;
;
.
Производные всех Т. ф. выражаются через Т. ф.:
;
;
;
;
;
.
При интегрировании Т. ф. получаются Т. ф. или их логарифмы:
,
,
,
,
,
.
Интегралы от рациональных комбинаций Т. ф. всегда являются элементарными функциями.
Все Т. ф. допускают разложение в степенные ряды . При этом функции sin xи cos xпредставляются рядами, сходящимися для всех значений х:
;
.
Эти ряды можно использовать для получения приближённых выражений sin xи cos xпри малых значениях х:
а)
, б)
.
Тригонометрическая система 1, cos x, sin x, cos2 x, sin2 x, ¼, cos nx, sin nx, ¼, образует на отрезке [-p, p] ортогональную систему функций , что даёт возможность представления функций в виде тригонометрических рядов (см. Фурье ряд ).
Для комплексных значений аргумента значения Т. ф. могут быть определены посредством степенных рядов. Т. ф. комплексного аргумента связаны с показательной функцией формулой Эйлера:
.
Отсюда можно получить выражения для sin xи cos xчерез показательные функции чисто мнимого аргумента (которые также называют формулами Эйлера):
,
Эти формулы также могут быть использованы для определения значений cos zи sin zдля комплексного z. Для чисто мнимых значений z = ix( х- действительное) получаем:
,
,
где ch xи sh x- гиперболические косинус и синус (см. Гиперболические функции ). Наоборот,
,
.
Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Например:
.
Т. ф. комплексного аргумента являются аналитическими функциями, причём sin zи cos z- целые функции , а tg z, ctg z, sec z, cosec z- мероморфные функции . Полюсы tg zи sec zнаходятся в точках z= p/2 + p n, а ctg zи cosec zв точках z= p n( n= 0, ± 1, ± 2, ¼). Аналитическая функция w= sin zосуществляет конформное отображение полуполосы -p < x< p, y> 0 плоскости zна плоскость wбез отрезка действительной оси между точками -1 и +1. При этом семейства лучей х= x 0и отрезков y= y 0переходят соответственно в семейства софокусных гипербол и эллипсов. Вдвое более узкая полоса -p/2 < x< p/2 преобразуется в верхнюю полуплоскость.
Уравнение х= sin yопределяет у как многозначную функцию от х. Эта функция является обратной по отношению к синусу и обозначается у= Arc sin x. Аналогично определяются функции, обратные по отношению к косинусу, тангенсу, котангенсу, секансу и косекансу: Arc cos x, Arc tg x, Arc ctg x, Arc sec x, Arc cosec x. Все эти функции называются обратными тригонометрическими функциями (в иностранной литературе иногда эти функции обозначаются sin -1z, cos -1z и т.д.).
Т. ф. возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу Т. ф., встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Однако эти соотношения не являются у них самостоятельным объектом исследования, так что Т. ф. как таковые ими не изучались. Т. ф. рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец 4 - 2-я половина 3 вв. до н. э.), Гиппархом (2 в. до н. э.), Менелаем (1 в. н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.) при решении сферических треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30' с точностью до 10
-6. Это была первая таблица синусов. Как отношение функция sin j встречается уже у
Ариабхаты
(конец 5 в.). Функции tg j и ctg j встречаются у
аль-Баттани
(2-я половина 9 - начало 10 вв.) и
Абуль-Вефа
(10 в.), который употребляет также sec j и cosec j. Ариабхата знал уже формулу (sin
2j + cos
2j) = 1, а также формулы (3), с помощью которых построил таблицы синусов для углов через 3°45'; исходя из известных значений Т. ф. для простейших аргументов
.
Бхаскара
(12 в.) дал способ построения таблиц через 1 с помощью формул (2). Формулы (4) выводились
Региомонтаном
(15 в.) и Дж.
Неперомвсвязи с изобретением последним логарифмов (1614). Региомонтан дал таблицу значений синуса через 1'. Разложение Т. ф. в степенные ряды получено И.
