Первое дело у деда -
Потолковать с мужиком.
Н. А. Некрасов.
В 19 в. пропуски употреблялись редко (преимущественно на 1-й стопе дактиля, как в примере), в 20 в. - чаще и не только в начале, но и в середине стиха.
«Трибуна люду»
«Трибу'на лю'ду»(«Trybuna Ludu» - «Трибуна народа»), ежедневная газета, орган ЦК Польской объединённой рабочей партии. Издаётся с 16 декабря 1948 в Варшаве. Тираж (1976) 800 тыс. экземпляров.
Трибунал
Трибуна'л(лат. tribunal - судилище; основное значение: возвышение, на котором в Древнем Риме восседали важнейшие должностные лица - консулы, преторы - при исполнении служебных обязанностей), особый суд. 1) Во Франции - революционный чрезвычайный суд периода Великой французской революции. 2) В СССР - суды, учрежденные декретом Совета Народных Комиссаров о суде от 22 ноября (5 декабря) 1917 для борьбы с контрреволюцией и наиболее опасными преступлениями (см. Революционные трибуналы ), а также суды, рассматривающие дела о воинских и иных преступлениях, отнесённых законом к их ведению (см. Военные трибуналы ). 3) Международный судебный орган по преследованию и наказанию главных военных преступников 2-й мировой войны 1939-45 (см. Международный военный трибунал ). 4) В судебных системах некоторых буржуазных стран (например, Франции, Италии) суд первой инстанции и апелляционная инстанция для дел, рассмотренных мировыми судьями.
Трибунисты
Трибуни'сты, название левых социал-демократов в Нидерландах в 1907-18, группировавшихся вокруг газеты «Де Трибюне» («De Tribune», основана в октябре 1907). В 1907-09 составляли оппозициционную группу в Социал-демократической рабочей партии Нидерландов (СДРПН), боролись с марксистских позиций против оппортунизма её лидеров. После исключения из СДРПН в феврале 1909 редакторов «Де Трибюне» Д. Вайнкопа, В. ван Равестейна и Я. Сетона основали в марте 1909 Социал-демократическую партию Нидерландов. В годы 1-й мировой войны 1914-18 В. И. Ленин относил Т. к «¼лучшим революционным и интернационалистским элементам международной социал-демократии» (Полн. собр. соч., 5 изд., т. 30, с. 45). В то же время В. И. Ленин подвергал критике ошибочные взгляды Т. в вопросе о самоопределении наций, непоследовательность отдельных лидеров Т. в борьбе против оппортунистов, их пацифизм (см. там же, т. 27, с. 260, прим., с. 273; т. 30, с. 46-47; т. 49, с. 104-05, 189, 191). После основания в 1918 компартии Нидерландов многие Т. вошли в сё состав. В 20-е гг. некоторые бывшие лидеры Т. (Г. Гортер, А. Паннекук, Х. Роланд-Холст, В. ван Равестейн, Я. Сетон ) порвали с коммунистическим движением.
Трибуны военные
Трибу'ны вое'нные(лат. tribuni militum), в Древнем Риме командные должности в армии (командиры отрядов в легионах и самих легионов). Между 444 и 367 до н. э. для плебеев была введена должность Т. в. с консульской властью с целью не допустить плебеев к консулату; была упразднена после 367 до н. э., так как, по закону народных трибунов Лициния Столона и Секстия Латерана один из консулов стал избираться из плебеев.
Трибуны народные
Трибу'ны наро'дные, трибуны плебейские (лат. tribuni plebis), в Древнем Риме высшие выборные (начиная с 494 до н. э.) должностные лица из плебеев . Т. н. обладали правом вмешательства в действия патрицианских магистратов и сената и могли налагать запрет на их постановления (право veto). Составляли коллегию сначала из 2 или 4 (либо 5), потом из 10 лиц, выбиравшихся на плебейских собраниях сроком на 1 год. Личность Т. н. считалась священной и неприкосновенной. Т. н. неоднократно выступали инициаторами аграрных законов и демократических преобразований (Г. Фламиний, Апулей Сатурнин и др.), с деятельностью трибунов Тиберия и Гая Гракхов связан наивысший подъём демократического движения в Риме.
В эпоху империи Т. н. формально сохранялись, но потеряли реальное значение, поскольку носителями трибунской власти со времени Цезаря стали императоры.
