Моррис Коэн. Введение в логику и научный метод

   Обращение и превращение – две формы умозаключения, в котором происходит переход от одного суждения к эквивалентному ему суждению. Остальные типы, изучаемые в традиционной логике, можно определить как результаты последовательного применения этих двух типов.

Противопоставление предикату (контрапозиция)

   Возьмем суждение «все разумные прошения рассматриваются». Что на его основании можно заключить об отношении нерассматриваемых вещей, с одной стороны, к разумным прошениям, а с другой стороны, к неразумным прошениям? Читатель может признать, что допустимым заключением будет суждение «ни одна нерассматриваемая вещь не является разумным прошением», а также суждение «все нерассматриваемые вещи суть неразумные прошения». Однако в случае, если читатель не усматривает, что данные заключения являются необходимыми, ему следует осуществить следующую серию превращений и обращений. Мы рассмотрим все четыре категорических суждения вместе.

 
   Первый ряд содержит четыре категорических суждения. Второй ряд содержит соответствующие обверсивные суждения. Третий ряд содержит конверсивные суждения относительно суждений из второго ряда. А четвертый ряд содержит обверсивные суждения относительно суждений из третьего ряда.
   Суждения в третьем ряду называются частично противопоставленными (контрапозитивными) предикату суждений в первом ряду. Частично противопоставленное предикату суждение относительно какого-либо суждения – это суждение, в котором субъект является противоречием предиката исходного суждения, тогда как предикат является субъектом исходного суждения. Частично противопоставленное предикату суждение также отличается от исходного суждения по качеству. Суждения типа I не имеют частично противопоставленных предикату суждений, а суждения типа Е обретают частично противопоставленное предикату суждение только посредством ограничения. Суждения, частично противопоставленные предикату суждений типа А и О, эквивалентны исходным суждениям.
   Суждения в четвертом ряду являются суждениями, полностью противопоставленными предикату соответствующих суждений из первого ряда. Суждение, полностью противопоставленное предикату некоторого другого суждения, – это суждение, в котором субъект является противоречием исходного предиката, а предикат – противоречием исходного субъекта. Полностью противопоставленное предикату суждение имеет то же качество, что и исходное суждение. Как и в случае с частично противопоставленным предикату суждением, суждения типа I не обладают суждениями, полностью противопоставленными предикату, а суждения типа Е обретают их только посредством ограничения.

Превращенное конверсное суждение

   Проводя серии превращений и обращений именно в таком порядке, мы получали эквивалентные суждения для каждого из четырех типов категорических суждений. Однако если мы сначала преобразуем суждения с помощью обращения, а затем с помощью превращения, то получим иной набор эквивалентных суждений. Результаты такой операции приводятся в таблице ниже:

 
   Следует отметить, что суждения типа Е и I обладают превращенными конверсными суждениями без посредства ограничения, суждения типа А обретают превращенное конверсное суждение посредством ограничения, тогда как суждения типа О вообще таковыми не обладают.

Инверсия

   Дано суждение «все физики являются математиками». Что можно заключить об отношении не-физиков к математикам или к не-математикам? Рассмотрим, к каким заключениям можно обоснованно прийти с помощью обращений и превращений.
   Мы можем начать с обращения данного суждения, затем осуществить превращение и т. д. до тех пор, пока не получим требующееся суждение; или же мы можем начать с превращения и продолжить обращением и т. д. Попробуем развить эти два метода в параллельных столбцах. Первый метод – в левом столбце, второй – в правом:

