Независимо и из других соображений идея Г. возникла в геометрии, когда в середине 19 в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные «геометрии» и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвященными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешёл на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким «изучением геометрического родства» много занимался немецкий математик А. Мёбиус. Заключительным этапом на этом пути явилась «Эрлангенская программа» немецкого математика Ф. Клейна (1872), положившая в основу классификации геометрий понятие Г. преобразований: каждая геометрия определена некоторой Г. преобразований пространства, и только те свойства фигур принадлежат к данной геометрии, которые инвариантны относительно преобразований соответствующей Г.
Третий источник понятия Г. - теория чисел. Уже Л. Эйлер (1761), изучая «вычеты, остающиеся при делении степеней», по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение Г. на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в «Арифметических исследованиях» (1801), занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая «композицию двоичных квадратичных форм», Гаусс по существу доказывает, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву Г.. Развивая эти идеи, немецкий математик Л. Кронекер (1870) вплотную подошёл к основным теореме о конечных абелевых Г., хотя и не сформулировал её явно.
Осознание в конце 19 в. принципиального единства теоретико-групповых форм мышления, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия Г. (норвежский математик С. Ли, нем. математик Ф. Фробениус и др.). Так, уже в 1895 Ли определял Г. как совокупность преобразований, замкнутую относительно их композиции, удовлетворяющей условиям 1), 2), 3). Изучение Г. без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (1916).
Теория групп.Конечной целью собственно теории Г. является описание всех возможных групповых композиций. Теория Г. распадается на ряд больших разделов, выделяемых чаще всего дополнительными условиями на групповую композицию или внесением в Г. дополнительных структур, связанных определённым образом с групповой композицией. Перечислим важнейшие разделы теории групп.
а) Теория конечных Г. Основная проблема этой старейшей ветви теории Г. - классификация т. н. простых конечных Г., играющих роль кирпичей при построении произвольной конечной Г. Одним из наиболее глубоких фактов, установленных в этой теории, является теорема о том, что всякая неабелева простая конечная Г. состоит из чётного числа элементов.
б) Теория абелевых Г. Отправной точкой многих исследований в этой области служит основная теорема о конечно-порождённых абелевых Г., полностью выясняющая их строение.
в) Теория разрешимых и нильпотентных Г. Понятие разрешимой Г. является обобщением понятия абелевой Г. Оно по существу идёт от Галуа и тесно связано с разрешимостью уравнений в радикалах. Для конечных Г. это понятие может быть определено многими равносильными способами, которые перестают быть равносильными при отказе от конечности Г. Изучение возникающих при этом классов Г. составляет предмет теории обобщённо разрешимых и обобщённо нильпотентных Г.
г) Теория Г. преобразований. Понятие Г. возникло исторически именно как понятие Г. преобразований, но в дальнейшем было освобождено от этой конкретной оболочки. Тем не менее теория Г. преобразований осталась важной частью общей теории. Типичный вопрос в ней: какими абстрактными свойствами обладает Г., заданная как Г. преобразований некоторого множества? Особое внимание привлекают, в частности, Г. подстановок и Г. матриц.
д) Теория представлений Г. - важное орудие изучения абстрактных Г. Представление абстрактной Г. в виде некоторой конкретной Г. (например, в виде Г. подстановок или матриц) позволяет проводить тонкие вычисления и с их помощью обнаруживать важные абстрактные свойства. Особенно велики успехи теории представлений в теории конечных Г., где с её помощью получен ряд результатов, недоступных пока абстрактным методам.
е) Из разделов теории групп, выделяемых внесением в Г. дополнительных структур, согласованных с групповой композицией, отметим теорию топологических Г. (в них групповая композиция в некотором смысле непрерывна), в частности её старейшую ветвь - теорию групп Ли.
Теория Г. является одной из самых развитых областей алгебры и имеет многочисленные применения как в самой математике, так и за её пределами. Например, с помощью теории Г. русский учёный Е. С. Федоров (1890) решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии. Это был исторически первый случай применения теории Г. непосредственно в естествознании. Большую роль играет теория Г. в физике, например в квантовой механике, где широко используются соображения симметрии и теория представлений Г. линейными преобразованиями.
