Страница:
Пифагорейцы сосредоточили внимание на том открытом ими факте, что числа могут вступать между собой в некоторые отношения и эти числовые связи и отношения выражают собой существенные закономерности природных явлений и процессов. Согласно Филолаю, «все познаваемое имеет число. Ибо без последнего невозможно ничего ни понять, ни познать»6. Сделанное пифагорейцами открытие было необходимым, но еще недостаточным условием для становления математической теории, как мы ее находим в «Началах» Евклида. Греческая научно – философская мысль должна была пройти еще ряд этапов, чтобы те первоначальные интуиции, которые лежали в основании пифагорейской математики, отлились в форму логически ясных понятий. Пифагорейские представления об отношении вещей и чисел первоначально были весьма неопределенными с логической и онтологической точки зрения.
Так, от Аристотеля мы получаем свидетельство, что пифагорейцы не проводили принципиального различия между числами и вещами. «Во всяком случае, – говорит Аристотель, – и у них, по – видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей и в качестве выражения для их состояний и свойств…»7. Согласно Аристотелю, пифагорейцы не ставят вопроса о способе существования числа, т. е. о его онтологическом статусе, а потому у них «чувственные сущности состоят из этого числа»8, а это, в свою очередь, возможно лишь при условии, если числа имеют пространственную величину9. Если Аристотель здесь действительно адекватно воссоздает представления пифагорейцев, то в таком случае, надо полагать, они мыслили числа как некоторые «телесные единицы», и не случайно пифагореец Экфант, по сообщению Аэция, «первый объявил пифагорейские монады телесными»10.
Не вдаваясь детально в анализ пифагорейского учения о числе, пространстве, точке, фигуре и т. д., мы можем только высказать предположение, что приведенное свидетельство Аристотеля указывает скорее на то, что эти исходные понятия пифагорейской математики не были еще логически и онтологически отрефлектированы, нежели на то, что пифагорейцы сознательно и обоснованно отождествляли числа с телесными вещами или «составляли» вещи из чисел.
Первый толчок к рефлексии по поводу основных понятий математики, по – видимому, дало открытие несоизмеримости, имевшее место, по свидетельству исторических источников, именно в пифагорейской школе11. Следует однако отметить, что это открытие могло быть сделано только там и тогда, где и когда уже возникли основные контуры математики как связной теоретической системы. Ведь только в этом случае может возникнуть удивление, что дело обстоит не так, как следовало ожидать. Не случайно открытие несоизмеримости принадлежит именно грекам, хотя задачи на извлечение квадратных корней, в том числе корень квадратный из 2 и решались уже в древневавилонской математике и составлялись таблицы приближенных значений корней.
Но если открытие несоизмеримости стало возможным только на почве пифагорейской математики, то оно в свою очередь вызвало целый переворот в математике и заставило пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой разумеющимися. Видимо, открытие несоизмеримости привело к перестройке первого здания пифагорейской математики, так называемой «арифмогеометрии»12, поскольку указало на то, что существуют отношения, не выражаемые числами (греки понимали под числами только целые положительные числа). В результате возникла тенденция к геометризации математики – с целью геометрически выразить отношения, не выразимые с помощью арифметического (целого) числа. Естественно, что переход от «арифмогеометрии» к геометрической алгебре сопровождался размышлением о самих основаниях математики и ставил под вопрос первоначальное представление пифагорейцев о соотношении «вещей» и «чисел».
Второй сильный толчок к размышлению о логических основаниях научных понятий был дан открытием так называемых апорий Зенона Элейского13 впервые выявившего противоречия, связанные с понятиями прерывности и непрерывности (первое в истории науки открытие парадоксов бесконечности). Школа элеатов, представителем которой был Зенон, сыграла важную роль в античной науке, поскольку она внесла требование логического прояснения научных понятий, и прежде всего понятий математики, которыми ранее оперировали некритически.
Возможно ли мыслить множество, не впадая при этом в противоречие? – вот один из главных вопросов, поставленных Зеноном.
Сам Зенон отвечал на этот вопрос отрицательно. Но не столько ответ Зенона, сколько его постановка вопроса сыграла важную роль в развитии научного мышления греков, вплотную подведя их к проблеме: в каком отношении между собой находятся чувственные явления и те понятия, с помощью которых мы эти явления познаем?
Серьезный шаг на пути решения этого вопроса был сделан Демокритом. Вслед за элеатами Демокрит отличает объекты, постигаемые мышлением, от тех, которые даны в чувственном восприятии; только изучая первые, мы можем познать истину (таковы, согласно учению Демокрита, атомы и пустота); что же касается того, что дано нам в чувственном восприятии, то Демокрит относит это к сфере «мнения», а не истинного знания.
Демокрит сосредоточил внимание прежде всего на самом предмете истинного знания, создав таким образом атомистическую теорию; но выявленное элеатами и закрепленное Демокритом различение «истины» и «мнения» толкало к дальнейшему исследованию познавательного процесса, переключая тем самым внимание с предмета познания на само познание.
В выяснении этой стороны дела большую роль сыграла философия Платона.
Как же решает Платон те проблемы, которые возникли в результате описанных нами выше открытий и вызванных ими затруднений?
Размышляя о том, когда и почему у людей возникает надобность в научном исследовании того или иного явления, Платон приходит к следующему выводу: если чувственное восприятие не дает нам определенного и недвусмысленного указания, что такое находящийся перед нами предмет, то возникает необходимость обратиться к мышлению. Таким путём возникает наука. Приведём это рассуждение Платона ввиду его существенного значения для нашей темы.
