Лит.:Буринский Е. Ф., Судебная экспертиза документов, производство ее и пользование ею, СПБ, 1903; Манцветова А. И., Мельникова Э. Б., Орлова В. Ф., Теория и практика криминалистической экспертизы. Экспертиза почерка, М., 1961; Ланцман Р. М., Кибернетика и криминалистическая экспертиза почерка, М., 1968.
А. И. Винберг.
Графическая статика
Графи'ческая ста'тика,графостатика, учение о графических методах решения задач статики . Методами Г. с. путём соответствующих геометрических построений могут определяться искомые силы, изгибающие моменты, центры тяжести и моменты инерции плоских фигур и др. С использованием Д'Аламбера принципа методы Г. с. могут применяться к решению задач динамики . Г. с. пользуются в строительной механике при расчётах балок, ферм и др. конструкций, а также при расчётах усилий в различных деталях механизмов и машин. По точности расчётов методы Г. с. значительно уступают аналитическим (численным) методам и с появлением ЭВМ утратили былое значение.
С. М. Тарг.
Графические вычисления
Графи'ческие вычисле'ния,методы получения численных решений различных задач путём графических построений. Г. в. (графическое умножение, графическое решение уравнений, графическое интегрирование и т. д.) представляют систему построений, повторяющих или заменяющих с известным приближением соответствующие аналитические операции. Графическое выполнение этих операций требует каждый раз последовательности построений, приводящих в результате к графическому определению искомой величины. При Г. в. используются графики функций. Г. в. находят применение в приложениях математики. Достоинства Г. в. - простота их выполнения и наглядность. Недостаток - малая точность получаемых ответов. Однако в большом числе задач, особенно в инженерной практике, точность Г. в. вполне достаточна. Графические методы с успехом могут быть использованы для получения первых приближении, уточняемых затем аналитически. Иногда Г. в. называются вычисления, производимые при помощи номограмм. Это не совсем правильно, т. к. номограммы являются геометрическими изображениями функциональных зависимостей и не требуют для нахождения численных значений функции каких-либо построений (см. Номография ).
Вычисление алгебраических выражений. Числа при Г. в. обычно изображаются направленными отрезками на прямой. Для этого выбирают единичный отрезок (длина его называется масштабом построения). Одно из направлений на прямой принимают за положительное. В этом направлении откладывают отрезки, изображающие положительные числа; отрицательные числа изображаются отрезками, имеющими противоположное направление. На рис. 1 показаны отрезки M 0M, A 0Aи B 0B, соответствующие числам 1, 3 и -4 (положительное направление здесь слева направо).
Для нахождения суммы чисел соответствующие им отрезки откладывают на прямой один за другим так, чтобы начало следующего совпадало с концом предыдущего. Отрезок, началом которого является начало первого отрезка и концом - конец последнего, будет изображать сумму. Разность чисел находят, строя сумму отрезка, изображающего первое число, и отрезка, изображающего число, противоположное второму.
Умножение и деление осуществляют построением пропорциональных отрезков, которые отсекают на сторонах угла параллельные прямые ( MAи BCна рис. 2 ). Так построены отрезки 1, а, би с, длины которых удовлетворяют соотношению а: 1 = с: b, откуда с= аbили b= с/а; следовательно, зная два из трёх отрезков a, bи с, всегда можно найти третий, т. е. можно построить произведение или частное двух чисел. При этом построении единичные отрезки на прямых OBи OCмогут быть различными.
Комбинируя действия умножения и сложения, графически вычисляют суммы произведений вида
a 1 x 1+ a 2 x 2+ ... + a n x n
и взвешенное среднее
( a 1 x 1+ ... + a n x n)/( a 1+ ... + а 2).
Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения.
Построение значений многочлена
f( x) = a 0 x n+ a 1 x n-1+ ... + a n-1 x+ a n
основано на представлении его в виде
f( x) = {[( a 0 x+ a 1) х+ а 2] х+ ...} х+ а n
и последовательном графическом выполнении действий, начиная с выражения, заключённого во внутренние скобки.
Графическое решение уравнения f( x) = 0 заключается в вычерчивании графика функции у= f( x) и нахождении абсцисс точек пересечения кривой с осью Ox, которые и дают значения корней уравнения. Иногда решение можно значительно упростить, если представить уравнение в виде j 1( x) = j 2( x) и вычертить кривые y= j 1( x) и y= j 2( x). Корнями уравнения будут значения абсцисс точек пересечения этих кривых (на рис. 3 показано нахождение корня x 0).
