Страница:
Д.С. Вообще завет, которому нужно следовать, когда пытаешься применить математику где-нибудь вне её поля деятельности, такой: сначала нужно очень долго и внимательно слушать, что говорят специалисты. Очень плохо, когда математик идёт и начинает предлагать от того места, что он знает. А лучше всегда сначала очень-очень долго слушать, что говорят. Я в этом смысле нахожусь в тепличных условиях, у меня сын специалист по систематике растений. Я, собственно, через него познакомился с Алексеем Асафьевичем, и у нас дома такой постоянно действующий семинар по интересным вопросам науки.
А.Г. Повезло вам, да.
Д.С. Понимаете, создаётся действительно до некоторой степени парадоксальная ситуация. Вот московская школа ботаников видит гораздо меньше видов, чем санкт-петербургская, ленинградская школа ботаников. Само количество видов зависит от точки зрения. Такие на самом деле ситуации в математике известны. Тут немножко сбивает с толку то, что если мы попытаемся виды изобразить, как точки в каком-то пространстве, то это пространство лишь умопостигаемое. Я сейчас приведу пример, в котором тоже есть нечто подобное, только там ситуацию легче визуализировать. Можно следующую картинку?
Сейчас будет такая штука, которая называется «шкала геомагнитной полярности». Так в геологии принято показывать время. Это ось времени, разрезанная на три кусочка. Ось времени за 160 с чем-то миллионов лет. Указаны промежутки времени, когда ось магнитного диполя имела такое же направление, как сейчас. Они черненьким показаны. А беленьким – когда она была направлена прямо противоположно. Оказывается, что в ходе геологической истории ось магнитного диполя Земли быстренько переворачивается, практически мгновенно по геологическим масштабам.
Казалось бы, простой вопрос: сколько на этом рисунке зарегистрировано смен направлений геомагнитного поля. Казалось бы, совершенно ерундовый вопрос. Возьмём и посчитаем. Оказывается, это очень сильно зависит от того, с каким вы разрешением на принтере напечатаете эту картинку. Это показатель того, что на самом деле число инверсий здесь плохо определено. Число инверсий зависит от временного разрешения. Геологи так и описывают эту ситуацию. Вот есть, как они говорят, хроны, где преимущественно белое направление магнитного поля. Хроны, где были частые инверсии. Хроны, где было черненькое направление магнитного поля. А вопрос о том, сколько было конкретно инверсий, он не вполне хорошо определён. И если мы попытаемся измерять количество этих хрон, то их число будет расти в зависимости от временного разрешения заметно, степенным образом. Вот такие множества, они называются «фрактальными».
Это вообще интересная история. Слово «фрактал» вошло в науку с подачи учёного наших дней – Мандельброта, а на самом деле идея была высказана в 18-м году замечательным математиком Феликсом Хаусдорфом. Только он таких слов хороших не знал. Он сформулировал понятие «дробной размерности», мы его попозже посмотрим на других картинках. Множество точек на временной оси, когда случались инверсии, это множество с дробной размерностью. Оно занимает промежуточное положение между дискретным набором точек и непрерывной прямой. Все признаки того, что нечто подобное случается в гораздо более сложном пространстве признаков видов, налицо.
То есть складывается впечатление, что вопрос о том, сколько видов бывает одуванчиков поставлен не совсем правильно.
А.О. Или сколько видов во флоре Московской области.
Д.С. Да, сколько видов одуванчиков во флоре Московской области – это не совсем корректный вопрос.
А.О. Не обязательно одуванчиков, а вообще, сколько видов растений во флоре Московской области.
Д.С. По-видимому, какие-то хорошо определённые виды, разграниченные, организуются в роды, семейства, и так далее, а есть места в этом биологическом разнообразии, где эта структура выражена хуже. Здравый смысл подсказывает, что, наверное, там и происходит развитие биоразнообразия.
А.О. Как раз ваш доклад навёл на мысль о том, что вид, помимо того, что он представляет собой некий природный объект, может рассматриваться как место. Именно место. А место – штука, если вдуматься, очень странная. Вот у нас комната, в ней есть места для стула, для стола и так далее. Но мы не можем сказать, сколько в комнате мест. Место – такой странный объект, который устроен фрактально. Стол находится в комнате, в Москве, в России, на земном шаре. И представление о виде именно как о некотором месте в естественной системе, на мой взгляд, достаточно продуктивно. Конечно, вид можно рассматривать как группу особей, которые между собой скрещиваются или обладают какими-то общими признаками. Однако такое топологическое представление вида просто как места может быть полезно и для систематики, и для флористики.
Но сейчас, наверное, стоит перейти к ещё одному сюжету, связанному с применением математики, математических подходов в систематике растений. История с ним достаточно поучительна. В 1960-е годы немецкий энтомолог Вилли Хенниг разработал некоторый алгоритм для определения родственных отношений между группами организмов. Покажите, пожалуйста, следующую иллюстрацию.
