Лог (овраг)
Лог, овраг в равнинной местности в стадии аккумуляции, с пологими, заросшими растительностью склонами, плоским днищем и незначительным боковым водосбором.
Лог (пос. гор. типа в Волгоградской обл.)
Лог, посёлок городского типа в Иловлинском районе Волгоградской области РСФСР. Ж.-д. станция на линии Волгоград - Поворино. Плодозавод.
Логан
Ло'ган(Logan), горная вершина на С.-З. Канады, в горах Св. Ильи. Высота 6050 м(2-я по высоте в Северной Америке). Сложена гранитами. Покрыта обширными ледниками, почти достигающими её подножия. Даёт начало многочисленным долинным ледникам длиной до 80 км(ледник Логан).
Логаниевые
Лога'ниевые(Loganiaceae), семейство двудольных растений. Деревья и кустарники, иногда лианы или травы. Листья супротивные, простые, цельные. Цветки обоеполые, большей частью правильные; чашечка и венчик обычно пяти- или четырёхчленные. Гинецей из 2, редко 3 плодолистиков; завязь обычно верхняя, иногда полунижняя. Плод - коробочка или ягодовидный, реже - костянковидный. Около 20 родов (более 450 видов) в тропиках и субтропиках обоих полушарий; в СССР и Западной Европе дикорастущих Л. нет. Многие из Л. ядовиты, содержат алкалоиды; важное медицинское значение имеет чилибуха.Некоторые декоративны. К Л. часто относят всего 6 родов (около 100 видов), остальные выделяют в семейства стрихновых, или чилибуховых (Strychnaceae), поталиевых (Potaliaceae) и др.
Лит.:Тахтаджян А. Л., Система и филогения цветковых растений, М. - Л., 1966.
Логановский Александр Васильевич
Логано'вскийАлександр Васильевич [11(23).3.1810 (или 1812), Москва, - 18(30).11.1855, там же], русский скульптор. Учился в петербургской АХ (1821-33) у В. И. Демут-Малиновского,пенсионер петербургской АХ в Италии (1837-44). Работал в духе позднего академического классицизма,преимущественно в области монументально-декоративной скульптуры на темы из Евангелия и русской истории (горельеф «Избиение младенцев» в южном портике Исаакиевского собора в Ленинграде, бронза, 1844-46; статуи и рельефы храма Христа Спасителя в Москве, бронза, мрамор, 1840-е - 1850-е гг., сохранившиеся ныне в Научно-исследовательском музее архитектуры им. А. В. Щусева в Москве).
А. В. Логановский. «Парень, играющий в свайку». Гипс. 1836. Русский музей. Ленинград.
Логарифм
Логари'фмчисла N по основанию а, показатель степени m, в которую следует возвести число а (основание Л.), чтобы получить N; обозначается log aN. Итак, m = log aN, если а м= N. Например, log 10100 = 2; log 2 1/ 32= - 5; log a1 = 0, т. к. 100 = 10 2, 1/ 32= 2 -5, 1 = a 0. При отрицательных а бесконечно много положительных чисел не имело бы действительных логарифмов, поэтому берётся а > 0 и а ¹ 1. Из свойств логарифмической функции вытекает, что каждому положительному числу соответствует при данном основании единств. действительный Л. (логарифмы отрицательных чисел являются комплексными числами). Основные свойства Л.:
log a(MN) = log aM + log aN;
log aM/N = log aM - log aN;
log aN k= k log aN;
log
a
log
aN
позволяют сводить умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их Л., а возведение в степень и извлечение корня - к умножению и делению Л. на показатель степени или корня, т. е. к более простым действиям.
Когда основание а фиксировано, говорят об определённой системе Л. В соответствии с десятичным характером нашего счёта наиболее употребительны десятичные Л. (а = 10), обозначаемые lg N. Для рациональных чисел, отличных от 10 kс целым k, десятичные Л. суть трансцендентные числа,которые приближённо выражают в десятичных дробях. Целую часть десятичного Л. наз. характеристикой, дробную - мантиссой. Так как lg(10 kN) = k + lgN, то десятичные Л. чисел, отличающихся множителем 10 k, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц Л., которые содержат лишь мантиссы Л. целых чисел (см. Логарифмические таблицы ) .