Так, для решения уравнения третьей степени
z
3+
az
2+
bz+
c= 0 его приводят к виду
x
3+
px+
q= 0 заменой
z=
х - а/3, затем уравнение представляют в виде
x
3= -
px - qи вычерчивают кривую
у=
х
3и прямую
у=-
px - q. Точки их пересечения определяют корни
x
1,
x
2,
x
3уравнения. Построение удобно тем, что кубическая парабола
у=
х
3
остаётся одной и той же для всех уравнений третьей степени. На
рис. 4
решено уравнение
x
3- 2,67
x- 1 = 0. Его корни
x
1= -1,40,
x
2=
-0,40,
x
3= 1,80. Аналогично решается уравнение четвёртой степени
z
4+
az
3+
bz
2+
cz+
d= 0. Подстановкой
z=
x - a/4 его приводят к виду
x
4+
px
3+
qx+
s= 0
и затем переходят к системе уравнений:
у=
х
2, (
х – х
0)
2+ (
у - у
0)
2=
r
2, вводя переменное
y. Здесь
x
0=
-q/2,
у
0= (1 –
р)/2 и
Первое уравнение даёт на плоскости параболу, одну и ту же для всех уравнений четвёртой степени, второе - окружность радиуса
г, координаты центра
x
0,
y
0которой легко подсчитать по коэффициенту данного уравнения. На
рис. 5
решено уравнение
x
4
-2,6
x
2- 0,8
х- 0,6 = 0 (для него
x
0= 0,4;
y
0= 1,8,
r= 2). Его корни
x
1=
-1,55,
x
2= 1,80. Как видно из
рис.
, уравнение др. действительных корней не имеет.
Графическое интегрирование.Вычисление определенного интеграла
основано на замене графика подинтегральной функции
y=
f(
x) ступенчатой ломаной. На
рис. 6
изображена криволинейная трапеция
aABb, площадь которой численно равна вычисляемому интегралу. Для построения ломаной криволинейную трапецию разрезают прямыми, параллельными оси
Оу, на ряд полос - элементарных криволинейных трапеций. В каждой из них отрезок кривой заменяют отрезком, параллельным оси
Ox, так, чтобы получающиеся прямоугольники имели примерно ту же площадь, что и соответствующие элементарные криволинейные трапеции (ломаная изображена на
рис. 6
жирной линией). Площадь, ограниченная ломаной, равна сумме площадей построенных прямоугольников, т. е.
D
x
k- длина основания
k-гo прямоугольника,
y
k
-одно из значений функции
у=
f(
x) на отрезке D
x
k, равное высоте прямоугольника. Это выражение принимают за приближённое значение интеграла
Сумму
вычисляют графически так, как уже было указано. На
рис. 7
выполнены все построения, необходимые для вычисления интеграла
где функция
y=
f(
x) задана графиком
AC
0...
C
4
B.
После разбиения криволинейной трапеции на части прямыми, проходящими через точки
A
1, ...,
A
4, построены прямоугольники. Высоты их, ординаты точек
C
0, ...,
C
4, снесены на ось
Оу. Полученные точки
P
0,
...,
P
4соединены с точкой
Р(
OP= 1). Затем, начиная от точки
а,
построена ломаная
aB
1...
B
5, звенья которой параллельны соответствующим отрезкам
PP
0,
PP
1, ...,
PP
4. Величина интеграла численно равна ординате точки
B
5. Для построения графика первообразной функции
y=
f(
x), т. е.
достаточно соединить плавной кривой вершины ломаной, получаемой при вычислении
(на
рис. 7
точки
B
0,
B
1, ...,
B
5).
Графическое дифференцирование. График производной можно строить по значениям тангенса угла наклона касательной к графику данной функции в различных его точках. Точность такого построения мала из-за больших погрешностей при определении направлений касательных. График производной строят также по секущим, повторяя в обратном порядке процесс графического интегрирования, изображенный на
рис. 7
. Для этого график функции (
рис. 8
) разбивают на части прямыми, параллельными оси
Оуи проведёнными через равные расстояния D
x.Через точки деления
A
1,
A
2, ... проводят отрезки
AB
1,
A
2
B
2, …, параллельные оси
Ox. Отрезки
B
1
A
1,
B
2
A
2, ...
равны соответствующим приращениям функции. Их откладывают от оси
Ox. По полученным точкам
строят ступенчатую ломаную. Затем проводят кривую, следя за тем, чтобы криволинейные треугольники в пределах одной ступени ломаной имели равные площади. Эта кривая и является графиком производной.