Систематик работает с матрицей данных. Я здесь просто привёл пример такой матрицы данных. У нас есть четыре самых разных организма: лягушка, черепаха, ворона, кошка. И некоторый набор признаков. Здесь для примера пять признаков. У нас есть некоторое представление об эволюции этих признаков, исходящее из каких-то общебиологических представлений. И мы можем чисто формально построить так называемую «кладограмму», то есть дерево, иллюстрирующее родственные связи между данными организмами. Здесь получается, что положение вороны при данном наборе признаков оказывается несколько противоречивым, в то время как положение черепахи или кошки более-менее понятно. К кому ближе ворона – к кошке или к черепахе? Я подчёркиваю, это пример достаточно умозрительный. Реально всё сложнее. Но здесь возможны два варианта. С кошкой ворону сближает теплокровность, с черепахой её сближает сухая кожа, кожа, лишённая желез. И как раз существуют вычислительные алгоритмы для подобных операций, для построения подобных деревьев, и когда таких признаков и таких групп организмов сотни, то и таких неясных ситуаций тоже накапливается много. И поэтому долгое время систематики относились с большим скепсисом к таким кладистическим подходам. До 90-х годов, когда были усовершенствованы методы молекулярной биологии, и секвенирование, то есть определение последовательности ДНК, стало, в общем, рутинной лабораторной процедурой. Если не в России, по бедности, то на Западе. Сейчас это вопрос денег и небольшого количества рабочего времени. И как оказалось, сейчас…
Д.С. Но всё-таки в России тоже возможно…
А.О. Сейчас у нас, слава Богу, это тоже вполне возможно. В Москве существует лидирующая группа по молекулярной систематике под руководством Андрея Сергеевича Антонова при Московском университете…
Д.С. Да, я как представитель Московского университета не могу молчать…
А.О. Мы в нашем Ботаническом институте очень гордимся, что этой зимой мы провели первый секвенс, наконец-то освоили. То есть одно дело Москва, другое дело – остальная Россия. Это тоже не надо забывать.
Д.С. Ну, не надо… У вас всё-таки лидирующий ботанический институт в России…
А.О. Сейчас вопрос о чисто техническом оснащении. Так или иначе, обнаружились объекты, которых можно брать много, строить матрицы данных с очень большим числом равновесомых признаков. Тот нуклеотид или иной нуклеотид в данной позиции – вот вам и признак. Этих нуклеотидов тысячи. И если для морфологических признаков, которые видны простым глазом, этот подход действительно не очень работал, во-первых, потому что признаков не так много, а во-вторых, а может быть, даже во-первых, потому что эти признаки заведомо неравнозначны, и вообще любой объект мы можем расчленить на неопределённое число признаков, то последовательности ДНК дают нам совершенно объективное расчленение на чёткие и равновесомые признаки. И вот сейчас молекулярная систематика стала достаточно мощной областью, она уже прочно вошла, собственно, в ботанику. Хотя это и порождает определённые проблемы. Тут, наверное, вы расскажете лучше…
Д.С. Вы знаете, тут просто целый комплекс очень интересных математических задач. Во-первых, эти все алгоритмы требуют совершенно бешеного машинного времени. И в особенности оно нужно для того, чтобы сделать результаты по-настоящему убедительными. Даже несмотря на то, что сейчас персональные компьютеры очень быстро работают, эта задача явно не для персональных компьютеров. Очень здорово, что мы не только в молекулярной биологии проходим этапы технического совершенствования, но и в вычислительной математике. И буквально за последние года два, наверное, может, три стало реальным систематически пользоваться компьютерными кластерами. А эти задачи буквально идеально приспособленные для компьютерных кластеров. Тут нужно опробовать много вариантов кладограммы, дерева, которое мы смотрели. И можно очень здорово распараллелить эти задачи, поручить разным процессорам компьютерным изучать разные варианты. Вообще говоря, когда вы собираете кластеры из большого числа компьютерных процессоров, очень-очень не просто сделать так, чтобы они все были эффективно загружены. У нас сейчас в университете в вычислительном центре появился такой достаточно мощный кластер, а есть и в Академии наук, и в других местах. Это очень серьёзная область математики, как сделать хорошую загрузку разных процессоров.
Есть другая проблема. Классическая вычислительная математика сначала была проговорена и продумана ещё в докомпьютерную эпоху, когда сначала долго объясняли, как этот алгоритм работает и почему его так надо организовывать, а не как-нибудь по-другому. Я верю, что те, кто писал кладистические программы, хорошо понимают, почему они должны работать именно так. Но это знание, оно в очень многом не очевидно. И вот для компьютерной реализации это очень необычная ситуация, когда вроде бы есть работающая программа, а как она точно работает и почему – пользователи затрудняются объяснить. Ну, с этим тоже, по-видимому, удастся сладить. Но в целом это очень привлекательная задача – сделать так, чтобы эти программы пошли на кластерах параллельных компьютеров и чтобы действительно мы понимали не просто рецептурно, как она работает, а концептуально.
А.О. К сожалению, очень немногие систематики, пользователи подобных программ, вообще задаются вопросом: а что там внутри этой программы? То есть признаки грузят, на выходе получают кладограмму. Она им нравится или не нравится, и какие-то меняют условия, играют. А смысл того, что внутри, к сожалению, остаётся, как правило, за кадром. Тут возникает масса недоразумений. Лично я смотрю на эти программы и на эти деревья как на своего рода карты, карты разнообразия живого. Это отнюдь не генеалогические деревья, не дерево, которое изображает историю, буквальный исторический сценарий, как развивались данные таксоны, а именно как карта. И, точно так же, как в географии, существуют разные способы спроецировать земную поверхность, которая отнюдь не ровная, на плоскость карты. Существуют разные проекции. Существуют разные системы координат. Аналогично и здесь. Просто разные программы, насколько я понимаю, отличаются способом проецирования эмпирического разнообразия живых организмов на некоторую идеальную плоскость или на некоторое идеальное пространство. Но тут, наверное, можно перейти к распознаванию…
Д.С. Распознавание образов вообще очень тяжёлая область математики, где с большой кровью и с большим трудом даётся прогресс. Есть такие очевидные вещи, которые человек легко решает. Я субъективно уверен, скажем, что вы не марсианин, а объяснить это компьютеру – очень непростая задача. И её, в общем, нужно решать совместно и математикам и биологам. С моей точки зрения, для того чтобы подобные программы начали хорошо работать, должны появиться люди, которые в одной своей ипостаси, скажем, ботаники, а в другой – специалисты, скажем, по вычислительной математике.
