Страница:
9 = 3*3; a2 = a*a; a2 + 2аb + b2 = (a + b) (а + b) и т. п. Квадратным корнем из какого-нибудь числа называется величина, которая, будучи умножена сама на себя дала бы данное: так 3 есть квадратный корень из 9 и пр. В. В. В.
Квадратура круга
Квази
Квакеры
Квалификация
Кваренги
Квадратура круга
Квадратура круга. — Так называется знаменитая задача: построить квадрат, равновеликий по площади кругу данного радиуса. Эта задача была предметом непрерывного ряда усиленных изысканий греческих математиков и значительно повлияла на поразительные успехи геометрии в древности. Уже давно явилась догадка, что задача К. круга не может быть решена при помощи линейки и циркуля, хотя и не было точных доказательств этого предположения. В виду достаточного развития элементарной геометрии парижская акд. наук в 1775 г., а прочие академии несколько позднее объявили, что они не будут принимать на рассмотрение новые попытки решения К. круга, так как, не принося существенной пользы для науки, подобные изыскания стали бесцельно отнимать время и силы исследователей; в настоящее время ни одно учёное учреждение не станет рассматривать претенциозных статей с решением задачи о К. круга, а также задач об удвоении куба и трисекции угла и задачи о вечном движении После работ Эрмита и Линдемана можно считать доказанной абсолютную невозможность решения К. круга при помощи линейки и циркуля. Ныне этой задачей занимаются только люди, не пошедшие дальше элементарного курса математических наук и которые не вполне ясно понимают, чего собственно они добиваются. В большинстве случаев такие люди не знают истории сделанных до сих пор в этой области изысканий и результатов работ выдающихся ученых. Хотя, к сожалению, и теперь ещё в книжные магазины поступают брошюры, в которых авторы пытаются решить нерешимую задачу, однако большинство, хотя и смутно, сознаёт полную невозможность такого решения и слова: «ищет К. круга» являются уже давно синонимом бесплодной траты времени.
Площадь круга равна произведению p?R2 где (— отношение длины окружности к диаметру (или длина окружности при R = 1, от perijereia— окружность), а R — радиус круга. Очевидно, что существует квадрат, площадь которого равновелика. площади круга заданного радиуса; сторона такого квадрата должна равняться. Можно придумать множество геометрических приёмов для нахождения стороны этого квадрата, но, при нужных к тому построениях, придётся, кроме прямой линии и круга, употреблять некоторые другие кривые линии и строить особые механические приборы для их вычерчивания. Если говорится, что задача не решается линейкою и циркулем, то это никак не означает её невозможность, а то, что задача не может быть решена следующими двумя операциями (или известным числом повторений этих операций): 1) провести прямую через две заданные точки и продолжить эту прямую сколь угодно далеко в обе стороны (эта операция совершается при помощи линейки), и 2) вычертить круг, если указана некоторая точка, которую должно принять за центр и, если радиус круга указан так или иначе сделанными раньше построениями или, если этот радиус, по условию построения, можно взять произвольным. Эта операция совершается циркулем. В элементарной геометрии под решением задачи построением разумеется определение точки или линии при помощи последовательного ряда повторений указанных двух операций. Некоторые задачи могут быть решены и одною линейкою, как напр. построение касательной к кругу из данной внешней точки; без сомнения нелепо будет предположение, что и все задачи должны решаться одной линейкой. Точно также нелепо предположение, что все задачи должны решаться только линейкой и циркулем. Математические рассуждения, которые привели к полному и строгому доказательству невозможности решения некоторых задач при помощи только линейки и циркуля, основываются на следующих соображениях. Свойства прямой линии и круга, как показывается в аналитической геометрии, состоят в том, что какое бы ни было задано построение прямых и кругов, все точки пересечений таких линий дают отрезки, длины которых вычисляются из ряда уравнений первой степени или квадратных, так что подобные построения могут дать лишь такие отрезки, для вычисления длины которых нет надобности выходить из области уравнений первой и второй степеней. Задача К. круга потому невозможна при помощи только линейки и циркуля, что в этом случае приходится строить число ; что же касается числа p, следовательно, и квадратного корня из него, то это число, как показывают безусловно верные, а в последнее время даже очень просто доказанные теоремы, есть трансцендентное число, т. е. такое, которое не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению какой бы то ни было степени с целыми коэффициентами, т. е. уравнению вида:
A0xn + A1xn-1 + A2xn-2 + ... + An-1x + An = 0, где все коэффициенты A0, A1... числа целые.
