Страница:
Пифагоровы тройки представляют собой комбинации из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора
x
2+
y
2=
z
2. Например, соотношение Пифагора выполняется при
x=3,
y=4 и
z=5:
З 2+ 4 2= 5 2, 9 + 16 = 25
Другой способ получения пифагоровых троек — перестройка квадратов. Если взять квадрат 3?3, состоящий из 9 квадратных плиток, и квадрат 4?4, состоящий из 16 плиток, то все эти плитки можно расположить по-новому, так, чтобы они образовывали квадрат 5?5, состоящий из 25 плиток (рис. 4).
5 2+ 12 2= 13 2, 15 + 144 = 169.
Приведем пифагорову тройку из больших чисел: x=99, y=4900 и z=4901. По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются все реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.
От теоремы Пифагора до Великой теоремы Ферма
Глава 2. Создатель Великой проблемы
З 2+ 4 2= 5 2, 9 + 16 = 25
Другой способ получения пифагоровых троек — перестройка квадратов. Если взять квадрат 3?3, состоящий из 9 квадратных плиток, и квадрат 4?4, состоящий из 16 плиток, то все эти плитки можно расположить по-новому, так, чтобы они образовывали квадрат 5?5, состоящий из 25 плиток (рис. 4).
+
=
З 2+ 4 2= 5 2
9 + 16 = 25
Рис. 4
Пифагорейцы мечтали найти и другие пифагорейские тройки, другие квадраты, из которых можно было бы сложить третий квадрат больших размеров. Еще одна пифагорова тройка: x=5, y=12 и z=13:5 2+ 12 2= 13 2, 15 + 144 = 169.
Приведем пифагорову тройку из больших чисел: x=99, y=4900 и z=4901. По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются все реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.
От теоремы Пифагора до Великой теоремы Ферма
О теореме Пифагора и бесконечном числе пифагоровых троек шла речь в книге Э.Т. Белла «Великая проблема» — той самой библиотечной книге, которая привлекла внимание Эндрю Уайлса. И хотя пифагорейцы достигли почти полного понимания пифагорейских троек, Уайлс скоро обнаружил, что у невинного на первый взгляд уравнения
x
2+
y
2=
z
2имеется и темная сторона — в книге Белла давалось описание математического чудовища.
В уравнение Пифагора входят три числа x, yи z, все три числа входят в квадрате (например, x 2= x· x):
При решении исходного «квадратного» уравнения плитки, из которых состояли два квадрата, требовалось расположить так, чтобы они образовывали третий квадрат более крупных размеров. В случае решения «кубического» уравнения из кубиков, образующих два куба, требуется составить третий куб более крупных размеров. Ясно, что независимо от того, какие два куба выбраны в качестве исходного, из образующих их кубиков можно сложить либо третий куб, причем несколько кубиков останутся «лишними», либо неполный (недостроенный) куб. Ближайшим к идеальному кубу будет такая кладка, в которой один кубик останется лишним или окажется недостающим. Например, если мы начнем с кубов 63 и 83 то, рассыпав их на кубики, сможем сложим из них кладку, в которой всего лишь одного кубика не хватит до полного куба 93 (рис. 5).
Ферма был одним из наиболее блестящих и загадочных математиков в истории. Как и всякий другой, он не мог проверить бесконечно много чисел, но был абсолютно уверен в том, что не существует тройки целых чисел, которая удовлетворяла бы общему уравнению, так как его уверенность опиралась на доказательство. Подобно Пифагору, которому вовсе не требовалось проверить все мыслимые треугольники, чтобы убедиться в правильности своей теоремы, у Ферма не было необходимости перепробовать все мыслимые тройки целых чисел, чтобы убедиться в справедливости его теоремы.
Прочитав всю книгу Э.Т. Белла от корки до корки, Уайлс узнал, как Ферма был восхищен теоремой Пифагора и ее доказательством, и как сам постепенно увлекся изучением «испорченного» уравнения Пифагора. Прочитав о том, как Ферма провозгласил, что даже если математики всего мира потратят целую вечность, чтобы найти решение уравнения, носящего ныне его имя, в целых числах, то и тогда им не удастся найти ни одного решения. Уайлс в нетерпении перевернул несколько страниц, предвкушая удовольствие от разбора доказательства Великой теоремы Ферма, но тщетно: доказательства не было. Не было его не только в книге Э.Т. Белла, но и нигде. В конце книги говорилось, что найденное Ферма доказательство давно утеряно. Никаких указаний, намеков или догадок относительно того, как можно было бы восстановить доказательство или построить его заново не было. Уайлс был заинтригован, разъярен и озадачен. По крайней мере, он находился в хорошей компании.
Более 300 лет многие из крупнейших математиков пытались вновь открыть утерянное доказательство Ферма, но тщетно. С неудачей очередного поколения следующее поколение испытывало все большее разочарование и решимость. В 1742 году, почти через сто лет после смерти Ферма, швейцарский математик Леонард Эйлер обратился к своему другу Клеро с просьбой поискать в доме Ферма, не осталось ли где-нибудь клочка бумаги с жизненно важным фрагментом доказательства. Но никому никогда не удалось найти ни малейшего намека относительно того, каким могло быть доказательство Ферма. В гл. 2 мы узнаем более подробно о загадочной фигуре Пьера де Ферма, и о том, как было утеряно доказательство. А пока мы ограничимся лишь тем, что скажем: Великая теорема Ферма, проблема, над решением которой математики ломали головы на протяжении столетий, захватила воображение юного Эндрю Уайлса.
