Вероятнее всего, Демокрит догадывался, что парменидовское учение приводит к выводу о недопустимости пустоты и, следовательно, к признанию отсутствия всякого движения. Но если элеаты рассуждали по принципу: логически противоречиво - значит неистинно и невозможно, то Демокрит полагал следующее - логически противоречиво, но соответствует природе (См.: Там же). Итак, этот учёный, у которого атом был лишь физической гипотезой, вспомогательным средством для объяснения фактов (См.: Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 3. - С. 126), сделал существенный шаг от истинного, т.е. философского знания, в сторону знания лишённого истинности, но содержательного (Данную мысль Маркс пытался разрабатывать в своей докторской диссертации //Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 40. С 163). Его мысль, как видим, смогла трансцендировать за пределы достигнутой степени предельного обобщения знания о мире, выразившегося в учении о единственности бытия как Абсолюта, и пойти дальше в направлении формирования науки о природе. Наука и начинается так, где содержание преобладает над формой, где знание об Абсолюте как бы приподнимается, освобождая место положительному знанию.
Сегодня мы должны относиться к духовной истории так, как будто её последующий ход является целью для предшествующего этапа. Например, Платон никак не мог предвосхитить идей современной физики, поскольку атомистическая идея, с которой связан образ новейшего естествознания, получила у него противоположное развитие. Платон не только последовательно "испарил" всё предметное содержание идеи атома, но и подчинил физическую сущность последнего математической сущности --треугольнику. При этом он свою попытку с помощью математической физики угадать план Творца воспринимал не так уж серьёзно. Согласно Платону, физика - наука о вещах, а вещи - подобие идей. "Но о том, что лишь воспроизводит первообраз и являет собой лишь подобие настоящего образа, и говорить можно не более как правдоподобно" (См.: Платон. Собр. соч. в 4-х т.: Т. 3. - М.: Мысль, 1994. - С. 433). Поэтому своё учение о природе Платон и называл не более как "правдоподобным мифом" (Там же).
Мы полагаем, что эвристический и прогностический потенциал, содержащийся в древнегреческой философии, объясняется присутствием в ней диалектических идей. Метафизический разум, взятый сам по себе, является лишь результатом становления разума диалектического. Без диалектики, учитывающей связь явного и скрытого, чувственного и сверхчувственного, метафизика состояться не может. В противном случае, наше познание будет только трансцендентным, что не позволит выразить диалектическое богатство духа или самосознания науки.
Проблеме отношения современных физических представлений к концепциям античной философии уделяется внимание в трудах зарубежных исследователей. Так, в одном из них речь идёт о том, "насколько понятие пространства и времени у Аристотеля соответствует физическим представлениям Эйнштейна" (Ruch E.A. Space and Time //A Comparative study the theories of Aristotle and A. Einstein. - Pretoria, 1958. P. 7). Мы хотим доказать, - пишет автор, - что вполне возможно осуществить "синтез" теории Аристотеля и Эйнштейна. Под термином "синтез" мы понимаем не компромисс межу двумя, существенно непримиримыми друг с другом учениями, а синтез, который, по меткому слову Гегеля "aufheben", сохраняет позиции и тезиса и антитезиса, возводя или приподнимая их при этом на более высокий уровень (См.: Там же).
Можно сказать, что представления древних греков о природе времени сохраняют для нас не только исторический интерес. Например, аристотелевская концепция времени имеет и прогностическую ценность, несёт в себе определённый эвристический потенциал. Оценивая значение данной концепции для науки в целом, Ю.Б. Молчанов пишет: "Для этой концепции характерно признание объективности времени (хотя и с отдельными колебаниями в сторону субъективистской аргументации) и его универсальности (хотя и непоследовательной), поскольку признаётся вневременное бытие идеальных сущностей. Можно найти в учении Аристотеля элементы реляционной концепции времени, в частности, тезис о невещественности времени, а также признание (непоследовательное) неразрывной связи понятий времени и движения" (Молчанов Ю.Б. Четыре концепции времени в философии и физике. М.: Наука, 1977. - С. 21).
Итак, сделаем следующие выводы. Во-первых, обобщая достижения древнегреческой философии, необходимо подчеркнуть, что вопрос о развитии естественнонаучного успеха философии органически сопряжен с проблемой соотношения мысли и ощущения, разума и чувства. Во-вторых, духовность греков, как и многих других народов, не умирает именно потому, что свободное философское мышление составляет здесь главнейший источник духовной жизни. Мифология, искусство и наука существуют здесь для того, чтобы усилить присутствие философского элемента во всём многообразии его жизненных воплощений.
Как повествует одна красивая древняя легенда, Платон перед самой смертью видел себя во сне прекрасным белым лебедем, доставлявшим множество хлопот птицеловам. Толковавшие этот сон утверждали, что многие будут пытаться понять смысл платоновских дум, но никто этого сделать не сможет, и тогда каждый станет толковать их по-своему (См.: Олимпиодор. Жизнь Платона //Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. - М.: Мысль, 1986. - С. 415).
С тех пор прошло две с половиной тысячи лет. Созданы сотни толкований. Но белый лебедь, олицетворявший на протяжении многих веков самое небо философии, нам уже больше не является, ибо мы разучились сосуществовать с пустотой, сном и бездеятельностью, разучились грезить.
Глава вторая.
Проблема синтеза философии и математики.
Учение Аристотеля о параллельных линиях.
Современные оценки данного учения.
Неевклидовые геометрии как неотъемлемый
элемент культуры мышления
По мере того, как развиваются естественные и гуманитарные науки, их философское миропонимание и методология становятся всё более богатыми по содержанию. Однако данное развитие не может успешно происходить вне расширения математического пространства исследований. История философии и науки показывает, что прогностическая функция философского знания лучше всего проявляется в тот момент, когда развивается союз философии и математики, когда математическое и философское знание "срастаются" или, лучше сказать, соприкасаются настолько сильно, что вспоминаются слова Гегеля, написанные им в "Философии природы": "Название "математика" можно было бы, впрочем, употреблять также и для обозначения философского рассмотрения пространства и времени" (Гегель Г.В.Ф. Философия природы. Энциклопедия философских наук. Т. 2. - М.: Мысль, 1975. - С. 59).