«Кое-что в наших восприятиях не побуждает наше мышление к дальнейшему исследованию, потому что достаточно определяется самим ощущением; но кое-что решительно требует такого исследования, поскольку ощущение не дает ничего надежного… Не побуждает к исследованию то, что не вызывает одновременно противоположного ощущения, а то, что вызывает такое, я считаю побуждающим к исследованию…»14. Разъясняя сказанное, Платон замечает, что «ощущение, назначенное определять жесткость, вынуждено приняться и за определение мягкости и потому извещает душу, что одна и та же вещь ощущается им и как жесткая, и как мягкая… То же самое и при ощущении легкого и тяжелого…»15. Таким образом, ощущение дает одновременно противоположные сведения. Поэтому необходимо ввести меру, с помощью которой мышление могло бы определять степень жесткости или мягкости, легкости или тяжести вещи, не прибегая уже к одному только свидетельству ощущения. Субъективный критерий должен быть заменен объективным, и здесь в дело должно вступить мышление.
Согласно Платону, переход от восприятия, ощущения к мышлению предполагает весьма серьезную операцию, которая на языке платоновской философии носит название перехода от становления к бытию. Становление, согласно Платону, это то, что неуловимо, не поддается твердой фиксации, что ускользает, меняется на глазах, предстает «то как мягкое, то как жесткое», о чем, стало быть, невозможно высказать что-либо определенное. Для того чтобы стало возможным остановить этот поток, выделить в нем нечто одно, отличить его от другого, измерить его в каком-либо отношении, необходима какая-то другая реальность, которая была бы условием возможности осуществления этих операций. Эту-то реальность Платон называет бытием. Следуя логике Платона, можно сказать, что при переходе от становления к бытию первым рождается число как средство упорядочения и удержания чего-то постоянного. Число, таким образом, есть посредник между сферами становления и бытия, оно служит связующим звеном между ними, или, как бы мы сейчас сказали, оно есть наилучший путь от восприятия и ощущения к мышлению, наилучший путь к научному познанию.
Теперь посмотрим, какова же, по Платону, природа самого этого посредника – числа.
Как ты думаешь, Главкон, если спросить их (математиков. – П. Г.): «Достойнейшие люди, о каких числах вы рассуждаете? Не о тех ли, в которых единица действительно такова, какой вы ее считаете, – то есть всякая единица равна всякой единице, ничуть от нее не отличается и не имеет в себе никаких частей?» – как ты думаешь, что они ответят?
– Да, по – моему, что они говорят о таких числах, которые допустимо лишь мыслить, а иначе с ними никак нельзя обращаться»16.
Как видим, важнейшая особенность числа – это его идеальность, в силу которой «его можно только мыслить». Как в арифметике число, так в геометрии точка, линия, плоскость и т. д. представляют собой, по Платону, идеальные образования, а не явления самой эмпирической реальности, а потому все они вводят человека в сферу, которая постигается мышлением, т. е., на языке Платона, в сферу истинного бытия. «Вот ты и видишь, мой друг, – констатирует Сократ, – что нам и в самом деле необходима эта наука, раз оказывается, что она заставляет душу пользоваться самим мышлением ради самой истины… Приходилось ли тебе наблюдать, как люди с природными способностями к счету бывают восприимчивы, можно сказать, ко всем наукам?»17.
Согласно Платону, математика служит подготовкой мышления к постижению истинного бытия, которое осуществляется с помощью науки– диалектики, стоящей выше математики. Математическое мышление находится посредине между «мнением», опирающимся на чувственное восприятие, и диалектикой – высшей наукой. Платон впервые пришел к мысли, что число имеет другой онтологический статус, чем чувственные вещи: оно является идеальным образованием. Поэтому после Платона стало уже невозможным говорить о том, что вещи «состоят» из чисел; эти реалии теперь оказались размещенными как бы в разных «мирах»: мире идеальном и мире эмпирическом. Платоновский идеализм возник в результате того, что процедуру идеализации как способа образования научных (и прежде всего математических) понятий Платон смог впервые осознать, допустив существование некоторого идеального мира, мира чистых идей. Как отмечает А. Сабо, понимание чисел как идеальных образований послужило логико – теоретической базой для дальнейшего развития греческой математики. «Числа, – пишет он, – являются чисто мыслительными элементами, к которым невозможно подходить иначе, как путем чистого мышления. Следовательно, можно видеть, что та греческая математика, которая у Евклида стремилась избегать в своих доказательствах только наглядного и видимого, тоже хотела понимать свой предмет как такой, который полностью лежит в сфере чистого мышления. Именно эта тенденция науки сделала возможным прекраснейшие евклидовы доказательства…»18.
Это утверждение Сабо представляется вполне справедливым по отношению к VII книге «Начал» Евклида, посвященной арифметике; что же касается тех книг «Начал», где рассматривается геометрическая алгебра, т. е. где Евклид имеет дело не с числами, а с геометрическими объектами, то по отношению к ним дело обстоит несколько сложнее.
Обратимся еще раз к свидетельству Аристотеля. Касаясь платоновского обоснования математики, Аристотель высказывает два разных и, на первый взгляд, трудно совместимых утверждения: во – первых, он подчеркивает, что числа у Платона суть идеи (т. е. принадлежат к сфере идеального бытия); а во – вторых, он неоднократно заявляет, что предмет математических наук составляют некоторые «промежуточные вещи»19, находящиеся как бы между сферами идеального и эмпирического бытия.
