Страница:
Несмотря на это, гипотеза Таниямы-Шимуры упоминалась в сотнях математических статей, авторы которых рассуждали о том, что произошло бы, если бы ее удалось доказать. Такие статьи начинались с преамбулы: «Предположим, что гипотеза Таниямы-Шимуры верна…» Далее следовал набросок решения какой-нибудь нерешенной задачи. Разумеется, полученные в таких работах результаты были не более чем гипотетическими. В свою очередь, эти результаты включались как предположения в другие результаты, и т. д. Возникла обширная математическая «страна», опиравшаяся только на истинность гипотезы Таниямы-Шимуры. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого нового здания в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы-Шимуры не была доказана, все здание могло рухнуть в любой момент.
В то время Эндрю Уайлс был молодым аспирантом Кембриджского университета, и он отчетливо вспоминает тревогу, которая охватила математическое сообщество в 70-е годы: «Мы строили все новые и новые гипотезы, простиравшиеся все дальше и дальше в будущее, но все это обратилось бы в прах, окажись гипотеза Таниямы-Шимуры неверна. Нам было необходимо доказать ее, чтобы продемонстрировать обоснованность плана, который мы с таким энтузиазмом наметили на будущее».
Математики сложили хрупкий карточный домик. Они мечтали о том, что в один прекрасный день удастся подвести под это сооружение надежный фундамент. Их неотвязно мучил кошмар: кто-нибудь мог доказать, что гипотеза Таниямы-Шимуры неверна, и тем самым свести на нет плоды математических исследований на протяжении двух десятков лет.
Недостающее звено
Глава 6. Тайные вычисления
Завершив под руководством профессора Джона Коутса работу над диссертацией на соискание ученой степени Ph.D. в Кембридже, Уайлс перебрался через Атлантику, в Принстонский университет, где ко времени описываемых событий успел стать профессором. Благодаря научному руководству Коутса, Уайлс, по-видимому, знал об эллиптических кривых больше, чем кто-либо другой в мире, но он прекрасно сознавал, что ни его обширные познания, ни отточенная техника решения математических задач не гарантируют успеха. Гипотеза Таниямы-Шимуры стояла перед ним подобно неприступной крепости.
В 1986 году Эндрю Уайлс узнал, что Великую теорему Ферма, возможно удастся доказать с помощью гипотезы Таниямы-Шимуры
Многие другие математики, в том числе и Джон Коутс, считали любые попытки доказать гипотезу Таниямы-Шимуры безнадежным делом: «Сам я весьма скептически относился к тому, что красивая связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры действительно приведет к какому-нибудь результату. Должен признаться, я не думал, что гипотеза Таниямы-Шимуры доказуема. Как ни красива эта проблема, решить ее не представлялось возможным. Я полагал, что мне не удастся увидеть ее доказанной при жизни».
Уайлс знал, что шансы на успех у него чрезвычайно малы. Но даже если бы ему не удалось найти доказательство Великой теоремы Ферма, то он не считал бы, что усилия потрачены им напрасно: «Разумеется, гипотеза Таниямы-Шимуры долгие годы оставалась открытой. Ни у кого не было даже намеков на доказательство, но, по крайней мере, эта гипотеза оставалась в основном русле развития математики. Пытаясь найти доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры, я мог получить результаты, которые, хотя они и не позволят решить проблему в целом, все же можно будет считать хорошей математикой. Я не напрасно потрачу время. Итак, роман с Ферма, длившийся всю мою жизнь, сколько я себя помню, дополнился проблемой, которую высокие профессионалы считали неразрешимой».
На чердаке отшельника
Дуэль с бесконечностью
В то время Эндрю Уайлс был молодым аспирантом Кембриджского университета, и он отчетливо вспоминает тревогу, которая охватила математическое сообщество в 70-е годы: «Мы строили все новые и новые гипотезы, простиравшиеся все дальше и дальше в будущее, но все это обратилось бы в прах, окажись гипотеза Таниямы-Шимуры неверна. Нам было необходимо доказать ее, чтобы продемонстрировать обоснованность плана, который мы с таким энтузиазмом наметили на будущее».
Математики сложили хрупкий карточный домик. Они мечтали о том, что в один прекрасный день удастся подвести под это сооружение надежный фундамент. Их неотвязно мучил кошмар: кто-нибудь мог доказать, что гипотеза Таниямы-Шимуры неверна, и тем самым свести на нет плоды математических исследований на протяжении двух десятков лет.
Недостающее звено
Осенью 1984 года избранная группа специалистов по теории чисел собралась на симпозиум в Обервольфахе, небольшом городке в Германии, в Шварцвальде. Участники симпозиума намеревались обсудить успехи в изучении эллиптических кривых. Естественно, что некоторые из докладчиков собирались сделать сообщения о продвижениях, которые им удалось достичь при исследовании гипотезы Таниямы-Шимуры. Один из выступавших, математик из Саарбрюкена Герхард Фрей высказал весьма примечательное утверждение. По его мнению, если бы кому-нибудь удалось доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, то тем самым была бы доказана и Великая теорема Ферма.
