Страница:
В.И. Я не верю, как ни странно, что это говорит официальная пропаганда. Официальная пропаганда, на мой взгляд (правда, я не знаком со всеми течениями в исламе), больше возмущена вестернизацией Востока, чем говорит о ненависти к Америке. То есть, если бы Запад не предпринимал таких мощных усилий по вестернизации Востока, проблем было бы гораздо меньше. Если мы вспомним англичан, то Саудовская Аравия и Аравийский полуостров, где англичане тоже, как известно, присутствовали, были единственной территорией, по поводу которой в колониальные времена было принято правило, что там не должны находиться христианские миссионеры. Они тогда уже понимали, насколько исламская цивилизация особенна, и насколько такая деятельность, с точки зрения христианства безусловно правильная, политически опасна. Сейчас баланс нарушен. Я думаю, что проблема не в том, что Бен Ладен и его последователи хотят сделать Америку мусульманской страной, а в том, что они не хотят сами стать американцами. Не делайте их таковыми, проблем будет меньше.
А.Г. И вы не видите проблемы в том, что Бен Ладен и остальные бойцы этого фронта настаивают на том, что перераспределение средств должно произойти еще на протяжении их жизни? И в идеологии отказа от вестернизации Юга, в том числе исламского Юга, вы не видите никакой экономической подоплеки?
В.И. Может быть, я не совсем внимательно слежу за развитием событий в этой области, но я склонен считать, что в 70-е, например, годы, когда было сильно движение развивающихся стран по вопросам ресурсной революции и ценовых колебаний, тогда действительно были слышны требования нового экономического порядка, перераспределения и т.д. Я не слышал от исламских фундаменталистов лозунга перераспределения. Вряд ли можно призыв палестинцев к израильтянам уйти с оккупированных территорий объяснять требованием перераспределения.
А.Г. Мне кажется, что не услышим мы этих лозунгов, потому что некая группа людей, которая имеет влияние в исламском мире и понимает, что растущие противоречия между Югом и Севером не только идеологические, но и материальные, не будет выдвигать лозунги такого типа. Они сделают все, чтобы исламский мир был абсолютно убежден, что он воюет против идеологии, а воевал бы при этом за перераспределение материальных благ. То есть это элементарное использование огромной потенции мусульманской силы для того, чтобы добиться с их точки зрения справедливого распределения мира.
В.И. Демагогия. Потому что в самом исламском мире сосредоточены такие богатства, которые при их нормальном использовании решат проблему бедности населения Саудовской Аравии и сопредельных территорий. То есть в данном случае вопрос встает о том, как осуществляется там распределение.
А.Г. Для этого надо делиться своим.
В.И. Да, естественно.
А.Г. Простите, зачем же нам делиться своим, если есть богатый Запад, у которого можно отнять и перераспределить. Мне кажется, подоплека очевидна.
В.И. Может быть она и такова, но дело в том, что отнять будет вряд ли возможно. Лучше разумно распределять и более активно сберегать свое, чем пытаться урвать что-то с Запада, потому что это будет очень сложно.
А.Г. Хорошо. При условии растущего влияния класса интеллектуалов и все больших средств и ресурсов, которые они собирают у себя, каким вы видите западный мир в долгосрочной перспективе?
В.И. Это очень интересный вопрос, наверное, самый интересный из тех, которые сегодня звучали. Как ни странно, в отрицательных моментах, которые связаны с этим нарастающим неравенством, возможно, есть и позитив. Я имею в виду вот что: в течение очень долгого времени считалось, что равенство и справедливость – это фактически одинаковые понятия, что неравенство несправедливо. Но если это мнение будет пересматриваться и будет осознаваться, что те идеалы, которые были провозглашены еще в начале индустриальной эпохи, сильно изменились и должны быть пересмотрены, то это может иметь хорошие последствия в одном.
Постепенно станет все более очевидным, что разрыв нарастает, и проблемы, с этим связанные, усиливаются. Если брать европейскую модель, то я бы рискнул предположить рост социальной солидарности. На сегодняшний день европейцы гигантскими налогами, огромными пособиями – осознанно связывая свое экономическое развития, лишая себя части прибылей – покупают, по сути дела, лояльность остального общества и делают это очень успешно. Это имеет очень хороший эффект в том плане, что будет создавать (опять-таки в Европе в гораздо большей степени, чем в Америке) чувство социального единства, будет относительно стабилизировать общество, сплачивать общество, которое этой модели следует. Фактически это мы видим в Европейском Союзе. Там, где этого не будет, все будет развиваться по более тяжелому сценарию.
Ситуация повторяется: во времена аристократического общества существовали некие идеи, идеалы, какие-то национальные задачи, подходы – даже национальные государства возникли, собственно, в 16–17-м веке, когда серьезным образом встал вопрос о том, что есть национальная верхушка и национальные низы. Что-то подобное должно произойти и сейчас. То есть общество не выживет, если оно не предпочтет несправедливое равенство справедливому неравенству. А если оно предпочтет несправедливое равенство справедливому неравенству, то это очень сильно – как никогда в истории – изменит человеческую психологию.
Смешно говорить в этом отношении о каких-то коммунистических идеях, но по сути дела, члены того или иного общества будут обеспечены определенным образом только потому, что они члены этого общества. И, в какой-то мере, 12-процентная безработица в Европе (притом что ни у кого нет желания устраиваться на низкооплачиваемую работу) – это первый шаг на таком пути. Я имею в виду, что это общество действительно становится несколько более солидаризированным, чем американское. Потому что американское общество – идеологическое общество, и усомниться в своей национальной идее будет катастрофично для Америки. А обстоятельства обязательно приведут к тому, что в этой идее придется усомниться.
А.Г. Значит, постдемократическое устройство общества – на социальных идеалах, но при осознании справедливого неравенства.