Это трудно, но исторически примерно так развивалась, скажем, математическая физика. Были у её истоков такие люди, например, как Андрей Николаевич Колмогоров. Математик, но писал и чисто физические работы. Скажем по теории турбулентности, за которые любому, самому заядлому физику памятник нужно ставить. Нужно, чтобы такие же люди появились у того места, где внедряются компьютерные программы.
А.О. Тогда, может быть, надо говорить немножко иначе. Да, действительно, я уже сказал, что вид – это то, что считает видом компетентный систематик. То есть, виды обычно распознаются «в лицо». И для того чтобы научить распознавать других людей, несистематиков, указываются идентификационные признаки, определительные признаки. Но часто эта задача достаточно сложна. Здесь и нужно помочь несистематикам распознавать виды. Вот это – запрос от ботаников к математикам, который, как я понимаю, пока не вполне удовлетворён.
Д.С. Вполне не удовлетворён.
А.О. Что касается вашего рассуждения, я думаю, что сейчас появляется определённого рода профессия под названием «когнитология», наука об интервьюировании экспертов. Мы имеем дело не с субъективным, а так называемым экспертным знанием, и задача когнитолога поговорить, понять, раскрыть опыт, личный опыт эксперта, и формализовать его в таком виде, чтобы представить его в виде компьютерной программы.
Но теперь нам, наверное, стоит перейти к области ботаники, в которой нужда в применении математики прямая и непосредственная, это морфология растений. Когда речь идёт о форме растений, то тут само напрашивается применение геометрии. Здесь вот существуют разные подходы, один из них развивается в Москве, в Зоологическом музее при Университете, где работает Игорь Яковлевич Павлинов. Он пропагандирует подход под названием «геометрическая морфометрия». Его статью об этом я прочитал буквально три дня назад в «Журнале общей биологии», в самом последнем выпуске. Подход в том, что описывается разнообразие формы некоего органа или целого организма, а затем выявляются правила топологического преобразования этой формы. Я видел эту работу, она любопытна, но пока лично я не знаю, как осмысленно применить этот метод для себя, для моих узких задач. Но я надеюсь, что, может быть, для распознавания видов он может быть и применён.
Д.С. Морфология, которая является одним из базисов систематики, – наука о форме, и геометрия тоже наука о форме, только морфология растений – наука о форме растения, геометрия – наука о форме вообще. Тут общность интересов очевидна. Вопрос в том, как развить те геометрические подходы, которые действительно нужны. И тут мы ещё раз выходим на применение фракталов. Действительно, многие растения демонстрируют нечто похожее на фракталы. Фракталы – это не просто объекты промежуточной размерности, это, как правило, объекты, у которых есть, как говорят, самоподобие. Они в малом устроены так же, как в большом.
А.Г. Значит, он опознаётся по любому участку.
Д.С. Да, опознаётся. Но нужно, наверное, иллюстрацию показать какую-нибудь.
А.О. Использование фрактальных подходов в морфологии растений, в большой мере было подготовлено морфологическими исследователями французских ботаников. С одной стороны, это так называемая концепция архитектурных моделей, которая была предложена французскими ботаниками Алле и Олдеманом в 70-е годы. Эти ботаники долгое время работали во Французской Гвиане. Они столкнулись с необходимостью описывать структуру вегетативного тела тропических деревьев, но у них не было концептуального аппарата. Оказалось, что та морфология растений, те концепции, которые сложились у нас в Европе, в лесах умеренного пояса, в тропиках не работают. И тогда Алле и Олдеман предложили концепцию так называемых архитектурных моделей. Дерево рассматривается как конструкция, состоящая из модулей, которые в определённой последовательности нарастают друг на друга. Есть разные типы модулей, разные способы нарастания, и модели строятся комбинаторно. То есть, у одних деревьев идёт непрерывное нарастание, скажем, одной вертикальной оси, у других происходит перевершинивание. Одна ось кончается цветком, то есть рост останавливается, у других осей рост открытый. Возможно горизонтальное положение побегов, а возможно и вертикальное. Всего известно 23 архитектурных модели, некоторые комбинации не могут быть реализованы в природе. Фактически, эта такая структуралистская концепция, которая, кстати, развивалась одновременно с работами Леви-Стросса. Я не знаю, читали ли Алле и Олдеман работы знаменитых французских структуралистов-гуманитариев, но наверняка интеллектуальная атмосфера того времени располагала к созданию подобных концепций…
Д.С. Можно я про интеллектуальную атмосферу два слова скажу? Честность научная заставляет сказать, что впервые на это обратил внимание Свифт. У него есть хорошие стихи, которые всегда по этому поводу цитируются. Он не только «Путешествия Гулливера» написал. У него есть ещё замечательные поэмы, рапсодия «О поэзии», в которой он пишет (перевод Маршака):
А.О. Ну, тогда попросим следующую иллюстрацию. Вот другая концепция, тоже пришедшая из Франции, это концепция псевдоциклов. Концепция псевдоциклической эволюции, которая была предложена в 30-е годы французским биологом Госаном. Он обратил внимание, что у многих организмов, не только у растений, но, например, у колониальных животных, наблюдается удивительное сходство частей и целого, и рассмотрел это как общую тенденцию эволюции. Например, вот как на этой иллюстрации. Слева мы видим соцветие простой зонтик, у примулы, например, справа мы видим соцветие сложный зонтик, типичный для зонтичных – морковки или, например, тмина. Здесь видим, что структура повторяется на следующем уровне. Но интересно, что эволюция идёт в направлении, во-первых, упрощения этих частей. То есть, эти простые зонтички в сложном зонтике в процессе эволюции редуцируются до одного цветка. А с другой стороны, вся побеговая система превращается в зонтик следующего порядка. И вот Татьяна Валентиновна Кузнецова, выдающийся морфолог, работавшая на кафедре высших растений в Московском Университете, и, к сожалению, безвременно оставившая нас, специально занималась псевдоциклами у соцветий зонтичных. Она проследила до 5 псевдоциклов у разных зонтичных. То есть, вот пример самоподобия, а заодно и фрактальных свойств (таких как автомодельная симметрия) у соцветий. Это как раз та биологическая концепция, которая просто напрашивается на математизацию.