Лит.: Александров П. С., Введение в теорию групп, 2 изд., М., 1951; Мальцев А. И., Группы и другие алгебраические системы, в кн.: Математика, ее содержание, методы и значение, т. 3, М., 1956, с. 248-331; Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962; Варден Б. Л. ван дер. Метод теории групп в квантовой механике, пер. с нем., Хар.,1938; Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, в кн.: Шмидт О. Ю. Избр. труды. Математика, М., 1959; Федоров Е. С., Симметрия правильных систем фигур, в кн.: Федоров Е.С., Симметрия и структура кристаллов. Основные работы, М., 1949; WussinG Н., Die Genesis des abstrakten GruppenbeGriffes B.1969 S.1
М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков.
Рис. к ст. Группа.
«Группа народовольцев»
«Гру'ппа народово'льцев»название двух петербургских революционных организаций, преемственно между собой связанных. 1) «Г. н.» [М. С. Александров (Ольминский), А. А. Федулов, А. Ю. Фейт, А. А. Ергин, Н. Л. Мещеряков] возникла в 1891, разгромлена властями в апреле 1894. Вела пропаганду среди рабочих, издала два номера «Летучего листка» (№1-1892, № 2 - май 1893), ряд воззваний. Объявляя о верности «основным принципам» старого народовольчества (см. «Народная воля» ) ,«Г. н.» вносила в свою практику и идейную аргументацию некоторые новые черты, вызванные изменением социально-политической обстановки в России и влиянием русских социал-демократов.
2) В «Г. н.», существовавшую в 1894-96, вошли несколько членов первой группы, уцелевших от арестов, и новые деятели (А. С. Белевский, Е. А. Прейсс, представители рабочей подгруппы, в том числе А. С. Шаповалов). Вторая «Г. н.» в конце февраля 1895 восстановила подпольную типографию, т. н. «Лахтинскую». Члены её выпустили 3-й (апрель 1895) и 4-й номера (декабрь 1895) «Летучего листка», брошюры («Царь - голод» А. Н. Баха и др.). Эволюция в направлении к марксизму выразилась у второй «Г. н.» гораздо определеннее, чем у первой, что особенно сказалось на содержании четвёртого «Листка», издание которого В. И. Ленин приветствовал в работе «Задачи русских социал-демократов» (см. Полн. собр. соч., 5 изд., т. 2, с. 458). Вторая «Г. н.» в практической работе сблизилась с Петербургским «Союзом борьбы за освобождение рабочего класса»: брошюра Ленина «Объяснение закона о штрафах, взимаемых с рабочих на фабриках и заводах» напечатана в типографии «Г. н.». 24 июня 1896 «Лахтинская» типография была захвачена полицией; большинство участников «Г. н.» арестовано.
Лит.:Куделли П. Г., Народовольцы на перепутьи. Дело Лахтинской типографии с приложением документов и «летучих листков» группы народовольцев 1892 и 1895 гг., Л., 1925; Левитас И. Г. Революционные подпольные типографии в России (1860-1917 гг.), М., 1962, с. 75-79.
Ш. М. Левин.
