Вопрос о V постулате Евклида, занимавший геометров более двух тысячелетий, был решен Лобачевским. Это решение сводится к тому, что постулат не может быть доказан на основе др. посылок евклидовой геометрии и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Лобачевский сделал об этом сообщение в 1826, а в 1829-30 напечатал работу «О началах геометрии» с изложением своей теории. В 1832 была опубликована работа венгерского математика Я. Больяй аналогичного содержания. Как выяснилось впоследствии, немецкий математик К. Ф. Гаусс также пришёл к мысли о возможности существования непротиворечивой неевклидовой геометрии, но скрывал её, опасаясь быть непонятым. Хотя Л. г. развивалась как умозрительная теория и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно Лобачевский рассматривал её не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации и тем полностью решен вопрос о её реальном смысле, логической непротиворечивости.
Интерпретации (модели) геометрии Лобачевского.Л. г. изучает свойства «плоскости Лобачевского» (в планиметрии) и «пространства Лобачевского» (в стереометрии). Плоскость Лобачевского - это плоскость (множество точек), в которой определены прямые линии, а также движения фигур (вместе с тем - расстояния, углы и пр.), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется указанной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется пространство Лобачевского. Задача выяснения реального смысла Л. г. состояла в нахождении моделей плоскости и пространства Лобачевского, т. е. в нахождении таких объектов, в которых реализовались бы соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии Л. г. (об интерпретации вообще см. Геометрия,раздел Истолкования геометрии). Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера ( рис. 2 ). Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, т. е. деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме Л. г. будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. Т. о., Л. г. получает простой реальный смысл. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Однако здесь даётся интерпретация только геометрии на куске плоскости Лобачевского, а не на всей плоскости и тем более не в пространстве (в 1901 Д. Гильберт доказал даже, что вообще в евклидовом пространстве не может существовать регулярной поверхности, геометрия на которой совпадает с геометрией всей плоскости Лобачевского).
В 1871 Ф.
Клейн
указал ту модель как всей плоскости, так и пространства Лобачевского, которая была описана выше и в которой плоскостью служит внутренность круга, а пространством - внутренность шара. Между прочим, в этой модели расстояние между точкам (
рис. 1
) определяется как
; угол - ещё сложнее.
Позже А. Пуанкаре в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга ( рис. 3 ), прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями - преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми. Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами. Исходя из таких соображений, можно строить модель Л. г. в пространстве.
Коротко модели Клейна и Пуанкаре можно определить так. В обоих случаях плоскостью Лобачевского может служить внутренность круга (пространством - внутренность шара), и Л. г. есть учение о тех свойствах фигур внутри круга (шара), которые в случае модели Клейна не изменяются при проективных, а в случае модели Пуанкаре - при конформных преобразованиях круга (шара) самого в себя (проективные преобразования есть те, которые переводят прямые в прямые, конформные - те, которые сохраняют углы).
Возможно чисто аналитическое определение модели Л. г. Например, точки плоскости можно определять как пары чисел х, у, прямые можно задавать уравнениями, движения - формулами, сопоставляющими точкам ( х, у) новые точки ( х', y’). Это будет абстрактно определённая аналитическая геометрия на плоскости Лобачевского, аналогично аналитической геометрии на плоскости Евклида. Т. к. Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, то тем самым он уже фактически наметил такую модель, хотя полное её построение выяснилось уже после того, как на основе работ Клейна и других выявилось само понятие о модели. Другое аналитическое определение Л. г. состоит в том, что Л. г. определяется как геометрия риманова пространства постоянной отрицательной кривизны (см. Римановы геометрии ) .Это определение было фактически дано ещё в 1854 Б. Риманом и включало модель Л. г. как геометрии на поверхностях постоянной кривизны. Однако Риман не связал прямо своих построений с Л. г., а его доклад, в котором он о них сообщил, не был понят и был опубликован лишь после его смерти (в 1868).
Содержание геометрии Лобачевского. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь начинается отличие Л. г. от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют т. н. абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились др. отделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии. Приведём несколько фактов Л. г., отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.
1) В Л. г. не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.
2) Сумма углов всякого треугольника меньше p и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность p - (a + b + g), где a, b, g - углы треугольника, пропорциональна его площади.