Большое значение имеют также натуральные Л., основанием которых служит трансцендентное число e = 2,71828...; их обозначают lnN. Переход от одного основания Л. к другому совершается по формуле log bN = log aN/log ab, множитель 1/log ab называется модулем перехода (перевода) от основания а к основанию b. Для перехода от натуральных Л. к десятичным или обратно имеем
lnN = IgN/lge, lgN = InN/ln10;
1/lge = 2,30258; 1/ln10 = 0,43429....
Историческая справка. Открытие Л. было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением астрономических выкладок. Авторы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрической прогрессии и составленной из показателей степени её членов арифметической прогрессии. Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были хорошо известны Н. Шюке (1484) и немецкому математику М. Штифелю (1544). Первые логарифмические таблицы были составлены одновременно и независимо друг от друга Дж. Непером (1614, 1619) и швейцарским математиком И. Бюрги (1620). Важный шаг в теоретическом изучении Л. сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь Л. и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление Л. бесконечным степенным рядом дано Н. Меркатором (1668), нашедшим, что
In(1+
x) =
x
Вскоре затем Дж. Грегори (1668) открыл разложение
ln
.
Этот ряд очень быстро сходится, если М = N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для вычисления Л. В развитии теории Л. большое значение имели работы Л. Эйлера.Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень.
Термин «Л.» предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь - отношение) и arithmos (число); в античной математике квадрат, куб и т. д. отношения а/b называются «двойным», «тройным» и т. д. отношением. Т. о., для Непера слова «lуgu arithmуs» означали «число (кратность) отношения», то есть Л. у Дж. Непера - вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Термин «натуральный логарифм» принадлежит Н. Меркатору, «характеристика» - английскому математику Г. Бригсу, «мантисса» в нашем смысле - Л. Эйлеру, «основание» Л. - ему же, понятие о модуле перехода ввёл Н. Меркатор. Современное определение Л. впервые дано английским математиком В. Гардинером (1742). Знак Л. - результат сокращения слова «Л.» - встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц [напр., Log - у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log и 1. - Б. Кавальери (1632, 1643)].
Лит.:Маркушевич А. И., Площади и логарифмы, М. - Л., 1952; История математики, т. 2, М., 1970.
Логарифмика
Логари'фмика, плоская кривая, являющаяся графиком логарифмической функции.
Логарифмирование
Логарифми'рование, действие, заключающееся в нахождении
логарифма
числового, алгебраического или иного выражения. Л. - одно из двух действий, обратных возведению в степень: если
a
b= с, то
a =
и b = log
ac. В вычислительной практике Л. употребляется для сведения действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Например, для приближённого вычисления
пользуются соотношением lg
=
, а затем
логарифмическими таблицами.
Логарифмическая бумага
Логарифми'ческая бума'га, специальным образом разграфленная бумага; обычно изготовляется типографским способом. Она строится следующим образом ( рис. 1 ): на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел u(на оси абсцисс) и v(на оси ординат); затем через найденные точки ( u, v) проводятся прямые, параллельные осям. Наряду с Л. б. применяется полулогарифмическая бумага ( рис. 2 ): на одной из осей прямоугольной системы координат откладываются числа uа на другой - десятичные логарифмы чисел v. Л. б. и полулогарифмическая бумага служат для вычерчивания на них графиков функций, которые здесь могут принимать более простую и наглядную форму и в ряде случаев выпрямляются. На Л. б. прямыми линиями изображаются функции, заданные уравнениями вида v= au b, где аи b- постоянные коэффициенты, т. к. такие уравнения после логарифмирования и перехода к системе координат х = lgu, у = lgvприводятся к виду:
у = bx + lga.
Аналогично на полулогарифмической бумаге прямыми линиями изображаются функции, заданные уравнениями вида v = ab u. Это свойство Л. б. и полулогарифмической бумаги находит применение при отыскании аналитической формы эмпирических зависимостей. Если, например, ряд точек с координатами u i, v i, где u i- значения аргумента и, при которых из опыта получены значения v iфункции v, нанесённых на Л. б., с достаточной точностью располагается на прямой, то прямую принимают за график функции v = f(u), которую, следовательно, можно записать в виде v = au b. Для случая полулогарифмич. бумаги зависимость будет иметь вид v = ab u. Коэффициенты аи bнаходятся по чертежу.
Рис. 2. Полулогарифмическая бумага.
Рис. 1. Логарифмическая бумага.