Ньютоном
(1669). В современную форму теорию Т. ф. привёл Л.
Эйлер
(18 в.). Ему принадлежат определение Т. ф. для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией, ортогональности системы синусов и косинусов.
Лит.:Кочетков Е. С., Кочеткова Е. С., Алгебра и элементарные функции, ч. 1-2, М., 1966; Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969, с. 61-65.
Рис. 2. Графики тригонометрических функций: 1 - синуса; 2 - косинуса; 3 - тангенса; 4 - котангенса; 5 - секанса; 6 - косеканса.
Рис. 1 к ст. Тригонометрические функции.
Тригонометрический знак
Тригонометри'ческий знакв геодезии, сооружение, устанавливаемое на местности в тригонометрических пунктах . Т. з. состоит из двух частей - наружной (см. Сигнал геодезический ) и подземной (см. Центр геодезический ). Т. з. фиксирует положение тригонометрического пункта, а также служит для установки геодезического инструмента на высоте, обеспечивающей возможность непосредственного визирования на соседние Т. з.
Тригонометрический пункт
Тригонометри'ческий пункт, пункт триангуляции, геодезический пункт , положение которого на земной поверхности определено методом триангуляции . Точное положение Т. п. на местности фиксируется путём закладки в земле специальных сооружения - центра геодезического , и определяется координатами в выбранной системе геодезических координат . Горизонтальные координаты Т. п. вычисляются из триангуляции, а его высота над уровнем моря определяется методами тригонометрического или геометрического нивелирования . Т. п., так же как и полигонометрические пункты , составляют опорную геодезическую сеть , используемую при топографической съёмке и различных геодезических измерениях на местности.
Тригонометрический ряд
Тригонометри'ческий ряд, функциональный ряд вида
, (1)
то есть ряд, расположенный по синусам и косинусам кратных дуг. Часто Т. р. записываются в комплексной форме
.
Числа a n, b nили c nназывают коэффициентами Т. р.
Т. р. играют весьма важную роль в математике и её приложениях. Прежде всего Т. р. дают средства для изображения и изучения функций и являются поэтому одним из основных аппаратов теории функций. Далее, Т. р., естественно, появляются при решении ряда задач математической физики, среди которых можно отметить задачу о колебании струны, задачу о распространении тепла и др. Наконец, теория Т. р. способствовала уточнению основных понятий математического анализа (функция, интеграл), вызвала к жизни ряд важных разделов математики (теория интегралов Фурье, теория почти-периодических функций), послужила одним из отправных пунктов для развития теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа и положила начало общему гармоническому анализу.
Т. р. впервые появляются в работах Л. Эйлера («Введение в анализ бесконечно малых», 1748; Письмо к Х. Гольдбаху от 4 июля 1744), например:
,
Эйлер указал на связь между степенными рядами и Т. р.: если
, где
c
nдействительны, то
(где Re обозначает действительную часть функции). Эйлеру же принадлежат первые приложения Т. р. к исследованию колебания струны (1748); по его мнению, в Т. р. могут быть разложены лишь те функции, которые мы теперь назвали бы кусочно-аналитическими. Формулы для коэффициентов в разложении
,
а именно:
,
были впервые указаны А. Клеро (1757), а их вывод посредством почленного интегрирования Т. р. был дан Эйлером в 1777; впрочем, формулы для a 0и a 1встречаются еще раньше у Ж. Д'Аламбера (1754).