Если бы задача К. круга решалась линейкою и циркулем, то число , следовательно, и само (строились бы при помощи последовательного и конечного ряда прямых и кругов, а потому число (можно было бы вычислить при помощи ряда уравнений первой степени и квадратных. Из алгебры известно, по какой бы ни был задан ряд уравнений первой и второй степеней и таких, что коэффициенты каждого следующего уравнения зависят от корней предыдущих, всегда можно этот ряд уравнений заменить одним, более высокой степени с целыми коэффициентами, а потому число p было бы корнем алгебраического уравнения, что невозможно. Из рассмотрения формулы . R ясно, что К. круга была бы найдена, если и помимо чисто геометрического построения удалось бы точно выразить длину окружности круга в частях радиуса или просто найти число, точно выражающее величину p. Соответственно этим разным постановкам вопроса, в истории изысканий К. круга встречаются — то чисто геометрические приёмы построений, то попытки вычисления величины p. Уже у египетских математиков находятся первые решения задачи, как построить квадрат, равновеликий данному кругу, или определить соотношение между окружностью и её диаметром. В британском музее хранится папирус Ринда, написанный Ахмесом за 2000 лет до Р. Хр., в котором автор называет своё решение сводом правил, известных ещё гораздо раньше. По Ахмесу, сторона квадрата, равновеликого площади круга, равна восьми девятым диаметра (так что p = 3,16). — У древних вавилонян и евреев принималось, что окружность ровно втрое больше диаметра и следовательно, p=3. — У греков, по словам Платона, К. круга занимался уже Анаксагор, во время своего пребывания в изгнании (V в. до Р. Хр.). Первая попытка указать «пределы» для числа p была сделана Бризоном, который справедливо говорит, что окружность круга должна быть меньше периметра многоугольника, описанного около неё и больше периметра вписанного в нее многоугольника. Гиппократ старался определить площадь круга при помощи так наз. «луночек». Динострат спрямил окружность при помощи построения особой кривой «квадратриссы». Замечательно, что знаменитый Евклид в своих «Элементах» геометрии совершенно не упоминает о К. круга и рассматривает только отношение площадей кругов разных радиусов. Совершенно самостоятельно и независимо от предшественников взглянул на эту задачу Архимед. Он вычислил периметры вписанных и описанных 96-ти угольников и показал, что величина p заключается между пределами 31/7 и 310/71; число 31/7= 22/7 и до сих пор во многих практических вопросах считается весьма удобным и достаточным приближением для p. Достойно удивления, что свои сложные и продолжительные вычисления Архимед производил во времена, когда не употреблялась ещё арабская система счисления. Птолемей дал для p число 317/120, более точное, чем 31/7, но оно не вошло в употребление, будучи найдено позднее более простого числа Архимеда. В Кулвазутрасе, весьма древнем математическом сочинении индусов, находится решение задачи, обратной К. круга: построить круг, равновеликий данному квадрату; по этому решению радиус искомого круга равен половине стороны квадрата, увеличенной на треть разности между половиной диагонали и половиной стороны данного квадрата. Ариабхатта (500 л. по Р. Хр.) вычислил p = 3,1416; это число точнее, чем приближения Архимеда и даже Птолемея, так как вычислитель, следуя методу Архимеда, дошёл до 384-х угольника. Другой индийский математик Браматупта (VII в.) нашёл, что ; это число, как связанное с десятичной системой счисления, долгое время считалось лучшим приближением и неизменно употреблялось потом всеми арабскими математиками. В китайских книгах найдена величина p = 37/50, которая менее точна, чем число Архимеда. В Европе изыскания К. круга начались лишь с XV в. Кардинал Николай Куза нашёл следующее решение: по данному кругу должно построить другой, диаметр которого равен радиусу данного круга плюс сторона вписанного в него квадрата. Тогда периметр вписанного во второй круг равностороннего треугольника равен окружности данного круга. Легко рассчитать, что это приближение хуже приближения Архимеда. Симон Ван-Эйк в конце XVI в. обнародовал сложное построение, которое даёт для p величину, более точную, чем приближение Архимеда. Чтобы доказать неверность этого построения, другой голландский математик Адриан Мециус занялся изысканием для p величины более точной чем 22/7. Таким образом ошибочное построение Ван-Эйка было поводом к открытию знаменитой и легко запоминаемой дроби 355/113, которая представляет отношение окружности к диаметру с точностью до 0,000001. Не лишнее заметить, что ныне, при помощи теории непрерывных дробей доказано, что при употреблении только трехзначных чисел, никакие два другие числа не могут представить величину p точнее, чем отношение 355:113, найденное Мециусом. Неутомимый вычислитель Романус, применяя способ Архимеда, дошёл до многоугольников о 1073741824 сторонах, т. е. числа сторон, равного 230. Но Лудольф Ван-Цейлен превзошёл его и для p дал число с 35-ю десятичными знаками. Это число, названное «лудольфовым», равно:
3,14159265358979323846264338327960288.