Трибуны плебейские
Трибу'ны плебе'йские, то же, что трибуны народные .
Трибутные комиции
Трибу'тные коми'ции, см. в ст. Комиции .
Трибуц Владимир Филиппович
Три'буцВладимир Филиппович [р. 15(28).7.1900, Петербург], советский военачальник, адмирал (1943), доктор исторических наук (1972). Член КПСС с 1928. На флоте с февраля 1918. Участвовал в Гражданской войне 1918-20 в составе Астраханской и Волжско-Каспийской флотилий и морских сил Каспийского моря. Окончил Военно-морское училище им. М. В. Фрунзе (1926) и Военно-морскую академию (1932). В 1926-1929 и 1932-36 служил на боевых кораблях Краснознамённого Балтийского флота. В феврале 1938-апреле 1939 начальник штаба Балтийского флота. С апреля 1939 по 1947 командовал Балтийским флотом, успешно руководя его действиями во время Великой Отечественной войны 1941-45 на морских сообщениях при обороне Таллина, Моонзундских островов, Ханко, Ленинграда, прорыве блокады Ленинграда и освобождении Прибалтики. В 1947-48 заместитель главнокомандующего войсками Дальнего Востока по военно-морским силам; затем на руководящих должностях в ВМФ и министерстве обороны СССР. С февраля 1961 в отставке.
Награжден 2 орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, 4 орденами Красного Знамени, 2 орденами Ушакова 1-й степени, орденом Нахимова 1-й степени, орденом Красной Звезды, а также медалями.
Соч.: Балтийцы вступают в бой, Калининград, 1972; Балтийцы наступают, [Калининград], 1968.
В. Ф. Трибуц.
«Трибюн компани»
«Три'бюн ко'мпани»(«Tribune Company»), издательский концерн в США. Основан в 1919. Издаёт газеты «Нью-Йорк дейли ньюс» («New York Daily News»), «Чикаго трибюн» («Chicago Tribune») и др. Является собственником нескольких радиостанций, предприятий бумажной промышленности и пресс-синдиката «Чикаго трибюн» - «Нью-Йорк дейли ньюс», поставляющего материалы для значительного числа газет и др. печатных изданий.
Тривандрам
Три'вандрам, город Индии; см. Тируванантапурам .
Тривиум
Три'виум(лат. trivium, буквально - перекрёсток трёх дорог, от tres - три и via - путь, дорога), три гуманитарные науки - грамматика, риторика и диалектика, составлявшие в средние века первый и главный цикл «семи свободных искусств» , изучавшихся на артистическом (общеобразовательных подготовительных) факультетах университетов, в иезуитских коллегиумах и др.
Тригатрон
Тригатро'н[от англ. trigger - пусковое устройство, пусковой сигнал и (элек)трон ], тригитрон, управляемый разрядник с холодными электродами, в котором разряд между двумя основными электродами возбуждается под действием управляющего импульса напряжения, приложенного к третьему (управляющему) электроду. По конструкции Т. бывают открытые (разряд происходит в воздухе) и герметизированные (электроды заключают в стеклянную или керамическую оболочку, наполненную газом при давлении 10-10 3 кн/ м 2). Управляющий электрод располагают между основными электродами или в полости одного из них. К середине 70-х гг. 20 в. термин «Т.» практически вытеснен из употребления более широким термином «управляемый разрядник».
Триггер
Три'ггер(англ. trigger), спусковое устройство ( спусковая схема ), которое может сколь угодно долго находиться в одном из двух (реже многих) состояний устойчивого равновесия и скачкообразно переключаться из одного состояния в другое под действием внешнего сигнала. Т. имеет два выхода: основной и инверсный. Каждому состоянию Т. соответствуют определённые сигналы на его выходах, отличающиеся своим уровнем. В одном состоянии на основном выходе Т. формируется сигнал высокого уровня, а на инверсном - низкого; в др. состоянии, наоборот, сигналы высокого и низкого уровней формируются соответственно на инверсном и основном выходах. Т. характеризуется следующими важнейшими параметрами: быстродействием, временем срабатывания, уровнями входных и выходных сигналов. Быстродействие Т. определяется как максимальное возможное число переключений в единицу времени. Время срабатывания определяется временем перехода Т. из одного состояния в другое и характеризует задержку выходного сигнала Т. относительно входного. Под уровнем входного сигнала понимают минимальное значение сигнала, необходимое для переключения Т. Уровень выходного сигнала у большинства Т. не ниже уровня входного сигнала, чем обеспечивается возможность их последовательного соединения без промежуточного усиления.
