Предположим, что космический корабль, предназначенный для межзвездных перелетов, свободно летит где-то в космическом пространстве настолько далеко от различных звезд, что внутри корабля сила тяжести не действует. Все предметы внутри космического корабля и сами путешествующие в нем экспериментаторы невесомы и свободно плавают в воздухе примерно так же, как Мишель Ардан и его спутники во время путешествия на Луну в знаменитом романе Жюля Верна.
Но вот двигатели включены и космический корабль приходит в движение, постепенно набирая скорость. Что происходит внутри него? Нетрудно видеть, что пока космический корабль ускоряется, все предметы внутри него обнаруживают стремление двигаться к полу, или, что то же, пол движется навстречу этим предметам. Например, если наш экспериментатор держит в руке яблоко и выпускает его, то яблоко продолжает двигаться (относительно окружающих корабль звезд) с постоянной скоростью — той самой, с которой двигался космический корабль, когда экспериментатор выпустил из рук яблоко. Но космический корабль ускоряется. Следовательно, пол кабины, двигаясь все быстрее и быстрее, в конце концов догонит яблоко и стукнет его. С этого момента яблоко останется в постоянном контакте с полом, будучи прижато к полу постоянно действующим ускорением.
Но для экспериментатора, находящегося внутри космического корабля, все выглядит иначе: яблоко «падает» с каким-то ускорением и, ударившись об пол, остается лежать на полу, придавленное к нему собственным весом. Бросая различные предметы, наш экспериментатор заметит, что все они падают с совершенно одинаковым ускорением (если пренебречь трением о воздух) и вспомнит, что это — закон свободного падения, открытый Галилео Галилеем. Но наш экспериментатор так и не сможет заметить ни малейшего различия между явлениями, происходящими в движущейся с ускорением кабине космического корабля и обычными явлениями гравитации. Он может пользоваться маятниковыми часами, ставить книги на полку, не боясь, что те улетят прочь, и повесить на гвоздь портрет Альберта Эйнштейна, который первым указал на эквивалентность ускорения системы отсчета и гравитации и на этой основе развил так называемую общую теорию относительности.
Но тут, как и в первом примере с вращающейся платформой, мы замечаем явления, оставшиеся неизвестными Галилею и Ньютону, когда те изучали гравитацию. Луч света, посланный через кабину, искривляется и освещает в зависимости от ускорения космического корабля каждый раз другое место экрана, висящего на противоположной стене. Разумеется, внешний наблюдатель интерпретирует это как суперпозицию равномерного прямолинейного движения света и ускоренного движения кабины, где производятся наблюдения. Геометрия также нарушается: сумма углов треугольника, образованного тремя лучами света, будет больше двух прямых углов, а отношение длины окружности к диаметру — больше числа пи. Мы рассмотрели лишь два из простейших примеров ускоренно движущихся систем отсчета, но установленная выше эквивалентность остается в силе для любого движения твердой или деформируемой системы отсчета.
Тут мы подходим к вопросу величайшей важности. Как мы только что видели, в ускоренно движущейся системе отсчета может наблюдаться ряд явлений, оставшихся неизвестными для обычного гравитационного поля. Существуют ли эти новые явления, такие как искривление луча света или замедление часов, и в гравитационных полях, порождаемых тяжелыми массами? Или, иначе говоря, существуют ли эффекты ускорения и эффекты гравитации, которые не только очень похожи, но и тождественны? Разумеется, ясно, что хотя с эвристической точки зрения весьма соблазнительно принять полное тождество этих двух разновидностей эффектов, окончательный ответ может быть дан только с помощью прямых экспериментов. И к величайшему удовлетворению нашего человеческого разума, требующего простоты и внутренней непротиворечивости законов Вселенной, эксперименты подтверждают существование новых явлений, о которых идет речь, и в обычном гравитационном поле. Разумеется, эффекты, предсказываемые гипотезой об эквивалентности полей ускорения и гравитационного поля, очень малы. Именно поэтому они и были открыты только после того, как ученые специально занялись их поиском.
Используя приведенный выше пример ускоренно движущихся систем отсчета, мы можем легко оценить два наиболее важных релятивистских гравитационных явления по порядку величины: изменение скорости хода часов и искривление луча света.
Рассмотрим сначала пример с вращающейся платформой. Из элементарной механики известно, что на частицу с единичной массой, расположенную на расстоянии r от центра, действует центробежная сила, вычисляемая по формуле
(1)
где омега — постоянная угловая скорость вращения нашей платформы.
Полная работа, совершаемая этой силой при движении частицы от центра до края платформы, равна величине
(2)
где R — радиус платформы.
Согласно сформулированному выше принципу эквивалентности мы должны отождествить центробежную силу F с силой тяжести на платформе, а работу W — с разностью значений гравитационного потенциала в центре и на краю платформы.
Напомним, что, как было показано в предыдущей лекции, часы, движущиеся со скоростью u, замедляют свой ход в
(3)
Если скорость u мала по сравнению со скоростью света с, то остальными членами можно пренебречь. По определению угловой скорости получаем r = R*омега, и «коэффициент замедления» можно представить в виде
(4)
Формула (4) показывает, как изменяется скорость хода часов в зависимости от разности значений гравитационного потенциала в местах расположения часов.
Если мы поместим одни часы у основания, а другие — на вершине Эйфелевой башни (высота башни 300 м), то разность значений гравитационного потенциала между ними будет так мала, что часы у подножия будут идти медленнее, чем часы на вершине башни, только в 0,99999999999997 раз.