Десятилетний мальчик в библиотеке на Милтон-роуд не мог оторвать взгляда от самой знаменитой проблемы математики. Обычно при решении математической задачи понять уравнение означает половину дела. Но формулировка теоремы Ферма очень проста: требуется доказать, что уравнение x n+ y n= z nне имеет решения в целых числах при nбольше 2. Эндрю не смущало, что самые блестящие умы на Земле потерпели фиаско, пытаясь заново открыть доказательство Ферма. Уайлс немедленно принялся за работу, пытаясь с помощью всей премудрости, которую он только мог извлечь из учебников математики, восстановить утраченное доказательство. А что если ему удастся сделать то, что не удалось никому, кроме Ферма? Обнаружить то, что все проглядели? Уайлс мечтал потрясти мир.
И через тридцать лет Эндрю Уайлсу действительно удалось осуществить задуманное. В аудитории Института сэра Исаака Ньютона он, покрыв всю доску вычислениями и с трудом сдерживая торжество, обернулся лицом к аудитории. Его лекция достигла кульминации, и аудитория сознавала, что наступил великий момент. Один или двое из присутствовавших тайком пронесли на лекцию фотоаппараты, и заключительные замечания Уайлса сопровождались вспышками яркого света.
Держа мел в руке, Уайлс в последний раз повернулся к доске. Последние несколько строк, и доказательство завершено. Впервые за триста лет вызов, брошенный Ферма, получил достойный ответ. Еще несколько камер под блеск вспышек запечатлели исторический момент. Уайлс написал формулировку Великой теоремы Ферма, повернулся к аудитории и сказал: «Думаю, мне следует на этом остановиться».
23 июня 1993 года Уайлс выступил с лекцией в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже. На снимке вы видите Уайлса через мгновенье после того, как он объявил о найденном им доказательстве Великой теоремы Ферма
Двести математиков вскочили в едином порыве и зааплодировали. Аплодировали все, даже те, кто встретил весть о полученном результате кривой ухмылкой недоверия. Так три десятилетия спустя Уайлс поверил в то, что ему удалось осуществить свою мечту, и после семи лет работы в полной изоляции решился обнародовать итоги своих тайных вычислений. Но пока радость переполняла собравшихся в Институте Ньютона, трагедия уже была готова разразиться. И Уайлс, радуясь вместе со всеми, кто собрался в аудитории, еще не знал о тех злоключениях, которые не замедлили вскоре последовать.
В уравнение Пифагора входят три числа x, yи z, все три числа входят в квадрате (например, x 2= x· x):
x 2+ y 2= z 2
Но в той же книге Белла приводилось и уравнение, очень похожее на уравнение Пифагора, но отличающееся от него тем, что все числа входят в кубе (например, x 3= x· x· x). Так называемая степень переменной xв этом уравнении равна не 2, а 3:x 3+ y 3= z 3
Найти целочисленные решения уравнения Пифагора, т. е. пифагоровы тройки, было сравнительно легко, но стоит лишь степени измениться с 2 на 3 (т. е. заменить квадраты кубами), как решение уравнения, столь похожего на уравнения Пифагора, в целых числах, по-видимому, становится невозможным. Поколения математиков исписывали страницу за страницей в своих блокнотах в тщетной надежде найти решение уравнения в целых числах.При решении исходного «квадратного» уравнения плитки, из которых состояли два квадрата, требовалось расположить так, чтобы они образовывали третий квадрат более крупных размеров. В случае решения «кубического» уравнения из кубиков, образующих два куба, требуется составить третий куб более крупных размеров. Ясно, что независимо от того, какие два куба выбраны в качестве исходного, из образующих их кубиков можно сложить либо третий куб, причем несколько кубиков останутся «лишними», либо неполный (недостроенный) куб. Ближайшим к идеальному кубу будет такая кладка, в которой один кубик останется лишним или окажется недостающим. Например, если мы начнем с кубов 63 и 83 то, рассыпав их на кубики, сможем сложим из них кладку, в которой всего лишь одного кубика не хватит до полного куба 93 (рис. 5).
+
=
6 3+ 8 3= 9 3- 1
216 + 512 = 729 - 1
Рис. 5
Найти три целых числа, которые в точности удовлетворяют кубическому уравнению, по-видимому, невозможно. Иначе говоря, по-видимому, у уравненияx 3+ y 3= z 3
не существует целочисленных решений. Более того, если степень повысить с 3 (куба) до любого большего целого числа (т. е. до 4, 5, 6…), то найти целочисленное решение такого уравнения, по-видимому, также невозможно. Иначе говоря, у более общего уравненияx n+ y n= z n,
где nбольше 2, решения в целых числах не существует. Всего лишь изменив 2 в уравнении Пифагора на любое целое число б?льшее 2, мы вместо сравнительно легко решаемого уравнения получаем задачу умопомрачительной сложности. Великий математик XVII века француз Пьер де Ферма сделал удивительное заключение: он утверждал, что знает, почему никому не удавалось найти решение общего уравнения в целых числах. По его словам, причина заключалась в том, что такого решения не существует.Ферма был одним из наиболее блестящих и загадочных математиков в истории. Как и всякий другой, он не мог проверить бесконечно много чисел, но был абсолютно уверен в том, что не существует тройки целых чисел, которая удовлетворяла бы общему уравнению, так как его уверенность опиралась на доказательство. Подобно Пифагору, которому вовсе не требовалось проверить все мыслимые треугольники, чтобы убедиться в правильности своей теоремы, у Ферма не было необходимости перепробовать все мыслимые тройки целых чисел, чтобы убедиться в справедливости его теоремы.