Д.С. Фракталы вошли в физику, отталкиваясь от свойства самоподобия. Хоусдорф понятие этой самой размерности в 18-м году сформулировал, но это всё-таки была трудная математическая работа. А было такое событие, о котором всегда принято рассказывать. Замечательный гидромеханик Ричардсон во время мировой войны хотел сделать что-то хорошее. Его послали изучить, какова длинна береговой линии Англии. Понятное дело, нужно как-то страну оборонять, нападения с моря бывают. Вот он поизучал-поизучал вопрос и пришёл к выводу, что бесконечная длина у береговой линии. Это даже лучше видно на береговой линии Норвегии. У нас есть рисуночек с длиной береговой линии Норвегии из известной книжки Федера о фракталах. Видно, что вопрос о том, какова длина той кривой, которая изображена на рисунке, зависит от того, в каком масштабе мы её изучаем. Выбираем квадратики побольше, и, игнорируя тонкую структуру, длина береговой линии одна. Начинаем отслеживать все эти фиорды, всю эту мелочь – длина береговой линии начинает расти. И вот в зависимости от степени разрешения, она растёт больше, больше… И никакого определённого числа нет.
А.Г. То есть это всё-таки конечная величина?
Д.С. Конечно, если вы, совсем, буквально микроскопическими масштабами оперируете, встаёт вопрос, как движется береговая линия во время приливов и отливов. Вопрос теряет просто смысл. Но есть диапазон масштабов, где действительно наблюдается степенная зависимость длины линии береговой от степени разрешения. Да, это действительно очень похоже на то, что получается для растений. Даже в книжках по фрактальной геометрии есть картинки, которые называют листьями папортника. Они возникают, когда люди хотят проиллюстрировать, что такое фрактал. А с другой стороны, люди, которые хотят объяснить, как устроена архитектура растений, буквально такие же картинки рисуют безотносительно ко всяким фракталам. Наверное, стоит показать эти рисунки.
Это картинка более или менее произвольная из того же Федера. Такого характера растения вполне могут существовать.
А.О. Водоросли, конечно.
Д.С. А на самом деле, эта картинка, иллюстрирующая, как происходят построения кластеров химических соединений. А сейчас будут картинки из ботаники. Вот, это очень изрезанная картинка, видны ярусы, как строится организация…
А.О. Самое главное для меня – это впечатляющее самоподобие, то есть сходство части и целого. В чём может быть тут ещё интерес? В традиционной морфологии растений и животных рассматриваются два типа сходства между частями организма – гомология и аналогия. Скажем, рука человека гомологична крылу птицы, потому что эти конечности имеют общее происхождение, хотя и разные функции. Глаз человека аналогичен глазу осьминога. Это значит, что происхождение у них разное, но функция одна. Но в обоих этих примерах всё равно сравниваются именно части. А вот тут, когда мы имеем дело с фрактальными объектами, часть сравнивается с целым. И как раз эти работы дают законное основание для такого рода сравнения. Это несколько нетрадиционно для биологической морфологии.
Д.С. Я впервые об этом узнал от Татьяны Валентиновны Кузнецовой. Она меня пригласила на школу для студентов-биологов кое-что из математики рассказать. Она там блестящий доклад сделала. Я просто тогда был потрясён, потому что всегда думаешь, ну, нарисовали там какие-то красивые картинки математические, а что действительно так бывает в живой природе… Конечно, огромная потеря, что она так рано от нас ушла.
А.О. Как раз, наверное, следующую картинку стоит показать. То, на что вот смотрите, это растение вполне натуральное, смоделированное на основе этих фрактальных подходов. И подобные модели позволяют уже заниматься довольно тонким анализом биологического смысла этой фрактальной организации. То есть, скажем, здесь можно рассмотреть, как листья затеняют друг друга. Или что будет, если верхушку побега отгрызёт какое-нибудь насекомое, как изменится рост. Соответственно, можно моделировать различные стратегии адаптивности, приспособления к условиям среды. То есть эти модели, с одной стороны, красивы и эстетичны, а с другой стороны, приобретают совершенно явный биологический смысл.
Д.С. В таких вопросах очень легко увлечься внешней аналогией. Но на самом деле есть мотивация биологическая, почему фрактальная природа может быть значима. В своё время Галилей обратил внимание на то, что в живой природе должно быть такое ограничение. Представим себе, какие бы мы были, если бы жили на Юпитере. Галилей рассматривает этот вопрос в одной из своих книг. И приходит к выводу, что мы должны были бы быть карликами, потому что объём тела пропорционален кубу размера, а прочность костей пропорциональная квадрату размера. Но не вся правда в этой идее Галилея. На самом деле, если мы организуем такое модульное строение растения и разрешаем ему быть фракталом, то само понятие объёма тела и площади поверхности преобразуются и можно выскочить из этой связки между объёмом и площадью поверхности. Не исключено, что природа пользовалась этой опцией, как говорится.
А.О. Но я бы к этому отнёсся немножко иначе, на мой взгляд, всё-таки все эти фрактальные эффекты – это результат общего строения, общей конституции растительного тела. Для него характерен, во-первых, открытый рост, это значит, что каждый последующий прирост встраивается в предыдущее тело. В этом – их отличие от животных, у которых что-то вырастает, но что-то постоянно теряется. И, с другой стороны, тут важна именно модульная организация. Таковы конститутивные свойства растительной формы, но они относятся также и к грибам также, грибы всё-таки это другое царство, нежели растения. На основе этих свойств мы получаем фрактальные эффекты, подобие частей и целого, и в каких-то конкретных ситуациях они безусловно, имеют приспособительное значение…
А.Г. Повезло вам, да.
