Страница:
Анаксимен
Изменение без личности
Все изменения – это сгущение и разрежение.
Анаксимен
Фалес и Анаксимандр стали первооткрывателями нового мира естественные наук и философии. Но все же они не были свободных от старых мифологических методов мышления: за изменения, происходящие в мире, у них отвечали персонифицированные силы: душа – «психе» у Фалеса и богиня Дике у Анаксимандра. Человеком, преодолевшим последние остатки мифа, был Анаксимен, третий философ из Милета. Он открыл, что изменения в природе можно объясниты механическими процессами.
Анаксимен считал, что все изменения в мире вызываются изменением – в результате конденсации или разрежения – плотности единого для всего мира вещества-основы, которое он называл аэр. Огромным достоинством этой новой идеи было то, что она дала ученым почву для новых экспериментов, модели и четкие физические объяснения происходящих в природе изменений и их причин1. Этого образа мыслей мы придерживаемся и сегодня. Когда в наши дни человек задает себе вопрос, почему вода превращается в пар, он уже думает не о «душе» или «грехе гордыни», а об огне, который создает давление, то есть силу, «раздвигающую в стороны» молекулы воды. И Анаксимен доказывал, что различные качества и состояния вещества, которые можно наблюдать, – это просто результаты сдвигов давления, создающих различные плотности. Его объяснение все же оставляет желать лучшего в смысле точности, поскольку представление о том, что вещество состоит из частиц, которые могут быть ближе придвинуты одна к другой или отодвинуты друг от друга, появилось лишь через столетие после Анаксимена. У этого философа вещество скорее было непрерывным и растягивалось каким-то образом, который он определял не очень точно.
Прикладное применение этой новой идеи в астрономии позволило улучшить Анаксимандрову первую модель Вселенной. Введя в нее «вращающийся вихрь», по-гречески дине, Анаксимен смог описать, как более плотные и потому более тяжелые клочья сжатого вещества собираются в центре этого вихря, подобно тому как палка втягивается в центр водоворота, а более легкое вещество выталкивается ближе к краям вихря. Одновременно с этим, по его мнению, происходили изменения и столкновения, которые постоянно меняли состояние этой системы, поскольку нагревание и охлаждение изменяли плотность отдельных участков ее внешней части и центра. Если не считать необходимости объяснить, как началось движение, эта вихревая модель представляет собой полную и самоочевидную систему природы: для ее объяснения не нужны ни души, ни боги, а только движущаяся материя. Модель вращающегося мира, совершенствуясь в деталях, оставалась ключевой схемой его строения в астрономии и физике в течение десяти веков после Анаксимена.
Например, Аристофан в своей комедии «Облака» упоминает о керамической модели вихря. Аристофану не нравилась эта наука без религии, частью которой была такая модель, и в пьесе у него есть старик, на которого она сначала производит сильное впечатление, поскольку он заявляет: «Зевс больше не правит, вместо него правит Вихрь», а в конце концов он возвращается к религиозному способу мышления: «Прости меня, Зевс! Я по ошибке принял глиняный волчок за бессмертного бога…» Это доказывает, что вихревая модель мира оставалась стандартом для науки еще в 423 году до н. э., когда были написаны «Облака».
Чтобы осознать величие и важность достижений трех милетских философов, каждый из которых глубже предыдущего проникал в мир и лучше видел его материальность, однородность и механический характер причинно-следственных отношений в нем, – современный читатель должен понять, что перед нами – далекие предшественники современной физики и астрономии. Например, в восхитительной книге профессора Джорджа Гамова «Рождение и смерть Солнца» показано, как современная астрофизика может описывать истории жизни звезд в терминах поочередного увеличения и уменьшения их плотности2. Конечно, по чистоте экспериментов и по сложности и объему опыта разница между современным и древним ученым огромна. Некоторые понятия из книги профессора Гамова, например «гравитационные силы», «ядерные реакции», «орбиты электронов», – это технические идеи такого уровня, что понадобилось два тысячелетия экспериментов и работы мысли, прежде чем их удалось точно сформулировать или измерить. И тем не менее тот взгляд на мир, который принят в современных физике и астрономии, в основном – милетский. Следовательно, когда мы дойдем здесь до того, как Сократ позже критиковал милетцев, нам может оказаться интересно спросить себя, насколько эта критика применима к нашей сегодняшней науке3.