Платон и Аристотель являются именно теми мыслителями, у которых математика самым тесным образом взаимодействует с философией, причём данное взаимодействие не носит искусственный, глубоко вымученный характер, как, например, сегодня, когда многие исследователи философских проблем науки, буквально растерявшись перед лавиной всякого рода открытий, занялись сооружением мыслительных конструкций вместо того, чтобы заняться непосредственно объектом.
Известно, что Гегель полемизировал с традиционным формально-логическим истолкованием категорий, введённых Аристотелем. Особая их природа, как полагал Гегель, заключается в том, что они одновременно фиксируют и наиболее общие качества предмета, и сущность отношений, и природу высказываний (См.: Малинин В.А. Диалектика Гегеля и антигегельянство. - М.: Мысль, 1983. - С. 33).
Физика и "первая философия" (метафизика) у Аристотеля целиком качественная. Мы разделяем точку зрения, развиваемую В.П. Визгиным, который считает, что характерная для Аристотеля оппозиция платоновско-академическому математизму послужила одним из важнейших источников формирования иного, качественного, или квалитативистского (от лат. qualitas) подхода (Визгин В.П. Генезис и структура квалитативизма Аристотеля. - М.: Наука, 1982. - С. 5), привела к формированию онтологического учения о сущности и качестве.
Аристотель опроверг математический подход к физике, развитый Платоном в "Тимее". Если у Платона математика обосновывала физику, то Аристотель, напротив, математику подчинил физике. Например, он ищет сущность треугольника в той конкретной, абстрагируемой от свойств реальных тел, геометрической форме, которая проявляется в фактическом равенстве или неравенстве суммы внутренних углов треугольника двум прямым (Аристотель. Вторая аналитика, 90 А 30). Он ищет сущность треугольника в свойствах самой прямой линии (См.: Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 3. - М.: Мысль, 1981. - С. 101), что и сближает представления Аристотеля о качестве математических предметов с современностью.
Гегелевская ретроспекция аристотелевского категориального аппарата даёт методологический ориентир для понимания философии математики Аристотеля или, как пишет Гегель, "философского рассмотрения пространства и времени". Однако, к сожалению, имеется очень незначительное количество работ, посвящённых рассмотрению естественнонаучных концепций античности "глазами" Гегеля. В ряде работ рассматриваются только параллели между отдельными положениями аристотелевских трактатов и такими работами Гегеля, как "Философия духа", "Лекции по истории философии" (См.: Rollwage Jurgen. Das modalproblem und die historische Handlung (Ein Vergleich zwischen Aristoteles und Hegel). - Diss. Munchen, 1968).
Анализируя опытный и теоретический материал предшественников, Аристотель ставил вопросы так, что та или иная проблема вырисовывалась у него во всех её многочисленных связях и отношениях, а живая мысль всюду получала своё оформление в непрерывных исканиях и "запросах диалектики" (См.: Ленин В.И. Философские тетради. - М.: Политиздат, 1978. - С. 326). Об этой диалектической способности мышления, приводящей к расширению философского пространства, В.И. Ленин как-то заметил словами самого Гегеля: "И относительно других предметов также требуется известное развитие для того, чтобы уметь задавать вопросы, тем более относительно философских предметов, так как иначе может получиться ответ, что вопрос никуда не годится (Ленин В.И. Полн. собр.соч. - Т. 29. - С. 103).
Каждая наука, согласно Аристотелю, может быть доказана из свойственных ей специфических начал, определяющих границы отдельных наук. Однако есть одно общее для всех наук начало, исследование которого и является делом философа. По Аристотелю, таким началом выступает ум.
Проблема начала доказательства сегодня также актуальна, как и две с половиной тысячи лет тому назад, ибо многие представители современной зарубежной философии ставят под сомнение объективность научного знания, причём делают это далеко не лучшим образом, нежели скептики периода античной Греции. Каждое доказательство у Аристотеля есть своего рода умозаключение, но не всякое умозаключение служит доказательством. Нахождение начал доказательства есть обоснование самого доказательства. Но начало как основа доказательства, со своей стороны, также требует своего последующего обоснования и т.д. Регресс же в бесконечность, по Аристотелю, не даёт положительного решения проблемы, так как при нём возможность обоснования всякого рода знания вообще исключена. Однако если существует какой-то факт знания, то существует и начало доказательства. Отрицание начала здесь просто логически невозможно, так как само отрицание, как своего рода доказательство, должно иметь своё начало. Таким образом, необходимость начала доказательства заключается в невозможности его отрицания.
Далее. Существует множество наук, следовательно - множество начал. Но так как науки сходны между собой по их логической основе, то они должны иметь общее начало. Вот перед какой трудностью встал Аристотель и, решая её, не смог быть до конца последовательным, из-за чего и заслужил, не без определённых на то оснований, критику скептиков в их "новых тропах".
Положение о невозможности противоречия является, согласно Аристотелю, недоказуемой основой доказательства. Однако своим допущением невозможности противоречия он уже заранее использовал категорию противоречия и не подозревал, что подлинное начало доказательства надо искать не в сфере аксиом, а в системе категорий, что как раз и было осуществлено К. Марксом (См.: Джохадзе Д.В. Диалектика Аристотеля. Авт-т дисс. канд. филос. наук. Тбилиси, 1977. - С. 32).