 
   Следовательно, если мы сначала обратим суждение типа А, мы вскоре вынуждены будем остановиться, поскольку суждение типа О не может быть обращено. Если же мы сначала превратим суждение А, то получим два суждения, которые будут удовлетворительными. «Некоторые не-физики не являются математиками» называется частично инверсивным суждением относительно исходного суждения. Его субъект является противоречием исходного субъекта, а его предикат совпадает с исходным предикатом. «Некоторые не-физики являются не-математиками» называется полностью инверсивным суждением. В нем как субъект, так и предикат противоречат исходным субъекту и предикату соответственно.
   Все ли формы категорического суждения обладают инверсивным суждением? Если читатель использует указанный метод, то из суждения «ни один профессор не является недобрым» он сможет вывести суждение «некоторые не-профессора являются недобрыми» (частично инверсивное суждение) и «некоторые не-профессора не являются добрыми» (полностью инверсивное суждение). Однако из суждения типа I и О инверсивные суждения получить нельзя. Следовательно, только общие суждения обладают инверсивными суждениями, и в каждом случае инверсия осуществляется посредством ограничения.
   Операция инверсии иногда может приводить к кажущимся абсурдными результатам, как, например, при получении из суждения «все честные люди смертны» инверсивного суждения «некоторые бесчестные люди бессмертны». На каком этапе вкралась ошибка? Ответ: при небрежном использовании отрицаний. Настоящим инверсивным суждением относительно исходного будет суждение «некоторые из тех, кто не является честным человеком, являются не-смертными», которое вовсе не абсурдно. Класс сущностей, не являющихся честными людьми, шире класса бесчестных людей и включает в себя треугольники и т. п., которые, разумеется, являются не-смертными.
   «Одну минутку!» – может возразить читатель. «Частично инверсивным суждением для суждения «все физики являются математиками» является суждение «некоторые не-физики не являются математиками». В первом суждении предикат нераспределен, тогда как во втором – распределен. Как же можно утверждать, что второе суждение является обоснованным следствием первого? Нет ли здесь нарушения принципа о распределенности терминов?»
   Если читатель усвоил наше обсуждение вопроса об экзистенциальной нагруженности суждений, то он без труда сможет ответить на свой вопрос. В общем суждении, скажет он, не утверждается ничего о существовании или несуществовании чего-либо; частные суждения, с другой стороны, обладают экзистенциальной нагруженностью. Следовательно, частное суждение может обоснованно выводиться из общего суждения или их сочетания, только если среди посылок есть суждение, утверждающее, что классы, обозначаемые терминами общих суждений, содержат, по крайней мере, один член. В частности, обращение суждения типа А является обоснованным, только если предикат обозначает такой непустой класс.
   Источник сложностей с инверсией теперь прояснен. Чтобы получить инверсивное суждение из суждения «все физики – математики», нам нужно обратить суждение «все не-математики являются не-физиками». Это возможно, только если мы добавим третью посылку: «Некоторые люди являются не-физиками». Если такая посылка имеется, то частично инверсивное суждение не нарушает принципа распределенности терминов.
   Если бы общие суждения обладали экзистенциальной нагруженностью, то тогда не только термины подобных суждений обозначали бы непустые классы, но их обозначали бы и противоречивые термины. Так, если бы суждение «все люди смертны» требовало наличия людей и смертных существ, то, поскольку из него мы можем обоснованно вывести суждение «все бессмертные являются не-людьми», нам бы пришлось утверждать и то, что существуют сущности, являющиеся бессмертными, и сущности, являющиеся не-людьми. Следующий пример призван продемонстрировать, что общие суждения не имеют экзистенциальной нагруженности даже в обычной разговорной речи. Студенты-математики знакомы с древнегреческой проблемой, заключающейся в том, что построить с помощью линейки и циркуля квадрат, площадь которого будет равна площади окружности, невозможно. Следовательно, мы можем с уверенностью утверждать суждение «ни один математик не построил круг, одинаковый по площади с квадратом». Частично инверсивным суждением относительно данного будет суждение «некоторые не-математики являются построившими круг, одинаковый по площади с квадратом». Однако мы, несомненно, не намеревались утверждать что-либо, приводящее к заключению о том, что существуют люди, которые на самом деле могут построить такой круг, поскольку существует доказательство, согласно которому подобное не может быть сделано. Следовательно, в исходном суждении не предполагалось утверждения существования таких людей.

Умозаключение посредством обратного отношения

   Из суждения «Чикаго расположен к западу от Нью-Йорка» можно обоснованно вывести суждение «Нью-Йорк расположен к востоку от Чикаго», из суждения «Сократ был учителем Платона» – суждение «Платон был учеником Сократа», из «семь больше пяти» – «пять меньше семи». Каждая из приведенных пар суждений представляет два эквивалентных суждения. Такие умозаключения имеют следующую форму: если а находится к Ь в определенном отношении, Ь находится к а в обратном отношении.