С другой стороны, как мы помним, и сам Платон помещает математику посредине – между «мнением», имеющим свой источник в чувственном восприятии, и высшей формой знания – философией, или диалектикой. Но, может быть, никакого противоречия не будет в сообщениях Аристотеля, если предположить, что Платон и его последователи вовсе не отождествляли понятие числа и «математического объекта»? Но тогда – что же такое «математические объекты», или, иначе говоря, «промежуточные вещи»? Тот же Аристотель дает некоторое указание, в каком направлении следует искать ответ на этот вопрос. «Что же касается тех, – говорит он, имея в виду Платона и его учеников, – кто принимает идеи… они образуют геометрические величины из материи и числа (из двойки – линии, из тройки – можно сказать – плоскости, из четверки – твердые тела…)»20. Легко видеть, что здесь выявляется разный способ бытия чисел и геометрических величин; оказывается, последние образуются, по Платону, из чисел (которые суть идеальные образования) плюс некоторая материя, – вот почему они и могут быть квалифицированы как промежуточные вещи. Арифметика, стало быть, оперирует с числами, а геометрия – с линиями, плоскостями, объемами, из которых она конструирует фигуры (окружности, треугольники, четырехугольники, шары, кубы) и их элементы (радиусы, углы, диагонали и пр.). Не случайно Платон ставит арифметику по логико – онтологическому рангу выше геометрии: число, которое она изучает, элементарнее и в этом смысле «чище», идеальнее, чем «промежуточные» объекты геометрии.
Но тут снова возникает вопрос: если объекты геометрии образуются из числа и материи, то чем же они в таком случае отличаются от обычных эмпирических вещей, которые, по Платону, ведь тоже обязаны своим существованием тому, что «материя» приобщается к идеям? А в то же время, как мы видели, Платон весьма определенно отличает четырехугольник как объект изучения математика и его чувственное воплощение – чертеж, говоря, что математики делают свои выводы только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Точно так же и те эмпирические вещи, которые имеют форму шара или куба, Платон считает лишь чувственными подобиями некоторого идеального шара или куба. Снова вроде бы получается какая-то неувязка: преодолев одно затруднение, выяснив, что числа и геометрические объекты имеют у Платона разный онтологический статус (числа – идеальные образования, а линии, углы, фигуры – «промежуточные»), мы попадаем в новое затруднение: чем же тогда «промежуточные вещи» отличаются от просто чувственных вещей?
Вопрос упирается в понятие «материи», которая, соединившись с числами, дает геометрические величины. Что это за «материя»? И как она может соединиться с числами? Есть ли на этот счет какие-либо разъяснения у Платона?
В позднем диалоге Платона «Тимей» есть очень интересное рассуждение, проливающее свет на интересующий нас вопрос: «…Приходится признать, во – первых, что есть тождественная идея, нерожденная и негибнущая, ничего не воспринимающая в себя откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во – вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя – ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее в некотором месте и вновь из него исчезающее, и оно воспринимается посредством мнения, соединенного с ощущением. В – третьих, есть еще один род, а именно пространство: оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но само воспринимается вне ощущения, посредством некого незаконного умозаключения и поверить в него почти невозможно»21.
О первых двух родах существующего мы уже знаем: это, с одной стороны, идеальное бытие (идея), постигаемое только мыслью, а с другой, мир чувственных, вещей, воспринимаемых ощущением. Третий же род– пространство– Платон помещает как бы между этими мирами: оно имеет признаки как первого, так и второго, а именно: подобно идеям, пространство вечно, неизменно, и постигается оно нами не через ощущение. Но сходство его со сферой чувственного в том, что оно постигается все же и не с помощью мышления. Та способность, с помощью которой мы воспринимаем пространство, квалифицируется Платоном весьма неопределенно – как «незаконное умозаключение». Интересно, что Платон сравнивает видение пространства с видением во сне. «Мы видим его (пространство. – П. Г.) как бы в грезах и утверждаем, будто этому бытию22 непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует»23.
Сравнение «незаконнорожденного» постижения пространства с видением во сне весьма важно для Платона, потому что он не однажды употребляет это сравнение. В диалоге «Государство», говоря о геометрии и ее объектах, Платон вновь пользуется этим сравнением: «Что касается остальных наук, которые, как мы говорили, пытаются постичь хоть что-нибудь из бытия (речь идет о геометрии и тех науках, которые следуют за ней. – П. Г.), то им всего лишь снится бытие, а наяву им невозможно его увидеть, пока они, пользуясь своими предположениями, будут сохранять их незыблемыми и не отдавать в них отчета. У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода несогласованность когда-либо стать знанием?»24.
Пространство мы видим как бы во сне, мы его как бы и видим и в то же время не можем постигнуть в понятиях, – и вот оно-то, по мнению Платона, служит началом («материей») для геометров. Значит, их начало таково, что они его не знают в строгом смысле слова.
Итак, Платон рассматривает пространство как предпосылку существования геометрических объектов, как то «начало», которого сами геометры «не знают» и потому должны постулировать его свойства в качестве недоказуемых первых положений своей науки.
