Для решения этих проблем в современной Л. применяется метод формализации доказательств - один из основных её методов. Сущность его состоит в следующем.
Формулировки теорем и аксиом развиваемой теории полностью записываются в виде формул, для чего употребляется особая символика, пользующаяся, наряду с обычными математическими знаками, знаками для логических связок, применяемых в математике: «... и...», «... или...», «если..., то...», «неверно, что...», «при всяком...», «существует... такой, что...». Всем логическим средствам, с помощью которых теоремы выводятся из аксиом, ставятся в соответствие правила вывода новых формул из уже выведенных. Эти правила формальны, т. е. таковы, что для проверки правильности их применений нет надобности вникать в смысл формул, к которым они применяются, и формулы, получаемой в результате; надо лишь убедиться, что эти формулы построены из таких-то знаков, так-то расположенных. Доказательство теоремы отображается в выводе выражающей её формулы. Вывод же этот рассматривается как ряд формул, в конце которого стоит формула, подлежащая выводу. В выводе всякая формула либо выражает аксиому, либо получается из одной или нескольких предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула считается выводимой, если может быть построен её вывод.
Если сопоставление правил вывода применяемым логическим средствам было произведено надлежащим образом, то получают возможность судить о доказуемости теорем в данной теории по выводимости выражающих их формул. Выяснение выводимости или невыводимости той или иной формулы есть задача, не требующая привлечения далеко идущих абстракций, и решать эту задачу часто бывает возможно сравнительно элементарными методами.
Идея метода формализации доказательств принадлежит Д. Гильберту. Проведение этой идеи стало, однако, возможным благодаря предшествовавшей разработке математической Л. (см. раздел История логики).
Применение идеи формализации доказательств бывает обычно связано с выделением логической части рассматриваемой дедуктивной теории. Эта логическая часть, оформляемая, как и вся теория, в виде некоторого исчисления, т. е. системы формализованных аксиом и формальных правил вывода, может тогда рассматриваться как самостоятельное целое.
Простейшими из логических исчислений являются исчисления высказываний: классическое и интуиционистское. В них употребляются следующие знаки: 1) т. н. логические переменные - буквы А, В, С,..., означающие произвольные «высказывания» (смысл этого термина объясняется ниже); 2) знаки логических связок &,
, Й, щ, означающие соответственно «... и...», «... или...», «если..., то...», «неверно, что...»; 3) скобки, выявляющие строение формул. Формулами в этих исчислениях считаются логические переменные и всякие выражения, получаемые из них путём повторного применения следующих операций: 1) присоединение к ранее построенному выражению знака щ слева, 2) написание двух ранее построенных выражений рядом друг за другом со включением одного из знаков &,
или Й между ними и с заключением всего в скобки. Например, следующие выражения являются формулами:
1. (АЙ(ВЙА)),
2. ((АЙ(ВЙС)) Й((АЙВ) Й(АЙС))),
3. ((A&B) ЙA),
4. ((А&. В) ЙВ),
5. (AЙ(BЙ(A&B))),
6. ((АЙС) Й((ВЙС) Й((А
В) ЙС))),
7. (АЙ(А
В)),
8. (BЙ(A
B)),
9. (щАЙ(АЙВ)),
10. ((AЙB) Й((AЙщB) ЙщA)),
11. (A
щA).
В обоих исчислениях высказываний - классическом и интуиционистском - употребляются одни и те же правила вывода.
Правило подстановки. Из формулы выводится новая формула путём подстановки всюду вместо какой-либо логической переменной произвольной формулы.
Правило вывода заключений. Из формул
и (
) выводится формула
Q), называется дизъюнкцией суждений Р и Q, есть суждение истинное, когда истинно хотя бы одно из этих суждений, и ложное, когда ложны оба. Суждение вида (Р Й Q), называется импликацией суждений Р и Q, есть суждение ложное, когда истинно Р и ложно Q, и истинное во всех остальных случаях. Суждение вида щ Р, называется отрицанием суждения Р, есть суждение истинное, когда Р ложно, и ложное, когда Р истинно.