Графическое интегрирование дифференциальных уравнений.Дифференциальное уравнение первого порядка dy/ dx= f( x, у) определяет на плоскости поле направлений. Задача интегрирования уравнения заключается в проведении кривых, касательные к которым имеют направления поля. Различные приёмы графического интегрирования состоят в последовательном построении интегральных кривых по касательным, направления которых заданы, и в известной мере повторяют численные методы интегрирования (см. Приближённое решение дифференциальных уравнений).
Лит.:Головинин Д. Н., Графическая математика, М. - Л., 1931; Рунге К., Графические методы математических вычислений, пер. с нем., М. - Л., 1932.
М. В. Пентковский.
Графическое решение уравнения j 1( x) = j 2( x).
Рис. 8. Графическое дифференцирование.
Рис. 1. Изображение чисел 1, 3 и -4 направленными отрезками на прямой.
Рис. 2. Графическое умножение и деление: с= аb, b= с/ а.
Рис. 6-7. Графическое интегрирование.
Рис. 4. Графическое решение кубического уравнения x 3- 2,67 х- 1 = 0.
Рис. 5. Графическое решение уравнения 4-йстепени: x 4- 2,6 x 2- 0,8 x- 0,6 = 0.
Графические методы
Графи'ческие ме'тодыв управлении производством, совокупность способов условного (графического) изображения какого-либо организационного или управленческого явления на производстве. Впервые применены американскими инженерами ф. У. Тейлором и Г. Л. Гантом в начале 20 в. в качестве одного из методов организации руководства производством. В СССР Г. м. в управлении производством начали применять в 20-х гг.
С помощью Г. м. решаются задачи моделирования процессов управления, выявляются и рационализируются взаимосвязи между различными факторами, определяются расчётные показатели и нормативы, выполняются контроль и учёт, группировка и классификация хозяйственных операций, информация представляется в наглядном виде.
В управлении производством используются графики иллюстративно-информационные, оперативные, аналитические и расчётные. Иллюстративно-информационные содержат строго подобранные и предварительно проанализированные данные, отражающие фактическое состояние управляемых процессов ( рис. 1 , 2 и 8, А); оперативные графики служат для быстрого принятия решений и содержат для этого всю сумму информации на определенный момент ( рис. 8 , Б); аналитические графики содержат сведения, полученные после логической и математической обработки данных ( рис. 3 ); расчётные графики (например, номограммы ) несут информацию, позволяющую получать функцию, зависящую от большого числа переменных.
В Г. м. различаются объекты графирования (например, динамика брака) и форма передачи идеи (диаграмма точечная, столбиковая, ломаная кривая и др.). По этим признакам графики, применяемые в управлении производством, можно разделить на следующие группы. 1) Графики, отражающие состав объекта и взаимосвязи его частей. К ним относятся классификационные и структурные схемы ( рис. 1 , 2 ), табличные оргасхемы, схемы потоков информации ( рис. 3 ) и схемы рабочих процессов ( рис. 8 , В). Эта группа графиков используется для анализа различных показателей производства: затрат рабочего времени, производств, брака по причинам и виновникам, документооборота и др. 2) Графики изменения управляемого процесса во времени и пространстве. Эта группа включает гармонограммы, учётно-контрольные и плановые графики ( рис. 4 , 5 ), планы объектов на местности, планировки оборудования и рабочих мест ( рис. 6 ), циклограммы ( рис. 8 , В). Основное назначение графиков этой группы - оперативно-календарное планирование, учёт и организация движения производства. 3) Графики функциональных зависимостей между отдельными параметрами (графики сравнения структур и параметров, рис. 7). Такого рода графики используются, в основном, для разработки нормативов, в статистическом учёте и анализе хода производства в планируемом периоде (квартал, полугодие, год). 4) Расчётные графики (номограммы и шкалограммы) служат для упрощения расчётов трудовых, материальных и календарно-плановых нормативов, а также различных математических расчётов: перевода абсолютных величин в проценты, расчёта размера партий и т.п. 5) Смешанные графики - балансовые ( рис. 8 ) и сетевые графики используют для анализа хода производства одновременно по нескольким параметрам, для контроля «узких» мест и оптимизации планирования.
По форме передачи идеи графики могут иметь разнообразный вид: точечные ( рис. 5 ), столбиковые ( рис. 8 , Б), прямые, ломаные и кривые линии, круговые диаграммы ( рис. 2 ) и др. Графики, применяемые в управлении производством, отличаются усложнённой и комбинированной формой.
