Из сказанного следует, что суждение, противоречащее условному суждению, а также строгой или нестрогой дизъюнкции, всегда может быть выражено в форме конъюнкции.
С другой стороны, суждение, противоречащее конъюнкции, является либо условным, либо дизъюнктивным, либо строго дизъюнктивным суждением. Символьная запись выражает отношения между сложными суждениями в более компактном и точном виде. Поскольку
(р ⊃ q) ≡ (q′ ⊃ р′) ≡ (р′∨q) ≡ (p . q′)′,
суждение, противоречащее любому из приведенных, будет противоречить каждому из них. Следовательно,
(р ⊃ q)′ ≡ (q′ ⊃ р′)′ ≡ (р′∨q)′ ≡ (p . q′).
Иными словами, суждением, противоречащим суждению «если р, то q», будет «р и q′»; суждением, противоречащим суждению «р или q», будет «р′ и q′»; суждением, противоречащим суждению «неверно, что вместе р и q», будет «р и q».
Читателю следует обратить внимание на эквивалентность (р′ ∨ q)′ ≡ (р . q′). Данное отношение является абсолютно общим, и совершенно неважно, какие суждения мы подставим вместо символов. Поэтому подставим «r» вместо «р′». Тогда вместо «p» будет подставлен символ «r′». И тогда мы получим:
(r ∨ q)′ ≡ (r′. q′).
Данное отношение известно как теорема де Моргана. В ней утверждается, что отрицанием дизъюнкции (или суждением, противоречащим дизъюнкции) является конъюнкция, в которой конъюнкты противоречат соответствующим им дизъюнктам. В иной форме данная теорема выглядит следующим образом:
(р . r)′ ≡ (p′ ∨ r′).
Здесь утверждается, что отрицанием конъюнкции является дизъюнкция, в которой дизъюнкты противоречат соответствующим конъюнктам.
Мы удостоверились в том, что специально введенные символы существенным образом способствуют более ясному выражению логической структуры суждений, которая скрывается за громоздкостью обыденного языка. Вследствие этого читатель, несомненно, согласится с тем, что символы не препятствуют, а скорее способствуют пониманию. Обобщающая сила современной логики, равно как и современной математики, возможна во многом благодаря адекватности символической записи, принятой в этих дисциплинах.
В качестве проверки усвоения этой записи предложим читателю привести противоречащее суждение для суждения «некоторые люди – бедные, но честные». Следует понимать, что сила слова «но» в данном суждении заключается в том, что бедные чаще всего являются бесчестными, хотя случается и так, что некоторые из них являются честными. Следовательно, явным значением здесь будет «некоторые люди – бедные и честные, и некоторые люди – бедные и бесчестные». Из этого следует, что суждение «некоторые люди не бедные и честные» не противоречит исходному утверждению, равно как не противоречит ему и суждение «все люди не являются одновременно бедными и честными или все люди не являются одновременно бедными и бесчестными». Сходным образом суждение «Джон не вернулся вчера домой на велосипеде» не будет противоречить суждению «Джон вчера вернулся домой на велосипеде». Этому суждению скорее будет противоречить суждение «Джон не вернулся домой, или Джон не вернулся домой вчера, или Джон не вернулся домой на велосипеде».
Контрарное противопоставление
Субконтрарное противопоставление
Суперимпликация
Отношение субъимпликации, или конверсного подчиненного суждения
Глава IV Категорический силлогизм
§ 1. Определение категорического силлогизма
§ 2. Энтимема
§ 3. Правила, или аксиомы, обоснованности
§ 4. Общие теоремы силлогизма
С другой стороны, суждение, противоречащее конъюнкции, является либо условным, либо дизъюнктивным, либо строго дизъюнктивным суждением. Символьная запись выражает отношения между сложными суждениями в более компактном и точном виде. Поскольку
(р ⊃ q) ≡ (q′ ⊃ р′) ≡ (р′∨q) ≡ (p . q′)′,
суждение, противоречащее любому из приведенных, будет противоречить каждому из них. Следовательно,
(р ⊃ q)′ ≡ (q′ ⊃ р′)′ ≡ (р′∨q)′ ≡ (p . q′).
Иными словами, суждением, противоречащим суждению «если р, то q», будет «р и q′»; суждением, противоречащим суждению «р или q», будет «р′ и q′»; суждением, противоречащим суждению «неверно, что вместе р и q», будет «р и q».
Читателю следует обратить внимание на эквивалентность (р′ ∨ q)′ ≡ (р . q′). Данное отношение является абсолютно общим, и совершенно неважно, какие суждения мы подставим вместо символов. Поэтому подставим «r» вместо «р′». Тогда вместо «p» будет подставлен символ «r′». И тогда мы получим:
(r ∨ q)′ ≡ (r′. q′).