Д.С. Понимаете, создаётся действительно до некоторой степени парадоксальная ситуация. Вот московская школа ботаников видит гораздо меньше видов, чем санкт-петербургская, ленинградская школа ботаников. Само количество видов зависит от точки зрения. Такие на самом деле ситуации в математике известны. Тут немножко сбивает с толку то, что если мы попытаемся виды изобразить, как точки в каком-то пространстве, то это пространство лишь умопостигаемое. Я сейчас приведу пример, в котором тоже есть нечто подобное, только там ситуацию легче визуализировать. Можно следующую картинку?
Сейчас будет такая штука, которая называется «шкала геомагнитной полярности». Так в геологии принято показывать время. Это ось времени, разрезанная на три кусочка. Ось времени за 160 с чем-то миллионов лет. Указаны промежутки времени, когда ось магнитного диполя имела такое же направление, как сейчас. Они черненьким показаны. А беленьким – когда она была направлена прямо противоположно. Оказывается, что в ходе геологической истории ось магнитного диполя Земли быстренько переворачивается, практически мгновенно по геологическим масштабам.
Казалось бы, простой вопрос: сколько на этом рисунке зарегистрировано смен направлений геомагнитного поля. Казалось бы, совершенно ерундовый вопрос. Возьмём и посчитаем. Оказывается, это очень сильно зависит от того, с каким вы разрешением на принтере напечатаете эту картинку. Это показатель того, что на самом деле число инверсий здесь плохо определено. Число инверсий зависит от временного разрешения. Геологи так и описывают эту ситуацию. Вот есть, как они говорят, хроны, где преимущественно белое направление магнитного поля. Хроны, где были частые инверсии. Хроны, где было черненькое направление магнитного поля. А вопрос о том, сколько было конкретно инверсий, он не вполне хорошо определён. И если мы попытаемся измерять количество этих хрон, то их число будет расти в зависимости от временного разрешения заметно, степенным образом. Вот такие множества, они называются «фрактальными».
Это вообще интересная история. Слово «фрактал» вошло в науку с подачи учёного наших дней – Мандельброта, а на самом деле идея была высказана в 18-м году замечательным математиком Феликсом Хаусдорфом. Только он таких слов хороших не знал. Он сформулировал понятие «дробной размерности», мы его попозже посмотрим на других картинках. Множество точек на временной оси, когда случались инверсии, это множество с дробной размерностью. Оно занимает промежуточное положение между дискретным набором точек и непрерывной прямой. Все признаки того, что нечто подобное случается в гораздо более сложном пространстве признаков видов, налицо.
То есть складывается впечатление, что вопрос о том, сколько видов бывает одуванчиков поставлен не совсем правильно.
А.О. Или сколько видов во флоре Московской области.
Д.С. Да, сколько видов одуванчиков во флоре Московской области – это не совсем корректный вопрос.
А.О. Не обязательно одуванчиков, а вообще, сколько видов растений во флоре Московской области.
Д.С. По-видимому, какие-то хорошо определённые виды, разграниченные, организуются в роды, семейства, и так далее, а есть места в этом биологическом разнообразии, где эта структура выражена хуже. Здравый смысл подсказывает, что, наверное, там и происходит развитие биоразнообразия.
А.О. Как раз ваш доклад навёл на мысль о том, что вид, помимо того, что он представляет собой некий природный объект, может рассматриваться как место. Именно место. А место – штука, если вдуматься, очень странная. Вот у нас комната, в ней есть места для стула, для стола и так далее. Но мы не можем сказать, сколько в комнате мест. Место – такой странный объект, который устроен фрактально. Стол находится в комнате, в Москве, в России, на земном шаре. И представление о виде именно как о некотором месте в естественной системе, на мой взгляд, достаточно продуктивно. Конечно, вид можно рассматривать как группу особей, которые между собой скрещиваются или обладают какими-то общими признаками. Однако такое топологическое представление вида просто как места может быть полезно и для систематики, и для флористики.
Но сейчас, наверное, стоит перейти к ещё одному сюжету, связанному с применением математики, математических подходов в систематике растений. История с ним достаточно поучительна. В 1960-е годы немецкий энтомолог Вилли Хенниг разработал некоторый алгоритм для определения родственных отношений между группами организмов. Покажите, пожалуйста, следующую иллюстрацию.
Систематик работает с матрицей данных. Я здесь просто привёл пример такой матрицы данных. У нас есть четыре самых разных организма: лягушка, черепаха, ворона, кошка. И некоторый набор признаков. Здесь для примера пять признаков. У нас есть некоторое представление об эволюции этих признаков, исходящее из каких-то общебиологических представлений. И мы можем чисто формально построить так называемую «кладограмму», то есть дерево, иллюстрирующее родственные связи между данными организмами. Здесь получается, что положение вороны при данном наборе признаков оказывается несколько противоречивым, в то время как положение черепахи или кошки более-менее понятно. К кому ближе ворона – к кошке или к черепахе? Я подчёркиваю, это пример достаточно умозрительный. Реально всё сложнее. Но здесь возможны два варианта. С кошкой ворону сближает теплокровность, с черепахой её сближает сухая кожа, кожа, лишённая желез. И как раз существуют вычислительные алгоритмы для подобных операций, для построения подобных деревьев, и когда таких признаков и таких групп организмов сотни, то и таких неясных ситуаций тоже накапливается много. И поэтому долгое время систематики относились с большим скепсисом к таким кладистическим подходам. До 90-х годов, когда были усовершенствованы методы молекулярной биологии, и секвенирование, то есть определение последовательности ДНК, стало, в общем, рутинной лабораторной процедурой. Если не в России, по бедности, то на Западе. Сейчас это вопрос денег и небольшого количества рабочего времени. И как оказалось, сейчас…
Д.С. Но всё-таки в России тоже возможно…
А.О. Сейчас у нас, слава Богу, это тоже вполне возможно. В Москве существует лидирующая группа по молекулярной систематике под руководством Андрея Сергеевича Антонова при Московском университете…
Д.С. Да, я как представитель Московского университета не могу молчать…
А.О. Мы в нашем Ботаническом институте очень гордимся, что этой зимой мы провели первый секвенс, наконец-то освоили. То есть одно дело Москва, другое дело – остальная Россия. Это тоже не надо забывать.