В.И. Понимаете, вопрос о демократии в западном варианте на сегодняшний день абсолютно непринципиален. Мы обращаем много внимания на эту проблему, потому что считаем демократию синонимом прав. На самом деле здесь очень странная система охраны прав личности. Потому что существует Европейская комиссия, которую ни один гражданин объединенной Европы не выбирал. Существует Европейский суд, куда может обратиться португальский или французский рабочий в связи с нарушением его прав. И если они будут восстановлены, то ему абсолютно не интересно, голосует он на выборах во Франции или не голосует. И идея именно правовой системы, ее преемственности, ее возможности находить баланс, она, на мой взгляд, сегодня более принципиальна, чем идея подсчета голосов.
А.Г. Ресурсы ограничены в мире.
В.И. Спорный вопрос.
А.Г. По крайней мере нас учат, что любые ресурсы рано или поздно кончаются. Давайте возьмем европейскую модель. Есть определенное количество ресурсов и есть определенное количество людей, которые представляют собой класс интеллектуалов. Бурный взлет этого класса привел ведь к тому, что они сосредоточили в своих руках, скажем, 80% ресурсов, на долю остальных осталось то, что осталось. Не приведет ли это к следующей странной ситуации: следующее поколения будут давать как интеллектуалов, так и не интеллектуалов – но все места наверху будут заняты. Та самая ситуация, которая привела на вершину одних, уже не будет срабатывать для других, упадет спрос на то, что раньше пользовалось, как вы сказали, бесконкурентным спросом. Возникнет целый слой, который мы бы назвали, наверное, интеллигенцией, то есть бедных интеллектуалов, у которых есть высокие мотивы, но которые не могут существовать в обществе, ограниченном в том, в том, и в том. Не возникнет ли здесь интеллектуальной революционной ситуации? Не попытается ли этот класс поднять на борьбу…
В.И. Кого?
А.Г. Прикормленных остальных.
В.И. А за что им бороться?
А.Г. За то же самое перераспределение.
В.И. Напрямую я не вижу такой опасности. Почему? Сама по себе эта революция интеллектуалов достаточно молода. Ей 50, максимум 80 лет. И на сегодняшний день богатейших династий на интеллектуальной почве не сложилось. Если мы посмотрим на ту же самую компьютерную революцию, мы увидим, что новыми миллиардерами стали люди не из самых низов, но и не из высшего слоя общества. Эти волны будут идти и идти.
Скорее, есть проблема замыкания носителей знания на класс образованной элиты. То есть пропорция наследников образованного класса поступающих в университеты, неуклонно растет. А доход на семью молодого абитуриента растет гораздо быстрее, чем средний доход. Но проблема не заключается в том, чтобы открыть новую теорию Вселенной, а в том, чтобы привнести в общество что-то новое, то, что нужно людям. А если это нужно людям, это нужно в том числе и большинству. И вероятность того, что именно из среднего слоя будут выходить те, кто лучше поймет интересы этого слоя, всегда останется.
Но я еще раз хочу сказать, что интеллектуалы, в том смысле слова, в котором мы о них сегодня говорили, – это не интеллигенция, это люди, создающие новый продукт. Это может быть новое платье, новый дизайн автомобиля. Это креативность, собственно говоря, она не обязательно должна быть связана с какими-то огромными научными знаниями. Уникальность ситуации заключается в том, что сегодня возможность создания нового уже не связана с какими-то недосягаемыми высотами науки. Это создается на гораздо более низком уровне, и поэтому я не думаю, что такое замыкание будет таким уж тотальным.
Математика нелинейного мира
Участник:
Александр Михайлович Виноградов – доктор физико-математических наук
Александр Гордон: …вопрос о родном языке квантовой механики. То есть, на каком языке, собственно, изъясняется сама физика, в которой проблем гораздо меньше, чем в математике, старающейся ее описать или, вернее, быть рядом с ней. Я правильно понял суть или не очень?
Александр Виноградов: Частично да. То есть я буду говорить не только о квантовой механике, но, скорее, о нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Но вы, пожалуйста, не пугайтесь, это на самом деле очень просто.
А.Г. Правильно, а то не только у меня сейчас екнуло сердце, но думаю, у большинства аудитории, уж очень математической кажется такая терминология, для меня, например.
А.В. Вы знаете, когда я готовился к передаче, то просмотрел на вашем сайте, какие темы тут разбирались – чтобы проникнуться духом вашей программы. И обнаружил, что я здесь, по-моему, второй чистый математик. И еще мне показалось, что физики говорили о математике. В чем дело? Вы боитесь математиков или они вас?
А.Г. Знаете, я думаю, это взаимный процесс недоверия к тому, что истина может родиться в столь короткой программе, когда речь идет о такой высокой материи, как математика.
А.В. Она – действительно высокая материя. Спасибо. Я думаю, что, может быть, поэтому некоторая ясность возникнет в процессе нашей беседы.
Так вот, я хочу начать издалека, не говоря первое время вообще ни слова о математике. Во-первых, вроде бы все знают, что такое математика, но я боюсь, что это требует разъяснения: тут есть вещи, которые ускользают от внимания даже тех, кто окончил высшие учебные заведения с полным курсом высшей математики. На самом деле математика очень многообразна, и там есть очень много областей: можно решать дифференциальные уравнения или заниматься раскодированием кодов (на этот счет есть своя теория). Что, казалось бы, общего между такими разными вещами? На самом деле, математика – это точный язык, это единственный язык, или, лучше сказать, языки, которые изобрело человечество, которые дают уверенность, что вы говорите правду, и проверить эту правду путем точного рассуждения.
Когда я это говорю, нужно иметь в виду, что математика знает много точных языков. Точное логическое рассуждение – это только самый примитивный язык, который используют в математике. Знаете, как в компьютерах есть самый примитивный язык в двоичных кодах.
А.Г. Бинарный код, да.
А.В. Это самый простой язык. Потом есть более сложные языки, которые гораздо эффективнее улавливают специфические проблемы и так далее. Так вот, с этой точки зрения, я бы определил математику как язык точного естествознания. В частности, сюда, в естествознание, я включаю также природу, созданную человеком, скажем, экономику или то, что называется информатикой, и так далее. И вот это будет в каком-то смысле лейтмотивом сегодняшнего разговора – язык.