Когда Фрею предоставили слово для доклада, он начал с того, что выписал уравнение Ферма
x n+ y n= z n, где n— натуральное число больше 2.
Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение не имеет решений в целых числах. Фрей исследовал вопрос о том, что бы произошло, если бы Великая теорема Ферма оказалась неверной, т. е. если бы уравнение Ферма допускало бы по крайней мере одно решение в целых числах. Фрей не имел ни малейшего представления о том, каким могло бы быть его гипотетическое (и еретическое) решение, поэтому неизвестные целые числа, якобы удовлетворяющие уравнению Ферма, он обозначил буквами A, Bи C. Тем самым он предположил, что для некоторого Nвыполнено равенство:
A N+ B N= C N.
Затем Фрей приступил к «преобразованию» уравнения. Это строгая математическая процедура, изменяющая вид уравнения, оставляя неизменной его сущность. С помощью искусных и сложных маневров Фрею удалось преобразовать исходное уравнение Ферма, обладающее гипотетическим решением, к виду
y 2= x 3+ ( A N— B N)· x 2— A NB N.
Хотя полученное уравнение по своему внешнему виду очень сильно отличается от исходного, тем не менее оно является его прямым следствием с учетом принятой гипотезы. Иначе говоря, если (и, разумеется, это большое «если») уравнение Ферма допускает решение в целых числах, то такое преобразованное уравнение существует. Поначалу преобразование Фрея не произвело особого впечатления на аудиторию, но он обратил внимание присутствующих на то, что это уравнение кубическое, а кривая, ему соответствующая, является эллиптической.
Преобразовав уравнение Ферма в кубическое, Фрей тем самым установил связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры. Далее Фрей обратил внимание аудитории на то, что его эллиптическая кривая, полученная при помощи решения уравнения Ферма, обладает весьма причудливым характером. Фрей утверждал, что эта эллиптическая кривая настолько необычна, что даже отзвуки самого существования этой кривой имеют разрушительные последствия для гипотезы Таниямы-Шимуры.
Не следует забывать, что эллиптическая кривая Фрея — всего лишь фантом, призрак. Ее существование обусловлено тем, что уравнение Ферма имеет решение. Но если эллиптическая кривая Фрея существует, то она столь причудлива и необычайна, что невозможно установить соответствие между ней и какой угодно модулярной формой. Но гипотеза Таниямы-Шимуры утверждает, что каждая эллиптическая кривая должна быть связана с какой-нибудь модулярной формой. Таким образом, существование эллиптической кривой Фрея отрицает гипотезу Таниямы-Шимуры. Иначе говоря, аргументы Фрея сводились к следующему.
1. В том (и только в том) случае, если Великая теорема Ферма неверна, то эллиптическая кривая Фрея существует.
2. Кривая Фрея настолько причудлива, что не может быть модулярной.
3. Гипотеза Таниямы-Шимуры утверждает, что любая эллиптическая кривая должна быть модулярной.
4. Следовательно, гипотеза Таниямы-Шимуры должна быть неверна!
Но, что еще более важно, рассуждения Фрея можно обратить:
1. Если гипотеза Таниямы-Шимуры окажется верной, то каждая эллиптическая кривая должна быть модулярной.
2. Если любая эллиптическая кривая должна быть модулярной, то эллиптическая кривая Фрея не может существовать.
3. Если эллиптическая кривая Фрея не существует, то не могут существовать решения уравнения Ферма.
4. Следовательно, Великая теорема Ферма верна!
Отсюда Герхард Фрей сделал сенсационный вывод о том, что если бы математикам удалось доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, то они автоматически доказали бы Великую теорему Ферма. Впервые за сотни лет появилась надежда, что труднейшую математическую проблему все же удастся разрешить. По Фрею, на пути к доказательству Великой теоремы Ферма стоит единственное препятствие: отсутствие доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры.
На аудиторию блестящая идея Фрея произвела неизгладимое впечатление, но присутствовавших поразил элементарный пробел в его логике. Почти все, кто был в аудитории, кроме самого Фрея, заметили этот пробел. Ошибка не казалась серьезной, тем не менее пока она не была исправлена, работу Фрея нельзя было считать законченной. Тому, кто сумел бы первым исправить эту ошибку, принадлежала бы честь установления связи между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры.
Слушатели Фрея вышли из аудитории и устремились в комнату фотокопирования. Очень часто о важности доклада можно судить по длине очереди ожидающих у этой комнаты оттисков с текстом доклада. Получив полный текст доклада Фрея, слушатели разъехались по своим институтам и начали пытаться восполнить пробел в его рассуждениях.
Аргументы Фрея опирались на то, что его эллиптическая кривая, выведенная из уравнения Ферма, весьма причудлива — и поэтому не модулярна. Работа Фрея была неполна потому, что Фрей не доказал, что его эллиптическая кривая достаточно причудлива. Только когда кому-нибудь удастся доказать, что абсолютная причудливость эллиптической кривой Фрея доказывает гипотезу Таниямы-Шимуры, из этого будет следовать доказательство Великой теоремы Ферма.