Кроме идеи о механическом характере изменений в природе, Анаксимен выдвинул еще одну идею: что вещество, которое является основой мира, – не вода и не нечто безграничное, а то, что он называл «аэр», то есть воздух4. То, что такой гениальный человек, каким проявил себя Анаксимен, мог посчитать такое представление о материи шагом вперед, кажется движением назад и может озадачить. Но мы должны помнить, что наше понятие материи очень далеко от милетского понятия основы всех вещей. Если «безграничное» у Анаксимандра действительно было серым туманом, мы можем понять, почему слово «аэр» могло показаться Анаксимену более точным обозначением этого вещества без определенных свойств. В то время воздух не считался «телесным». Только через пятьдесят лет греческие ученые доказали, что воздух все же занимает место в пространстве и в сжатом состоянии оказывает сопротивление другим телам. В самом деле, по сравнению с водой или землей воздух действительно кажется лишенным определенных свойств и невещественным: он свободно пропускает через себя звуки и свет, и, если он не движется с большой скоростью, кажется, что он не оказывает сопротивления, когда мы проходим сквозь него.
Анаксимен мог выбрать воздух еще и потому, что в те времена понятие «воздух» содержало в себе идею дыхания, души, дающей жизнь людям и животным. Признание воздуха основой вещей подразумевало связь между жизнью и материей.
Само слово «аэр» использовалось Гомером и более поздними писателями для обозначения темного тумана; завеса из «аэра» могла сделать героя невидимым. Родственное этому слову слово «айтер» (aither) означало ярко светящийся воздух и сияющее небо. Слово «пневма» (pneuma) применялось в значениях «дыхание» и «дух жизни» у людей и животных. Четкой границы между этими тремя словами не было, и «аэр» могло иметь все три значения вместе.
«Аэр» – темный туман – был именно тем образом, который ассоциировался с «безграничным». Чтобы сказать о «нейтральности» своего вещества-основы, Анаксимен немного сместил акценты и выбрал более понятное и распространенное значение слова «аэр» – значение «воздух». Поскольку он рассматривал природу чисто механически, ему теперь нужно было как-то объяснить существование жизни и души, а традиционная ассоциативная связь «аэр – пневмапсихе» (воздух – дыхание – душа) предлагала ему включить жизнь в естественный порядок вещей.
Тем не менее переход от понимания материи как безграничной субстанции к определению материи как «воздуха» был временным шагом назад. «Безграничное» – термин, побуждающий нас выходить в научных исследованиях за пределы наглядных образов, а «воздух» совершенно не подходит для этого.
Обсуждая новую идею Анаксимена, мы указали на то, как сильно милетское представление о вращающемся мире похоже в своей основе на картину мира, принятую в нашей современной физике и астрономии. Но понятие «аэр» указывает на большую качественную разницу между прозрениями ученых на том раннем этапе и теми же идеями сегодня.
Профессор Ф.С.К. Нортроп в своей книге, посвященной сравнительному анализу культур и разработке научной методики этого анализа, проводит как раз то самое различие между этими двумя способами мышления, которое важно для нас здесь. Он называет это разницей между «интуитивными понятиями» и «понятиями-постулатами»5.
«Большинство людей и культур дают своим идеям значения, ассоциируя или отождествляя их с конкретными картинами, возникающими в воображении. Когда мы думаем о материи как о море, похожем на неутомимо движущееся Эгейское море, может быть, покрытое волнами и синее, – это интуитивное понятие. «Понятия-постулаты», напротив, есть результ чисто интеллектуальной работы; их получают в результате обобщения, оставляя при этом воображение позади; это абстрактные идеи, которые нельзя представить в виде картин. Такие понятия-постулаты мы получаем не из своего непосредственного опыта: наши глаза не могут увидеть квадратный корень или закон тяготения. Скорее они связаны с опытом через «косвенную проверку» – через изучение отдельных примеров и частных случаев, которые можно наблюдать. Согласно Нортропу, специфические черты научного и юридического мышления, принятого на Западе, являются результатами того, что греки открыли обобщение. Три милетца, которые начали западную науку и философию, сделали попытку – еще достаточно примитивную – использовать для объяснения вещей «понятия-постулаты». Но эти люди не имели ни опыта, ни аппарата логики для того, чтобы пойти дальше той смеси идеи и образа, которая называется «интуитивное понятие».
Пифагор и его школа
Музыка сфер
Пифагорейцы… поскольку воспитывались, изучая математику, думали, что вещи являются числами… и что все небеса в целом – это гамма и число…
Аристотель
Отвечая на исходный вопрос Фалеса, Пифагор и его последователи утверждали, что все вещи являются числами. Изучение математических соотношений, характеризующих музыкальные гаммы и движение планет, привело Пифагора к вере в то, что количественные законы природы можно обнаружить во всех областях, которые исследует наука. Кроме того, он ожидал, что такие законы так же просты, как законы, управляющие музыкой.
