Примем следующие конвенции. Круг, нарисованный сплошной линией, будет означать распределенный термин. Круг, изображенный (частично или полностью) пунктиром, будет означать нераспределенный термин. Круг, нарисованный внутри другого круга, будет означать то, что один класс включен в другой класс. Два несоприкасающихся круга будут означать взаимное исключение двух классов. Наконец, два пересекающихся круга будут означать либо неопределенное частичное включение, либо неопределенное частичное исключение.
Четыре отношения между классами, обозначаемыми терминами «дворник» и «бедняк», характеризуют четыре категорических суждения (в каждом из которых субъект представлен термином «дворник») и схематично могут быть выражены следующим образом:
Круг с буквой «S» означает класс «дворники» (субъект), а круг с буквой «Р» означает класс «бедняки» (предикат).
Иногда удобно пользоваться другим методом, выражающим структуру категорических суждений. Его разработал английский логик Джон Венн. Сначала мы усматриваем то, что каждое суждение неявно указывает на некоторый контекст, в рамках которого оно является значимым. Так, суждение «Гамлет убил Полония» указывает на пьесу Шекспира. Назовем область указания предметной областью (универсумом рассуждения) и представим его на схеме в виде прямоугольника. Читатель может видеть, что два класса, вместе с их отрицаниями, образуют лишь четыре комбинации. (Под термином «отрицание класса» понимается что угодно в предметной области, не входящее в данный класс.) Например, в предметной области, состоящей только из людей, существуют объекты, являющиеся и дворниками, и бедняками (символически выраженные как SP), или которые являются дворниками, но не бедняками (
), или не являющиеся дворниками, но являющиеся бедняками (
), или ни теми, ни другими (
). Предметная область, таким образом, делится на четыре возможных сектора. Однако не всегда такие возможные отсеки будут содержать индивидов в качестве членов. В каких отсеках будут индивиды, а в каких нет, будет зависеть от того, что утверждается в суждениях, указывающих на соответствующую предметную область.
Поэтому изобразим два пересекающихся круга внутри прямоугольника. Мы автоматически получим четыре различных сектора, по одному на каждую из указанных логических возможностей. Поскольку в суждении типа А утверждается, что все дворники включены в класс бедняков, класс дворников, не являющихся бедняками, не может содержать никаких членов. Чтобы проявить это на схеме, договоримся заштриховывать соответствующий сектор. Таким образом, на схеме для суждения типа А будет показано, что сектор пуст. Мы также можем продемонстрировать это более наглядно, написав под прямоугольником « = 0», где «0» означает, что данный класс не содержит членов. Далее суждение «все дворники – бедняки» подразумевает, что в его предметной области не существует индивидов, которые являлись дворниками, но не бедняками.
В случае с суждением типа I процедура его выражения – несколько иная. Если мы зададимся вопросом о том, что, собственно, утверждается в суждении «некоторые дворники – бедняки», то обнаружим, что в нем не утверждается, что существуют индивиды, являющиеся дворниками, но не бедняками (здесь читатель может вспомнить, что нами было сказано выше относительно значения слова «некоторые»). В данном суждении также не утверждается и того, что в каждом из четырех секторов содержатся члены. Минимум, необходимый для того, чтобы данное суждение было истинным, заключается в требовании того, чтобы класс индивидов, которые являются дворниками и бедняками, не был пустым.
Договоримся обозначать данный минимум изображением звездочки в секторе SP, которая будет указывать на то, что он не является пустым. Тем самым мы не уточняем, содержатся члены в других секторах или нет. Еще один способ обозначить непустой сектор – это написать «SP ≠ 0» под прямоугольником. Данная запись сообщает, что в данном неравенстве часть, находящаяся слева, не лишена членов. Читателю следует подробно изучить оставшиеся схемы. Он обнаружит, что анализ суждений типа Е и О похож на анализ суждений типа А и I соответственно.
Экзистенциальная нагруженность категорических суждений
§ 3. Сложные, простые и родовые общие суждения
Сложные суждения
Простые суждения
Четыре отношения между классами, обозначаемыми терминами «дворник» и «бедняк», характеризуют четыре категорических суждения (в каждом из которых субъект представлен термином «дворник») и схематично могут быть выражены следующим образом:
Иногда удобно пользоваться другим методом, выражающим структуру категорических суждений. Его разработал английский логик Джон Венн. Сначала мы усматриваем то, что каждое суждение неявно указывает на некоторый контекст, в рамках которого оно является значимым. Так, суждение «Гамлет убил Полония» указывает на пьесу Шекспира. Назовем область указания предметной областью (универсумом рассуждения) и представим его на схеме в виде прямоугольника. Читатель может видеть, что два класса, вместе с их отрицаниями, образуют лишь четыре комбинации. (Под термином «отрицание класса» понимается что угодно в предметной области, не входящее в данный класс.) Например, в предметной области, состоящей только из людей, существуют объекты, являющиеся и дворниками, и бедняками (символически выраженные как SP), или которые являются дворниками, но не бедняками (
), или не являющиеся дворниками, но являющиеся бедняками (), или ни теми, ни другими (). Предметная область, таким образом, делится на четыре возможных сектора. Однако не всегда такие возможные отсеки будут содержать индивидов в качестве членов. В каких отсеках будут индивиды, а в каких нет, будет зависеть от того, что утверждается в суждениях, указывающих на соответствующую предметную область.Поэтому изобразим два пересекающихся круга внутри прямоугольника. Мы автоматически получим четыре различных сектора, по одному на каждую из указанных логических возможностей. Поскольку в суждении типа А утверждается, что все дворники включены в класс бедняков, класс дворников, не являющихся бедняками, не может содержать никаких членов. Чтобы проявить это на схеме, договоримся заштриховывать соответствующий сектор. Таким образом, на схеме для суждения типа А будет показано, что сектор
пуст. Мы также можем продемонстрировать это более наглядно, написав под прямоугольником « = 0», где «0» означает, что данный класс не содержит членов. Далее суждение «все дворники – бедняки» подразумевает, что в его предметной области не существует индивидов, которые являлись дворниками, но не бедняками.В случае с суждением типа I процедура его выражения – несколько иная. Если мы зададимся вопросом о том, что, собственно, утверждается в суждении «некоторые дворники – бедняки», то обнаружим, что в нем не утверждается, что существуют индивиды, являющиеся дворниками, но не бедняками (здесь читатель может вспомнить, что нами было сказано выше относительно значения слова «некоторые»). В данном суждении также не утверждается и того, что в каждом из четырех секторов содержатся члены. Минимум, необходимый для того, чтобы данное суждение было истинным, заключается в требовании того, чтобы класс индивидов, которые являются дворниками и бедняками, не был пустым.