Посмотрите, с чего начинается Евангелие от Иоанна. «Вначале было Слово», и дальше – «и Слово было у Бога, и Слово было Бог». Это очень глубокая мысль, независимо от религиозных воззрений того или иного человека. Собственно, она, с другой стороны, тривиальна. Если вы желаете объяснить что-то кому-то, вы рассуждаете, и рассуждаете на каком-то языке. Если Создатель замыслил какой-то мир, он должен был, по крайней мере, внутри себя иметь план. Этот план должен был быть изложен на каком-то языке. Это, в общем-то, простая суть, но когда она начинает конкретизироваться, скажем, в математике, то приобретает такие сложные формы, что ее, этой сути, и не видно. Поэтому я хочу заострить внимание именно на этом аспекте.
Кроме того что математика – это точный язык, это еще и искусство рассуждать на этом языке. Если сравнивать с литературой, то сначала, когда создается новый математический язык, создатели этого языка говорят очень грубые фразы. Потом они начинают что-то рифмовать, потом пишут поэмы и так далее. Все происходит, как в литературе. И можно даже сопоставить такое развитие с приходом в русскую литературу сначала Тредиаковского, потом Ломоносова, потом Пушкина и так далее. Этапы развития русского языка, как любого натурального языка, и математики похожи.
А.Г. Но это сомнительное сравнение, потому что получается, если следовать этой логике, что сегодня мы должны писать лучше, чем писал Пушкин на том же самом языке, чего мы не наблюдаем.
А.В. Это точное замечание, но язык науки проще, и он совершенствуется за счет создания новых языков и за счет обогащения, если сравнивать с литературой, лексического материала. На самом деле, я бы сказал, в науке красота возрастает. Может быть, это ее отличие от литературы.
Был такой замечательный современный философ Людвиг Витгенштейн, один из последних крупных философов, у него есть замечательная максима: «Пределы моего мира суть пределы моего языка». То есть то, что человек может понять в этом мире, формулируется на его языке. Если вы хотите понять китайца и не говорите по-китайски, вы не можете до конца понять, что такое китайская душа – и так далее. Все это применимо и к математике. Вот еще замечательное высказывание: когда Бродского спрашивали, испытывает ли он ностальгию, он говорил: «Родина – это язык».
Итак, математика – точный язык. Но научные языки – не обязательно математические. Скажем, язык химии не такой точный, он довольно приблизителен, поэтому химик, когда рассуждает о своих соединениях, он то рассуждает логически в пределах этого языка, то обращается к каким-то внеязыковым вещам, для этого ему служит эксперимент. В физике это происходит в меньшей степени, в биологии – в большей. Что такое понимание, когда нарастает понимание? Когда данная область математизируется. Полное понимание – это когда область полностью математизирована, тогда мы знаем всю правду.
Давайте начнем с попыток человечества понять правду. Вспомним еще раз Библию. Помните, когда у людей разум стал достаточно сильным, они стали смотреть, что вокруг, и решили построить Вавилонскую башню, чтобы увидеть Бога, и проект составили на своем логическом языке. Увидев это, Бог решил, что нужно остановить эти попытки, и что он сделал? Он разделил языки. Но на этом игра не остановилась. Люди сначала были в замешательстве, потом стали думать, «а что же делать дальше?», потому что бес все время точил: «а что такое? где Бог?» и многие другие вопросы. И люди создали новый язык. Как вы думаете, как этот язык называется?
А.Г. Математика?
А.В. Замечательно, я к этому и клонил. Но на этом партия опять не закончилась. Люди достигли многого в математике, например, в греческие времена. Это поразительно, но они вычислили радиус Земли, довольно точно измерили расстояние до Солнца. Известны и другие более-менее выдающиеся научные открытия, которые были сделаны потом. И Бог время от времени говорил: «хватит». И он разделял языки уже внутри математики. В общем, вот такая партия.
А.Г. Аналогия понятна.
А.В. Сначала единый язык, потом, когда человек становится слишком дерзким, происходит это расползание языков, и потом непонятно, что делать. В общем, это очень интересный процесс.
Что же происходит, когда языки расползаются, когда точность теряется? Начинает рождаться метафизика. Скажем, человек – еще достаточно первобытный человек – на языке обычной логики пытается понять мир. Он что-то знает твердо о мире вокруг себя. Когда он хочет понять, например, устройство окружающего мира, то в терминах своего языка говорит: «это черепаха», поскольку мир ему кажется плоским. На чем же держится черепаха? Если человек живет на берегу океана, он, оглядываясь вокруг, решает, что эта черепаха, наверное, плавает в океане – это первая космогоническая гипотеза. Это метафизика, потому что здесь теория выходит за пределы языка, язык становится неточным. И то же самое происходит в науке. Но там метафизика, уже не так заметна невооруженному глазу, глазу неспециалиста, она как бы скрыта специальной терминологией, она уже формулируется, если угодно, в терминах дифференциального исчисления, если говорить о таком высоком языке…
А.Г. Появляется уже жреческий язык.
А.В. Да, да. Это всегда тормозит некое идеально мыслимое развитие науки. Поэтому всегда нужно иметь это в виду. Например, известна крылатая фраза Ньютона: «Гипотез не измышляю». По-видимому, он обращался к Гуку, который на самом деле открыл формулу закона всемирного тяготения. Многие думают, что это открыл Ньютон, это Гук сделал, физик. Он сердцем, по-видимому, почувствовал, а Ньютон это доказал, объяснив на этой основе, почему планеты именно так, а не иначе вокруг Солнца вращаются. Он составил первое дифференциальное уравнение, решил его и этим доказал, то есть, он точно это установил. У Гука это была интуиция или наитие, неизвестно что. Ньютон же это доказал. И он говорил: «гипотез я не выдумываю», то есть, не иду за пределы моего языка.