Западная мысль обязана пифагорейцам, во-первых, открытием чистой математики, во-вторых, более строгим определением понятия «математическое доказательство», в-третьих, знанием того, что индивидуальность вещи придают ее форма и структура1. Их работа положила начало научному поиску количественных законов и философской традиции формализма, которая в конце концов достигла наивысшего расцвета у Платона2.
У пифагорейцев философия стала центральной частью религиозного образа жизни, поскольку Пифагор был не только математиком, но также учителем морали и религиозным лидером, и Пифагорейское братство было не толъко группой ученых-исследователей, но также общественным и религиозным сообществом.
Понятие формы и греческое слово «эйдос», которое в конце концов стало его выражать, имеют довольно сложную историю. Первоначально «эйдос» означало «внешний вид вещи», или «лицо» (как у Гомера, когда Ахилл, разгневавшись на Агамемнона, называет его «кинэйдос!» («собачья морда!»). В медицине «эйдос» имело смысл «внешний вид пациента» – его физический тип, имевший значение для постановки диагноза и лечения. В математике «эйдос» было почти синонимом слова «схема» (форма) и означало математическую структуру. Медицинское значение, связывавшее «внешний вид» пациента со здоровьем или болезнью, смешивалось с понятием «хорошая форма», важным в атлетике и танцах, и заставляло предположить, что форма – это критерий ценности. Платон и Аристотель пытались разными путями соединить эти два смысла слова «форма», математический и идеальный.
Эта формалистическая философия появилась на свет в 530 году до н. э., когда выдающийся мыслитель Пифагор переехал со своего родного Самоса в город Кротону в Южной Италии. В Кротоне находилась крупная медицинская школа, и это, возможно, сырало для Пифагора важную роль при выборе нового места жительства. Очень скоро в этом городе сформировалось Пифагорейское братство, под влиянием которого ряд греческих общин в Южной Италии стали жить по социальной и этической программе, которой учил Пифагор; кроме того, мы можем обнаружить в математике и философии новые для того времени идеи, которые приписывают Пифагору и его последователям. Пифагор был одновременно религиозным и общественным лидером, философом и ученым, а также практикующим художником. Возможно, это он разработал чертежи для серии монет нового типа, которые были отчеканены в Италии вскоре после его приезда туда3.
Позднейшим историкам, начиная с эпохи Аристотеля и до сих пор, было трудно представить себе, как две стороны пифагорейства, научная и религиозная, могли существовать вместе, поскольку к тому времени, когда жил Аристотель, четкая граница между наукой и религией стала считаться чем-то само собой разумеющимся. В зависимости от своих собственных предпочтений позднейшие авторы считали кружки пифагорейцев либо чисто научно-исследовательскими организациями, либо чисто религиозными общинами4. Далее мы обсудим сначала интеллектуальные достижения этого братства, а затем его религиозную деятельность.
Специфические для пифагорейцев философские идеи можно свести к двум фразам: «Числа – это вещи» и «Вещи – это числа»5. Первая из этих заповедей расширяет понятие реальности далеко за пределы идеи милетцев, что «быть значит быть материальным»; она говорит о том, что пифагорейская школа открыла чистую математику. Вторая заповедь выражает понятие, которое возникло из другого открытия пифагорейцев – что математические формулы можно использовать для объяснения физического мира. Из этого открытия они методом обобщения вывели философский тезис о том, что по своей самой глубинной природе мир – математический. Точно так же, как милетцы под впечатлением того, что открыли физику, думали, что, возможно, материя – ключ, которого одного достаточно, чтобы познать природу вещей, пифагорейцы под впечатлением того, что открыли математику, думали, что она и есть вся философия. Эти два предположения поставили перед последующими греческими философами проблему – как примирить форму и материю, которые обе претендуют на роль составных частей реального мира.
Чистая математика требует огромного шага вперед по пути обобщения. Вместо того чтобы думать и считать в терминах наборы предметов и получать в результате разные формы числа два, если объединяешь в пару двух свиней или два камешка, человек должен сосредоточить внимание на числе два как просто понятии «два», а не количестве «два чего-то». В большинстве примитивных языков, если не во всех них, мы можем обнаружить «счетные приложения» – слова, указывающие на то, какие вещи считают. В нашем языке тоже еще сохранилось несколько таких слов: мы говорим «две головы скота», «два куска хлеба» и так далее. В японском языке их гораздо больше: «два круглых предмета карандашей», «два плоских предмета листов бумаги» и так далее. Это пережитки той стадии развития человеческого сознания, когда числа использовали только как обозначения количества чего-то, и если бы кто-то сказал: «два», те, кто слушал его, спросили бы: «Два чего?» Признать, что «числа – это вещи», можно, только если два и любое другое количество отделены от числовых приложений и больше не зависят от них.