Группа «Освобождение труда»
Гру'ппа «Освобожде'ние труда'»,первая русская марксистская организация; существовала с сентября 1883 по август 1903. Создана в Женеве Г. В. Плехановым и его единомышленниками В. И. Засулич, П. Б. Аксельродом, Л. Г. Дейчем, В. Н. Игнатовым. В 1884 в связи с арестом выбыл Дейч, в 1885 умер Игнатов, в 1888 был принят С. М. Ингерман, который активно работал до переезда в Америку в 1891. До 1883 члены Г. «О. т.» были революционными народниками (чернопередельцами). Возникновение российского рабочего движения, неудачи народнического движения заставили искать новую революционную теорию. В эмиграции Плеханов и его соратники ознакомились с опытом западноевропейского рабочего движения, изучили теорию научного социализма. Это привело к коренному пересмотру ими собственной революционной практики. В объявлении об издании «Библиотеки современного социализма» 13(25) сентября 1883 Г. «О. т.» провозгласила свои основные цели и задачи:
1) перевод на русский язык важнейших трудов К. Маркса и Ф. Энгельса, а также произведений их последователей для распространения идей научного социализма;
2) критика народничества и разработка проблем русской общественной жизни с точки зрения теории марксизма. Ещё в 1882 Плеханов перевёл на русский язык «Манифест Коммунистической партии». В дальнейшем группа перевела и издала работы К. Маркса и Ф. Энгельса: «Наёмный труд и капитал» (1883), «Развитие научного социализма» (1884), «Речь о свободе торговли» (1885), «Нищета философии» (1886), «Людвиг Фейербах» (1892), «Восемнадцатое брюмера Луи Бонапарта» (1894), «Ф. Энгельс о России» (1894). Эти произведения в 80-х - начала 90-х гг. изучались в первых социал-демократических организациях России и сыграли большую роль в повороте революционной молодёжи к марксизму. Важное значение имели работы Плеханова, излагавшие идеи марксизма в применении к России. В его работах «Социализм и политическая борьба» (1883), «Наши разногласия» (1885) дана развёрнутая критика теории и тактики народничества, обосновывается вывод о вступлении России на путь капитализма, доказывается, что передовой решающей силой грядущей революции является не крестьянство, а пролетариат, выдвигается задача создания рабочей социалистической партии в России. Большое значение для основания российской социал-демократии имели также два проекта программы Г. «О. т.», написанных Плехановым. Первый из них (1883) содержал некоторые уступки народничеству. После обсуждения его в кружках социал-демократов Плеханов написал второй - «Проект программы русских социал-демократов» (1885). Теоретическая его часть содержала основные элементы программы марксистской партии. Практическая - состояла из требований: 1) общедемократические преобразования; 2) меры в интересах рабочих; 3) меры в интересах крестьян. Подробный разбор второго из них сделал Ленин (см. «Проект программы нашей партии», в книге: Полн. собр. соч., 5 изд., т. 4, с. 211-39). Этот документ Г. «О. т.» был единственной опубликованной программой российской социал-демократии до программы РСДРП, выработанной ленинской «Искрой». В 1835 вышла новая работа Плеханова «К вопросу о развитии монистического взгляда на историю». В ней дана критика «субъективной социологии» народничества, доказана несостоятельность народнических взглядов по вопросам о роли идей, личности и народных масс в истории.
В распространении марксизма участвовали все члены группы. Кроме серии «Библиотека современного социализма», группа выпустила серию «Рабочая библиотека» (С. Дикштейн, «Кто чем живёт?», предисловие Плеханова, 1885; П. Аксельрод, «Рабочее движение и социальная демократия», 1884; «Речь П. А. Алексеева на суде», с предисловием Плеханова, 1889; В. Засулич, «Варлен перед судом исправительной полиции», 1890, и др.). В 1888 Г. «О. т.» издала сборник «Социал-демократ», а в 1890-92 - литературно-политическое обозрение «Социал-демократ» (4 книги), в котором пропагандировались революционные идеи марксизма, подвергалось критике народничество и освещалась деятельность российских и международных социал-демократов.