3) Через точку О, не лежащую на данной прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b, b', которые и называются параллельными прямой ав смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) аобщий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек) (рис. 1,3). Угол ее между прямой b(или b') и перпендикуляром из О на а - т. н. угол параллельности - по мере удаления точки О от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель bс одной стороны (а b'с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой - бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).
4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
5) Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
6) Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.
7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.
9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от p; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2p, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Л. г. переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай Л. г.
Л. г. продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом Л. г. является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.
Приложения геометрии Лобачевского.Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов. В теории функций комплексного переменного Л. г. помогла построить теорию автоморфных функций.Связь с Л. г. была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи». Л. г. находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел» (см. Чисел теория ) .Была установлена тесная связь Л. г. с кинематикой специальной (частной) теории относительности (см. Относительности теория ) .Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света
x 2+ y 2+ z 2= c 2t 2
при делении на t 2, т. е. для скорости света, даёт
v x 2+ v y 2+ v z 2= c 2
- уравнение сферы в пространстве с координатами v x, v y, v z- составляющими скорости по осям х, у, z(в «пространстве скоростей»). Лоренца преобразования сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место Л. г.
Замечательное приложение Л. г. нашла в общей теории относительности (см. Тяготение ) .Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет Л. г. Т. о., предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.
Лит.:Лобачевский Н. И., Сочинения по геометрии, М. - Л., 1946-49 (Полн. собр. соч., т. 1-3); Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, М., 1956; Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950; Делоне Б. Н., Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, М., 1956; Широков П. А., Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, М., 1955; Каган В. Ф., Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки, М., 1955; его же, Геометрия Лобачевского и ее предистория, М. - Л., 1949 (Основания геометрии, ч. 1); Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971; Погорелов А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968; Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; Нут Ю. Ю., Геометрия Лобачевского в аналитическом изложении, М., 1961; Андриевская М. Г., Аналитическая геометрия в пространстве Лобачевского, К., 1963.
А. Д. Александров.
Рис. 3 к ст. Лобачевского геометрия.
Рис. 1 к ст. Лобачевского геометрия.
Рис. 2 к ст. Лобачевского геометрия.
Лобачевского метод
Лобаче'вского ме'тод, метод приближённого (численного) решения алгебраических уравнений, найденный независимо друг от друга бельгийским математиком Ж. Данделеном, русским математиком Н. И. Лобачевским (в 1834 в наиболее совершенной форме) и швейцарским математиком К. Греффе. Суть Л. м. состоит в построении уравнения f 1( x) = 0, корни которого являются квадратами корней исходного уравнения f( x) = 0. Затем строят уравнение f 2( x) = 0, корнями которого являются квадраты корней уравнения f 1( x) = 0. Повторяя этот процесс несколько раз, получают уравнение, корни которого сильно разделены. В случае если все корни исходного уравнения действительны и различны по абсолютной величине, имеются простые вычислительные схемы Л. м. для нахождения приближённых значений корней. В случае равных по абсолютной величине корней, а также комплексных корней вычислительные схемы Л. м. очень сложны.
Лит.:Лобачевский Н. И., Алгебра или вычисления конечных, Полн. собр. соч., т. 4, М. - П., 1948; Березин И. О., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962.
Лобашёв Владимир Михайлович
ЛобашёвВладимир Михайлович (р. 29.7.1934, Ленинград), советский физик, член-корреспондент АН СССР (1970). Член КПСС с 1970. Окончил ЛГУ (1957). В 1957-72 работал в Физико-техническом институте АН СССР. С 1972 в институте ядерных исследований АН СССР. Основные работы в области экспериментальной ядерной физики. Исследовал эффекты, возникающие при бета-распаде ядер, предложил методику измерения малой циркулярной поляризации гамма-квантов, применение которой в исследовании гамма-излучения ядер привело к обнаружению несохранения чётности и доказательству существования слабого взаимодействия между нуклонами в ядре.
Соч.: Эксперименты по обнаружению несохранения четности в ядерных силах, «Вестник АН СССР», 1969, № 2, с. 58-64.