Пифагорейцы обнаружили, что могут думать по тому же методу и о формах. Вместо того чтобы думать о конкретных треугольных участках земли, они могли думать о треуголъности, о любом треугольнике или любом прямоугольном треугольнике6. Сегодня нам, поскольку мы привыкли к чисто отвлеченным математическим понятиям и к мыслительной операции обобщения, трудно оценить по достоинству новизну этого вклада пифагорейцев в науку. И, правду говоря, некоторые стороны их математики поражают нас своей странностью. Во-первых, значительная часть этой новой математики не была чистой, поскольку сильно зависела от рисунков и от воображения. Числа у пифагорейцев имели форму и даже были личностями. Как понятие материи у философов милетской школы, понятие числа должно было пройти путь развития от интуиции до постулата (историки математики часто это скрывают: сообщают только о некоторых теоремах и идеях – тех, которые математически чисты, – и пренебрегают всем остальным). Но возможно, еще поразительнее для нас тот огромный почти религиозный восторг, с которым пифагорейцы относились к математике. Новое понимание формы озарило умы своих древних первооткрывателей с силой, равной силе мистического откровения.
Некоторое представление о степени развития математики в эпоху от Пифагора до Платона мы можем получить из текстов по геометрии, изложенных в книгах 1–5 «Элементов» Евклида, а эти книги – новая редакция более ранних пифагорейских трактатов по геометрии7. Кроме того, получить ответ нам помогают рассказы и некоторые теоремы. «Теорема Пифагора», предположительно открытая самим Пифагором, породила много легенд. Аристотель сообщает, что пифагорейцы знали и давали ученикам своей школы еще в начале учебы доказательство того, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с этой стороной. Это доказательство, которое мы применяем до сих пор, показывает, что техника построения доказательств и способность при необходимости мыслить отвлеченно у пифагорейцев достигали очень высокого уровня8. Сообщения о том, что пифагорейцы отождествляли правильные геометрические тела с молекулами материального мира, говорят, что ученых этой школы интересовало применение математических методов к изучению твердых тел и применение математики к естественным наукам. Мы также обнаружим сообщение о «сите» – методе, позволявшем выбрать из последовательности чисел все простые числа, и своеобразные зачатки теории чисел.
Этих подсказок достаточно, чтобы стало очевидно, что речь идет действительно о качественно новом понимании формы. Теперь нам нужно рассмотреть философские последствия утверждения, что «числа – это вещи», которое обобщает эти новые представления. Может быть, мысль пифагорейцев станет яснее, если мы перефразируем эти слова и скажем «числа реальны», поскольку слово «вещи» в современном языке ассоциируется с материальными предметами, а это искажает смысл изречения. Но в каком смысле числа или формы реальны? Во-первых, они существуют независимо от наблюдателя: хотим мы того или нет, два плюс два всегда будет равно четырем, и два всегда будет четным простым числом. У них, в отличие от бесформенной или безграничной пустоты Анаксимандра, есть точные индивидуальные характеристики: каждое число является только самим собой. Числа – нечто общее для всех: они для всех наблюдателей одни и те же, в отличие от субъективных фантазий какого-либо человека или проходящих со временем впечатлений. Они системно связаны между собой. Всех этих свойств, кажется, достаточно для того, чтобы признать форму, число и соотношение чисел чем-то реальным. Но они реальны по-иному, чем материальные объекты: в отличие от них, числа не имеют ни прошлого, ни места в пространстве и существуют в мире, где нет ни движения, ни изменения. И числа видимы только уму: мы не можем коснуться их или смотреть на них, как смотрим на камень или ручей. Таким образом, перед философией возник, кроме мира физических реальностей, признанного милетцами, еще целый новый мир, который можно использовать9. И этот мир реально имел отношение к интересам и проблемам людей, поскольку его абстрактные соотношения и фигуры давали науке инструменты для познания природы10.