Необходимо отметить, что, согласно данному выше определению, импликация не вполне совпадает по смыслу с житейским словоупотреблением связки «если..., то...». Однако в математике эта связка обычно применялась именно в смысле этого определения импликации. Доказывая теорему вида «если Р, то Q», где Р и Q суть некоторые математические суждения, математик делает предположение об истинности Р и тогда доказывает истинность Q. Он продолжает считать теорему верной, если впоследствии будет доказана ложность Р или истинность Q будет доказана и без предположения об истинности Р. Опровергнутой он считает эту теорему лишь тогда, когда установлена истинность Р и вместе с тем ложность Q. Всё это вполне согласуется с определением импликации (Р Й Q).
Необходимо также подчеркнуть принятое в математической Л. неисключающее понимание дизъюнкции. Дизъюнкция (Р
Q), по определению, истинна и в том случае, когда истинны оба суждения Р и Q.
Формула
В) можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний А и В. Отрицание щА высказывания А можно утверждать тогда и только тогда, когда у нас есть построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение, требуемое высказыванием А, выполнено. (При этом «приведение к противоречию» считается первоначальным понятием.) Импликацию (АЙВ) можно утверждать тогда и только тогда, когда мы располагаем таким построением, которое, будучи объединено с любым построением, требуемым высказыванием А, даёт построение, требуемое высказыванием В.
Формула называется интуиционистски общезначимой тогда и только тогда, когда можно утверждать всякое высказывание, получаемое из в результате подстановки любых математических суждений вместо логических переменных; точнее говоря, в том случае, когда имеется общий метод, позволяющий при произвольной такой подстановке получать построение, требуемое результатом подстановки. При этом понятие общего метода интуиционисты также считают первоначальным.
Формулы 1-10 являются интуиционистски общезначимыми, тогда как формула 11, выражающая классический закон исключенного третьего, не является таковой.
В известном отношении близкой к интуиционизму является точка зрения конструктивной математики,уточняющая несколько расплывчатые интуиционистские понятия импликации и общего метода на основе точного понятия алгоритма.С этой точки зрения закон исключенного третьего также отвергается. Л. конструктивной математики находится в стадии разработки.
С методом формализации доказательств связано понятие формальной системы. Формальная система включает следующие элементы.
1. Формализованный язык с точным синтаксисом, состоящий из точных и формальных правил построения осмысленных выражений, называется формулами данного языка.
2. Чёткую семантику этого языка, состоящую из соглашений, определяющих понимание формул и тем самым условия их истинности.
3. Исчисление (см. выше), состоящее из формализованных аксиом и формальных правил вывода. При наличии семантики эти правила должны быть согласованы с ней, т. е. при применении к верным формулам давать верные формулы.
Исчисление определяет выводы (см. выше) и выводимые формулы - заключительные формулы выводов. Для выводов имеется распознающий алгоритм - единый общий метод, с помощью которого для любой цепочки знаков, применяемых в исчислении, можно узнавать, является ли она выводом. Для выводимых формул распознающий алгоритм может быть и невозможен (примером является исчисление предикатов, см. Логика предикатов ) .