Логарифмическая линейка
Логарифми'ческая лине'йка,
счётная линейка, инструмент для несложных вычислений, с помощью которого операции над числами (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и др.) заменяются операциями над
логарифмами
этих чисел. Л. л. состоит из корпуса, движка и бегунка (из стекла или плексигласа), имеющего визирную линию (
рис. 1
). На корпусе и движке нанесены основные шкалы С и D, размеченные так, что положение любого числа Х (целого или дробного от 1 до 10) определяется длиной отрезка, равного mlg Х, отложенного от начала шкалы (m - масштабный коэффициент, так называемый модуль шкалы). Геометрическое сложение (вычитание) отрезков шкал С и D посредством перемещения движка относительно корпуса на Л. л. заменяет операцию умножения (деления) соответствующих чисел. Кроме указанных шкал С и D, на Л. л. наносят шкалы
1/
X(R), Х
2(А, В), Х
3(К),
, е
х, lgX(L), шкалы значений тригонометрических функций и др.
Л. л., прообразом которой явилась так называемая гантерова линейка (Gunter's line), была изобретена английским математиком Э. Гантером вскоре после открытия логарифмов и описана им в 1623. Это была логарифмическая шкала (линейка), на которой сложение отрезков производилось с помощью циркуля. В 1630 английский математик У. Отред заменил циркуль второй линейкой (движком). В дальнейшем усовершенствовались лишь детали: в 1650 была осуществлена идея нанесения шкалы по спирали на цилиндрической поверхности; в 30-х гг. 19 в. появился прибор, действующий по принципу линейки Гантера, выполненной в виде часов с вращающимся циферблатом (логарифмическая шкала) и подвижной стрелкой, - прообраз современных круглых Л. л. ( рис. 2 ); в 1850 к Л. л. был добавлен бегунок, что значительно упростило работу с ней; в начале 20 в. для расчётов с повышенной точностью использовались т. н. счётные вальцы ( рис. 3 ) - вид Л. л., шкалы которой нанесены по образующим цилиндрических вальцов; движком служил полый цилиндр с окнами, прорезанными против основных шкал; деление движка нанесено по краям этих прорезей. Современная Л. л. - простой и удобный счётный инструмент; применяется при инженерных и прочих расчётах, когда точность вычислений ограничивается 2-3 знаками (для обычной Л. л. длиной 25 смс m = 250 мм) .Л. л. с m = 500-750 ммдают точность 4-5 знаков.
Лит.:Панов Д. Ю., Счетная линейка, 21 изд., М., 1973.
Рис. 3. Счётные вальцы.
Рис. 2. Круглая логарифмическая линейка.
Рис. 1. Логарифмическая линейка.
Логарифмическая спираль
Логарифми'ческая спира'ль, плоская спиральная кривая (см. Линия ) .
Логарифмическая функция
Логарифми'ческая фу'нкция, функция, обратная к показательной функции.Л. ф. обозначается
y= ln x; (1)
её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно
х = е у(2)
( е- неперово число ) .Т. к. e y> 0 при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х> 0. В более общем смысле Л. ф. называют функцию
y= log aX,
где а> 0 (а ¹ 1) - произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция log aX приводится к ней по формуле:
log a x= MInX,
где М = 1/In а. Л. ф. - одна из основных элементарных функций ; её график ( рис. 1 ) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению
In x+ln y= ln xy.
Для - 1 < х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:
ln(1 +
x) =
x
Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например
,
.
Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.
Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж.
Непером
(1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (
рис. 2
). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ =
у, ХВ =
х, то, согласно этому определению,
dx/dy = - kx, откуда
.
Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ¹ 0 обозначается Ln z. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как
In z= In½ z½+ i arg z,
где arg z - аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем
Ln z= ln z+ 2 kp i, k= 0, ±1, ±2, ...
Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения
.
Рис. 1 к ст. Логарифмическая функция.
Рис. 2 к ст. Логарифмическая функция.
Логарифмические таблицы
Логарифми'ческие табли'цы, таблицы логарифмов чисел; применяются для упрощения вычислений. Наиболее распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к. десятичные логарифмы чисел N и 10 kN (при kцелом) различаются только характеристиками и имеют одинаковые мантиссы (lg10 kN = k+ lg N), то в таблицах десятичных логарифмов приводятся только мантиссы логарифмов целых чисел. Для отыскания характеристики служат правила: 1) характеристика числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа (так, lg 20 000 = 4,30103) и 2) характеристика десятичной дроби, меньшей 1, равна взятому со знаком минус числу нулей, предшествующих первой в дроби цифре, отличной от нуля (так, lg 0,0002 = - 4,30103, т. о., десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы положительной мантиссы и отрицательной характеристики).