И все же у пифагорейцев, несмотря на отмечаемое иногда изящество доказательств и определений, числа были гораздо теснее связаны с воображением, чем наши сегодняшние абстрактные числа11. Пифагорейцы представляли себе числа как «группы единиц» (монад) и считали, что «естественный» способ записи чисел – изображение их в виде групп точек, при котором у каждого числа была собственная характерная для него естественная монадная структура. Этим способом мы до сих пор изображаем числа на домино и игральных костях, а ассоциативная связь между числами и пространственными фигурами сохранилась в современных терминах «квадратные» и «кубические» числа. Фактически в течение всего Средневековья «фигурные числа» были стандартным крупнейшим разделом арифметики. Школьники заучивали теоремы о том, что, например, суммы последовательных целых чисел «треугольны», то есть составляющие их числа можно изобразить в виде треугольника (как в «тетрактисе десятки» на схеме, которая приведена ниже). Эта смесь воображения и абстракции позволяла легко ассоциировать числа с формами и предметами. Например, изображение чисел в виде группы единиц предполагало какую-то связь между единицами в арифметике и точками пифагорейской геометрии, и некоторые члены пифагорейской школы пытались построить физический мир из пространственных точек.
Для математика-пифагорейца числа не только продолжали нести в себе представление о физической форме и узоре, но имели и другие качества. У каждого числа были черты личности – оно могло быть мужским или женским, совершенным или несовершенным, красивым или уродливым. Современная математика постепенно избавилась от такого ощущения чисел, но его отголоски мы до сих пор находим в художественной литературе и поэзии. Самым лучшим числом было десять: оно содержало в себе четыре первых целых числа – один, два, три и четыре – и в точечной записи они образовывали совершенный треугольник. Списки чего-либо у пифагорейцев обычно делились на группы по четыре или по десять строк. Позже история чисел на Западе сложилась так, что математика пошла своим собственным путем, а идея личностных свойств и ценностных качеств чисел породила целую традицию в магии, нашедшую отражение в нумерологии и геомантике12.
Поскольку математика пифагорейцев еще не достигла идеальной чистоты, они легко поверили в то, что «вещи – это числа». Интуитивное философское представление, выраженное этими словами, таково: определенная количественная форма вещи дает ей индивидуальность. Например, различные виды животных различаются между собой количеством и формой частей тела13. Уберите форму, и останется только лужа бесформенного вещества.
Западная мысль обязана пифагорейцам, во-первых, открытием чистой математики, во-вторых, более строгим определением понятия «математическое доказательство», в-третьих, знанием того, что индивидуальность вещи придают ее форма и структура1. Их работа положила начало научному поиску количественных законов и философской традиции формализма, которая в конце концов достигла наивысшего расцвета у Платона2.
У пифагорейцев философия стала центральной частью религиозного образа жизни, поскольку Пифагор был не только математиком, но также учителем морали и религиозным лидером, и Пифагорейское братство было не толъко группой ученых-исследователей, но также общественным и религиозным сообществом.
Понятие формы и греческое слово «эйдос», которое в конце концов стало его выражать, имеют довольно сложную историю. Первоначально «эйдос» означало «внешний вид вещи», или «лицо» (как у Гомера, когда Ахилл, разгневавшись на Агамемнона, называет его «кинэйдос!» («собачья морда!»). В медицине «эйдос» имело смысл «внешний вид пациента» – его физический тип, имевший значение для постановки диагноза и лечения. В математике «эйдос» было почти синонимом слова «схема» (форма) и означало математическую структуру. Медицинское значение, связывавшее «внешний вид» пациента со здоровьем или болезнью, смешивалось с понятием «хорошая форма», важным в атлетике и танцах, и заставляло предположить, что форма – это критерий ценности. Платон и Аристотель пытались разными путями соединить эти два смысла слова «форма», математический и идеальный.
Эта формалистическая философия появилась на свет в 530 году до н. э., когда выдающийся мыслитель Пифагор переехал со своего родного Самоса в город Кротону в Южной Италии. В Кротоне находилась крупная медицинская школа, и это, возможно, сырало для Пифагора важную роль при выборе нового места жительства. Очень скоро в этом городе сформировалось Пифагорейское братство, под влиянием которого ряд греческих общин в Южной Италии стали жить по социальной и этической программе, которой учил Пифагор; кроме того, мы можем обнаружить в математике и философии новые для того времени идеи, которые приписывают Пифагору и его последователям. Пифагор был одновременно религиозным и общественным лидером, философом и ученым, а также практикующим художником. Возможно, это он разработал чертежи для серии монет нового типа, которые были отчеканены в Италии вскоре после его приезда туда3.
Позднейшим историкам, начиная с эпохи Аристотеля и до сих пор, было трудно представить себе, как две стороны пифагорейства, научная и религиозная, могли существовать вместе, поскольку к тому времени, когда жил Аристотель, четкая граница между наукой и религией стала считаться чем-то само собой разумеющимся. В зависимости от своих собственных предпочтений позднейшие авторы считали кружки пифагорейцев либо чисто научно-исследовательскими организациями, либо чисто религиозными общинами4. Далее мы обсудим сначала интеллектуальные достижения этого братства, а затем его религиозную деятельность.