Снеллиус и Гюйгенс в XVII в. указали новые пути, дающие возможность, рассматривая многоугольники с меньшим числом сторон, находить приближения для p гораздо скорее и с большим числом десятичных знаков. Однако, вычислительные приёмы сделались ещё проще с тех пор, как для величины p начали открывать формулы, составленные из бесконечного повторения операций над известными числами. Первая мысль отыскать такие формулы принадлежит Виету; он дал ряд
по которому и вычислил сам величину p до 4-х десятичных знаков. Валлис дал другое замечательное произведение, а Грегори, и, независимо от него Лейбниц открыли ряд:
Оригинальный ряд, откуда получается предыдущий как частный случай, есть arctg где а есть тангенс центрального угла в круге, которого радиус равен единице. На основании этого ряда легко составить и такой:
где а, b, с.... суть тангенсы углов, которых сумма равна 45°. Выбрав а, b, с.... малыми, лёгкими для обработки и удовлетворяющими поставленному условию углами, получаются вообще весьма удобные для вычисления ряды. По этому способу лондонский проф. Мехин в 1706 г. вычислил p с 100 десятичными знаками. Он положил
и , т. е. употребил ряд:
До сих пор это лучшая и удобнейшая формула для приближенного вычисления p. Тем не менее открывают и новые ряды, так лорд Брункер представил p в виде непрерывной дроби:
Много строк, бесконечных произведений и непрерывных дробей, дающих p, открыты знаменитым Эйлером, например:
По разным подобным формулам современные математики вычисляют величину p с гораздо большей степенью приближения, чем прежние. Дазе нашёл 200 цифр, Рихтер 500, а Шанкс даже 700. Однако, такое точное вычисление не имеет ни теоретического интереса ни практического значения. Вообразим шар, которого радиус равен расстоянию Сиpиуca от земли (около 134 биллионов километров) и наполненный микробами так тесно, что в каждом кубическом миллиметре их помещается целый биллион (1012). Вообразим далее, что все эти микробы выровнены на прямой, и расстояние между каждыми двумя соседними равно расстоянию Сириуса от земли. Примем теперь эту прямую за диаметр круга и вычислим длину окружности этого круга при помощи (с 100 десятичными знаками. Полученное число даст длину этой окружности с ошибкою против истины лишь в одну миллионную миллиметра. Упомянем ещё об одном любопытном приёме для приближённого определения p, основанном на совершенно иных началах. Если начертить на полу систему равноотстоящих параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, образующих равные квадратики, и бросать на пол иглу, длина которой равна стороне каждого квадратика, то, считая случаи, когда упавшая игла поместится внутри какогонибудь квадратика, не пересекая его сторон, получим, что вероятность этого числа, т. е. отношение числа таких попаданий к общему числу бросаний, равна p-3. Проф. Вольф в Цюрихе, предложивший этот способ, бросал иглу 10000 раз и получил p с тремя верными десятичными знаками. В заключение перечислим учёных, которым наука обязана объяснением невозможности К. круга. Ламберт в 1761 г. доказал, что p не есть рациональное число и не есть корень из рационального числа, т. е. что ни p, ни p2 не могут быть представлены простыми дробями, как бы ни были велики их числители и знаменатели. Лежандр первый высказал мысль, что p должно быть число трансцендентное, но только Эрмит, в сочинении «Sur la Fonction Exponentielle» («Comptes Rendus», т. 77, 1873) показал, что основание Неперовых логарифмов, т. е. число е, есть трансцендентное, а Линдеман в 1882 г. («Mathematische Annalen», т. XX), на основании соображений, подобных соображениям Эрмита, показал, что и p есть число трансцендентное. Теорема Линдемана заключается в том, что если х есть корень алгебраического уравнения, которого коэффициенты действительные или мнимые числа, то еx не может быть числом алгебраическим; а так как, то следовательно , а потому и p не может быть числом алгебраическим.
Литература. Montucla, «Histoire des recherches sur la quadrature du cercle» (Пар., 1754); Rudio, «Vier Abhandlungen ueber die Kreismessung» (Лпц., 1892); Hurwitz, «Beweis der Transcendenz der Zahle e und p». На русском языке: Марков, «Доказательство трансцендентности чисел е и p» (СПб., 1883) и перевод статьи Вейерштрасса о невозможности К. круга, в «Известиях Физ. Мат. Общества при казанском унив.» (1894, № 3).
В. Витковский.