Я бы хотел здесь остановиться и просто сказать, каковы два источника, из которых вылезает разная метафизика. В сфере точного естествознания, грубо говоря, есть два таких мощных источника – это теория нелинейных процессов, которые в принципе можно описать в терминах классического дифференциального исчисления, и квантовая физика. На самом деле эти две вещи связаны, и я попытаюсь это объяснить.
Прежде чем этим заняться, посмотрим на историю математики. Там были две великих революции – если рассматривать математику как язык. Ведь на самом деле математики были долгое время неграмотными, то есть они не имели своей собственной письменности, их языком (я, конечно, очень огрубляю) была греческая геометрия. Чертежи там были чем-то вроде иероглифов, математик, Геометр смотрел на них и учился понимать. В греческих книгах содержалось не доказательство в современном смысле, а было написано «смотри». Человек должен был смотреть и уловить, скажем, теорему Пифагора.
Письменность математики, как это было и в обычной человеческой истории, была изобретена гораздо позже, это изобретение было связано с многими именами, но выделяется здесь Франсуа Виет. Это была письменность вроде той, которой мы в школе учимся, когда пишем алгебраические уравнения «икс квадрат плюс игрек» и тому подобное – это простейшая письменность в математике. Потом она, конечно, была развита.
Эта математическая письменность, в общем-то, адаптирована к четырем арифметическим операциям. Данная цивилизация в этом смысле – арифметическая, или лучше сказать алгебраическая, эта ветвь математической цивилизации сейчас называется коммутативной алгеброй. Но в этих терминах вы не можете, скажем, математически выразить, что такое скорость, например, или что такое касательная к кривой – и много других вещей. Написать тогда алгебраическими методами уравнение касательной было крупной математической работой. Сейчас это, конечно, вызывает улыбку.
Под давлением таких обстоятельств был изобретен новый язык – язык дифференциального исчисления. Это связано с именами Ньютона и Лейбница, хотя на самом деле это длинный период в истории математики. Они как альпинисты, которые достигли пика благодаря усилиям целой команды. Так вот, это была другая революция. То есть на основе дифференциального исчисления произошла глобальная, снизу доверху, перестройка математики.
Вы знаете, что я обнаружил у Толстого в одном из его ранних изданий «Войны и мира»? Я обожаю читать его философские рассуждения. И я нашел более-менее следующее. Там обсуждается, что Милорадович сделал такое передвижение, Мюрат опоздал, что-то в таком духе, и поэтому русские, дескать, выиграли кампанию. И Толстой рассуждает и показывает, что обычной повседневной логикой этот процесс нельзя описать, и пишет дальше, что «тут нужно знать законы, математики для описания этих законов и создали специальный язык исчисления бесконечно малых, инфинитезимальных величин». К сожалению, эта фраза была только в одном из первых изданий, в нынешних ее нет.
А.Г. Софья Андреевна не поняла и заставила выкинуть, как это бывало у них в семье…
А.В. Может быть, эта гипотеза мне не приходила в голову. Это удивительно, какие бывают гениальные люди, которые, наверное, хорошо учили математику.
Итак, последний язык – это язык дифференциального исчисления. Этот язык – родной язык классической физики. Все, что написано в классической физике, это дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения бывают линейные и нелинейные, я сейчас постараюсь это пояснить. Например, свет описывается уравнениями Максвелла, они линейные, это соответствует тому, что световые волны могут накладываться друг на друга – есть принцип суперпозиции. А если вы будете пускать свет в какой-нибудь сложной среде, например, как говорят, «с памятью», там такого эффекта не будет, там будут аномальные с точки зрения поведения света в вакууме, эффекты. Это означает, что уравнения, которые описывает свет в такой среде – нелинейные.
Я хочу объяснить, что такое нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Дайте, пожалуйста, четвертую картинку. Вы видите, там три кривых, я пока напоминаю, что такое обыкновенная производная. Синяя кривая – это график некоторой функции. Производная – это очень просто, это крутизна графика. Крутизна – переменна, и поэтому это другая функция. Скорость синего графика – это красный график. Этот процесс можно продолжить. Возьмем скорость и посмотрим скорость скорости. Скорость красного графика – это зеленый график. Это – просто напоминание, что такое производная.
Теперь давайте к следующей картинке перейдем. Это график функции двух переменных. Вы видите там линии, которые идут справа налево, и линии, которые им перпендикулярны. И еще вы видите оси икс и игрек. Линии, которые идут слева направо, идут в направлении оси икс, линии другого семейства – в направлении оси игрек.
Что такое частная производная по икс? Это крутизна линий, которые идут справа налево. Частная производная по игрек – это крутизна линий, которые идут в перпендикулярном направлении. На рисунке показано, как эти производные обозначаются. Если функция Y, то производная по икс – это Y с индексом икс. По игрек – с индексом игрек. Если мы снова будем считать производные у этих функций, то будет Yх, и так далее. Простое понятие, согласитесь, если неформально его объяснить. И классическая природа описывается в терминах уравнений, которые связывают между собой частные производные.
Пожалуйста, следующий слайд. Сверху написано линейное уравнение. Почему оно линейное, как это из записи увидеть? Видите, там только суммы. Следующее уравнение – очень знаменито, оно наделало много шума за последние 25–30 лет. Это уравнение Кортевега – де Фриза. О чем оно говорит? Вот то, что написано Y по t, это то, как изменяется со временем функция Y. А закон этого изменения функции стоит в левой части. Видите, там комбинация производных. И в одном месте вы видите умножение: Y умножается на Y по икс. Это нелинейный член, то, что разрушает принцип суперпозиции, который есть в первом уравнении. Так это можно увидеть по математической записи. Вы верите в чудеса?
А.Г. Нет.
