Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрические свойства линии Lвыясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения F( x,y) =0 этой линии. Например, применим метод координат для выяснения числа точек пересечения окружности С радиуса Rи данной прямой линии В ( рис. 3 ). Пусть начало системы координат Охунаходится в центре окружности, а ось Oxнаправлена перпендикулярно прямой В.Так как прямая Вперпендикулярна оси Ox,то абсцисса любой точки этой прямой равна некоторой постоянной a.Т. о., уравнение прямой Вимеет вид x - a= 0. Координаты ( x, y) точки пересечения окружности С (ур-ние которой имеет вид x 2+ y 2- R 2= 0) и прямой Вудовлетворяют одновременно уравнениям
x 2+ y 2- R 2=0, х - а = 0,(1)
то есть являются решением системы (1). Следовательно, геометрический вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитическому вопросу о числе решений алгебраической системы (1). Решая эту систему, получают х = a, у = ± R 2- a 2.Итак, окружность и прямая могут пересекаться в двух точках ( R 2> a 2) (этот случай изображен на рис. 3 ), могут иметь одну общую точку ( R 2= a 2) (в этом случае прямая Вкасается окружности C) и не иметь общих точек ( R 2< a 2) (в этом случае прямая Влежит вне окружности C).
В А. г. на плоскости подробно изучаются геометрические свойства , и ,представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину (см. ) .Эти линии часто встречаются во многих задачах естествознания и техники. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий; в инженерном деле для конструирования прожекторов, антенн и телескопов пользуются важным оптическим свойством параболы, заключающимся в том, что лучи света, исходящие из определённой точки (фокуса параболы), после отражения от параболы образуют параллельный пучок.
В А. г. на плоскости систематически исследуются т. н. алгебраические линии первого и второго порядков (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями первой и второй степени). Линии первого порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax + By+ С = 0. Линии второго порядка определяются уравнениями вида Ax 2+ Вху + Су 2+ Dx + Еу+ F= 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Можно доказать, что таким способом уравнение любой вещественной линии второго порядка может быть приведено к одному из следующих простейших видов:
Первое из этих уравнений определяет эллипс, второе - гиперболу, третье - параболу, а последние два - пару прямых (пересекающихся, параллельных или слившихся).
В А. г. в пространстве также пользуются методом координат. При этом декартовы прямоугольные координаты . x, уи z(абсцисса, ордината и апликата) точки Мвводятся в полной аналогии с плоским случаем ( рис. 4 ). Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить её уравнение F( x, y, z) =0 относительно системы координат Oxyz.(Так, например, уравнение сферы радиуса Rс центром в начале координат имеет вид x 2+ y 2+ z 2- R 2= 0.) При этом геометрические свойства поверхности Sвыясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию Lв пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S 1и S 1.Если F 1( x, y, z) = 0 и F 2( x, y, z) =0 - уравнения S 1и S 2, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L.Например, прямую Lв пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Так как плоскость в пространстве определяется уравнением вида Ax+ By + Cz+ D= 0, то пара уравнений такого вида, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение прямой L.Т. о., метод координат может применяться и для исследования линий в пространстве. В A. г. в пространстве систематически исследуются т. н. алгебраические поверхности первого и второго порядков. Выясняется, что алгебраическими поверхностями первого порядка являются лишь плоскости. определяются уравнениями вида:
Ax 2+ By 2+ Cz 2+ Dxy+ Eyz + Fxz+ Gx+ Ну + Mz + N= 0.
Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Важнейшими вещественными поверхностями второго порядка являются ,однополостный и двуполостный гиперболоиды,эллиптический и гиперболический .Эти поверхности в специально выбранных декартовых прямоугольных системах координат имеют следующие уравнения:
Перечисленные важнейшие поверхности второго порядка часто встречаются в различных вопросах механики, физики твёрдого тела, теоретической физике и инженерном деле. Так, при изучении напряжений, возникающих в твёрдом теле, пользуются понятием т. н: эллипсоид напряжений. В различных инженерных сооружениях применяются конструкции в форме гиперболоидов и параболоидов.
Лит.:Декарт Р., Геометрия, [пер. с франц.], М.-Л., 1938; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1967; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Бахвалов С. В., Моденов П. С., Пархоменко А. С., Сборник задач по аналитической геометрии, 3 изд., М., 1964; Клетеник Д. В., Сборник задач по аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967.