Именно пространство и есть «материя», путем соединения которой с числами образуются, по Платону, геометрические объекты. Однако сама эта «материя» – особого рода; не случайно Платон помещает пространство посредине – между чувственными вещами и чисто логическими идеальными образованиями. Впоследствии в неоплатонизме возникает понятие, хорошо передающее этот «промежуточный» характер пространства: одно было названо «умной (или умопостигаемой – в отличие от чувственной) материей». А ту способность, с помощью которой постигается этот род бытия и которую Платон назвал «незаконным умозаключением» (может быть, лучше было бы сказать – незаконным умозрением), неоплатоник Прокл в своем «Комментарии к «Началам» Евклида» именует воображением, фантазией. Воображение – это и не логическое мышление, и не чувственное восприятие, хотя оно имеет общие черты и с первым, и со вторым (что и зафиксировал Платон).
Геометрические объекты, следовательно, тоже рассматриваются Платоном и его последователями как некоторые «гибриды»: в них чисто идеальное (число, числовое отношение) оказывается «сращенным» с «умопостигаемой материей» – пространством. «Движение» точки, с помощью которой образуется линия (ибо и сама точка как то, что «не имеет частей», не есть эмпирический объект), происходит, согласно Платону, не в чувственном мире, а как бы в некоторой идеализованной чувственности – в воображении.
Подводя итог нашему анализу платоновского обоснования математики и науки вообще, можно сделать следующие выводы.
Во – первых, Платон считает математику образцом науки как таковой; правда, она уступает высшему знанию, которое Платон называет диалектикой; это выражается, в частности, в том, что математика нуждается в некоторых предпосылках – допущениях, которые ею самой принимаются, но внутри нее доказаны быть не могут.
Во – вторых, математика оперирует с идеальными объектами, или, как мы сегодня сказали бы, создает идеализации, и в этом – основа строгости ее выводов и определенности ее понятий.
В – третьих, математические науки имеют дело с идеализациями, так сказать, разной степени строгости и логической чистоты: арифметика – с числами, образованиями идеальными (логическими), геометрия – с пространственными фигурами, образованиями промежуточными, для конструирования которых приходится как бы придавать идеям – числам пространственный облик, что и выполняет особая способность – воображение.
Именно философская рефлексия об основных понятиях античной науки, прежде всего математики, таких как число, геометрическая фигура, пространство и т. д., существенно содействовала превращению научного мышления в систематическое, содействовала возникновению единой связной системы доказательств, которой отличается теоретическое знание. Образцом последнего не только для древнегреческой, но и для новой науки были «Начала» Евклида.
Примечания
Так, от Аристотеля мы получаем свидетельство, что пифагорейцы не проводили принципиального различия между числами и вещами. «Во всяком случае, – говорит Аристотель, – и у них, по – видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей и в качестве выражения для их состояний и свойств…»7. Согласно Аристотелю, пифагорейцы не ставят вопроса о способе существования числа, т. е. о его онтологическом статусе, а потому у них «чувственные сущности состоят из этого числа»8, а это, в свою очередь, возможно лишь при условии, если числа имеют пространственную величину9. Если Аристотель здесь действительно адекватно воссоздает представления пифагорейцев, то в таком случае, надо полагать, они мыслили числа как некоторые «телесные единицы», и не случайно пифагореец Экфант, по сообщению Аэция, «первый объявил пифагорейские монады телесными»10.
Не вдаваясь детально в анализ пифагорейского учения о числе, пространстве, точке, фигуре и т. д., мы можем только высказать предположение, что приведенное свидетельство Аристотеля указывает скорее на то, что эти исходные понятия пифагорейской математики не были еще логически и онтологически отрефлектированы, нежели на то, что пифагорейцы сознательно и обоснованно отождествляли числа с телесными вещами или «составляли» вещи из чисел.
Первый толчок к рефлексии по поводу основных понятий математики, по – видимому, дало открытие несоизмеримости, имевшее место, по свидетельству исторических источников, именно в пифагорейской школе11. Следует однако отметить, что это открытие могло быть сделано только там и тогда, где и когда уже возникли основные контуры математики как связной теоретической системы. Ведь только в этом случае может возникнуть удивление, что дело обстоит не так, как следовало ожидать. Не случайно открытие несоизмеримости принадлежит именно грекам, хотя задачи на извлечение квадратных корней, в том числе корень квадратный из 2 и решались уже в древневавилонской математике и составлялись таблицы приближенных значений корней.
Но если открытие несоизмеримости стало возможным только на почве пифагорейской математики, то оно в свою очередь вызвало целый переворот в математике и заставило пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой разумеющимися. Видимо, открытие несоизмеримости привело к перестройке первого здания пифагорейской математики, так называемой «арифмогеометрии»12, поскольку указало на то, что существуют отношения, не выражаемые числами (греки понимали под числами только целые положительные числа). В результате возникла тенденция к геометризации математики – с целью геометрически выразить отношения, не выразимые с помощью арифметического (целого) числа. Естественно, что переход от «арифмогеометрии» к геометрической алгебре сопровождался размышлением о самих основаниях математики и ставил под вопрос первоначальное представление пифагорейцев о соотношении «вещей» и «чисел».
Второй сильный толчок к размышлению о логических основаниях научных понятий был дан открытием так называемых апорий Зенона Элейского13 впервые выявившего противоречия, связанные с понятиями прерывности и непрерывности (первое в истории науки открытие парадоксов бесконечности). Школа элеатов, представителем которой был Зенон, сыграла важную роль в античной науке, поскольку она внесла требование логического прояснения научных понятий, и прежде всего понятий математики, которыми ранее оперировали некритически.