Существуют таблицы десятичных логарифмов с различным числом знаков мантисс. Наиболее распространены 4-значные и 5-значные таблицы. Иногда употребляют 7-значные таблицы, а в редких случаях - таблицы, позволяющие без большого труда вычислять логарифмы с большим числом знаков. В Л. т. часто приводятся таблицы антилогарифмов - чисел, логарифмы которых суть данные числа, и таблицы так называемых гауссовых логарифмов, служащих для определения логарифмов суммы или разности двух чисел по известным логарифмам этих чисел (без промежуточного нахождения самих чисел). Кроме логарифмов чисел, Л. т. содержат обычно логарифмы тригонометрических величин.
Первые Л. т. были составлены независимо друг от друга Дж.
Непером
и швейцарским математиком И. Бюрги. Таблицы Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619) содержали 8-значные логарифмы синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0° до 90°, следующих через одну минуту. Т. к. синус 90° тогда принимали равным 10
7, а на него часто приходилось умножать, то Непер определил свои Л. так, что логарифм 10
7был равен нулю. Логарифмы остальных синусов, меньших 10
7, у него положительны. Непер не ввёл понятия об основании системы логарифмов. Его логарифм числа N в современных обозначениях приблизительно равен
. Свойства логарифмов Непера несколько сложнее обычных, т. к. у него логарифм единицы отличен от нуля.
«Арифметические и геометрические таблицы прогрессий» (1620) Бюрги представляют собой первую таблицу антилогарифмов («чёрные числа») и дают значения чисел, соответствующих равноотстоящим логарифмам («красным числам»). «Красные числа» Бюрги суть логарифмы поделенных на 10
8«чёрных чисел» при основании, равном
. Таблицы Бюрги и особенно Непера немедленно привлекли внимание математиков к теории и вычислению логарифмов. По совету Непера английский математик Г. Бриге вычислил 8-значные десятичные логарифмы (1617) от 1 до 1000 и затем 14-значные (1624) от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 (по его имени десятичные логарифмы иногда называют бриговыми). 10-значные таблицы от 1 до 100 000 издал голландский математик А. Влакк (1628). Таблицы Влакка легли в основу большинства последующих таблиц, причём их авторы внесли много изменений в структуру Л. т. и поправок в выкладки (у самого Влакка было 173 ошибки, у австрийского математика Г. Вега в 1783 - пять; первые безошибочные таблицы выпустил в 1857 немецкий математик К. Бремикер). В России таблицы логарифмов впервые были изданы в 1703 при участии Л. Ф.
Магницкого.Таблицы т. н. гауссовых логарифмов были опубликованы в 1802 итальянским математиком З. Леонелли; К. Ф.
Гаусс
ввёл (1812) эти логарифмы в общее употребление.
Лит.:Брадис В. М., Четырехзначные математические таблицы, М. - Л., 1928, посл., 44 изд., М., 1973; Милн-Томсон Л.-М., Комри Л.-Дж., Четырехзначные математические таблицы, пер. с англ., М., 1961; Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М., 1972; Вега Г., Таблицы семизначных логарифмов, 4 изд., М., 1971; Субботин М. Ф., Многозначные таблицы логарифмов, М. - Л., 1940; Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел..., М., 1952; Таблицы натуральных логарифмов, 2 изд., т. 1-2, М., 1971.
Логарифмический приёмник
Логарифми'ческий приёмник, транзисторный или ламповый радиоприёмник,в котором амплитудная характеристика усилителя промежуточной или видеочастоты представляется логарифмическим законом. Л. п. позволяет принимать сигналы с динамическим диапазоном до 100 дби уменьшает действие электрических помех некоторых видов. Логарифмическая амплитудная характеристика может быть получена, например, посредством включения нелинейного элемента (диода) параллельно коллекторной или анодной нагрузке в каждом каскаде усилителя или последовательным сложением напряжений от каждого каскада усилителя на общей нагрузке. В первом случае при малых входных сигналах амплитудная характеристика усилителя линейна (так называемый линейно-логарифмический приёмник). С ростом входного сигнала диод начинает проводить электрический ток; его внутреннее сопротивление падает и шунтирует сопротивление нагрузки. Общее сопротивление нагрузки изменяется так, что амплитуда на выходе усилителя пропорциональна логарифму амплитуды на входе. Во втором случае при возрастании входного сигнала каскады усилителя, начиная с последнего, поочерёдно выходят из линейного режима и до перехода в режим насыщения (ограничения) обеспечивают получение логарифмической амплитудной характеристики.