Прочитав всю книгу Э.Т. Белла от корки до корки, Уайлс узнал, как Ферма был восхищен теоремой Пифагора и ее доказательством, и как сам постепенно увлекся изучением «испорченного» уравнения Пифагора. Прочитав о том, как Ферма провозгласил, что даже если математики всего мира потратят целую вечность, чтобы найти решение уравнения, носящего ныне его имя, в целых числах, то и тогда им не удастся найти ни одного решения. Уайлс в нетерпении перевернул несколько страниц, предвкушая удовольствие от разбора доказательства Великой теоремы Ферма, но тщетно: доказательства не было. Не было его не только в книге Э.Т. Белла, но и нигде. В конце книги говорилось, что найденное Ферма доказательство давно утеряно. Никаких указаний, намеков или догадок относительно того, как можно было бы восстановить доказательство или построить его заново не было. Уайлс был заинтригован, разъярен и озадачен. По крайней мере, он находился в хорошей компании.
Более 300 лет многие из крупнейших математиков пытались вновь открыть утерянное доказательство Ферма, но тщетно. С неудачей очередного поколения следующее поколение испытывало все большее разочарование и решимость. В 1742 году, почти через сто лет после смерти Ферма, швейцарский математик Леонард Эйлер обратился к своему другу Клеро с просьбой поискать в доме Ферма, не осталось ли где-нибудь клочка бумаги с жизненно важным фрагментом доказательства. Но никому никогда не удалось найти ни малейшего намека относительно того, каким могло быть доказательство Ферма. В гл. 2 мы узнаем более подробно о загадочной фигуре Пьера де Ферма, и о том, как было утеряно доказательство. А пока мы ограничимся лишь тем, что скажем: Великая теорема Ферма, проблема, над решением которой математики ломали головы на протяжении столетий, захватила воображение юного Эндрю Уайлса.
Десятилетний мальчик в библиотеке на Милтон-роуд не мог оторвать взгляда от самой знаменитой проблемы математики. Обычно при решении математической задачи понять уравнение означает половину дела. Но формулировка теоремы Ферма очень проста: требуется доказать, что уравнение x n+ y n= z nне имеет решения в целых числах при nбольше 2. Эндрю не смущало, что самые блестящие умы на Земле потерпели фиаско, пытаясь заново открыть доказательство Ферма. Уайлс немедленно принялся за работу, пытаясь с помощью всей премудрости, которую он только мог извлечь из учебников математики, восстановить утраченное доказательство. А что если ему удастся сделать то, что не удалось никому, кроме Ферма? Обнаружить то, что все проглядели? Уайлс мечтал потрясти мир.
И через тридцать лет Эндрю Уайлсу действительно удалось осуществить задуманное. В аудитории Института сэра Исаака Ньютона он, покрыв всю доску вычислениями и с трудом сдерживая торжество, обернулся лицом к аудитории. Его лекция достигла кульминации, и аудитория сознавала, что наступил великий момент. Один или двое из присутствовавших тайком пронесли на лекцию фотоаппараты, и заключительные замечания Уайлса сопровождались вспышками яркого света.
Держа мел в руке, Уайлс в последний раз повернулся к доске. Последние несколько строк, и доказательство завершено. Впервые за триста лет вызов, брошенный Ферма, получил достойный ответ. Еще несколько камер под блеск вспышек запечатлели исторический момент. Уайлс написал формулировку Великой теоремы Ферма, повернулся к аудитории и сказал: «Думаю, мне следует на этом остановиться».
Двести математиков вскочили в едином порыве и зааплодировали. Аплодировали все, даже те, кто встретил весть о полученном результате кривой ухмылкой недоверия. Так три десятилетия спустя Уайлс поверил в то, что ему удалось осуществить свою мечту, и после семи лет работы в полной изоляции решился обнародовать итоги своих тайных вычислений. Но пока радость переполняла собравшихся в Институте Ньютона, трагедия уже была готова разразиться. И Уайлс, радуясь вместе со всеми, кто собрался в аудитории, еще не знал о тех злоключениях, которые не замедлили вскоре последовать.
Глава 2. Создатель Великой проблемы
Знаете, — признался дьявол, — даже самые лучшие математики на других планетах, а они, должен вам сказать, намного опередили ваших, не решили ее.
Взять хотя бы того парня на Сатурне, что очень похож на гриб на ходулях. Он в уме решает дифференциальные уравнения в частных производных. Так даже он не справился с этой задачей.
А. Порджес. Дьявол и Саймон Флэгг
Пьер де Ферма родился 20 августа 1601 года в городе Бомон-де-Ломань на юго-западе Франции. Его отец, Доминик Ферма, был состоятельным торговцем кожей, поэтому Пьер имел счастливую возможность получить престижное образование во французском монастыре Грансельва, а затем, в течение некоторого времени учиться в университете Тулузы. Не сохранилось никаких документов, свидетельствующих о том, что юный Ферма проявил блестящие способности к математике.
Под давлением семьи Ферма поступил на гражданскую службу и в 1631 году был назначен советником парламента Тулузы (conseiller au Parlement de Toulouse) — заведующим отдела прошений. Если местные жители хотели подать петицию королю по любому вопросу, то сначала им было нужно убедить Ферма и его коллег в важности причин, вынуждающих подавать петицию. Советники осуществляли живую связь между провинцией и Парижем. Помимо этого они были обязаны следить за тем, чтобы в провинциях исполнялись королевские указы, издававшиеся в столице. Ферма плодотворно трудился на своем посту и, судя по всем отзывам, выполнял свои обязанности прилежно, а к просителям относился доброжелательно.