Договоримся обозначать данный минимум изображением звездочки в секторе SP, которая будет указывать на то, что он не является пустым. Тем самым мы не уточняем, содержатся члены в других секторах или нет. Еще один способ обозначить непустой сектор – это написать «SP ≠ 0» под прямоугольником. Данная запись сообщает, что в данном неравенстве часть, находящаяся слева, не лишена членов. Читателю следует подробно изучить оставшиеся схемы. Он обнаружит, что анализ суждений типа Е и О похож на анализ суждений типа А и I соответственно.
Экзистенциальная нагруженность категорических суждений
Если мы на данном этапе сравним наши схемы, то обнаружим, что между общими и частными суждениями имеет место примечательное различие. В общих суждениях не утверждается существование каких-либо индивидов, но при этом в них также попросту отрицается существование индивидов того или иного вида. В частных суждениях не отрицается существование чего-либо, однако просто утверждается то, что некоторые классы имеют члены. Следовательно, общее суждение «все дворники – бедняки» означает только следующее: если некоторый индивид является дворником, то он является бедняком. Здесь не утверждается, что на самом деле имеются индивиды, являющиеся дворниками. С другой стороны, частное суждение «некоторые дворники – бедняки» означает, что существует, по крайней мере, один индивид, являющийся одновременно и дворником, и бедняком.
Мы предвосхитим некоторые последующие темы данной книги, сформулировав суть дела следующим образом. Общее суждение «все дворники – бедняки» следует понимать как утверждающее: для всех частных случаев или значений X, если X является дворником, то X является бедняком. Частное суждение «некоторые дворники – бедняки» следует понимать как утверждающее: существует X такой, что X является дворником и что X является бедняком. Данное уточнение поможет нам понять, почему для современной логики представляется проблематичной одинаковая классификация таких суждений, как «Наполеон был солдатом» и «все французы – солдаты». Второе суждение, как мы видели, при анализе означает: для всех частных случаев или значений X, если X является французом, то X является солдатом. Первое же суждение, в свою очередь, никак не может быть понято подобным образом. Мы еще вернемся к данной теме.
Мы достигли следующего заключения: общие суждения не имплицируют существования каких-либо конкретных случаев, тогда как частные суждения имплицируют. Данное заключение может показаться читателю парадоксальным. (В самом деле, для того чтобы прояснить, насколько данное заключение зависит от наших соглашений, а насколько навязывается нам логическими соображениями, требуется более подробное исследование, чем то, которое мы можем себе здесь позволить.) Быть может, читатель приведет в пример суждение типа «все собаки суть верные» и скажет, что оно имплицирует существование собак. Действительно, может вполне статься, что, утверждая «все собаки суть верные», читатель может подразумевать и утверждать суждение «существуют собаки». Однако в таком случае ему следует обратить внимание, что он делает два отдельных и отличающихся друг от друга утверждения. В суждении же «пусть бросит камень тот, кто безгрешен» с очевидностью не имплицируется, что в действительности существуют безгрешные индивиды. Общее суждение может быть просто гипотезой относительно класса, который, как мы заранее знаем, не содержит членов.