Лит.:Герчук Я. П., Графические методы в статистике, М.. 1968; его же. Графические методы планирования и учета производства, М., 1935; его же. Графические методы управления производством, в кн.: Оргатехника в управлении и планировании производства, М., 1949, с. 102-203; Дейнеко О. А., Графические методы в управлении производством, в кн.: Научные основы управления производством, М., 1966; Организация производства на промышленных предприятиях США. [Справочник], т. 2, пер. с англ., М., 1961 (раздел: Графики Гантта); Шмид К. Ф., Руководство по графическим изображениям, пер. с англ., под ред. Я. П. Герчука, М., 1960; Кнеппель Ч.Э., Графические методы управления предприятием, 2 изд., пер. с англ., Л. - М., 1931; Вызов Л. А., Методы графических изображении. Курс лекций, М. - Л., 1930.
В. П. Беспалов.
Рис. 8. Балансовый график контроля выполнения плана предприятия. А - учётно-плановый график. Б - собственно балансовый график, В - циклограмма. Балансовый график (Б) показывает степень готовности изделия на начало мая месяца. Плановый процент готовности указан столбиками в контрольных точках циклограммы. Так, на конец апреля для узла Б должно быть изготовлено 72% деталей собственного производства (см. точку 4 на графиках Б и В), а фактически уровень производства достиг 77% Выполнение плана (график А) в целом по изделию оказалось ниже нормы (40% против 56% по плану).
Рис. 1. Структурная схема функциональной организации управления предприятием. Показывает состав подразделений и их взаимосвязи в процессе управления предприятием.
Рис. 2. Удельный вес продукции по типам производства на станкостроительном заводе.
Рис. 6. Схема планировки конвейерной поточной линии: К - конвейер, С - станки, Р - рабочие.
Рис. 5. Карта статистического контроля размера деталей по методу индивидуальных значений; d - поле допуска; а - предупредительные зоны верхней и нижней границ поля допуска. Карта - оперативный документ, с помощью которого прогнозируются отклонения от нормального хода производства (отклонения фактических размеров детали от границ поля допуска).
Рис. 4. Плановый график подготовки производства и изготовления испытательного стенда. Служит основанием для определения исполнителей и сроков выполнения всей номенклатуры работ.
Рис. 7. График зависимости себестоимости продукции от годового выпуска: а - себестоимость годового выпуска, б - одного изделия, при разных вариантах технологического процесса; К р- критическое количество изделий, при котором оба технологических варианта равноценны. С помощью этого графика устанавливаются условия, при которых каждый из вариантов технологического процесса наиболее экономичен. При плане выпуска, меньшем К, II вариант процесса потребует меньше затрат и даст более низкую себестоимость изделий.
Рис. 3. Схема потока информации по материально-техническому снабжению предприятия.
...графия
...гра'фия(от греч. grapho - пишу, черчу, рисую), часть сложных слов, означающих: 1) название науки, изучающей, описывающей предмет, указанный в первой части слова (например, география, историография). 2) Название графического способа воспроизведения чего-либо при помощи записи, чертежа, рисунка, печатания (например, каллиграфия, стенография, литография), а также предприятия, в котором применяются подобные способы (например, типография). 3) Тематический характер научного произведения, посвященного определенной проблеме (монография).
Графо...
Графо...(от греч. grapho - пишу, черчу, рисую), составная часть сложных слов, означающая: относящийся к письму, почерку, черчению, рисованию (например, графология).
Графов теория
Гра'фов тео'рия,раздел конечной математики , особенностью которого является геометрический подход к изучению объектов. Основное понятие теории - граф. Граф задаётся множеством вершин (точек) и множеством рёбер (связей), соединяющих некоторые (а может быть, и все) пары вершин. При этом пары вершин могут соединяться несколькими ребрами. Примеры графов: множество городов (вершины графа), например Московской области, и соединяющие их дороги (ребра графа); элементы электрической схемы и провода, соединяющие их. На рис. 1 изображен граф, вершинами которого являются станции городского метрополитена, а ребрами - пути, соединяющие соседние станции (одна из задач: указать какой-либо маршрут от станции Ак станции В). Граф называется ориентированным, если на ребрах задана ориентация, т. е. указан порядок прохождения вершин. Наконец, в Г. т. изучаются графы, у которых ребрам приписаны какие-либо веса (или символы), а также графы, в которых выделены особые вершины, называются полюсами. Примеры: диаграмма состояний автомата, сеть ж.-д. путей с указанием на дугах их длин или пропускных способностей. На рис. 2 приведена схема автомобильных дорог между Москвой и Таллином; надо, например, выбрать маршрут минимальной общей длины пути из Москвы в Таллин (эти два города - полюсы сети); сравнение двух маршрутов Москва - Ленинград - Таллин и Москва - Витебск - Рига - Таллин показывает, что путь через Ленинград короче (1049 км).