Кроме того, в обязанности Ферма входил разбор судебных дел. Он занимал достаточно высокий пост для того, чтобы ему поручали ведение наиболее серьезных дел. Оценку его деятельности мы находим в записках английского математика Кенельма Дигби, которому понадобилось по некоторому делу навестить Ферма. В письме к их общему коллеге — Джону Валлису — Дигби сообщает, что их французский коллега чрезвычайно занят неотложными судебными делами, и намеченная встреча не представляется возможной.
«Правда, — пишет Дигби, — меня угораздило прибыть именно в тот день, когда судьи из Кастра собираются в Тулузе, где он [Ферма] исполняет обязанности Главного судьи Суверенного суда парламента, и с тех пор он занят самыми крупными делами огромной важности. Слушание одного из дел завершилось вынесением Ферма приговора, который наделал много шума. Речь шла об осуждении священника, дурно исполнявшего свои обязанности и приговоренного к сожжению на эшафоте. Тем дело и закончилось. Приговор был приведен в исполнение».
Ферма регулярно переписывался с Дигби и Валлисом. Как мы увидим далее, эти письма часто были довольно сухими, но они позволяют заглянуть в повседневную жизнь Ферма, в том числе и в его математические изыскания.
Ферма быстро продвигался по ступеням служебной лестницы и вошел в круг знати, о чем свидетельствует небольшая частица «де», появившаяся перед его именем: Пьер де Ферма. Успешная карьера Ферма связана не столько с его честолюбивыми устремлениями, сколько с его здоровьем. В то время в Европе свирепствовала чума, и те, кто выживал, поднимались по служебной лестнице, занимая места умерших. В 1652 году настал черед и самого Ферма: он тоже заболел чумой и был настолько плох, что его друг Бернар Медон даже известил нескольких коллег о кончине Ферма. Но вскоре Медон исправил свою ошибку в письме к голландцу Николасу Хайнсиусу: «Ранее я сообщил Вам о кончине Ферма. Но он все еще жив, и мы более не опасаемся его смерти, хотя еще совсем недавно считали его среди мертвых. Чума более не свирепствует между нами».
Помимо риска, которому во Франции XVII века подвергалось его здоровье, Ферма было необходимо выживать в условиях политических опасностей. Его назначение в парламент Тулузы последовало ровно через три года после того, как кардинал Ришелье стал премьер-министром Франции. Это был век заговоров и интриг, и каждый, кто был вовлечен в управление государством даже на провинциальном уровне, должен был с особой осторожностью следить за тем, чтобы не оказаться в хитросплетении махинаций кардинала.
Ферма избрал стратегию неукоснительного исполнения возложенных на него обязанностей и не беспокоился о себе. У него не было особых политических амбиций, и он делал все от него зависящее, чтобы по возможности оставаться в стороне от кипения парламентских страстей. Всю энергию, которую ему удавалось сохранить после исполнения служебных обязанностей, Ферма отдавал математике, и, когда не нужно было приговаривать священников к сожжению на эшафоте, Ферма с наслаждением предавался своему увлечению. По существу, Ферма был истинным ученым-любителем, человеком, которого Э.Т. Белл назвал «князем любителей». Но математический талант его был столь велик, что Джулиан Кулидж в своей книге «Математика великих любителей» исключил Ферма из числа любителей на том весьма веском основании, что тот «был настолько велик, что должен считаться профессионалом».
В начале XVII века математика еще только оживала после мрачного Средневековья, и занятия этой наукой в глазах общества котировались не очень высоко. Соответственно, отношение к математикам было лишено должного уважения, и многим математикам приходилось своими силами добывать средства для занятий любимой наукой. Например, Галилей не смог изучать математику в Пизанском университете и был вынужден искать себе частного преподавателя. Единственное учебное заведение в Европе, где математиков активно поощряли, был Оксфордский университет, учредивший в 1619 году Савильянскую кафедру геометрии. По правде сказать, математики XVII века в большинстве своем были любителями, но Ферма был особым случаем. Живя вдали от Парижа, он был изолирован даже от того небольшого математического сообщества которое тогда существовало (а в него входили такие фигуры, как Паскаль, Гассенди, Роберваль, Богран и отец Марен Мерсенн).
Отец Мерсенн внес небольшой вклад в теорию чисел, и тем не менее в истории математики XVII века он сыграл более важную, хотя и неоднозначную, роль, чем его более признанные и почитаемые коллеги. После вступления в 1611 году в орден минимов Мерсенн изучал математику, а затем преподавал этот предмет другим монахам и монахиням в монастыре ордена в Невере. Восемью годами позже Мерсенн переезжает в Париж и присоединяется к ордену Миним дель'Анносиад, неподалеку от Пале Ройяль — места, где, конечно же, собирались интеллектуалы. Мерсенн встречался с парижскими математиками, но их нежелание обсуждать научные проблемы с ним и между собой опечалило его.
Замкнутость парижских математиков была традицией, сохранившейся от косситов XVI века. Косситы были знатоками всевозможных вычислений. Купцы и деловые люди прибегали к их услугам для решения сложных задач, возникающих в связи с учетом товаров. Слово «коссит» восходит к итальянскому слову «cosa», означающему «вещь», так как косситы использовали символы для обозначения неизвестных величин, подобно тому, как современные математики обозначают неизвестную величину символом x. Все, кто в ту пору профессионально занимался решением задач, изобретали свои собственные хитроумные методы выполнения вычислений и держали их в тайне, чтобы сохранить свою репутацию единственных в своем роде людей, способных решать задачи того или иного типа.