Так, первый закон движения Ньютона гласит: все тела, не испытывающие воздействия со стороны других тел, всегда сохраняют состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Станет ли читатель утверждать, что в данном суждении утверждается существование какого-либо тела, не испытывающего воздействия со стороны других тел? Нам стоит лишь напомнить ему о законе тяготения, согласно которому все тела притягивают друг друга. В первом же законе Ньютона утверждается гипотеза о том, что если бы некоторое тело не испытывало воздействия со стороны других тел, оно всегда сохраняло бы состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Точно так же в принципе рычага говорится о том, что имело бы место, если бы рычаг был идеально жестким телом. В этом принципе не утверждается, что такое тело существует. На самом деле исследование принципов различных наук достаточно ясно демонстрирует, что общие суждения в науке всегда функционируют в качестве гипотез, а не высказываний о фактах, в которых утверждалось бы существование индивидов, представлявших частные случаи данных суждений. Разумеется, истинным является и то, что если бы общие суждения не были применимыми в практике, то стали бы бесполезными для науки, которая имеет дело с фактами. Истинно также и то, что значение общих высказываний требует, по крайней мере, применимости в возможных фактах. Однако мы не можем отождествлять абстрактные возможности, описываемые общими суждениями, и то, что действительно существует, поскольку последнее является местом, в котором абстрактные возможности либо исключаются, либо сочетаются с другими возможностями. Так, инерция считается фазой любого механического действия, хотя ни один частный случай инерции самой по себе не может быть найден в природе. Принцип рычага применим в той мере, в какой тела в действительности являются жесткими, хотя нет частных примеров чистой жесткости отдельно от других свойств тел.
На данный вопрос можно посмотреть и с другой стороны. До настоящего момента мы говорили, что в суждениях утверждаются отношения между классами индивидов. На с. 68 мы видели, что суждения могут пониматься как утверждающие определенные связи между признаками. Рассмотрение общих суждений, как не утверждающих существования каких-либо индивидов, выводит на первый план их понимание в терминах постоянных связей между признаками.
Наконец, следует отметить, что, затрагивая вопрос об экзистенциальной нагруженности, мы вовсе не обязаны сводить область указания терминов к физическому универсуму. Когда мы спрашиваем: «Была ли у Юпитера дочь?» или «Был Гамлет на самом деле сумасшедшим?», мы задаемся вопросом не о физическом существовании, а о существовании индивидов в рамках некоторой предметной области, управляемой определенными допущениями, в нашем случае утверждениями о Гомере или Шекспире. Поэтому индивид, «существование» которого допускается в одной предметной области (универсуме рассуждения), может не существовать в другой. В суждении «Самсон – это чистый миф» отрицается существование Самсона в универсуме достоверной истории, однако, разумеется, оно не отрицается для области библейской мифологии.
Таким образом, когда в формальной логике говорится о том, что общие суждения не имплицируют, а частные имплицируют существование отдельных случаев, читатель может понимать это (по крайней мере, отчасти) как указание на различные функции, которые каждый из типов суждений выполняет в научном исследовании. Мы не можем обоснованно выводить истинность суждения, в котором речь идет о наблюдении, из посылок, в которых не содержится суждения, полученного на основании наблюдения. Точно так же не можем мы и выводить истинность частного суждения только из посылок, содержащих общие суждения, если, конечно, мы неявным образом не допускаем как само собой разумеющееся существование членов классов, на которые указывают термины общих суждений.
Мы предвосхитим некоторые последующие темы данной книги, сформулировав суть дела следующим образом. Общее суждение «все дворники – бедняки» следует понимать как утверждающее: для всех частных случаев или значений X, если X является дворником, то X является бедняком. Частное суждение «некоторые дворники – бедняки» следует понимать как утверждающее: существует X такой, что X является дворником и что X является бедняком. Данное уточнение поможет нам понять, почему для современной логики представляется проблематичной одинаковая классификация таких суждений, как «Наполеон был солдатом» и «все французы – солдаты». Второе суждение, как мы видели, при анализе означает: для всех частных случаев или значений X, если X является французом, то X является солдатом. Первое же суждение, в свою очередь, никак не может быть понято подобным образом. Мы еще вернемся к данной теме.
Мы достигли следующего заключения: общие суждения не имплицируют существования каких-либо конкретных случаев, тогда как частные суждения имплицируют. Данное заключение может показаться читателю парадоксальным. (В самом деле, для того чтобы прояснить, насколько данное заключение зависит от наших соглашений, а насколько навязывается нам логическими соображениями, требуется более подробное исследование, чем то, которое мы можем себе здесь позволить.) Быть может, читатель приведет в пример суждение типа «все собаки суть верные» и скажет, что оно имплицирует существование собак. Действительно, может вполне статься, что, утверждая «все собаки суть верные», читатель может подразумевать и утверждать суждение «существуют собаки». Однако в таком случае ему следует обратить внимание, что он делает два отдельных и отличающихся друг от друга утверждения. В суждении же «пусть бросит камень тот, кто безгрешен» с очевидностью не имплицируется, что в действительности существуют безгрешные индивиды. Общее суждение может быть просто гипотезой относительно класса, который, как мы заранее знаем, не содержит членов.
Так, первый закон движения Ньютона гласит: все тела, не испытывающие воздействия со стороны других тел, всегда сохраняют состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Станет ли читатель утверждать, что в данном суждении утверждается существование какого-либо тела, не испытывающего воздействия со стороны других тел? Нам стоит лишь напомнить ему о законе тяготения, согласно которому все тела притягивают друг друга. В первом же законе Ньютона утверждается гипотеза о том, что если бы некоторое тело не испытывало воздействия со стороны других тел, оно всегда сохраняло бы состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Точно так же в принципе рычага говорится о том, что имело бы место, если бы рычаг был идеально жестким телом. В этом принципе не утверждается, что такое тело существует. На самом деле исследование принципов различных наук достаточно ясно демонстрирует, что общие суждения в науке всегда функционируют в качестве гипотез, а не высказываний о фактах, в которых утверждалось бы существование индивидов, представлявших частные случаи данных суждений. Разумеется, истинным является и то, что если бы общие суждения не были применимыми в практике, то стали бы бесполезными для науки, которая имеет дело с фактами. Истинно также и то, что значение общих высказываний требует, по крайней мере, применимости в возможных фактах. Однако мы не можем отождествлять абстрактные возможности, описываемые общими суждениями, и то, что действительно существует, поскольку последнее является местом, в котором абстрактные возможности либо исключаются, либо сочетаются с другими возможностями. Так, инерция считается фазой любого механического действия, хотя ни один частный случай инерции самой по себе не может быть найден в природе. Принцип рычага применим в той мере, в какой тела в действительности являются жесткими, хотя нет частных примеров чистой жесткости отдельно от других свойств тел.