Площадь круга равна произведению p?R2 где (— отношение длины окружности к диаметру (или длина окружности при R = 1, от perijereia— окружность), а R — радиус круга. Очевидно, что существует квадрат, площадь которого равновелика. площади круга заданного радиуса; сторона такого квадрата должна равняться. Можно придумать множество геометрических приёмов для нахождения стороны этого квадрата, но, при нужных к тому построениях, придётся, кроме прямой линии и круга, употреблять некоторые другие кривые линии и строить особые механические приборы для их вычерчивания. Если говорится, что задача не решается линейкою и циркулем, то это никак не означает её невозможность, а то, что задача не может быть решена следующими двумя операциями (или известным числом повторений этих операций): 1) провести прямую через две заданные точки и продолжить эту прямую сколь угодно далеко в обе стороны (эта операция совершается при помощи линейки), и 2) вычертить круг, если указана некоторая точка, которую должно принять за центр и, если радиус круга указан так или иначе сделанными раньше построениями или, если этот радиус, по условию построения, можно взять произвольным. Эта операция совершается циркулем. В элементарной геометрии под решением задачи построением разумеется определение точки или линии при помощи последовательного ряда повторений указанных двух операций. Некоторые задачи могут быть решены и одною линейкою, как напр. построение касательной к кругу из данной внешней точки; без сомнения нелепо будет предположение, что и все задачи должны решаться одной линейкой. Точно также нелепо предположение, что все задачи должны решаться только линейкой и циркулем. Математические рассуждения, которые привели к полному и строгому доказательству невозможности решения некоторых задач при помощи только линейки и циркуля, основываются на следующих соображениях. Свойства прямой линии и круга, как показывается в аналитической геометрии, состоят в том, что какое бы ни было задано построение прямых и кругов, все точки пересечений таких линий дают отрезки, длины которых вычисляются из ряда уравнений первой степени или квадратных, так что подобные построения могут дать лишь такие отрезки, для вычисления длины которых нет надобности выходить из области уравнений первой и второй степеней. Задача К. круга потому невозможна при помощи только линейки и циркуля, что в этом случае приходится строить число ; что же касается числа p, следовательно, и квадратного корня из него, то это число, как показывают безусловно верные, а в последнее время даже очень просто доказанные теоремы, есть трансцендентное число, т. е. такое, которое не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению какой бы то ни было степени с целыми коэффициентами, т. е. уравнению вида:
A0xn + A1xn-1 + A2xn-2 + ... + An-1x + An = 0, где все коэффициенты A0, A1... числа целые.
Если бы задача К. круга решалась линейкою и циркулем, то число , следовательно, и само (строились бы при помощи последовательного и конечного ряда прямых и кругов, а потому число (можно было бы вычислить при помощи ряда уравнений первой степени и квадратных. Из алгебры известно, по какой бы ни был задан ряд уравнений первой и второй степеней и таких, что коэффициенты каждого следующего уравнения зависят от корней предыдущих, всегда можно этот ряд уравнений заменить одним, более высокой степени с целыми коэффициентами, а потому число p было бы корнем алгебраического уравнения, что невозможно. Из рассмотрения формулы . R ясно, что К. круга была бы найдена, если и помимо чисто геометрического построения удалось бы точно выразить длину окружности круга в частях радиуса или просто найти число, точно выражающее величину p. Соответственно этим разным постановкам вопроса, в истории изысканий К. круга встречаются — то чисто геометрические приёмы построений, то попытки вычисления величины p. Уже у египетских математиков находятся первые решения задачи, как построить квадрат, равновеликий данному кругу, или определить соотношение между окружностью и её диаметром. В британском музее хранится папирус Ринда, написанный Ахмесом за 2000 лет до Р. Хр., в котором автор называет своё решение сводом правил, известных ещё гораздо раньше. По Ахмесу, сторона квадрата, равновеликого площади круга, равна восьми девятым диаметра (так что p = 3,16). — У древних вавилонян и евреев принималось, что окружность ровно втрое больше диаметра и следовательно, p=3. — У греков, по словам Платона, К. круга занимался уже Анаксагор, во время своего пребывания в изгнании (V в. до Р. Хр.). Первая попытка указать «пределы» для числа p была сделана Бризоном, который справедливо говорит, что окружность круга должна быть меньше периметра многоугольника, описанного около неё и больше периметра вписанного в нее многоугольника. Гиппократ старался определить площадь круга при помощи так наз. «луночек». Динострат спрямил окружность при помощи построения особой кривой «квадратриссы». Замечательно, что знаменитый Евклид в своих «Элементах» геометрии совершенно не упоминает о К. круга и рассматривает только отношение площадей кругов разных радиусов. Совершенно самостоятельно и независимо от предшественников взглянул на эту задачу Архимед. Он вычислил периметры вписанных и описанных 96-ти угольников и показал, что величина p заключается между пределами 31/7 и 310/71; число 31/7= 22/7 и до сих пор во многих практических вопросах считается весьма удобным и достаточным приближением для p. Достойно удивления, что свои сложные и продолжительные вычисления Архимед производил во времена, когда не употреблялась ещё арабская система счисления. Птолемей дал для p число 317/120, более точное, чем 31/7, но оно не вошло в употребление, будучи найдено позднее более простого числа Архимеда. В Кулвазутрасе, весьма древнем математическом сочинении индусов, находится решение задачи, обратной К. круга: построить круг, равновеликий данному квадрату; по этому решению радиус искомого