Возможно ли мыслить множество, не впадая при этом в противоречие? – вот один из главных вопросов, поставленных Зеноном.
Сам Зенон отвечал на этот вопрос отрицательно. Но не столько ответ Зенона, сколько его постановка вопроса сыграла важную роль в развитии научного мышления греков, вплотную подведя их к проблеме: в каком отношении между собой находятся чувственные явления и те понятия, с помощью которых мы эти явления познаем?
Серьезный шаг на пути решения этого вопроса был сделан Демокритом. Вслед за элеатами Демокрит отличает объекты, постигаемые мышлением, от тех, которые даны в чувственном восприятии; только изучая первые, мы можем познать истину (таковы, согласно учению Демокрита, атомы и пустота); что же касается того, что дано нам в чувственном восприятии, то Демокрит относит это к сфере «мнения», а не истинного знания.
Демокрит сосредоточил внимание прежде всего на самом предмете истинного знания, создав таким образом атомистическую теорию; но выявленное элеатами и закрепленное Демокритом различение «истины» и «мнения» толкало к дальнейшему исследованию познавательного процесса, переключая тем самым внимание с предмета познания на само познание.
В выяснении этой стороны дела большую роль сыграла философия Платона.
Как же решает Платон те проблемы, которые возникли в результате описанных нами выше открытий и вызванных ими затруднений?
Размышляя о том, когда и почему у людей возникает надобность в научном исследовании того или иного явления, Платон приходит к следующему выводу: если чувственное восприятие не дает нам определенного и недвусмысленного указания, что такое находящийся перед нами предмет, то возникает необходимость обратиться к мышлению. Таким путём возникает наука. Приведём это рассуждение Платона ввиду его существенного значения для нашей темы.
«Кое-что в наших восприятиях не побуждает наше мышление к дальнейшему исследованию, потому что достаточно определяется самим ощущением; но кое-что решительно требует такого исследования, поскольку ощущение не дает ничего надежного… Не побуждает к исследованию то, что не вызывает одновременно противоположного ощущения, а то, что вызывает такое, я считаю побуждающим к исследованию…»14. Разъясняя сказанное, Платон замечает, что «ощущение, назначенное определять жесткость, вынуждено приняться и за определение мягкости и потому извещает душу, что одна и та же вещь ощущается им и как жесткая, и как мягкая… То же самое и при ощущении легкого и тяжелого…»15. Таким образом, ощущение дает одновременно противоположные сведения. Поэтому необходимо ввести меру, с помощью которой мышление могло бы определять степень жесткости или мягкости, легкости или тяжести вещи, не прибегая уже к одному только свидетельству ощущения. Субъективный критерий должен быть заменен объективным, и здесь в дело должно вступить мышление.
Согласно Платону, переход от восприятия, ощущения к мышлению предполагает весьма серьезную операцию, которая на языке платоновской философии носит название перехода от становления к бытию. Становление, согласно Платону, это то, что неуловимо, не поддается твердой фиксации, что ускользает, меняется на глазах, предстает «то как мягкое, то как жесткое», о чем, стало быть, невозможно высказать что-либо определенное. Для того чтобы стало возможным остановить этот поток, выделить в нем нечто одно, отличить его от другого, измерить его в каком-либо отношении, необходима какая-то другая реальность, которая была бы условием возможности осуществления этих операций. Эту-то реальность Платон называет бытием. Следуя логике Платона, можно сказать, что при переходе от становления к бытию первым рождается число как средство упорядочения и удержания чего-то постоянного. Число, таким образом, есть посредник между сферами становления и бытия, оно служит связующим звеном между ними, или, как бы мы сейчас сказали, оно есть наилучший путь от восприятия и ощущения к мышлению, наилучший путь к научному познанию.
Теперь посмотрим, какова же, по Платону, природа самого этого посредника – числа.
Как ты думаешь, Главкон, если спросить их (математиков. – П. Г.): «Достойнейшие люди, о каких числах вы рассуждаете? Не о тех ли, в которых единица действительно такова, какой вы ее считаете, – то есть всякая единица равна всякой единице, ничуть от нее не отличается и не имеет в себе никаких частей?» – как ты думаешь, что они ответят?
– Да, по – моему, что они говорят о таких числах, которые допустимо лишь мыслить, а иначе с ними никак нельзя обращаться»16.
Как видим, важнейшая особенность числа – это его идеальность, в силу которой «его можно только мыслить». Как в арифметике число, так в геометрии точка, линия, плоскость и т. д. представляют собой, по Платону, идеальные образования, а не явления самой эмпирической реальности, а потому все они вводят человека в сферу, которая постигается мышлением, т. е., на языке Платона, в сферу истинного бытия. «Вот ты и видишь, мой друг, – констатирует Сократ, – что нам и в самом деле необходима эта наука, раз оказывается, что она заставляет душу пользоваться самим мышлением ради самой истины… Приходилось ли тебе наблюдать, как люди с природными способностями к счету бывают восприимчивы, можно сказать, ко всем наукам?»17.