Проблема начала доказательства у Аристотеля выглядит сложнее, чем это кажется с первого взгляда. Это видно хотя бы из того, что он различает "доказательство того, почему это так" от "доказательства того, что это так". В последнем случае имеется в виду доказательство, убеждающее нас в верности положения, но не выясняющее его причин, а в первом - доказательство, убеждающее в правильности чего-либо с помощью выяснения его причины (См.: Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Теория параллельных линий на средневековом Востоке IX-XIV вв. - М.: Наука, 1983. - С. 68).
Данное разграничение, введённое Аристотелем в общую логику доказательства, вытекает из анализа предпосылок теоремы о сумме углов треугольника, которая была известна уже в глубокой древности. Её доказательство при этом опиралось на описание параллельных линий. Но, так как Аристотель всегда стремился поставить вопрос о подлинном начале, т.е. о таком начале, относительно которого не может существовать двух разных мнений, то его, естественно, не могли полностью удовлетворять и доказательства вышеупомянутой нами теоремы. Так, в "Аналитике первой" он отмечает: "Пусть А означает два прямых угла, Б - треугольник, а В равнобедренный. А присуще В через Б; А же присуще Б не через что-то другое, ибо треугольник сам по себе имеет в совокупности два прямых угла. Так что для посылки АБ, которая хотя и может быть доказана, не будет среднего термина" (Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 1. - С. 188).
Однако Аристотель не останавливается здесь перед фактом отсутствия "среднего термина", а стремится вскрыть подлинную причину самой причины того, что сумма углов треугольника равна двум прямым. При этом он указывает на ошибку "постулирования основания", часто совершаемую геометрами. "Так поступают, например, те, - пишет Аристотель, - кто думает, что описывают параллельные линии. В самом деле, они, сами того не зная, в основу доказательства берут нечто такое, что само не может быть доказано, если линии не параллельны" (Там же. - С. 237). Действительно, поскольку данная основа, т.е. теорема о сумме внутренних углов треугольника, здесь сама опирается на свойство параллельности двух линий, то возникает логический круг, и Аристотель прямо замечает, что "если бы кто-либо захотел доказать, что прямые линии не пересекаются, он мог бы подумать, что доказательство этого возможно потому, что это свойство имеется у всех прямых линий. Но это не так, поскольку доказывать следует не то, что углы равны при каких-то определённых условиях**, а то, что они равны при любых условиях" (Аристотель. Вторая аналитика, 74 а 10-15. - Там же. - С. 266). "И если бы не было другого треугольника, кроме равнобедренного, то свойство иметь [в совокупности] два прямых угла казалось бы присущим треугольнику, поскольку он равнобедренный" (Там же).
______________ ** А именно при условии, что прямые перпендикулярны к прямой, падающей на них (Срав. "Начала Евклида" I, предложение 28).
Из вышеприведённого текста можно заключить, что Аристотель рассматривал процесс подлинного описания параллельных линий независимо от всякого рода доказательств данной теоремы, "так как иное по своей природе познаётся через само себя... а именно начала познаются через самих себя" (Аристотель. Аналитика первая, 64 б 35).
Но именно вопрос о начале всегда и интересовал Аристотеля, который полагал, "что для начал нет доказательств" (Аристотель. Аналитика вторая, 90 б 25) и искал подлинное начало доказательства, как мы уже отмечали ранее, в сфере аксиоматического знания. Вероятнее всего, Аристотель решал вопрос о выборе наиболее подходящей аксиомы параллельных линий. Возможно, что один из вариантов такой аксиомы был приведён самим Аристотелем. Во всяком случае, Омар Хайям в "Комментариях к трудностям во введении книги Евклида" приводит так называемый четвёртый принцип, заимствованный у Аристотеля: "Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии расходились в направлении схождения" (См.: Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Указ. соч. - С. 11).
Каждое из двух утверждений данного принципа по существу равносильно пятому постулату Евклида. И они ценны именно тем, что расчистили почву для первой в истории геометрии открытой замены пятого постулата эквивалентным ему постулатом, для первой теории параллельных, в которой доказательство пятого постулата основано не на "постулировании основания", а на другой, более очевидной аксиоме*** (Там же. - С. 66). О. Хайям не совершил логической "ошибки", доказывая пятый постулат, как его предшественники; его ошибка совсем иного рода, и она становится очевидной лишь с точки зрении уже самих неевклидовых геометрических систем. Не останавливаясь здесь на разборе самого доказательства О.Хайяма, отметим лишь, что в ходе него были сформулированы первые теоремы гиперболической и эллиптической неевклидовых геометрий (См.: Там же. - С. 73). В этом и состоит как раз историческое значение всей теории доказательства у Аристотеля, ибо последний философски предвосхитил ту тенденцию, которая, начиная с Омара Хайяма, затем через Саккери и Ламберта (первые теоремы неевклидовой геометрии здесь получают, наконец, своё оформление) привела к Гауссу, Лобачевскому, Бойяи и Риману. Эта тенденция является ведущей при выяснении предпосылок возникновения неевклидовых геометрий.
______________ *** Речь идёт о доказательстве Омара Хайяма.
Однако не следует забывать и то, что ошибки "постулирования основания" тоже сыграли определённую роль, поскольку у математиков крепла уверенность в невозможности доказать пятый постулат, оставаясь в рамках системы аксиом геометрии Евклида.
Следует отметить также, что Аристотель приводил примеры из геометрии не только для того, чтобы ими иллюстрировать положения логики, но и использовал эти примеры дли критики философских школ прошлого. Например, разбирая концепцию Эмпедокла о попеременном преобладании Любви и Вражды, Аристотель говорит, что "и такое утверждение следует не только высказывать, но и указывать для него определённую причину... Вообще же нельзя считать достаточным началом положение, что всегда так есть или происходит, на что Демокрит сводит природную причинность, что, дескать, так и прежде происходило, а начала этого "всегда" не считает нужным искать. ... Ведь и треугольник имеет углы, всегда равные двум прямым, однако причина этой вечности лежит в другом; для начал же, которые существуют вечно, такой другой причины нет" (Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 3. - С. 225).