круга равен половине стороны квадрата, увеличенной на треть разности между половиной диагонали и половиной стороны данного квадрата. Ариабхатта (500 л. по Р. Хр.) вычислил p = 3,1416; это число точнее, чем приближения Архимеда и даже Птолемея, так как вычислитель, следуя методу Архимеда, дошёл до 384-х угольника. Другой индийский математик Браматупта (VII в.) нашёл, что ; это число, как связанное с десятичной системой счисления, долгое время считалось лучшим приближением и неизменно употреблялось потом всеми арабскими математиками. В китайских книгах найдена величина p = 37/50, которая менее точна, чем число Архимеда. В Европе изыскания К. круга начались лишь с XV в. Кардинал Николай Куза нашёл следующее решение: по данному кругу должно построить другой, диаметр которого равен радиусу данного круга плюс сторона вписанного в него квадрата. Тогда периметр вписанного во второй круг равностороннего треугольника равен окружности данного круга. Легко рассчитать, что это приближение хуже приближения Архимеда. Симон Ван-Эйк в конце XVI в. обнародовал сложное построение, которое даёт для p величину, более точную, чем приближение Архимеда. Чтобы доказать неверность этого построения, другой голландский математик Адриан Мециус занялся изысканием для p величины более точной чем 22/7. Таким образом ошибочное построение Ван-Эйка было поводом к открытию знаменитой и легко запоминаемой дроби 355/113, которая представляет отношение окружности к диаметру с точностью до 0,000001. Не лишнее заметить, что ныне, при помощи теории непрерывных дробей доказано, что при употреблении только трехзначных чисел, никакие два другие числа не могут представить величину p точнее, чем отношение 355:113, найденное Мециусом. Неутомимый вычислитель Романус, применяя способ Архимеда, дошёл до многоугольников о 1073741824 сторонах, т. е. числа сторон, равного 230. Но Лудольф Ван-Цейлен превзошёл его и для p дал число с 35-ю десятичными знаками. Это число, названное «лудольфовым», равно:
3,14159265358979323846264338327960288.
Снеллиус и Гюйгенс в XVII в. указали новые пути, дающие возможность, рассматривая многоугольники с меньшим числом сторон, находить приближения для p гораздо скорее и с большим числом десятичных знаков. Однако, вычислительные приёмы сделались ещё проще с тех пор, как для величины p начали открывать формулы, составленные из бесконечного повторения операций над известными числами. Первая мысль отыскать такие формулы принадлежит Виету; он дал ряд
по которому и вычислил сам величину p до 4-х десятичных знаков. Валлис дал другое замечательное произведение, а Грегори, и, независимо от него Лейбниц открыли ряд:
Оригинальный ряд, откуда получается предыдущий как частный случай, есть arctg где а есть тангенс центрального угла в круге, которого радиус равен единице. На основании этого ряда легко составить и такой:
где а, b, с.... суть тангенсы углов, которых сумма равна 45°. Выбрав а, b, с.... малыми, лёгкими для обработки и удовлетворяющими поставленному условию углами, получаются вообще весьма удобные для вычисления ряды. По этому способу лондонский проф. Мехин в 1706 г. вычислил p с 100 десятичными знаками. Он положил
и , т. е. употребил ряд:
До сих пор это лучшая и удобнейшая формула для приближенного вычисления p. Тем не менее открывают и новые ряды, так лорд Брункер представил p в виде непрерывной дроби:
Много строк, бесконечных произведений и непрерывных дробей, дающих p, открыты знаменитым Эйлером, например:
По разным подобным формулам современные математики вычисляют величину p с гораздо большей степенью приближения, чем прежние. Дазе нашёл 200 цифр, Рихтер 500, а Шанкс даже 700. Однако, такое точное вычисление не имеет ни теоретического интереса ни практического значения. Вообразим шар, которого радиус равен расстоянию Сиpиуca от земли (около 134 биллионов километров) и наполненный микробами так тесно, что в каждом кубическом миллиметре их помещается целый биллион (1012). Вообразим далее, что все эти микробы выровнены на прямой, и расстояние между каждыми двумя соседними равно расстоянию Сириуса от земли. Примем теперь эту прямую за диаметр круга и вычислим длину окружности этого круга при помощи (с 100 десятичными знаками. Полученное число даст длину этой окружности с ошибкою против истины лишь в одну миллионную миллиметра. Упомянем ещё об одном любопытном приёме для приближённого определения p, основанном на совершенно иных началах. Если начертить на полу систему равноотстоящих параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, образующих равные квадратики, и бросать на пол иглу, длина которой равна стороне каждого квадратика, то, считая случаи, когда упавшая игла поместится внутри какогонибудь квадратика, не пересекая его сторон, получим, что вероятность этого числа, т. е. отношение числа таких попаданий к общему числу бросаний, равна p-3. Проф. Вольф в Цюрихе, предложивший этот способ, бросал иглу 10000 раз и получил p с тремя верными десятичными знаками. В заключение перечислим учёных, которым наука обязана объяснением невозможности К. круга. Ламберт в 1761 г. доказал, что p не есть рациональное число и не есть корень из рационального числа, т. е. что ни p, ни p2 не могут быть представлены простыми дробями, как бы ни были велики их числители и знаменатели. Лежандр первый высказал мысль, что p должно быть число трансцендентное, но только Эрмит, в сочинении «Sur la Fonction Exponentielle» («Comptes Rendus», т. 77, 1873) показал, что основание Неперовых логарифмов, т. е. число е, есть трансцендентное, а Линдеман в 1882 г. («Mathematische Annalen», т. XX), на основании соображений, подобных соображениям Эрмита, показал, что и p есть число трансцендентное. Теорема Линдемана заключается в том, что если х есть корень алгебраического уравнения, которого коэффициенты действительные или мнимые числа, то еx не может быть числом алгебраическим; а так как, то следовательно , а потому и p не может быть числом алгебраическим.