С другой стороны, разность значений гравитационного потенциала между поверхностью Земли и поверхностью Солнца гораздо больше и порождает коэффициент замедления, равный 0,9999995, что может быть подтверждено высокоточными измерениями. Разумеется, никто не собирается помещать обычные часы на поверхность Солнца и наблюдать за их ходом! У физиков для этого имеются гораздо лучшие средства. С помощью спектроскопа мы можем наблюдать колебания различных атомов на поверхности Солнца и сравнивать их с периодами колебаний атомов тех же элементов, помещенных в пламя бунзеновской горелки в лаборатории. Колебания атомов на поверхности Солнца должны замедляться в число раз, задаваемое формулой (4), и поэтому испускаемый ими свет должен быть чуть более красноватым, чем в случае земных источников. Такое «красное смещение» действительно наблюдается в спектрах Солнца и нескольких других звезд, спектры которых легко поддаются измерениям, и результаты экспериментов согласуются со значением, которое дает наша теоретическая формула.
Таким образом, существование красного смещения доказало, что процессы на Солнце происходят действительно несколько медленнее, чем на Земле, из-за более высокого гравитационного потенциала на поверхности Солнца.
Чтобы измерить кривизну луча света в гравитационном поле, более удобно воспользоваться примером с космическим кораблем (с.51). Если l — расстояние от одной стенки кабины до другой, то время, за которое свет преодолевает это расстояние, определяется величиной
(5)
За это время космический корабль, двигаясь с ускорением g, пройдет расстояние L, величина которого может быть вычислена по формуле
(6)
известной из элементарной механики. Следовательно, угол, задающий изменение направления луча, есть величина порядка
(7)
Угол ф тем больше, чем больше расстояние l, проходимое светом в гравитационном поле, В формуле (7) ускорение g космического корабля может быть интерпретировано как ускорение силы тяжести. Если я посылаю луч света через эту аудиторию, то величину l можно считать примерно равной 1000 см. Ускорение силы тяжести g на поверхности Земли составляет 981 см/с2, и при с = 3 * 10^10 см/с мы получаем
(8)
Ясно, что при таких условиях наблюдать кривизну луча света заведомо невозможно. Но вблизи поверхности Солнца g = 27000 см/с2, а общий путь, проходимый светом в гравитационном поле Солнца, очень велик. Как показывают точные вычисления, отклонение луча света, проходящего вблизи поверхности Солнца, достигает величины 1,75». Такое отклонение наблюдали астрономы по смещению видимого положения звезд вблизи солнечного диска во время полного затмения Солнца. Вы видите, и в этом случае наблюдения подтверждают абсолютное тождество эффектов ускорения и гравитации.
Теперь мы можем снова вернуться к проблеме кривизны пространства. Как вы помните, используя наиболее разумное определение прямой, мы пришли к заключению, что геометрия, возникающая в неравномерно движущихся системах отсчета, отличается от геометрии Евклида и что пространства с такой геометрией следовало бы считать искривленными. Поскольку любое гравитационное поле эквивалентно некоторому ускорению системы отсчета, это означает, что любое пространство с гравитационным полем является искривленным пространством. Сделав еще один шаг вперед, можно утверждать, что гравитационное поле есть не что иное, как физическое проявление кривизны пространства. Таким образом, кривизна в каждой точке пространства должна определяться распределением масс, и вблизи тяжелых тел кривизна пространства должна быть максимальной. Я не могу вдаваться здесь в весьма сложную математическую теорию, описывающую свойства искривленного пространства и их зависимость от распределения масс. Упомяну только о том, что кривизна пространства, вообще говоря, описывается не одним числом, а десятью различными числами, общеизвестными под названием компонент гравитационного потенциала g и представляющими собой обобщение гравитационного поля классической физики, который ранее я обозначил W. Соответственно, кривизна в каждой точке описывается десятью различными радиусами кривизны, обычно обозначаемыми R. Эти радиусы кривизны связаны с распределением масс фундаментальным уравнением Эйнштейна
(9)
где T зависит от плотностей, скоростей и других свойств гравитационного поля, порождаемого тяжелыми массами.
В заключение лекции я хотел бы обратить ваше внимание на одно из наиболее интересных следствий из уравнения (9). Если мы рассмотрим пространство, равномерно заполненное массами, как, например, наше пространство заполнено звездами и звездными системами, то придем к заключению, что помимо случайно большой кривизны вблизи отдельных звезд пространство должно обладать вполне закономерной тенденцией к равномерному искривлению на больших расстояниях. С точки зрения математики существует несколько различных решений фундаментального уравнения Эйнштейна. Одни из них соответствуют пространству, которое замыкается и поэтому обладает конечным объемом, другие — бесконечному пространству, аналогичному седловидной поверхности, о которой я упоминал в начале этой лекции. Второе важное следствие из уравнения (9) состоит в том, что такие искривленные пространства должны находиться в состоянии непрестанного расширения или сжатия. Физически это означает, что заполняющие пространство частицы должны были бы разлетаться или, наоборот, слетаться. Кроме того, можно показать, что в случае замкнутых пространств с конечным объемом стадии расширения и сжатия должны были бы периодически чередоваться. Такие пространства получили название пульсирующих вселенных. С другой стороны, бесконечные «седловидные» пространства постоянно находятся в состоянии сжатия или расширения.
Ответ на вопрос о том, какое из этих различных математически возможных решений соответствует пространству, в котором мы живем, должен быть найден не физикой, а астрономией, и я не буду рассматривать его здесь. Упомяну лишь о том, что все имеющиеся астрономические данные вполне определенно свидетельствуют о том, что наша Вселенная расширяется, хотя вопрос о том, не сменится ли когда-нибудь расширение сжатием, а также о конечности или бесконечности Вселенной, остается пока открытым.