Данное отношение известно как теорема де Моргана. В ней утверждается, что отрицанием дизъюнкции (или суждением, противоречащим дизъюнкции) является конъюнкция, в которой конъюнкты противоречат соответствующим им дизъюнктам. В иной форме данная теорема выглядит следующим образом:
(р . r)′ ≡ (p′ ∨ r′).
Здесь утверждается, что отрицанием конъюнкции является дизъюнкция, в которой дизъюнкты противоречат соответствующим конъюнктам.
Мы удостоверились в том, что специально введенные символы существенным образом способствуют более ясному выражению логической структуры суждений, которая скрывается за громоздкостью обыденного языка. Вследствие этого читатель, несомненно, согласится с тем, что символы не препятствуют, а скорее способствуют пониманию. Обобщающая сила современной логики, равно как и современной математики, возможна во многом благодаря адекватности символической записи, принятой в этих дисциплинах.
В качестве проверки усвоения этой записи предложим читателю привести противоречащее суждение для суждения «некоторые люди – бедные, но честные». Следует понимать, что сила слова «но» в данном суждении заключается в том, что бедные чаще всего являются бесчестными, хотя случается и так, что некоторые из них являются честными. Следовательно, явным значением здесь будет «некоторые люди – бедные и честные, и некоторые люди – бедные и бесчестные». Из этого следует, что суждение «некоторые люди не бедные и честные» не противоречит исходному утверждению, равно как не противоречит ему и суждение «все люди не являются одновременно бедными и честными или все люди не являются одновременно бедными и бесчестными». Сходным образом суждение «Джон не вернулся вчера домой на велосипеде» не будет противоречить суждению «Джон вчера вернулся домой на велосипеде». Этому суждению скорее будет противоречить суждение «Джон не вернулся домой, или Джон не вернулся домой вчера, или Джон не вернулся домой на велосипеде».
Контрарное противопоставление
Данное отношение было проиллюстрировано в традиционном квадрате противопоставлений. Однако можно найти примеры подобного противопоставления и помимо тех, что были указаны в логическом квадрате. Рассмотрим следующие суждения: «мой рост – семь футов» и «мой рост – шесть футов»; «Сократ был мудрейшим из греков» и «Платон был мудрейшим из греков»; «Колумб был первым европейцем, открывшим Америку» и «Лиф Эриксон был первым европейцем, открывшим Америку». Все они представляют пару противоположных суждений, выходящих за рамки рассмотрения традиционного подхода. Очевидно, что общие суждения могут иметь больше чем одно противоположное суждение.
Какое суждение будет противоположным суждению «книга была украдена, или я ее переложил»? Одним из противоположных суждений будет «книга не была украдена, и я ее не переложил, и мой брат ее не одалживал». Эти два сложных суждения могут быть вместе ложными, например, в том случае, если суждение «мой брат одолжил ее» истинно. Вообще нижеприведенная символическая запись представляет пару противоположных сложных суждений:
(р ∨ q)
и
(р′ . q′ . r),
где р, q и r могут быть любыми суждениями.
Из приведенных примеров должно быть понятно, что два суждения могут быть несовместимыми друг с другом, даже если ни одно из них не является истинным. Это простое обстоятельство зачастую упускалось, что приводило к величайшим разногласиям в истории человеческой мысли. Жаркие споры между идеалистами и реалистами, между революционерами и консерваторами, между эволюционистами и фундаменталистами, теистами и деистами велись не только на основании предположения о том, что соответствующие взгляды исключают друг друга, но и на основании предположения о том, что опровержение одного из них будет означать подтверждение истинности другого. Ирония, присущая истории, заключается, однако, в том, что эти знаменитые противопоставления сегодня не рассматриваются с точки зрения, согласно которой если один подход ложен, то другой истинен.
Какое суждение будет противоположным суждению «книга была украдена, или я ее переложил»? Одним из противоположных суждений будет «книга не была украдена, и я ее не переложил, и мой брат ее не одалживал». Эти два сложных суждения могут быть вместе ложными, например, в том случае, если суждение «мой брат одолжил ее» истинно. Вообще нижеприведенная символическая запись представляет пару противоположных сложных суждений:
(р ∨ q)
и
(р′ . q′ . r),
где р, q и r могут быть любыми суждениями.
Из приведенных примеров должно быть понятно, что два суждения могут быть несовместимыми друг с другом, даже если ни одно из них не является истинным. Это простое обстоятельство зачастую упускалось, что приводило к величайшим разногласиям в истории человеческой мысли. Жаркие споры между идеалистами и реалистами, между революционерами и консерваторами, между эволюционистами и фундаменталистами, теистами и деистами велись не только на основании предположения о том, что соответствующие взгляды исключают друг друга, но и на основании предположения о том, что опровержение одного из них будет означать подтверждение истинности другого. Ирония, присущая истории, заключается, однако, в том, что эти знаменитые противопоставления сегодня не рассматриваются с точки зрения, согласно которой если один подход ложен, то другой истинен.
