дает кратчайшее расстояние и совпадает с лучом света в системе отсчета нашего наблюдателя. Предположим, что он выбрал на краю платформы три точки и соединил их прямыми, построив тем самым треугольник. Сумма углов в этом треугольнике меньше двух прямых, из чего наш наблюдатель заключает (и совершенно справедливо), что пространство вокруг него искривлено.
Рассмотрим другой пример. Предположим, что два других наблюдателя на платформе (Э3 и Э4) решили оценить число пи, измеряя длину окружности платформы и ее диаметр. На мерный стержень наблюдателя Э3 вращение не влияет, поскольку движение стержня всегда перпендикулярно его длине. С другой стороны, мерный стержень наблюдателя Э4 всегда будет сокращен, и для длины окружности платформы этот наблюдатель получит большее значение, чем в случае невращающейся платформы. Деля результат, полученный наблюдателем 4, на результат, полученный наблюдателем 3, мы получим значение, превышающее значение пи, обычно приводимое в учебниках. Это также является следствием кривизны пространства.
Вращение влияет не только на измерения длин. Часы, расположенные на краю платформы, будут двигаться с большей скоростью и, как было показано в предыдущей лекции, их ход замедлится по сравнению с ходом часов, установленных в центре платформы.
Если два экспериментатора (Э4 и Э5) сверят часы в центре платформы, а затем экспериментатор Э5 на какое-то время отнесет свои часы на край платформы, то по возвращении в центр он обнаружит, что его часы отстают по сравнению с часами, все время остававшимися в центре платформы. Из этого экспериментатор Э5 сделает вывод, что в различных местах платформы все физические процессы идут с различными скоростями. Предположим теперь, что наши экспериментаторы остановились и немного поразмыслили над причиной необычных результатов, только что полученных ими в геометрических измерениях. Предположим также, что вращающаяся платформа закрыта со всех сторон и представляет собой вращающуюся комнату без окон, чтобы экспериментаторы не могли наблюдать свое движение относительно окружающих предметов. Могли бы в этом случае экспериментаторы объяснить все полученные результаты чисто физическими условиями на платформе без учета ее вращения относительно «твердой основы», на которой установлена платформа?
Глядя на различия между физическими условиями на платформе и на «твердой основе», посредством которых можно было бы объяснить наблюдаемые изменения в геометрии, наши экспериментаторы сразу же заметили бы, что существует какая-то новая сила, которая стремится отбросить все тела от центра платформы к ее окружности. Вполне естественно, что они приписали бы наблюдаемые эффекты действию этой силы, утверждая, например, что из двух часов те будут идти медленнее, которые расположены дальше от центра в направлении новой силы.
Но действительно ли эта новая сила нова, т. е. не наблюдаема на «твердой основе»? Разве мы не наблюдаем, как все тела притягиваются к центру Земли силой, которая получила название силы тяжести? Разумеется, в одном случае мы имеем притяжение к окружности диска, в другом — притяжение к центру Земли, но это означает только различие в распределении силы. Нетрудно, однако, привести другой пример, когда «новая» сила, порождаемая неравномерным движением системы отсчета, выглядит точно так же, как сила тяжести в этой лекционной аудитории.
Сегодня я намереваюсь рассмотреть проблему искривленного пространства и ее связь с явлениями гравитации. Не сомневаюсь, что каждый из вас без труда может представить себе искривленную линию (кривую) или искривленную поверхность, но при упоминании об искривленном трехмерном пространстве ваши лица вытягиваются и вы склонны думать, что это нечто весьма необычное и почти сверхъестественное. Почему искривленное пространство вызывает всеобщий «ужас»? Действительно ли понятие искривленного пространства труднее для понимания, чем понятие искривленной поверхности? Многие из вас, поразмыслив немного над этими вопросами, вероятно, скажут, что представить искривленное трехмерное пространство труднее по одной-единственной причине: мы не можем взглянуть на пространство «со стороны», как мы смотрим на искривленную поверхность шара, или, если обратиться к другому примеру, на такую особым образом изогнутую поверхность, как седло. Но те, кто так говорят, обрекают себя на незнание строго математического смысла кривизны, существенно отличающегося от общеупотребляемого значения этого слова. Мы, математики, называем поверхность искривленной, если свойства геометрических фигур, начерченных на ней, отличны от свойств фигур на плоскости, и измеряем кривизну отклонением от классических правил Евклида. Если вы начертите треугольник на плоском листе бумаги, то, как известно из элементарной геометрии, сумма его внутренних углов равна двум прямым. Вы можете изогнуть этот лист бумаги, придав ему форму цилиндра, конуса или какой-нибудь более сложной фигуры, но сумма углов начерченного на нем треугольника неизменно будет оставаться равной двум прямым углам.