Наряду с теоретической и пропагандистской деятельностью Г. «О. т.» вела за границей большую работу по объединению сил российской социал-демократии. Осенью 1888 группа основала «Русский социал-демократический союз»; в конце 1894 был создан «Союз русских социал-демократов за границей», редакция изданий которого принадлежала Г. «О. т.». Несмотря на огромные трудности, группа имела связь с социал-демократическими организациями в России (Москва, Петербург, Киев, Харьков, Вильнюс, Рига, Минск, Одесса, Нижний Новгород и др.). В мае 1895 в Швейцарии Ленин встретился с Плехановым и договорился о совместном издании в 1896 в Женеве сборника «Работник». Созданный Лениным в 1895 Петербургский «Союз борьбы за освобождение рабочего класса» устанавливает тесную связь с Г. «О. т.»; «Союз» избрал Плеханова своим представителем на Международный социалистический конгресс (1896, Лондон). Связь между ними ослабла после ареста Ленина, его ближайших товарищей и прихода к руководству «Союзом» «экономистов». В ноябре 1898 группа отказывается от редактирования изданий заграничного «Союза русских социал-демократов», т. к. в нём стали преобладать оппортунисты, а в мае 1900 окончательно порывает с ним и основывает самостоятельное издательство «Социал-демократ». Г. «О. т.» поддерживала контакты с социал-демократическими партиями и организациями Германии, Франции, Англии, Польши, Болгарии, Швейцарии, Австрии, Венгрии. Группа имела связь с видными деятелями социалистического движения Запада: Э. Эвелингом, Элеонорой Маркс, Д. Благоевым, А. Лабриолой, А. Бебелем, В. Либкнехтом, К. Цеткин, К. Каутским и др. Её представители участвовали в международных рабочих социалистических конгрессах: в 1889 в Париже, в 1893 в Цюрихе, в 1896 в Лондоне и т. д. Ф. Энгельс высоко оценивал деятельность Г. «О. т.» «...Я горжусь тем, - писал он в 1885 В. И. Засулич, - что среди русской молодежи существует партия, которая искренне и без оговорок приняла великие экономические и исторические теории Маркса и решительно порвала со всеми анархическими и несколько славянофильскими традициями своих предшественников. И сам Маркс был бы также горд этим, если бы прожил немного дольше. Это прогресс, который будет иметь огромное значение для развития революционного движения в России» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 зд., т. 36, с. 260). Идеолог группы Плеханов на рубеже 19-20 вв. вёл активную борьбу с ревизионизмом, главным образом бернштейнианством.Г. «О. т.» сыграла значительную роль в борьбе с «экономизмом» . В специальном сборнике «Вадемекум» был напечатан составленный В. И. Лениным в ссылке протест 17 социал-демократов против «”кредо” экономистов». Важнейший этап деятельности Г. «О. т.» (1901-03) протекал в рамках Заграничной лиги русской революционной социал-демократии,когда группа объединилась с ленинской «Искрой». Вначале это был период плодотворного сотрудничества Ленина и Плеханова, затем выявились между ними идейные разногласия (1901-03), которые окончательно обострились после 2-го съезда РСДРП, что привело к расколу российской социал-демократии на большевиков и меньшевиков. Ленин отмечал недостатки Г. «О. т.», которые он главным образом усматривал в том, что группа не была связана с рабочим движением, что у её членов отсутствовали конкретный анализ особенностей развития капитализма в России и признание вытекающих особых задач российской социал-демократии в борьбе за создание партии нового типа, отличной от партий 2-го Интернационала. Члены группы не поняли, что наступила эпоха империализма и пролетарских революций, не имели чёткого взгляда на взаимоотношения рабочего класса и крестьянства, рабочего класса и либеральной буржуазии, не учитывали роль пролетариата как гегемона в буржуазно-демократической революции. Историческое значение Г. «О. т.» Ленин видел в том, что она идейно, теоретически основала российскую социал-демократию и сделала первый шаг навстречу рабочему движению. Заслугой Г. «О. т.» и прежде всего Плеханова Ленин считал борьбу против народников, «экономистов», международного ревизионизма и анархизма, обоснование ею значения революционной теории в освободительном движении, то, что она раскрыла рус. революционерам сущность научного социализма. Он указал на преемственность взглядов деятелей Петербургского «Союза борьбы» и членов Г. «О. т.» по многим принципиальным вопросам, назвал её представительницей революционно-марксистского течения в рус. социал-демократии. Историю марксизма в России Ленин вёл, начиная с момента образования Г. «О. т.».