Специфические для пифагорейцев философские идеи можно свести к двум фразам: «Числа – это вещи» и «Вещи – это числа»5. Первая из этих заповедей расширяет понятие реальности далеко за пределы идеи милетцев, что «быть значит быть материальным»; она говорит о том, что пифагорейская школа открыла чистую математику. Вторая заповедь выражает понятие, которое возникло из другого открытия пифагорейцев – что математические формулы можно использовать для объяснения физического мира. Из этого открытия они методом обобщения вывели философский тезис о том, что по своей самой глубинной природе мир – математический. Точно так же, как милетцы под впечатлением того, что открыли физику, думали, что, возможно, материя – ключ, которого одного достаточно, чтобы познать природу вещей, пифагорейцы под впечатлением того, что открыли математику, думали, что она и есть вся философия. Эти два предположения поставили перед последующими греческими философами проблему – как примирить форму и материю, которые обе претендуют на роль составных частей реального мира.
Чистая математика требует огромного шага вперед по пути обобщения. Вместо того чтобы думать и считать в терминах наборы предметов и получать в результате разные формы числа два, если объединяешь в пару двух свиней или два камешка, человек должен сосредоточить внимание на числе два как просто понятии «два», а не количестве «два чего-то». В большинстве примитивных языков, если не во всех них, мы можем обнаружить «счетные приложения» – слова, указывающие на то, какие вещи считают. В нашем языке тоже еще сохранилось несколько таких слов: мы говорим «две головы скота», «два куска хлеба» и так далее. В японском языке их гораздо больше: «два круглых предмета карандашей», «два плоских предмета листов бумаги» и так далее. Это пережитки той стадии развития человеческого сознания, когда числа использовали только как обозначения количества чего-то, и если бы кто-то сказал: «два», те, кто слушал его, спросили бы: «Два чего?» Признать, что «числа – это вещи», можно, только если два и любое другое количество отделены от числовых приложений и больше не зависят от них.
Пифагорейцы обнаружили, что могут думать по тому же методу и о формах. Вместо того чтобы думать о конкретных треугольных участках земли, они могли думать о треуголъности, о любом треугольнике или любом прямоугольном треугольнике6. Сегодня нам, поскольку мы привыкли к чисто отвлеченным математическим понятиям и к мыслительной операции обобщения, трудно оценить по достоинству новизну этого вклада пифагорейцев в науку. И, правду говоря, некоторые стороны их математики поражают нас своей странностью. Во-первых, значительная часть этой новой математики не была чистой, поскольку сильно зависела от рисунков и от воображения. Числа у пифагорейцев имели форму и даже были личностями. Как понятие материи у философов милетской школы, понятие числа должно было пройти путь развития от интуиции до постулата (историки математики часто это скрывают: сообщают только о некоторых теоремах и идеях – тех, которые математически чисты, – и пренебрегают всем остальным). Но возможно, еще поразительнее для нас тот огромный почти религиозный восторг, с которым пифагорейцы относились к математике. Новое понимание формы озарило умы своих древних первооткрывателей с силой, равной силе мистического откровения.
Некоторое представление о степени развития математики в эпоху от Пифагора до Платона мы можем получить из текстов по геометрии, изложенных в книгах 1–5 «Элементов» Евклида, а эти книги – новая редакция более ранних пифагорейских трактатов по геометрии7. Кроме того, получить ответ нам помогают рассказы и некоторые теоремы. «Теорема Пифагора», предположительно открытая самим Пифагором, породила много легенд. Аристотель сообщает, что пифагорейцы знали и давали ученикам своей школы еще в начале учебы доказательство того, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с этой стороной. Это доказательство, которое мы применяем до сих пор, показывает, что техника построения доказательств и способность при необходимости мыслить отвлеченно у пифагорейцев достигали очень высокого уровня8. Сообщения о том, что пифагорейцы отождествляли правильные геометрические тела с молекулами материального мира, говорят, что ученых этой школы интересовало применение математических методов к изучению твердых тел и применение математики к естественным наукам. Мы также обнаружим сообщение о «сите» – методе, позволявшем выбрать из последовательности чисел все простые числа, и своеобразные зачатки теории чисел.