Но вот двигатели включены и космический корабль приходит в движение, постепенно набирая скорость. Что происходит внутри него? Нетрудно видеть, что пока космический корабль ускоряется, все предметы внутри него обнаруживают стремление двигаться к полу, или, что то же, пол движется навстречу этим предметам. Например, если наш экспериментатор держит в руке яблоко и выпускает его, то яблоко продолжает двигаться (относительно окружающих корабль звезд) с постоянной скоростью — той самой, с которой двигался космический корабль, когда экспериментатор выпустил из рук яблоко. Но космический корабль ускоряется. Следовательно, пол кабины, двигаясь все быстрее и быстрее, в конце концов догонит яблоко и стукнет его. С этого момента яблоко останется в постоянном контакте с полом, будучи прижато к полу постоянно действующим ускорением.
Но для экспериментатора, находящегося внутри космического корабля, все выглядит иначе: яблоко «падает» с каким-то ускорением и, ударившись об пол, остается лежать на полу, придавленное к нему собственным весом. Бросая различные предметы, наш экспериментатор заметит, что все они падают с совершенно одинаковым ускорением (если пренебречь трением о воздух) и вспомнит, что это — закон свободного падения, открытый Галилео Галилеем. Но наш экспериментатор так и не сможет заметить ни малейшего различия между явлениями, происходящими в движущейся с ускорением кабине космического корабля и обычными явлениями гравитации. Он может пользоваться маятниковыми часами, ставить книги на полку, не боясь, что те улетят прочь, и повесить на гвоздь портрет Альберта Эйнштейна, который первым указал на эквивалентность ускорения системы отсчета и гравитации и на этой основе развил так называемую общую теорию относительности.
Но тут, как и в первом примере с вращающейся платформой, мы замечаем явления, оставшиеся неизвестными Галилею и Ньютону, когда те изучали гравитацию. Луч света, посланный через кабину, искривляется и освещает в зависимости от ускорения космического корабля каждый раз другое место экрана, висящего на противоположной стене. Разумеется, внешний наблюдатель интерпретирует это как суперпозицию равномерного прямолинейного движения света и ускоренного движения кабины, где производятся наблюдения. Геометрия также нарушается: сумма углов треугольника, образованного тремя лучами света, будет больше двух прямых углов, а отношение длины окружности к диаметру — больше числа пи. Мы рассмотрели лишь два из простейших примеров ускоренно движущихся систем отсчета, но установленная выше эквивалентность остается в силе для любого движения твердой или деформируемой системы отсчета.
Тут мы подходим к вопросу величайшей важности. Как мы только что видели, в ускоренно движущейся системе отсчета может наблюдаться ряд явлений, оставшихся неизвестными для обычного гравитационного поля. Существуют ли эти новые явления, такие как искривление луча света или замедление часов, и в гравитационных полях, порождаемых тяжелыми массами? Или, иначе говоря, существуют ли эффекты ускорения и эффекты гравитации, которые не только очень похожи, но и тождественны? Разумеется, ясно, что хотя с эвристической точки зрения весьма соблазнительно принять полное тождество этих двух разновидностей эффектов, окончательный ответ может быть дан только с помощью прямых экспериментов. И к величайшему удовлетворению нашего человеческого разума, требующего простоты и внутренней непротиворечивости законов Вселенной, эксперименты подтверждают существование новых явлений, о которых идет речь, и в обычном гравитационном поле. Разумеется, эффекты, предсказываемые гипотезой об эквивалентности полей ускорения и гравитационного поля, очень малы. Именно поэтому они и были открыты только после того, как ученые специально занялись их поиском.
Используя приведенный выше пример ускоренно движущихся систем отсчета, мы можем легко оценить два наиболее важных релятивистских гравитационных явления по порядку величины: изменение скорости хода часов и искривление луча света.
Рассмотрим сначала пример с вращающейся платформой. Из элементарной механики известно, что на частицу с единичной массой, расположенную на расстоянии r от центра, действует центробежная сила, вычисляемая по формуле
где омега — постоянная угловая скорость вращения нашей платформы.
Полная работа, совершаемая этой силой при движении частицы от центра до края платформы, равна величине
где R — радиус платформы.
Согласно сформулированному выше принципу эквивалентности мы должны отождествить центробежную силу F с силой тяжести на платформе, а работу W — с разностью значений гравитационного потенциала в центре и на краю платформы.
Напомним, что, как было показано в предыдущей лекции, часы, движущиеся со скоростью u, замедляют свой ход в
Если скорость u мала по сравнению со скоростью света с, то остальными членами можно пренебречь. По определению угловой скорости получаем r = R*омега, и «коэффициент замедления» можно представить в виде
Формула (4) показывает, как изменяется скорость хода часов в зависимости от разности значений гравитационного потенциала в местах расположения часов.
Если мы поместим одни часы у основания, а другие — на вершине Эйфелевой башни (высота башни 300 м), то разность значений гравитационного потенциала между ними будет так мала, что часы у подножия будут идти медленнее, чем часы на вершине башни, только в 0,99999999999997 раз.
С другой стороны, разность значений гравитационного потенциала между поверхностью Земли и поверхностью Солнца гораздо больше и порождает коэффициент замедления, равный 0,9999995, что может быть подтверждено высокоточными измерениями. Разумеется, никто не собирается помещать обычные часы на поверхность Солнца и наблюдать за их ходом! У физиков для этого имеются гораздо лучшие средства. С помощью спектроскопа мы можем наблюдать колебания различных атомов на поверхности Солнца и сравнивать их с периодами колебаний атомов тех же элементов, помещенных в пламя бунзеновской горелки в лаборатории. Колебания атомов на поверхности Солнца должны замедляться в число раз, задаваемое формулой (4), и поэтому испускаемый ими свет должен быть чуть более красноватым, чем в случае земных источников. Такое «красное смещение» действительно наблюдается в спектрах Солнца и нескольких других звезд, спектры которых легко поддаются измерениям, и результаты экспериментов согласуются со значением, которое дает наша теоретическая формула.