Об исчислении говорят, что оно непротиворечиво, если в нём не выводима никакая формула вместе с формулой щ. Задача установления непротиворечивости применяемых в математике исчислений является одной из главных задач математической Л. Имея в виду охват той или иной содержательно определённой области математики, исчисление считают полным относительно этой области, если в нём выводима всякая формула, выражающая верное утверждение из этой области. Другое понятие полноты исчисления связано с требованием иметь для всякого утверждения, формулируемого в данном исчислении, либо его доказательство, либо его опровержение. Первостепенное значение в связи с этими понятиями имеет теорема Гёделя, утверждающая несовместимость требований полноты с требованием непротиворечивости для весьма широкого класса исчислений. Согласно теореме Гёделя, никакое непротиворечивое исчисление из этого класса не может быть полным относительно арифметики: для всякого такого исчисления может быть построено верное арифметическое утверждение, формализуемое, но не выводимое в исчислении. Эта теорема, не снижая значения математической Л. как мощного организующего средства в науке, убивает надежды на эту дисциплину как на нечто способное осуществить охват математики в рамках одной формальной системы. Надежды такого рода высказывались многими учёными, в том числе основоположником математического формализма Гильбертом.
В 70-е гг. 20 в. получила развитие идея полуформальной системы. Полуформальная система - это также система некоторых правил вывода. Однако некоторые из этих правил могут иметь существенно иной характер, чем правила вывода формальной системы. Они, например, могут допускать выведение новой формулы после того, как с помощью интуиции создалось убеждение в выводимости любой формулы такого-то вида. Сочетание этой идеи с идеей ступенчатого построения математической Л. лежит в основе одного из современных построений логики конструктивной математики. В приложениях математической Л. часто применяются исчисления предикатов - классическое и интуиционистское.
Математическая Л. органически связана с кибернетикой,в частности с математической теорией управляющих систем и математической лингвистикой.Приложения математической Л. к релейно-контактным схемам основаны на том, что всякая двухполюсная релейно-контактная схема в следующем смысле моделирует некоторую формулу классического исчисления высказываний. Если схема управляется n реле, то столько же различных пропозициональных переменных содержит , и если обозначить через iсуждение «Реле номер i сработало», то цепь будет тогда и только тогда замкнута, когда будет верен результат подстановки суждений iвместо соответствующих логических переменных в . Построение такой моделируемой формулы, описывающей «условия работы» схемы, оказывается особенно простым для т. н. П-схем, получаемых из элементарных одноконтактных цепей путём параллельных и последовательных соединений. Это связано с тем, что параллельные и последовательные соединения цепей моделируют соответственно дизъюнкцию и конъюнкцию суждений. Действительно, цепь, полученная путём параллельного (последовательного) соединения цепей Ц 1и Ц 2, тогда и только тогда замкнута, когда замкнута цепь Ц 1или (и) замкнута цепь Ц 2. Применение исчисления высказываний к релейно-контактным схемам открыло плодотворный подход к важным проблемам современной техники. Это же применение обусловило постановку и частичное решение многих новых и трудных проблем математической Л., к числу которых в первую очередь относится т. н. проблема минимизации, состоящая в разыскании эффективных методов нахождения простейшей формулы, равносильной данной формуле.
Релейно-контактные схемы являются частным случаем управляющих схем, применяемых в современных автоматах. Управляющие схемы иных типов, в частности схемы из электронных ламп или полупроводниковых элементов, имеющие ещё большее практическое значение, также могут быть разрабатываемы с помощью математической Л., которая доставляет адекватные средства как для анализа, так и для синтеза таких схем. Язык математической Л. оказался также применимым в теории программирования, создаваемой в связи с развитием машинной математики. Наконец, созданный математической Л. аппарат исчислений оказался применимым в математической лингвистике, изучающей язык математическими методами.
А. А. Марков.