Д.С. Ну, не надо… У вас всё-таки лидирующий ботанический институт в России…
А.О. Сейчас вопрос о чисто техническом оснащении. Так или иначе, обнаружились объекты, которых можно брать много, строить матрицы данных с очень большим числом равновесомых признаков. Тот нуклеотид или иной нуклеотид в данной позиции – вот вам и признак. Этих нуклеотидов тысячи. И если для морфологических признаков, которые видны простым глазом, этот подход действительно не очень работал, во-первых, потому что признаков не так много, а во-вторых, а может быть, даже во-первых, потому что эти признаки заведомо неравнозначны, и вообще любой объект мы можем расчленить на неопределённое число признаков, то последовательности ДНК дают нам совершенно объективное расчленение на чёткие и равновесомые признаки. И вот сейчас молекулярная систематика стала достаточно мощной областью, она уже прочно вошла, собственно, в ботанику. Хотя это и порождает определённые проблемы. Тут, наверное, вы расскажете лучше…
Д.С. Вы знаете, тут просто целый комплекс очень интересных математических задач. Во-первых, эти все алгоритмы требуют совершенно бешеного машинного времени. И в особенности оно нужно для того, чтобы сделать результаты по-настоящему убедительными. Даже несмотря на то, что сейчас персональные компьютеры очень быстро работают, эта задача явно не для персональных компьютеров. Очень здорово, что мы не только в молекулярной биологии проходим этапы технического совершенствования, но и в вычислительной математике. И буквально за последние года два, наверное, может, три стало реальным систематически пользоваться компьютерными кластерами. А эти задачи буквально идеально приспособленные для компьютерных кластеров. Тут нужно опробовать много вариантов кладограммы, дерева, которое мы смотрели. И можно очень здорово распараллелить эти задачи, поручить разным процессорам компьютерным изучать разные варианты. Вообще говоря, когда вы собираете кластеры из большого числа компьютерных процессоров, очень-очень не просто сделать так, чтобы они все были эффективно загружены. У нас сейчас в университете в вычислительном центре появился такой достаточно мощный кластер, а есть и в Академии наук, и в других местах. Это очень серьёзная область математики, как сделать хорошую загрузку разных процессоров.
Есть другая проблема. Классическая вычислительная математика сначала была проговорена и продумана ещё в докомпьютерную эпоху, когда сначала долго объясняли, как этот алгоритм работает и почему его так надо организовывать, а не как-нибудь по-другому. Я верю, что те, кто писал кладистические программы, хорошо понимают, почему они должны работать именно так. Но это знание, оно в очень многом не очевидно. И вот для компьютерной реализации это очень необычная ситуация, когда вроде бы есть работающая программа, а как она точно работает и почему – пользователи затрудняются объяснить. Ну, с этим тоже, по-видимому, удастся сладить. Но в целом это очень привлекательная задача – сделать так, чтобы эти программы пошли на кластерах параллельных компьютеров и чтобы действительно мы понимали не просто рецептурно, как она работает, а концептуально.
А.О. К сожалению, очень немногие систематики, пользователи подобных программ, вообще задаются вопросом: а что там внутри этой программы? То есть признаки грузят, на выходе получают кладограмму. Она им нравится или не нравится, и какие-то меняют условия, играют. А смысл того, что внутри, к сожалению, остаётся, как правило, за кадром. Тут возникает масса недоразумений. Лично я смотрю на эти программы и на эти деревья как на своего рода карты, карты разнообразия живого. Это отнюдь не генеалогические деревья, не дерево, которое изображает историю, буквальный исторический сценарий, как развивались данные таксоны, а именно как карта. И, точно так же, как в географии, существуют разные способы спроецировать земную поверхность, которая отнюдь не ровная, на плоскость карты. Существуют разные проекции. Существуют разные системы координат. Аналогично и здесь. Просто разные программы, насколько я понимаю, отличаются способом проецирования эмпирического разнообразия живых организмов на некоторую идеальную плоскость или на некоторое идеальное пространство. Но тут, наверное, можно перейти к распознаванию…
Д.С. Распознавание образов вообще очень тяжёлая область математики, где с большой кровью и с большим трудом даётся прогресс. Есть такие очевидные вещи, которые человек легко решает. Я субъективно уверен, скажем, что вы не марсианин, а объяснить это компьютеру – очень непростая задача. И её, в общем, нужно решать совместно и математикам и биологам. С моей точки зрения, для того чтобы подобные программы начали хорошо работать, должны появиться люди, которые в одной своей ипостаси, скажем, ботаники, а в другой – специалисты, скажем, по вычислительной математике.
Это трудно, но исторически примерно так развивалась, скажем, математическая физика. Были у её истоков такие люди, например, как Андрей Николаевич Колмогоров. Математик, но писал и чисто физические работы. Скажем по теории турбулентности, за которые любому, самому заядлому физику памятник нужно ставить. Нужно, чтобы такие же люди появились у того места, где внедряются компьютерные программы.
А.О. Тогда, может быть, надо говорить немножко иначе. Да, действительно, я уже сказал, что вид – это то, что считает видом компетентный систематик. То есть, виды обычно распознаются «в лицо». И для того чтобы научить распознавать других людей, несистематиков, указываются идентификационные признаки, определительные признаки. Но часто эта задача достаточно сложна. Здесь и нужно помочь несистематикам распознавать виды. Вот это – запрос от ботаников к математикам, который, как я понимаю, пока не вполне удовлетворён.