Таким образом, существование красного смещения доказало, что процессы на Солнце происходят действительно несколько медленнее, чем на Земле, из-за более высокого гравитационного потенциала на поверхности Солнца.
Чтобы измерить кривизну луча света в гравитационном поле, более удобно воспользоваться примером с космическим кораблем (с.51). Если l — расстояние от одной стенки кабины до другой, то время, за которое свет преодолевает это расстояние, определяется величиной
За это время космический корабль, двигаясь с ускорением g, пройдет расстояние L, величина которого может быть вычислена по формуле
известной из элементарной механики. Следовательно, угол, задающий изменение направления луча, есть величина порядка
Угол ф тем больше, чем больше расстояние l, проходимое светом в гравитационном поле, В формуле (7) ускорение g космического корабля может быть интерпретировано как ускорение силы тяжести. Если я посылаю луч света через эту аудиторию, то величину l можно считать примерно равной 1000 см. Ускорение силы тяжести g на поверхности Земли составляет 981 см/с2, и при с = 3 * 10^10 см/с мы получаем
Ясно, что при таких условиях наблюдать кривизну луча света заведомо невозможно. Но вблизи поверхности Солнца g = 27000 см/с2, а общий путь, проходимый светом в гравитационном поле Солнца, очень велик. Как показывают точные вычисления, отклонение луча света, проходящего вблизи поверхности Солнца, достигает величины 1,75». Такое отклонение наблюдали астрономы по смещению видимого положения звезд вблизи солнечного диска во время полного затмения Солнца. Вы видите, и в этом случае наблюдения подтверждают абсолютное тождество эффектов ускорения и гравитации.
Теперь мы можем снова вернуться к проблеме кривизны пространства. Как вы помните, используя наиболее разумное определение прямой, мы пришли к заключению, что геометрия, возникающая в неравномерно движущихся системах отсчета, отличается от геометрии Евклида и что пространства с такой геометрией следовало бы считать искривленными. Поскольку любое гравитационное поле эквивалентно некоторому ускорению системы отсчета, это означает, что любое пространство с гравитационным полем является искривленным пространством. Сделав еще один шаг вперед, можно утверждать, что гравитационное поле есть не что иное, как физическое проявление кривизны пространства. Таким образом, кривизна в каждой точке пространства должна определяться распределением масс, и вблизи тяжелых тел кривизна пространства должна быть максимальной. Я не могу вдаваться здесь в весьма сложную математическую теорию, описывающую свойства искривленного пространства и их зависимость от распределения масс. Упомяну только о том, что кривизна пространства, вообще говоря, описывается не одним числом, а десятью различными числами, общеизвестными под названием компонент гравитационного потенциала g и представляющими собой обобщение гравитационного поля классической физики, который ранее я обозначил W. Соответственно, кривизна в каждой точке описывается десятью различными радиусами кривизны, обычно обозначаемыми R. Эти радиусы кривизны связаны с распределением масс фундаментальным уравнением Эйнштейна
где T зависит от плотностей, скоростей и других свойств гравитационного поля, порождаемого тяжелыми массами.
В заключение лекции я хотел бы обратить ваше внимание на одно из наиболее интересных следствий из уравнения (9). Если мы рассмотрим пространство, равномерно заполненное массами, как, например, наше пространство заполнено звездами и звездными системами, то придем к заключению, что помимо случайно большой кривизны вблизи отдельных звезд пространство должно обладать вполне закономерной тенденцией к равномерному искривлению на больших расстояниях. С точки зрения математики существует несколько различных решений фундаментального уравнения Эйнштейна. Одни из них соответствуют пространству, которое замыкается и поэтому обладает конечным объемом, другие — бесконечному пространству, аналогичному седловидной поверхности, о которой я упоминал в начале этой лекции. Второе важное следствие из уравнения (9) состоит в том, что такие искривленные пространства должны находиться в состоянии непрестанного расширения или сжатия. Физически это означает, что заполняющие пространство частицы должны были бы разлетаться или, наоборот, слетаться. Кроме того, можно показать, что в случае замкнутых пространств с конечным объемом стадии расширения и сжатия должны были бы периодически чередоваться. Такие пространства получили название пульсирующих вселенных. С другой стороны, бесконечные «седловидные» пространства постоянно находятся в состоянии сжатия или расширения.
Ответ на вопрос о том, какое из этих различных математически возможных решений соответствует пространству, в котором мы живем, должен быть найден не физикой, а астрономией, и я не буду рассматривать его здесь. Упомяну лишь о том, что все имеющиеся астрономические данные вполне определенно свидетельствуют о том, что наша Вселенная расширяется, хотя вопрос о том, не сменится ли когда-нибудь расширение сжатием, а также о конечности или бесконечности Вселенной, остается пока открытым.