Лит.:Ленин В. И., Полн. собр. соч., 5 изд., т. 1, с. 193-98; т. 4, с. 215-17, 254-59, 273; т. 25, с. 95; т. 26, с. 343; Плеханов Г. В., Предисловие к первому тому первого издания Собр. соч.. Соч., 3 изд., т. 1, М., [б. г.]; его же, О социальной демократии в России, там же, т. 9, М., [б. г.]; его же, К тридцатилетию группы «Освобождение труда», там же, т. 24, М. - Л., 1927; его же. Первые шаги социал-демократического движения в России, там же; История КПСС, т. 1, М., 1964, гл. 2; К. Маркс, Ф. Энгельс и революционная Россия. [Сб.], М., 1967; Полевой Ю. 3., Зарождение марксизма в России 1883-1894 гг., М., 1959; Жуйков Г., Группа «Освобождение труда», М., 1962; Группа «Освобождение труда», в кн.: История СССР. Указатель литературы за 1917-52гг.,т. 2, М., 1958, с. 149-51.
Ю. З. Полевой.
«Группа старых народовольцев»
«Гру'ппа ста'рых народово'льцев»,русская группа революционных эмигрантов в Париже в 1890-х гг. Входили П. Л. Лавров,М. Н. Ошанина, Н. С. Русанов, И. А. Рубанович, Э. А. Серебряков и др. Располагая типографией в Женеве, «Г. с. н.» развернула издательскую деятельность, выпускала брошюры, в 1893-96 - непериодический сборник под редакцией Лаврова и Русанова «Материалы для истории русского социально-революционного движения» (7 выпусков), 2-я часть которого под названием «С родины и на родину» посвящалась главным образом текущим вопросам. «Г. с. н.» стремилась поддержать народовольческую идейную традицию (см. Народничество, «Народная воля») и содействовать близким ей по направлению кружкам в России. Русанов и Рубанович участвовали в 1901 в основании «Вестника русской революции», ставшего теоретическим органом партии эсеров.
Лит.:Материалы для биографии П. Л. Лаврова, в. 1, П., 1921; Русанов Н. С., в эмиграции, М., 1929.
Ш.М. Левин.
Группа Точисского
Гру'ппа Точи'сского,см. Точисского группа .
Группетто
Группе'тто(итал. gruppetto), вид мелодического украшения. См. Орнаментика.
Группировка войск
Группиро'вка во'йск,собирательное понятие, под которым подразумевается состав и расположение объединений, соединений и частей (сил флота), предназначенных для ведения боевых действий, Г. в. создаётся в соответствии с характером поставленной оперативной (боевой) задачи (наступление, оборона и др. ), условиями обстановки и решением командующего (командира). Употребляются также понятия: Г. в. на театре военных действий, в том или ином районе, группировка артиллерии, группировка танковых войск, сил флота и т. д.
Группировки статистические
Группиро'вки статисти'ческие,см. Статистические группировки.
Групповая обработка
Группова'я обрабо'тка,метод изготовления деталей машин, приборов и др. изделий, основанный на объединении деталей в группы, для каждой из которых применимы однородные (групповые ) технологические операции и общая (групповая) быстро переналаживаемая технологическая оснастка. Г. о. позволяет, даже в условиях мелкосерийного производства, применять автоматическое оборудование, высокопроизводительную оснастку и др. прогрессивную технологию. Резко сокращаются затраты на изготовление приспособлений и время наладки станков. Г. о. эффективна не только в машиностроении, но и в обувной, деревообрабатывающей и других отраслях промышленности.
Разработка технологического процесса Г. о. начинается с создания комплексной детали ( рис. ) - реальной, наиболее сложной в данной группе, либо условной, спроектированной как совокупность геометрических элементов всех деталей группы. Технологический процесс проектируется для комплексной детали и с небольшими подналадками применяется для изготовления любой детали данной группы.
Лит.:Митрофанов С. П., Научные основы групповой технологии, Л., 1959; Корытный Д. М., Групповой метод механической обработки, М., 1959; Бельченко А. Я., Яценко Г. Г., Групповые методы обработки деталей машин, М. - К., 1961.