Субконтрарное противопоставление
Помимо суждений, рассмотренных в традиционном подходе, есть и другие, также представляющие субконтрарное противопоставление. Примерами таких суждений являются следующие: «эта книга содержит страницу с опечаткой» и «эта книга содержит страницу без опечатки»; «водород не является самым легким элементом» и «гелий не является самым легким элементом»; «Сан-Марино не является самым маленьким государством Европы» и «Андорра не является самым маленьким государством Европы». Суждения в каждой из приведенных пар не могут вместе быть ложными, но могут вместе быть истинными.
Другими примерами этого важного отношения являются следующие: при существующей организации управления суждения «некоторые европейские страны суть монархии» и «некоторые европейские страны суть республики» являются субконтрарными. В стране, где планируется повышение налогов, но где бюджет должен быть сбалансирован либо повышением таможенных пошлин, либо повышением подоходного налога, суждения «подоходный налог будет повышен» и «таможенные пошлины будут повышены» также будут субконтрарными. Таким образом, отношение субконтрарности является очень простым, и может показаться странным, что из-за неспособности понять его природу или распознать его на конкретных примерах могут совершаться серьезные ошибки. Однако история человеческой мысли демонстрирует сильную тенденцию рассматривать противоборствующие гипотезы как контрарные или контрадикторные, тогда как на самом деле они являются лишь субконтрарными. Следует ли нам подчиняться закону или же мы свободны изменить его? Должны ли мы следовать примеру старших или можем попытаться улучшить сделанное ими? Целые библиотеки книг были написаны по этим и сходным темам, где данные альтернативы рассматривались как исключающие друг друга. Однако таковыми они могут представляться лишь необученному интеллекту. Мудрость заключается в том, чтобы увидеть, каким способом обе альтернативы могут быть истинными. Для примера рассмотрим разногласия относительно свободной торговли и политики протекционизма. Данные позиции иногда позиционируются так, что принятие одной из них в одно время, а другой – в другое несовместимо с государственными интересами. Однако при одних условиях для экономического развития страны может быть необходимым повышение пошлин, тогда как при других условиях их повышение может оказаться пагубным. Следовательно, в то время как суждения «пошлины пагубны для страны» и «пошлины полезны для страны» являются контрарными, если рассматривать их как формулировку общих принципов экономической политики, реальное положение дел не позволяет принять такие общие принципы. Следовательно, оба суждения могут быть истинными, если их рассматривать как утверждающие, что при определенных квалификационных условиях пошлины являются пагубными, а при иных квалификационных условиях – полезными. Мясо может быть и пищей, и ядом.
Другими примерами этого важного отношения являются следующие: при существующей организации управления суждения «некоторые европейские страны суть монархии» и «некоторые европейские страны суть республики» являются субконтрарными. В стране, где планируется повышение налогов, но где бюджет должен быть сбалансирован либо повышением таможенных пошлин, либо повышением подоходного налога, суждения «подоходный налог будет повышен» и «таможенные пошлины будут повышены» также будут субконтрарными. Таким образом, отношение субконтрарности является очень простым, и может показаться странным, что из-за неспособности понять его природу или распознать его на конкретных примерах могут совершаться серьезные ошибки. Однако история человеческой мысли демонстрирует сильную тенденцию рассматривать противоборствующие гипотезы как контрарные или контрадикторные, тогда как на самом деле они являются лишь субконтрарными. Следует ли нам подчиняться закону или же мы свободны изменить его? Должны ли мы следовать примеру старших или можем попытаться улучшить сделанное ими? Целые библиотеки книг были написаны по этим и сходным темам, где данные альтернативы рассматривались как исключающие друг друга. Однако таковыми они могут представляться лишь необученному интеллекту. Мудрость заключается в том, чтобы увидеть, каким способом обе альтернативы могут быть истинными. Для примера рассмотрим разногласия относительно свободной торговли и политики протекционизма. Данные позиции иногда позиционируются так, что принятие одной из них в одно время, а другой – в другое несовместимо с государственными интересами. Однако при одних условиях для экономического развития страны может быть необходимым повышение пошлин, тогда как при других условиях их повышение может оказаться пагубным. Следовательно, в то время как суждения «пошлины пагубны для страны» и «пошлины полезны для страны» являются контрарными, если рассматривать их как формулировку общих принципов экономической политики, реальное положение дел не позволяет принять такие общие принципы. Следовательно, оба суждения могут быть истинными, если их рассматривать как утверждающие, что при определенных квалификационных условиях пошлины являются пагубными, а при иных квалификационных условиях – полезными. Мясо может быть и пищей, и ядом.