Научные учреждения и издания.Преподавание и исследовательская работа по Л. являются неотъемлемой частью научной и культурной жизни большинства стран мира. В СССР научно-исследовательская работа в области Л. ведётся в основном в научно-исследовательских центрах Москвы, Ленинграда, Новосибирска, Киева, Кишинева, Риги, Вильнюса, Тбилиси, Еревана и др. городов отделениями математических институтов АН СССР и союзных республик, институтами философии, кафедрами Л. университетов и некоторых др. вузов. Публикации работ по Л. в СССР осуществляются: в непериодических изданиях в форме тематических сборников и монографий (в частности, начиная с 1959 в серии «Математическая логика и основания математики»), в непериодических изданиях «Трудов Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР» (с 1931), в сборниках «Алгебра и логика» (Новосибирск, с 1962), в «Записках» научных семинаров по Л., в математических и философских журналах. В реферативном журнале «Математика» и в реферативных журналах института научной информации по общественным наукам АН СССР систематически освещаются работы советских и зарубежных авторов по Л. Из специальных зарубежных изданий, освещающих проблематику Л., наиболее известны: международная монографическая серия «Studies in Logic...» (Amst., с 1965) и журналы: «The Journal of Symbolic Logic» (Providence, с 1936); «Zeitschrift fьr mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik» (В., с 1955); «Archiv fьr mathematische Logik und Grundlagenforschung» (Stuttg., с 1950); «Logique et analyse» (Louvain, с 1958); «Journal of philosophical logic» (Dordrecht, с 1972); «International logic review» (Bologna, с 1970); «Studia Logica» (Warsz., с 1953); «Notre Dame Journal of formal Logic» (Notre Dame, с 1960).
Основную организационную работу, связанную с обменом научной информацией в области Л., осуществляет пользующаяся поддержкой ООН Ассоциация символической логики . Ассоциация организует международные конгрессы по Л., методологии и философии науки. Первый такой конгресс состоялся в 1960 в Станфорде (США), второй - в 1964 в Иерусалиме, третий - в 1967 в Амстердаме, четвёртый - в 1971 в Бухаресте.
З. А. Кузичева, М. М. Новосёлов.
Лит.: Основные классические работы.Аристотель, Аналитики первая и: вторая, пер. с греч., М., 1952; Leibniz G. W., Fragmente zur Logik, В., 1960; Кант И., Логика, пер. с нем., П., 1915; Милль Дж. С., Система логики силлогистической и индуктивной, пер. с англ., 2 изд., М., 1914; De Morgan A., Formal logic or the calculus of inference, necessary and probable, L., 1847 (перепечатка, L., 1926); Boole G., The mathematical analysis of logic, being an essay toward a calculus of deductive reasoning, L. - Camb., 1847 (перепечатка, N. Y., 1965); Schrцder Е., Der Operationskreis des Logikkalkuls, Lpz., 1877; Frege G., Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle, 1879; Джевонс С., Основы науки, Трактат о логике и научном методе, пер. с англ., СПБ, 1881; Порецкий П. С., О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики, Казань, 1884; Whitehead A. N., Russell B., Principia mathematica, 2 ed., v. 1-3, Camb., 1925-27.
История.Владиславлев М., Логика, СПБ, 1872 (см. «Приложение»); Троицкий М., Учебник логики с подробным указанием на историю и современное состояние этой науки в России и в других странах, т. 1-3, М., 1885-88; Яновская С. А., Основания математики и математическая логика, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет, М. - Л., 1948; её же, Математическая логика и основания математики, в кн.: Математика в СССР за сорок лет, т. 1, М., 1959; Попов П. С., История логики нового времени, М., 1960; Котарбиньский Т., Лекции по истории логики, Избр. произв., пер. с польск., М., 1963, с. 353-606; Стяжкин Н. И., Формирование математической логики, М., 1967; Prantl К., Geschichte der Logik im Abendlande, Bd 1-4, Lpz., 1855-70; Bochenski I. М., Formale Logik, Mьnch., 1956; Minio Paluello L., Twelfth century logic. Texts and Studies, v. 1-2, Roma, 1956-58; Scholz Н., Abriss der Geschichte der Logik, Freiburg - Mьnch., 1959; Lewis C. I., A survey of symbolic logic, N. Y., 1960; lшrgensen J., A treatise of formal logic: Its evolution and main branches with its relation to mathematics and philosophy, v. 1-3, N. Y., 1962; Kneale W., Kneale М., The development of logic, 2 ed., Oxf., 1964; Dumitriu A., Istoria logicii, Buc., 1969; Blanchй R., La logique et son histoire. D'Aristote a Russell, P., 1971; Berka K., Kreiser L., Logik - Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, B., 1971.