Схема групповой обработки с комплексной деталью: А - комплексная деталь, включающая 8 основных элементов; Б - Е - внешние поверхности простых деталей; Ж - Л - внутренние поверхности простых деталей; порядковые номера 1-8 обозначают аналогичные поверхности - цилиндрическую, коническую, резьбовую и т. д.
Групповая операция
Группова'я опера'ция,операция, выполняемая в электронной цифровой вычислительной машине по одной команде над группой операндов (слагаемых, множителей и др. ). Г. о. делятся на операции групповых пересылок (обмен массивами информации между отдельными устройствами ЦВМ, например между арифметическим и запоминающим устройствами), арифметические и логические. При Г. о. нет необходимости выбирать команду при обработке каждого операнда, достаточно задать тип операции, объём и расположение исходной информации, а также размещение результатов. Необходимые преобразования исходных команд осуществляются схемно без обращения к памяти ЭВМ.
Групповая скорость
Группова'я ско'ростьволн, скорость движения группы или цуга (вереницы) волн, которая при отсутствии поглощения в среде совпадает со скоростью перемещения энергии этой группы волн. Пример группы волн - сигнал, изображенный на рис. 1. Группа волн не является периодической волной (т. е. в точности повторяющейся через определенные промежутки времени), а состоит из набора гармонических волн, частоты которых лежат в некотором интервале, тем более узком, чем более плавную форму имеет огибающая группы волн.
Если среда не обладает дисперсией,то все гармонические волны, входящие в группу, распространяются с одной и той же фазовой скоростью. С той же скоростью распространяется и огибающая группы; в этом случае Г. с. совпадает с фазовой.
При наличии дисперсии гармонической волны различных частот, образующие группу, распространяются с разными фазовыми скоростями. Вследствие этого при распространении изменяются соотношения между фазами разных гармонических волн и происходит искажение формы огибающей. Однако если фазовые скорости группы волн отличаются друг от друга мало (сигнал с узким спектром), то форма огибающей сохраняется при распространении и влияние дисперсии сказывается лишь на том, что скорость движения огибающей группы, т.е. Г. с., отличается от фазовой скорости.
На рис. 2 представлены три последовательных мгновенных снимка сигнала с узким спектром, распространяющегося в среде с дисперсией. Наклон пунктирных прямых, соединяющих точки одинаковой фазы (максимумы), характеризует фазовую скорость; наклон прямых, соединяющих соответствующие точки огибающей (начала и концы сигнала), характеризует Г. с. сигнала. Если при распространении сигнала максимумы и минимумы движутся быстрее, чем огибающая, то это означает, что фазовая скорость данной группы волн превышает её Г. с. ( рис. 2 , а).
При распространении сигнала в его хвостовой части возникают всё новые максимумы, которые постепенно перемещаются вперёд вдоль сигнала, достигают его головной части и там исчезают. Такое положение имеет место в случае т. н. нормальной дисперсии, т.е. в средах, где фазовая скорость увеличивается с ростом частоты гармонической волны. Примеры сред с нормальной дисперсией: вещества, прозрачные для оптических волн, волноводы и др. Однако в ряде случаев наблюдается аномальная дисперсия среды; в этих случаях Г. с. сигнала превышает его фазовую скорость ( рис. 2 , б) .Максимумы и минимумы появляются в передней части группы, перемещаются назад и исчезают в хвосте сигнала. Аномальная дисперсия характерна для волн на поверхности воды, света в поглощающих средах.
Понятие Г. с. играет большую роль в ряде областей физики, т. к. всякая реальная гармоническая волна, как электромагнитная, так и упругая, в действительности представляет собой группу волн с близкими частотами. Поэтому все методы измерения скорости света в веществе, связанные с учётом запаздывания света, дают именно Г. с. В широко применяемом для исследования ионосферы методе зондирования радиоимпульсами времена запаздывания отражённых от ионосферы сигналов также определяются Г. с. радиоволн. В квантовой механике Г. с. y волн (см. Волновой пакет ) оказывается равной скорости материальной частицы, с которой связаны эти волны.