Суперимпликация
Любая теория соотносится со своими логическими следствиями как подчиняющая к подчиненному, согласно отношению суперимпликации. По этой причине позднее мы будем изучать это отношение вместе с обратным отношением более детально. Сейчас же можно указать на одну иллюстрацию данного типа суждений, которая будет несколько сложнее, чем то позволяет традиционный подход. Пусть р обозначает конъюнкцию постулатов и аксиом Евклида, a q обозначает суждение «сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов». В этом случае р является подчиняющей относительно q.
В этой связи полезно сослаться на проводимое в традиционной логике различие между непосредственными умозаключениями (умозаключениями в несобственном смысле) и опосредованными умозаключениями (умозаключениями в собственном смысле). Умозаключение называется «непосредственным», когда вывод делается из одной посылки; умозаключение называется «опосредованным», когда вывод делается, по крайней мере, из двух посылок. Однако данное различие не является значимым, если любые два суждения можно соединить в единое суждение. Кроме этого, следует помнить, что для обоснованности некоторых форм так называемых непосредственных умозаключений требуются особые допущения.
В логике в одних случаях проводилось очень четкое различие между эквивалентными суждениями, а в других случаях, наоборот, ставился вопрос о том, являлись ли вообще «подлинными» умозаключениями непосредственные умозаключения от одного суждения к эквивалентному суждению. Однако размышление над данным вопросом показывает, что данное разногласие, по крайней мере отчасти, происходит вследствие того, что логики забывают, насколько произвольным является различие между суждением и тем, что оно имплицирует. Два суждения, связанные подобным отношением, таким, что если первое истинно, то второе также истинно, и если первое ложно, то второе тоже ложно, считаются тождественными исключительно для целей логики. Поэтому не имеет большого значения то, как мы назовем противопоставление предикату: непосредственным умозаключением от исходного суждения или же будем рассматривать его как суждение, эквивалентное исходному. Тем не менее, несмотря на то что два эквивалентных суждения являются тождественными относительно истинностного значения, конвенциональное значение заключения зачастую является переработкой значения посылки. Также справедливо и то, что разграничительная линия между эквивалентными суждениями, которые не обладают в точности одним и тем же значением, не является четкой.
Следует сказать о двух особых случаях непосредственного умозаключения, подпадающих под отношение подчинения. Они демонстрируют природу логики отношений, которая стала систематически изучаться лишь с недавних пор.
Добавлять детерминант к субъекту и предикату следует с осторожностью, поскольку детерминант должен иметь в обоих случаях одно и то же значение. Так, если мы делаем умозаключение и выводим из суждения «все мужья являются добытчиками денег» суждение «все неудачливые мужья являются неудачливыми добытчиками денег», то детерминант «неудачливый» не имеет одного и того же значения, будучи примененным к субъекту и предикату, несмотря на то что в обоих случаях использовано одно и то же слово. Муж является неудачливым относительно своих функций как мужа, а добытчик денег является неудачливым относительно своих функций по добыче средств. Следовательно, детерминанты, значение которых подразумевает ссылку на различные стандарты, не могут использоваться для умозаключения с добавленным детерминантом.
В случае с умозаключением посредством сложного понятия также следует быть осторожными. Неверно утверждать, что поскольку «все радикалы являются гражданами», то «самые богатые радикалы являются самыми богатыми гражданами». Человек, являющийся богатейшим из радикалов, оценивается по стандартам богатства, отличным от стандартов оценки состояния человека, являющегося богатейшим из граждан.
В этой связи полезно сослаться на проводимое в традиционной логике различие между непосредственными умозаключениями (умозаключениями в несобственном смысле) и опосредованными умозаключениями (умозаключениями в собственном смысле). Умозаключение называется «непосредственным», когда вывод делается из одной посылки; умозаключение называется «опосредованным», когда вывод делается, по крайней мере, из двух посылок. Однако данное различие не является значимым, если любые два суждения можно соединить в единое суждение. Кроме этого, следует помнить, что для обоснованности некоторых форм так называемых непосредственных умозаключений требуются особые допущения.
В логике в одних случаях проводилось очень четкое различие между эквивалентными суждениями, а в других случаях, наоборот, ставился вопрос о том, являлись ли вообще «подлинными» умозаключениями непосредственные умозаключения от одного суждения к эквивалентному суждению. Однако размышление над данным вопросом показывает, что данное разногласие, по крайней мере отчасти, происходит вследствие того, что логики забывают, насколько произвольным является различие между суждением и тем, что оно имплицирует. Два суждения, связанные подобным отношением, таким, что если первое истинно, то второе также истинно, и если первое ложно, то второе тоже ложно, считаются тождественными исключительно для целей логики. Поэтому не имеет большого значения то, как мы назовем противопоставление предикату: непосредственным умозаключением от исходного суждения или же будем рассматривать его как суждение, эквивалентное исходному. Тем не менее, несмотря на то что два эквивалентных суждения являются тождественными относительно истинностного значения, конвенциональное значение заключения зачастую является переработкой значения посылки. Также справедливо и то, что разграничительная линия между эквивалентными суждениями, которые не обладают в точности одним и тем же значением, не является четкой.
Следует сказать о двух особых случаях непосредственного умозаключения, подпадающих под отношение подчинения. Они демонстрируют природу логики отношений, которая стала систематически изучаться лишь с недавних пор.
а) Умозаключение с добавленными детерминантами
Мы можем умозаключить от одного суждения к другому, если ограничим субъект и предикат посылки тем же детерминантом. Так, из суждения «любители нюхательного порошка являются потребителями табака» мы можем вывести суждение «американские любители нюхательного порошка являются американскими потребителями табака». Из суждения «все папы являются итальянцами» мы можем вывести суждение «все высокие папы являются высокими итальянцами». Данные суждения, однако, не являются эквивалентными. Из суждения «все американские профессора являются американскими учеными» мы не можем вывести суждение «все профессора – ученые».Добавлять детерминант к субъекту и предикату следует с осторожностью, поскольку детерминант должен иметь в обоих случаях одно и то же значение. Так, если мы делаем умозаключение и выводим из суждения «все мужья являются добытчиками денег» суждение «все неудачливые мужья являются неудачливыми добытчиками денег», то детерминант «неудачливый» не имеет одного и того же значения, будучи примененным к субъекту и предикату, несмотря на то что в обоих случаях использовано одно и то же слово. Муж является неудачливым относительно своих функций как мужа, а добытчик денег является неудачливым относительно своих функций по добыче средств. Следовательно, детерминанты, значение которых подразумевает ссылку на различные стандарты, не могут использоваться для умозаключения с добавленным детерминантом.
Ь) Умозаключение посредством сложного понятия
Одно суждение можно вывести из другого, если использовать субъект и предикат как части некоторого более сложного понятия. Так, если дано суждение «Нью-Йорк – самый большой город в мире», то из него можно вывести суждение «центр Нью-Йорка – это центр самого большого города в мире». Из суждения «лошадь есть животное» можно вывести «голова лошади есть голова животного». Умозаключение состоит в выведении того, что если один термин состоит в определенном отношении к другому, то все, что относится каким-либо образом к первому, состоит в таком же точно отношении ко всему, что относится таким же образом ко второму термину. Подобные умозаключения, однако, не дают эквивалентных суждений. Из суждения «цвет его носа является цветом свеклы» нельзя вывести суждение «его нос является свеклой».В случае с умозаключением посредством сложного понятия также следует быть осторожными. Неверно утверждать, что поскольку «все радикалы являются гражданами», то «самые богатые радикалы являются самыми богатыми гражданами». Человек, являющийся богатейшим из радикалов, оценивается по стандартам богатства, отличным от стандартов оценки состояния человека, являющегося богатейшим из граждан.
Отношение субъимпликации, или конверсного подчиненного суждения
Если р обозначает «сумма углов равнобедренного треугольника равна сумме двух прямых углов», a q обозначает «сумма углов любого треугольника равна сумме двух прямых углов», р является субъимпликантом или суждением, подчиненным q. Из истинности р не следует ничего относительно истинности q, тогда как из ложности р с необходимостью следует ложность q. Как мы увидим впоследствии, отношение между подтверждающим примером теории и самой теорией является отношением подчиненного к подчиняющему.
Позднее мы с очевидностью убедимся в том, что никакое число подтверждающих суждений, относящихся к теории, не может служить демонстрацией (доказательством) теории, тогда как, строго говоря, лишь один противоположный пример достаточен для опровержения теории. Однако следует быть крайне осторожным для того, чтобы не спутать действительный противоположный пример с чем-либо другим.
Позднее мы с очевидностью убедимся в том, что никакое число подтверждающих суждений, относящихся к теории, не может служить демонстрацией (доказательством) теории, тогда как, строго говоря, лишь один противоположный пример достаточен для опровержения теории. Однако следует быть крайне осторожным для того, чтобы не спутать действительный противоположный пример с чем-либо другим.
Глава IV Категорический силлогизм
§ 1. Определение категорического силлогизма
Рассмотрим суждение «Том Муни представляет опасность для общества». Что может послужить адекватным основанием для этого суждения? Например, аргумент можно выстроить следующим образом: «Все общественные радикалы представляют опасность для общества; Том Муни является общественным радикалом; из этого следует, что Том Муни представляет опасность для общества». Здесь читателю придется признать, что если первые два суждения действительно имплицируют третье, и если первые два суждения истинны, то третье суждение будет истинным с необходимостью. Таким образом, заключение подчинено посылкам, поскольку если бы оно было истинным, то из этого не следовала бы истинность посылок. При этом ясно также и то, что посылки, в том случае если они истинны, будут адекватным основанием для истинности заключения, однако вопрос о том, являются ли они на самом деле истинными, не детерминируется тем логическим отношением, в котором они стоят относительно заключения.