Геометрия поверхности не меняется при этих деформациях и с точки зрения «внутренней» кривизны получающиеся поверхности (искривленные в обычном смысле) такие же плоские, как обычная плоскость. Но вы не можете наложить лист бумаги, не растягивая его, на поверхность сферы или седла, а если вы начертите треугольник на поверхности сферы (т.е. построите сферический треугольник), то простые теоремы евклидовой геометрии выполняться не будут. Например, треугольник, образованный северными половинами меридианов и заключенной между ними дугой экватора, имеет два прямых угла при основании и произвольный угол при вершине.
Возможно, вы удивитесь, когда узнаете, что на седловидной поверхности сумма углов треугольника, наоборот, всегда меньше двух прямых.
Таким образом, чтобы определить кривизну поверхности, необходимо изучить геометрию на этой поверхности. Взгляд же извне на поверхность часто бывает ошибочным. Глядя на поверхность извне, вы скорее всего отнесли бы поверхность цилиндра к тому же классу, что и поверхность обручального кольца. Между тем первая поверхность плоская, а вторая неизлечимо искривлена. Как только вы привыкните к этому новому строгому понятию кривизны, у вас не будет более никаких трудностей в понимании того, что имеют в виду физики, рассуждая о том, искривлено или плоско пространство, в котором мы живем. Проблема заключается только в выяснении того, подчиняются или не подчиняются обычным правилам евклидовой геометрии геометрические фигуры, построенные в физическом пространстве.
Но поскольку мы говорим о реальном физическом пространстве, нам необходимо прежде всего дать физическое определение терминов, используемых в геометрии, и, в частности, указать, что мы понимаем под прямыми, из которых построены фигуры.
Чтобы показать, что результаты построения прямой с помощью такого метода зависят от физических условий, представим себе большую круглую платформу, равномерно вращающуюся вокруг своей оси [3], и пусть экспериментатор Э2 пытается найти кратчайшее расстояние между двумя точками на краю платформы. У экспериментатора имеется коробка с огромным числом стержней, каждый длиной 5 дюймов, и он пытается выложить из минимального числа этих стержней линию, соединяющую две данные точки А и В. Если бы платформа не вращалась, то наш экспериментатор расположил бы стержни вдоль штриховой линии между точками А и В. Но из-за вращения платформы его мерные стержни претерпевают релятивистское сокращение, о котором я рассказал вам в моей предыдущей лекции, причем те из них, которые расположены ближе к краю платформы (и, следовательно, обладают большими линейными скоростями), сокращаются сильнее, чем стержни, расположенные ближе к центру. Ясно, что для того чтобы каждый стержень покрывал как можно большее расстояние, стержни необходимо располагать как можно ближе к центру. Но поскольку оба конца линии закреплены на краю платформы, сдвигать все стержни от середины линии слишком близко к центру невыгодно.
В результате наш физик достигнет некоего компромисса между этими двумя условиями, и кратчайшее расстояние будет в конце концов представлено кривой, слегка выпуклой в сторону центра.
Если наш экспериментатор вместо отдельных стержней натянет между двумя данными точками А и В нить, то результат, как нетрудно понять, получится прежним, поскольку каждый отрезок нити претерпевает такое же релятивистское сокращение, как отдельные стержни. Я хочу особо подчеркнуть, что релятивистская деформация натянутой нити, происходящая, когда платформа начинает вращаться, не имеет ничего общего с обычными эффектами центробежной силы. Релятивистская деформация остается неизменной, как бы сильно ни была натянута нить, не говоря уже о том, что обычная центробежная сила действует в противоположном направлении.