Согласно Платону, математика служит подготовкой мышления к постижению истинного бытия, которое осуществляется с помощью науки– диалектики, стоящей выше математики. Математическое мышление находится посредине между «мнением», опирающимся на чувственное восприятие, и диалектикой – высшей наукой. Платон впервые пришел к мысли, что число имеет другой онтологический статус, чем чувственные вещи: оно является идеальным образованием. Поэтому после Платона стало уже невозможным говорить о том, что вещи «состоят» из чисел; эти реалии теперь оказались размещенными как бы в разных «мирах»: мире идеальном и мире эмпирическом. Платоновский идеализм возник в результате того, что процедуру идеализации как способа образования научных (и прежде всего математических) понятий Платон смог впервые осознать, допустив существование некоторого идеального мира, мира чистых идей. Как отмечает А. Сабо, понимание чисел как идеальных образований послужило логико – теоретической базой для дальнейшего развития греческой математики. «Числа, – пишет он, – являются чисто мыслительными элементами, к которым невозможно подходить иначе, как путем чистого мышления. Следовательно, можно видеть, что та греческая математика, которая у Евклида стремилась избегать в своих доказательствах только наглядного и видимого, тоже хотела понимать свой предмет как такой, который полностью лежит в сфере чистого мышления. Именно эта тенденция науки сделала возможным прекраснейшие евклидовы доказательства…»18.
Это утверждение Сабо представляется вполне справедливым по отношению к VII книге «Начал» Евклида, посвященной арифметике; что же касается тех книг «Начал», где рассматривается геометрическая алгебра, т. е. где Евклид имеет дело не с числами, а с геометрическими объектами, то по отношению к ним дело обстоит несколько сложнее.
Обратимся еще раз к свидетельству Аристотеля. Касаясь платоновского обоснования математики, Аристотель высказывает два разных и, на первый взгляд, трудно совместимых утверждения: во – первых, он подчеркивает, что числа у Платона суть идеи (т. е. принадлежат к сфере идеального бытия); а во – вторых, он неоднократно заявляет, что предмет математических наук составляют некоторые «промежуточные вещи»19, находящиеся как бы между сферами идеального и эмпирического бытия.
С другой стороны, как мы помним, и сам Платон помещает математику посредине – между «мнением», имеющим свой источник в чувственном восприятии, и высшей формой знания – философией, или диалектикой. Но, может быть, никакого противоречия не будет в сообщениях Аристотеля, если предположить, что Платон и его последователи вовсе не отождествляли понятие числа и «математического объекта»? Но тогда – что же такое «математические объекты», или, иначе говоря, «промежуточные вещи»? Тот же Аристотель дает некоторое указание, в каком направлении следует искать ответ на этот вопрос. «Что же касается тех, – говорит он, имея в виду Платона и его учеников, – кто принимает идеи… они образуют геометрические величины из материи и числа (из двойки – линии, из тройки – можно сказать – плоскости, из четверки – твердые тела…)»20. Легко видеть, что здесь выявляется разный способ бытия чисел и геометрических величин; оказывается, последние образуются, по Платону, из чисел (которые суть идеальные образования) плюс некоторая материя, – вот почему они и могут быть квалифицированы как промежуточные вещи. Арифметика, стало быть, оперирует с числами, а геометрия – с линиями, плоскостями, объемами, из которых она конструирует фигуры (окружности, треугольники, четырехугольники, шары, кубы) и их элементы (радиусы, углы, диагонали и пр.). Не случайно Платон ставит арифметику по логико – онтологическому рангу выше геометрии: число, которое она изучает, элементарнее и в этом смысле «чище», идеальнее, чем «промежуточные» объекты геометрии.
Но тут снова возникает вопрос: если объекты геометрии образуются из числа и материи, то чем же они в таком случае отличаются от обычных эмпирических вещей, которые, по Платону, ведь тоже обязаны своим существованием тому, что «материя» приобщается к идеям? А в то же время, как мы видели, Платон весьма определенно отличает четырехугольник как объект изучения математика и его чувственное воплощение – чертеж, говоря, что математики делают свои выводы только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Точно так же и те эмпирические вещи, которые имеют форму шара или куба, Платон считает лишь чувственными подобиями некоторого идеального шара или куба. Снова вроде бы получается какая-то неувязка: преодолев одно затруднение, выяснив, что числа и геометрические объекты имеют у Платона разный онтологический статус (числа – идеальные образования, а линии, углы, фигуры – «промежуточные»), мы попадаем в новое затруднение: чем же тогда «промежуточные вещи» отличаются от просто чувственных вещей?
Вопрос упирается в понятие «материи», которая, соединившись с числами, дает геометрические величины. Что это за «материя»? И как она может соединиться с числами? Есть ли на этот счет какие-либо разъяснения у Платона?
В позднем диалоге Платона «Тимей» есть очень интересное рассуждение, проливающее свет на интересующий нас вопрос: «…Приходится признать, во – первых, что есть тождественная идея, нерожденная и негибнущая, ничего не воспринимающая в себя откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во – вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя – ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее в некотором месте и вновь из него исчезающее, и оно воспринимается посредством мнения, соединенного с ощущением. В – третьих, есть еще один род, а именно пространство: оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но само воспринимается вне ощущения, посредством некого незаконного умозаключения и поверить в него почти невозможно»21.
О первых двух родах существующего мы уже знаем: это, с одной стороны, идеальное бытие (идея), постигаемое только мыслью, а с другой, мир чувственных, вещей, воспринимаемых ощущением. Третий же род– пространство– Платон помещает как бы между этими мирами: оно имеет признаки как первого, так и второго, а именно: подобно идеям, пространство вечно, неизменно, и постигается оно нами не через ощущение. Но сходство его со сферой чувственного в том, что оно постигается все же и не с помощью мышления. Та способность, с помощью которой мы воспринимаем пространство, квалифицируется Платоном весьма неопределенно – как «незаконное умозаключение». Интересно, что Платон сравнивает видение пространства с видением во сне. «Мы видим его (пространство. – П. Г.) как бы в грезах и утверждаем, будто этому бытию22 непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует»23.