Д.С. Вполне не удовлетворён.
А.О. Что касается вашего рассуждения, я думаю, что сейчас появляется определённого рода профессия под названием «когнитология», наука об интервьюировании экспертов. Мы имеем дело не с субъективным, а так называемым экспертным знанием, и задача когнитолога поговорить, понять, раскрыть опыт, личный опыт эксперта, и формализовать его в таком виде, чтобы представить его в виде компьютерной программы.
Но теперь нам, наверное, стоит перейти к области ботаники, в которой нужда в применении математики прямая и непосредственная, это морфология растений. Когда речь идёт о форме растений, то тут само напрашивается применение геометрии. Здесь вот существуют разные подходы, один из них развивается в Москве, в Зоологическом музее при Университете, где работает Игорь Яковлевич Павлинов. Он пропагандирует подход под названием «геометрическая морфометрия». Его статью об этом я прочитал буквально три дня назад в «Журнале общей биологии», в самом последнем выпуске. Подход в том, что описывается разнообразие формы некоего органа или целого организма, а затем выявляются правила топологического преобразования этой формы. Я видел эту работу, она любопытна, но пока лично я не знаю, как осмысленно применить этот метод для себя, для моих узких задач. Но я надеюсь, что, может быть, для распознавания видов он может быть и применён.
Д.С. Морфология, которая является одним из базисов систематики, – наука о форме, и геометрия тоже наука о форме, только морфология растений – наука о форме растения, геометрия – наука о форме вообще. Тут общность интересов очевидна. Вопрос в том, как развить те геометрические подходы, которые действительно нужны. И тут мы ещё раз выходим на применение фракталов. Действительно, многие растения демонстрируют нечто похожее на фракталы. Фракталы – это не просто объекты промежуточной размерности, это, как правило, объекты, у которых есть, как говорят, самоподобие. Они в малом устроены так же, как в большом.
А.Г. Значит, он опознаётся по любому участку.
Д.С. Да, опознаётся. Но нужно, наверное, иллюстрацию показать какую-нибудь.
А.О. Использование фрактальных подходов в морфологии растений, в большой мере было подготовлено морфологическими исследователями французских ботаников. С одной стороны, это так называемая концепция архитектурных моделей, которая была предложена французскими ботаниками Алле и Олдеманом в 70-е годы. Эти ботаники долгое время работали во Французской Гвиане. Они столкнулись с необходимостью описывать структуру вегетативного тела тропических деревьев, но у них не было концептуального аппарата. Оказалось, что та морфология растений, те концепции, которые сложились у нас в Европе, в лесах умеренного пояса, в тропиках не работают. И тогда Алле и Олдеман предложили концепцию так называемых архитектурных моделей. Дерево рассматривается как конструкция, состоящая из модулей, которые в определённой последовательности нарастают друг на друга. Есть разные типы модулей, разные способы нарастания, и модели строятся комбинаторно. То есть, у одних деревьев идёт непрерывное нарастание, скажем, одной вертикальной оси, у других происходит перевершинивание. Одна ось кончается цветком, то есть рост останавливается, у других осей рост открытый. Возможно горизонтальное положение побегов, а возможно и вертикальное. Всего известно 23 архитектурных модели, некоторые комбинации не могут быть реализованы в природе. Фактически, эта такая структуралистская концепция, которая, кстати, развивалась одновременно с работами Леви-Стросса. Я не знаю, читали ли Алле и Олдеман работы знаменитых французских структуралистов-гуманитариев, но наверняка интеллектуальная атмосфера того времени располагала к созданию подобных концепций…
Д.С. Можно я про интеллектуальную атмосферу два слова скажу? Честность научная заставляет сказать, что впервые на это обратил внимание Свифт. У него есть хорошие стихи, которые всегда по этому поводу цитируются. Он не только «Путешествия Гулливера» написал. У него есть ещё замечательные поэмы, рапсодия «О поэзии», в которой он пишет (перевод Маршака):
Вот такая модульная структура в животном царстве. Надо сказать, Маршак этот отрывок специально подсобрал из разных мест этой поэмы. Мой хороший знакомый Дэвид Мосс из университета Манчестера по моей просьбе изучил, как Свифт это публиковал, и оказалось – в английском оригинале немножко более смазано сказано, а здесь у Маршака – очень здорово.
«Натуралистами открыты у паразитов паразиты.
И произвёл переполох тот факт,
Что блохи есть у блох.
И обнаружил микроскоп,
Что на клопе бывает клоп,
Питающийся паразитом.
На нём другой – ad infinitum».
А.О. Ну, тогда попросим следующую иллюстрацию. Вот другая концепция, тоже пришедшая из Франции, это концепция псевдоциклов. Концепция псевдоциклической эволюции, которая была предложена в 30-е годы французским биологом Госаном. Он обратил внимание, что у многих организмов, не только у растений, но, например, у колониальных животных, наблюдается удивительное сходство частей и целого, и рассмотрел это как общую тенденцию эволюции. Например, вот как на этой иллюстрации. Слева мы видим соцветие простой зонтик, у примулы, например, справа мы видим соцветие сложный зонтик, типичный для зонтичных – морковки или, например, тмина. Здесь видим, что структура повторяется на следующем уровне. Но интересно, что эволюция идёт в направлении, во-первых, упрощения этих частей. То есть, эти простые зонтички в сложном зонтике в процессе эволюции редуцируются до одного цветка. А с другой стороны, вся побеговая система превращается в зонтик следующего порядка. И вот Татьяна Валентиновна Кузнецова, выдающийся морфолог, работавшая на кафедре высших растений в Московском Университете, и, к сожалению, безвременно оставившая нас, специально занималась псевдоциклами у соцветий зонтичных. Она проследила до 5 псевдоциклов у разных зонтичных. То есть, вот пример самоподобия, а заодно и фрактальных свойств (таких как автомодельная симметрия) у соцветий. Это как раз та биологическая концепция, которая просто напрашивается на математизацию.