Эквивалентность сложных суждений

   На данном этапе нам предстоит изучить, что такое эквивалентные формы сложных суждений.
   Рассмотрим условное суждение «если треугольник – равнобедренный, то углы у его основания равны». Утверждать это суждение, как мы уже знаем, означает утверждать, что истинность антецедента предполагает истинность консеквента, или что не может быть такого, чтобы антецедент был истинным, а консеквент – ложным. Следовательно, в данном условном суждении утверждается, что конъюнктивное суждение «треугольник является равнобедренным, и углы при его основании неравны» ложно. Или же, что строго дизъюнктивное суждение «неверно, что треугольник является равнобедренным и вместе с этим углы у его основания неравны» является истинным. Таким образом, из условного суждения мы можем вывести дизъюнкцию.
   Более того, из строгой дизъюнкции мы также можем вывести условное суждение. Если дано суждение «неверно, что треугольник является равносторонним и вместе с этим углы у его основания неравны», то истинность одного дизъюнкта несовместима с истинностью другого: если один дизъюнкт истинен, другой должен быть ложным. Следовательно, из этого строго дизъюнктивного суждения мы можем вывести суждение «если треугольник является равнобедренным, то углы у его основания равны». Таким образом, может быть найдена строгая дизъюнкция, эквивалентная условному суждению.
   Сказанное выше можно записать, используя введенные нами символы:
   [(Треугольник является равнобедренным) ⊃ (углы у его основания равны)] ≡ [(Треугольник является равнобедренным) .(углы у его основания равны)′′
   Из данного рассуждения также становится видно, как мы можем вывести эквивалентное условное суждение из любого другого условного суждения. Если в эквивалентной строгой дизъюнкции предполагается, что второй дизъюнкт является истинным, то первый дизъюнкт должен быть ложным. Следовательно, мы можем вывести суждение «если углы у основания треугольника неравны, то треугольник не является равнобедренным». Мы можем записать:
   [(Треугольник является равнобедренным) ⊃ (углы у его основания равны)] ≡ [(Углы у основания треугольника равны)′⊃(треугольник является равнобедренным)′.
   Данные эквивалентные условные суждения считаются противопоставленными (контрапозитивными) друг другу.
   Рассмотрим (нестрогую) дизъюнкцию «треугольник является равнобедренным или углы у его основания равны». Утверждать данное суждение значит утверждать, что, по крайней мере, один из дизъюнктов является истинным. Поэтому, если бы один из дизъюнктов был ложным, другой должен был бы быть истинным. Следовательно, мы можем заключить из данной дизъюнкции условное суждение «если треугольник является равнобедренным, то углы у его основания равны». Более того, данная дизъюнкция может быть выведена из данного условного суждения. Это условное суждение эквивалентно суждению «неверно, что треугольник является равнобедренным и вместе с этим углы у его основания неравны», в котором утверждается, что, по крайней мере, один из дизъюнктов должен быть ложным. Из данной дизъюнкции мы можем вывести суждение «треугольник не является равнобедренным или углы у его основания равны». Мы можем записать данную эквивалентность:
   [(Треугольник является равнобедренным)′∨ (углы у его основания равны)] ≡ [(Треугольник является равнобедренным) ⊃ (углы у его основания равны)].
   Из этого следует, что для любого условного суждения существует эквивалентное дизъюнктивное суждение, эквивалентное строго дизъюнктивное суждение, а также эквивалентное условное суждение. Похожее утверждение может быть сделано и относительно любого дизъюнктивного суждения и любого строго дизъюнктивного суждения. С другой стороны, конъюнкция не является эквивалентной ни одной из трех других форм сложных суждений.
   Теперь приведем эквивалентные суждения для суждения «если он счастлив в браке, то он не бьет свою жену». Этими суждениями являются: «если он бьет свою жену, то он не является счастливым в браке», «он не является счастливым в браке или он не бьет свою жену» и «неверно, что он счастлив в браке и вместе с этим он бьет свою жену». В символьной записи данные суждения выглядят следующим образом:
   [(Он счастлив в браке) ⊃ (он не бьет свою жену)] ≡ [(Он не бьет свою жену)′⊃ (он счастлив в браке)′ ≡ [(Он счастлив в браке)′∨ (он не бьет свою жену)] ≡ [(Он счастлив в браке) . (он не бьет свою жену)′]′
   Данные эквивалентности можно выразить более компактно, а формы эквивалентных суждений – более ясно, если принять еще некоторые конвенции относительно символов. Пусть р означает антецедент условного суждения, a q – его консеквент. Любое условное суждение может быть формализовано как (р ⊃ q). Данные эквивалентности тогда могут быть записаны следующим образом:
   (р ⊃ q) ≡ (q′ ⊃ р′) ≡ (р′∨ q) ≡ (p . q′)′
   В главе VII мы рассмотрим эквивалентности между системами суждений. Однако на данном этапе можно предложить пример двух суждений, являющихся эквивалентными в силу своего места в определенной системе. Пусть р = «в физике Ньютона свет отражается от поверхности так, что угол падения равен углу отражения» и пусть q = «в физике Ньютона свет отражается от поверхности так, что его путь является минимальным». Суждения р и q эквивалентны.