Первоначально математики считали, что доказательство причудливости эллиптической кривой Фрея не требует никаких новых идей. Казалось, что допущенная Фреем ошибка элементарна, и все, кто присутствовал на симпозиуме в Обервольфахе, полагали, что начнется гонка — кто быстрее проделает необходимые выкладки. Все ожидали, что через несколько дней кто-нибудь пришлет по электронной почте сообщение о том, как именно доказать причудливость эллиптической кривой.
Прошла неделя. Никакого сообщения по электронной почте не последовало. Прошло несколько месяцев. То, что должно было стать массовым математическим забегом на спринтерскую дистанцию стало медленно, но верно превращаться в марафон. Казалось, Ферма продолжает по-прежнему дразнить и мучить своих потомков. Фрей нарисовал увлекательную, но обманчивую стратегию доказательства Великой теоремы Ферма, но даже первый шаг — доказательство немодулярности эллиптической кривой Фрея — озадачил математиков всего земного шара.
Чтобы доказать, что эллиптическая кривая не модулярна, математики занялись поиском инвариантов, аналогичных тем, которые были описаны в гл. 4. Инвариант узла показывает, что один инвариант не может быть трансформирован в другой, инвариант придуманной модели Лойдом головоломки «15–14» показывает, что исходное расположение шашек в этой головоломке невозможно превратить в расположение шашек строго по порядку номеров. Если бы специалистам по теории чисел удалось найти подходящий инвариант для описания эллиптической кривой Фрея, то они смогли бы доказать, что этой кривой, что бы с ней ни делали, невозможно сопоставить модулярную форму.
Одним из тех, кто тщетно пытался доказать существование связи между гипотезой Таниямы-Шимуры и Великой теоремы Ферма, был профессор Калифорнийского университета в Беркли Кен Рибет. С тех пор, как он побывал на докладе Фрея в Обервольфахе, его не покидала надежда доказать, что эллиптическая кривая Фрея слишком причудлива для того, чтобы быть модулярной. После восемнадцати месяцев усилий Рибет, как и все остальные, не продвинулся ни на шаг. Летом 1986 года коллега Рибета, профессор Барри Мазур, приехал в Беркли для участия в Международном конгрессе математиков. Друзья встретились за чашечкой кофе в кафе «Стр?да» и принялись жаловаться друг другу на неудачи и брюзжать по поводу состояния дел в математике.
Когда же они, в конце концов, добрались до обсуждения последних новостей о различных попытках доказать причудливость эллиптической кривой Фрея, Рибет начал объяснять тот ход доказательства, которой он наметил. Этот подход позволял питать смутные надежды на успех, но Рибету удалось осуществить лишь малую часть из задуманного. «Я сидел с Барри и рассказывал о том, чем занимался все это время. Я упомянул, что мне удалось найти доказательство лишь для весьма частного случая, но что делать дальше, как обобщить его, превратив в полнокровное доказательство, я не знаю».
Профессор Мазур прихлебывал кофе и внимательно слушал Рибета. Вдруг он замер и с недоверием посмотрел на Кена. «Неужели Вы не видите? Вы уже доказали все, что требуется. Осталось лишь добавить гамма-нуль M-структуры, провести все доказательство с самого начала, и Вы получите все необходимое».
Рибет посмотрел на Мазура, потом заглянул в чашечку с кофе и снова посмотрел на Мазура. В жизни Рибета как математика это был самый важный момент, и он охотно вспоминает его в мельчайших подробностях. «Я ответил Мазуру, что он абсолютно прав. Как же я сам этого не заметил? Я был сильно удивлен потому, что мне и в голову не приходило добавить лишний гамма-нуль M-структуры. Ведь это так просто!»
Следует заметить, что добавление гамма-нуля M-структуры, звучавшее так просто для Кена Рибета, представляет довольно «хитроумную» часть доказательства.
На протяжении трех с половиной столетий Великая теорема Ферма была изолированной проблемой, занимательной и неразрешимой головоломкой на краю математики. Теперь Кен Рибет, вдохновленный Герхардом Фреем, передвинул проблему Ферма в центр событий. Самая занимательная проблема, остававшаяся нерешенной с XVII века, оказалась неразрывно связанной с самой значительной проблемой XX века. Головоломка огромного исторического и эмоционального значения оказалась связанной с гипотезой, способной революционизировать современную математику. Действительно, теперь математики могли подходить к доказательству Великой теоремы Ферма, придерживаясь стратегии доказательства от противного. Чтобы доказать, что Великая теорема Ферма верна, математики исходили из предположения, что она неверна. Из этого бы следовало, что гипотеза Таниямы-Шимуры неверна. Но если бы можно было доказать, что гипотеза Таниямы-Шимуры верна, то из этого следовало бы, что и Великая теорема Ферма должна быть верна.
Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы-Шимуры не удавалось, и надежд на успех оставалось все меньше. Пессимистом был даже Кен Рибет: «Я был одним из очень многих, кто считал гипотезу Таниямы-Шимуры совершенно не доказуемой. Я и не пытался доказывать ее. Об этом нечего было и думать. Эндрю Уайлс был, по-видимому, одним из немногих людей на Земле, кто осмелился попытаться доказать эту гипотезу».