А.В. Я тоже нет, но тут есть чему удивиться. Первый повод, для того чтобы удивиться. Это уравнение описывает, с одной стороны, поведение воды в узком канале, а с другой стороны, реактивной струи, вылетающей из самолетов Аэрофлота. И с третьей стороны, как бегут электрические сигналы по нашим нервам. Подумайте, с помощью обычного языка мы могли бы это «увидеть»? Оказывается, мы можем это увидеть с помощью математики. Мы начнем ковыряться в явлении с помощью физиологов или физиков, напишем уравнение и увидим, что… Так что мы можем моделировать «нервы» водой в канале или рассчитывать самолеты с помощью «нервов». В общем, это – чудо в некотором смысле. Мы потеряли способность удивляться, но таким вещам нужно удивляться.
А.Г. И вы не видите проблемы в том, что Бен Ладен и остальные бойцы этого фронта настаивают на том, что перераспределение средств должно произойти еще на протяжении их жизни? И в идеологии отказа от вестернизации Юга, в том числе исламского Юга, вы не видите никакой экономической подоплеки?
В.И. Может быть, я не совсем внимательно слежу за развитием событий в этой области, но я склонен считать, что в 70-е, например, годы, когда было сильно движение развивающихся стран по вопросам ресурсной революции и ценовых колебаний, тогда действительно были слышны требования нового экономического порядка, перераспределения и т.д. Я не слышал от исламских фундаменталистов лозунга перераспределения. Вряд ли можно призыв палестинцев к израильтянам уйти с оккупированных территорий объяснять требованием перераспределения.
А.Г. Мне кажется, что не услышим мы этих лозунгов, потому что некая группа людей, которая имеет влияние в исламском мире и понимает, что растущие противоречия между Югом и Севером не только идеологические, но и материальные, не будет выдвигать лозунги такого типа. Они сделают все, чтобы исламский мир был абсолютно убежден, что он воюет против идеологии, а воевал бы при этом за перераспределение материальных благ. То есть это элементарное использование огромной потенции мусульманской силы для того, чтобы добиться с их точки зрения справедливого распределения мира.
В.И. Демагогия. Потому что в самом исламском мире сосредоточены такие богатства, которые при их нормальном использовании решат проблему бедности населения Саудовской Аравии и сопредельных территорий. То есть в данном случае вопрос встает о том, как осуществляется там распределение.
А.Г. Для этого надо делиться своим.
В.И. Да, естественно.
А.Г. Простите, зачем же нам делиться своим, если есть богатый Запад, у которого можно отнять и перераспределить. Мне кажется, подоплека очевидна.
В.И. Может быть она и такова, но дело в том, что отнять будет вряд ли возможно. Лучше разумно распределять и более активно сберегать свое, чем пытаться урвать что-то с Запада, потому что это будет очень сложно.
А.Г. Хорошо. При условии растущего влияния класса интеллектуалов и все больших средств и ресурсов, которые они собирают у себя, каким вы видите западный мир в долгосрочной перспективе?
В.И. Это очень интересный вопрос, наверное, самый интересный из тех, которые сегодня звучали. Как ни странно, в отрицательных моментах, которые связаны с этим нарастающим неравенством, возможно, есть и позитив. Я имею в виду вот что: в течение очень долгого времени считалось, что равенство и справедливость – это фактически одинаковые понятия, что неравенство несправедливо. Но если это мнение будет пересматриваться и будет осознаваться, что те идеалы, которые были провозглашены еще в начале индустриальной эпохи, сильно изменились и должны быть пересмотрены, то это может иметь хорошие последствия в одном.
Постепенно станет все более очевидным, что разрыв нарастает, и проблемы, с этим связанные, усиливаются. Если брать европейскую модель, то я бы рискнул предположить рост социальной солидарности. На сегодняшний день европейцы гигантскими налогами, огромными пособиями – осознанно связывая свое экономическое развития, лишая себя части прибылей – покупают, по сути дела, лояльность остального общества и делают это очень успешно. Это имеет очень хороший эффект в том плане, что будет создавать (опять-таки в Европе в гораздо большей степени, чем в Америке) чувство социального единства, будет относительно стабилизировать общество, сплачивать общество, которое этой модели следует. Фактически это мы видим в Европейском Союзе. Там, где этого не будет, все будет развиваться по более тяжелому сценарию.
Ситуация повторяется: во времена аристократического общества существовали некие идеи, идеалы, какие-то национальные задачи, подходы – даже национальные государства возникли, собственно, в 16–17-м веке, когда серьезным образом встал вопрос о том, что есть национальная верхушка и национальные низы. Что-то подобное должно произойти и сейчас. То есть общество не выживет, если оно не предпочтет несправедливое равенство справедливому неравенству. А если оно предпочтет несправедливое равенство справедливому неравенству, то это очень сильно – как никогда в истории – изменит человеческую психологию.
Смешно говорить в этом отношении о каких-то коммунистических идеях, но по сути дела, члены того или иного общества будут обеспечены определенным образом только потому, что они члены этого общества. И, в какой-то мере, 12-процентная безработица в Европе (притом что ни у кого нет желания устраиваться на низкооплачиваемую работу) – это первый шаг на таком пути. Я имею в виду, что это общество действительно становится несколько более солидаризированным, чем американское. Потому что американское общество – идеологическое общество, и усомниться в своей национальной идее будет катастрофично для Америки. А обстоятельства обязательно приведут к тому, что в этой идее придется усомниться.
А.Г. Значит, постдемократическое устройство общества – на социальных идеалах, но при осознании справедливого неравенства.
В.И. Понимаете, вопрос о демократии в западном варианте на сегодняшний день абсолютно непринципиален. Мы обращаем много внимания на эту проблему, потому что считаем демократию синонимом прав. На самом деле здесь очень странная система охраны прав личности. Потому что существует Европейская комиссия, которую ни один гражданин объединенной Европы не выбирал. Существует Европейский суд, куда может обратиться португальский или французский рабочий в связи с нарушением его прав. И если они будут восстановлены, то ему абсолютно не интересно, голосует он на выборах во Франции или не голосует. И идея именно правовой системы, ее преемственности, ее возможности находить баланс, она, на мой взгляд, сегодня более принципиальна, чем идея подсчета голосов.