§ 4. Традиционный квадрат противопоставлений

   Традиционное понимание противопоставления между суждениями отличается от предложенного нами понимания. Поскольку в традиционном подходе все суждения были разложимы на субъект и предикат, противопоставлялись только суждения субъектно-предикатной формы. Противопоставление сложных суждений не рассматривалось, а описание противопоставления единичных суждений было в крайней степени неудовлетворительным.
   В этом параграфе мы исследуем традиционный подход к противопоставлению. Согласно этому подходу, два суждения противопоставляются, если у них одинаковые субъект и предикат, но они отличаются по качеству, количеству или тому и другому.
   Рассмотрим четыре суждения:
 
   А. Все республики являются неблагодарными.
   Е. Не одна республика не является неблагодарной.
   I. Некоторые республики являются неблагодарными.
   О. Некоторые республики не являются неблагодарными.
 
   Когда мы обсуждали экзистенциальную нагруженность суждений, мы говорили, что общие суждения не требуют существования республик, тогда как частные – требуют. Следовательно, мы не можем без дальнейших допущений выводить истинность суждения типа! из истинности суждения типа А. Для того чтобы это стало возможным, нам нужно в этом параграфе раз и навсегда исследовать следствия данной гипотезы.
   Среди вышеперечисленных четырех суждений нет таких двух, которые были бы независимы друг от друга или эквивалентными друг другу. Однако из возможных девяти отношений между этими суждениями мы можем усмотреть пять. Для этого удобнее использовать схематические изображения суждений.
   1. Суждения «все республики являются неблагодарными» и «некоторые республики не являются неблагодарными» не могут вместе быть истинными и не могут быть вместе ложными. Из истинности одного можно обоснованно вывести ложность другого; соответственно, из ложности одного можно вывести истинность другого. Следовательно, суждения типа А и О являются противоречащими (контрадикторными). То же самое относится и к суждениям типа Е и I.
   2. Суждения «все республики являются неблагодарными» и «ни одна республика не является неблагодарной» не могут вместе быть истинными. Поэтому из истинности одного из них мы могли бы вывести ложность другого. Однако если одно суждение было бы ложным, то истинностное значение другого было бы неопределенным. Следовательно, суждения типа А и Е являются противоположными (контрарными).
   3. При рассмотрении суждений «все республики являются неблагодарными» и «некоторые республики являются неблагодарными» мы видим, что истинность второго суждения может быть выведена из истинности первого. Однако если первое суждение ложно, то относительно истинностного значения второго мы не можем вывести ничего. Следовательно, суждение типа А является подчиняющим по отношению к суждению типа 7, которое, в свою очередь, является подчиненным. Такое же отношение имеет место в случае с суждениями типа Е и О.
   4. С другой стороны, из ложности суждения типа I можно вывести ложность суждения типа А. Однако из истинности суждения типа I мы не можем выводить истинностное значение суждения типа А. Следовательно, суждение типа I соотносится с суждением типа А как подчиненное с подчиняющим. То же самое распространяется и на суждения типа О и Е.
   5. Наконец, истинность суждения «некоторые республики являются неблагодарными» совместима с истинностью суждения «некоторые республики не являются неблагодарными», однако если мы вспомним нашу договоренность считать, что слово «некоторые» не исключает понимания в смысле «все», то увидим, что не можем вывести истинность одного из этих суждений из истинности другого. Однако если какое-то из них является ложным, другое должно быть истинным. Следовательно, суждения типа I и О являются субконтрарными. Этот вывод также следует из того факта, что сужения типа А и Е являются противоположными (контрарными). А поскольку суждения типа О и I противоречат суждениям типа А и Е соответственно, и поскольку противоположные суждения не могут вместе быть истинными, то суждения типа О и I не могут вместе быть ложными. Если суждения типа А и Е могут вместе быть ложными, то суждения типа О и I могут вместе быть истинными.

 
   Данные отношения между категорическими суждениями были представлены в древнем квадрате противопоставлений^[27]. Мы также можем построить следующую таблицу обоснованных выводов из каждого из четырех видов категорических суждений.