Когда Фрею предоставили слово для доклада, он начал с того, что выписал уравнение Ферма
x n+ y n= z n, где n— натуральное число больше 2.
Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение не имеет решений в целых числах. Фрей исследовал вопрос о том, что бы произошло, если бы Великая теорема Ферма оказалась неверной, т. е. если бы уравнение Ферма допускало бы по крайней мере одно решение в целых числах. Фрей не имел ни малейшего представления о том, каким могло бы быть его гипотетическое (и еретическое) решение, поэтому неизвестные целые числа, якобы удовлетворяющие уравнению Ферма, он обозначил буквами A, Bи C. Тем самым он предположил, что для некоторого Nвыполнено равенство:
A N+ B N= C N.
Затем Фрей приступил к «преобразованию» уравнения. Это строгая математическая процедура, изменяющая вид уравнения, оставляя неизменной его сущность. С помощью искусных и сложных маневров Фрею удалось преобразовать исходное уравнение Ферма, обладающее гипотетическим решением, к виду
y 2= x 3+ ( A N— B N)· x 2— A NB N.
Хотя полученное уравнение по своему внешнему виду очень сильно отличается от исходного, тем не менее оно является его прямым следствием с учетом принятой гипотезы. Иначе говоря, если (и, разумеется, это большое «если») уравнение Ферма допускает решение в целых числах, то такое преобразованное уравнение существует. Поначалу преобразование Фрея не произвело особого впечатления на аудиторию, но он обратил внимание присутствующих на то, что это уравнение кубическое, а кривая, ему соответствующая, является эллиптической.
Преобразовав уравнение Ферма в кубическое, Фрей тем самым установил связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры. Далее Фрей обратил внимание аудитории на то, что его эллиптическая кривая, полученная при помощи решения уравнения Ферма, обладает весьма причудливым характером. Фрей утверждал, что эта эллиптическая кривая настолько необычна, что даже отзвуки самого существования этой кривой имеют разрушительные последствия для гипотезы Таниямы-Шимуры.
Не следует забывать, что эллиптическая кривая Фрея — всего лишь фантом, призрак. Ее существование обусловлено тем, что уравнение Ферма имеет решение. Но если эллиптическая кривая Фрея существует, то она столь причудлива и необычайна, что невозможно установить соответствие между ней и какой угодно модулярной формой. Но гипотеза Таниямы-Шимуры утверждает, что каждая эллиптическая кривая должна быть связана с какой-нибудь модулярной формой. Таким образом, существование эллиптической кривой Фрея отрицает гипотезу Таниямы-Шимуры. Иначе говоря, аргументы Фрея сводились к следующему.
1. В том (и только в том) случае, если Великая теорема Ферма неверна, то эллиптическая кривая Фрея существует.
2. Кривая Фрея настолько причудлива, что не может быть модулярной.
3. Гипотеза Таниямы-Шимуры утверждает, что любая эллиптическая кривая должна быть модулярной.
4. Следовательно, гипотеза Таниямы-Шимуры должна быть неверна!
Но, что еще более важно, рассуждения Фрея можно обратить:
1. Если гипотеза Таниямы-Шимуры окажется верной, то каждая эллиптическая кривая должна быть модулярной.
2. Если любая эллиптическая кривая должна быть модулярной, то эллиптическая кривая Фрея не может существовать.
3. Если эллиптическая кривая Фрея не существует, то не могут существовать решения уравнения Ферма.
4. Следовательно, Великая теорема Ферма верна!
Отсюда Герхард Фрей сделал сенсационный вывод о том, что если бы математикам удалось доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, то они автоматически доказали бы Великую теорему Ферма. Впервые за сотни лет появилась надежда, что труднейшую математическую проблему все же удастся разрешить. По Фрею, на пути к доказательству Великой теоремы Ферма стоит единственное препятствие: отсутствие доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры.
На аудиторию блестящая идея Фрея произвела неизгладимое впечатление, но присутствовавших поразил элементарный пробел в его логике. Почти все, кто был в аудитории, кроме самого Фрея, заметили этот пробел. Ошибка не казалась серьезной, тем не менее пока она не была исправлена, работу Фрея нельзя было считать законченной. Тому, кто сумел бы первым исправить эту ошибку, принадлежала бы честь установления связи между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры.
Слушатели Фрея вышли из аудитории и устремились в комнату фотокопирования. Очень часто о важности доклада можно судить по длине очереди ожидающих у этой комнаты оттисков с текстом доклада. Получив полный текст доклада Фрея, слушатели разъехались по своим институтам и начали пытаться восполнить пробел в его рассуждениях.
Аргументы Фрея опирались на то, что его эллиптическая кривая, выведенная из уравнения Ферма, весьма причудлива — и поэтому не модулярна. Работа Фрея была неполна потому, что Фрей не доказал, что его эллиптическая кривая достаточно причудлива. Только когда кому-нибудь удастся доказать, что абсолютная причудливость эллиптической кривой Фрея доказывает гипотезу Таниямы-Шимуры, из этого будет следовать доказательство Великой теоремы Ферма.