Итак, теория параллельных использовалась древними греками для проверки на прочность многих фундаментальных философских идей. Такое положение дел обосновывается прежде всего тем обстоятельством, что выдвигаемые древними философами "начала" не могут претендовать на статус самодостаточного основания. Всё это напоминает ситуацию, возникающую при описании параллельных линий, когда основополагающую причину параллельности линий следует действительно искать "в другом", а не в самом принципе параллелизма. Не аналогичной ли этой является ситуация, при которой мы полагаем духовность и бездуховность противоположными и сменяющими друг друга процессами, а саму причину данной взаимосмены не пытаемся искать?
Вероятнее всего, Аристотель считал, что "причина этой вечности" кроется в самой природе описания параллельных и так как при этом не исключена ошибка "постулирования основания", приводящая в конечном счёте к логическому кругу, то следует постулировать "принцип", непосредственное силлогистическое начало, о котором нам и сообщает Омар Хайям. Для такого начала, по Аристотелю, нет причины, т.е. его невозможно доказать и следует принять как принцип, как постулат.
Наше рассмотрение философии математики у Аристотеля было бы не полным, если не учесть её отношение к философии Платона, которого по праву большинство исследователей относит к числу крупных математиков античности. Согласно Платону, четыре элемента Эмпедокла не могут быть простейшими составными частями вещей: "...мы называем их началами и принимаем за стихии (ta otoiхeia, т.е. "буквы") Вселенной... между тем каждому мало-мальски разумному человеку должно быть ясно, что нет никакого основания сравнивать их даже с каким-либо видом слогов" (Платон. Тимей, 48 с. - Платон, Соч. Т. 3. - С. 451). Анализируя данный текст, некоторые учёные пытаются высказать то соображение, что Платон здесь стоит на голову выше своих предшественников и современников, включая и Аристотеля (См.: Платон и его эпоха. - М.: Наука,1979. - С. 144-171).
Мы же не будем столь категоричными, тем более, что Гегель оставил тот способ, каким Платон определял фигуры элементов и соединения треугольников, без внимания, подчеркнув главное: у Платона "сущность чувственных вещей составляют ... треугольники" (Гегель Г.В.Ф. Лекции по истории философии. Гегель: Соч. Т. 10, кн. 2. - С. 197). И Гегель продолжил далее: "Это основа понимания Платона, и тот способ, каким Платон определяет фигуры элементов и соединения треугольников, я оставляю без рассмотрения" (Там же).
Некоторые представители современной зарубежной философии пытаются представить Платона как предвестника математической физики. Например, С. Самбурский молчание Платона по поводу физического учения Демокрита объясняет платоновским презрением механистического и материалистического подхода атомистов. Тем не менее, Самбурский не в силах обойти аристотелевской критики идей Платона, которую он пытается сгладить. Создаётся впечатление, что Самбурский как бы жалеет Аристотеля за то, что тот, опираясь на свою традицию качественной теории, рассматривает математические предметы как абстракции от их осязаемых, воспринимаемых качеств. Аристотель "пропустил важный момент в теории Платона, который заключается в том, что определённые закономерности материи и изменений материи могут проистекать из геометрических отношений..." (Sambursky S. Physical world of late antiquity. - Hebrew University, Jerusalem. - London, 1962. - P. 33-34). Например, в ХХ веке В. Гейзенберг пришёл к выводу о десубстанциализации элементарных частиц (в основе сущего лежит не материя, а некие математические сущности). Он стал писать о том, что квантовая физика положила начало повороту от Демокрита к Платону (См.: Гейзенберг В. Открытие Планка и основные философские вопросы учения об атомах //Вопросы философии, № 11, 1958, - С. 62).
Подобные рассуждения становятся излишними при учёте математического атомизма Демокрита, ибо в этом аспекте противопоставлять концепции Демокрита и Платона не корректно. Это по сути дела одна и та же доктрина (См.: Лурье С.Я. Очерки по истории античной науки. - М.-Л., 1947. - С. 170). В пользу данного учения есть соответствующие свидетельства Плутарха (Там же.). Прежде всего отметим, что амеры Демокрита и элементарные платоновские треугольники - это математические неделимые элементы, которые лежат в основе бытия. У Демокрита амер представляет из себя минимум протяжения материи. Не являются чисто математическими объектами и элементарные треугольники Платона. Последние отличаются и от сугубо математических фигур, и от объектов физического мира. Вероятнее всего, платоновские треугольники - это геометрические фигуры, обладающие некоторыми физическими свойствами (См.: Ахундов М.Д. Проблема прерывности и непрерывности пространства и времени. М.: Наука, 1974. - С. 45).
Атом Демокрита - это элемент, который не может содержать в себе пустого пространства, а у Платона выходит, что элементы суть пространства, ограниченные плоскостями. Однако пространство Платона - "кормилица происхождения" и есть начало телесное, материальное (См.: Платон. Тимей, 52А). Другими словами, оно не составляет форму стихий (за это несут ответственность ограничительные плоскости соответствующих правильных многогранников), а само их субстанциальное содержание. Это содержание проявляется в тех математических пропорциях, которым подчинены элементарные платоновские треугольники. Тем самым математический атомизм Демокрита, амеры которого были призваны для измерения длин в атомном мире, получил определённый количественный элемент.
Надо сказать, что математический атомизм Платона оказался легко уязвимым для критики континуалистов. Это и определило отрицательное отношение к концепции элементарных неделимых плоскостей уже у современников Платона. Например, Аристотель заметил, что концепция Платона нелепа, в то время как учению Демокрита нельзя отказать в логичности (См.: Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 3. - С. 385). В трактате "О возникновении и уничтожении" данная мысль выражена наиболее рельефно (Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 3. М.: Мысль, 1981. - С. 385).