Наибольшее распространение получили электронные Т., выполненные на электронных лампах, газоразрядных приборах, полупроводниковых диодах, транзисторах разных типов и особенно на интегральных микросхемах; иногда применяются также Т. на магнитных элементах, элементах пневмо- и гидроавтоматики и др. По характеру входных сигналов различают Т. с потенциальными входами (прямым и инверсным) и динамическими входами (также прямым и инверсным). Т. с потенциальными входами реагируют на сигнал высокого уровня на прямом входе и низкого уровня на инверсном входе. Т. с динамическими входами реагируют на перепады (изменения уровня) входных сигналов: положительный на прямом входе и отрицательный на инверсном.
Наиболее часто применяют: Т. со счётным входом (Т-триггер), который изменяет своё состояние на противоположное с каждым входным сигналом; Т. с двумя установочными входами ( R - S-триггер), изменяющий своё состояние только при воздействии управляющего сигнала на определённый вход ( R-или S-вход), причём повторное воздействие сигнала на тот же вход Т. не изменяет его состояния; универсальный Т. ( J- K-триггер), обладающий свойствами Т-триггера и R -S-триггера; Т. задержки ( D-триггер), состояние которого и соответствующий ему выходной сигнал повторяют входной сигнал. Кроме Т. этих типов, применяют комбинированные Т., представляющие собой универсальные многофункциональные устройства с большим числом входов.
Указанные выше Т. относят к симметричным; применяют также несимметричные Т. (Т. Шмитта). Несимметричный Т. переходит из одного состояния в другое по достижении входным сигналом одного уровня (порога срабатывания), а в исходное состояние возвращается при уменьшении входного сигнала до некоторого др. уровня. Существуют и многостабильные Т., обладающие числом устойчивых состояний, большим, чем два.
Т. различных типов применяют в устройствах цифровой вычислительной техники и автоматики. С использованием Т. строятся цифровые автоматы с программным управлением для дискретной обработки информации (в частности, счётчики, пересчётные устройства, регистры разных типов, дешифраторы, сумматоры и др.), формирователи импульсов, цифровые делители частоты и т.д. В цифровой автоматике Т. выполняют функции элементарных автоматов с памятью, имеющих 2 состояния, которым соответствуют два возможных значения двоичной логической переменной ( х= 0 и х= 1). Такие Т. подразделяются на асинхронные и синхронные. Синхронные (тактируемые) Т. выполняют свои функции только при воздействии на их входы периодических тактовых сигналов (обычно меандрового типа), синхронизирующих работу Т. Синхронные Т. подразделяются на однотактные и двухтактные. Последние представляют собой систему из двух Т., выполняющих одну и ту же логическую операцию, но со сдвигом во времени на длительность полутакта входного тактового сигнала. Удвоение действий Т. необходимо для разделения во времени приёма информации, доставляемой входными сигналами, и передачи информации с выходов Т. на др. элементы устройства (или на его вход).
Лит.:Ицхоки Я. С., Овчинников Н. И., Импульсные и цифровые устройства, М., 1972; Старостин А. Н., Импульсная техника, М., 1973; Каган Б. М., Каневский М. М., Цифровые вычислительные машины и системы, М., 1973.
Ю. Б. Барабанов, И. А. Данильченко,
Е. И. Петровичев.
Триггерные механизмы
Три'ггерные механи'змы, триггеры (физиология, биология), пусковые процессы, обеспечивающие резкий переход клетки, органа или целого организма из одного функционального состояния в другое. Так, например, переход мышцы от спокойного состояния к сокращению осуществляется триггерным действием периферического нерва. В этом случае непосредственную роль Т. м. выполняет синаптический потенциал, то есть ничтожно малая эдс, возникающая в месте контакта нерва с мышечным волокном. Все процессы, характерные для рефлекторной деятельности (например, возбуждение рецепторов, передача возбуждения по периферическим нервам, с нейрона на нейрон), могут рассматриваться как последовательная цепь работы, так как во всех этих процессах обнаруживается явление порога, то есть крутого перехода из одного состояния в другое. Т. м. обеспечивают резкие качественные изменения состояния целого организма, например переход от стадии яйца к личинке, от личинки к куколке, от куколки к взрослому организму, а также суточную и сезонную активность животных.