Первоначально математики считали, что доказательство причудливости эллиптической кривой Фрея не требует никаких новых идей. Казалось, что допущенная Фреем ошибка элементарна, и все, кто присутствовал на симпозиуме в Обервольфахе, полагали, что начнется гонка — кто быстрее проделает необходимые выкладки. Все ожидали, что через несколько дней кто-нибудь пришлет по электронной почте сообщение о том, как именно доказать причудливость эллиптической кривой.
Прошла неделя. Никакого сообщения по электронной почте не последовало. Прошло несколько месяцев. То, что должно было стать массовым математическим забегом на спринтерскую дистанцию стало медленно, но верно превращаться в марафон. Казалось, Ферма продолжает по-прежнему дразнить и мучить своих потомков. Фрей нарисовал увлекательную, но обманчивую стратегию доказательства Великой теоремы Ферма, но даже первый шаг — доказательство немодулярности эллиптической кривой Фрея — озадачил математиков всего земного шара.
Чтобы доказать, что эллиптическая кривая не модулярна, математики занялись поиском инвариантов, аналогичных тем, которые были описаны в гл. 4. Инвариант узла показывает, что один инвариант не может быть трансформирован в другой, инвариант придуманной модели Лойдом головоломки «15–14» показывает, что исходное расположение шашек в этой головоломке невозможно превратить в расположение шашек строго по порядку номеров. Если бы специалистам по теории чисел удалось найти подходящий инвариант для описания эллиптической кривой Фрея, то они смогли бы доказать, что этой кривой, что бы с ней ни делали, невозможно сопоставить модулярную форму.
Когда же они, в конце концов, добрались до обсуждения последних новостей о различных попытках доказать причудливость эллиптической кривой Фрея, Рибет начал объяснять тот ход доказательства, которой он наметил. Этот подход позволял питать смутные надежды на успех, но Рибету удалось осуществить лишь малую часть из задуманного. «Я сидел с Барри и рассказывал о том, чем занимался все это время. Я упомянул, что мне удалось найти доказательство лишь для весьма частного случая, но что делать дальше, как обобщить его, превратив в полнокровное доказательство, я не знаю».
Профессор Мазур прихлебывал кофе и внимательно слушал Рибета. Вдруг он замер и с недоверием посмотрел на Кена. «Неужели Вы не видите? Вы уже доказали все, что требуется. Осталось лишь добавить гамма-нуль M-структуры, провести все доказательство с самого начала, и Вы получите все необходимое».
Рибет посмотрел на Мазура, потом заглянул в чашечку с кофе и снова посмотрел на Мазура. В жизни Рибета как математика это был самый важный момент, и он охотно вспоминает его в мельчайших подробностях. «Я ответил Мазуру, что он абсолютно прав. Как же я сам этого не заметил? Я был сильно удивлен потому, что мне и в голову не приходило добавить лишний гамма-нуль M-структуры. Ведь это так просто!»
Следует заметить, что добавление гамма-нуля M-структуры, звучавшее так просто для Кена Рибета, представляет довольно «хитроумную» часть доказательства.
«Это был тот самый нюанс, которого мне недоставало, и теперь я видел его перед собой ясно и определенно. К себе в гостиничный номер я возвращался, как во сне. Я был полностью поглощен этой новой идеей. Меня не покидала мысль: "Боже, неужели это правильно?". Сев за стол, я принялся лихорадочно строчить в блокноте. Через час-другой я закончил все выкладки и убедился в том, что все ключевые шаги мной проверены и они прекрасно согласуются. Я еще раз просмотрел доказательство от начала и до конца. Все работало, как надо! На Международном конгрессе присутствовали тысячи математиков, и в беседе с некоторыми из коллег я упомянул о том, что мне удалось доказать, что Великая теорема Ферма следует из гипотезы Таниямы-Шимуры. Новость распространилась, как лесной пожар. Мои коллеги бросились ко мне с вопросом: «Правда ли, что Вам удалось доказать, что эллиптическая кривая Фрея не модулярна?» Я подумал минуту-другую и уверенно заявил: "Да!"».Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы-Шимуры. Если бы кому-нибудь удалось доказать, что любая эллиптическая кривая модулярна, то из этого следовало бы, что уравнение Ферма не имеет решений в целых числах, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана.
На протяжении трех с половиной столетий Великая теорема Ферма была изолированной проблемой, занимательной и неразрешимой головоломкой на краю математики. Теперь Кен Рибет, вдохновленный Герхардом Фреем, передвинул проблему Ферма в центр событий. Самая занимательная проблема, остававшаяся нерешенной с XVII века, оказалась неразрывно связанной с самой значительной проблемой XX века. Головоломка огромного исторического и эмоционального значения оказалась связанной с гипотезой, способной революционизировать современную математику. Действительно, теперь математики могли подходить к доказательству Великой теоремы Ферма, придерживаясь стратегии доказательства от противного. Чтобы доказать, что Великая теорема Ферма верна, математики исходили из предположения, что она неверна. Из этого бы следовало, что гипотеза Таниямы-Шимуры неверна. Но если бы можно было доказать, что гипотеза Таниямы-Шимуры верна, то из этого следовало бы, что и Великая теорема Ферма должна быть верна.
Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы-Шимуры не удавалось, и надежд на успех оставалось все меньше. Пессимистом был даже Кен Рибет: «Я был одним из очень многих, кто считал гипотезу Таниямы-Шимуры совершенно не доказуемой. Я и не пытался доказывать ее. Об этом нечего было и думать. Эндрю Уайлс был, по-видимому, одним из немногих людей на Земле, кто осмелился попытаться доказать эту гипотезу».
Глава 6. Тайные вычисления
Кто знает толк в решении задач, должен обладать двумя несовместимыми качествами: живым воображением и несгибаемым упорством.
Говард У. Ивс
«Однажды вечером, в конце лета 1986 года, я попивал чай в гостях у своего приятеля. В беседе он между прочим упомянул о том, что Кену Рибету удалось доказать существование взаимосвязи между гипотезой Таниямы-Шимуры и доказательством Великой теоремы Ферма. Я почувствовал себя так, словно через меня пропустили мощный электрический разряд. Мне сразу стало ясно, что отныне весь ход моей жизни круто изменился: ведь от доказательства Великой теоремы Ферма меня отделяло теперь только одно препятствие: доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры. Значит, моя детская мечта — не пустой звук, а вполне реальное дело, которым стоит заниматься. Не медля ни минуты, я отправился домой и принялся за работу».Более двух десятилетий прошло с того дня, когда Эндрю Уайлс нашел на библиотечной полке книгу Э.Т. Белла, вдохновившую его принять вызов, брошенный математикам Пьером де Ферма. Но только теперь Уайлс впервые отчетливо увидел путь к осуществлению своей детской мечты. Уайлс вспоминает, как резко за один вечер изменилось его отношение к гипотезе Таниямы-Шимуры: «Мне вспомнилось, как один знакомый математик отозвался о гипотезе Таниямы-Шимуры дерзко и уничижительно, назвав ее "упражнением для заинтересованного читателя". Ну что же, с этого вечера я стал очень заинтересованным читателем!»
Завершив под руководством профессора Джона Коутса работу над диссертацией на соискание ученой степени Ph.D. в Кембридже, Уайлс перебрался через Атлантику, в Принстонский университет, где ко времени описываемых событий успел стать профессором. Благодаря научному руководству Коутса, Уайлс, по-видимому, знал об эллиптических кривых больше, чем кто-либо другой в мире, но он прекрасно сознавал, что ни его обширные познания, ни отточенная техника решения математических задач не гарантируют успеха. Гипотеза Таниямы-Шимуры стояла перед ним подобно неприступной крепости.
Многие другие математики, в том числе и Джон Коутс, считали любые попытки доказать гипотезу Таниямы-Шимуры безнадежным делом: «Сам я весьма скептически относился к тому, что красивая связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры действительно приведет к какому-нибудь результату. Должен признаться, я не думал, что гипотеза Таниямы-Шимуры доказуема. Как ни красива эта проблема, решить ее не представлялось возможным. Я полагал, что мне не удастся увидеть ее доказанной при жизни».
Уайлс знал, что шансы на успех у него чрезвычайно малы. Но даже если бы ему не удалось найти доказательство Великой теоремы Ферма, то он не считал бы, что усилия потрачены им напрасно: «Разумеется, гипотеза Таниямы-Шимуры долгие годы оставалась открытой. Ни у кого не было даже намеков на доказательство, но, по крайней мере, эта гипотеза оставалась в основном русле развития математики. Пытаясь найти доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры, я мог получить результаты, которые, хотя они и не позволят решить проблему в целом, все же можно будет считать хорошей математикой. Я не напрасно потрачу время. Итак, роман с Ферма, длившийся всю мою жизнь, сколько я себя помню, дополнился проблемой, которую высокие профессионалы считали неразрешимой».
На чердаке отшельника
В начале XX века великого математика Давида Гильберта спросили, почему он никогда не пытался доказать Великую теорему Ферма. На это Гильберт ответил: «Прежде чем начать, я должен был бы затратить года три на усиленную подготовку, а у меня нет столько времени, чтобы так расточительно расходовать его на решение проблемы, которое может закончиться неудачей». Уайлс сознавал, что для того, чтобы иметь хоть малейшую надежду найти доказательство, ему сначала необходимо с головой погрузиться в проблему, но, в отличие от Гильберта, был готов пойти на риск. Уайлс прочитывал все новейшие номера математических журналов и осваивал самые последние математические методы. Собирая оружие, необходимое для предстоящей битвы, Уайлс провел следующие восемнадцать месяцев, знакомясь даже с самыми незначительными результатами или методами, имевшими отношение к эллиптическим кривым и модулярным формам. Надо сказать, что, по его прикидкам, любая сколько-нибудь серьезная попытка доказательства вполне могла потребовать от математика-одиночки десятилетних усилий.