Решив проблему существования математических предметов, Аристотель совершает своего рода отрицание отрицания (См.: Чанышев А.Н. Курс лекций по древней философии. - М.: Высшая школа, 1981. - С. 310). В этом можно убедиться, если вспомнить, что пифагорейцы не отделяли числа от вещей и для этого геометризировали как тела, так и сами числа. Источники доносят, что вещи от чисел стали отделять академики, превратив последние в самостоятельные сущности, а Платон в последний период своей деятельности дошёл до того, что арифметизировал и сами идеи
Сегодня мы должны относиться к духовной истории так, как будто её последующий ход является целью для предшествующего этапа. Например, Платон никак не мог предвосхитить идей современной физики, поскольку атомистическая идея, с которой связан образ новейшего естествознания, получила у него противоположное развитие. Платон не только последовательно "испарил" всё предметное содержание идеи атома, но и подчинил физическую сущность последнего математической сущности --треугольнику. При этом он свою попытку с помощью математической физики угадать план Творца воспринимал не так уж серьёзно. Согласно Платону, физика - наука о вещах, а вещи - подобие идей. "Но о том, что лишь воспроизводит первообраз и являет собой лишь подобие настоящего образа, и говорить можно не более как правдоподобно" (См.: Платон. Собр. соч. в 4-х т.: Т. 3. - М.: Мысль, 1994. - С. 433). Поэтому своё учение о природе Платон и называл не более как "правдоподобным мифом" (Там же).
Мы полагаем, что эвристический и прогностический потенциал, содержащийся в древнегреческой философии, объясняется присутствием в ней диалектических идей. Метафизический разум, взятый сам по себе, является лишь результатом становления разума диалектического. Без диалектики, учитывающей связь явного и скрытого, чувственного и сверхчувственного, метафизика состояться не может. В противном случае, наше познание будет только трансцендентным, что не позволит выразить диалектическое богатство духа или самосознания науки.
Проблеме отношения современных физических представлений к концепциям античной философии уделяется внимание в трудах зарубежных исследователей. Так, в одном из них речь идёт о том, "насколько понятие пространства и времени у Аристотеля соответствует физическим представлениям Эйнштейна" (Ruch E.A. Space and Time //A Comparative study the theories of Aristotle and A. Einstein. - Pretoria, 1958. P. 7). Мы хотим доказать, - пишет автор, - что вполне возможно осуществить "синтез" теории Аристотеля и Эйнштейна. Под термином "синтез" мы понимаем не компромисс межу двумя, существенно непримиримыми друг с другом учениями, а синтез, который, по меткому слову Гегеля "aufheben", сохраняет позиции и тезиса и антитезиса, возводя или приподнимая их при этом на более высокий уровень (См.: Там же).
Можно сказать, что представления древних греков о природе времени сохраняют для нас не только исторический интерес. Например, аристотелевская концепция времени имеет и прогностическую ценность, несёт в себе определённый эвристический потенциал. Оценивая значение данной концепции для науки в целом, Ю.Б. Молчанов пишет: "Для этой концепции характерно признание объективности времени (хотя и с отдельными колебаниями в сторону субъективистской аргументации) и его универсальности (хотя и непоследовательной), поскольку признаётся вневременное бытие идеальных сущностей. Можно найти в учении Аристотеля элементы реляционной концепции времени, в частности, тезис о невещественности времени, а также признание (непоследовательное) неразрывной связи понятий времени и движения" (Молчанов Ю.Б. Четыре концепции времени в философии и физике. М.: Наука, 1977. - С. 21).
Итак, сделаем следующие выводы. Во-первых, обобщая достижения древнегреческой философии, необходимо подчеркнуть, что вопрос о развитии естественнонаучного успеха философии органически сопряжен с проблемой соотношения мысли и ощущения, разума и чувства. Во-вторых, духовность греков, как и многих других народов, не умирает именно потому, что свободное философское мышление составляет здесь главнейший источник духовной жизни. Мифология, искусство и наука существуют здесь для того, чтобы усилить присутствие философского элемента во всём многообразии его жизненных воплощений.
Как повествует одна красивая древняя легенда, Платон перед самой смертью видел себя во сне прекрасным белым лебедем, доставлявшим множество хлопот птицеловам. Толковавшие этот сон утверждали, что многие будут пытаться понять смысл платоновских дум, но никто этого сделать не сможет, и тогда каждый станет толковать их по-своему (См.: Олимпиодор. Жизнь Платона //Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. - М.: Мысль, 1986. - С. 415).
С тех пор прошло две с половиной тысячи лет. Созданы сотни толкований. Но белый лебедь, олицетворявший на протяжении многих веков самое небо философии, нам уже больше не является, ибо мы разучились сосуществовать с пустотой, сном и бездеятельностью, разучились грезить.
Глава вторая.
Проблема синтеза философии и математики.
Учение Аристотеля о параллельных линиях.
Современные оценки данного учения.
Неевклидовые геометрии как неотъемлемый
элемент культуры мышления
По мере того, как развиваются естественные и гуманитарные науки, их философское миропонимание и методология становятся всё более богатыми по содержанию. Однако данное развитие не может успешно происходить вне расширения математического пространства исследований. История философии и науки показывает, что прогностическая функция философского знания лучше всего проявляется в тот момент, когда развивается союз философии и математики, когда математическое и философское знание "срастаются" или, лучше сказать, соприкасаются настолько сильно, что вспоминаются слова Гегеля, написанные им в "Философии природы": "Название "математика" можно было бы, впрочем, употреблять также и для обозначения философского рассмотрения пространства и времени" (Гегель Г.В.Ф. Философия природы. Энциклопедия философских наук. Т. 2. - М.: Мысль, 1975. - С. 59).