Новое качественное состояние, вызванное Т. м., может либо сохраняться, либо постепенно утрачиваться, что приводит к возвращению к исходному. Большинство биологических Т. м. являются самовозвратными, восстанавливающимися за счёт энергии обмена веществ. Изучение Т. м. позволяет ближе подойти к раскрытию истинных причин автоматических и так называемых спонтанных физиологических процессов, когда их ход не детерминирован видимым внешним воздействием (см. Автоматизм ).
Лит.:Меерович Л. А., 3еличенко Л. Г., Импульсная техника, 2 изд., М., 1954; Енютин В. В., Никулин С. М., Спусковые устройства, М. - Л., 1957; Шидловский В. А., Динамические биологические системы, в сборнике: Динамические системы и управление, М., 1973; Botts J., Triggering of contraction in skeletal muscle, в кн.: Physiological triggers and discontinuous rate processes. Wash., 1957 (лит.); Bullock Т. Н., The trigger concept in biology, там же.
В. А. Шидловский.
Триглав
Три'глав(Triglav), горный массив и одноимённая вершина в Юлийских Альпах, на С.-З. Югославии. Высота 2863 м(самая высокая в стране). Сложен известняками. Ледниковые и карстовые формы рельефа. Горные леса, луга.
Триглиф
Тригли'ф(греч. trнglyphos, от tri-, в сложных словах - три и glу'phM - режу), в архитектуре прямоугольная, несколько вытянутая по вертикали плита с двумя целыми, а по краям половинными желобками. Чередуясь с метопами , Т. образуют фриз в дорическом ордере ; обычно размещаются по осям колонн и интерколумниев и на концах фриза на углах здания. Т. в камне изображают орнаментированные торцы балок перекрытия в деревянной архитектуре.
Разновидности ордера в Древней Греции. А - деревянный прототип ионического ордера. В - эолийская капитель (от которой, возможно, произошла ионическая) и её прототип в дереве. Г - дорический ордер: 1 - сима; 2 - выносная плита; 3 - мутул; 4 - гутты, или капли; 5 - триглиф; 6 - метопа; 7 - тения; 8 - полочка, или регула, с каплями; 9 - абак (абака); 10 - эхин; 11 - ремешки; 12 - шейка капители, или гипотрахелион; 13 - каннелюры; 14 - стилобат (верхняя ступень стереобата). Д - ионический ордер (справа - более ранний, исходный малоазийский тип, слева - более поздний аттический тип): 1 - сима; 2 - выносная плита; 3 - фриз; 4 - зубчики, или дентикулы; 5 - тения; 6 - фасции архитрава; 7 - абак; 8 - волюта; 9 - эхин; 10 - каннелюры с дорожками между ними; 11 - полувал, или торус; 12 - скоция; 13 - плинт; 14 - стилобат.
Триглы
Три'глы, морские петухи (Triglidae), семейство морских рыб отряда окунеобразных. Тело веретеновидное, покрыто чешуей или пластинками. Длина до 90 см; 1-3 нижних луча брюшного плавника имеют форму пальцевидных отростков и служат для ползания по дну, а также являются органами осязания и вкуса. У глубоководных двуносых панцирных Т., или малармат (Peristedion), все тело покрыто костными пластинками. Некоторые виды Т. могут совершать короткие планирующие полёты. Распространены в морях субтропических и умеренных зон. В СССР - в Чёрном, Балтийском, дальневосточных морях и изредка в Баренцевом. Икра пелагическая. Питаются беспозвоночными и мелкой рыбой. Имеют промысловое значение; мясо очень вкусное.
Лит.:Жизнь животных, т. 4, ч. 1, М., 1971.
Тригони Михаил Николаевич
Триго'ниМихаил Николаевич [октябрь 1850, Севастополь, - 5(18).7.1917, Балаклава], русский революционер-народник. Сын генерала. Окончил Новороссийский университет в Одессе. В революционном движении с 1875, вёл пропаганду среди интеллигенции и офицерства на Украине. С 1879 - член «Народной воли»; единственный член исполнительного комитета её первого состава, живший на легальном положении (занимался адвокатурой под своей фамилией). В 1880 основал одесскую народовольческую организацию. Арестован 27 февраля 1881. По «процессу 20-ти» осужден на 20 лет каторги, которую отбывал в Алексеевском равелине и Шлиссельбургской крепости. В 1902 сослан на Сахалин. С 1906 жил в Крыму. Сохранил до конца жизни революционные убеждения. Автор воспоминаний «Мой арест в 1881 г.» («Былое», 1906, № 3).