Глава 5
Пульсирующая вселенная
Первый вечер своего пребывания в гостинице «На берегу Канала» [4] мистер Томпкинс завершил ужином в ресторане, разумеется, в обществе старого профессора и его очаровательной дочери. Ужин удался на славу. Профессор без умолку разглагольствовал о космологии, мисс Мод премило болтала об искусстве. Когда мистер Томпкинс добрался, наконец, до своего номера, он едва успел раздеться и, без сил рухнув на постель, с головой накрылся одеялом. В его усталом мозгу перемешались Боттичелли и Бонди, Сальвадор Дали и Фред Хойл, Леметр и Лафонтен. Поворочавшись некоторое время с боку на бок, мистер Томпкинс, наконец, забылся глубоким сном…
Среди ночи он вдруг проснулся от неожиданного ощущения: ему показалось, что вместо мягкого пружинного матраца он лежит на чем-то необычайно твердом. Мистер Томпкинс открыл глаза и увидел себя простертым на чем-то, показавшемся ему сначала скалой на берегу океана. Однако чуть позже он обнаружил, что действительно возлежит на скале, метров этак девять в поперечнике, которая без всякой видимой опоры висела в пространстве. Скала была местами покрыта зеленым мхом, а кое-где из расселин на ней росли небольшие кустики. Пространство вокруг скалы было освещено каким-то странным мерцающим светом и изрядно забито пылью. Мистеру Томпкинсу еще никогда не приходилось видеть, чтобы в воздухе было столько пыли, даже в фильмах, изображавших пыльные бури на Среднем Западе. Он сделал себе защитную маску из носового платка и почувствовал изрядное облегчение. Но в окружающем пространстве были вещи и поопаснее пыли. Очень часто камни размером с голову мистера Томпкинса и поболее проносились в пространстве у самой скалы и время от времени врезались в нее с непривычно глухим стуком. Но и это еще не все: обозревая окрестности, мистеру Томпкинсу приходилось изо всех сил цепляться за выступы скалы и прижиматься к ней, опасаясь сорваться со скалы и сгинуть в пыльной бездне. Но вскоре мистер Томпкинс набрался храбрости и попытался взобраться на край скалы, чтобы убедиться в том, что под ней действительно нет никакой опоры. Подползая к краю скалы, мистер Томпкинс к своему великому удивлению заметил, что не падает со скалы. Наоборот, его вес постоянно прижимает его к поверхности скалы, хотя сама скала невелика и он успел проползти уже не менее четверти ее охвата. Взглянув из-за груды камней на то место, которое расположено в аккурат под тем местом, где мистер Томпкинс первоначально оказался, он убедился, что скала свободно висит в пространстве и ее ничто не поддерживает. К своему великому изумлению, мистер Томпкинс внезапно увидел в мерцающем свете своего друга — старого профессора, стоявшего на скале, как показалось мистеру Томпкинсу, вниз головой и делавшего какие-то заметки в записной книжке.
Теперь до мистера Томпкинса медленно стало доходить, что происходит. Он вспомнил, как в детстве учил в школе, что Земля — огромная круглая скала, свободно обращающаяся в космическом пространстве вокруг Солнца. Мистер Томпкинс вспомнил также рисунок из школьного учебника: два антипода, стоящие на противоположных сторонах Земли. Ну конечно же! Его скала была небесным телом очень малых размеров, притягивавшим все к своей поверхности, а он сам и старый профессор составляли все население этой крохотной планеты. Размышления несколько утешили мистера Томпкинса: по крайней мере не было опасности свалиться со скалы в космическое пространство!
— Доброе утро, — произнес мистер Томпкинс, чтобы отвлечь внимание старого профессора от вычислений, в которые тот ушел с головой.
Профессор оторвал глаза от записной книжки.
— Здесь нет никаких утр, — сказал он, — нет Солнца, как нет ни одной светящейся звезды во всей этой вселенной. Хорошо еще, что на поверхности тел здесь не протекают кое-какие химические процессы, иначе я просто не смог бы наблюдать за расширением этого участка вселенной. — И с этими словами профессор снова уткнулся в свою записную книжку.
Мистер Томпкинс очень расстроился: подумать только, встретить единственное живое существо во всей вселенной и обнаружить, что оно так необщительно! Неожиданно мистеру Томпкинсу на помощь пришел один из мелких метеоритов: со стуком ударившись о записную книжку, он выбил ее из рук профессора и унес ее в космические дали, прочь от маленькой планеты.
— Больше вы ее не увидите, — заметил мистер Томпкинс, глядя, как записная книжка, становясь все меньше и меньше, скрылась из виду.
— Наоборот! — живо возразил профессор. — Видите ли, пространство, где мы с вами находимся, имеет не бесконечную протяженность. О да, да! Я знаю, что в школе вас учили, будто пространство бесконечно и две параллельные прямые никогда не пересекаются. Но это неверно ни для пространства, в котором обитает остальное человечество, ни для пространства, в котором находимся сейчас мы с вами. Разумеется, пространство, в котором живет все остальное человечество, очень велико, и, по оценкам ученых, простирается примерно на 10000000000000000000000 километров, что для заурядного ума вполне может сойти за бесконечность. Если бы я потерял свою записную книжку в той Вселенной, то ждать бы ее пришлось невероятно долго. Здесь же, где мы с вами находимся, ситуация совершенно иная. Как раз перед тем, как записная книжка была столь неожиданно вырвана из моих рук, я подсчитал, что это пространство имеет поперечник всего лишь около десяти километров, хотя и быстро расширяется. Думаю, что моя записная книжка вернется примерно через полчаса.
— Вы полагаете, — робко подал голос мистер Томпкинс, — что ваша записная книжка поведет себя, как бумеранг аборигенов Австралии, и, описав искривленную траекторию, упадет к вашим ногам?
— Ничего подобного, — возразил профессор. — Если хотите понять, что произойдет в действительности, подумайте о каком-нибудь древнем греке, который не знал, что Земля круглая. Предположим, что наш грек отдал кому-нибудь инструкции двигаться все время на север. Представьте себе его изумление, когда посланец вернется к нему с юга. Ведь наш древний грек не имеет ни малейшего понятия о кругосветном путешествии (говоря о путешествии вокруг света, я, конечно, имею в виду путешествие вокруг Земли) и будет пребывать в полной уверенности, что посланец сбился с истинного пути и, описав искривленный маршрут, вернулся в исходную точку. В действительности же его посланец все время двигался по кратчайшей линии, какую только можно провести на поверхности Земли, но, обойдя вокруг земного шара, вернулся в исходную точку с противоположной стороны. То же самое произойдет и с моей записной книжкой, если только по дороге она не столкнется с каким-нибудь камнем и не отклонится от правильного пути. Вот, возьмите этот бинокль. Может быть, вам удастся разглядеть ее.