Т. р. привлекли к себе интерес крупнейших математиков 50-70-х гг. 18 в. в связи со спором о колебании струны. В частности, Д. Бернулли впервые высказал утверждение, что «произвольная» функция может быть разложена в Т.. р. Однако в то время понятие функции было ещё недостаточно отчётливым (см. Функция ). Утверждение, что функции весьма общего вида действительно могут быть разложены в Т. р., было вновь высказано и постоянно выдвигалось Ж. Фурье (1811); он систематически пользовался Т. р. при изучении задач теплопроводности. Весьма широкий класс Т. р. по праву носит его имя (см. Фурье ряд ). После исследований Фурье Т. р. прочно вошли в математическую физику (С. Пуассон , М. В. Остроградский ). Существенный прогресс теории Т. р. в 19 в. был связан с уточнением основных понятий математического анализа и созданием теории функций действительного переменного. Так, П. Дирихле (1837), уточнив понятие произвольной функции, получил первый общий признак сходимости рядов Фурье; Г. Ф. Б. Риман исследовал понятие интеграла и установил необходимое и достаточное условие интегрируемости функций в связи с исследованиями по Т. р.; исследования, относящиеся к изображению функций Т. р., привели Г. Кантора к созданию теории множеств; наконец, А. Лебег (1902-06), применив развитые им понятия меры и интеграла к теории Т. р., придал ей современный вид. Важный вклад в теорию Т. р. внесли Н. Н. Лузин , Д. Е. Меньшов и др.
Лит.:Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М. - Л., 1951; Барин. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1965.
Тригонометрическое уравнение
Тригонометри'ческое уравне'ние, алгебраическое уравнение относительно тригонометрической функций неизвестного аргумента. Для решения Т. у., пользуясь различными соотношениями между тригонометрическими функциями , преобразуют Т. у. к такому виду, чтобы можно было определить значения одной из тригонометрических функций искомого аргумента. После этого корни Т. у. получаются с помощью обратных тригонометрических функций . Например, sin х+ sin 2 x+ sin З х= 0 можно привести к виду 2 sin 2 xcos х+ sin 2 x= 0 или sin 2 x(2cos х+ 1) = 0, откуда sin 2 x= 0 или же cos х= -1/2; это даёт решения Т. у. х= Arc sin 0 = и х= Arc cos ( - ) = 2/3p(З n± ), где n- произвольное целое число (положительное или отрицательное).
Тригонометрия
Тригономе'трия(от греч. trнgMnon - треугольники ¼ метрия ), раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Т. делится на плоскую, или прямолинейную, и сферическую тригонометрию . Теория тригонометрических функций (гониометрия) и её приложения к решению плоских прямоугольных и косоугольных треугольников изучаются в средней школе.
Основные формулы плоской Т. Пусть а, b, с- стороны треугольника, А, В, С- противолежащие им углы ( А+ В+ С= p), h a, h b, h c- высоты, 2 p- периметр, S - площадь, 2 R- диаметр окружности, описанной около треугольника. Теорема синусов:
,
теорема косинусов:
a 2= b 2 + c 2 -2 bccos A,
теорема тангенсов:
,
площадь треугольника:
.
Углы треугольника, если известны стороны, могут быть найдены по теореме косинусов или по формулам вида:
.
Плоская Т. начала развиваться позже сферической, хотя отдельные теоремы её встречались и раньше. Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги «Начал» Евклида (3 в. дон. э.) выражают по существу теорему косинусов. Плоская Т. получила развитие у аль-Баттани (2-я половина 9 - начало 10 вв.), Абу-ль-Вефа (10 в.), Бхаскара (12 в.) и Насирэддина Туси (13 в.), которым была уже известна теорема синусов. Теорема тангенсов была получена Региомонтаном (15 в.). Дальнейшие работы в области Т. принадлежат Н. Копернику (1-я половина 16 в.), Т. Браге (2-я половина 16 в.), Ф. Виету (16 в.), И. Кеплеру (конец 16 - 1-я половина 17 вв.). Современный вид Т. получила в работах Л. Эйлера (18 в.).
Лит.:Кочетков Е. С., Кочеткова Е. С., Алгебра и элементарные функции, ч. 1-2, М., 1966.