Уайлс отказался от всего, что не было напрямую связано с доказательством Великой теоремы Ферма. Он перестал принимать участие в нескончаемой веренице конференций и симпозиумов. Оставаясь сотрудником математического факультета Принстонского университета, Уайлс продолжал проводить учебные семинары, читать лекции для студентов и руководить курсовыми и дипломными работами.
Еще одним мотивом избранного Уайлсом курса на уединение и секретность была его жажда славы. Уайлс опасался, что когда он проделает основную часть доказательства, но ему не будет доставать заключительного элемента выкладок, весть о прорыве просочится наружу — и ничто не помешает какому-нибудь сопернику из числа коллег-математиков воспользоваться проделанной Уайлсом работой, завершить доказательство и похитить награду.
В последующие годы Уайлсу удалось совершить ряд чрезвычайно важных открытий, ни одно из которых не обсуждалось и не было опубликовано прежде, чем он довел доказательство до конца. Даже самые близкие его коллеги оставались в неведении относительно проводимых им исследований. Джон Коутс вспоминает, что в разговоре с Уайлсом несколько раз упоминал о гипотезе Таниямы-Шимуры, но Уайлс ничем не выдал своего интереса к проблеме: «Вспоминаю, что несколько раз упоминал в беседе с ним: "Эта связь с Великой теоремой Ферма просто великолепна, но пытаться искать доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры — совершенно безнадежное дело". Насколько мне помнится, Уайлс в ответ только улыбался».
Кен Рибет, установивший связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры, также пребывал в полном неведении относительно тайной деятельности Уайлса. «Вероятно, это единственный известный мне случай, когда кто-то работал над задачей так долго, ни словом не обмолвившись о том, чем он занимается, без обсуждения достигнутых успехов. В моем опыте это беспрецедентный случай. В математическом сообществе принято обмениваться идеями. Математики собираются на конференциях, навещают друг друга, устраивают семинары, обмениваются новостями по электронной почте, разговаривают по телефону, просят подкинуть свежую идею — связь друг с другом им просто необходима. Когда вы разговариваете с коллегами-математиками, вас дружески похлопают по спине, вам скажут, что вы сделали нечто важное, вам подскажут новые идеи. Это — своего рода поддержка. Если вы отрезаете себя от всего этого, то вы делаете нечто психологически очень странное».
Чтобы не возбуждать подозрений, Уайлс придумал хитрую уловку, которая должна была сбить его коллег со следа. В начале 80-х годов он выполнил обширное исследование одного конкретного типа эллиптической кривой и уже собрался было опубликовать его полностью, но открытия Рибета и Фрея заставили его изменить свои намерения. Уайлс решил публиковать свое исследование «по кусочкам», по одной небольшой статье каждые полгода. Это должно было убедить его коллег в том, что он все еще продолжает заниматься своими обычными исследованиями. И столько времени, сколько он сможет поддерживать свою «дымовую завесу», Уайлс сможет продолжать без помех заниматься предметом своей истинной страсти, не сообщая никому о полученных результатах.
О тайне Уайлса знал только один человек — его жена Нада. Они поженились вскоре после того, как Уайлс приступил к работе над доказательством, и, когда стали появляться первые результаты, он посвятил в свою тайну ее и только ее. В последующие годы семья была его единственным отвлечением от проблемы. «Только моя жена знала, что я работаю над доказательством Великой теоремы Ферма. Я рассказал ей об этом в наш медовый месяц, через несколько дней после нашей свадьбы. Моя жена слышала о Великой теореме Ферма, но в то время она еще ничего не знала о том романтическом ореоле, который эта теорема имела в глазах математиков, и о том, каким шипом она оставалась в теле нашей науки столь долгие годы».
Уайлс отказался от всего, что не было напрямую связано с доказательством Великой теоремы Ферма. Он перестал принимать участие в нескончаемой веренице конференций и симпозиумов. Оставаясь сотрудником математического факультета Принстонского университета, Уайлс продолжал проводить учебные семинары, читать лекции для студентов и руководить курсовыми и дипломными работами.
«Я имел обыкновение уединяться в кабинете, где пытался найти фрагменты решений тех или иных математических проблем, которые должны были стать частями единой мозаики… Эти фрагменты я пытался сопоставить с каким-нибудь прежним широким, на уровне понятий, пониманием различных разделов математики, которые могли бы прояснить ту проблему, над которой я размышлял. Иногда приходилось идти и заглядывать в какую-нибудь книгу, чтобы узнать, как эта задача решена там. Иногда это требовало слегка изменить известный результат, проделать какие-то дополнительные вычисления. Иногда я приходил к заключению, что все сделанное раньше совершенно бесполезно. В этом случае мне приходилось изобретать что-нибудь совершенно новое. Неизвестно, откуда что бралось.С того самого момента, когда Уайлс принял важное для себя решение заняться систематическим поиском доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры, он вознамерился работать в полной изоляции и секретности. В современной математике сложилась культура кооперации и сотрудничества, поэтому принятое Уайлсом решение могло бы показаться возвращением в прошлое. Он как бы подражал образу действий самого Ферма, самому знаменитому из математических отшельников. Свое решение работать в обстановке полной секретности Уайлс отчасти объясняет желанием работать без помех, не отвлекаясь от основной задачи: «Я понимал, что все, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес. Нельзя как следует сосредоточиться на решении важной задачи, если полностью не отвлечься от всего постороннего. Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели».