Литература. Montucla, «Histoire des recherches sur la quadrature du cercle» (Пар., 1754); Rudio, «Vier Abhandlungen ueber die Kreismessung» (Лпц., 1892); Hurwitz, «Beweis der Transcendenz der Zahle e und p». На русском языке: Марков, «Доказательство трансцендентности чисел е и p» (СПб., 1883) и перевод статьи Вейерштрасса о невозможности К. круга, в «Известиях Физ. Мат. Общества при казанском унив.» (1894, № 3).
В. Витковский.
Квази
Quasi (как бы, почти) — слово, приставляемое к музыкальному термину, которому хотят дать приблизительное сходство с другим термином; напр. andante quasi allegretto обозначает, что andante должно иметь движение почти одинаковое с allegretto. Quasi una fantasia — сочинение, написанное под влиянием формы фантазии или почти как фантазия. Quasiaccorde — фиктивные, кажущиеся аккорды или случайные гармонии, образуемые проходящими, вспомогательными нотами. Quasisynkope — нота на слабом времени с акцентом и её повторение на сильном, но без соединяющей лиги.
Квакеры
Квакеры (англ. quackers, quakers, т. е. «дрыгуны») — секта, возникшая в Англии в XVII ст. Название это было дано им в насмешку, в виду судорожных движений и припадков, в которые они впадали, когда «нисходил на них Дух Божий». Сами последователи этой секты называли себя «христианским обществом друзей» (на основании слов, употреблённых апост. Иоанном, Послан. III, 15). Основателем её был Георг Фокс, родившийся в 1624 г. Углубившись в чтение Священного Писания, он, после непродолжительного периода искания и сомнения, достиг положительного убеждения, что истина находится не в науке, не в католицизме или англиканстве и других сектах, а в каждом человеческом сердце. Он называет её внутренним светом, гласом Божиим. Этот голос не возвещает новых истин веры — они уже высказаны в Св. Писании, — но служит свидетельством вечного присутствия Христа в человеке; он указывает добро, отдаляет от греха и никогда не противоречит ясному смыслу Св. Писания и разуму. Фокс немедленно принялся распространять это учение, впадая в мистические восторги и предоставляя другим логическое развитие учения из высказанного им начала. Его били, бросали в него камнями, сажали в тюрьму, но, не смотря на все преследования, число его последователей быстро увеличивалось. Когда Кромвель распустил парламент (1653) и рассеялась надежда «святых» на скорое осуществление их мечты о царстве Божием на земле, горячие индепенденты приняли учение о новых, непрерывных откровениях Божиих; благодаря этому, квакерство быстро распространилось по всей Англии; ревностные сторонники «внутреннего света» отправлялись, для проповеди, даже в отдалённые страны. Фокс сам посетил Америку и указал на неё своим последователям; Вильям Пенн, которому принадлежат большие заслуги во внутренней организации квакерских общин, купил у английского правительства земли на Делаваре и основал там квакерскую колонию. В наше время общины К. особенно распространены в Англии и Сев. Американских Соед. Шт.; кроме того, они существуют в Голландии, Германии (близ Пирмонта) и в торговых городах Норвегии. Так как К. ни в каком случае не приносят присяги и упорно отказываются от обязанностей военной службы, то везде, где они существуют, их слово признается равносильным присяге, а вместо военной службы они платят известные подати. Систематическую разработку учению К. дал Роберт Барклэ, в своих сочинениях: «Саtechismus et fidel confessio» (179) и «Theologiae vere christianae apologia». Не мало сделал для этого и Пенн. Признавая великое значение «внутреннего голоса» и его согласие с Св. Писаниям, К. не отрицают и земной мудрости, «ибо Христос пришёл не угасить, а очистить языческое знание»; в Пифагоре, Платоне, Плотине горел «внутренний свет». Всякое гонение за веру преступно. Проповедь должна быть свободным выражением вдохновения, которое может нисходить на каждого верующего; «друзья» отрицают, поэтому, необходимость духовенства и осуждают сбор десятины и вообще всякое вознаграждение за толкование и распространение Св. Писания. В местах, где К. собираются для совещаний и общей молитвы (meetinghouses), нет ни алтарей, ни образов; пение и музыка изгнаны. Хотя проповедовать может каждый член общины, не исключая и женщин, но на самом деле правом этим пользуются только люди, заслужившие общее уважение и доверие. В прежних собраниях вздохи, шедшие crescendo, стоны и кривляния были обыкновенным явлением; теперь в собраниях