Одной из первых работ по Г. т. можно считать работу Л. Эйлера (1736), относящуюся к решению головоломок и математических развлекательных задач. Первые глубокие результаты были получены в 1-й половине 20 в. в связи с решением задач построения электрических цепей и подсчёта химических веществ с различными типами молекулярных соединений. Однако широкое развитие Г. т. получила лишь с 50-х гг. в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники, когда Г. т. существенно обогатилась и новым материалом, и новыми подходами и когда началось систематическое изучение графов с разных точек зрения (структурной, информационной и т. д.). Именно в это время формулировались проблематика и методы Г. т. Г. т. находит применение в теории программирования и при построении вычислительных машин, в изучении физических, химических и технологических процессов, в решении задач планирования, в лингвистических и социологических исследованиях и т. д. Г. т. имеет тесные связи как с классическими, так и с новыми разделами математики; это - топология, алгебра, комбинаторный анализ, теория чисел, теория минимизации булевских функций. Г. т. включает большое число разнообразных задач. Одни из них группируются в отдельные направления, другие стоят более изолированно. Среди сложившихся разделов Г. т. следует отметить задачи, относящиеся к анализу графов, определению различных характеристик их строения, например выяснение связности графа: можно ли из любой вершины попасть в любую; подсчёт графов или их частей, обладающих заданными свойствами, например подсчёт количества деревьев с заданным числом рёбер (дерево - неориентированный граф без циклов); решение транспортных задач, связанных с перевозками грузов по сети. Решен ряд задач по синтезу графов с заданными свойствами, например построение графа с заданными степенями вершин (степень вершины - число выходящих из неё рёбер). Имеет прикладное и теоретическое значение задача о выяснении возможности расположения графа на плоскости без самопересечений его рёбер (т. е. является ли данный граф плоским), задача о разбиении графа на минимальное число плоских графов. Для некоторых задач Г. т. (выше были приведены далеко не все) были разработаны методы их решения. Среди них: метод Пойя перечисления и подсчёта графов с заданными свойствами, теорема и алгоритм Форда - Фалкерсона для решения транспортной задачи, «венгерский» алгоритм решения задачи о назначениях и т. д. Почти все задачи теории конечных графов (практически интересны именно графы с конечным числом вершин) могут быть решены путём перебора большого числа вариантов (т. н. полный перебор), поэтому для них требуется построение эффективных алгоритмов и использование быстродействующих вычислительных машин. Такими задачами являются: задача о раскраске вершин графа, задача об определении идентичности двух графов, коммивояжёра задача . Есть задачи, требующие принципиального ответа, например задача о раскраске плоских графов, задача о восстановлении графа по его подграфам.
Лит.:Берж К., Теория графов и её применения, пер. с франц., М., 1962; Оре О., Графы и их применение, пер. с англ., М., 1965; Зыков А. А., Теория конечных графов. I, Новосибирск, 1969.
Рис. 2 к ст. Графов теория.
Рис. 1 к ст. Графов теория.
Графология
Графоло'гия(от графо... и ...логия ), учение о почерке, исследование его с точки зрения отражающихся в нём свойств и психических состояний пишущего. Почерк - разновидность выразительных движений , особенность которых состоит в том, что они являются «саморегистрирующимися» и поэтому всегда доступными изучению. Взгляд на почерк как определенное выражение человека восходит к античности (Теофраст и др.), первые опыты Г. - к эпохе Возрождения (сочинения итальянского учёного К. Бальди, 1622). В качестве специальной дисциплины Г. возникает во 2-й половине 19 в. во Франции [Ж. Мишон, введший самый термин «Г.» (1872), Крепьё-Жамен]; почерк рассматривался при этом как система устойчивых графических признаков, каждому из которых соответствует определенное свойство характера. С конца 19 в. складывается немецкая школа Г. (Г. Мейер, В. Прейер и особенно Л. Клагес ); в противовес изолированному толкованию отдельных признаков развивается представление о двузначности и даже многозначности каждого отдельного графического знака, конкретное значение которого определяется лишь на уровне анализа почерка как «целостной формы» (Клагес). Данные Г. применяются для исследования индивидуальных особенностей человека в психологии, а также в медицине и криминалистике в качестве средства психологической и физиологической диагностики наряду с др. методами, например