Сравнение «незаконнорожденного» постижения пространства с видением во сне весьма важно для Платона, потому что он не однажды употребляет это сравнение. В диалоге «Государство», говоря о геометрии и ее объектах, Платон вновь пользуется этим сравнением: «Что касается остальных наук, которые, как мы говорили, пытаются постичь хоть что-нибудь из бытия (речь идет о геометрии и тех науках, которые следуют за ней. – П. Г.), то им всего лишь снится бытие, а наяву им невозможно его увидеть, пока они, пользуясь своими предположениями, будут сохранять их незыблемыми и не отдавать в них отчета. У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода несогласованность когда-либо стать знанием?»24.
Пространство мы видим как бы во сне, мы его как бы и видим и в то же время не можем постигнуть в понятиях, – и вот оно-то, по мнению Платона, служит началом («материей») для геометров. Значит, их начало таково, что они его не знают в строгом смысле слова.
Итак, Платон рассматривает пространство как предпосылку существования геометрических объектов, как то «начало», которого сами геометры «не знают» и потому должны постулировать его свойства в качестве недоказуемых первых положений своей науки.
Именно пространство и есть «материя», путем соединения которой с числами образуются, по Платону, геометрические объекты. Однако сама эта «материя» – особого рода; не случайно Платон помещает пространство посредине – между чувственными вещами и чисто логическими идеальными образованиями. Впоследствии в неоплатонизме возникает понятие, хорошо передающее этот «промежуточный» характер пространства: одно было названо «умной (или умопостигаемой – в отличие от чувственной) материей». А ту способность, с помощью которой постигается этот род бытия и которую Платон назвал «незаконным умозаключением» (может быть, лучше было бы сказать – незаконным умозрением), неоплатоник Прокл в своем «Комментарии к «Началам» Евклида» именует воображением, фантазией. Воображение – это и не логическое мышление, и не чувственное восприятие, хотя оно имеет общие черты и с первым, и со вторым (что и зафиксировал Платон).
Геометрические объекты, следовательно, тоже рассматриваются Платоном и его последователями как некоторые «гибриды»: в них чисто идеальное (число, числовое отношение) оказывается «сращенным» с «умопостигаемой материей» – пространством. «Движение» точки, с помощью которой образуется линия (ибо и сама точка как то, что «не имеет частей», не есть эмпирический объект), происходит, согласно Платону, не в чувственном мире, а как бы в некоторой идеализованной чувственности – в воображении.
Подводя итог нашему анализу платоновского обоснования математики и науки вообще, можно сделать следующие выводы.
Во – первых, Платон считает математику образцом науки как таковой; правда, она уступает высшему знанию, которое Платон называет диалектикой; это выражается, в частности, в том, что математика нуждается в некоторых предпосылках – допущениях, которые ею самой принимаются, но внутри нее доказаны быть не могут.
Во – вторых, математика оперирует с идеальными объектами, или, как мы сегодня сказали бы, создает идеализации, и в этом – основа строгости ее выводов и определенности ее понятий.
В – третьих, математические науки имеют дело с идеализациями, так сказать, разной степени строгости и логической чистоты: арифметика – с числами, образованиями идеальными (логическими), геометрия – с пространственными фигурами, образованиями промежуточными, для конструирования которых приходится как бы придавать идеям – числам пространственный облик, что и выполняет особая способность – воображение.
Именно философская рефлексия об основных понятиях античной науки, прежде всего математики, таких как число, геометрическая фигура, пространство и т. д., существенно содействовала превращению научного мышления в систематическое, содействовала возникновению единой связной системы доказательств, которой отличается теоретическое знание. Образцом последнего не только для древнегреческой, но и для новой науки были «Начала» Евклида.
Примечания
1 Это не значит, что в древневосточной математике отсутствовали элементы, начатки доказательства; но единой системы доказательств в ней не было.
2 Szabó A. Anfange dcr griecluschen Mathemalik. Mǘnchen – Wien, 1969, S. 245.
3 Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции, М., 1959. С. 41.
4 Там же. С. 42.
5 Пифагорейская школа была основана в VI в. до н. э. Кроме самого Пифагора, основателя школы, к наиболее крупным ее представителям относятся Гиппас, Филолай, Архит Тарентский (один из крупнейших математиков IV в. до н. э.). Пифагореизм представлял собой религиозно – философское учение, важным моментом которого было понимание числа как начала всего существующего. Однако пифагорейцы занимались не только математикой, к которой в античности относили, кроме арифметики и геометрии, также астрономию, акустику и теорию музыки. Среди них были также врачи, как Алкмеон из Кротоны, ботаники, как Менестор из Сибариса, и т. д. Начиная с IV в. до н. э пифагореизм сближается с идеалистической философией Платона. В целом это направление существовало очень долго – вплоть до эпохи Римской империи (так называемый неопифагореизм – с I в. до н. э. по III в. н. э.).
6 Маковельский А. О. Досократики Ч. III, Казань, 1919. С. 34.
7 Аристотель. Метафизика. М. – Л., 1934. С. 27.
8 Там же. С. 227.
9 О чем свидетельствует Аристотель: «…Единицам они приписывают пространственную величину…» (там же).