Д.С. Фракталы вошли в физику, отталкиваясь от свойства самоподобия. Хоусдорф понятие этой самой размерности в 18-м году сформулировал, но это всё-таки была трудная математическая работа. А было такое событие, о котором всегда принято рассказывать. Замечательный гидромеханик Ричардсон во время мировой войны хотел сделать что-то хорошее. Его послали изучить, какова длинна береговой линии Англии. Понятное дело, нужно как-то страну оборонять, нападения с моря бывают. Вот он поизучал-поизучал вопрос и пришёл к выводу, что бесконечная длина у береговой линии. Это даже лучше видно на береговой линии Норвегии. У нас есть рисуночек с длиной береговой линии Норвегии из известной книжки Федера о фракталах. Видно, что вопрос о том, какова длина той кривой, которая изображена на рисунке, зависит от того, в каком масштабе мы её изучаем. Выбираем квадратики побольше, и, игнорируя тонкую структуру, длина береговой линии одна. Начинаем отслеживать все эти фиорды, всю эту мелочь – длина береговой линии начинает расти. И вот в зависимости от степени разрешения, она растёт больше, больше… И никакого определённого числа нет.
А.Г. То есть это всё-таки конечная величина?
Д.С. Конечно, если вы, совсем, буквально микроскопическими масштабами оперируете, встаёт вопрос, как движется береговая линия во время приливов и отливов. Вопрос теряет просто смысл. Но есть диапазон масштабов, где действительно наблюдается степенная зависимость длины линии береговой от степени разрешения. Да, это действительно очень похоже на то, что получается для растений. Даже в книжках по фрактальной геометрии есть картинки, которые называют листьями папортника. Они возникают, когда люди хотят проиллюстрировать, что такое фрактал. А с другой стороны, люди, которые хотят объяснить, как устроена архитектура растений, буквально такие же картинки рисуют безотносительно ко всяким фракталам. Наверное, стоит показать эти рисунки.
Это картинка более или менее произвольная из того же Федера. Такого характера растения вполне могут существовать.
А.О. Водоросли, конечно.
Д.С. А на самом деле, эта картинка, иллюстрирующая, как происходят построения кластеров химических соединений. А сейчас будут картинки из ботаники. Вот, это очень изрезанная картинка, видны ярусы, как строится организация…
А.О. Самое главное для меня – это впечатляющее самоподобие, то есть сходство части и целого. В чём может быть тут ещё интерес? В традиционной морфологии растений и животных рассматриваются два типа сходства между частями организма – гомология и аналогия. Скажем, рука человека гомологична крылу птицы, потому что эти конечности имеют общее происхождение, хотя и разные функции. Глаз человека аналогичен глазу осьминога. Это значит, что происхождение у них разное, но функция одна. Но в обоих этих примерах всё равно сравниваются именно части. А вот тут, когда мы имеем дело с фрактальными объектами, часть сравнивается с целым. И как раз эти работы дают законное основание для такого рода сравнения. Это несколько нетрадиционно для биологической морфологии.
Д.С. Я впервые об этом узнал от Татьяны Валентиновны Кузнецовой. Она меня пригласила на школу для студентов-биологов кое-что из математики рассказать. Она там блестящий доклад сделала. Я просто тогда был потрясён, потому что всегда думаешь, ну, нарисовали там какие-то красивые картинки математические, а что действительно так бывает в живой природе… Конечно, огромная потеря, что она так рано от нас ушла.
А.О. Как раз, наверное, следующую картинку стоит показать. То, на что вот смотрите, это растение вполне натуральное, смоделированное на основе этих фрактальных подходов. И подобные модели позволяют уже заниматься довольно тонким анализом биологического смысла этой фрактальной организации. То есть, скажем, здесь можно рассмотреть, как листья затеняют друг друга. Или что будет, если верхушку побега отгрызёт какое-нибудь насекомое, как изменится рост. Соответственно, можно моделировать различные стратегии адаптивности, приспособления к условиям среды. То есть эти модели, с одной стороны, красивы и эстетичны, а с другой стороны, приобретают совершенно явный биологический смысл.
Д.С. В таких вопросах очень легко увлечься внешней аналогией. Но на самом деле есть мотивация биологическая, почему фрактальная природа может быть значима. В своё время Галилей обратил внимание на то, что в живой природе должно быть такое ограничение. Представим себе, какие бы мы были, если бы жили на Юпитере. Галилей рассматривает этот вопрос в одной из своих книг. И приходит к выводу, что мы должны были бы быть карликами, потому что объём тела пропорционален кубу размера, а прочность костей пропорциональная квадрату размера. Но не вся правда в этой идее Галилея. На самом деле, если мы организуем такое модульное строение растения и разрешаем ему быть фракталом, то само понятие объёма тела и площади поверхности преобразуются и можно выскочить из этой связки между объёмом и площадью поверхности. Не исключено, что природа пользовалась этой опцией, как говорится.
А.О. Но я бы к этому отнёсся немножко иначе, на мой взгляд, всё-таки все эти фрактальные эффекты – это результат общего строения, общей конституции растительного тела. Для него характерен, во-первых, открытый рост, это значит, что каждый последующий прирост встраивается в предыдущее тело. В этом – их отличие от животных, у которых что-то вырастает, но что-то постоянно теряется. И, с другой стороны, тут важна именно модульная организация. Таковы конститутивные свойства растительной формы, но они относятся также и к грибам также, грибы всё-таки это другое царство, нежели растения. На основе этих свойств мы получаем фрактальные эффекты, подобие частей и целого, и в каких-то конкретных ситуациях они безусловно, имеют приспособительное значение…