Исключением был Никколо Тарталья, придумавший метод быстрого решения кубических уравнений. Он сообщил свое открытие Джироламо Кардано и взял с того клятву, что тот никому не откроет доверенную ему тайну. Через десять лет Кардано нарушил свое обещание и опубликовал метод Тартальи в книге «Ars Magna» (Великое искусство). Этот поступок Тарталья никогда не простил Кардано. Он порвал все отношения с Кардано, а последовавшее затем острое публичное разбирательство только укрепило остальных математиков в решимости хранить свои профессиональные тайны. Скрытный характер математических исследований сохранился до конца XIX века, и, как мы увидим в дальнейшем, имеются отдельные примеры, когда математические гении проводили свои исследования в тайне от коллег даже в XX веке.
По прибытии в Париж отец Мерсенн вознамерился покончить с обычаем математиков проводить исследования в тайне от своих коллег и стал всячески способствовать обмену идей между математиками и поощрять использование результатов одного математика в работе другого. Отец Мерсенн добился того, что математики начали регулярно проводить встречи. Позднее его группа стала тем ядром, вокруг которого сформировалась Французская академия. Если все приглашенные на заседание отвечали отказом, то Мерсенн все же старался собрать какую-то группу, сообщая математикам содержание писем и работ, присланных ему конфиденциально. Для человека в сутане такое поведение вряд ли было этичным, но отец Мерсенн оправдывал его тем, что обмен информацией идет на пользу математике и человечеству. Столь неблаговидные поступки, разумеется не могли не вызывать резкой полемики между монахом, руководствовавшимся благими намерениями, и «солистами» ученого мира, не склонными делиться с коллегами своими тайнами. Все это привело к разрыву давних отношений между Мерсенном и Декартом (продолжавшихся со времен совместной учебы в иезуитском Коллеже в Ла Флеше). Мерсенн обнародовал философские работы Декарта, которые могли бы быть истолкованы как оскорбительные для церкви, но к чести отца Мерсенна следует заметить, что он выступил в защиту Декарта, когда тот был подвергнут критике со стороны теологов (ранее Мерсенн поступил так же, когда церковные власти преследовали Галилея). В эпоху тотального господства религии и магии отец Мерсенн отстаивал рациональную мысль.
Мерсенн много путешествовал по Франции и далеко за ее пределами, повсюду распространяя вести о последних математических открытиях. В своих странствиях он, в частности, захотел встретиться с Пьером де Ферма, и их встреча, по-видимому, стала единственным контактом тулузского отшельника с другим математиком. Мерсенн оказал на «князя любителей» влияние, уступавшее, возможно, только «Арифметике» Диофанта (сборнику математических трактатов, доставшихся XVII веку в наследие от древних греков). Ферма никогда не расставался с «Арифметикой».
Даже когда от поездок пришлось отказаться, Мерсенн продолжал поддерживать отношения с Ферма и другими математиками, направляя им огромное количество писем. После смерти Мерсенна обнаружилось, что его апартаменты были битком набиты письмами от семидесяти восьми различных корреспондентов.
Несмотря на настойчивые просьбы отца Мерсенна, Ферма упорно отказывался публиковать свои доказательства. Публикация результатов и признание ничего не значили для него. Ферма получал удовлетворение от сознания того, что он в тиши своего кабинета без помех может создавать новые теоремы. Но скромный и замкнутый гений не был чужд озорству. В сочетании с его отстраненностью это иногда проявлялось при общении Ферма с другими математиками, когда он поддразнивал своих коллег: направляя им письма с формулировками последних теорем, он неизменно умалчивал о доказательствах. Ферма бросал своим современникам вызов, испытывая их способность найти недостающее доказательство.
То, что Ферма никогда не раскрывал своих доказательств, вызывало у его коллег чувство горького разочарования. Рене Декарт называл Ферма «хвастуном», а англичанин Джон Валлис называл его «проклятым французом». К несчастью для англичан, Ферма доставляло особое удовольствие разыгрывать своих коллег по ту сторону Ла-Манша.
Помимо удовольствия, которое доставляло Ферма поддразнивание своих коллег, его обыкновение формулировать проблему и скрывать ее решение имело под собой и более практическую мотивацию. Прежде всего оно означало, что Ферма не имел времени подробно излагать полученное им доказательство; он торопился перейти к решению следующей проблемы. Кроме того, такая тактика избавляла Ферма от мелких придирок со стороны ревнивых коллег. Будучи опубликованным, доказательство становится доступным для изучения и критики со стороны всех и каждого, кто хотя бы немного смыслит в предмете. Когда Блез Паскаль стал настаивать на публикации некоторых из работ Ферма, тулузский отшельник возразил: «Какая бы из моих работ ни считалась достойной опубликования, я вовсе не желаю, чтобы мое имя появлялось в печати». Ферма был замкнутым гением, пожертвовавшим славой ради того, чтобы критики не досаждали ему мелочными придирками.
В переписке Ферма с Паскалем (единственный случай, когда Ферма обсуждал идеи с кем-нибудь, кроме Мерсенна) речь шла о рождении нового раздела математики — теории вероятностей. Паскаль ввел математического отшельника в круг проблем новой дисциплины, и поэтому ему, несмотря на пристрастие к уединению, пришлось поддерживать диалог. Совместными усилиями Ферма и Паскаль получили первые доказательства и обнаружили в теории вероятностей незыблемые истины, хотя неопределенность — суть предмета этой теории. Интерес Паскаля к теории вероятностей пробудил профессиональный игрок из Парижа Антуан Гомбо, шевалье де Мере, который поставил перед Паскалем задачу, имевшую отношение к следующей азартной игре. Игроки по очереди бросают игральную кость и замечают, сколько очков выпадает при броске. Выигрывает (и забирает стоящие на кону деньги) тот из игроков, кто первым наберет определенное количество очков.
