TheLib.Ru » Энциклопедии » БСЭ » Большая Советская Энциклопедия (УР) » онлайн-чтение (стр. 2)

     Основные примеры уравнений математической физики.
      Волновое уравнение :

     – простейшее уравнение гиперболического типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой части которых добавлены известные функции) – телеграфное уравнение и т.д. Уравнения и системы этого типа появляются при анализе различных колебаний и волновых процессов. Свойства уравнений и систем гиперболического типа во многом аналогичны свойствам приведённых простейших таких уравнений.
      Лапласа уравнение :

– простейшее уравнение эллиптического типа и соответствующее неоднородное уравнение – Пуассона уравнение.Уравнения и системы эллиптического типа появляются обычно при анализе стационарных состояний. Теплопроводности уравнение :

     – простейший пример уравнения параболического типа. Уравнения и системы параболического типа появляются обычно при анализе процессов выравнивания.
     Первым примером уравнений смешанного типа явилось т. н. уравнение Трикоми:

Для этого уравнения полуплоскость

служит зоной эллиптичности, полуплоскость у< 0 – зоной гиперболичности, а прямая у= 0 – зоной параболичности.
     Ряд задач математической физики приводит к интегральным уравнениям различных типов. Так, например, интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимого переменного (например, времени, энергии и т.д.). В задаче о крутильных колебаниях возникает некоторое интегро-дифференциальное уравнение .
     Постановка задач и методы решения уравнений математической физики. На первом этапе развития теории У. м. ф. много усилий было затрачено на отыскание их общего решения. Уже Ж. Д'Аламбер (1747) получил общее решение волнового уравнения. Основываясь на подстановках, применявшихся Л. Эйлером (1770), П. Лаплас предложил (1773) «каскадный метод», дающий общее решение некоторых др. линейных однородных гиперболических уравнений 2-го порядка с двумя аргументами. Однако такое общее решение удалось найти в весьма редких случаях; в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными не выделено ни одного сколько-нибудь значительного класса уравнений, для которых общее решение может быть получено в виде достаточно простой формулы. Кроме того, оказалось что при анализе физических процессов У. м. ф. обычно появляются вместе с дополнительными условиями, характер которых коренным образом влияет на направление исследования решения (см. Краевые задачи, Коши задача).
     Широкое распространение получили методы приближённого решения краевых задач, в которых задача сводится к решению системы алгебраических (обычно линейных) уравнений (см. Ритца и Галёркина методы. Сеток метод) .При этом за счёт увеличения числа неизвестных в системе можно достичь любой степени точности приближения.
     Лит.:Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Годунове. К., Уравнения математической физики, М., 1971; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972.

реакций химических посредством знаков химических, формул химических,чисел и математических знаков. На возможность такого описания химических реакций указал в 1789 А. Лавуазье,основываясь на сохранения массы законе;однако всеобщее применение У. х. получили только в 1-й половине 19 в. Каждое У. х. состоит из двух частей – левой и правой, соединённых знаком равенства (иногда для обозначения направления реакции – простой стрелкой ®, а реакции обратимой – двойной .). В левой части пишут формулы исходных веществ, в правой – формулы полученных веществ; между формулами ставят знак +. При составлении У. х. принимают, что масса полученных веществ равна массе исходных и что число атомов одних и тех же элементов должно быть в обеих частях У. х. одинаковым. Перед формулами исходных и полученных веществ ставят коэффициенты, которые должны быть целыми числами. Например, зная, что при горении метана в кислороде образуются вода и двуокись углерода, можно сразу написать У. х. этой реакции:
     CH ₄+ 2O ₂= 2H ₂O + CO ₂. (1)
     В более сложных случаях применяют приёмы, описанные в ст. Окисление-восстановление,а также способ, основанный на решении систем неопределённых уравнений. Например, требуется подобрать коэффициент У. х. обжига пирита FeS ₂в кислороде:
     xFeS ₂+ yO ₂= 2Fe ₂O ₃+ tSO ₂. (2)
     Очевидно, что х =2 z, t =2 x, 1y = 3z + 2t.Положив z= 1, имеем: х= 2, t= 4, у= 5,5. Умножив эти числа на 2, получаем: 4FeS ₂+ 11O ₂= 2Fe ₂O ₃+ 8SO ₂.
     На основании У. х. делаются расчёты, необходимые в лабораторной и заводской практике.
     Лит.:Некрасов Б. В., Основы общей химии, 3 изд., т. 1, М., 1973.
    С. А. Погодин.

телевизионного сигнала (до и после кадрового синхронизирующего импульса – КСИ). У. и. вводят в состав сигнала синхронизации при чересстрочной развёртке в целях устранения различия в форме чётных и нечётных КСИ, которое появляется при выделении последних из сигнала синхронизации (интегрирующим фильтром) вследствие неодинакового расположения в них строчных синхронизирующих импульсов. Длительность У. и. ~2,5 мксек;частота следования равна двойной строчной частоте. Количество У. и. определяется требованиями по идентичности чётных и нечётных КСИ и обычно равно 5–6.
Лит.см. при ст. Телевидение.

наименьших квадратов способа так, чтобы сумма квадратов всех поправок была наименьшей. В этом случае вычисления называют строгими и неизвестные (поправки), определяемые из такого рода У. в., имеют вероятнейшие значения.
     Так, в простейшем примере плоского треугольника сумма углов должна строго равняться 180°. Измеренные углы вследствие ошибок измерения этому условию, вообще говоря, не удовлетворяют и должны быть исправлены прибавлением соответствующих поправок. Из всего бесконечного множества поправок, которые приводят сумму измеренных углов к 180°, лишь одна система поправок обладает тем свойством, что сумма квадратов их есть минимум; такая система считается вероятнейшей. В приведённом примере это имеет место, если невязку разложить поровну на все три угла.
     Однако применение способа наименьших квадратов к уравниванию измеренных величин вполне законно только в том случае, когда ошибки их имеют случайный характер. Строгое уравнивание геодезических сетей, особенно больших по размерам, сопряжено с рядом трудностей технического и организационного характера. Поэтому на практике часто применяются различные упрощённые способы У. в. В геодезической практике как при строгом, так и при упрощённых У. в. широко используются главным образом два способа уравнивания: способ условных измерений и способ посредственных измерений. При первом способе поправки отыскивают непосредственно к измеренным величинам, при втором – к их функциям (как правило, координатам).
     Всякий способ уравнивания состоит из следующих основных процессов: предварительных (подготовительных) вычислений, составления условных уравнений или уравнений погрешностей, составления нормальных уравнений, решения нормальных уравнений и оценки точности измеренных и уравненных величин. При большом числе нормальных уравнений наиболее трудоёмкой частью У. в. является их решение, поэтому оно обычно осуществляется на ЭВМ. Уравнения могут решаться методом последовательного исключения неизвестных (схема Гаусса) или методом итерации (приближений). Иногда нормальные уравнения не составляют; в этом случае неизвестные определяют непосредственно из решения или условных уравнений, или уравнений погрешностей. В некоторых случаях при обработке материалов геодезических измерений невысокой точности уравнивание результатов выполняют графическим способом.