10 Маковельский. Цит. соч. С. 62.
11 Это открытие приписывали даже самому Пифагору, однако точных сведений об этом нет.
12 Подробнее см.: Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М. – Л., 1932. С.40–42.
13 Зенон (V в. до. н. э) принадлежал к школе элеатов и был любимым учеником главы школы – Парменида.
14 Платон. Соч. Т. 3, ч. 1. М., 1971. С. 332.
15 Там же. С. 333.
16 Там же. С. 337. Еще более выразителен в этой связи следующий отрывок из Платона: «…Когда они (геометры. – П. Г.) вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили… То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражениям того, что можно видеть не иначе как мысленным взором» (там же. С.317–318). Разбирая эти соображения Платона в своей истории античной и математики, ван – дер Варден полагает, что античные математики должны были быть согласны здесь с Платоном. «И действительно, – пишет ван дер Варден, – для прямолинейных отрезков, которые можно видеть и эмпирически измерять, является бессмысленным вопрос, имеют ли они общую меру или нет: ширина волоса уложится целое число раз в любом начерченном отрезке. Вопрос о соизмеримости имеет смысл только для отрезков, создаваемых мыслью» (Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука, М., 1959. С. 201).
17 Там же. С. 336.
18 Szabó A. Anfange der griechischen Mathematik, s. 256–257.
19 Аристотель. Цит. соч. С. 47.
20 Там же. С. 246.
21 Платон. Цит. соч. С. 493.
22 Здесь возникает неясность в переводе, поскольку выражение «этому бытию» читатель, естественно, относит к пространству, – ведь о нем сейчас ведет речь Платон. И получается, что пространству надо быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство; А в оригинале говорится: «Мы видим его (пространство) как бы во сне и утверждаем, что всякому бытию (to ou apan. – П. Г.) необходимо где-то находиться, быть в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что находится ни на земле, ни на небе, как бы нигде не существует». Пространство описывается Платоном как вместилище всего сущего; всякому сущему надо где-нибудь находиться, и то, где оно находится, и называется пространством.
2 Szabó A. Anfange dcr griecluschen Mathemalik. Mǘnchen – Wien, 1969, S. 245.
3 Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции, М., 1959. С. 41.
4 Там же. С. 42.
5 Пифагорейская школа была основана в VI в. до н. э. Кроме самого Пифагора, основателя школы, к наиболее крупным ее представителям относятся Гиппас, Филолай, Архит Тарентский (один из крупнейших математиков IV в. до н. э.). Пифагореизм представлял собой религиозно – философское учение, важным моментом которого было понимание числа как начала всего существующего. Однако пифагорейцы занимались не только математикой, к которой в античности относили, кроме арифметики и геометрии, также астрономию, акустику и теорию музыки. Среди них были также врачи, как Алкмеон из Кротоны, ботаники, как Менестор из Сибариса, и т. д. Начиная с IV в. до н. э пифагореизм сближается с идеалистической философией Платона. В целом это направление существовало очень долго – вплоть до эпохи Римской империи (так называемый неопифагореизм – с I в. до н. э. по III в. н. э.).
6 Маковельский А. О. Досократики Ч. III, Казань, 1919. С. 34.
7 Аристотель. Метафизика. М. – Л., 1934. С. 27.
8 Там же. С. 227.
9 О чем свидетельствует Аристотель: «…Единицам они приписывают пространственную величину…» (там же).
10 Маковельский. Цит. соч. С. 62.
11 Это открытие приписывали даже самому Пифагору, однако точных сведений об этом нет.
12 Подробнее см.: Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М. – Л., 1932. С.40–42.
13 Зенон (V в. до. н. э) принадлежал к школе элеатов и был любимым учеником главы школы – Парменида.
14 Платон. Соч. Т. 3, ч. 1. М., 1971. С. 332.
15 Там же. С. 333.
16 Там же. С. 337. Еще более выразителен в этой связи следующий отрывок из Платона: «…Когда они (геометры. – П. Г.) вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили… То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражениям того, что можно видеть не иначе как мысленным взором» (там же. С.317–318). Разбирая эти соображения Платона в своей истории античной и математики, ван – дер Варден полагает, что античные математики должны были быть согласны здесь с Платоном. «И действительно, – пишет ван дер Варден, – для прямолинейных отрезков, которые можно видеть и эмпирически измерять, является бессмысленным вопрос, имеют ли они общую меру или нет: ширина волоса уложится целое число раз в любом начерченном отрезке. Вопрос о соизмеримости имеет смысл только для отрезков, создаваемых мыслью» (Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука, М., 1959. С. 201).
17 Там же. С. 336.
18 Szabó A. Anfange der griechischen Mathematik, s. 256–257.
19 Аристотель. Цит. соч. С. 47.
20 Там же. С. 246.
21 Платон. Цит. соч. С. 493.
22 Здесь возникает неясность в переводе, поскольку выражение «этому бытию» читатель, естественно, относит к пространству, – ведь о нем сейчас ведет речь Платон. И получается, что пространству надо быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство; А в оригинале говорится: «Мы видим его (пространство) как бы во сне и утверждаем, что всякому бытию (to ou apan. – П. Г.) необходимо где-то находиться, быть в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что находится ни на земле, ни на небе, как бы нигде не существует». Пространство описывается Платоном как вместилище всего сущего; всякому сущему надо где-нибудь находиться, и то, где оно находится, и называется пространством.