На данный вопрос можно посмотреть и с другой стороны. До настоящего момента мы говорили, что в суждениях утверждаются отношения между классами индивидов. На с. 68 мы видели, что суждения могут пониматься как утверждающие определенные связи между признаками. Рассмотрение общих суждений, как не утверждающих существования каких-либо индивидов, выводит на первый план их понимание в терминах постоянных связей между признаками.
Наконец, следует отметить, что, затрагивая вопрос об экзистенциальной нагруженности, мы вовсе не обязаны сводить область указания терминов к физическому универсуму. Когда мы спрашиваем: «Была ли у Юпитера дочь?» или «Был Гамлет на самом деле сумасшедшим?», мы задаемся вопросом не о физическом существовании, а о существовании индивидов в рамках некоторой предметной области, управляемой определенными допущениями, в нашем случае утверждениями о Гомере или Шекспире. Поэтому индивид, «существование» которого допускается в одной предметной области (универсуме рассуждения), может не существовать в другой. В суждении «Самсон – это чистый миф» отрицается существование Самсона в универсуме достоверной истории, однако, разумеется, оно не отрицается для области библейской мифологии.
Таким образом, когда в формальной логике говорится о том, что общие суждения не имплицируют, а частные имплицируют существование отдельных случаев, читатель может понимать это (по крайней мере, отчасти) как указание на различные функции, которые каждый из типов суждений выполняет в научном исследовании. Мы не можем обоснованно выводить истинность суждения, в котором речь идет о наблюдении, из посылок, в которых не содержится суждения, полученного на основании наблюдения. Точно так же не можем мы и выводить истинность частного суждения только из посылок, содержащих общие суждения, если, конечно, мы неявным образом не допускаем как само собой разумеющееся существование членов классов, на которые указывают термины общих суждений.
§ 3. Сложные, простые и родовые общие суждения
До настоящего момента нами анализировались только категорические суждения. Однако логические связи присутствуют и между более сложными формами суждений. Рассмотрим следующие суждения:
1. Вес В равен весу G.
2. Прямые АВ и CD параллельны.
3. Если углы AFG и CGF больше двух прямых углов, то оставшиеся углы BFG, DGF меньше двух прямых углов.
4. Сумма внутренних углов одной и той же стороны либо равна, либо больше, либо меньше, чем два прямых угла.
При сравнении первых двух суждений со вторыми двумя видно, что, в отличие от первых двух суждений, вторые два содержат суждения в качестве своих составных компонентов или элементов. Таким образом, «если углы AFG и CGF больше двух прямых углов» и «оставшиеся углы BFG, DGF меньше двух прямых углов» – это тоже суждения, являющиеся компонентами суждений 3 и 4.
Назовем все суждения, содержащие в качестве своих компонентов другие суждения, сложными. При этом читателю следует иметь в виду, что в форме предложения не всегда проявляется выражаемое им суждение. Вспомним сказанное нами в конце предыдущего параграфа, в котором анализировались категорические суждения.
1. Вес В равен весу G.
2. Прямые АВ и CD параллельны.
3. Если углы AFG и CGF больше двух прямых углов, то оставшиеся углы BFG, DGF меньше двух прямых углов.
4. Сумма внутренних углов одной и той же стороны либо равна, либо больше, либо меньше, чем два прямых угла.
При сравнении первых двух суждений со вторыми двумя видно, что, в отличие от первых двух суждений, вторые два содержат суждения в качестве своих составных компонентов или элементов. Таким образом, «если углы AFG и CGF больше двух прямых углов» и «оставшиеся углы BFG, DGF меньше двух прямых углов» – это тоже суждения, являющиеся компонентами суждений 3 и 4.
Назовем все суждения, содержащие в качестве своих компонентов другие суждения, сложными. При этом читателю следует иметь в виду, что в форме предложения не всегда проявляется выражаемое им суждение. Вспомним сказанное нами в конце предыдущего параграфа, в котором анализировались категорические суждения.
Сложные суждения
Можно различить четыре типа сложных суждений. В каждом из них простые суждения, входящие в состав сложного, связаны особым отношением.
1. Рассмотрим суждение «если объявлена война, то цены поднимаются». Мы договорились называть суждение, следующее за словом «если» («объявлена война»), «антецедентом», а суждение, вводимое словом «то» («цены поднимаются») – «консеквентом». Иногда частица «то» пропускается, но при этом она неявно подразумевается во всех подобных случаях. Составное суждение, соединяющее два простых посредством отношения, выражаемого союзом «если… то», называется условным, или импликативным.