Э. Г. Позняк.
Рис. 4. к ст. Аналитическая геометрия.
Рисунки 1, 2, 3 к ст. Аналитическая геометрия.
Аналитическая философия
Аналити'ческая филосо'фия,направление современной буржуазной, главным образом англо-американской, философии, которое сводит философию к анализу языковых и понятийных (рассматриваемых в конечном счёте обычно так же, как языковые) средств познания.
При этом философско-гносеологический анализ средств познания, характерный для классической философии и связанный с коренными проблемами соотношения субъекта и объекта, подменяется, как правило, исследованием частно-научных проблем: логических, логико-лингвистических, семиотических и пр. В рамках этих исследований представители А. ф. имеют определённые достижения в изучении особенностей языковых средств философии, возможностей логической формализации фрагментов «естественного» языка, логико-семантическом анализе философских понятий и пр. В то же время понимаемый т. о. анализ сторонники А. ф. противопоставляют философии как исследованию коренных мировоззренческих проблем, третируя последнее, как лишённую научно-познавательного значения «метафизику». Тем самым А. ф. продолжает линию в современной философии. Внутри современной А. ф. можно выделить два направления: ,которая в качестве средства анализа применяет аппарат современной математической логики, и ,отвергающую логическую формализацию как основной метод анализа и занимающуюся исследованием типов употребления выражений в естественном, обыденном языке, в том числе, когда он применяется при формулировке философских понятий. К первому направлению относятся логический эмпиризм (Р. ,Г. Фейгль, К. Гемпель, Ф. Франк) - непосредственное продолжение австро-немецкого логического позитивизма на американской почве, и т. н. логический прагматизм (У. Куайн, Н. Гудмен и др.). Философия лингвистического анализа (Г. Райл, Дж. Остин, П. Строусон, Дж. Уисдом) получила преобладающее влияние в Великобритании. Единые в своих претензиях на совершение позитивистской «революции в философии» оба эти течения выражают, однако, различные умонастроения: в то время как философия логического анализа считает себя философией науки и представляет линию т. н. сциентизма (от лат. scientia - наука) в современной буржуазной философии, сторонники философии лингвистического анализа выступают против какого-либо культа научного знания и оказываются адептами «естественного» отношения к миру, выраженного в обыденном языке.
Понятие анализа, принятое в А. ф., появляется в буржуазной философии 20 в. в работах Б. и Дж. как определённый метод разработки философской проблематики в противоположность спекулятивному системосозиданию, характерному, в частности, для абсолютного идеализма Ф. и Б. . По существу, исходные установки и основные направления А. ф. сложились уже в довоенном неопозитивизме, в частности в логическом позитивизме Венского кружка и у английских философов 20-30-х гг. - последователей Мура и позднего Л. .Однако сам термин «А. ф.» получает распространение только после 2-й мировой войны, охватывая различные неопозитивистские течения буржуазной философии, предметом анализа которых были языковые средства. Распространение термина «А. ф.», вытесняющего термин «неопозитивизм», связано в основном с неудачами реализации программы неопозитивизма ещё на ранних его стадиях: с невозможностью упразднить классическую философскую проблематику, осуществить всеохватывающий анализ «языка науки» на основе неопозитивистских принципов, полностью «деидеологизировать» философию и пр. Для А. ф. как современного этапа эволюции неопозитивизма характерна тенденция, сохранив идею анализа как «антиметафизики», максимально освободиться от каких-либо содержательных предпосылок философского характера, в том числе от жёстких гносеологических постулатов раннего неопозитивизма (например, принципа рассматривать анализ как чистую технику и не ограничивать его какими-либо предвзятыми формами, связанными с определёнными концепциями знания. Тем самым современная А. ф. приходит либо к полной ликвидации себя как философии, при подмене философского исследования конкретным логико-лингвистическим, логико-семантическим и пр. анализом, либо к возвращению в завуалированной форме к проблемам философского характера. При этом для современной А. ф. характерны стремления сочетать элементы различных вариантов анализа и соединять анализ с концепциями и др., которые традиционно считались антитезой современного позитивизма.