Мистер Томпкинс поднес к глазам бинокль и, хотя пыль несколько затемняла общую картину, действительно разглядел записную книжку профессора, плывущую далеко от них в глубине космического пространства. Мистера Томпкинса несколько удивило, что все далекие предметы, в том числе и записная книжка, имеют розовый цвет.
— Ваша записная книжка возвращается, — воскликнул он чуть позже, — я вижу, как она увеличивается в размерах.
— Нет, — откликнулся профессор, — она все еще удаляется от нас. То, что вы видите, как она увеличивается в размерах, объясняется особым фокусирующим действием замкнутого сферического пространства на лучи света. Вернемся к нашему древнему греку. Если бы лучи света, например с помощью атмосферной рефракции, можно было заставить распространяться вдоль искривленной поверхности Земли, то наш грек, будь у него мощный бинокль, мог бы следить за своим посланцем на протяжении всего путешествия. Взглянув на глобус, вы заметите, что прямейшие линии на его поверхности — меридианы — сначала расходятся от одного полюса, но после прохождения через экватор начинают сходиться к противоположному полюсу. Если бы лучи света распространялись вдоль меридианов, то вы находясь, например, на одном полюсе, увидели, как посланец, удаляясь от вас, уменьшается в размерах только до тех пор, пока не пересечет экватор. Затем вы увидите, как он увеличивается в размерах, и вам будет казаться, что он возвращается, тогда как в действительности он будет двигаться все дальше и дальше от вас. Когда посланец достигнет противоположного полюса, вы увидите его в натуральную величину — таким, как если бы он стоял рядом с вами. Однако вы не могли бы коснуться его, как не могли бы потрогать изображение в сферическом зеркале. Опираясь на эту двумерную аналогию, вы можете теперь представить, что произойдет с лучами света в необычно искривленном трехмерном пространстве.
— Взгляните, — прервал себя на полуслове профессор, — изображение моей записной книжки совсем рядом.
Действительно, без всякого бинокля мистер Томпкинс мог видеть, что записная книжка находилась не более чем в метре от них. Но выглядела она весьма странно! Контуры ее были не резкими, а сильно размытыми, формулы, которыми профессор исписал странички, были едва различимы, а вся записная книжка в целом выглядела, как фотография, снятая не в фокусе и к тому же еще недопроявленная.
— Теперь вы сами можете убедиться, — заметил профессор, — что перед вами не сама записная книжка, а всего лишь ее изображение, сильно искаженное светом, которому пришлось пройти полмира. Если хотите окончательно убедиться в том, что перед вами изображение, взгляните в страницы повнимательнее и вы увидите сквозь них камни, летящие в космическом пространстве за книжкой.
Мистер Томкинс попытался было схватить записную книжку, но рука его без всякого сопротивления прошла сквозь изображение.
— Сама записная книжка, — продолжал профессор, — находится сейчас очень близко от противоположного полюса вселенной. Второе изображение книжки сейчас прямо у вас за спиной, и когда оба изображения совпадут, настоящая книжка окажется на противоположном полюсе.
Но мистер Томпкинс уже ничего не слышал. Он глубоко погрузился в размышления, пытаясь припомнить, как строятся изображения объектов в элементарной оптике с помощью вогнутых зеркал и линз. Когда мистер Томпкинс очнулся, изображения снова расходились в противоположные стороны.
— А что искривляет пространство и порождает все эти забавные эффекты? — спросил мистер Томпкинс профессора.
— Наличие тяжелой материи, — последовал ответ. — Когда Ньютон открыл закон всемирного тяготения, он видел в гравитации обычную силу, такую же, как, например, сила, порождаемая упругой нитью, натянутой между двумя телами. Однако всегда остается загадкой то обстоятельство, что все тела независимо от их массы и размера обладают одним и тем же ускорением и, если исключить сопротивление воздуха и тому подобные эффекты, под действием сил тяготения движутся одинаково. Эйнштейн первым ясно и определенно показал, что тяжелая материя прежде всего порождает кривизну пространства и что траектории всех тел, движущихся в гравитационном поле, искривлены только потому, что искривлено само пространство. Боюсь однако, что вам без достаточной математической подготовки трудно разобраться во всем этом.
— Нелегко, — согласился мистер Томпкинс. — Но скажите мне, пожалуйста, была бы у нас та геометрия, которой меня учили в школе, если бы материи вообще не было, и пересекались бы тогда параллельные прямые?
— Параллельные не пересекались бы, — подтвердил профессор, — но ни одно материальное существо не могло бы проверить это.
— Может быть, никакого Евклида в действительности не было и поэтому он не мог создать геометрию абсолютно пустого пространства?
Но профессор явно не желал вдаваться в метафизическую дискуссию.
Между тем изображение записной книжки удалилось в первоначальном направлении и начало приближаться во второй раз. Теперь оно было искажено еще больше, чем прежде, и узнать в нем «призрак» записной книжки было почти невозможно. По мнению профессора, столь сильное искажение объяснялось тем, что лучам света на этот раз приходилось обходить весь мир.
— Если вы еще раз оглянетесь, — обратился профессор к мистеру Томпкинсу, — то увидите мою записную книжку, которая, наконец, возвращается ко мне, совершив кругосветное путешествие.
Профессор протянул руку, поймал записную книжку и засунул ее в карман.