Гомбо играл в эту игру с партнером, но оба вынуждены были прекратить игру под давлением непредвиденных обстоятельств. Возникла проблема: как разделить деньги, стоявшие на кону? Простое решение состояло бы в том, чтобы всю сумму, стоявшую на кону, забрал тот из партнеров, который успел набрать больше очков, но Гомбо спрашивал у Паскаля, не существует ли более справедливого способа разделить деньги. Паскалю было необходимо вычислить вероятность каждого из партнеров на выигрыш в случае продолжения игры в предположении, что каждый партнер набирал бы последующие очки с одинаковой вероятностью. Деньги, стоявшие на кону, следовало бы поделить пропорционально вычисленным вероятностям.
До XVI века законы вероятности определялись исходя из интуиции и опыта игроков, но Паскаль затеял переписку с Ферма с целью открыть математические правила, которые более точно описывают законы случая. Три столетия спустя Бертран Рассел так прокомментировал этот явный оксиморон: «Как только мы осмеливаемся говорить о законах случая? Разве случай — не антитеза всякому закону?»
Французы исследовали задачу Гомбо и вскоре поняли, что она сравнительно проста и ее можно строго решить, определив все потенциальные исходы игры и приписав каждому исходу соответствующую вероятность. И Паскаль, и Ферма сумели независимо решить задачу Гомбо, но их сотрудничество ускорило решение и позволило им глубже исследовать другие, более тонкие и трудные, вопросы теории вероятностей.
Задачи теории вероятностей иногда кажутся парадоксальными, потому что математическое решение (правильный ответ) нередко не согласуется с интуицией. Такие провалы интуиции могут показаться удивительными, поскольку «выживание наиболее приспособленного» должно было оказать сильное эволюционное давление на развитие мозга, способного от природы анализировать проблемы теории вероятностей. Можно представить себе наших предков, подкрадывающихся к олененку и решающих, стоит или не стоит им нападать на него. Велик ли риск, что олень бросится защищать свое чадо и нападет на обидчика? С другой стороны, какова вероятность, что представится более удобный случай добыть свежее мясо на обед, если нападение на олененка считать излишне рискованным? Талант к оценке вероятностей должен быть неотъемлемой частью нашей генетической структуры, и тем не менее наша интуиция нередко заставляет нас делать неверные заключения.
Под давлением семьи Ферма поступил на гражданскую службу и в 1631 году был назначен советником парламента Тулузы (conseiller au Parlement de Toulouse) — заведующим отдела прошений. Если местные жители хотели подать петицию королю по любому вопросу, то сначала им было нужно убедить Ферма и его коллег в важности причин, вынуждающих подавать петицию. Советники осуществляли живую связь между провинцией и Парижем. Помимо этого они были обязаны следить за тем, чтобы в провинциях исполнялись королевские указы, издававшиеся в столице. Ферма плодотворно трудился на своем посту и, судя по всем отзывам, выполнял свои обязанности прилежно, а к просителям относился доброжелательно.
Кроме того, в обязанности Ферма входил разбор судебных дел. Он занимал достаточно высокий пост для того, чтобы ему поручали ведение наиболее серьезных дел. Оценку его деятельности мы находим в записках английского математика Кенельма Дигби, которому понадобилось по некоторому делу навестить Ферма. В письме к их общему коллеге — Джону Валлису — Дигби сообщает, что их французский коллега чрезвычайно занят неотложными судебными делами, и намеченная встреча не представляется возможной.
«Правда, — пишет Дигби, — меня угораздило прибыть именно в тот день, когда судьи из Кастра собираются в Тулузе, где он [Ферма] исполняет обязанности Главного судьи Суверенного суда парламента, и с тех пор он занят самыми крупными делами огромной важности. Слушание одного из дел завершилось вынесением Ферма приговора, который наделал много шума. Речь шла об осуждении священника, дурно исполнявшего свои обязанности и приговоренного к сожжению на эшафоте. Тем дело и закончилось. Приговор был приведен в исполнение».
Ферма регулярно переписывался с Дигби и Валлисом. Как мы увидим далее, эти письма часто были довольно сухими, но они позволяют заглянуть в повседневную жизнь Ферма, в том числе и в его математические изыскания.
Ферма быстро продвигался по ступеням служебной лестницы и вошел в круг знати, о чем свидетельствует небольшая частица «де», появившаяся перед его именем: Пьер де Ферма. Успешная карьера Ферма связана не столько с его честолюбивыми устремлениями, сколько с его здоровьем. В то время в Европе свирепствовала чума, и те, кто выживал, поднимались по служебной лестнице, занимая места умерших. В 1652 году настал черед и самого Ферма: он тоже заболел чумой и был настолько плох, что его друг Бернар Медон даже известил нескольких коллег о кончине Ферма. Но вскоре Медон исправил свою ошибку в письме к голландцу Николасу Хайнсиусу: «Ранее я сообщил Вам о кончине Ферма. Но он все еще жив, и мы более не опасаемся его смерти, хотя еще совсем недавно считали его среди мертвых. Чума более не свирепствует между нами».
Помимо риска, которому во Франции XVII века подвергалось его здоровье, Ферма было необходимо выживать в условиях политических опасностей. Его назначение в парламент Тулузы последовало ровно через три года после того, как кардинал Ришелье стал премьер-министром Франции. Это был век заговоров и интриг, и каждый, кто был вовлечен в управление государством даже на провинциальном уровне, должен был с особой осторожностью следить за тем, чтобы не оказаться в хитросплетении махинаций кардинала.