Что мы имеем в виду, когда утверждаем, что условное суждение истинно? Мы, разумеется, не имеем в виду, что истинен антецедент или консеквент, несмотря на то что оба они на деле могут оказаться истинными. Мы пытаемся утверждать, что если антецедент является истинным, то консеквент тоже является истинным. Иными словами, антецедент и консеквент связаны таким образом, что первый не может быть истинным без того, чтобы последний тоже был истинным. Иногда считается, что условное суждение выражает сомнение. Однако данный способ описания этого суждения может вводить в заблуждение. Мы, действительно, можем сомневаться в том, что объявлена война, однако когда мы утверждаем данное условное суждение, мы не сомневаемся: «если объявлена война, то цены поднимаются».
Антецедент и консеквент условного суждения сами по себе также могут быть сложными суждениями. Вследствие этого анализ логической формы суждений будет облегчен, если мы используем особые символы, разработанные специально для проявления логической формы. Договоримся, что штрих, следующий сразу после скобок, будет обозначать отрицание, или негацию, суждения, находящегося внутри скобок. Так, суждение «неверно, что Карл I умер в кровати» может быть записано, как (Карл I умер в кровати)'[18]. Также заменим вербальные символы «если… то» идеографическим символом «⊃»[19]. Условное суждение «если бы Карл I не умер в кровати, то он был обезглавлен» может быть записано так:
(Карл I умер в кровати)′⊃ (он был обезглавлен).
2. Далее рассмотрим еще одно суждение: «все люди эгоистичны или они не ведают собственных интересов». Отношение, связывающее простые суждения, выражается союзом «или». Само сложное суждение мы будем называть дизъюнкцией (или нестрогой дизъюнкцией), а входящие в него простые суждения – членами дизъюнкции.
Что именно мы утверждаем, когда высказываем дизъюнкцию? Мы не стремимся утверждать истинность или ложность конкретного ее члена. Мы не хотим сказать ни «все люди эгоистичны», ни «все люди не ведают собственных интересов». Мы утверждаем только то, что, по крайней мере, один из членов дизъюнкции является истинным.
Однако говорим ли мы при этом, что оба члена вместе не могут быть истинными? В обыденном общении связка «или» может употребляться и в этом смысле. Если передовица какой-нибудь газеты содержит такое дизъюнктивное высказывание, как «либо будет принята национальная программа экономического развития, либо революция станет неизбежной», то обычно предполагается, что истинной должна быть лишь одна из двух альтернатив. С другой стороны, когда мы говорим про кого-то «он или дурак, или плут», то мы вовсе не исключаем возможности того, что оба варианта окажутся истинными. Чтобы избежать двусмысленности, мы примем то понимание, согласно которому в дизъюнктивном суждении утверждается как можно меньше. Поэтому дизъюнкция будет пониматься нами как означающая, что, по крайней мере, одна из альтернатив является истинной, но истинными также могут быть и обе.
Отношение «или» удобно выражать отдельным символом. Мы будем использовать символ «∨». Он будет ставиться между членами дизъюнкции. Суждение «он или дурак, или плут» может, таким образом, быть выражено как:
«(он – дурак) ∨ (он – плут)».
3. Рассмотрим еще одно сложное суждение: «Луна – полная, и Венера является утренней звездой». Отношение, связывающее простые суждения, выражено союзом «и» и называется конъюнкцией. Суждения, входящие в состав конъюнкции, мы будем называть конъюнктами.
Что именно утверждается в конъюнктивном суждении? Ясно, что в нем утверждается не только истинность суждений «Луна – полная» и «Венера есть утренняя звезда», взятых поодиночке. В нем утверждается истинность конъюнктов, взятых вместе. Следовательно, если один из членов конъюнкции является ложным, то ложна и вся конъюнкция. Конъюнкцию следует рассматривать как единое сложное суждение, а не перечисление нескольких простых суждений.
Для обозначения отношения, выраженного союзом «и», мы будем использовать специальный символ. Конъюнкция отныне будет обозначаться знаком «.» (точкой)[20]. Так, суждение «Луна – полная, и Венера – утренняя звезда» может быть записано как:
(Луна – полная). (Венера есть утренняя звезда).
4. Читатель может задаться вопросом о том, какую роль конъюнктивное суждение может играть в умозаключении. Конъюнкция, скажет он, никогда не сможет послужить основанием для истинности какого-либо из конъюнктов. Так, если мы сомневаемся относительно истинности суждения «мои часы – точные», сможем ли мы привести в качестве основания его истинности конъюнкцию «мои часы – точные, и все механизмы, работающие по принципу водяной мельницы, зависимы от изменений климата»? Действительно, установить истинность конъюнкции гораздо сложнее, чем установить истинность какого-либо из конъюнктов.
Ответом на данное возражение может послужить указание на то, что из конъюнкции может быть выведено нечто такое, чего нельзя вывести из ее членов по отдельности. Более того, суждение, в котором конъюнкция отрицается, крайне полезно для умозаключений. Отрицание конъюнктивного суждения дает четвертый тип сложного суждения. Отрицанием суждения «мои часы – точные, и все механизмы, работающие по принципу водяной мельницы, зависимы от изменений климата» является суждение «неверно, что мои часы точные, и вместе с этим все механизмы, работающие по принципу водяной мельницы, зависимы от изменений климата». Это значит, что, по крайней мере, один из дизъюнктов является ложным. Отрицание конъюнкции мы будем называть строгой дизъюнкцией, а ее составные элементы – членами строгой дизъюнкции. Поскольку в конъюнкции утверждается, что оба конъюнкта – истинны, то в отрицании конъюнкции, т. е. в строгой дизъюнкции, утверждается, что, по крайней мере, один из ее членов является ложным[21]. Оба члена строгой дизъюнкции не могут быть истинными.