Среди ночи он вдруг проснулся от неожиданного ощущения: ему показалось, что вместо мягкого пружинного матраца он лежит на чем-то необычайно твердом. Мистер Томпкинс открыл глаза и увидел себя простертым на чем-то, показавшемся ему сначала скалой на берегу океана. Однако чуть позже он обнаружил, что действительно возлежит на скале, метров этак девять в поперечнике, которая без всякой видимой опоры висела в пространстве. Скала была местами покрыта зеленым мхом, а кое-где из расселин на ней росли небольшие кустики. Пространство вокруг скалы было освещено каким-то странным мерцающим светом и изрядно забито пылью. Мистеру Томпкинсу еще никогда не приходилось видеть, чтобы в воздухе было столько пыли, даже в фильмах, изображавших пыльные бури на Среднем Западе. Он сделал себе защитную маску из носового платка и почувствовал изрядное облегчение. Но в окружающем пространстве были вещи и поопаснее пыли. Очень часто камни размером с голову мистера Томпкинса и поболее проносились в пространстве у самой скалы и время от времени врезались в нее с непривычно глухим стуком. Но и это еще не все: обозревая окрестности, мистеру Томпкинсу приходилось изо всех сил цепляться за выступы скалы и прижиматься к ней, опасаясь сорваться со скалы и сгинуть в пыльной бездне. Но вскоре мистер Томпкинс набрался храбрости и попытался взобраться на край скалы, чтобы убедиться в том, что под ней действительно нет никакой опоры. Подползая к краю скалы, мистер Томпкинс к своему великому удивлению заметил, что не падает со скалы. Наоборот, его вес постоянно прижимает его к поверхности скалы, хотя сама скала невелика и он успел проползти уже не менее четверти ее охвата. Взглянув из-за груды камней на то место, которое расположено в аккурат под тем местом, где мистер Томпкинс первоначально оказался, он убедился, что скала свободно висит в пространстве и ее ничто не поддерживает. К своему великому изумлению, мистер Томпкинс внезапно увидел в мерцающем свете своего друга — старого профессора, стоявшего на скале, как показалось мистеру Томпкинсу, вниз головой и делавшего какие-то заметки в записной книжке.
Теперь до мистера Томпкинса медленно стало доходить, что происходит. Он вспомнил, как в детстве учил в школе, что Земля — огромная круглая скала, свободно обращающаяся в космическом пространстве вокруг Солнца. Мистер Томпкинс вспомнил также рисунок из школьного учебника: два антипода, стоящие на противоположных сторонах Земли. Ну конечно же! Его скала была небесным телом очень малых размеров, притягивавшим все к своей поверхности, а он сам и старый профессор составляли все население этой крохотной планеты. Размышления несколько утешили мистера Томпкинса: по крайней мере не было опасности свалиться со скалы в космическое пространство!
— Доброе утро, — произнес мистер Томпкинс, чтобы отвлечь внимание старого профессора от вычислений, в которые тот ушел с головой.
Профессор оторвал глаза от записной книжки.
— Здесь нет никаких утр, — сказал он, — нет Солнца, как нет ни одной светящейся звезды во всей этой вселенной. Хорошо еще, что на поверхности тел здесь не протекают кое-какие химические процессы, иначе я просто не смог бы наблюдать за расширением этого участка вселенной. — И с этими словами профессор снова уткнулся в свою записную книжку.
Мистер Томпкинс очень расстроился: подумать только, встретить единственное живое существо во всей вселенной и обнаружить, что оно так необщительно! Неожиданно мистеру Томпкинсу на помощь пришел один из мелких метеоритов: со стуком ударившись о записную книжку, он выбил ее из рук профессора и унес ее в космические дали, прочь от маленькой планеты.
— Больше вы ее не увидите, — заметил мистер Томпкинс, глядя, как записная книжка, становясь все меньше и меньше, скрылась из виду.
— Наоборот! — живо возразил профессор. — Видите ли, пространство, где мы с вами находимся, имеет не бесконечную протяженность. О да, да! Я знаю, что в школе вас учили, будто пространство бесконечно и две параллельные прямые никогда не пересекаются. Но это неверно ни для пространства, в котором обитает остальное человечество, ни для пространства, в котором находимся сейчас мы с вами. Разумеется, пространство, в котором живет все остальное человечество, очень велико, и, по оценкам ученых, простирается примерно на 10000000000000000000000 километров, что для заурядного ума вполне может сойти за бесконечность. Если бы я потерял свою записную книжку в той Вселенной, то ждать бы ее пришлось невероятно долго. Здесь же, где мы с вами находимся, ситуация совершенно иная. Как раз перед тем, как записная книжка была столь неожиданно вырвана из моих рук, я подсчитал, что это пространство имеет поперечник всего лишь около десяти километров, хотя и быстро расширяется. Думаю, что моя записная книжка вернется примерно через полчаса.
— Вы полагаете, — робко подал голос мистер Томпкинс, — что ваша записная книжка поведет себя, как бумеранг аборигенов Австралии, и, описав искривленную траекторию, упадет к вашим ногам?
— Ничего подобного, — возразил профессор. — Если хотите понять, что произойдет в действительности, подумайте о каком-нибудь древнем греке, который не знал, что Земля круглая. Предположим, что наш грек отдал кому-нибудь инструкции двигаться все время на север. Представьте себе его изумление, когда посланец вернется к нему с юга. Ведь наш древний грек не имеет ни малейшего понятия о кругосветном путешествии (говоря о путешествии вокруг света, я, конечно, имею в виду путешествие вокруг Земли) и будет пребывать в полной уверенности, что посланец сбился с истинного пути и, описав искривленный маршрут, вернулся в исходную точку. В действительности же его посланец все время двигался по кратчайшей линии, какую только можно провести на поверхности Земли, но, обойдя вокруг земного шара, вернулся в исходную точку с противоположной стороны. То же самое произойдет и с моей записной книжкой, если только по дороге она не столкнется с каким-нибудь камнем и не отклонится от правильного пути. Вот, возьмите этот бинокль. Может быть, вам удастся разглядеть ее.