Ферма избрал стратегию неукоснительного исполнения возложенных на него обязанностей и не беспокоился о себе. У него не было особых политических амбиций, и он делал все от него зависящее, чтобы по возможности оставаться в стороне от кипения парламентских страстей. Всю энергию, которую ему удавалось сохранить после исполнения служебных обязанностей, Ферма отдавал математике, и, когда не нужно было приговаривать священников к сожжению на эшафоте, Ферма с наслаждением предавался своему увлечению. По существу, Ферма был истинным ученым-любителем, человеком, которого Э.Т. Белл назвал «князем любителей». Но математический талант его был столь велик, что Джулиан Кулидж в своей книге «Математика великих любителей» исключил Ферма из числа любителей на том весьма веском основании, что тот «был настолько велик, что должен считаться профессионалом».
В начале XVII века математика еще только оживала после мрачного Средневековья, и занятия этой наукой в глазах общества котировались не очень высоко. Соответственно, отношение к математикам было лишено должного уважения, и многим математикам приходилось своими силами добывать средства для занятий любимой наукой. Например, Галилей не смог изучать математику в Пизанском университете и был вынужден искать себе частного преподавателя. Единственное учебное заведение в Европе, где математиков активно поощряли, был Оксфордский университет, учредивший в 1619 году Савильянскую кафедру геометрии. По правде сказать, математики XVII века в большинстве своем были любителями, но Ферма был особым случаем. Живя вдали от Парижа, он был изолирован даже от того небольшого математического сообщества которое тогда существовало (а в него входили такие фигуры, как Паскаль, Гассенди, Роберваль, Богран и отец Марен Мерсенн).
Отец Мерсенн внес небольшой вклад в теорию чисел, и тем не менее в истории математики XVII века он сыграл более важную, хотя и неоднозначную, роль, чем его более признанные и почитаемые коллеги. После вступления в 1611 году в орден минимов Мерсенн изучал математику, а затем преподавал этот предмет другим монахам и монахиням в монастыре ордена в Невере. Восемью годами позже Мерсенн переезжает в Париж и присоединяется к ордену Миним дель'Анносиад, неподалеку от Пале Ройяль — места, где, конечно же, собирались интеллектуалы. Мерсенн встречался с парижскими математиками, но их нежелание обсуждать научные проблемы с ним и между собой опечалило его.
Замкнутость парижских математиков была традицией, сохранившейся от косситов XVI века. Косситы были знатоками всевозможных вычислений. Купцы и деловые люди прибегали к их услугам для решения сложных задач, возникающих в связи с учетом товаров. Слово «коссит» восходит к итальянскому слову «cosa», означающему «вещь», так как косситы использовали символы для обозначения неизвестных величин, подобно тому, как современные математики обозначают неизвестную величину символом x. Все, кто в ту пору профессионально занимался решением задач, изобретали свои собственные хитроумные методы выполнения вычислений и держали их в тайне, чтобы сохранить свою репутацию единственных в своем роде людей, способных решать задачи того или иного типа.
Исключением был Никколо Тарталья, придумавший метод быстрого решения кубических уравнений. Он сообщил свое открытие Джироламо Кардано и взял с того клятву, что тот никому не откроет доверенную ему тайну. Через десять лет Кардано нарушил свое обещание и опубликовал метод Тартальи в книге «Ars Magna» (Великое искусство). Этот поступок Тарталья никогда не простил Кардано. Он порвал все отношения с Кардано, а последовавшее затем острое публичное разбирательство только укрепило остальных математиков в решимости хранить свои профессиональные тайны. Скрытный характер математических исследований сохранился до конца XIX века, и, как мы увидим в дальнейшем, имеются отдельные примеры, когда математические гении проводили свои исследования в тайне от коллег даже в XX веке.
По прибытии в Париж отец Мерсенн вознамерился покончить с обычаем математиков проводить исследования в тайне от своих коллег и стал всячески способствовать обмену идей между математиками и поощрять использование результатов одного математика в работе другого. Отец Мерсенн добился того, что математики начали регулярно проводить встречи. Позднее его группа стала тем ядром, вокруг которого сформировалась Французская академия. Если все приглашенные на заседание отвечали отказом, то Мерсенн все же старался собрать какую-то группу, сообщая математикам содержание писем и работ, присланных ему конфиденциально. Для человека в сутане такое поведение вряд ли было этичным, но отец Мерсенн оправдывал его тем, что обмен информацией идет на пользу математике и человечеству. Столь неблаговидные поступки, разумеется не могли не вызывать резкой полемики между монахом, руководствовавшимся благими намерениями, и «солистами» ученого мира, не склонными делиться с коллегами своими тайнами. Все это привело к разрыву давних отношений между Мерсенном и Декартом (продолжавшихся со времен совместной учебы в иезуитском Коллеже в Ла Флеше). Мерсенн обнародовал философские работы Декарта, которые могли бы быть истолкованы как оскорбительные для церкви, но к чести отца Мерсенна следует заметить, что он выступил в защиту Декарта, когда тот был подвергнут критике со стороны теологов (ранее Мерсенн поступил так же, когда церковные власти преследовали Галилея). В эпоху тотального господства религии и магии отец Мерсенн отстаивал рациональную мысль.
Мерсенн много путешествовал по Франции и далеко за ее пределами, повсюду распространяя вести о последних математических открытиях. В своих странствиях он, в частности, захотел встретиться с Пьером де Ферма, и их встреча, по-видимому, стала единственным контактом тулузского отшельника с другим математиком. Мерсенн оказал на «князя любителей» влияние, уступавшее, возможно, только «Арифметике» Диофанта (сборнику математических трактатов, доставшихся XVII веку в наследие от древних греков). Ферма никогда не расставался с «Арифметикой».