 
   В заключение отметим, что без допущения относительно существования, которое мы сделали в начале этого параграфа, суждения типа I и О не могут быть выведены из суждений типа А и Е соответственно. Более того, без этого допущения суждения типа Л и Е не были бы противоположными, поскольку в таком случае могли бы вместе быть истинными. Так, суждения «все бессмертные люди находятся в этой комнате» и «ни один бессмертный человек не находится в этой комнате» были бы вместе истинными, если бы не существовало бессмертных людей. Однако поскольку ложно то, что существуют бессмертные люди, то (согласно интерпретации, которую мы дали частным суждениям) суждение «некоторые бессмертные люди находятся в этой комнате» и суждение «некоторые бессмертные люди не находятся в этой комнате» являются ложными. Следовательно, суждения, противоречащие данным, должны быть истинными.

§ 5. Противопоставление различных видов суждений

   Одним из источников интеллектуальных заблуждений является слишком поспешное допущение о том, что любые два неэквивалентных суждения являются взаимоисключающими. Люди долго спорили об отношении между сознанием и телом, между влияниями, оказываемыми наследственностью и окружающей средой, между эгоизмом и альтруизмом, искусством и природой. Зачастую эти споры проходили без осознания того, что из того факта, что рассматриваемые альтернативы не являлись эквивалентными, не следовало, что они исключали друг друга. Две вещи, соотносящиеся как часть и целое, не являются идентичными, однако они, разумеется, не являются противоположными. Суждение «все последователи православной греческой церкви – истинно верующие» не эквивалентно суждению «все христиане – истинно верующие», однако это не значит, что данные два суждения несовместимы.

Контрадикторное противопоставление сложных суждений

   Отношение противоречия мы видели в традиционном квадрате противопоставлений на примере таких суждений, как «все мусульмане – истинно верующие» и «некоторые мусульмане не являются истинно верующими». Однако неверно думать, что всегда легко распознать, какие суждения состоят в данном отношении друг к другу.
   Предположим, что читатель, изучающий работу Руссо «Об общественном договоре», резко не согласен с первым предложением первой главы: «Человек рождается свободным, но повсюду он в оковах». Каким образом он может возразить данному утверждению? Или, допустим, он хочет отрицать утверждение, высказываемое несколько ниже в том же самом тексте: «Самый сильный никогда не бывает настолько силен, чтобы оставаться постоянно повелителем, если он не превращает своей силы в право, а повиновения ему – в обязанность». Какое суждение можно противопоставить данному в качестве противоречащего? Наконец, какое суждение, по мнению читателя, будет противоречить суждению «суверенитет… являет собою волю народа как целого либо – только одной его части»?^[28]
   Начнем с конъюнктивного суждения р: «человек рождается свободным и повсюду он в оковах». Утверждать данное суждение означает утверждать, что оба конъюнкта истинны, следовательно, отрицание данного суждения должно означать, что неверно, что оба конъюнкта истинны, т. е. что, по крайней мере, один из них ложен. В таком случае дизъюнкция q «некоторые люди не являются рожденными свободными или человек не является повсюду в оковах» будет противоречащим суждением относительно исходного. Читателю следует убедиться в том, что данные два суждения не могут вместе быть истинными и вместе быть ложными. Можно также получить и другие формы противоречия, поскольку данная дизъюнкция эквивалентна суждению «если все люди являются рожденными свободными, то они не суть в оковах», а также суждению «если человек повсюду в оковах, то некоторые люди не являются рожденными свободными».
   Далее рассмотрим суждение «самый сильный никогда не бывает настолько силен, чтобы оставаться постоянно повелителем, если он не превращает своей силы в право, а повиновения ему – в обязанность». Это суждение является условным и может быть выражено следующим образом: «если самый сильный не превращает свою силу в право, а повиновение ему в обязанность, то он никогда не бывает настолько силен, чтобы оставаться постоянно повелителем». Данное суждение эквивалентно строгой дизъюнкции «неверно, что самый сильный не превращает свою силу в право, а повиновение ему в обязанность и что вместе с этим он является иногда достаточно сильным, чтобы оставаться постоянно повелителем». Суждением, противоречащим данному, следовательно, будет суждение «самый сильный не превращает свою силу в право, а повиновение ему в обязанность, и он иногда является достаточно сильным, чтобы оставаться постоянно повелителем».
   Наконец, суждение «суверенитет являет собою волю народа как целого, либо только одной его части» является дизъюнктивным и может быть выражено как «суверенитет является волей народа как целого или он является волей одной его части». Поскольку данное суждение эквивалентно строго дизъюнктивному суждению, противоречить ему будет следующая конъюнкция: «суверенитет не является волей народа как целого и он не является волей одной его части».