Мистер Томпкинс поднес к глазам бинокль и, хотя пыль несколько затемняла общую картину, действительно разглядел записную книжку профессора, плывущую далеко от них в глубине космического пространства. Мистера Томпкинса несколько удивило, что все далекие предметы, в том числе и записная книжка, имеют розовый цвет.
— Ваша записная книжка возвращается, — воскликнул он чуть позже, — я вижу, как она увеличивается в размерах.
— Нет, — откликнулся профессор, — она все еще удаляется от нас. То, что вы видите, как она увеличивается в размерах, объясняется особым фокусирующим действием замкнутого сферического пространства на лучи света. Вернемся к нашему древнему греку. Если бы лучи света, например с помощью атмосферной рефракции, можно было заставить распространяться вдоль искривленной поверхности Земли, то наш грек, будь у него мощный бинокль, мог бы следить за своим посланцем на протяжении всего путешествия. Взглянув на глобус, вы заметите, что прямейшие линии на его поверхности — меридианы — сначала расходятся от одного полюса, но после прохождения через экватор начинают сходиться к противоположному полюсу. Если бы лучи света распространялись вдоль меридианов, то вы находясь, например, на одном полюсе, увидели, как посланец, удаляясь от вас, уменьшается в размерах только до тех пор, пока не пересечет экватор. Затем вы увидите, как он увеличивается в размерах, и вам будет казаться, что он возвращается, тогда как в действительности он будет двигаться все дальше и дальше от вас. Когда посланец достигнет противоположного полюса, вы увидите его в натуральную величину — таким, как если бы он стоял рядом с вами. Однако вы не могли бы коснуться его, как не могли бы потрогать изображение в сферическом зеркале. Опираясь на эту двумерную аналогию, вы можете теперь представить, что произойдет с лучами света в необычно искривленном трехмерном пространстве.
— Взгляните, — прервал себя на полуслове профессор, — изображение моей записной книжки совсем рядом.
Действительно, без всякого бинокля мистер Томпкинс мог видеть, что записная книжка находилась не более чем в метре от них. Но выглядела она весьма странно! Контуры ее были не резкими, а сильно размытыми, формулы, которыми профессор исписал странички, были едва различимы, а вся записная книжка в целом выглядела, как фотография, снятая не в фокусе и к тому же еще недопроявленная.
— Теперь вы сами можете убедиться, — заметил профессор, — что перед вами не сама записная книжка, а всего лишь ее изображение, сильно искаженное светом, которому пришлось пройти полмира. Если хотите окончательно убедиться в том, что перед вами изображение, взгляните в страницы повнимательнее и вы увидите сквозь них камни, летящие в космическом пространстве за книжкой.
Мистер Томкинс попытался было схватить записную книжку, но рука его без всякого сопротивления прошла сквозь изображение.
— Сама записная книжка, — продолжал профессор, — находится сейчас очень близко от противоположного полюса вселенной. Второе изображение книжки сейчас прямо у вас за спиной, и когда оба изображения совпадут, настоящая книжка окажется на противоположном полюсе.
Но мистер Томпкинс уже ничего не слышал. Он глубоко погрузился в размышления, пытаясь припомнить, как строятся изображения объектов в элементарной оптике с помощью вогнутых зеркал и линз. Когда мистер Томпкинс очнулся, изображения снова расходились в противоположные стороны.
— А что искривляет пространство и порождает все эти забавные эффекты? — спросил мистер Томпкинс профессора.
— Наличие тяжелой материи, — последовал ответ. — Когда Ньютон открыл закон всемирного тяготения, он видел в гравитации обычную силу, такую же, как, например, сила, порождаемая упругой нитью, натянутой между двумя телами. Однако всегда остается загадкой то обстоятельство, что все тела независимо от их массы и размера обладают одним и тем же ускорением и, если исключить сопротивление воздуха и тому подобные эффекты, под действием сил тяготения движутся одинаково. Эйнштейн первым ясно и определенно показал, что тяжелая материя прежде всего порождает кривизну пространства и что траектории всех тел, движущихся в гравитационном поле, искривлены только потому, что искривлено само пространство. Боюсь однако, что вам без достаточной математической подготовки трудно разобраться во всем этом.
— Нелегко, — согласился мистер Томпкинс. — Но скажите мне, пожалуйста, была бы у нас та геометрия, которой меня учили в школе, если бы материи вообще не было, и пересекались бы тогда параллельные прямые?
— Параллельные не пересекались бы, — подтвердил профессор, — но ни одно материальное существо не могло бы проверить это.
— Может быть, никакого Евклида в действительности не было и поэтому он не мог создать геометрию абсолютно пустого пространства?
Но профессор явно не желал вдаваться в метафизическую дискуссию.
Между тем изображение записной книжки удалилось в первоначальном направлении и начало приближаться во второй раз. Теперь оно было искажено еще больше, чем прежде, и узнать в нем «призрак» записной книжки было почти невозможно. По мнению профессора, столь сильное искажение объяснялось тем, что лучам света на этот раз приходилось обходить весь мир.
— Если вы еще раз оглянетесь, — обратился профессор к мистеру Томпкинсу, — то увидите мою записную книжку, которая, наконец, возвращается ко мне, совершив кругосветное путешествие.
Профессор протянул руку, поймал записную книжку и засунул ее в карман.