А.Г. Ресурсы ограничены в мире.
В.И. Спорный вопрос.
А.Г. По крайней мере нас учат, что любые ресурсы рано или поздно кончаются. Давайте возьмем европейскую модель. Есть определенное количество ресурсов и есть определенное количество людей, которые представляют собой класс интеллектуалов. Бурный взлет этого класса привел ведь к тому, что они сосредоточили в своих руках, скажем, 80% ресурсов, на долю остальных осталось то, что осталось. Не приведет ли это к следующей странной ситуации: следующее поколения будут давать как интеллектуалов, так и не интеллектуалов – но все места наверху будут заняты. Та самая ситуация, которая привела на вершину одних, уже не будет срабатывать для других, упадет спрос на то, что раньше пользовалось, как вы сказали, бесконкурентным спросом. Возникнет целый слой, который мы бы назвали, наверное, интеллигенцией, то есть бедных интеллектуалов, у которых есть высокие мотивы, но которые не могут существовать в обществе, ограниченном в том, в том, и в том. Не возникнет ли здесь интеллектуальной революционной ситуации? Не попытается ли этот класс поднять на борьбу…
В.И. Кого?
А.Г. Прикормленных остальных.
В.И. А за что им бороться?
А.Г. За то же самое перераспределение.
В.И. Напрямую я не вижу такой опасности. Почему? Сама по себе эта революция интеллектуалов достаточно молода. Ей 50, максимум 80 лет. И на сегодняшний день богатейших династий на интеллектуальной почве не сложилось. Если мы посмотрим на ту же самую компьютерную революцию, мы увидим, что новыми миллиардерами стали люди не из самых низов, но и не из высшего слоя общества. Эти волны будут идти и идти.
Скорее, есть проблема замыкания носителей знания на класс образованной элиты. То есть пропорция наследников образованного класса поступающих в университеты, неуклонно растет. А доход на семью молодого абитуриента растет гораздо быстрее, чем средний доход. Но проблема не заключается в том, чтобы открыть новую теорию Вселенной, а в том, чтобы привнести в общество что-то новое, то, что нужно людям. А если это нужно людям, это нужно в том числе и большинству. И вероятность того, что именно из среднего слоя будут выходить те, кто лучше поймет интересы этого слоя, всегда останется.
Но я еще раз хочу сказать, что интеллектуалы, в том смысле слова, в котором мы о них сегодня говорили, – это не интеллигенция, это люди, создающие новый продукт. Это может быть новое платье, новый дизайн автомобиля. Это креативность, собственно говоря, она не обязательно должна быть связана с какими-то огромными научными знаниями. Уникальность ситуации заключается в том, что сегодня возможность создания нового уже не связана с какими-то недосягаемыми высотами науки. Это создается на гораздо более низком уровне, и поэтому я не думаю, что такое замыкание будет таким уж тотальным.
Математика нелинейного мира
29.09.03
(хр. 00:45:15)
Участник:
Александр Михайлович Виноградов – доктор физико-математических наук
Александр Гордон: …вопрос о родном языке квантовой механики. То есть, на каком языке, собственно, изъясняется сама физика, в которой проблем гораздо меньше, чем в математике, старающейся ее описать или, вернее, быть рядом с ней. Я правильно понял суть или не очень?
Александр Виноградов: Частично да. То есть я буду говорить не только о квантовой механике, но, скорее, о нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Но вы, пожалуйста, не пугайтесь, это на самом деле очень просто.
А.Г. Правильно, а то не только у меня сейчас екнуло сердце, но думаю, у большинства аудитории, уж очень математической кажется такая терминология, для меня, например.
А.В. Вы знаете, когда я готовился к передаче, то просмотрел на вашем сайте, какие темы тут разбирались – чтобы проникнуться духом вашей программы. И обнаружил, что я здесь, по-моему, второй чистый математик. И еще мне показалось, что физики говорили о математике. В чем дело? Вы боитесь математиков или они вас?
А.Г. Знаете, я думаю, это взаимный процесс недоверия к тому, что истина может родиться в столь короткой программе, когда речь идет о такой высокой материи, как математика.
А.В. Она – действительно высокая материя. Спасибо. Я думаю, что, может быть, поэтому некоторая ясность возникнет в процессе нашей беседы.
Так вот, я хочу начать издалека, не говоря первое время вообще ни слова о математике. Во-первых, вроде бы все знают, что такое математика, но я боюсь, что это требует разъяснения: тут есть вещи, которые ускользают от внимания даже тех, кто окончил высшие учебные заведения с полным курсом высшей математики. На самом деле математика очень многообразна, и там есть очень много областей: можно решать дифференциальные уравнения или заниматься раскодированием кодов (на этот счет есть своя теория). Что, казалось бы, общего между такими разными вещами? На самом деле, математика – это точный язык, это единственный язык, или, лучше сказать, языки, которые изобрело человечество, которые дают уверенность, что вы говорите правду, и проверить эту правду путем точного рассуждения.
Когда я это говорю, нужно иметь в виду, что математика знает много точных языков. Точное логическое рассуждение – это только самый примитивный язык, который используют в математике. Знаете, как в компьютерах есть самый примитивный язык в двоичных кодах.
А.Г. Бинарный код, да.
А.В. Это самый простой язык. Потом есть более сложные языки, которые гораздо эффективнее улавливают специфические проблемы и так далее. Так вот, с этой точки зрения, я бы определил математику как язык точного естествознания. В частности, сюда, в естествознание, я включаю также природу, созданную человеком, скажем, экономику или то, что называется информатикой, и так далее. И вот это будет в каком-то смысле лейтмотивом сегодняшнего разговора – язык.