Лит.:Дрей М., М. Н. Тригони, М., 1931; Фигнер В. Н., М. Н. Тригони, Полн. собр. соч., т. 4, М., 1932.
Тригонии
Триго'нии(Trigoniidae), семейство из класса двустворчатых моллюсков. Появились в триасе; ныне представлены одним реликтовым родом, обитающим у берегов Австралии. Раковина состоит из двух равных по размерам толстостенных створок, обычно с отчётливой скульптурой из рёбер и бугорков; передняя и задняя части створки разделены килем и отличаются по скульптуре. Обитали в морях, вели ползающий образ жизни. Имеют значение для стратиграфии отложений юры и мела, когда Т. были распространены во всех частях света.
Тригонометрические функции
Тригонометри'ческие фу'нкции, один из важнейших классов элементарных функций.
Для определения Т. ф. обычно рассматривают окружность единичного радиуса с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами
A'Aи
B'B(
рис. 1
). От точки
Апо окружности откладываются дуги произвольной длины, которые считаются положительными, если откладываются в направлении
от Ак
В(против часовой стрелки), и отрицательными, если они откладываются в направлении от
Ак
B'(по часовой стрелке). Если
С- конец дуги, имеющей длину j, то проекция
OPрадиуса
OCна диаметр
A'Aназывается косинусом дуги j (
OP= cos j). При этом под проекцией
OPпонимается длина направленного отрезка
, взятая со знаком плюс, если точка Р лежит на радиусе
OA, и со знаком минус, если она лежит на радиусе
OA';Проекция
OQрадиуса
OCна диаметр
B'B(равная +
OQ, если точка
Qлежит на радиусе
OB, и равная -
OQ, если она лежит на радиусе
OB') называется синусом дуги j (
OQ= sin j). Т. ф. cos j и sin j не могут принимать значений, по абсолютной величине превосходящих 1, то есть
|cosj| Ј 1, |sinj| Ј 1.
Иначе cosj и sinj могут быть определены как прямоугольные декартовы координаты точки С, лежащей на дуге окружности единичного радиуса, центр которой в начале координат, ось абсцисс направлена по диаметру A'A, а ось ординат - по диаметру B'B.
Так как центральный угол в радианной мере измеряется тем же числом, что и дуга (радиус окружности равен единице), то cosj и sinj можно рассматривать как косинус и синус угла. Вообще под аргументом Т. ф. принято понимать число, которое можно рассматривать геометрически как длину дуги или радианную меру угла. Если аргумент Т. ф. рассматривают как угол, то его значение может быть выражено и в градусной мере. Для острых углов j (0 < j < p/2), и только для них, Т. ф. cos j и sin j можно рассматривать как отношение катетов прямоугольного треугольника, прилежащего углу или противолежащего углу, к гипотенузе. Дуга ABокружности называется 1-й её четвертью, соответственно дуги BA'- 2-й, A'B'- 3-й, B'A- 4-й четвертями. Для углов j из 1-й четверти: cosj > 0, sinj > 0, из 2-й четверти: cosj < 0, sinj > 0, из 3-й четверти: cosj < 0, sinj < 0, из 4-й четверти: cosj > 0, sinj < 0. Кроме того, cosj - чётная функция: cos (-j) = cosj, а sinj - нечётная функция: sin (-j) = -sinj.