Даже когда от поездок пришлось отказаться, Мерсенн продолжал поддерживать отношения с Ферма и другими математиками, направляя им огромное количество писем. После смерти Мерсенна обнаружилось, что его апартаменты были битком набиты письмами от семидесяти восьми различных корреспондентов.
Несмотря на настойчивые просьбы отца Мерсенна, Ферма упорно отказывался публиковать свои доказательства. Публикация результатов и признание ничего не значили для него. Ферма получал удовлетворение от сознания того, что он в тиши своего кабинета без помех может создавать новые теоремы. Но скромный и замкнутый гений не был чужд озорству. В сочетании с его отстраненностью это иногда проявлялось при общении Ферма с другими математиками, когда он поддразнивал своих коллег: направляя им письма с формулировками последних теорем, он неизменно умалчивал о доказательствах. Ферма бросал своим современникам вызов, испытывая их способность найти недостающее доказательство.
То, что Ферма никогда не раскрывал своих доказательств, вызывало у его коллег чувство горького разочарования. Рене Декарт называл Ферма «хвастуном», а англичанин Джон Валлис называл его «проклятым французом». К несчастью для англичан, Ферма доставляло особое удовольствие разыгрывать своих коллег по ту сторону Ла-Манша.
Помимо удовольствия, которое доставляло Ферма поддразнивание своих коллег, его обыкновение формулировать проблему и скрывать ее решение имело под собой и более практическую мотивацию. Прежде всего оно означало, что Ферма не имел времени подробно излагать полученное им доказательство; он торопился перейти к решению следующей проблемы. Кроме того, такая тактика избавляла Ферма от мелких придирок со стороны ревнивых коллег. Будучи опубликованным, доказательство становится доступным для изучения и критики со стороны всех и каждого, кто хотя бы немного смыслит в предмете. Когда Блез Паскаль стал настаивать на публикации некоторых из работ Ферма, тулузский отшельник возразил: «Какая бы из моих работ ни считалась достойной опубликования, я вовсе не желаю, чтобы мое имя появлялось в печати». Ферма был замкнутым гением, пожертвовавшим славой ради того, чтобы критики не досаждали ему мелочными придирками.
В переписке Ферма с Паскалем (единственный случай, когда Ферма обсуждал идеи с кем-нибудь, кроме Мерсенна) речь шла о рождении нового раздела математики — теории вероятностей. Паскаль ввел математического отшельника в круг проблем новой дисциплины, и поэтому ему, несмотря на пристрастие к уединению, пришлось поддерживать диалог. Совместными усилиями Ферма и Паскаль получили первые доказательства и обнаружили в теории вероятностей незыблемые истины, хотя неопределенность — суть предмета этой теории. Интерес Паскаля к теории вероятностей пробудил профессиональный игрок из Парижа Антуан Гомбо, шевалье де Мере, который поставил перед Паскалем задачу, имевшую отношение к следующей азартной игре. Игроки по очереди бросают игральную кость и замечают, сколько очков выпадает при броске. Выигрывает (и забирает стоящие на кону деньги) тот из игроков, кто первым наберет определенное количество очков.
Гомбо играл в эту игру с партнером, но оба вынуждены были прекратить игру под давлением непредвиденных обстоятельств. Возникла проблема: как разделить деньги, стоявшие на кону? Простое решение состояло бы в том, чтобы всю сумму, стоявшую на кону, забрал тот из партнеров, который успел набрать больше очков, но Гомбо спрашивал у Паскаля, не существует ли более справедливого способа разделить деньги. Паскалю было необходимо вычислить вероятность каждого из партнеров на выигрыш в случае продолжения игры в предположении, что каждый партнер набирал бы последующие очки с одинаковой вероятностью. Деньги, стоявшие на кону, следовало бы поделить пропорционально вычисленным вероятностям.
До XVI века законы вероятности определялись исходя из интуиции и опыта игроков, но Паскаль затеял переписку с Ферма с целью открыть математические правила, которые более точно описывают законы случая. Три столетия спустя Бертран Рассел так прокомментировал этот явный оксиморон: «Как только мы осмеливаемся говорить о законах случая? Разве случай — не антитеза всякому закону?»
Французы исследовали задачу Гомбо и вскоре поняли, что она сравнительно проста и ее можно строго решить, определив все потенциальные исходы игры и приписав каждому исходу соответствующую вероятность. И Паскаль, и Ферма сумели независимо решить задачу Гомбо, но их сотрудничество ускорило решение и позволило им глубже исследовать другие, более тонкие и трудные, вопросы теории вероятностей.
Задачи теории вероятностей иногда кажутся парадоксальными, потому что математическое решение (правильный ответ) нередко не согласуется с интуицией. Такие провалы интуиции могут показаться удивительными, поскольку «выживание наиболее приспособленного» должно было оказать сильное эволюционное давление на развитие мозга, способного от природы анализировать проблемы теории вероятностей. Можно представить себе наших предков, подкрадывающихся к олененку и решающих, стоит или не стоит им нападать на него. Велик ли риск, что олень бросится защищать свое чадо и нападет на обидчика? С другой стороны, какова вероятность, что представится более удобный случай добыть свежее мясо на обед, если нападение на олененка считать излишне рискованным? Талант к оценке вероятностей должен быть неотъемлемой частью нашей генетической структуры, и тем не менее наша интуиция нередко заставляет нас делать неверные заключения.