Учебные курсы.Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960; Гудстейн Р. Л., Математическая логика, пер. с англ., М., 1961; Гжегорчик А., Популярная логика. Общедоступный очерк логики предложений, пер. с польск., М., 1965; Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1971; Марков А. А., О логике конструктивной математики, М., 1972.
Некоторые монографии.Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Рейтинг А., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; Карри Х. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1-2, В., 1934-39; Markov A. A., Essai de construction d'une logique de la mathйmatique constructive, Brux., 1971.
Энциклопедии и словари.Философская энциклопедия, т. 1-5, М., 1960-70; Кондаков Н. И., Логический словарь, М., 1971; Encyclopedia of Philosophy. v. 1-8, N. Y., 1967; MaBa encykiopedia Logiki, WrocBaw - Warsz. - KrakМw, 1970.
Библиография.Примаковский А. П., Библиография по логике. Хронологический указатель произведений по вопросам логики, изданных на русском языке в СССР в 18-20 вв., М., 1955; Ивин А. А., Примаковский А. П., Зарубежная литература по проблемам логики (1960-1966), «Вопросы философии», 1968, № 2; Church A., A bibliography of symbolic logic, «The Journal of Symbolic Logic», 1936, v. 1, № 4; его же, Additions and corrections to «A bibliography of symbolic logic», там же, 1938, v. 3, № 4; Beth E. W., Symbolische Logik und Grundlegung der exakten Wissenschaften, Bern, 1948 (Bibliographische Einfьhrung in das Studium der Philosophie, Bd 3); Brie G. A. de, Bibliographia Philosophica. 1934-1945, Bd 1-2, Brux., 1950-54; Kьng G., Bibliography of soviet works in the field of mathematical logic and the foundations of mathematics, from 1917-1957, «Notre Dame Journal of Formal Locic», 1962, № 3; Hдnggi J., Bibliographie der Sovjetischen Logik, Bd 2, Winterthur, 1971.
Логика высказываний
Ло'гика выска'зываний, раздел математической логики,посвященный изучению логических форм сложных высказываний, образованных из элементарных высказываний с помощью связок, аналогичных союзам «и», «или», «если..., то...», отрицания («не») и др.
Логика классов
Ло'гика кла'ссов, раздел логики,основным предметом рассмотрения в котором служат классы (множества) предметов, задаваемые характеризующими их свойствами, общими для всех входящих в данный класс элементов. В рамках современной формальной (математической) логики Л. к. может пониматься, с одной стороны, как такое усиление (расширение) логики высказываний,при котором «элементарные высказывания» уже не рассматриваются только как нерасчленяемое далее «целое», а каждое из них имеет субъектно-предикатную форму [т. e. может рассматриваться на содержательном уровне как нераспространённое повествовательное предложение, в котором различаются подлежащие (subjects) и сказуемые (predicates)]. Другая - отличающаяся от только что указанной по форме, но эквивалентная по существу, - трактовка Л. к. состоит в истолковании её как частного случая логики предикатов,а именно логики одноместных предикатов, точнее логики, оперирующей с объёмами понятий, содержания которых выражаются соответствующими одноместными предикатами. Имеется, наконец, ещё одна, изоморфная (см. Изоморфизм ) первым двум, интерпретация Л. к., в соответствии с которой объектами её рассмотрения являются множества (классы) каких-либо предметов - вне зависимости от каких бы то ни было свойств, общих для их элементов, - и операции над множествами (см. Логические операции ) .Иными словами, Л. к. в этом случае можно отождествить с алгеброй множеств (см. Алгебра логики ) ,в которой рассматриваются произвольные множества и обычные теоретико-множественные операции. Сопоставляя (взаимнооднозначно) множествам (классам) высказывания о принадлежности какого-либо предмета данному множеству, пересечению множеств - конъюнкцию соответствующих высказываний, объединению - дизъюнкцию, а дополнению - отрицание, получают упомянутый выше изоморфизм алгебры высказываний и алгебры множеств (Л. к.). Рассматривая реализацию Л. к. на одноэлементной области, сводят вопрос об истинности (ложности) формул Л. к. к соответствующим вопросам для логики высказываний, подобно которой Л. к. оказывается, т. о., разрешимой. Отсюда нетрудно получить и разрешимость логики одноместных предикатов; а поскольку, как было указано, она по существу совпадает с Л. к., последнюю не рассматривают обычно в виде специальной теории, трактуя её как фрагмент логики предикатов. См. ст. Логика и литературу при ней.