Аргументы приведенного типа часто используются. Некоторые из них кажутся вполне обоснованными, однако на поверку оказываются ложными. Тем, кто не задумывается о том, что именно сообщается в умозаключении, могут показаться вполне обоснованными такие аргументы, как «все парижане являются французами, ни один бостонец не является парижанином, следовательно, ни один бостонец не является французом» или «все радикалы рождены за рубежом, ни один патриот не является радикалом, следовательно, ни один патриот не рожден за рубежом». Показать, что ни одно из этих умозаключений не является обоснованным, несложно. Для этого нам нужно всего лишь применить умозаключение такого же типа, но относительно других предметов. Так, умозаключение «все треугольники являются плоскими фигурами, ни один квадрат не является треугольником, следовательно, ни один квадрат не является плоской фигурой» является аргументом такого же типа, как и два предыдущих, однако практически никто не поверит в его обоснованность.
Можем ли мы установить некоторые общие правила, которые было бы легко применять и которые указывали бы на обоснованность умозаключений? Данный вопрос исследовал Аристотель, заложивший основу для всех последующих логических исследований. Полученные им результаты стали ядром логических доктрин на протяжении двух тысячелетий. Аристотелевские исследования были дополнены и расширены только совсем недавно. Однако в этом разделе нам не понадобятся современные логические приемы. Мы будем следовать традиционному анализу силлогизма, который не считается в чистом виде аристотелевским. Отступление от аристотелевского подхода к анализу категорического силлогизма позволит нам проявить природу логической, или математической, системы.
Категорический силлогизм определяется как форма умозаключения, состоящая из трех категорических суждений, которые все вместе содержат только три термина. Первые два суждения являются посылками, третье – заключением. Из суждений «все футбольные тренеры получают высокую плату» и «все бейсболисты популярны» нельзя вывести заключение по правилам силлогизма, поскольку в одних только посылках уже содержится четыре термина. В данных двух суждениях нет общих терминов, тогда как посылки всякого силлогизма содержат общий термин. Силлогистическое умозаключение можно выразить как сравнение отношений, имеющих место между каждым из двух терминов и третьим термином, для того чтобы обнаружить отношение, которое существует между двумя этими терминами. В примере, с которого мы начали данную главу, общим является термин «общественный радикал». Рассмотрев отношения между этим общим термином и двумя другими терминами, «Том Муни» и «представляющий опасность для общества», мы обнаружили отношение между терминами «Том Муни» и «представляющий опасность для общества». По этой причине силлогизм классифицируется как опосредованное умозаключение. Однако с точки зрения обобщенной логики силлогизм является частным случаем умозаключения посредством исключения одного или более терминов, содержащихся в посылках.
Является ли категорическим силлогизмом следующий аргумент: «А старше В, В старше С, следовательно, А старше С»? Он, бесспорно, похож на категорический силлогизм. Однако всякое категорическое суждение может быть разложено на субъектный термин, предикатный термин и связку, являющуюся одной из форм глагола «быть», и поэтому данный аргумент, несмотря на свою обоснованность, не является силлогизмом, ибо содержит четыре термина. Нижеследующий аргумент, предложенный Ч. Л. Доджсоном (Льюисом Кэрроллом), также не является силлогизмом в той форме, в какой он представлен, однако он может быть видоизменен так, чтобы обрести форму силлогизма: «Благоразумный человек остерегается гиен, ни один банкир не является неблагоразумным, следовательно, ни один банкир не может не остерегаться гиен».
Термин, содержащийся в обеих посылках, называется средним термином, предикат заключения – это больший термин, субъект заключения – это меньший термин. Посылка, содержащая больший термин, называется большей посылкой, а посылка, содержащая меньший термин, называется меньшей посылкой. Таким образом, порядок, в котором следуют посылки, не детерминирует то, какая из них является большей. В силлогизме «все мистические рассказы являются угрозой здоровью, ибо все мистические рассказы вызывают психическое возбуждение, и все, что вызывает психическое возбуждение, является угрозой здоровью» заключение стоит в начале, а большая посылка – в конце. Однако, как правило, большая посылка ставится в начале умозаключения.
Аргументы приведенного типа часто используются. Некоторые из них кажутся вполне обоснованными, однако на поверку оказываются ложными. Тем, кто не задумывается о том, что именно сообщается в умозаключении, могут показаться вполне обоснованными такие аргументы, как «все парижане являются французами, ни один бостонец не является парижанином, следовательно, ни один бостонец не является французом» или «все радикалы рождены за рубежом, ни один патриот не является радикалом, следовательно, ни один патриот не рожден за рубежом». Показать, что ни одно из этих умозаключений не является обоснованным, несложно. Для этого нам нужно всего лишь применить умозаключение такого же типа, но относительно других предметов. Так, умозаключение «все треугольники являются плоскими фигурами, ни один квадрат не является треугольником, следовательно, ни один квадрат не является плоской фигурой» является аргументом такого же типа, как и два предыдущих, однако практически никто не поверит в его обоснованность.