Платон и Аристотель являются именно теми мыслителями, у которых математика самым тесным образом взаимодействует с философией, причём данное взаимодействие не носит искусственный, глубоко вымученный характер, как, например, сегодня, когда многие исследователи философских проблем науки, буквально растерявшись перед лавиной всякого рода открытий, занялись сооружением мыслительных конструкций вместо того, чтобы заняться непосредственно объектом.
Известно, что Гегель полемизировал с традиционным формально-логическим истолкованием категорий, введённых Аристотелем. Особая их природа, как полагал Гегель, заключается в том, что они одновременно фиксируют и наиболее общие качества предмета, и сущность отношений, и природу высказываний (См.: Малинин В.А. Диалектика Гегеля и антигегельянство. - М.: Мысль, 1983. - С. 33).
Физика и "первая философия" (метафизика) у Аристотеля целиком качественная. Мы разделяем точку зрения, развиваемую В.П. Визгиным, который считает, что характерная для Аристотеля оппозиция платоновско-академическому математизму послужила одним из важнейших источников формирования иного, качественного, или квалитативистского (от лат. qualitas) подхода (Визгин В.П. Генезис и структура квалитативизма Аристотеля. - М.: Наука, 1982. - С. 5), привела к формированию онтологического учения о сущности и качестве.
Аристотель опроверг математический подход к физике, развитый Платоном в "Тимее". Если у Платона математика обосновывала физику, то Аристотель, напротив, математику подчинил физике. Например, он ищет сущность треугольника в той конкретной, абстрагируемой от свойств реальных тел, геометрической форме, которая проявляется в фактическом равенстве или неравенстве суммы внутренних углов треугольника двум прямым (Аристотель. Вторая аналитика, 90 А 30). Он ищет сущность треугольника в свойствах самой прямой линии (См.: Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 3. - М.: Мысль, 1981. - С. 101), что и сближает представления Аристотеля о качестве математических предметов с современностью.
Гегелевская ретроспекция аристотелевского категориального аппарата даёт методологический ориентир для понимания философии математики Аристотеля или, как пишет Гегель, "философского рассмотрения пространства и времени". Однако, к сожалению, имеется очень незначительное количество работ, посвящённых рассмотрению естественнонаучных концепций античности "глазами" Гегеля. В ряде работ рассматриваются только параллели между отдельными положениями аристотелевских трактатов и такими работами Гегеля, как "Философия духа", "Лекции по истории философии" (См.: Rollwage Jurgen. Das modalproblem und die historische Handlung (Ein Vergleich zwischen Aristoteles und Hegel). - Diss. Munchen, 1968).
Анализируя опытный и теоретический материал предшественников, Аристотель ставил вопросы так, что та или иная проблема вырисовывалась у него во всех её многочисленных связях и отношениях, а живая мысль всюду получала своё оформление в непрерывных исканиях и "запросах диалектики" (См.: Ленин В.И. Философские тетради. - М.: Политиздат, 1978. - С. 326). Об этой диалектической способности мышления, приводящей к расширению философского пространства, В.И. Ленин как-то заметил словами самого Гегеля: "И относительно других предметов также требуется известное развитие для того, чтобы уметь задавать вопросы, тем более относительно философских предметов, так как иначе может получиться ответ, что вопрос никуда не годится (Ленин В.И. Полн. собр.соч. - Т. 29. - С. 103).
Каждая наука, согласно Аристотелю, может быть доказана из свойственных ей специфических начал, определяющих границы отдельных наук. Однако есть одно общее для всех наук начало, исследование которого и является делом философа. По Аристотелю, таким началом выступает ум.
Проблема начала доказательства сегодня также актуальна, как и две с половиной тысячи лет тому назад, ибо многие представители современной зарубежной философии ставят под сомнение объективность научного знания, причём делают это далеко не лучшим образом, нежели скептики периода античной Греции. Каждое доказательство у Аристотеля есть своего рода умозаключение, но не всякое умозаключение служит доказательством. Нахождение начал доказательства есть обоснование самого доказательства. Но начало как основа доказательства, со своей стороны, также требует своего последующего обоснования и т.д. Регресс же в бесконечность, по Аристотелю, не даёт положительного решения проблемы, так как при нём возможность обоснования всякого рода знания вообще исключена. Однако если существует какой-то факт знания, то существует и начало доказательства. Отрицание начала здесь просто логически невозможно, так как само отрицание, как своего рода доказательство, должно иметь своё начало. Таким образом, необходимость начала доказательства заключается в невозможности его отрицания.
Далее. Существует множество наук, следовательно - множество начал. Но так как науки сходны между собой по их логической основе, то они должны иметь общее начало. Вот перед какой трудностью встал Аристотель и, решая её, не смог быть до конца последовательным, из-за чего и заслужил, не без определённых на то оснований, критику скептиков в их "новых тропах".
Положение о невозможности противоречия является, согласно Аристотелю, недоказуемой основой доказательства. Однако своим допущением невозможности противоречия он уже заранее использовал категорию противоречия и не подозревал, что подлинное начало доказательства надо искать не в сфере аксиом, а в системе категорий, что как раз и было осуществлено К. Марксом (См.: Джохадзе Д.В. Диалектика Аристотеля. Авт-т дисс. канд. филос. наук. Тбилиси, 1977. - С. 32).
Проблема начала доказательства у Аристотеля выглядит сложнее, чем это кажется с первого взгляда. Это видно хотя бы из того, что он различает "доказательство того, почему это так" от "доказательства того, что это так". В последнем случае имеется в виду доказательство, убеждающее нас в верности положения, но не выясняющее его причин, а в первом - доказательство, убеждающее в правильности чего-либо с помощью выяснения его причины (См.: Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Теория параллельных линий на средневековом Востоке IX-XIV вв. - М.: Наука, 1983. - С. 68).