Ю. А. Гастев.
Логика науки
Ло'гика нау'ки, в специальном смысле дисциплина, применяющая понятия и технический аппарат современной логики к анализу систем научного знания. Термин «Л. н.» часто употребляется также для обозначения законов развития науки (логика научного развития), правил и процедур научного исследования (логика исследования), учения о психологических и методологических предпосылках научных открытий (логика научного открытия).
Л. н. как специальная дисциплина начала развиваться во 2-й половмны 19 в. и окончательно оформилась в 1-й четверти 20 в. под влиянием идей Г. Фреге,Б. Рассела и Л. Витгенштейна.Интенсивно Л. н. занимались участники Венского кружка под руководством М. Шлика и члены Берлинского общества научной философии под руководством Г. Рейхенбаха, а также др. философы, естествоиспытатели и математики (К. Поппер, В. Дубислав и др.). Так как в подавляющем большинстве они стояли на позициях неопозитивизма, то на протяжении многих лет было широко распространено мнение, что Л. н. является специфически позитивистским подходом к философскому и методологическому анализу научного знания. Однако в действительности неопозитивистская интерпретация Л. н. представляет собой частный вариант её философского истолкования.
В разработке современной Л. н. активное участие принимают философы и логики, стоящие на позициях диалектического материализма, а также представители неопозитивизма, прагматизма и неотомизма, философии лингвистического анализа и др. направлений. Интенсивные исследования по Л. н. ведутся в СССР, США, Польше, Великобритании, ГДР, ФРГ и Италии. Круг основных проблем Л. н. охватывает: 1) изучение логических структур научных теорий; 2) изучение построения искусств. (формализованных) языков науки; 3) исследование различных видов дедуктивных (см. Дедукция ) и индуктивных (см. Индукция ) выводов, применяемых в естественных, социальных и технических науках; 4) анализ формальных структур фундаментальных и производных научных понятий и определений; 5) рассмотрение и совершенствование логической структуры исследовательских процедур и операций и разработка логических критериев их эвристической эффективности; 6) исследование логико-гносеологического и логико-методологического содержания редукции научных теорий, процессов абстрагирования, объяснения, предвидения, экстраполяции и т. п., наиболее часто применяемых во всех сферах научной деятельности.
Важным средством логического анализа систем научного знания является применение методов формализации.Преимущество метода формализации заключается в том, что он позволяет выявить логические связи и отношения и точно фиксирует правила, гарантирующие получение наиболее достоверных знаний из исходных посылок данной теории, выступающих после определённой логической обработки в качестве аксиом рассматриваемого формализма. В случае дедуктивных теорий речь идёт о правилах необходимого следования. Дедуктивное построение теории чаще всего встречается в математике, теоретической физике, теоретической биологии и в некоторых других тяготеющих к ним научных дисциплинах. Правила индуктивных теорий характеризуют различные формы вероятностного следования. Индуктивные теории характерны для большинства эмпирических наук, в которых по тем или иным причинам возникают ситуации неопределённости, связанные с неполнотой информации о связях, свойствах и отношениях исследуемых объектов.