С помощью основных Т. ф. можно определить другие Т. ф.: тангенс tgj = sinj /cosj, котангенс ctgj = cosj /sinj, секанс secj = 1/cosj, косеканс cosecj = 1/sinj. При этом tgj и secj определяются только для таких j, для которых cosj ¹ 0; а ctgj и cosecj для тех j, для которых sinj ¹ 0; функция secj - чётная, а функции cosecj, tgj и ctgj - нечётные. Эти функции также могут быть представлены геометрически отрезками прямых ( рис. 1 ): tgj = AL, ctgj = BK, secj = OL, cosecj = OK(для острых углов j и соответствующими отрезками для других углов). С этим геометрическим представлением связано и происхождение названий Т. ф. Так, латинское tangens означает касательную (tgj изображается отрезком ALкасательной к окружности), secans - секущую (secj изображается отрезком OLсекущей к окружности). Название «синус» (лат. sinus - изгиб, пазуха) представляет собой перевод арабского «джайб», являющегося, по-видимому, искажением санскритского слова «джива» (буквально - тетива лука), которым индийские математики обозначали синус. Названия «косинус», «котангенс», «косеканс» представляют собой сокращения термина complementi sinus (синус дополнения) и ему подобных, выражающих тот факт, что cosj, ctgj и cosecj равны соответственно синусу, тангенсу и секансу аргумента (дуги или угла), дополнительного к j (до или, в градусной мере, до 90°):
cosj = sin ( - j); ctgj = tg ( - j);
cosecj = sec ( - j).
Подобно синусу и косинусу, остальные Т. ф. для острых углов могут рассматриваться как отношения сторон прямоугольного треугольника: тангенс и котангенс как отношения катетов (противолежащего к прилежащему и наоборот), а секанс и косеканс как отношения гипотенузы соответственно к прилежащему и противолежащему катетам.
Так как точка С, являющаяся концом дуги j, служит одновременно концом дуг j + 2p, j + 4p, ¼ (2p - длина окружности), то все Т. ф. оказываются периодическими. При этом основным периодом функций sinj, cosj, secj, cosecj является число 2p (угол в 360°), а основным периодом tgj и ctgj - число p (угол в 180°). Графики Т. ф. см. на рис. 2.
Значения Т. ф. одного и того же аргумента связаны между собой рядом соотношений:
sin 2j + cos 2j = 1,
tg 2j + 1 = sec 2j; ctg 2j + 1 = cosec 2j.
Для некоторых значений аргумента значения Т. ф. могут быть получены из геометрических соображений (табл.).
| Аргумент | Тригонометрические функции | ||||||
| в градусах | в радианах | sinj | cosj | tgj | ctgj | secj | cosecj |
| 0Ъ | 0 | 0 | 1 | 0 | не существует | 1 | не существует |
| 30Ъ | p/6 | 1/ 2 | Ц3/2 » 0,8660 | Ц3/3 » 0,5774 | Ц3 » 1,7322 | 2Ц3/3 » 1,1547 | 2 |
| 45Ъ | p/4 | Ц2/2 » 0,7071 | Ц2/2 » 0,7071 | 1 | 1 | Ц2 » 1,4142 | Ц2 » 1,4142 |
| 60Ъ | p/3 | Ц3/2 » 0,8660 | 1/ 2 | Ц3 » 1,7322 | Ц3/3 » 0,5774 | 2 | 2Ц3/3 » 1,1547 |
| 90Ъ | p/2 | 1 | 0 | не существует | 0 | не существует | 1 |
Для больших значений аргумента можно пользоваться так называемыми формулами приведения, которые позволяют выразить Т. ф. любого аргумента через
Т. ф. аргумента j, удовлетворяющего соотношению 0 Ј j Ј или даже 0 Ј j Ј , что упрощает составление таблиц Т. ф. и пользование ими, а также построение графиков. Эти формулы имеют вид:
(1)
в первых трёх формулах nможет быть любым целым числом, причём верхний знак соответствует значению n= 2 k, а нижний - значению n= 2 k+ 1; в последних - nможет быть только нечётным числом, причём верхний знак берётся при n= 4 k+ 1, а нижний при n= 4 k- 1.
Важнейшими тригонометрическими формулами являются формулы сложения, выражающие Т. ф. суммы или разности значений аргумента через Т. ф. этих значений:
(2)
знаки в левой и правой частях всех формул согласованы, то есть верхнему (нижнему) знаку слева соответствует верхний (нижний) знак справа. Из них, в частности, получаются формулы для Т. ф. кратных аргументов, например:
Часто бывают полезны формулы, выражающие степени sin и cos простого аргумента через sin и cos кратного, например:
,
.
Формулы для cos 2j и sin 2j можно использовать для нахождения значений Т. ф. половинного аргумента:
(3)
Знак перед корнем выбирается в зависимости от величины .
Суммы или разности Т. ф. различных аргументов могут быть преобразованы в произведения по следующим формулам:
(4)
в первой и последней формулах (4) знаки согласованы. Наоборот, произведения Т. ф. могут быть преобразованы в сумму или разность по формулам: