Страница:
Это — над колоннами. А за колоннами, по верху сплошной стены храма, тянулся, виднеясь между мраморными столбами, другой фриз — не прерывистый, а сплошной. Это было праздничное шествие: стихия побеждена, закон и порядок восторжествовали, и люди идут приветствовать богов и поднести им подарки. На западной стороне, под Посейдоном, давшим людям коня, скачут молодые воины верхом; вдоль длинной северной тянутся колесницы, идут музыканты, гонят жертвенных животных, а впереди шагают старейшины; а на восточной стороне, над входом, сидят боги, и чинные девы подносят им дары. Такие процессии и вправду всходили на Акрополь каждые четыре года, на празднике Больших Панафиней, и, медленно следуя вдоль храма, шествующие видели справа над собой как бы собственное изображение на храмовой стене. А взглянув налево, они могли видеть собственное изображение как бы сошедшим со стены; там стоял маленький, с причудливыми выступами храм Эрехтейон, и крышу его поддерживали не колонны, а каменные девушки с корзинами на головах, прямые, спокойные и сильные. Они назывались «кариатиды».
Наконец, обогнувши храм, мы входим внутрь. Здесь полутемно, свет падает лишь сквозь дверь, и в этой полутьме в дальнем конце храма возвышается под потолок статуя Афины-Девы, знаменитое творение Фидия. Она в высоком шлеме, у ног ее стоит щит, а на протянутой руке — крылатая фигура богини Победы; Победа кажется маленькой, хоть она почти в человеческий рост. Лицо и руки Афины выложены белой слоновой костью, а одежда и панцирь — золотом; на этой статуе около полутора тонн золота, неприкосновенный запас афинской казны. Поверх панциря на богиню накинуто покрывало, вытканное лучшими афинскими девушками. И здесь в последний раз словно в один узел собран смысл всего Парфенона: на покрывале богини изображена гигантомахия, на щите — амазономахия, а на краях ее подошв — кентавромахия: победа закона и порядка над произволом неразумной стихии.
Хор о человеке
«Война — отец всего»
Ахилл и черепаха, или Страх бесконечности
Греки победили варваров потому, что у греков был порядок — порядок в сознании, то есть закон, и порядок на поле боя, то есть строй. А почему бы не могло такого порядка быть и у варваров? Потому что их слишком много. Страна их огромна, народов в ней шестьдесят три, подчинить их единому закону трудно, поэтому они подчиняются только единой воле царя, а воля часто бывает неразумна. Лучше малое, но упорядоченное, чем великое, но беспорядочное — таково было постоянное убеждение греков.
Самое великое — это, стало быть, всегда самое беспорядочное. А что на свете самое великое? Бесконечность. Слово это вы знаете: математики давно освоили его в своей науке и производят над бесконечностью любые операции. Одного только не могут ни математики, ни мы с вами: представить себе эту бесконечность. Понять ее можно, а представить нельзя: так уж устроено человеческое сознание. А греки больше всего любили именно наглядность, именно вообразимость. Поэтому мысль о бесконечности вызывала у них раздражение и отвращение.
А ведь бесконечность подстерегает нас на каждом шагу. Сколько вещей вокруг нас, и все не похожи друг на друга, а с течением времени — и на самих себя. Недаром Гераклит плакал над бесконечной изменчивостью мира. И вот, чтобы ободриться и утешиться, Парменид и его ученик Зенон объявили: бесконечности не существует. Если допустить ее существование — получается нелепость. Смотрите сами.
Быстроногий Ахилл хочет догнать неповоротливую черепаху. Она находится на сто шагов впереди него. Ахилл бегает в сто раз быстрее черепахи. Бег начался; когда Ахилл догонит черепаху? Неожиданный ответ: никогда! Ахилл пробежит эти сто шагов, но за это время черепаха уползет вперед еще на один шаг. Ахилл пробежит этот шаг, но черепаха уйдет вперед на сотую часть шага. Ахилл одолеет эту сотую, но черепаха оторвется от него еще на одну сотую сотой, и так далее, до бесконечности: разрыв между Ахиллом и черепахой будет все микроскопичнее, но не исчезнет никогда. Нелепость? Нелепость. А почему? Потому что мы делили отрезки их пути до бесконечности.
Если, таким образом, самое беспорядочное на свете — это бесконечность, то что на свете самое упорядоченное, гармоничное, стройное? Единство. Если бы греки вышли против персов действительно «все как один», чтобы строй их был одним исполинским телом, — они победили бы врага немедленно. Единому вообще не нужна упорядоченность частей, потому что в нем нет частей — все однородно. Однородно не только в пространстве, но и во времени: единое не меняется, не крепнет и не слабеет, оно — вечно. Конечно, такого единства никто никогда не видел, но всякий может его представить. Мы говорим «бог»; а что такое бог? Существо вечное и совершенное в каждой частице. Совершенное — значит «самое лучшее», а самое лучшее может быть только одно; вот это и есть Единство, однородное, вечное и божественное.
Парменид как бы заочно успокаивал плачущего Гераклита. Да, в окружающем нас мире все течет, рождается и умирает, но есть и другой мир, мир мысли, в котором все неизменно и вечно. В здешнем мире Пифагор давно умер, мы его не увидим и не услышим; но мы можем подумать о нем, и он предстает нашей мысли как живой, — это значит, что мы заглянули умственным взором в тот мир, где он вечно жив. Какой же из этих двух миров настоящий и какой ненастоящий? Нам хочется ответить: окружающий нас — настоящий, а мысленный — выдуманный. Парменид отвечал наоборот: мир мысли — настоящий, а мир наших ощущений — ненастоящий. Потому что в человеческом сознании мысль — хозяин, а чувства — ее рабы, которые лишь питают ее: одно — образами зрения, другое — образами слуха и так далее. А кому можно больше доверять, хозяину или рабам? Грек отвечал сразу и твердо: хозяину.
Не спешите смеяться над чудаком Парменидом, который в добавление к окружающему нас миру придумал несуществующий второй. Мы еще увидим, как пересочинит этот его второй мир философ Платон. И тем более не смейтесь над тем, как доказывал Зенон, что движения нет и Ахилл никогда не догонит черепаху. Показать, что это не так, очень легко: шаг, два, и готово. А вот доказать, почему это не так, очень трудно. И философы даже в наши дни порой спорят с Зеноном, словно с современником.
Наглядная математика
Четыре стихии
Смеющийся философ
Наконец, обогнувши храм, мы входим внутрь. Здесь полутемно, свет падает лишь сквозь дверь, и в этой полутьме в дальнем конце храма возвышается под потолок статуя Афины-Девы, знаменитое творение Фидия. Она в высоком шлеме, у ног ее стоит щит, а на протянутой руке — крылатая фигура богини Победы; Победа кажется маленькой, хоть она почти в человеческий рост. Лицо и руки Афины выложены белой слоновой костью, а одежда и панцирь — золотом; на этой статуе около полутора тонн золота, неприкосновенный запас афинской казны. Поверх панциря на богиню накинуто покрывало, вытканное лучшими афинскими девушками. И здесь в последний раз словно в один узел собран смысл всего Парфенона: на покрывале богини изображена гигантомахия, на щите — амазономахия, а на краях ее подошв — кентавромахия: победа закона и порядка над произволом неразумной стихии.
Хор о человеке
Через несколько лет после заключения мира с персами, в самые первые годы власти Перикла в афинском театре была поставлена трагедия драматурга Софокла «Антигона». В греческих трагедиях разговоры чередовались с песнями хора — об этом мы еще расскажем. Первая песнь хора из «Антигоны» запомнилась человечеству на много веков — это самый громкий гимн силе человека во всей греческой поэзии. В нем еще свежо впечатление от победоносной войны. Но дочитайте его до конца, он кончается напоминанием — даже в этом величии выше всего мера, выше всего закон: кто его преступит, тот опасен и себе, и другим. В своем взгляде на мир и человека греки всегда оставались верны себе.
Маленькое примечание. Может быть, некоторые удивятся этим стихам: ни рифмы, ни ритма, все равно как в прозе. Это не совсем так. Рифмы, правда, здесь нет: рифму изобрели только в средние века. А ритм есть, только он сложнее, чем в стихах, к которым мы привыкли. Сравните первую строчку строфы с первой строчкой антистрофы, вторую со второй и так далее: и число слогов, и расположение ударений всюду будет одно и то же. Строфу и антистрофу можно было петь на один мотив, и это был мотив торжественной пляски. Хор мерными движениями шагал в сторону и в лад шагам пел строфу, а потом теми же движениями возвращался назад и пел антистрофу; потом, уже по-новому, двигался в другую сторону и обратно и пел другую строфу с антистрофой. Стихи, музыка и пляска были едины.
Строфа 1
Много в природе дивных сил,
Но сильней человека — нет.
Он под вьюги мятежный вой
Смело за море держит путь.
Кругом вздымаются волны —
Под ними струг плывет.
Почтенную в богинях, Землю,
Вечно обильную мать, утомляет он:
Из году в год в бороздах его пажити,
По ним плуг мул усердный тянет.
Антистрофа 1
И беззаботных стаи птиц,
И породы зверей лесных,
И подводное племя рыб
Власти он подчинил своей:
На всех искусные сети
Плетет разумный муж.
Свирепый зверь пустыни дикой
Силе его покорился, и пойманный
Конь густогривый ярму повинуется,
И царь гор, тур неукротимый.
Строфа 2
И речь, и воздушную мысль,
И жизни общественной дух
Себе он привил; он нашел охрану
От лютых стуж — ярый огнь,
От стрел дождя — прочный кров.
Благодолен!
Бездолен не будет он в грозе
Грядущих зол;
Смерть одна
Неотвратна, как и встарь,
Недугов же томящих бич
Теперь уж не страшен.
Антистрофа 2
Кто в мудрость искусство возвел
Превыше бессильных надежд,
Тот путь проторил и к добру и к худу.
Кто Клятву чтит, Правды дочь,
Закон страны, власть богов, —
Благороден!
Безроден в кругу сограждан тот,
Кого лихой
Кривды путь
В сердце дерзостном пленил:
Ни в доме гость, ни в вече друг
Он мне да не будет!
«Война — отец всего»
В годы греко-персидских войн в ионийском городе Эфесе жил философ Гераклит. Он видел великое могущество Персии и видел его падение; он видел в своем родном городе и власть тиранов, и власть знати, и власть народа; и он понимал, что так будет и дальше. Он думал: что же это за жизнь, в которой нет ни мгновения покоя, устойчивости и ясности? Как может быть вечен мир, в котором ничто не вечно?
Он слышал уроки философов из соседнего Милета: «Все в мире — из воды», «все в мире — из воздуха». — «Нет, — заявил он, — все в мире — из огня». Почему? Потому что изо всех стихий огонь — самый изменчивый, самый вечно-движущийся. Взгляните на огонь костра или очага — вы увидите бьющиеся и вьющиеся языки пламени, они не замрут ни на мгновение. Вот так и все на свете, говорил Гераклит.
Все течет, все меняется: в одну реку нельзя войти дважды, потому что та вода, в которую мы входили, уже далеко утекла. Меняемся и мы сами: в детстве мы были не те, что теперь, и в старости будем не те, что теперь. Больше того: мгновение назад мы были не те, что мгновение спустя. Вот я говорю: «Мне сорок лет». Когда я начинаю говорить, это правда, когда кончаю — это уже ложь, потому что теперь мне уже не ровно сорок лет, а сорок лет и одна секунда. Я не могу сказать о человеке «он жив», потому что от первого до последнего мгновения жизни он постепенно умирает; я не могу сказать о человеке «он спит», потому что весь его сон — это постепенное приготовление к пробуждению; короче говоря, я не могу сказать о человеке «он есть», а только «он становится» тем-то и тем-то. Нет бытия — есть только вечное становление.
Откуда это вечное движение? Что гонит мир в этот головокружительный бег перемен? Борьба противоположностей. В мире нет покоя, потому что в нем борются Персия и Греция; в городе нет покоя, потому что в нем борются знать с народом; в душе нет покоя, потому что в ней борются одни желания с другими. Греция только потому и чувствует себя Грецией, что рядом с ней — непохожая на нее и борющаяся с ней Персия; огонь только потому и остается огнем, что ему приходится отстаивать себя против своих врагов — воды, земли и воздуха. «Война — отец всего и царь всего, она являет одних богами, других людьми, она делает одних рабами, других свободными». Вот лук, концы его растягивают тетиву в разные стороны, как желания — душу, и только поэтому он стреляет; вот лира, на ней точно так же растянуты струны, и только поэтому она звучит. Мало того: тетиву нужно то натягивать, то спускать, а струн то касаться, то не касаться, без такой переменчивости не будет ни выстрела, ни звука. И этого мало: лук несет смерть, а лира несет жизнь, но и лук и лиру держит один и тот же бог Аполлон, потому что смерть и жизнь, как мы видели, неразделимы и неразличимы.
Непонятно? Грекам тоже было непонятно. Гераклита прозвали Темным; говорили: «Он так глубок, что нужно быть водолазом, чтобы что-то понять». Но Гераклит этого и хотел. Он не вел бесед, не давал уроков, как другие философы: он был нелюдим, жил молча, а учение свое записал в книгу и книгу положил в храм Артемиды Эфесской. Мудрый найдет и поймет, а немудрому и понимать незачем.
Молчалив и мрачен был Гераклит, потому что знал: во всех этих переменах есть порядок, есть ритм, есть закон, но доискаться до него, угнаться за ним мыслью очень трудно. А все остальное не стоит и доискивания: «многознание не научает разуму». Жить среди переменчивых людей с их переменчивыми заботами он гнушался. Ему предлагали стать тираном — он отдал власть другому. Его просили написать для Эфеса законы — он сказал: «Никакими законами вас не исправишь». Его оставили в покое — он сел под стеной храма Артемиды и стал играть с мальчишками в кости. Над ним смеялись — он ответил: «Разве это не то же, что ваша политика?»
В памяти греков он остался как «плачущий философ» — плачущий о людском ничтожестве. Так его называли в отличие от «смеющегося философа» — Демокрита, с которым мы тоже скоро встретимся.
Он слышал уроки философов из соседнего Милета: «Все в мире — из воды», «все в мире — из воздуха». — «Нет, — заявил он, — все в мире — из огня». Почему? Потому что изо всех стихий огонь — самый изменчивый, самый вечно-движущийся. Взгляните на огонь костра или очага — вы увидите бьющиеся и вьющиеся языки пламени, они не замрут ни на мгновение. Вот так и все на свете, говорил Гераклит.
Все течет, все меняется: в одну реку нельзя войти дважды, потому что та вода, в которую мы входили, уже далеко утекла. Меняемся и мы сами: в детстве мы были не те, что теперь, и в старости будем не те, что теперь. Больше того: мгновение назад мы были не те, что мгновение спустя. Вот я говорю: «Мне сорок лет». Когда я начинаю говорить, это правда, когда кончаю — это уже ложь, потому что теперь мне уже не ровно сорок лет, а сорок лет и одна секунда. Я не могу сказать о человеке «он жив», потому что от первого до последнего мгновения жизни он постепенно умирает; я не могу сказать о человеке «он спит», потому что весь его сон — это постепенное приготовление к пробуждению; короче говоря, я не могу сказать о человеке «он есть», а только «он становится» тем-то и тем-то. Нет бытия — есть только вечное становление.
Откуда это вечное движение? Что гонит мир в этот головокружительный бег перемен? Борьба противоположностей. В мире нет покоя, потому что в нем борются Персия и Греция; в городе нет покоя, потому что в нем борются знать с народом; в душе нет покоя, потому что в ней борются одни желания с другими. Греция только потому и чувствует себя Грецией, что рядом с ней — непохожая на нее и борющаяся с ней Персия; огонь только потому и остается огнем, что ему приходится отстаивать себя против своих врагов — воды, земли и воздуха. «Война — отец всего и царь всего, она являет одних богами, других людьми, она делает одних рабами, других свободными». Вот лук, концы его растягивают тетиву в разные стороны, как желания — душу, и только поэтому он стреляет; вот лира, на ней точно так же растянуты струны, и только поэтому она звучит. Мало того: тетиву нужно то натягивать, то спускать, а струн то касаться, то не касаться, без такой переменчивости не будет ни выстрела, ни звука. И этого мало: лук несет смерть, а лира несет жизнь, но и лук и лиру держит один и тот же бог Аполлон, потому что смерть и жизнь, как мы видели, неразделимы и неразличимы.
Непонятно? Грекам тоже было непонятно. Гераклита прозвали Темным; говорили: «Он так глубок, что нужно быть водолазом, чтобы что-то понять». Но Гераклит этого и хотел. Он не вел бесед, не давал уроков, как другие философы: он был нелюдим, жил молча, а учение свое записал в книгу и книгу положил в храм Артемиды Эфесской. Мудрый найдет и поймет, а немудрому и понимать незачем.
Молчалив и мрачен был Гераклит, потому что знал: во всех этих переменах есть порядок, есть ритм, есть закон, но доискаться до него, угнаться за ним мыслью очень трудно. А все остальное не стоит и доискивания: «многознание не научает разуму». Жить среди переменчивых людей с их переменчивыми заботами он гнушался. Ему предлагали стать тираном — он отдал власть другому. Его просили написать для Эфеса законы — он сказал: «Никакими законами вас не исправишь». Его оставили в покое — он сел под стеной храма Артемиды и стал играть с мальчишками в кости. Над ним смеялись — он ответил: «Разве это не то же, что ваша политика?»
В памяти греков он остался как «плачущий философ» — плачущий о людском ничтожестве. Так его называли в отличие от «смеющегося философа» — Демокрита, с которым мы тоже скоро встретимся.
Ахилл и черепаха, или Страх бесконечности
Зрелище войны греков с персами внушило Гераклиту Эфесскому его лихорадочную философию. А зрелище победы греков над персами внушило его современнику с другого конца Греции философию совсем другого рода. Этого мыслителя звали Парменид, и жил он в южноиталийской Элее, недалеко от пифагорейских мест. Начал он (наверное) с раздумий о войне и победе, а кончил самым неожиданным выводом: «движенья нет».
Движенья нет, — сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.
А.С. Пушкин
Греки победили варваров потому, что у греков был порядок — порядок в сознании, то есть закон, и порядок на поле боя, то есть строй. А почему бы не могло такого порядка быть и у варваров? Потому что их слишком много. Страна их огромна, народов в ней шестьдесят три, подчинить их единому закону трудно, поэтому они подчиняются только единой воле царя, а воля часто бывает неразумна. Лучше малое, но упорядоченное, чем великое, но беспорядочное — таково было постоянное убеждение греков.
Самое великое — это, стало быть, всегда самое беспорядочное. А что на свете самое великое? Бесконечность. Слово это вы знаете: математики давно освоили его в своей науке и производят над бесконечностью любые операции. Одного только не могут ни математики, ни мы с вами: представить себе эту бесконечность. Понять ее можно, а представить нельзя: так уж устроено человеческое сознание. А греки больше всего любили именно наглядность, именно вообразимость. Поэтому мысль о бесконечности вызывала у них раздражение и отвращение.
А ведь бесконечность подстерегает нас на каждом шагу. Сколько вещей вокруг нас, и все не похожи друг на друга, а с течением времени — и на самих себя. Недаром Гераклит плакал над бесконечной изменчивостью мира. И вот, чтобы ободриться и утешиться, Парменид и его ученик Зенон объявили: бесконечности не существует. Если допустить ее существование — получается нелепость. Смотрите сами.
Быстроногий Ахилл хочет догнать неповоротливую черепаху. Она находится на сто шагов впереди него. Ахилл бегает в сто раз быстрее черепахи. Бег начался; когда Ахилл догонит черепаху? Неожиданный ответ: никогда! Ахилл пробежит эти сто шагов, но за это время черепаха уползет вперед еще на один шаг. Ахилл пробежит этот шаг, но черепаха уйдет вперед на сотую часть шага. Ахилл одолеет эту сотую, но черепаха оторвется от него еще на одну сотую сотой, и так далее, до бесконечности: разрыв между Ахиллом и черепахой будет все микроскопичнее, но не исчезнет никогда. Нелепость? Нелепость. А почему? Потому что мы делили отрезки их пути до бесконечности.
Если, таким образом, самое беспорядочное на свете — это бесконечность, то что на свете самое упорядоченное, гармоничное, стройное? Единство. Если бы греки вышли против персов действительно «все как один», чтобы строй их был одним исполинским телом, — они победили бы врага немедленно. Единому вообще не нужна упорядоченность частей, потому что в нем нет частей — все однородно. Однородно не только в пространстве, но и во времени: единое не меняется, не крепнет и не слабеет, оно — вечно. Конечно, такого единства никто никогда не видел, но всякий может его представить. Мы говорим «бог»; а что такое бог? Существо вечное и совершенное в каждой частице. Совершенное — значит «самое лучшее», а самое лучшее может быть только одно; вот это и есть Единство, однородное, вечное и божественное.
Парменид как бы заочно успокаивал плачущего Гераклита. Да, в окружающем нас мире все течет, рождается и умирает, но есть и другой мир, мир мысли, в котором все неизменно и вечно. В здешнем мире Пифагор давно умер, мы его не увидим и не услышим; но мы можем подумать о нем, и он предстает нашей мысли как живой, — это значит, что мы заглянули умственным взором в тот мир, где он вечно жив. Какой же из этих двух миров настоящий и какой ненастоящий? Нам хочется ответить: окружающий нас — настоящий, а мысленный — выдуманный. Парменид отвечал наоборот: мир мысли — настоящий, а мир наших ощущений — ненастоящий. Потому что в человеческом сознании мысль — хозяин, а чувства — ее рабы, которые лишь питают ее: одно — образами зрения, другое — образами слуха и так далее. А кому можно больше доверять, хозяину или рабам? Грек отвечал сразу и твердо: хозяину.
Не спешите смеяться над чудаком Парменидом, который в добавление к окружающему нас миру придумал несуществующий второй. Мы еще увидим, как пересочинит этот его второй мир философ Платон. И тем более не смейтесь над тем, как доказывал Зенон, что движения нет и Ахилл никогда не догонит черепаху. Показать, что это не так, очень легко: шаг, два, и готово. А вот доказать, почему это не так, очень трудно. И философы даже в наши дни порой спорят с Зеноном, словно с современником.
Наглядная математика
«3 в квадрате будет 9», «3 в кубе будет 27». А вы задумывались, почему мы называем число, умноженное само на себя, квадратом, а умноженное само на себя и еще раз на себя — кубом? Потому что так представляли их греки. У них было, если можно так выразиться, зрительное мышление. Недаром в греческом языке «видеть» и «знать» были родственные слова (как в нашем — «видеть» и «ведать»). Оттого и был у греков такой сильный страх перед бесконечностью, что ее никак нельзя вообразить зрительно.
Нарисуйте в вашей тетрадке число 3 в виде трех точек подряд, как на кости домино. И подумайте: а как теперь удобнее всего нарисовать число 9? Очевидно — пририсовать над ним еще одно такое троеточие, а потом еще одно. Получится квадрат из 9 точек со стороной 3. Теперь возьмем три таких квадрата и положим их друг на друга. Получится куб из 27 точек со стороной 3. Вот так видели свои числа древние греки: как выложенные из камешков. Так что, кроме «квадратных» чисел, у них были и «продолговатые», а кроме «кубических» — и другие «объемные». Например, число 6 было продолговатым — как бы прямоугольником, у которого длина 3, а ширина 2. А число 30 — объемным: параллелепипедом, у которого длина 3, ширина 2, а высота 5.
(Почему «2 в квадрате — 4», — теперь понятно; но почему «2 — квадратный корень из 4»? Слово «корень» ввели в математику уже не греки, а арабы. Они предпочитали представлять мир не геометрическим, как греки, а органическим; и в этом мире из числа 2, как растение из корня, вырастает число 4, а потом 8, а потом 16 и все остальные степени.)
При греческом зрительном воображении приятно было перестраивать числа из фигуры в фигуру: например, представлять число 12 то как длинный узкий прямоугольник 6x2, то как короткий и широкий 3x4. Поэтому греки обращали большое внимание на набор делителей числа. Например, если число равнялось сумме собственных делителей, оно называлось «совершенным». Греки знали четыре таких числа — 6, 28, 496 и 8128. (Если хотите, убедитесь: 6 = 1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3). А если из двух чисел каждое равнялось сумме делителей другого, эти числа назывались «дружащими»: например 220 и 284. (Если хотите, проверьте: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 и 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110.) Когда Пифагора спросили, что такое друг, он ответил: «Второй я» — и добавил: «Это как 220 и 284».
Неудобства начинались при обращении с дробями: ведь точку не раздробишь на части. Поэтому греки предпочитали иметь дело не с дробями, а с отношениями: говорили не «одна седьмая часть единицы», а «одна единица от семи». Отношения и пропорции они сортировали с большой любовью. Мы говорим: «Число 20 кратно числу 5», то есть делится на него. А грек мог вдобавок сказать: «Число 20 кратночастно числу 16», то есть делится на разность между ними. Вы знаете: число 4 — это среднее арифметическое чисел 2 и 6, то есть сумма их, деленная пополам. Некоторые, может быть, знают: число 4 — это среднее геометрическое чисел 2 и 8, то есть квадратный корень из их произведения. А грек вдобавок знал: число 4 — это «среднее гармоническое» чисел 3 и 6, то есть их удвоенное произведение, деленное на их сумму.
Когда вы начинали учить алгебру, то заучивали такие формулы, как:
Вы помните, как они выводились? Это было довольно громоздко. А грек со своей привычкой к наглядности доказывал их не вычислением, а чертежом: чертил отрезок А, отрезок В, строил на них квадраты и показывал: «Вот!» Посмотрите и убедитесь.
Такие геометрические доказательства выручали греков в их страхе перед бесконечностью. Вы смогли бы, например, извлечь точный корень из числа 2? Нет, не смогли бы: получили бы бесконечную дробь. А греческий математик поступал просто: чертил отрезок длиной в данное число, строил вокруг квадрат, в котором он был бы диагональю, показывал на сторону этого квадрата и говорил: «Вот!»
В современной математике такие величины, никогда не вычисляемые до конца, называются иррациональными. Греки называли их «невыразимые». «Невыразимым» было отношение диагонали и стороны в квадрате — 1,41421…; «невыразимым» было и отношение длины окружности к диаметру в круге, знаменитое число «пи» — 3,14159… («пи» — это первая буква греческого слова «периферия», окружность). Это число изобразить было труднее, и греческие математики в своей борьбе с бесконечностью век за веком ломали голову над «квадратурой круга»: как по данному диаметру круга с помощью только циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий этому кругу?
Можно задать вопрос: а почему, собственно, с помощью только циркуля и линейки? Не попробовать ли изобрести новый прибор, посложнее, который позволил бы решить эту задачу? Но грек нам гордо ответил бы: «Возиться с приборами — это дело раба, привычного к ручному труду, а свободному человеку приличествует полагаться лишь на силу ума».
Вот как, оказывается, рабовладельческий образ мысли проявляется даже в такой отвлеченной науке, как математика.
Нарисуйте в вашей тетрадке число 3 в виде трех точек подряд, как на кости домино. И подумайте: а как теперь удобнее всего нарисовать число 9? Очевидно — пририсовать над ним еще одно такое троеточие, а потом еще одно. Получится квадрат из 9 точек со стороной 3. Теперь возьмем три таких квадрата и положим их друг на друга. Получится куб из 27 точек со стороной 3. Вот так видели свои числа древние греки: как выложенные из камешков. Так что, кроме «квадратных» чисел, у них были и «продолговатые», а кроме «кубических» — и другие «объемные». Например, число 6 было продолговатым — как бы прямоугольником, у которого длина 3, а ширина 2. А число 30 — объемным: параллелепипедом, у которого длина 3, ширина 2, а высота 5.
(Почему «2 в квадрате — 4», — теперь понятно; но почему «2 — квадратный корень из 4»? Слово «корень» ввели в математику уже не греки, а арабы. Они предпочитали представлять мир не геометрическим, как греки, а органическим; и в этом мире из числа 2, как растение из корня, вырастает число 4, а потом 8, а потом 16 и все остальные степени.)
При греческом зрительном воображении приятно было перестраивать числа из фигуры в фигуру: например, представлять число 12 то как длинный узкий прямоугольник 6x2, то как короткий и широкий 3x4. Поэтому греки обращали большое внимание на набор делителей числа. Например, если число равнялось сумме собственных делителей, оно называлось «совершенным». Греки знали четыре таких числа — 6, 28, 496 и 8128. (Если хотите, убедитесь: 6 = 1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3). А если из двух чисел каждое равнялось сумме делителей другого, эти числа назывались «дружащими»: например 220 и 284. (Если хотите, проверьте: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 и 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110.) Когда Пифагора спросили, что такое друг, он ответил: «Второй я» — и добавил: «Это как 220 и 284».
Неудобства начинались при обращении с дробями: ведь точку не раздробишь на части. Поэтому греки предпочитали иметь дело не с дробями, а с отношениями: говорили не «одна седьмая часть единицы», а «одна единица от семи». Отношения и пропорции они сортировали с большой любовью. Мы говорим: «Число 20 кратно числу 5», то есть делится на него. А грек мог вдобавок сказать: «Число 20 кратночастно числу 16», то есть делится на разность между ними. Вы знаете: число 4 — это среднее арифметическое чисел 2 и 6, то есть сумма их, деленная пополам. Некоторые, может быть, знают: число 4 — это среднее геометрическое чисел 2 и 8, то есть квадратный корень из их произведения. А грек вдобавок знал: число 4 — это «среднее гармоническое» чисел 3 и 6, то есть их удвоенное произведение, деленное на их сумму.
Когда вы начинали учить алгебру, то заучивали такие формулы, как:
В современной математике такие величины, никогда не вычисляемые до конца, называются иррациональными. Греки называли их «невыразимые». «Невыразимым» было отношение диагонали и стороны в квадрате — 1,41421…; «невыразимым» было и отношение длины окружности к диаметру в круге, знаменитое число «пи» — 3,14159… («пи» — это первая буква греческого слова «периферия», окружность). Это число изобразить было труднее, и греческие математики в своей борьбе с бесконечностью век за веком ломали голову над «квадратурой круга»: как по данному диаметру круга с помощью только циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий этому кругу?
Можно задать вопрос: а почему, собственно, с помощью только циркуля и линейки? Не попробовать ли изобрести новый прибор, посложнее, который позволил бы решить эту задачу? Но грек нам гордо ответил бы: «Возиться с приборами — это дело раба, привычного к ручному труду, а свободному человеку приличествует полагаться лишь на силу ума».
Вот как, оказывается, рабовладельческий образ мысли проявляется даже в такой отвлеченной науке, как математика.
Четыре стихии
Гераклита и Парменида решил помирить сицилиец Эмпедокл. Он сказал: «Ни война, ни мир на земле не вечны. Так и во вселенной. Они сменяют друг друга, как времена года. Мир шарообразен, но этот шар неоднороден. В нем смешаны четыре стихии: земля, вода, воздух, огонь. А над ними властвуют две силы: Любовь и Вражда. Наступает пора мира — и в центре мирового шара царствует Любовь, она сливает вокруг себя четыре стихии в то самое Единство, о котором мечтал Парменид, а Вражда отступает и лишь снаружи облегает мировой шар. Наступает новая пора — и Вражда со всех сторон начинает проникать в мир, вытесняя из него Любовь, а на пути своем она разобщает четыре стихии, и они встают войной друг на друга. Наконец Вражда восседает в центре мира, вокруг нее кипит гераклитовская война четырех стихий, а Любовь оттеснена наружу и ждет своего часа. А потом все повторяется в обратном порядке. Если это на что-нибудь похоже, то больше всего — на гражданский мир и гражданскую войну в городе, где есть несколько политических партий. Сейчас мир на полпути: то ли от Вражды к Любви, то ли наоборот».
Как Фемистоклу не давали спать лавры Мильтиада, так Эмпедоклу — лавры Пифагора. Он тоже хотел быть пророком и чудотворцем. Когда ему предложили царскую власть, он отверг ее: «Лучшее из растений — лавр, из животных — лев, из людей — мудрец, а вовсе не царь». Держался он еще величавее, чем царь, носил пурпурный плащ, золотую повязку на голове и медные сандалии. Учение свое он изложил стихами и читал эти стихи в Олимпии. А когда в Олимпии его колесница одержала победу на играх, он принес в жертву быка из медового теста и пряностей, потому что пифагорейский закон запрещал убивать животных.
В одном городе люди часто болели оттого, что вода в реке была нездоровой. Эмпедокл провел к ней канал от другой реки, и болезни прекратились. В другом городе вода была здоровой, а люди все равно болели. Эмпедокл догадался, что это оттого, что ветры, дующие на город из-за гор, были нездоровыми; он приказал загородить бычьими кожами ущелья в горах, и болезни прекратились. С этих пор его прозвали «ветроловом». В этом был не только восторг перед его проницательностью, но и насмешка над его тщеславной погоней за почестями. Тщеславен он был до крайности и считал, что равных ему нет на свете. Однажды он сказал Пармениду: «Трудно найти истинного философа!» — «Да, — невозмутимо ответил Парменид, — для этого надо самому быть истинным философом».
Он не хотел умирать, как все люди, а хотел сжечь себя, как Геракл, чтобы сделаться богом. Почувствовав приближение смерти, он вскарабкался на огнедышащую Этну и бросился в ее жерло. Лава выбросила на склон его медную сандалию.
Учение о четырех стихиях Эмпедокл перенял от пифагорейцев. (Вы помните, какими геометрическими фигурами обозначали пифагорейцы эти стихии?) Он рассуждал, как из них строится мироздание, а его современник Алкмеон, тоже пифагореец, рассуждал, как из них строится человеческое тело. В нем четыре жизненных сока: кровь, слизь, желтая желчь и черная желчь. Если между ними равновесие, «равнозаконие», как в хорошем государстве, — человек здоров; если оно нарушено — человек болен. Душевные свойства человека тоже зависят от смешения четырех соков (смешение — по-латыни «темперамент»; может быть, вы слышали это слово). Основных темпераментов — четыре: бодрый — сангвиник, вялый — флегматик, вспыльчивый — холерик, мрачный — меланхолик. Имена эти значат: «кровник», «слизевик», «желчевик» и «черножелчевик»; понятия эти до сих пор употребляются в психологии.
Сто лет спустя в Эмпедокловой четверке тасующихся стихий навел покой и порядок Аристотель. Как он это сделал, мы узнаем после. Самое же любопытное — то, что этими понятиями пользуется и современная наука, только по-другому их называет. Если бы Эмпедокл услышал, как мы говорим: «Есть четыре состояния вещества: твердое, жидкое, газообразное и плазма», — он узнал бы в них свои четыре стихии.
Как Фемистоклу не давали спать лавры Мильтиада, так Эмпедоклу — лавры Пифагора. Он тоже хотел быть пророком и чудотворцем. Когда ему предложили царскую власть, он отверг ее: «Лучшее из растений — лавр, из животных — лев, из людей — мудрец, а вовсе не царь». Держался он еще величавее, чем царь, носил пурпурный плащ, золотую повязку на голове и медные сандалии. Учение свое он изложил стихами и читал эти стихи в Олимпии. А когда в Олимпии его колесница одержала победу на играх, он принес в жертву быка из медового теста и пряностей, потому что пифагорейский закон запрещал убивать животных.
В одном городе люди часто болели оттого, что вода в реке была нездоровой. Эмпедокл провел к ней канал от другой реки, и болезни прекратились. В другом городе вода была здоровой, а люди все равно болели. Эмпедокл догадался, что это оттого, что ветры, дующие на город из-за гор, были нездоровыми; он приказал загородить бычьими кожами ущелья в горах, и болезни прекратились. С этих пор его прозвали «ветроловом». В этом был не только восторг перед его проницательностью, но и насмешка над его тщеславной погоней за почестями. Тщеславен он был до крайности и считал, что равных ему нет на свете. Однажды он сказал Пармениду: «Трудно найти истинного философа!» — «Да, — невозмутимо ответил Парменид, — для этого надо самому быть истинным философом».
Он не хотел умирать, как все люди, а хотел сжечь себя, как Геракл, чтобы сделаться богом. Почувствовав приближение смерти, он вскарабкался на огнедышащую Этну и бросился в ее жерло. Лава выбросила на склон его медную сандалию.
Учение о четырех стихиях Эмпедокл перенял от пифагорейцев. (Вы помните, какими геометрическими фигурами обозначали пифагорейцы эти стихии?) Он рассуждал, как из них строится мироздание, а его современник Алкмеон, тоже пифагореец, рассуждал, как из них строится человеческое тело. В нем четыре жизненных сока: кровь, слизь, желтая желчь и черная желчь. Если между ними равновесие, «равнозаконие», как в хорошем государстве, — человек здоров; если оно нарушено — человек болен. Душевные свойства человека тоже зависят от смешения четырех соков (смешение — по-латыни «темперамент»; может быть, вы слышали это слово). Основных темпераментов — четыре: бодрый — сангвиник, вялый — флегматик, вспыльчивый — холерик, мрачный — меланхолик. Имена эти значат: «кровник», «слизевик», «желчевик» и «черножелчевик»; понятия эти до сих пор употребляются в психологии.
Сто лет спустя в Эмпедокловой четверке тасующихся стихий навел покой и порядок Аристотель. Как он это сделал, мы узнаем после. Самое же любопытное — то, что этими понятиями пользуется и современная наука, только по-другому их называет. Если бы Эмпедокл услышал, как мы говорим: «Есть четыре состояния вещества: твердое, жидкое, газообразное и плазма», — он узнал бы в них свои четыре стихии.
Смеющийся философ
Как современная физика вспоминает таким образом порой о четырех стихиях Эмпедокла, так современная химия — об атомах Демокрита.
У Эмпедокла картина мира была похожа на картину города, раздираемого борьбой четырех партий. Демокрит спросил себя: а откуда берутся сами эти партии? В городе — это понятно: люди сходных мыслей случайно встречаются, знакомятся, начинают держаться вместе, к ним присоединяются новые и новые, и так возникает целое большое общество.
Может быть, так же устроен и мир? Он состоит из частиц, мелких до невидимости и густо носящихся в пустоте, как пылинки в солнечном луче. С течением времени они начинают как бы сортироваться: крупные к крупным, круглые к круглым, треугольные к треугольным. (Почему? Насыпьте на блюдо песок и потрясите: крупные песчинки выйдут наверх, мелкие останутся внизу. Вот так же и мировые частицы.) Так образуются сперва четыре стихии: из крупных частиц — земля, из круглых — огонь и так далее, а потом — отдельные вещи.
Мы не можем видеть эти частицы, но мы их чувствуем: если в теле много гладких частиц, оно кажется глазу светлым, а вкусу сладким, и наоборот. Поэтому не надо, как Парменид, говорить, что мир, ощущаемый нами, — «ненастоящий», и не надо, как Гераклит, горевать, что наш ум не угонится за его изменчивостью. Нужно только быть внимательным и вдумчивым — и мир поддастся изучению.
Попутно такое рассуждение давало ответ и на задачу Зенона об Ахилле и черепахе. Зенон говорил: «Раз нет в мире бесконечного деления — значит, нет никакого деления, значит, есть только неделимое Единство». А мы лучше скажем: раз нет бесконечного деления — значит, есть деление конечное, вплоть до таких мелких частиц, разделить которые уже невозможно. Государство мы разделили на партии, партии — на людей, но людей-то мы уже делить не можем: полчеловека ни в какую партию не годятся. Так и в мироздании: все можно делить, пока не получатся наши частицы-пылинки, а их уже не разделишь. Демокрит так и называл эти частицы: «неделимые» — по-гречески «атомы».
У Эмпедокла картина мира была похожа на картину города, раздираемого борьбой четырех партий. Демокрит спросил себя: а откуда берутся сами эти партии? В городе — это понятно: люди сходных мыслей случайно встречаются, знакомятся, начинают держаться вместе, к ним присоединяются новые и новые, и так возникает целое большое общество.
Может быть, так же устроен и мир? Он состоит из частиц, мелких до невидимости и густо носящихся в пустоте, как пылинки в солнечном луче. С течением времени они начинают как бы сортироваться: крупные к крупным, круглые к круглым, треугольные к треугольным. (Почему? Насыпьте на блюдо песок и потрясите: крупные песчинки выйдут наверх, мелкие останутся внизу. Вот так же и мировые частицы.) Так образуются сперва четыре стихии: из крупных частиц — земля, из круглых — огонь и так далее, а потом — отдельные вещи.
Мы не можем видеть эти частицы, но мы их чувствуем: если в теле много гладких частиц, оно кажется глазу светлым, а вкусу сладким, и наоборот. Поэтому не надо, как Парменид, говорить, что мир, ощущаемый нами, — «ненастоящий», и не надо, как Гераклит, горевать, что наш ум не угонится за его изменчивостью. Нужно только быть внимательным и вдумчивым — и мир поддастся изучению.
Попутно такое рассуждение давало ответ и на задачу Зенона об Ахилле и черепахе. Зенон говорил: «Раз нет в мире бесконечного деления — значит, нет никакого деления, значит, есть только неделимое Единство». А мы лучше скажем: раз нет бесконечного деления — значит, есть деление конечное, вплоть до таких мелких частиц, разделить которые уже невозможно. Государство мы разделили на партии, партии — на людей, но людей-то мы уже делить не можем: полчеловека ни в какую партию не годятся. Так и в мироздании: все можно делить, пока не получатся наши частицы-пылинки, а их уже не разделишь. Демокрит так и называл эти частицы: «неделимые» — по-гречески «атомы».