Если наблюдатель, находящийся на платформе, вздумает проверить результат своих построений, сравнив полученную «прямую» с лучом света, то он обнаружит, что свет действительно распространяется вдоль построенной им линии. Разумеется, для наблюдателей, стоящих у платформы, луч света вообще не будет искривлен. Они будут интерпретировать результаты движущегося наблюдателя путем суперпозиции, или наложения, вращения платформы и прямолинейного распространения света. Они скажут вам, что если вы нанесете царапину на вращающуюся граммофонную пластинку, двинув рукой по прямой, то царапина на пластинке, конечно же, будет искривленной.
Но для наблюдателя, находящегося на вращающейся платформе, название «прямая» для построенной им кривой вполне разумно: эта кривая дает кратчайшее расстояние и совпадает с лучом света в системе отсчета нашего наблюдателя. Предположим, что он выбрал на краю платформы три точки и соединил их прямыми, построив тем самым треугольник. Сумма углов в этом треугольнике меньше двух прямых, из чего наш наблюдатель заключает (и совершенно справедливо), что пространство вокруг него искривлено.
Рассмотрим другой пример. Предположим, что два других наблюдателя на платформе (Э3 и Э4) решили оценить число пи, измеряя длину окружности платформы и ее диаметр. На мерный стержень наблюдателя Э3 вращение не влияет, поскольку движение стержня всегда перпендикулярно его длине. С другой стороны, мерный стержень наблюдателя Э4 всегда будет сокращен, и для длины окружности платформы этот наблюдатель получит большее значение, чем в случае невращающейся платформы. Деля результат, полученный наблюдателем 4, на результат, полученный наблюдателем 3, мы получим значение, превышающее значение пи, обычно приводимое в учебниках. Это также является следствием кривизны пространства.
Вращение влияет не только на измерения длин. Часы, расположенные на краю платформы, будут двигаться с большей скоростью и, как было показано в предыдущей лекции, их ход замедлится по сравнению с ходом часов, установленных в центре платформы.
Если два экспериментатора (Э4 и Э5) сверят часы в центре платформы, а затем экспериментатор Э5 на какое-то время отнесет свои часы на край платформы, то по возвращении в центр он обнаружит, что его часы отстают по сравнению с часами, все время остававшимися в центре платформы. Из этого экспериментатор Э5 сделает вывод, что в различных местах платформы все физические процессы идут с различными скоростями. Предположим теперь, что наши экспериментаторы остановились и немного поразмыслили над причиной необычных результатов, только что полученных ими в геометрических измерениях. Предположим также, что вращающаяся платформа закрыта со всех сторон и представляет собой вращающуюся комнату без окон, чтобы экспериментаторы не могли наблюдать свое движение относительно окружающих предметов. Могли бы в этом случае экспериментаторы объяснить все полученные результаты чисто физическими условиями на платформе без учета ее вращения относительно «твердой основы», на которой установлена платформа?
Глядя на различия между физическими условиями на платформе и на «твердой основе», посредством которых можно было бы объяснить наблюдаемые изменения в геометрии, наши экспериментаторы сразу же заметили бы, что существует какая-то новая сила, которая стремится отбросить все тела от центра платформы к ее окружности. Вполне естественно, что они приписали бы наблюдаемые эффекты действию этой силы, утверждая, например, что из двух часов те будут идти медленнее, которые расположены дальше от центра в направлении новой силы.
Но действительно ли эта новая сила нова, т. е. не наблюдаема на «твердой основе»? Разве мы не наблюдаем, как все тела притягиваются к центру Земли силой, которая получила название силы тяжести? Разумеется, в одном случае мы имеем притяжение к окружности диска, в другом — притяжение к центру Земли, но это означает только различие в распределении силы. Нетрудно, однако, привести другой пример, когда «новая» сила, порождаемая неравномерным движением системы отсчета, выглядит точно так же, как сила тяжести в этой лекционной аудитории.