Этих подсказок достаточно, чтобы стало очевидно, что речь идет действительно о качественно новом понимании формы. Теперь нам нужно рассмотреть философские последствия утверждения, что «числа – это вещи», которое обобщает эти новые представления. Может быть, мысль пифагорейцев станет яснее, если мы перефразируем эти слова и скажем «числа реальны», поскольку слово «вещи» в современном языке ассоциируется с материальными предметами, а это искажает смысл изречения. Но в каком смысле числа или формы реальны? Во-первых, они существуют независимо от наблюдателя: хотим мы того или нет, два плюс два всегда будет равно четырем, и два всегда будет четным простым числом. У них, в отличие от бесформенной или безграничной пустоты Анаксимандра, есть точные индивидуальные характеристики: каждое число является только самим собой. Числа – нечто общее для всех: они для всех наблюдателей одни и те же, в отличие от субъективных фантазий какого-либо человека или проходящих со временем впечатлений. Они системно связаны между собой. Всех этих свойств, кажется, достаточно для того, чтобы признать форму, число и соотношение чисел чем-то реальным. Но они реальны по-иному, чем материальные объекты: в отличие от них, числа не имеют ни прошлого, ни места в пространстве и существуют в мире, где нет ни движения, ни изменения. И числа видимы только уму: мы не можем коснуться их или смотреть на них, как смотрим на камень или ручей. Таким образом, перед философией возник, кроме мира физических реальностей, признанного милетцами, еще целый новый мир, который можно использовать9. И этот мир реально имел отношение к интересам и проблемам людей, поскольку его абстрактные соотношения и фигуры давали науке инструменты для познания природы10.
И все же у пифагорейцев, несмотря на отмечаемое иногда изящество доказательств и определений, числа были гораздо теснее связаны с воображением, чем наши сегодняшние абстрактные числа11. Пифагорейцы представляли себе числа как «группы единиц» (монад) и считали, что «естественный» способ записи чисел – изображение их в виде групп точек, при котором у каждого числа была собственная характерная для него естественная монадная структура. Этим способом мы до сих пор изображаем числа на домино и игральных костях, а ассоциативная связь между числами и пространственными фигурами сохранилась в современных терминах «квадратные» и «кубические» числа. Фактически в течение всего Средневековья «фигурные числа» были стандартным крупнейшим разделом арифметики. Школьники заучивали теоремы о том, что, например, суммы последовательных целых чисел «треугольны», то есть составляющие их числа можно изобразить в виде треугольника (как в «тетрактисе десятки» на схеме, которая приведена ниже). Эта смесь воображения и абстракции позволяла легко ассоциировать числа с формами и предметами. Например, изображение чисел в виде группы единиц предполагало какую-то связь между единицами в арифметике и точками пифагорейской геометрии, и некоторые члены пифагорейской школы пытались построить физический мир из пространственных точек.
Для математика-пифагорейца числа не только продолжали нести в себе представление о физической форме и узоре, но имели и другие качества. У каждого числа были черты личности – оно могло быть мужским или женским, совершенным или несовершенным, красивым или уродливым. Современная математика постепенно избавилась от такого ощущения чисел, но его отголоски мы до сих пор находим в художественной литературе и поэзии. Самым лучшим числом было десять: оно содержало в себе четыре первых целых числа – один, два, три и четыре – и в точечной записи они образовывали совершенный треугольник. Списки чего-либо у пифагорейцев обычно делились на группы по четыре или по десять строк. Позже история чисел на Западе сложилась так, что математика пошла своим собственным путем, а идея личностных свойств и ценностных качеств чисел породила целую традицию в магии, нашедшую отражение в нумерологии и геомантике12.
Поскольку математика пифагорейцев еще не достигла идеальной чистоты, они легко поверили в то, что «вещи – это числа». Интуитивное философское представление, выраженное этими словами, таково: определенная количественная форма вещи дает ей индивидуальность. Например, различные виды животных различаются между собой количеством и формой частей тела13. Уберите форму, и останется только лужа бесформенного вещества.
Математика и космология пифагорейцев
I. Фигурные числа
Чтобы показать, как каждое число складывается из монад, в пифагорейской системе «естественной» записи эти группы монад изображали с помощью маленьких букв альфа. Например, получались следующие соответствия:
Изучение «фигурных чисел» развивалось по пути выяснения того, какую (в обобщенном виде) форму имеют числа, которые могут быть записаны в определенном виде. Например, произведения двух одинаковых сомножителей все были «квадратными». Суммы последовательных целых чисел, например, 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4 и так далее, имеют «треугольную» форму.
II. Тетрактис десятки
Фигурой, обладающей самыми чудесными свойствами, сочетающей в себе четыре первых целых числа, треугольную форму и «совершенное число» десять, был «тетрактис десятки» – треугольник из десяти монад, сложенный из целых чисел 1, 2, 3 и 4:
III. Таблица противоположностей
Как писал Аристотель, «некоторые пифагорейцы» для объяснения, как зародились числа и весь остальной мир, использовали таблицу противоположностей14.