Лит.:Бегиашвили А. Ф., Метод анализа в современной буржуазной философии, Тб., 1960; Геллнер Э., Слова и вещи, пер. [с англ.], М., 1962; Богомолов А. С., Англо-американская буржуазная философия эпохи империализма, М., 1964, гл. 9, 10; Хилл Т. И., Современные теории познания, пер. с англ., М., 1965, ч. 5; Современная идеалистическая гносеология, М., 1968; Pap A., Elements of analytic philosophy, N. Y., 1949; The revolution in philosophy, with an introduction by G. Ryle, L., 1956; Uгмson J. 0., Philosophical analysis, Oxf., 1956; Classics of analytic philosophy, ed. by R. Ammerman, N. Y., 1965.
В. С. Швырев.
Аналитическая химия
Аналити'ческая хи'мия,наука о методах изучения состава вещества. Она состоит из двух основных разделов: качественного анализа и количественного анализа. совокупность методов установления качественного химического состава тел - идентификации атомов, ионов, молекул, входящих в состав анализируемого вещества. Важнейшими характеристиками каждого метода качественного анализа являются: специфичность и чувствительность. Специфичность характеризует возможность обнаружения искомого элемента в присутствии других элементов, например железа в присутствии никеля, марганца, хрома, ванадия, кремния и др. Чувствительность определяет наименьшее количество элемента, которое может быть обнаружено данным методом; чувствительность выражается для современных методов значениями порядка 1 мкг(одной миллионной доли грамма).
Количественный анализ - совокупность методов определения количественного состава тел, т. е. количественных соотношений, в которых находятся химические элементы или отдельные соединения в анализируемом веществе. Важнейшей характеристикой каждого метода количественного анализа является, наряду со специфичностью и чувствительностью, точность. Точность анализа выражается значением относительной ошибки, которая не должна в большинстве случаев превышать 1-2%. Чувствительность в количественном анализе выражают в процентах.
Многие современные методы обладают весьма высокой чувствительностью. Так, методом радиоактивационного анализа можно установить наличие меди в кремнии с точностью до 2ґ10 -8%.
В силу некоторых специфических особенностей в А. х. принято выделять анализ органических веществ (см. ниже).
Особое место в А. х. занимает основывающийся на всей совокупности методов качественного и количественного, неорганического и органического анализа в приложении их к тому или иному конкретному объекту. Технический анализ включает аналитический контроль процессов производства, сырья, готовой продукции, воды, воздуха, отходящих газов и т. д. Особенно велика потребность в «экспрессных» методах технического анализа, требующих 5-15 мин.для отдельного определения.
Определение пригодности того или иного продукта для нужд человека имеет столь же древнюю историю, как и само его производство. Первоначально такое определение имело целью установление причин несоответствия получаемых свойств продуктов желаемым или необходимым. Это относилось к продуктам питания - таким, как хлеб, пиво, вино и др., для испытания которых использовались вкус, запах, цвет (эти методы испытания, называемые органолептическими, применяются и в современной пищевой промышленности). Сырьё и продукты древней металлургии - руды, металлы и сплавы, которые применяли для изготовления орудий производства (медь, бронза, железо) или для украшения и товарообмена (золото, серебро), испытывались по их плотности, механическим свойствам посредством пробных плавок. Совокупностью подобных методов испытания благородных сплавов пользуются и до сих пор в пробирном анализе. Определялась доброкачественность красителей, керамических изделий, мыла, кожи, тканей, стекла, лекарственных препаратов. В процессе такого анализа стали различаться отдельные металлы (золото, серебро, медь, олово, железо), щёлочи, кислоты.
Методы А. х. имели исключительное значение в установлении основных законов химии (см. , ) уточнении понятия о химическом элементе и др.
В алхимический период развития химии (см. ), характеризовавшийся развитием экспериментальных работ, увеличилось число различаемых металлов, кислот, щелочей, возникло понятие о соли, сере как горючем веществе и т. д. В этот же период были изобретены многие приборы для химических исследований, применено взвешивание исследуемых и используемых веществ (14-16 вв.).
Главное же значение алхимического периода для будущего А. х. заключалось в том, что были открыты чисто химические методы различения отдельных веществ; так, в 13 в. было обнаружено, что «крепкая водка» (азотная кислота) растворяет серебро, но не растворяет золото, а «царская водка» (смесь азотной и соляной кислот) растворяет и золото. Алхимики положили начало химическим определениям; до этого для различения веществ пользовались их физическими свойствами.