Тридакны
Трида'кны(Tridacna), род крупных двустворчатых моллюсков. Обитают в прибрежной зоне тропических морей. Несколько видов, среди которых наиболее известна распространённая в Тихом океане Т. гигантская (Т. gigas) с раковиной длиной до 1,4 м, которая весит до 250 кг. Створки раковины одинаковые, очень массивные, без перламутрового слоя, характеризуются радиальной волнистостью, грубыми чешуями и ребрами на поверхности. Жители островов Океании используют раковины Т. как строительный материал и для изготовления домашней утвари, украшений, амулетов, а также в качестве денег для местной торговли.
Тридентский собор
Триде'нтский собо'р, Триентский собор, вселенский собор католической церкви, заседавший в 1545-47, 1551-52, 1562-63 в г. Триент [нем. Trient, лат. Tridentum, современный Тренто (итал. Trento)], в 1547-49 - в Болонье. Был созван в связи с успехами Реформации по настоянию многих прелатов и императора Карла V (стремившегося покончить с религиозными раздорами в империи и реформировать церковь в духе требований соборного движения ). Открыт римским папой Павлом III. Наметились 2 лагеря: лагерь, возглавлявшийся императором, настаивал на реформе церкви, искоренении злоупотреблений духовенства, считал допустимыми некоторые уступки протестантам в области догматики; лагерь папы настаивал на укреплении церковного единства в борьбе с реформационным движением, на решении догматических вопросов в строго ортодоксальном и традиционном духе, отвергал малейший компромисс в вопросах доктрины. Т. с. закончился победой папской партии. Его постановления закрепили все традиционные догматы католического вероучения. Т. с. усилил организационно католическую церковь: подтвердил верховенство папы над собором, увеличил власть епископов в пределах их диоцезов (расширив право надзора за духовенством), укрепил дисциплину монашеских орденов. Важнейшим результатом Т. с. было усиление гонений на протестантов, введение строгой церковной цензуры, расширение деятельности инквизиции. Стремясь подчинить своему влиянию духовную жизнь общества, католическая церковь обязала духовных лиц и профессоров католических университетов присягать обнародованному в 1564 «Тридентскому исповеданию веры», закреплявшему средневековые догматы католицизма. Постановления Т. с., формально обязательные для всех католиков, были официально приняты в Савойе, Португалии, Венеции, Польше (с 1577), Испании (с оговорками о сохранении прав короля на назначение епископов и на вмешательство в деятельность церковного суда). Во Франции они не были приняты официально, но французское духовенство в 1615 объявило о своём подчинении им. Решения Т. с. надолго определили деятельность католической церкви эпохи Контрреформации.
Лит.:Richard P., Concile de Trente, v. 1-2, P., 1930-31; J edin Н., Storia del concilio di Trento, Brescia, 1949.
А. Х. Горфункель.
Триджугу
Триджу'гу, посёлок в Непале, на склоне хребта Чуриягхати. Административный центр области (анчолы) Сагарматха. Вблизи, на р. Трисули - ГЭС (мощность 6,8 Мвт).
Тридимит
Тридими'т(от греч. trнdymos - тройной), минерал, одна из полиморфных модификаций кристаллической двуокиси кремния 5102 (см. Кремнезёма минералы ). Обычны примеси Fe, Al, Na и др. Кристаллизуется в виде бесцветных или серых таблитчатых кристаллов, сферических агрегатов, копьевидных двойников, часто тройников. Редкий минерал; встречается обычно в пустотах молодых кислых эффузивных пород, в туфах; обнаружен также в метеоритах и породах Луны. Т., будучи составной частью динаса, определяет его огнеупорные свойства.
Тридон Эдм Мари Гюстав
Тридо'н(Tridon) Эдм Мари Гюстав (1.1.1841, Шатийон-сюр-Сен, - 29.8.1871, Брюссель), французский революционер, бланкист. Был адвокатом, занимался журналистской деятельностью; автор работ по истории Великой французской революции. В 1865 стал издавать газету «Кандид» («Le Candide») (в которой под псевдонимом печатался О. Бланки), вскоре закрытую властями. В 1866 примкнул к 1-му Интернационалу. В 1867 был приговорён к 15-месячному тюремному заключению за участие в тайной бланкистской организации. Член Парижской Коммуны 1871, её Исполнительной, затем Военной комиссий. Примыкал к «меньшинству» Коммуны. После подавления Коммуны эмигрировал в Бельгию.