Посмотрите, с чего начинается Евангелие от Иоанна. «Вначале было Слово», и дальше – «и Слово было у Бога, и Слово было Бог». Это очень глубокая мысль, независимо от религиозных воззрений того или иного человека. Собственно, она, с другой стороны, тривиальна. Если вы желаете объяснить что-то кому-то, вы рассуждаете, и рассуждаете на каком-то языке. Если Создатель замыслил какой-то мир, он должен был, по крайней мере, внутри себя иметь план. Этот план должен был быть изложен на каком-то языке. Это, в общем-то, простая суть, но когда она начинает конкретизироваться, скажем, в математике, то приобретает такие сложные формы, что ее, этой сути, и не видно. Поэтому я хочу заострить внимание именно на этом аспекте.
Кроме того что математика – это точный язык, это еще и искусство рассуждать на этом языке. Если сравнивать с литературой, то сначала, когда создается новый математический язык, создатели этого языка говорят очень грубые фразы. Потом они начинают что-то рифмовать, потом пишут поэмы и так далее. Все происходит, как в литературе. И можно даже сопоставить такое развитие с приходом в русскую литературу сначала Тредиаковского, потом Ломоносова, потом Пушкина и так далее. Этапы развития русского языка, как любого натурального языка, и математики похожи.
А.Г. Но это сомнительное сравнение, потому что получается, если следовать этой логике, что сегодня мы должны писать лучше, чем писал Пушкин на том же самом языке, чего мы не наблюдаем.
А.В. Это точное замечание, но язык науки проще, и он совершенствуется за счет создания новых языков и за счет обогащения, если сравнивать с литературой, лексического материала. На самом деле, я бы сказал, в науке красота возрастает. Может быть, это ее отличие от литературы.
Был такой замечательный современный философ Людвиг Витгенштейн, один из последних крупных философов, у него есть замечательная максима: «Пределы моего мира суть пределы моего языка». То есть то, что человек может понять в этом мире, формулируется на его языке. Если вы хотите понять китайца и не говорите по-китайски, вы не можете до конца понять, что такое китайская душа – и так далее. Все это применимо и к математике. Вот еще замечательное высказывание: когда Бродского спрашивали, испытывает ли он ностальгию, он говорил: «Родина – это язык».
Итак, математика – точный язык. Но научные языки – не обязательно математические. Скажем, язык химии не такой точный, он довольно приблизителен, поэтому химик, когда рассуждает о своих соединениях, он то рассуждает логически в пределах этого языка, то обращается к каким-то внеязыковым вещам, для этого ему служит эксперимент. В физике это происходит в меньшей степени, в биологии – в большей. Что такое понимание, когда нарастает понимание? Когда данная область математизируется. Полное понимание – это когда область полностью математизирована, тогда мы знаем всю правду.
Давайте начнем с попыток человечества понять правду. Вспомним еще раз Библию. Помните, когда у людей разум стал достаточно сильным, они стали смотреть, что вокруг, и решили построить Вавилонскую башню, чтобы увидеть Бога, и проект составили на своем логическом языке. Увидев это, Бог решил, что нужно остановить эти попытки, и что он сделал? Он разделил языки. Но на этом игра не остановилась. Люди сначала были в замешательстве, потом стали думать, «а что же делать дальше?», потому что бес все время точил: «а что такое? где Бог?» и многие другие вопросы. И люди создали новый язык. Как вы думаете, как этот язык называется?
А.Г. Математика?
А.В. Замечательно, я к этому и клонил. Но на этом партия опять не закончилась. Люди достигли многого в математике, например, в греческие времена. Это поразительно, но они вычислили радиус Земли, довольно точно измерили расстояние до Солнца. Известны и другие более-менее выдающиеся научные открытия, которые были сделаны потом. И Бог время от времени говорил: «хватит». И он разделял языки уже внутри математики. В общем, вот такая партия.
А.Г. Аналогия понятна.
А.В. Сначала единый язык, потом, когда человек становится слишком дерзким, происходит это расползание языков, и потом непонятно, что делать. В общем, это очень интересный процесс.
Что же происходит, когда языки расползаются, когда точность теряется? Начинает рождаться метафизика. Скажем, человек – еще достаточно первобытный человек – на языке обычной логики пытается понять мир. Он что-то знает твердо о мире вокруг себя. Когда он хочет понять, например, устройство окружающего мира, то в терминах своего языка говорит: «это черепаха», поскольку мир ему кажется плоским. На чем же держится черепаха? Если человек живет на берегу океана, он, оглядываясь вокруг, решает, что эта черепаха, наверное, плавает в океане – это первая космогоническая гипотеза. Это метафизика, потому что здесь теория выходит за пределы языка, язык становится неточным. И то же самое происходит в науке. Но там метафизика, уже не так заметна невооруженному глазу, глазу неспециалиста, она как бы скрыта специальной терминологией, она уже формулируется, если угодно, в терминах дифференциального исчисления, если говорить о таком высоком языке…
А.Г. Появляется уже жреческий язык.
А.В. Да, да. Это всегда тормозит некое идеально мыслимое развитие науки. Поэтому всегда нужно иметь это в виду. Например, известна крылатая фраза Ньютона: «Гипотез не измышляю». По-видимому, он обращался к Гуку, который на самом деле открыл формулу закона всемирного тяготения. Многие думают, что это открыл Ньютон, это Гук сделал, физик. Он сердцем, по-видимому, почувствовал, а Ньютон это доказал, объяснив на этой основе, почему планеты именно так, а не иначе вокруг Солнца вращаются. Он составил первое дифференциальное уравнение, решил его и этим доказал, то есть, он точно это установил. У Гука это была интуиция или наитие, неизвестно что. Ньютон же это доказал. И он говорил: «гипотез я не выдумываю», то есть, не иду за пределы моего языка.
Я бы хотел здесь остановиться и просто сказать, каковы два источника, из которых вылезает разная метафизика. В сфере точного естествознания, грубо говоря, есть два таких мощных источника – это теория нелинейных процессов, которые в принципе можно описать в терминах классического дифференциального исчисления, и квантовая физика. На самом деле эти две вещи связаны, и я попытаюсь это объяснить.