Можем ли мы установить некоторые общие правила, которые было бы легко применять и которые указывали бы на обоснованность умозаключений? Данный вопрос исследовал Аристотель, заложивший основу для всех последующих логических исследований. Полученные им результаты стали ядром логических доктрин на протяжении двух тысячелетий. Аристотелевские исследования были дополнены и расширены только совсем недавно. Однако в этом разделе нам не понадобятся современные логические приемы. Мы будем следовать традиционному анализу силлогизма, который не считается в чистом виде аристотелевским. Отступление от аристотелевского подхода к анализу категорического силлогизма позволит нам проявить природу логической, или математической, системы.
Категорический силлогизм определяется как форма умозаключения, состоящая из трех категорических суждений, которые все вместе содержат только три термина. Первые два суждения являются посылками, третье – заключением. Из суждений «все футбольные тренеры получают высокую плату» и «все бейсболисты популярны» нельзя вывести заключение по правилам силлогизма, поскольку в одних только посылках уже содержится четыре термина. В данных двух суждениях нет общих терминов, тогда как посылки всякого силлогизма содержат общий термин. Силлогистическое умозаключение можно выразить как сравнение отношений, имеющих место между каждым из двух терминов и третьим термином, для того чтобы обнаружить отношение, которое существует между двумя этими терминами. В примере, с которого мы начали данную главу, общим является термин «общественный радикал». Рассмотрев отношения между этим общим термином и двумя другими терминами, «Том Муни» и «представляющий опасность для общества», мы обнаружили отношение между терминами «Том Муни» и «представляющий опасность для общества». По этой причине силлогизм классифицируется как опосредованное умозаключение. Однако с точки зрения обобщенной логики силлогизм является частным случаем умозаключения посредством исключения одного или более терминов, содержащихся в посылках.
Является ли категорическим силлогизмом следующий аргумент: «А старше В, В старше С, следовательно, А старше С»? Он, бесспорно, похож на категорический силлогизм. Однако всякое категорическое суждение может быть разложено на субъектный термин, предикатный термин и связку, являющуюся одной из форм глагола «быть», и поэтому данный аргумент, несмотря на свою обоснованность, не является силлогизмом, ибо содержит четыре термина. Нижеследующий аргумент, предложенный Ч. Л. Доджсоном (Льюисом Кэрроллом), также не является силлогизмом в той форме, в какой он представлен, однако он может быть видоизменен так, чтобы обрести форму силлогизма: «Благоразумный человек остерегается гиен, ни один банкир не является неблагоразумным, следовательно, ни один банкир не может не остерегаться гиен».
Термин, содержащийся в обеих посылках, называется средним термином, предикат заключения – это больший термин, субъект заключения – это меньший термин. Посылка, содержащая больший термин, называется большей посылкой, а посылка, содержащая меньший термин, называется меньшей посылкой. Таким образом, порядок, в котором следуют посылки, не детерминирует то, какая из них является большей. В силлогизме «все мистические рассказы являются угрозой здоровью, ибо все мистические рассказы вызывают психическое возбуждение, и все, что вызывает психическое возбуждение, является угрозой здоровью» заключение стоит в начале, а большая посылка – в конце. Однако, как правило, большая посылка ставится в начале умозаключения.
§ 2. Энтимема
Несмотря на то что силлогистическое рассуждение нередко встречается в ежедневном общении, его присутствие зачастую не замечается, поскольку такое рассуждение выражено не в полной форме. Силлогизм, выраженный не в полной форме, т. е. тот, в котором одна из посылок или заключение не выражено и присутствует в неявной форме, называется энтимемой.
Следующие умозаключения являются примерами энтимем: «Это лекарство вылечило больное горло моей дочери, следовательно, оно вылечит и мое больное горло». Данное умозаключение является обоснованным при неявном допущении большей посылки «все, что вылечивает больное горло моей дочери, вылечивает и мое больное горло». Энтимема, в которой не выражена большая посылка, считается энтимемой первого порядка.
«Все пьяницы живут недолго, следовательно, Джон долго не проживет». В данном случае пропущена меньшая посылка «Джон является пьяницей». Энтимемы, в которых не выражена меньшая посылка, считаются энтимемами второго порядка.
«Ростовщичество является безнравственным, а это – ростовщичество». Здесь заключение «это безнравственно» осталось невыраженным. Данная энтимема является энтимемой третьего порядка. Без сомнения, ценность подобных энтимем для того, чтобы делать намеки, знакома читателю.