Тридцатилетняя война 1618-48
Тридцатиле'тняя война' 1618-48, первая общеевропейская война между двумя большими группировками держав: стремившимся к господству над всем «христианским миром» габсбургским блоком (испанские и австрийские Габсбурги), поддержанным папством, католическими князьями Германии и Польско-Литовским государством (Речь Посполита), и противодействовавшими этому блоку национальными государствами - Францией, Швецией, Голландией (республика Соединённых провинций), Данией, а также Россией, в известной мере Англией, образовавшими антигабсбургскую коалицию, опиравшуюся на протестантских князей в Германии, на антигабсбургское движение в Чехии, Трансильвании (движение Бетлена Габора 1619-26), Италии. Первоначально носила характер «религиозной войны» (между католиками и протестантами), в ходе событий, однако, всё более утрачивала этот характер, особенно с тех пор, как католическая Франция открыто возглавила антигабсбургскую коалицию. Т. в. явилась отражением в международной сфере глубинных процессов генезиса капитализма в недрах феодальной Европы; она оказалась тесно связанной с социально-политическими кризисами и революционными движениями этой переходной от средних веков к новому времени эпохи. Роль оплота всеевропейской реакции, защитника отживавших сил феодального общества взяли на себя Габсбурги. С конца 16 в. началось сближение испанской и австрийской ветвей габсбургского дома, которое могло привести к их объединению и возрождению таким образом империи Карла V. Первым препятствием на пути осуществления планов Габсбургов, стремившихся установить своё господство в Европе, были германские протестантские князья, независимость которых в «Священной Римской империи» была закреплена Аугсбургским религиозным миром 1555 . Император Рудольф II начал наступление на права протестантов. В ответ на это германские протестантские князья, стремившиеся закрепить свою самостоятельность и сохранить земли, захваченные ими в ходе Реформации, объединились в Протестантскую унию 1608 . Унию поддержали те феодально-абсолютистские государства, которым в конечном счёте угрожали габсбургские планы (Франция, Англия и др.). Вскоре оформился союз германских католических князей - Католическая лига 1609 , получившая поддержку Испании и папства. В 1617-18 Габсбурги перешли в наступление на привилегии Чехии, сохранявшей ещё некоторую независимость в составе Габсбургской монархии. Поднятое в ответ на это Чешское восстание 1618-20 против Габсбургов оказалось в центре общеевропейского конфликта и стало началом первого - чешского, или чешско-пфальцского, периода (1618-23) Т. в. Глава Протестантской унии Фридрих V Пфальцский был избран чешским королём (1619). Император Фердинанд II, заключив союз с Католической лигой (октябрь 1619) и опираясь на её военную помощь, разгромил войска чешских протестантов (решающее сражение - у Белой Горы 8 ноября 1620). Быстрое падение Чехии дало перевес габсбургско-католическому лагерю. Войска Католической лиги и Испании (под предводительством А. Спинолы) заняли Пфальц (1621-23).