Прежде чем этим заняться, посмотрим на историю математики. Там были две великих революции – если рассматривать математику как язык. Ведь на самом деле математики были долгое время неграмотными, то есть они не имели своей собственной письменности, их языком (я, конечно, очень огрубляю) была греческая геометрия. Чертежи там были чем-то вроде иероглифов, математик, Геометр смотрел на них и учился понимать. В греческих книгах содержалось не доказательство в современном смысле, а было написано «смотри». Человек должен был смотреть и уловить, скажем, теорему Пифагора.
Письменность математики, как это было и в обычной человеческой истории, была изобретена гораздо позже, это изобретение было связано с многими именами, но выделяется здесь Франсуа Виет. Это была письменность вроде той, которой мы в школе учимся, когда пишем алгебраические уравнения «икс квадрат плюс игрек» и тому подобное – это простейшая письменность в математике. Потом она, конечно, была развита.
Эта математическая письменность, в общем-то, адаптирована к четырем арифметическим операциям. Данная цивилизация в этом смысле – арифметическая, или лучше сказать алгебраическая, эта ветвь математической цивилизации сейчас называется коммутативной алгеброй. Но в этих терминах вы не можете, скажем, математически выразить, что такое скорость, например, или что такое касательная к кривой – и много других вещей. Написать тогда алгебраическими методами уравнение касательной было крупной математической работой. Сейчас это, конечно, вызывает улыбку.
Под давлением таких обстоятельств был изобретен новый язык – язык дифференциального исчисления. Это связано с именами Ньютона и Лейбница, хотя на самом деле это длинный период в истории математики. Они как альпинисты, которые достигли пика благодаря усилиям целой команды. Так вот, это была другая революция. То есть на основе дифференциального исчисления произошла глобальная, снизу доверху, перестройка математики.
Вы знаете, что я обнаружил у Толстого в одном из его ранних изданий «Войны и мира»? Я обожаю читать его философские рассуждения. И я нашел более-менее следующее. Там обсуждается, что Милорадович сделал такое передвижение, Мюрат опоздал, что-то в таком духе, и поэтому русские, дескать, выиграли кампанию. И Толстой рассуждает и показывает, что обычной повседневной логикой этот процесс нельзя описать, и пишет дальше, что «тут нужно знать законы, математики для описания этих законов и создали специальный язык исчисления бесконечно малых, инфинитезимальных величин». К сожалению, эта фраза была только в одном из первых изданий, в нынешних ее нет.
А.Г. Софья Андреевна не поняла и заставила выкинуть, как это бывало у них в семье…
А.В. Может быть, эта гипотеза мне не приходила в голову. Это удивительно, какие бывают гениальные люди, которые, наверное, хорошо учили математику.
Итак, последний язык – это язык дифференциального исчисления. Этот язык – родной язык классической физики. Все, что написано в классической физике, это дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения бывают линейные и нелинейные, я сейчас постараюсь это пояснить. Например, свет описывается уравнениями Максвелла, они линейные, это соответствует тому, что световые волны могут накладываться друг на друга – есть принцип суперпозиции. А если вы будете пускать свет в какой-нибудь сложной среде, например, как говорят, «с памятью», там такого эффекта не будет, там будут аномальные с точки зрения поведения света в вакууме, эффекты. Это означает, что уравнения, которые описывает свет в такой среде – нелинейные.
Я хочу объяснить, что такое нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Дайте, пожалуйста, четвертую картинку. Вы видите, там три кривых, я пока напоминаю, что такое обыкновенная производная. Синяя кривая – это график некоторой функции. Производная – это очень просто, это крутизна графика. Крутизна – переменна, и поэтому это другая функция. Скорость синего графика – это красный график. Этот процесс можно продолжить. Возьмем скорость и посмотрим скорость скорости. Скорость красного графика – это зеленый график. Это – просто напоминание, что такое производная.
Теперь давайте к следующей картинке перейдем. Это график функции двух переменных. Вы видите там линии, которые идут справа налево, и линии, которые им перпендикулярны. И еще вы видите оси икс и игрек. Линии, которые идут слева направо, идут в направлении оси икс, линии другого семейства – в направлении оси игрек.
Что такое частная производная по икс? Это крутизна линий, которые идут справа налево. Частная производная по игрек – это крутизна линий, которые идут в перпендикулярном направлении. На рисунке показано, как эти производные обозначаются. Если функция Y, то производная по икс – это Y с индексом икс. По игрек – с индексом игрек. Если мы снова будем считать производные у этих функций, то будет Yх, и так далее. Простое понятие, согласитесь, если неформально его объяснить. И классическая природа описывается в терминах уравнений, которые связывают между собой частные производные.
Пожалуйста, следующий слайд. Сверху написано линейное уравнение. Почему оно линейное, как это из записи увидеть? Видите, там только суммы. Следующее уравнение – очень знаменито, оно наделало много шума за последние 25–30 лет. Это уравнение Кортевега – де Фриза. О чем оно говорит? Вот то, что написано Y по t, это то, как изменяется со временем функция Y. А закон этого изменения функции стоит в левой части. Видите, там комбинация производных. И в одном месте вы видите умножение: Y умножается на Y по икс. Это нелинейный член, то, что разрушает принцип суперпозиции, который есть в первом уравнении. Так это можно увидеть по математической записи. Вы верите в чудеса?
А.Г. Нет.
А.В. Я тоже нет, но тут есть чему удивиться. Первый повод, для того чтобы удивиться. Это уравнение описывает, с одной стороны, поведение воды в узком канале, а с другой стороны, реактивной струи, вылетающей из самолетов Аэрофлота. И с третьей стороны, как бегут электрические сигналы по нашим нервам. Подумайте, с помощью обычного языка мы могли бы это «увидеть»? Оказывается, мы можем это увидеть с помощью математики. Мы начнем ковыряться в явлении с помощью физиологов или физиков, напишем уравнение и увидим, что… Так что мы можем моделировать «нервы» водой в канале или рассчитывать самолеты с помощью «нервов». В общем, это – чудо в некотором смысле. Мы потеряли способность удивляться, но таким вещам нужно удивляться.