В период иатрохимии (16-17 вв.) ещё более увеличился удельный вес химических методов исследования, особенно методов «мокрого» качественного исследования веществ, переводимых в растворы: так, серебро и соляная кислота распознавались по реакции образования ими осадка в азотнокислой среде; пользовались реакциями с образованием окрашенных продуктов, например железа с дубильными веществами.
Начало научному подходу к химическому анализу положил английский учёный Р. Бойль (17 в.), когда он, отделив химию от алхимии и медицины и став на почву химического атомизма, ввёл понятие химического элемента как неразложимой далее составной части различных веществ. Согласно Бойлю, предметом химии является изучение этих элементов и способов их соединения для образования химических соединений и смесей. Разложение веществ на элементы Бойль и назвал «анализом». Весь период алхимии и иатрохимии был в значительной степени периодом синтетической химии; были получены многие неорганические и некоторые органические соединения. Но т. к. синтез был тесно связан с анализом, ведущим направлением развития химии в это время был именно анализ. Новые вещества получались в процессе всё более утончённого разложения природных продуктов.
Т. о., почти до середины 19 в. химия развивалась преимущественно как А. х.; усилия химиков были направлены на разработку методов определения качественно различных начал (элементов), на установление количественных законов их взаимодействия.
Большое значение в химическом анализе имела дифференциация газов, считавшихся ранее одним веществом; начало этим исследованиям было положено голландским учёным ван Гельмонтом (17 в.), открывшим углекислый газ. Наибольших успехов в этих исследованиях достигли Дж. Пристли, К. В. Шееле, А. Л. Лавуазье (18 в.). Экспериментальная химия получила твёрдую основу в установленном Лавуазье законе сохранения массы веществ при химических операциях (1789). Правда, ещё ранее этот закон в более общей форме высказал М. В. Ломоносов (1758), а шведский учёный Т. А. Бергман пользовался сохранением массы веществ для целей химического анализа. Именно Бергману принадлежит заслуга создания систематического хода качественного анализа, при котором переведённые в растворённое состояние исследуемые вещества затем разделяются на группы с помощью реакций осаждения реагентами и далее дробятся на ещё меньшие группы вплоть до возможности определения каждого элемента в отдельности. В качестве основных групповых реактивов Бергман предложил сероводород и щёлочи, которыми пользуются и до сих пор. Он также систематизировал качественный анализ «сухим путём», посредством нагревания веществ, которое приводит к образованию «перлов» и налётов различного цвета.
Дальнейшее совершенствование систематического качественного анализа было выполнено французскими химиками Л. Вокленом и Л. Ж. Тенаром, немецкими химиками Г. Розе и К. Р. Фрезениусом, русским химиком Н. А. Меншуткиным. В 20-30-е гг. 20 в. советский химик Н. А. Тананаев, основываясь на значительно расширившемся наборе химических реакций, предложил дробный метод качественного анализа, при котором отпадает необходимость систематического хода анализа, разделения на группы и применения сероводорода.
Количественный анализ первоначально основывался на реакциях осаждения определяемых элементов в виде малорастворимых соединений, массу которых далее взвешивали. Этот весовой (или гравиметрический) метод анализа также значительно усовершенствовался со времён Бергмана, главным образом за счёт улучшения весов и техники взвешивания и использования различных реактивов, в частности органических, образующих наименее растворимые соединения. В 1-й четверти 19 в. французский учёный Ж. Л. Гей-Люссак предложил объёмный метод количественного анализа (волюмометрический), в котором вместо взвешивания измеряют объёмы растворов взаимодействующих веществ. Этот метод, называемый также методом титрования или титриметрическим, до сих пор является основным методом количественного анализа. Он значительно расширился как за счёт увеличения числа используемых в нём химических реакций (реакции осаждения, нейтрализации, комплексообразования, окисления-восстановления), так и за счёт использования множества индикаторов (веществ, указывающих изменениями своего цвета на окончание реакции между взаимодействующими растворами) и др. средств индикации (посредством определения различных физических свойств растворов, например электропроводности или коэффициента преломления).