Данное разграничение, введённое Аристотелем в общую логику доказательства, вытекает из анализа предпосылок теоремы о сумме углов треугольника, которая была известна уже в глубокой древности. Её доказательство при этом опиралось на описание параллельных линий. Но, так как Аристотель всегда стремился поставить вопрос о подлинном начале, т.е. о таком начале, относительно которого не может существовать двух разных мнений, то его, естественно, не могли полностью удовлетворять и доказательства вышеупомянутой нами теоремы. Так, в "Аналитике первой" он отмечает: "Пусть А означает два прямых угла, Б - треугольник, а В равнобедренный. А присуще В через Б; А же присуще Б не через что-то другое, ибо треугольник сам по себе имеет в совокупности два прямых угла. Так что для посылки АБ, которая хотя и может быть доказана, не будет среднего термина" (Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 1. - С. 188).
Однако Аристотель не останавливается здесь перед фактом отсутствия "среднего термина", а стремится вскрыть подлинную причину самой причины того, что сумма углов треугольника равна двум прямым. При этом он указывает на ошибку "постулирования основания", часто совершаемую геометрами. "Так поступают, например, те, - пишет Аристотель, - кто думает, что описывают параллельные линии. В самом деле, они, сами того не зная, в основу доказательства берут нечто такое, что само не может быть доказано, если линии не параллельны" (Там же. - С. 237). Действительно, поскольку данная основа, т.е. теорема о сумме внутренних углов треугольника, здесь сама опирается на свойство параллельности двух линий, то возникает логический круг, и Аристотель прямо замечает, что "если бы кто-либо захотел доказать, что прямые линии не пересекаются, он мог бы подумать, что доказательство этого возможно потому, что это свойство имеется у всех прямых линий. Но это не так, поскольку доказывать следует не то, что углы равны при каких-то определённых условиях**, а то, что они равны при любых условиях" (Аристотель. Вторая аналитика, 74 а 10-15. - Там же. - С. 266). "И если бы не было другого треугольника, кроме равнобедренного, то свойство иметь [в совокупности] два прямых угла казалось бы присущим треугольнику, поскольку он равнобедренный" (Там же).
______________ ** А именно при условии, что прямые перпендикулярны к прямой, падающей на них (Срав. "Начала Евклида" I, предложение 28).
Из вышеприведённого текста можно заключить, что Аристотель рассматривал процесс подлинного описания параллельных линий независимо от всякого рода доказательств данной теоремы, "так как иное по своей природе познаётся через само себя... а именно начала познаются через самих себя" (Аристотель. Аналитика первая, 64 б 35).
Но именно вопрос о начале всегда и интересовал Аристотеля, который полагал, "что для начал нет доказательств" (Аристотель. Аналитика вторая, 90 б 25) и искал подлинное начало доказательства, как мы уже отмечали ранее, в сфере аксиоматического знания. Вероятнее всего, Аристотель решал вопрос о выборе наиболее подходящей аксиомы параллельных линий. Возможно, что один из вариантов такой аксиомы был приведён самим Аристотелем. Во всяком случае, Омар Хайям в "Комментариях к трудностям во введении книги Евклида" приводит так называемый четвёртый принцип, заимствованный у Аристотеля: "Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии расходились в направлении схождения" (См.: Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Указ. соч. - С. 11).
Каждое из двух утверждений данного принципа по существу равносильно пятому постулату Евклида. И они ценны именно тем, что расчистили почву для первой в истории геометрии открытой замены пятого постулата эквивалентным ему постулатом, для первой теории параллельных, в которой доказательство пятого постулата основано не на "постулировании основания", а на другой, более очевидной аксиоме*** (Там же. - С. 66). О. Хайям не совершил логической "ошибки", доказывая пятый постулат, как его предшественники; его ошибка совсем иного рода, и она становится очевидной лишь с точки зрении уже самих неевклидовых геометрических систем. Не останавливаясь здесь на разборе самого доказательства О.Хайяма, отметим лишь, что в ходе него были сформулированы первые теоремы гиперболической и эллиптической неевклидовых геометрий (См.: Там же. - С. 73). В этом и состоит как раз историческое значение всей теории доказательства у Аристотеля, ибо последний философски предвосхитил ту тенденцию, которая, начиная с Омара Хайяма, затем через Саккери и Ламберта (первые теоремы неевклидовой геометрии здесь получают, наконец, своё оформление) привела к Гауссу, Лобачевскому, Бойяи и Риману. Эта тенденция является ведущей при выяснении предпосылок возникновения неевклидовых геометрий.
______________ *** Речь идёт о доказательстве Омара Хайяма.
Однако не следует забывать и то, что ошибки "постулирования основания" тоже сыграли определённую роль, поскольку у математиков крепла уверенность в невозможности доказать пятый постулат, оставаясь в рамках системы аксиом геометрии Евклида.
Следует отметить также, что Аристотель приводил примеры из геометрии не только для того, чтобы ими иллюстрировать положения логики, но и использовал эти примеры дли критики философских школ прошлого. Например, разбирая концепцию Эмпедокла о попеременном преобладании Любви и Вражды, Аристотель говорит, что "и такое утверждение следует не только высказывать, но и указывать для него определённую причину... Вообще же нельзя считать достаточным началом положение, что всегда так есть или происходит, на что Демокрит сводит природную причинность, что, дескать, так и прежде происходило, а начала этого "всегда" не считает нужным искать. ... Ведь и треугольник имеет углы, всегда равные двум прямым, однако причина этой вечности лежит в другом; для начал же, которые существуют вечно, такой другой причины нет" (Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 3. - С. 225).
Итак, теория параллельных использовалась древними греками для проверки на прочность многих фундаментальных философских идей. Такое положение дел обосновывается прежде всего тем обстоятельством, что выдвигаемые древними философами "начала" не могут претендовать на статус самодостаточного основания. Всё это напоминает ситуацию, возникающую при описании параллельных линий, когда основополагающую причину параллельности линий следует действительно искать "в другом", а не в самом принципе параллелизма. Не аналогичной ли этой является ситуация, при которой мы полагаем духовность и бездуховность противоположными и сменяющими друг друга процессами, а саму причину данной взаимосмены не пытаемся искать?