Мы уже сказали о том, что в обыденной речи члены нестрогой дизъюнкции могут использоваться как взаимоисключающие. Так, в суждении «он – холостяк или он женат» истинность одного из дизъюнктов исключает истинность другого[22]. Такая дизъюнкция в обыденной речи неявно является строгой. Поскольку обыденное значение суждения «он – холостяк или он женат» включает в себя «неверно, что и то, и другое», его можно выразить как:
[(он – холостяк) ∨ (он женат)] .
. [(он – холостяк) . (он женат)]′
Применим рассмотренные различия для того, чтобы выразить логическую форму некоторых сложных суждений. Рассмотрим следующий аргумент: если каждая отдельная расовая группа характеризуется индивидуальной культурой, то все нации отличаются друг от друга в культурном смысле или национальные различия не совпадают, полностью или частично, с расовыми. Однако истинным не является ни то, что различные нации обладают индивидуальными культурами, ни то, что национальные различия не совпадают с расовыми различиями. Следовательно, то, что каждая раса обладает индивидуальной культурой, ложно.
Используем буквы р, q, r для обозначения следующих простых суждений данного аргумента:
р ≡ каждая отдельная расовая группа характеризуется индивидуальной культурой;
q ≡ все нации отличаются друг от друга в культурном смысле;
r ≡ национальные различия не совпадают, полностью или частично, с расовыми.
Посылки и заключение данного аргумента можно представить следующим образом:
a. p ⊃ (q ∨ r)
b. q′ . r′
c. p′
Суждения а, b и с отличаются друг от друга логической формой, и символьная запись помогает это отличие проявить. Обоснованность аргумента зависит от структуры или формы суждений а, b и с, поскольку заключение следует из посылок только если истинно:
d. (а . b) ⊃ c
Читателю следует отметить, что можно провести важное различие между отношением антецедента условного суждения к его консеквенту (как в суждении а), с одной стороны, и отношением между посылками обоснованного аргумента к заключению (как в суждении d) – с другой. Для установления отношения антецедента к консеквенту нужно предоставить материальное (или фактическое) основание, тогда как для установления отношения между посылками и заключением такое основание неуместно и невозможно, поскольку такое отношение имеет место, только когда один из терминов этого отношения логически или аналитически содержится в другом. Однако у этих двух отношений есть и общая черта, заключающаяся в том, что ни то, ни другое не имеет места в случае истинности антецедента или посылки и ложности консеквента или заключения. Именно эта общая черта обозначается связкой «если… то» или знаком «⊃». Читателю при этом следует помнить, что две вещи, схожие в одном смысле, могут быть различными в другом, равно как и две вещи, отличные друг от друга в одном смысле, могут оказаться в чем-то другом схожими.
1. Рассмотрим суждение «если объявлена война, то цены поднимаются». Мы договорились называть суждение, следующее за словом «если» («объявлена война»), «антецедентом», а суждение, вводимое словом «то» («цены поднимаются») – «консеквентом». Иногда частица «то» пропускается, но при этом она неявно подразумевается во всех подобных случаях. Составное суждение, соединяющее два простых посредством отношения, выражаемого союзом «если… то», называется условным, или импликативным.
Что мы имеем в виду, когда утверждаем, что условное суждение истинно? Мы, разумеется, не имеем в виду, что истинен антецедент или консеквент, несмотря на то что оба они на деле могут оказаться истинными. Мы пытаемся утверждать, что если антецедент является истинным, то консеквент тоже является истинным. Иными словами, антецедент и консеквент связаны таким образом, что первый не может быть истинным без того, чтобы последний тоже был истинным. Иногда считается, что условное суждение выражает сомнение. Однако данный способ описания этого суждения может вводить в заблуждение. Мы, действительно, можем сомневаться в том, что объявлена война, однако когда мы утверждаем данное условное суждение, мы не сомневаемся: «если объявлена война, то цены поднимаются».
Антецедент и консеквент условного суждения сами по себе также могут быть сложными суждениями. Вследствие этого анализ логической формы суждений будет облегчен, если мы используем особые символы, разработанные специально для проявления логической формы. Договоримся, что штрих, следующий сразу после скобок, будет обозначать отрицание, или негацию, суждения, находящегося внутри скобок. Так, суждение «неверно, что Карл I умер в кровати» может быть записано, как (Карл I умер в кровати)'[18]. Также заменим вербальные символы «если… то» идеографическим символом «⊃»[19]. Условное суждение «если бы Карл I не умер в кровати, то он был обезглавлен» может быть записано так:
(Карл I умер в кровати)′⊃ (он был обезглавлен).
2. Далее рассмотрим еще одно суждение: «все люди эгоистичны или они не ведают собственных интересов». Отношение, связывающее простые суждения, выражается союзом «или». Само сложное суждение мы будем называть дизъюнкцией (или нестрогой дизъюнкцией), а входящие в него простые суждения – членами дизъюнкции.