царствует глубокая тишина, прерываемая только голосом проповедников; иногда, если ни на кого из присутствующих не сходит вдохновение, проповеди не бывает. К. не допускают никаких обрядов и не признают таинств. Они не отрицают совершенно крещения водою, но считают его излишним. Браки совершаются через простое обещание сожития и верности, в присутствии старшин. Погребение происходит без всяких церемоний, причём родственники умершего не надевают траура. Вместо памятников и эпитафий, в назидание следующим поколениям составляются и печатаются биографии тех людей, добродетели которых заслужили общее признание. Устройство квакерских общин основано на чисто демократических началах. Важные частные и общественные дела решаются избранными представителями. Подчиняясь законам государств, к которым они принадлежат по рождению, К. не участвуют, однако, в народных торжествах по случаю побед, осуждают торговлю оружием и порохом, агитируют против смертной казни и против дуэли. Во время войны Северо-Америк. Штатов за освобождение многие К. взялись за оружие и образовали отдельную общину «свободных и воинственных (free and fighting) друзей». Признавая совершенное равенство и братство между людьми, К. в своих сношениях с властями и знатными лицами не употребляют выражений, принятых обычаем, а означают только должность или сан, всех называя: ты. Они верят в постоянное улучшение и развитие духовной природы человека. С XVIII века К. начинают употреблять все усилия для уничтожения торговли неграми и рабства. В 1754 г. «друзья» решили исключить из своей среды всех, имевших рабов. Между К. нет нищих: каждый здоровый член должен работать; для больных и дряхлых существуют больницы и странноприимные дома. От членов, совершивших бесчестный поступок, община отрекается. Брачные обязанности соблюдаются строго. В ребёнке родители уже уважают будущего человека и основывают на этом свою систему воспитания. До конца XVIII в. частная жизнь К. была очень однообразна и бедна наслаждениями, потому что из неё изгонялись искусства. Теперь молодые К. участвуют в общественных увеселениях, занимаются изящными искусствами, литературой и т. п.; зато число членов, выходящих совсем из общины или образующих новые подразделения секты, увеличивается.
Литература. Кларксон, «A portraiture of Quakerism» (Лондон, 1806); Эрнст Бунзен, «William Реnn» (Лпц., 1854); Лодс, «Etude historique et critique sur ie Quakerisme» (Страсбург, 1857); Вейнгартен, «Die Revolutionskirchen Englands» (Лпц., 1868); Грановский, «Квакеры» («Сочинения», т. 1).
М. В.
В Россию К. явились впервые в конце XVII в. в лице Квирина Кульмана, сожженного в Москве. В 1743 г., а затем синодским указом 9 дек. 1756 г. «квакерскою ересью» названа секта хлыстов, хотя происхождение последних едва ли имеет какую-либо связь с историей К.; поводом к этому, вероятно, послужило некоторое сходство основного учения К. об озарении от Духа с учением наших хлыстов о воплощениях и вдохновении, вызываемых, как и у К., посредством различных телодвижений. Ср. Сырцов, «Сибирские К. в XVIII в.» (106. 1882 — оттиск из «Тобольск. Епарх. Ведом.»); Гурьев, «Расстриги девки-квакереи» («Русск. Вестн.» 1881, № 8). Петру I К. представлялись дважды во время пребывания его в Лондоне; государь отнёсся к ним весьма внимательно и, будучи заграницей, не упускал случая побывать на квакерском богослужении. Менее случайный характер имели сношения с К. Александра I, в мистическом настроении которого квакерские идеи находили много отголосков. Александр I познакомился с К. в Лондоне в 1814 г. В 1818 г. К. Грелье и Аллен приезжали в Петербург и были приняты государем, который с ними молился. В 1822 г. импер. Александр имел в Вене новое свидание с Вильямом Алленом, этим неутомимым борцом против невольничества, который с помощью русского императора надеялся достигнуть своей заветной цели — объявления негроторговли равносильною пиратству. В 1824 г. прибыл в Петербург К. Томас Шиллите, который дважды молился с государем. Ср. Пыпин, «Император Александр I и К.» («Вестн. Европы» 1869, № 10); «Записки К. (Грелье) о пребывании в России» («Русская Старина», 1874, № 1).
Литература. Кларксон, «A portraiture of Quakerism» (Лондон, 1806); Эрнст Бунзен, «William Реnn» (Лпц., 1854); Лодс, «Etude historique et critique sur ie Quakerisme» (Страсбург, 1857); Вейнгартен, «Die Revolutionskirchen Englands» (Лпц., 1868); Грановский, «Квакеры» («Сочинения», т. 1).
М. В.