Хотя энтимемы не предлагают какую-либо новую форму умозаключения, на практике очень важно уметь их распознавать. Мы еще сможем убедиться в том, что индуктивные умозаключения зачастую рассматриваются как особый способ рассуждения, тогда как на деле являются лишь энтимемами первого порядка.
Следующие умозаключения являются примерами энтимем: «Это лекарство вылечило больное горло моей дочери, следовательно, оно вылечит и мое больное горло». Данное умозаключение является обоснованным при неявном допущении большей посылки «все, что вылечивает больное горло моей дочери, вылечивает и мое больное горло». Энтимема, в которой не выражена большая посылка, считается энтимемой первого порядка.
«Все пьяницы живут недолго, следовательно, Джон долго не проживет». В данном случае пропущена меньшая посылка «Джон является пьяницей». Энтимемы, в которых не выражена меньшая посылка, считаются энтимемами второго порядка.
«Ростовщичество является безнравственным, а это – ростовщичество». Здесь заключение «это безнравственно» осталось невыраженным. Данная энтимема является энтимемой третьего порядка. Без сомнения, ценность подобных энтимем для того, чтобы делать намеки, знакома читателю.
Хотя энтимемы не предлагают какую-либо новую форму умозаключения, на практике очень важно уметь их распознавать. Мы еще сможем убедиться в том, что индуктивные умозаключения зачастую рассматриваются как особый способ рассуждения, тогда как на деле являются лишь энтимемами первого порядка.
§ 3. Правила, или аксиомы, обоснованности
На данном этапе мы всего лишь определили, что именно мы называем категорическим силлогизмом. Однако мы ничего еще не сказали об условиях, при которых подобный аргумент является обоснованным. Мы перечислим пять суждений, которые вместе выразят факторы, детерминирующие обоснованность любого категорического силлогизма. Эти суждения называются правилами или аксиомами. Мы сформулируем их без какого-либо доказательства, поскольку они будут нашими «первыми принципами», с помощью которых мы будем доказывать все другие суждения. Несмотря на то что мы не пытаемся доказывать аксиомы, мы утверждаем их как суждения, выражающие условия обоснованного силлогистического умозаключения. Если мы понимаем силлогизм как форму умозаключения, в которой отношение между двумя терминами может утверждаться на основании отношения, существующего между каждым из этих терминов и третьим общим термином, то мы сможем «усмотреть», что данные аксиомы на самом деле выражают условия обоснованности категорического силлогизма. Однако такое «усмотрение» не следует путать с доказательством. Поскольку аксиомы являются принципами логики, то, рассматривая их, мы затрагиваем фундаментальное свойство логических принципов: не все логические принципы могут быть доказаны логически, поскольку подобное доказательство само должно будет опираться на некоторые логические принципы; в частности, никакое доказательство принципа тождества (если нечто является А, то оно является А) невозможно без допущения того, что обозначаемое фразой «все, что является А», встречающейся в одной части такого предполагаемого доказательства, тождественно обозначаемому этой же фразой, встречающейся в другой части данного доказательства.
Аксиомы категорического силлогизма делятся на два множества: аксиомы относительно количества и распределенности терминов и аксиомы относительно качества суждений.
Аксиомы количества
1. Средний термин должен быть распределен, по крайней мере, в одной из посылок.
2. Термин, нераспределенный в посылке, не может быть распределенным в заключении.
Аксиомы качества
3. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения.
4. Если одна посылка является отрицательной, заключение должно быть отрицательным.
5. Если ни одна посылка не является отрицательной, заключение должно быть утвердительным.
Данные аксиомы вместе с принципами условного умозаключения достаточны для того, чтобы целиком построить теорию категорического силлогизма. Аксиомы не являются независимыми друг от друга, поскольку некоторые из них можно вывести из других. Однако, несмотря на это, мы будем рассматривать все эти правила в качестве аксиоматического базиса нашего анализа.
Аксиомы категорического силлогизма делятся на два множества: аксиомы относительно количества и распределенности терминов и аксиомы относительно качества суждений.
Аксиомы количества
1. Средний термин должен быть распределен, по крайней мере, в одной из посылок.
2. Термин, нераспределенный в посылке, не может быть распределенным в заключении.
Аксиомы качества
3. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения.
4. Если одна посылка является отрицательной, заключение должно быть отрицательным.
5. Если ни одна посылка не является отрицательной, заключение должно быть утвердительным.
Данные аксиомы вместе с принципами условного умозаключения достаточны для того, чтобы целиком построить теорию категорического силлогизма. Аксиомы не являются независимыми друг от друга, поскольку некоторые из них можно вывести из других. Однако, несмотря на это, мы будем рассматривать все эти правила в качестве аксиоматического базиса нашего анализа.
§ 4. Общие теоремы силлогизма
На данном этапе мы докажем четыре теоремы.