Второй период Т. в. (1625-29) - датский период, так как в войну против Габсбургов вступила Дания, фактически выполнявшая политический план заключивших в 1624 между собой союз Франции, Англии и республики Соединённых провинций за обещанные крупные денежные субсидии (Гаагская конвенция о субсидиях, декабрь 1625). Протестантская Дания к тому же и сама была заинтересована во вступлении в войну, рассчитывая захватить южные побережье Балтийского моря. Основные силы Голландии были направлены на возобновившуюся с 1621 (после так называемого Двенадцатилетнего перемирия 1609) войну с Испанией. Французское правительство, руководимое с 1624 А. Ж. Ришельё, стремилось побудить к войне не только Данию, но и шведского короля Густава II Адольфа, с тем чтобы заставить имперскую армию воевать на 2 фронта. Но этот план постигла неудача, поскольку в северо-восточной Европе в то же время развернулась война Швеции с Польско-Литовским государством, тесно связанным с Габсбургами и являвшимся восточным форпостом лагеря католической реакции, направленным одновременно против России и Швеции. Положение Габсбургов значительно осложнялось подъёмом крестьянского движения в Австрии (см. Крестьянская война 1626 в Верхней Австрии), Чехии и других землях. Однако имперским войскам под командованием А. Валленштейна и войскам Католической лиги под командованием И. Тилли удалось нанести ряд крупных поражений военным силам антигабсбургской коалиции (победа Валленштейна над Э. Мансфельдом, предводителем армии коалиции, при Дессау 25 апреля 1626; победа Тилли над Кристианом IV Датским у Луттера 27 августа 1626) и изгнать в 1627-28 датские войска из пределов Германии. Северная Германия была оккупирована имперскими войсками Валленштейна, приступившего к строительству крупного германского северного флота и проектировавшего вторжение на Датские острова. Дания была вынуждена подписать в мае 1629 Любекский мир на условиях восстановления довоенного положения и выхода из войны. Победа католического лагеря в этот период Т. в. и торжество католической реакции в Германии нашли отражение в издании императором реституционного эдикта 1629 .
В 1628-31 развернулись военные действия между Габсбургами и Францией в Северной Италии - так называемая война за Мантуанское наследство (выделяется некоторыми исследователями в самостоятельный период Т. в.). Однако Ришелье всё ещё не решался на большую войну на территории Германии, пока империя не будет зажата в тиски с двух сторон. При французском, английском и голландском посредничестве между Швецией и Польско-Литовским государством было заключено Альтмаркское перемирие 1629 . Это позволило Швеции бросить военные силы против Габсбургов. Частью общего плана борьбы с габсбургским лагерем было намечавшееся выступление против Речи Посполитой Русского государства (стремившегося вернуть Смоленск и другие русские земли, захваченные польскими интервентами в начале 17 в.). Это должно было сковать силы Польско-Литовского государства.
В июле 1630 шведский король Густав II Адольф вторгся в Северную Германию. Этим начался шведский, или шведско-русский (1630-35), период Т. в. Летом 1631, пользуясь субсидиями Франции (франко-шведский договор в Бервальде, январь 1631) и России (в форме продажи русского зерна Швеции на весьма льготных условиях), Густав Адольф двинулся с первоклассной армией в глубь Германии. Участие Швеции в войне было одним из этапов её борьбы за господство на Балтийском море. Крестьяне (а отчасти и бюргерство) Германии сначала видели в Густаве Адольфе с его армией, ядром которой было свободное шведское крестьянство, освободителя от гнёта князей и дворян. Немецкие протестанты обращали к нему все свои надежды. Но военные успехи, достижение которых было облегчено этой обстановкой, Густав Адольф использовал для сговора с князьями и попыток подчинить империю своей власти. Одержав победу при Брейтенфельде (близ Лейпцига) над армией Тилли (17 сентября 1631) и пройдя через всю Германию, Густав Адольф занял столицу Баварии Мюнхен (май 1632) и создал угрозу австрийским землям Габсбургов. Армия Саксонии (заключившей в сентябре 1631 союз с Густавом Адольфом) вторглась в Чехию и заняла Прагу. В этих условиях император, по требованию князей отстранивший в 1630 Валленштейна, снова поручил ему командование имперской армией (1632). В битве при Лютцене в Саксонин [6(16) ноября 1632] шведские войска одержали победу над имперскими (в этой битве погиб Густав Адольф). Однако общее положение шведской армии, лишившейся социально-политической опоры в Германии, значительно ухудшилось. В 1632 Россия начала войну против Польши (так называемая Смоленская война; см.