В Россию К. явились впервые в конце XVII в. в лице Квирина Кульмана, сожженного в Москве. В 1743 г., а затем синодским указом 9 дек. 1756 г. «квакерскою ересью» названа секта хлыстов, хотя происхождение последних едва ли имеет какую-либо связь с историей К.; поводом к этому, вероятно, послужило некоторое сходство основного учения К. об озарении от Духа с учением наших хлыстов о воплощениях и вдохновении, вызываемых, как и у К., посредством различных телодвижений. Ср. Сырцов, «Сибирские К. в XVIII в.» (106. 1882 — оттиск из «Тобольск. Епарх. Ведом.»); Гурьев, «Расстриги девки-квакереи» («Русск. Вестн.» 1881, № 8). Петру I К. представлялись дважды во время пребывания его в Лондоне; государь отнёсся к ним весьма внимательно и, будучи заграницей, не упускал случая побывать на квакерском богослужении. Менее случайный характер имели сношения с К. Александра I, в мистическом настроении которого квакерские идеи находили много отголосков. Александр I познакомился с К. в Лондоне в 1814 г. В 1818 г. К. Грелье и Аллен приезжали в Петербург и были приняты государем, который с ними молился. В 1822 г. импер. Александр имел в Вене новое свидание с Вильямом Алленом, этим неутомимым борцом против невольничества, который с помощью русского императора надеялся достигнуть своей заветной цели — объявления негроторговли равносильною пиратству. В 1824 г. прибыл в Петербург К. Томас Шиллите, который дважды молился с государем. Ср. Пыпин, «Император Александр I и К.» («Вестн. Европы» 1869, № 10); «Записки К. (Грелье) о пребывании в России» («Русская Старина», 1874, № 1).
Квалификация
Квалификация (ново-лат.) — вообще обозначение признаками. В уголовном праве под К. разумеют выделение, по особым, вину отягощающим признакам, некоторых видов из целого рода преступлений, так, убийство, кража, родовые преступления, отцеубийство, убийство беременной женщины, кража со взломом — видовые квалифицированные преступления. В законодательстве нашем признаки К. именуются обстоятельствами особо увеличивающими вину. От общих обстоятельств, увеличивающих вину, особо увеличивающие вину обстоятельства отличаются тем, что 1) входят в состав законных признаков (квалифицированного) преступления и изменяют его свойства и 2) определяются не в общей, а в особенной части Уложения, в статьях о том преступлении, к которому относятся. О признаках К., при постановке вопросов о виновности, должно быть или упомянуто в главном вопросе, или же поставлены отдельные частные вопросы. Уложение о наказ. по отношению к каждому почти преступлению устанавливает квалифицированные его виды. Основанием К. служат самые различные моменты. Так, при убийстве, система К. которого отличается особою сложностью, такими моментами служат: свойства объекта, способ совершения преступления, руководящие преступником побуждения, обстоятельства повторения и соучастия. Телесное повреждение квалифицируется или по последствиям его, или по объекту; кража — или по субъекту, или по предмету, или по обстановке её (место, время и способ совершения). В эпоху процветания смертной казни, более тяжкие преступления влекли за собою и квалифицированную смертную казнь: она или была особо мучительная, по самому способу лишения жизни, или же соединена была с какими-либо дополнениями, обрядовыми или мучительными.
А. Я.
А. Я.
Кваренги
Кваренги (Джакомо Quarenghi или Guаrenghi) — известный архитектор и живописец (1744 — 1817), сын и внук живописца, род. в Бергамо, сперва учился живописи в Риме под руководством Рафаэля Менгса, затем изучал архитектуру. Будучи 35 лет от роду, приехал в СПб. искать счастья при дворе Екатерины II. Ещё до своего отъезда из Италии построил манеж в Монако и столовую залу в доме эрцгерцогини Моденской, в Вене. По поручению Екатерины II, К. построил в СПб. здание государственного банка, эрмитажный театр и арку, соединяющую этот театр с зданием Старого Эрмитажа. Павел I назначил К. архитектором Высочайшего двора и поручил ему построить дом на Дворцовой Набережной, в приданое Анне Петровне Лопухиной. В Царском Селе К. построил Александровский дворец, представляющий в плане два квадрата, связанные параллелограммом, с крыльцами в середине здания, украшенными колоннами, и здание театра в саду близ Большого дворца. При Александре I он построил здание Смольного института, соединив новую постройку с монастырём, сооружённым граф. Растрелли. По проекту К. (1803) построена спб. Мариинская больница для бедных. Из последних работ К. выдаются: английский дворец в Петергофе, манеж К. — гв. конного полка (в СПб.) и триумфальные ворота за Нарвской заставой, воздвигнутые по случаю вступления в СПб. гвардии после взятия Парижа. Работы К. исполнены в духе новой итальянской школы, с её изящным, благородным, но холодным и сухим стилем, совершенно непригодным для северных стран, где колонны, столь любимые К.. отнимают много света, и без того скупо отпускаемого природой Севера; зато в строениях К. всегда заметен вкус и гармоничность пропорций. Состоял почётным вольным общником имп. акд. художеств. Ум. в СПб., 18 февраля 1817 г. В Милане, в 1821 г., его сыном изданы его планы и пр. «Fabbriche е Disegni di Giacomo Guarenghi». Ср. «Зодчий» (1872, № 5). Ум.