Вероятнее всего, Аристотель считал, что "причина этой вечности" кроется в самой природе описания параллельных и так как при этом не исключена ошибка "постулирования основания", приводящая в конечном счёте к логическому кругу, то следует постулировать "принцип", непосредственное силлогистическое начало, о котором нам и сообщает Омар Хайям. Для такого начала, по Аристотелю, нет причины, т.е. его невозможно доказать и следует принять как принцип, как постулат.
Наше рассмотрение философии математики у Аристотеля было бы не полным, если не учесть её отношение к философии Платона, которого по праву большинство исследователей относит к числу крупных математиков античности. Согласно Платону, четыре элемента Эмпедокла не могут быть простейшими составными частями вещей: "...мы называем их началами и принимаем за стихии (ta otoiхeia, т.е. "буквы") Вселенной... между тем каждому мало-мальски разумному человеку должно быть ясно, что нет никакого основания сравнивать их даже с каким-либо видом слогов" (Платон. Тимей, 48 с. - Платон, Соч. Т. 3. - С. 451). Анализируя данный текст, некоторые учёные пытаются высказать то соображение, что Платон здесь стоит на голову выше своих предшественников и современников, включая и Аристотеля (См.: Платон и его эпоха. - М.: Наука,1979. - С. 144-171).
Мы же не будем столь категоричными, тем более, что Гегель оставил тот способ, каким Платон определял фигуры элементов и соединения треугольников, без внимания, подчеркнув главное: у Платона "сущность чувственных вещей составляют ... треугольники" (Гегель Г.В.Ф. Лекции по истории философии. Гегель: Соч. Т. 10, кн. 2. - С. 197). И Гегель продолжил далее: "Это основа понимания Платона, и тот способ, каким Платон определяет фигуры элементов и соединения треугольников, я оставляю без рассмотрения" (Там же).
Некоторые представители современной зарубежной философии пытаются представить Платона как предвестника математической физики. Например, С. Самбурский молчание Платона по поводу физического учения Демокрита объясняет платоновским презрением механистического и материалистического подхода атомистов. Тем не менее, Самбурский не в силах обойти аристотелевской критики идей Платона, которую он пытается сгладить. Создаётся впечатление, что Самбурский как бы жалеет Аристотеля за то, что тот, опираясь на свою традицию качественной теории, рассматривает математические предметы как абстракции от их осязаемых, воспринимаемых качеств. Аристотель "пропустил важный момент в теории Платона, который заключается в том, что определённые закономерности материи и изменений материи могут проистекать из геометрических отношений..." (Sambursky S. Physical world of late antiquity. - Hebrew University, Jerusalem. - London, 1962. - P. 33-34). Например, в ХХ веке В. Гейзенберг пришёл к выводу о десубстанциализации элементарных частиц (в основе сущего лежит не материя, а некие математические сущности). Он стал писать о том, что квантовая физика положила начало повороту от Демокрита к Платону (См.: Гейзенберг В. Открытие Планка и основные философские вопросы учения об атомах //Вопросы философии, № 11, 1958, - С. 62).
Подобные рассуждения становятся излишними при учёте математического атомизма Демокрита, ибо в этом аспекте противопоставлять концепции Демокрита и Платона не корректно. Это по сути дела одна и та же доктрина (См.: Лурье С.Я. Очерки по истории античной науки. - М.-Л., 1947. - С. 170). В пользу данного учения есть соответствующие свидетельства Плутарха (Там же.). Прежде всего отметим, что амеры Демокрита и элементарные платоновские треугольники - это математические неделимые элементы, которые лежат в основе бытия. У Демокрита амер представляет из себя минимум протяжения материи. Не являются чисто математическими объектами и элементарные треугольники Платона. Последние отличаются и от сугубо математических фигур, и от объектов физического мира. Вероятнее всего, платоновские треугольники - это геометрические фигуры, обладающие некоторыми физическими свойствами (См.: Ахундов М.Д. Проблема прерывности и непрерывности пространства и времени. М.: Наука, 1974. - С. 45).
Атом Демокрита - это элемент, который не может содержать в себе пустого пространства, а у Платона выходит, что элементы суть пространства, ограниченные плоскостями. Однако пространство Платона - "кормилица происхождения" и есть начало телесное, материальное (См.: Платон. Тимей, 52А). Другими словами, оно не составляет форму стихий (за это несут ответственность ограничительные плоскости соответствующих правильных многогранников), а само их субстанциальное содержание. Это содержание проявляется в тех математических пропорциях, которым подчинены элементарные платоновские треугольники. Тем самым математический атомизм Демокрита, амеры которого были призваны для измерения длин в атомном мире, получил определённый количественный элемент.
Надо сказать, что математический атомизм Платона оказался легко уязвимым для критики континуалистов. Это и определило отрицательное отношение к концепции элементарных неделимых плоскостей уже у современников Платона. Например, Аристотель заметил, что концепция Платона нелепа, в то время как учению Демокрита нельзя отказать в логичности (См.: Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 3. - С. 385). В трактате "О возникновении и уничтожении" данная мысль выражена наиболее рельефно (Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 3. М.: Мысль, 1981. - С. 385).
Решив проблему существования математических предметов, Аристотель совершает своего рода отрицание отрицания (См.: Чанышев А.Н. Курс лекций по древней философии. - М.: Высшая школа, 1981. - С. 310). В этом можно убедиться, если вспомнить, что пифагорейцы не отделяли числа от вещей и для этого геометризировали как тела, так и сами числа. Источники доносят, что вещи от чисел стали отделять академики, превратив последние в самостоятельные сущности, а Платон в последний период своей деятельности дошёл до того, что арифметизировал и сами идеи