Анализ органических веществ, содержащих в качестве основных элементов углерод и водород, посредством сожжения и определения продуктов сгорания - углекислого газа и воды - впервые был проведён Лавуазье. Далее он был улучшен Ж. Л. Гей-Люссаком и Л. Ж. Тенаром и Ю. Либихом. В 1911 австрийский химик Ф. Прегль разработал технику микроанализа органических соединений, для проведения которого достаточно нескольких мгисходного вещества. Ввиду сложного построения молекул органических веществ, больших их размеров (полимеры), ярко выраженной изомерии органический анализ включает в себя не только элементный анализ - определение относительных количеств отдельных элементов в молекуле, но и функциональный - определение природы и количества отдельных характерных атомных группировок в молекуле. Функциональный анализ основан на характерных химических реакциях и физических свойствах изучаемых соединений.
Почти до середины 20 в. анализ органических веществ, в силу своей специфичности, развивался своими, отличными от неорганического анализа путями и в учебных курсах не включался в А. х. Анализ органических веществ рассматривался как часть органической химии. Но затем, по мере возникновения новых, главным образом физических, методов анализа, широкого применения органических реактивов в неорганическом анализе обе эти ветви А. х. стали сближаться и ныне представляют единую общую научную и учебную дисциплину.
А. х. как наука включает теорию химических реакций и химических свойств веществ и как таковая она в первый период развития общей химии совпадала с ней. Однако во 2-й половине 19 в., когда в химическом анализе доминирующее положение занял «мокрый метод», т. е. анализ в растворах, главным образом водных, предметом А. х. стало изучение только таких реакций, которые дают аналитически ценный характерный продукт - нерастворимое или окрашенное соединение, возникающее в ходе быстрой реакции. В 1894 немецкий учёный В. Оствальд впервые изложил научные основы А. х. как теорию химического равновесия ионных реакций в водных растворах. Эта теория, дополненная результатами всего последующего развития ионной теории, стала основой А. х.
Работами русских химиков М. А. Ильинского и Л. А. Чугаева (конец 19 в. - начало 20 в.) было положено начало применению органических реактивов, характеризующихся большой специфичностью и чувствительностью, в неорганическом анализе.
Исследования показали, что для каждого неорганического иона характерна химическая реакция с органическим соединением, содержащим определённую функциональную группировку (т. н. функционально-аналитическую группу). Начиная с 20-х гг. 20 в. в химическом анализе стала возрастать роль инструментальных методов, снова возвращавших анализ к исследованию физических свойств анализируемых веществ, но не тех макроскопических свойств, которыми оперировал анализ в период до создания научной химии, а атомных и молекулярных свойств. Современная А. х. широко пользуется атомными и молекулярными спектрами излучения и поглощения (видимые, ультрафиолетовые, инфракрасные, рентгеновские, радиочастотные и гамма-спектры), радиоактивностью (естественная и искусственная), масс-спектрометрией изотопов, электрохимическими свойствами ионов и молекул, адсорбционными свойствами и др. (см. , , , , , , , , , ) .Применение методов анализа, основанных на этих свойствах, одинаково успешно в неорганическом и органическом анализе. Эти методы значительно углубляют возможности расшифровки состава и структуры химических соединений, качественного и количественного их определения; они позволяют доводить чувствительность определения до 10 -12- 10 -15% примеси, требуют малого количества анализируемого вещества, часто могут служить для т. н. неразрушающего контроля (т. е. не сопровождающегося разрушением пробы вещества), могут служить основой для автоматизации процессов производственного анализа.
Вместе с тем широкое распространение этих инструментальных методов ставит новые задачи перед А. х. как наукой, требует обобщения методов анализа не только на основе теории химических реакций, но и на основе физической теории строения атомов и молекул.
А. х., выполняющая важную роль в прогрессе химической науки, имеет также огромное значение в контроле промышленных процессов и в сельском хозяйстве. Развитие А. х. в СССР тесно связано с индустриализацией страны и последующим общим прогрессом. Во многих вузах организованы кафедры А. х., готовящие высококвалифицированных химиков-аналитиков. Советские учёные разрабатывают теоретические основы А. х. и новые методы для решения научных и практических задач. С возникновением таких отраслей, как атомная промышленность, электроника, производство полупроводников, редких металлов, космохимия, одновременно появилась необходимость разработки новых тонких и тончайших методов контроля чистоты материалов, где во многих случаях содержание примесей не должно превышать одного атома на 1-10 млн. атомов производимого продукта. Все эти проблемы успешно решаются советскими химиками-аналитиками. Совершенствуются также и старые методы химического контроля производства.