Лобашёв Михаил Ефимович
ЛобашёвМихаил Ефимович [29.10(11.11).1907, с. Б. Фролове, ныне Буинского района Татарской АССР, - 4.1.1971, Ленинград], советский генетик и физиолог, профессор (1953), заслуженный деятель науки РСФСР. Член КПСС с 1941. Окончил ЛГУ (1931) и работал там же. Участник Великой Отечественной войны 1941-45. Заведующий лабораторией в институте физиологии им. И. П. Павлова в Колтушах (с 1949). Заведующий кафедрой генетики и селекции ЛГУ (с 1957). Основные работы по физиологии мутационного процесса, генетике поведения, сравнительной и частной генетике, действию и взаимодействию генов на молекулярном уровне, а также по физиологии высшей нервной деятельности и формированию приспособительных реакций в онтогенезе животных (концепция сигнальной наследственности). Награжден 3 орденами, а также медалями.
Соч.: Физиология суточного ритма животных, М. - Л., 1959 (совм. с В. Б. Савватеевым); Генетика, 2 изд., Л., 1967.
Лит.:Памяти М. Е. Лобашева, «Вестник ЛГУ. Серия биология», 1971, № 9, в. 2.
Лобби
Ло'бби, лоббизм (от англ. lobby - кулуары), система контор и агентств крупных монополий при законодательных органах США, оказывающих прямое давление (вплоть до подкупа) на законодателей и государственных чиновников в интересах этих компаний.
Лобва
Ло'бва, посёлок городского типа в Новолялинском районе Свердловской области РСФСР. Расположен на р. Лобва (бассейн Оби). Ж.-д. станция на линии Серов - Гороблагодатская. 12 тыс. жителей (1970). Лесокомбинат, гидролизный завод, леспромхоз. Вечерний лесотехнический техникум.
Лобелин
Лобели'н, алкалоид,содержащийся в растениях из рода лобелия;стимулятор дыхания. В медицинской практике применяют гидрохлорид Л. в растворе, вводимом внутривенно или внутримышечно. Показан при остановке дыхания или ослаблении дыхательной деятельности. Л. иногда используют и как диагностическое средство для определения скорости кровотока.
Лобелия
Лобе'лия(Lobelia), род растений семейства лобелиевых (иногда относят Л. к семейству колокольчиковых). Одно- и многолетние травы, полукустарники и кустарники с простыми очередными листьями. Цветки неправильные, двугубые или одногубые, обоеполые. Тычинки срастаются в трубку, через которую проходит столбик с рыльцем. Плод - коробочка. Около 350 видов, главным образом на влажных местах в тропиках и субтропиках Америки и Африки, меньше их в Азии, Австралии и Океании; в Европе только 2 вида. В СССР 2 вида: Л. Дортмана (L. dortmanna) - в водоёмах Европейской части и Л. сидячелистная (L. sessilifolia) - на болотах, по берегам рек и озёр, по заливным лугам, у горячих ключей в Восточной Сибири и как сорняк в посевах риса на Дальнем Востоке. В СССР как лекарственные используют североамериканскую Л. вздутую (L. inflata) и реже западноевропейскую Л. жгучую (L. urens). Наземные части этих растений содержат алкалоид лобелии.Некоторые Л. введены в культуру как декоративные. Для рабаток, бордюров и клумб широко используется Л. эринус (L. erinus).
Лит.:Атлас лекарственных растений СССР, М., 1962.
М. Э. Кирпичников.
Лобелия вздутая.
Лобенгула
Лобенгу'ла(Lobengula) (около 1836-1894), инкоси (правитель, верховный вождь) народа матабеле,последний крупный независимый африканский правитель в Южной Африке в 1870-94. В 1880-х гг. пытался использовать противоречия между Великобританией, Германией и Трансваалем в междуречье Замбези - Лимпопо и дипломатическим путём затормозить империалистическую экспансию в этом районе. В 1888 был вынужден заключить так называемый договор о дружбе с Великобританией и «договор» о концессии на минеральные богатства своей страны с агентами С. Родса.Возглавил освободительную борьбу матабеле в 1893.
Лит.:Давидсон А. Б., Матабеле и машона в борьбе против английской колонизации, 1888-1897, М., 1958.
Лобзик
Ло'бзик(от нем. Laubsдge), ручной инструмент со сменным пильным полотном, предназначенный для криволинейного распиливания фанеры и тонких досок и др. материалов по внутреннему, замкнутому контуру. Л. называют также пневматическую или электрическую ручную машину,представляющую собой пилу с возвратно-поступательным движением пильного полотна (рабочего органа); такой Л. имеет лыжу для направления рабочего органа при перемещении по обрабатываемой поверхности. Используется в промышленности для резки различных материалов.