Что именно мы утверждаем, когда высказываем дизъюнкцию? Мы не стремимся утверждать истинность или ложность конкретного ее члена. Мы не хотим сказать ни «все люди эгоистичны», ни «все люди не ведают собственных интересов». Мы утверждаем только то, что, по крайней мере, один из членов дизъюнкции является истинным.
Однако говорим ли мы при этом, что оба члена вместе не могут быть истинными? В обыденном общении связка «или» может употребляться и в этом смысле. Если передовица какой-нибудь газеты содержит такое дизъюнктивное высказывание, как «либо будет принята национальная программа экономического развития, либо революция станет неизбежной», то обычно предполагается, что истинной должна быть лишь одна из двух альтернатив. С другой стороны, когда мы говорим про кого-то «он или дурак, или плут», то мы вовсе не исключаем возможности того, что оба варианта окажутся истинными. Чтобы избежать двусмысленности, мы примем то понимание, согласно которому в дизъюнктивном суждении утверждается как можно меньше. Поэтому дизъюнкция будет пониматься нами как означающая, что, по крайней мере, одна из альтернатив является истинной, но истинными также могут быть и обе.
Отношение «или» удобно выражать отдельным символом. Мы будем использовать символ «∨». Он будет ставиться между членами дизъюнкции. Суждение «он или дурак, или плут» может, таким образом, быть выражено как:
«(он – дурак) ∨ (он – плут)».
3. Рассмотрим еще одно сложное суждение: «Луна – полная, и Венера является утренней звездой». Отношение, связывающее простые суждения, выражено союзом «и» и называется конъюнкцией. Суждения, входящие в состав конъюнкции, мы будем называть конъюнктами.
Что именно утверждается в конъюнктивном суждении? Ясно, что в нем утверждается не только истинность суждений «Луна – полная» и «Венера есть утренняя звезда», взятых поодиночке. В нем утверждается истинность конъюнктов, взятых вместе. Следовательно, если один из членов конъюнкции является ложным, то ложна и вся конъюнкция. Конъюнкцию следует рассматривать как единое сложное суждение, а не перечисление нескольких простых суждений.
Для обозначения отношения, выраженного союзом «и», мы будем использовать специальный символ. Конъюнкция отныне будет обозначаться знаком «.» (точкой)[20]. Так, суждение «Луна – полная, и Венера – утренняя звезда» может быть записано как:
(Луна – полная). (Венера есть утренняя звезда).
4. Читатель может задаться вопросом о том, какую роль конъюнктивное суждение может играть в умозаключении. Конъюнкция, скажет он, никогда не сможет послужить основанием для истинности какого-либо из конъюнктов. Так, если мы сомневаемся относительно истинности суждения «мои часы – точные», сможем ли мы привести в качестве основания его истинности конъюнкцию «мои часы – точные, и все механизмы, работающие по принципу водяной мельницы, зависимы от изменений климата»? Действительно, установить истинность конъюнкции гораздо сложнее, чем установить истинность какого-либо из конъюнктов.
Ответом на данное возражение может послужить указание на то, что из конъюнкции может быть выведено нечто такое, чего нельзя вывести из ее членов по отдельности. Более того, суждение, в котором конъюнкция отрицается, крайне полезно для умозаключений. Отрицание конъюнктивного суждения дает четвертый тип сложного суждения. Отрицанием суждения «мои часы – точные, и все механизмы, работающие по принципу водяной мельницы, зависимы от изменений климата» является суждение «неверно, что мои часы точные, и вместе с этим все механизмы, работающие по принципу водяной мельницы, зависимы от изменений климата». Это значит, что, по крайней мере, один из дизъюнктов является ложным. Отрицание конъюнкции мы будем называть строгой дизъюнкцией, а ее составные элементы – членами строгой дизъюнкции. Поскольку в конъюнкции утверждается, что оба конъюнкта – истинны, то в отрицании конъюнкции, т. е. в строгой дизъюнкции, утверждается, что, по крайней мере, один из ее членов является ложным[21]. Оба члена строгой дизъюнкции не могут быть истинными.
Мы уже сказали о том, что в обыденной речи члены нестрогой дизъюнкции могут использоваться как взаимоисключающие. Так, в суждении «он – холостяк или он женат» истинность одного из дизъюнктов исключает истинность другого[22]. Такая дизъюнкция в обыденной речи неявно является строгой. Поскольку обыденное значение суждения «он – холостяк или он женат» включает в себя «неверно, что и то, и другое», его можно выразить как:
[(он – холостяк) ∨ (он женат)] .
. [(он – холостяк) . (он женат)]′
Применим рассмотренные различия для того, чтобы выразить логическую форму некоторых сложных суждений. Рассмотрим следующий аргумент: если каждая отдельная расовая группа характеризуется индивидуальной культурой, то все нации отличаются друг от друга в культурном смысле или национальные различия не совпадают, полностью или частично, с расовыми. Однако истинным не является ни то, что различные нации обладают индивидуальными культурами, ни то, что национальные различия не совпадают с расовыми различиями. Следовательно, то, что каждая раса обладает индивидуальной культурой, ложно.
Используем буквы р, q, r для обозначения следующих простых суждений данного аргумента:
р ≡ каждая отдельная расовая группа характеризуется индивидуальной культурой;
q ≡ все нации отличаются друг от друга в культурном смысле;
r ≡ национальные различия не совпадают, полностью или частично, с расовыми.