Лит.:Волков В. М., Логарифмические усилители на транзисторах, К., 1965.
А. С. Афромеев.
Логарифмически-нормальное распределение
Логарифми'чески-норма'льное распределе'ние, специальный вид распределения вероятностей случайных величин. Если Х имеет нормальное распределение и Y= е х, то Yимеет Л.-н. р., характеризуемое плотностью:
.
Здесь mи s - параметры распределения величины X. Математическое ожидание Y:
,
дисперсия:
.
Этому распределению с хорошим приближением подчиняется, например, размер частиц при дроблении какого-либо материала (камня и т. п.), содержание многих минералов в породах.
Лит.:Колмогоров А. Н., О логарифмически-нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении, «Докл. АН СССР», 1941, т. 31, в. 2, с. 99-101; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Aitchison J., Brown J. A. C., The lognormal distribution, Camb., 1957.
В. И. Битюцков.
Логата
Лога'та, река в Таймырском (Долгано-Ненецком) национальном округе Красноярского края РСФСР, правый приток р. Верхнего Таймыра (бассейн Карского моря). Длина 393 км,площадь бассейна 10900 км 2.Течёт по Северо-Сибирской низменности; извилиста. В бассейне Л. свыше 3200 мелких озёр общей площадью 926 км 2.Питание снеговое и дождевое. Замерзает в конце сентября, вскрывается в начале июня.
Логау Фридрих фон
Ло'гау(Logau) Фридрих фон (июнь 1604, Брокрут, - 24.7.1655, Лигниц), немецкий поэт-сатирик. В своих эпиграммах (сборники 1638 и 1654) Л. проклинает Тридцатилетнюю войну, опустошившую страну и принёсшую выгоду лишь иноземцам, бичует пороки господствующих сословий, с насмешкой пишет о церкви и религиозных суевериях. Стихи Л. вобрали в себя народные пословицы и поговорки.
Соч.: Sinngedichte. Eine Auswahl, В., 1967; в рус. пер. в кн.: Хрестоматия по западноевропейской литературе XVII в. Сост. Б. И. Пуришев, 2 изд., М., 1949; в кн.: Слово скорби и утешения. Немецкая поэзия времен 30-летней войны 1618-1648, пер Л. Гинзбурга, М., 1963.
Лит.:Пуришев Б. И., Очерки немецкой литературы XV-XVII вв., М., 1955; Berger U., Der Unerbittliche, Friedrich von Logau, в его кн.: Die Chance der Lyrik, B. - Weimar, 1971, S. 66-72.
Логаэды
Логаэ'ды(от греч. logaoidikуs - прозаически-стихотворный), 1) в метрическом стихосложении - стихи, образованные сочетанием 3-сложных стоп (дактиль, анапест) с 2-сложными (ямб, хорей); их ритм менее ровный, чем в стихах из однородных стоп (отсюда название). Широко употреблялись в лирике (например, в сапфической строфе ) и хоровых частях трагедий. 2) В тоническом стихосложении - стихи, внутри которых ударения располагаются с неравномерными слоговыми промежутками, повторяющимися из стиха в стих.
Бу'дем жи'ть и люби'ть, моя подру'га,
Воркотню' старико'в ожесточённых
Бу'дем в ло'маный гро'ш с тобо'ю ста'вить...
(А. Пиотровский; пер. из Катулла).
Логен (приток р. Гломма)
Ло'ген(Lagen), Гудбрансдальс-Логен, крупнейший (правый) приток р. Гломма в Норвегии. Длина 203 км,площадь бассейна свыше 12 тыс. км 2.Берёт начало на водоразделе Скандинавских гор из оз. Лешаскугсвати, течёт по глубокой долине Гудбрансдаль, протекает через оз. Мьёса, ниже которого носит название Ворма. Средний расход воды в нижнем течении 247 м 3/сек.ГЭС.
Логен (река в Норвегии)
Ло'ген(Lagen), Нумедальс-Логен, река на Ю. Норвегии. Длина 342 км,площадь бассейна 5,6 тыс. км 2.Берёт начало в Скандинавских горах, на плоскогорье Хардангервидда, протекает по долине Нумедаль, впадает в пролив Скагеррак. Средний расход воды в нижнем течении 123 м 3/сек.Половодье в мае - июне (главным образом от таяния сезонных снегов); с декабря по март покрыта льдом. ГЭС. Вблизи устья - г. Ларвик.