Лобзиковый станок
Ло'бзиковый стано'к, предназначается для выпиливания узким пильным полотном криволинейных, чаще всего внутренних, контуров малого радиуса в древесных листовых материалах (плитах, планках и т. д.). Используется в производстве мебели, музыкальных инструментов и др. отраслях деревообрабатывающей промышленности.
Основной рабочий орган станка - лобзиковая пилка, совершающая под действием кривошипно-шатунного механизма возвратно-поступательное движение. Рабочий стол, на котором укрепляется материал при обработке, имеет поворотный механизм, что позволяет производить распиловку под углом. Обычно Л. с. оснащаются сверлильным аппаратом, при помощи которого в материале высверливают отверстия для пропуска пилки. В зависимости от типа натяжного устройства различают Л. с. с рессорной или винтовой пружиной. Лобзиковые пилки имеют ширину 2-10 мм,длину 200-350 мми толщину 0,6-1,25 мм;ход возвратно-поступательного движения пилки составляет 30-50 мм,число ходов в миндостигает 1000. На Л. с. можно обрабатывать материалы толщиной до 100 мм.
Лит.:Афанасьев П. С., Конструкции деревообрабатывающих станков, т. 1, М., 1960; Манжос Ф. М., Деревообрабатывающие станки, М., 1963.
Лоби
Ло'би, народ, населяющий в Верхней Вольте территорию верхнего течения р. Чёрная Вольта к Ю.-В. и В. от г. Бобо-Дьюласо, а также соседние районы Берега Слоновой Кости и Ганы. Численность вместе с родственными народами (бобо и др.) - около 1,5 млн. человек (1970, оценка). Язык Л. относится к группе гур (центральной бантоидной). У Л. сохраняются значительные пережитки общинно-родовых порядков и обычаев. Распространены традиционные верования (анимизм, культ предков), часть Л. исповедует ислам или христианство. Основное занятия: земледелие, разведение крупного рогвтого скота, овец и коз.
Лобиту
Лоби'ту(Lobito), город в Анголе, на побережье Атлантического океана. 97,8 тыс. жителей (1969). Значительный морской порт страны (грузооборот 1,5 млн. тв 1967). Конечный пункт трансафриканской магистрали Бейра (на Индийском океане) - Л. Цементный, асбоцементный и др. заводы. Вывоз марганцевых, медных и цинковых руд из Республики Заир. Рыболовство.
Лобия
Ло'бия, гиацинтовые бобы, долихос обыкновенный (Dolichos lablab), травянистое, большей частью вьющееся растение семейства бобовых. Листья из 3 листочков. Цветки крупные, душистые, белые, красноватые или пурпуровые, в пазушных кистевидных соцветиях. Плод - боб, плоский или вздутый, линейный или широкий, изогнутый, с 3-4 шаровидными, яйцевидными или уплощёнными семенами. Л. - древнее культурное пищевое и кормовое растение; в диком виде неизвестно. Возделывается главным образом в тропических и субтропических районах Азии и Африки. В пищу идут незрелые бобы и зрелые семена. Известно много сортов и разновидностей Л. В Западной Европе и на Кавказе Л. разводят как декоративное растение. На Кавказе лобией нередко называют фасоль и коровий горох.
Лобное место
Ло'бное ме'сто, круглый каменный помост на Красной площади в Москве. Построено из кирпича, по-видимому, в 30-х гг. 16 в.; впервые упомянуто в летописи в 1549. Служило своеобразной трибуной для объявления важнейших правительственных указов и для торжественных церемоний (церковных служб и т. п.). Близ Л. м. на бревенчатых помостах иногда совершались казни. Название, возможно, происходит от того, что Л. м. было расположено на крутом берегу («взлобье») р. Москвы. В современном виде Л. м. существует с 1786, после перестройки его по проекту архитектора М. Ф. Казакова (облицовка и парапет из белого камня). Старый план памятника при перестройке был сохранён. 1 мая 1919 с Л. м. с речью по поводу открытия временного памятника С. Разину выступил В. И. Ленин.