Посылки и заключение данного аргумента можно представить следующим образом:
a. p ⊃ (q ∨ r)
b. q′ . r′
c. p′
Суждения а, b и с отличаются друг от друга логической формой, и символьная запись помогает это отличие проявить. Обоснованность аргумента зависит от структуры или формы суждений а, b и с, поскольку заключение следует из посылок только если истинно:
d. (а . b) ⊃ c
Читателю следует отметить, что можно провести важное различие между отношением антецедента условного суждения к его консеквенту (как в суждении а), с одной стороны, и отношением между посылками обоснованного аргумента к заключению (как в суждении d) – с другой. Для установления отношения антецедента к консеквенту нужно предоставить материальное (или фактическое) основание, тогда как для установления отношения между посылками и заключением такое основание неуместно и невозможно, поскольку такое отношение имеет место, только когда один из терминов этого отношения логически или аналитически содержится в другом. Однако у этих двух отношений есть и общая черта, заключающаяся в том, что ни то, ни другое не имеет места в случае истинности антецедента или посылки и ложности консеквента или заключения. Именно эта общая черта обозначается связкой «если… то» или знаком «⊃». Читателю при этом следует помнить, что две вещи, схожие в одном смысле, могут быть различными в другом, равно как и две вещи, отличные друг от друга в одном смысле, могут оказаться в чем-то другом схожими.
Простые суждения
Разложение сложных суждений на составляющие их суждения явным образом относится к логике. Однако разложение предложения на его словесные элементы является задачей грамматики. Логически суждения предшествуют словам в том смысле, что суждения не производятся путем объединения слов, тогда как значения слов являются производными только от контекста конкретного суждения. В конечном счете значение слова определяется элементарными суждениями такой формы, как суждения «это – трюфель», «это – пурпурный цвет» и т. п., где слово «это» может быть заменено на определенный указательный жест. Однако, несмотря на то что суждения не могут быть разложены на словесные составляющие, внимание к этим составляющим зачастую способствует логическому анализу или логической классификации суждений. Рассмотрим следующие суждения:
1. Архимед был скромным.
2. Архимед был математиком.
3. Архимед был более великим математиком, чем Евклид.
Согласно традиционному подходу, каждое из этих суждений является категорическим, а его составные элементы – это субъект, предикат и связка. Любое суждение, такое как «Архимед любил математику» или «Архимед бежал голым по улице и кричал «Эврика!»», может быть разложено и трансформировано: «Архимед был любящим математику» или «Архимед был бегущим голым по улице» и т. д. Можно задаваться вопросом о том, не изменяет ли такая трансформация значения суждения. Однако в любом случае суждения можно анализировать и иными способами, отличными от традиционного подхода. Так, используя в качестве модели суждение 2, можно рассматривать любое суждение как утверждающее, что некоторый объект является членом определенного класса. Тогда получится, что в суждении 1 утверждается, что Архимед был членом класса скромных сущностей, а в суждении 3 – что он был членом в классе математиков, более великих, чем Евклид. Данный способ анализа соотносится с классическим так же, как взгляд с точки зрения объема соотносится со взглядом с точки зрения содержания.
Совершенно иным способом анализа суждений является рассмотрение их как утверждающих определенное отношение между двумя или более объектами. Так, в нашем первом суждении утверждается отношение между Архимедом и скромностью (отношение субстанции и признака), в нашем втором суждении утверждается так называемое отношение принадлежности к классу между Архимедом и классом математиков. Таким образом, суждения типа «Архимед решил задачу царя Гиерона» могут быть разложены для получения таких суждений, как «Архимед находился в отношении решателя к задаче царя Гиерона».
1. Архимед был скромным.
2. Архимед был математиком.
3. Архимед был более великим математиком, чем Евклид.
Согласно традиционному подходу, каждое из этих суждений является категорическим, а его составные элементы – это субъект, предикат и связка. Любое суждение, такое как «Архимед любил математику» или «Архимед бежал голым по улице и кричал «Эврика!»», может быть разложено и трансформировано: «Архимед был любящим математику» или «Архимед был бегущим голым по улице» и т. д. Можно задаваться вопросом о том, не изменяет ли такая трансформация значения суждения. Однако в любом случае суждения можно анализировать и иными способами, отличными от традиционного подхода. Так, используя в качестве модели суждение 2, можно рассматривать любое суждение как утверждающее, что некоторый объект является членом определенного класса. Тогда получится, что в суждении 1 утверждается, что Архимед был членом класса скромных сущностей, а в суждении 3 – что он был членом в классе математиков, более великих, чем Евклид. Данный способ анализа соотносится с классическим так же, как взгляд с точки зрения объема соотносится со взглядом с точки зрения содержания.
Совершенно иным способом анализа суждений является рассмотрение их как утверждающих определенное отношение между двумя или более объектами. Так, в нашем первом суждении утверждается отношение между Архимедом и скромностью (отношение субстанции и признака), в нашем втором суждении утверждается так называемое отношение принадлежности к классу между Архимедом и классом математиков. Таким образом, суждения типа «Архимед решил задачу царя Гиерона» могут быть разложены для получения таких суждений, как «Архимед находился в отношении решателя к задаче царя Гиерона».