По существу, это одна из загадок мышления. Часто для того, чтобы привести в порядок мысли, бывает необходимо попытаться изложить их в письменном виде. Когда вы по-настоящему заходите в тупик, когда речь идет о настоящей проблеме, которую требуется решить, обычное традиционное математическое мышление не может помочь вам ничем. К новой идее ведет только длительный период необычайного сосредоточения на проблеме без каких-либо отвлечений. Необходимо действительно не думать ни о чем, кроме проблемы, полностью сосредоточиться на ней. Затем вы должны остановиться, после чего, насколько я могу судить, наступает период релаксации, во время которого вступает в игру подсознание, и в этот момент к вам приходит новая идея».
Еще одним мотивом избранного Уайлсом курса на уединение и секретность была его жажда славы. Уайлс опасался, что когда он проделает основную часть доказательства, но ему не будет доставать заключительного элемента выкладок, весть о прорыве просочится наружу — и ничто не помешает какому-нибудь сопернику из числа коллег-математиков воспользоваться проделанной Уайлсом работой, завершить доказательство и похитить награду.
В последующие годы Уайлсу удалось совершить ряд чрезвычайно важных открытий, ни одно из которых не обсуждалось и не было опубликовано прежде, чем он довел доказательство до конца. Даже самые близкие его коллеги оставались в неведении относительно проводимых им исследований. Джон Коутс вспоминает, что в разговоре с Уайлсом несколько раз упоминал о гипотезе Таниямы-Шимуры, но Уайлс ничем не выдал своего интереса к проблеме: «Вспоминаю, что несколько раз упоминал в беседе с ним: "Эта связь с Великой теоремой Ферма просто великолепна, но пытаться искать доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры — совершенно безнадежное дело". Насколько мне помнится, Уайлс в ответ только улыбался».
Кен Рибет, установивший связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры, также пребывал в полном неведении относительно тайной деятельности Уайлса. «Вероятно, это единственный известный мне случай, когда кто-то работал над задачей так долго, ни словом не обмолвившись о том, чем он занимается, без обсуждения достигнутых успехов. В моем опыте это беспрецедентный случай. В математическом сообществе принято обмениваться идеями. Математики собираются на конференциях, навещают друг друга, устраивают семинары, обмениваются новостями по электронной почте, разговаривают по телефону, просят подкинуть свежую идею — связь друг с другом им просто необходима. Когда вы разговариваете с коллегами-математиками, вас дружески похлопают по спине, вам скажут, что вы сделали нечто важное, вам подскажут новые идеи. Это — своего рода поддержка. Если вы отрезаете себя от всего этого, то вы делаете нечто психологически очень странное».
Чтобы не возбуждать подозрений, Уайлс придумал хитрую уловку, которая должна была сбить его коллег со следа. В начале 80-х годов он выполнил обширное исследование одного конкретного типа эллиптической кривой и уже собрался было опубликовать его полностью, но открытия Рибета и Фрея заставили его изменить свои намерения. Уайлс решил публиковать свое исследование «по кусочкам», по одной небольшой статье каждые полгода. Это должно было убедить его коллег в том, что он все еще продолжает заниматься своими обычными исследованиями. И столько времени, сколько он сможет поддерживать свою «дымовую завесу», Уайлс сможет продолжать без помех заниматься предметом своей истинной страсти, не сообщая никому о полученных результатах.
О тайне Уайлса знал только один человек — его жена Нада. Они поженились вскоре после того, как Уайлс приступил к работе над доказательством, и, когда стали появляться первые результаты, он посвятил в свою тайну ее и только ее. В последующие годы семья была его единственным отвлечением от проблемы. «Только моя жена знала, что я работаю над доказательством Великой теоремы Ферма. Я рассказал ей об этом в наш медовый месяц, через несколько дней после нашей свадьбы. Моя жена слышала о Великой теореме Ферма, но в то время она еще ничего не знала о том романтическом ореоле, который эта теорема имела в глазах математиков, и о том, каким шипом она оставалась в теле нашей науки столь долгие годы».
Дуэль с бесконечностью
Чтобы доказать Великую теорему Ферма, Уайлсу было необходимо сначала доказать гипотезу Таниямы-Шимуры о том, что каждой эллиптической кривой можно поставить в соответствие некоторую модулярную форму. Многие математики отчаянно пытались доказать эту гипотезу, но все попытки окончились неудачей. Уайлс хорошо сознавал, какие чудовищные трудности ожидают его на пути к доказательству: «В конце концов всё, что наивно надеялись сделать одни и что действительно пытались сделать другие, сводилось к тому, чтобы пересчитать эллиптические кривые и модулярные формы и показать, что число одних совпадает с числом других. Но никто и никогда не предложил простого способа, который позволил бы сделать это. Первая трудность состоит в том, что существует бесконечно много эллиптических кривых и бесконечно много модулярных форм, и поэтому количество тех и других невозможно выразить конечным числом».