Равносильные уравнения ) .Например, У. х– 4 = 0 и 2 x– 8 = 0 равносильны, т.к. решением обоих У. является лишь х =4. Всякая система У. равносильна системе вида f _k( x ₁ , x ₂ ,..., х _п) = 0, где k =1, 2,... Процесс разыскания решений У. заключается обычно в замене У. равносильным. В некоторых случаях приходится заменять данное У. другим, для которого совокупность решений шире, чем у данного У. Решения нового У., не являющиеся решениями данного У., называются посторонними решениями (см. Посторонний корень ) .
     Например, возводя в квадрат У. , получают У. x- 3 = 4, решение которого х= 7 является посторонним для исходного У. Поэтому, если при решении У. делались действия, могущие привести к появлению посторонних решений (например, возведение У. в квадрат), то все полученные решения преобразованного У. проверяют подстановкой в исходное У.
     Наиболее изучены У., для которых функции f _kявляются многочленами от переменных x ₁ , x ₂ ,..., х _п , –алгебраические У. Например, алгебраическое У. с одним неизвестным имеет вид:
     a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^n-1 +... + a _n= 0 ( a ₀¹ 0); (*)
     число nназывается степенью У. Решение алгебраич. У. было одной из важнейших задач алгебры в 16–17 вв., когда были получены формулы и методы решения алгебраических У. 3-й и 4-й степеней (см. Алгебра, Кардано формула) (правила решения алгебраических У. 1-й и 2-й степеней были известны ещё в глубокой древности). Для корней У. 5-й и высших степеней общей формулы не существует, поскольку эти У., вообще говоря, не могут быть решены в радикалах (Н. Абель,1824). Вопрос о разрешимости алгебраических У. в радикалах привёл (около 1830) Э. Галуа к общей теории алгебраических У. (см. Галуа теория ) .
     Каждое алгебраическое У. всегда имеет хотя бы одно решение, действительное или комплексное. Это составляет содержание т. н. основной теоремы алгебры, строгое доказательство которой впервые было дано К. Гауссом в 1799. Если a – решение У. (*), то многочлен a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^n-1 +... + a _n делится на х –a .Если он делится на ( х –a) ^k ,но не делится на ( х –a) ^k+1, то решение a имеет кратность k.Число всех решений У. (*), если каждое считать столько раз, какова его кратность, равно n.
     Если f( x) – трансцендентная функция,то У. f( x) =0 называются трансцендентным (см., например, Кеплера уравнение ) ,причём в зависимости от вида f( x) оно называется тригонометрическим У., логарифмическим У., показательным У. Рассматриваются также иррациональные У., то есть У., содержащие неизвестное под знаком радикала. При практическом решении У. обычно применяются различные приближённые методы решения У.
     Среди систем У. простейшими являются системы линейных У., то есть У., в которых f _kсуть многочлены первых степеней относительно x ₁ , x ₂ ,..., х _п(см. Линейное уравнение ) .
     Решение системы У. (не обязательно линейных) сводится, вообще говоря, к решению одного У. при помощи т. н. исключения неизвестных (см. также Результант ) .
     В аналитической геометрии одно У. с двумя неизвестными интерпретируется при помощи кривой на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют данному У. Одно У. с тремя неизвестными интерпретируется при помощи поверхности в трёхмерном пространстве. При этой интерпретации решение системы У. совпадает с задачей о разыскании точек пересечения линий, поверхностей и т.д. У. с большим числом неизвестных интерпретируются при помощи многообразий в n-мерных пространствах.
     В теории чисел рассматриваются неопределенные У., то есть У. с несколькими неизвестными, для которых ищутся целые или же рациональные решения (см. Диофантовы уравнения ) .Например, целые решения У. x ² + y ² = z ² вид х = m ² -n ² , у =2 mn, z = m ² + n ² где mи n –целые числа.
     С наиболее общей точки зрения, У. является записью задачи о разыскании таких элементов некоторого множества А,что F( a) = Ф( а), где Fи Ф – заданные отображения множества Ав множество В.Если множества Аи Вявляются множествами чисел, то возникают У. рассмотренного выше вида. Если Аи В– множества точек в многомерных пространствах, то получаются системы У., если же Aи В– множества функций, то в зависимости от характера отображения могут получаться также дифференциальные уравнения, интегральные уравненияи др. виды У. Наряду с вопросами нахождения решения У. в общей теории У. различного вида изучаются вопросы существования и единственности решения, непрерывной зависимости его от тех или иных данных и т.д.
     Термин «У.» употребляется (в отличном от указанного выше смысле) и в др. естественных науках, см., например, Уравнение времени (в астрономии), Уравнение состояния (в физике), Уравнения химические, Максвелла уравненияв электродинамике, Кинетическое уравнение Больцмана в теории газов.