Эту интерпретацию мы находим в ранней пифагорейской таблице противоположностей (которая приведена выше под номером III). В одном столбце – «формальные» качества, похожие на число или порождаемые числом; в другом собраны их противоположности, которые не имеют формы и становятся определенными только тогда, когда их ограничивают определением.
Другие представители пифагорейской школы толковали положение «вещи – это числа» более буквально. Поскольку выяснилось, что законы природы – количественные, было соблазнительно считать, что объекты, которыми эти законы управляют, тоже количественные. Если не брать в расчет иррациональные числа, то есть считать их исключением и отложить их исследование на потом, то аналогия между арифметической единицей и геометрической точкой подсказывала простую модель того, что вещи действительно были созданы из наборов точек. Каждый набор точек соответствовал фигуре, в которую складывались единицы, составлявшие одно из арифметических чисел.
Красота тезиса о том, что вещи – это числа, не только в его богатых возможностях для философии, но и в практических результатах, которые появились, когда ученые-пифагорейцы начали измерять и считать. По традиции считается, что Пифагор сам сделал открытие, которое привело к идее о «музыке сфер» – идее, гораздо позже вдохновлявшей людей науки и поэтов. Измеряя длину вибрирующей струны, которая производила гармоничные звуки, Пифагор обнаружил, что соотношения таких длин для октавы, пятой доли и четверти были точно 2:1, 3:2 и 4:3 – простейший из возможных набор соотношений целых чисел. А наблюдения показали с допустимой погрешностью, что в этих же самых соотношениях находились между собой периоды обращения планет. Таким образом, система небесных светил была гаммой, была гармонией, которая, как музыка, была математически простейшей15. (Некоторые энтузиасты понимали эту аналогию буквально, то есть считали, что каждая планета во время движения создает звук, высота которого пропорциональна скорости планеты. Но то, что сейчас называют космическим шумом, не слишком похоже на звучание всех семи нот музыкальной гаммы сразу.)
Чтобы показать, как каждое число складывается из монад, в пифагорейской системе «естественной» записи эти группы монад изображали с помощью маленьких букв альфа. Например, получались следующие соответствия:
Изучение «фигурных чисел» развивалось по пути выяснения того, какую (в обобщенном виде) форму имеют числа, которые могут быть записаны в определенном виде. Например, произведения двух одинаковых сомножителей все были «квадратными». Суммы последовательных целых чисел, например, 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4 и так далее, имеют «треугольную» форму.
II. Тетрактис десятки
Фигурой, обладающей самыми чудесными свойствами, сочетающей в себе четыре первых целых числа, треугольную форму и «совершенное число» десять, был «тетрактис десятки» – треугольник из десяти монад, сложенный из целых чисел 1, 2, 3 и 4:
III. Таблица противоположностей
Как писал Аристотель, «некоторые пифагорейцы» для объяснения, как зародились числа и весь остальной мир, использовали таблицу противоположностей14.
Другие представители пифагорейской школы толковали положение «вещи – это числа» более буквально. Поскольку выяснилось, что законы природы – количественные, было соблазнительно считать, что объекты, которыми эти законы управляют, тоже количественные. Если не брать в расчет иррациональные числа, то есть считать их исключением и отложить их исследование на потом, то аналогия между арифметической единицей и геометрической точкой подсказывала простую модель того, что вещи действительно были созданы из наборов точек. Каждый набор точек соответствовал фигуре, в которую складывались единицы, составлявшие одно из арифметических чисел.
Красота тезиса о том, что вещи – это числа, не только в его богатых возможностях для философии, но и в практических результатах, которые появились, когда ученые-пифагорейцы начали измерять и считать. По традиции считается, что Пифагор сам сделал открытие, которое привело к идее о «музыке сфер» – идее, гораздо позже вдохновлявшей людей науки и поэтов. Измеряя длину вибрирующей струны, которая производила гармоничные звуки, Пифагор обнаружил, что соотношения таких длин для октавы, пятой доли и четверти были точно 2:1, 3:2 и 4:3 – простейший из возможных набор соотношений целых чисел. А наблюдения показали с допустимой погрешностью, что в этих же самых соотношениях находились между собой периоды обращения планет. Таким образом, система небесных светил была гаммой, была гармонией, которая, как музыка, была математически простейшей15. (Некоторые энтузиасты понимали эту аналогию буквально, то есть считали, что каждая планета во время движения создает звук, высота которого пропорциональна скорости планеты. Но то, что сейчас называют космическим шумом, не слишком похоже на звучание всех семи нот музыкальной гаммы сразу.)