Страница:
4 * 9 = 36.
Ты, наверное, думаешь, что тридцать шесть надо разделить на два? А вот и нет. Обжоры среднегеометрические и тут поступают по-своему. Они не делят, а извлекают из полученного произведения корень. Да, да, не удивляйся: у чисел есть корни и их можно извлекать. Об этом нам еще в прошлый раз рассказала Тройка с чемоданчиком на Проспекте действующих знаков. Эти самые знаки высыпались у нее из чемоданчика прямо на тротуар.
Помножь три на три. Получится девять. Знаешь, что ты сделал? Ты возвел три во вторую степень. Если же ты хочешь возвести три в третью степень, помножь его само на себя три раза. Получится двадцать семь. Пятая степень трех будет уже двести сорок три…
Так можно возвести число и в сотую, и в двухсотую, и в какую хочешь степень.
А теперь ответь на такой вопрос: какое число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить девять? Разумеется, три. Вот это три и есть корень второй степени из девяти.
Стало быть, извлечение корня — действие обратное возведению в степень. Совсем как вычитание — действие обратное сложению, а деление — умножению.
Так вот, из числа тридцать шесть среднегеометрические обжоры извлекают корень квадратный, иначе говоря, корень второй степени. Получается шесть.
Выходит, каждому обжоре досталось по шести килограммов огурцов. Это немного меньше, чем получил бы обжора среднеарифметический. Но зато при такой дележке один килограмм остается в запасе.
Тут мне пришло в голову, что обжор среднегеометрических тоже ведь не двое, а гораздо больше. Ну и что ж, ответили мне, каждый соберет свое количество килограммов, мы все эти числа перемножим…
— И извлечете корень второй степени? — перебил я.
— Что вы, что вы, — возмутились обжоры, — мы извлечем корень той степени, сколько у нас жителей!
Таня поинтересовалась, как обжоры обозначают такое действие.
Как? Да очень просто; закорючкой, которая похожа на сачок для ловли бабочек и называется радикалом. Только над сачком порхает не бабочка, а число, обозначающее степень корня. И называется оно показателем корня.
√36 = 6
Если в поселке четверо обжор, извлекается корень четвертой степени: 4√
Ну, а если сто четыре? Тогда и корень будет сто четвертой степени: 104√
Ты небось хочешь знать, почему это над радикалом не ставится двойка, когда извлекается корень квадратный? Почему, почему… Просто так уж условились.
Из всего, что мы увидели в Обжорах, мы с Таней поняли, что среднее арифметическое всегда больше среднего геометрического. Но Олег сообразил, что вовсе не всегда. Если бы жители Обжор собирали все до одного одинаковый урожай, среднее геометрическое и среднее арифметическое тоже были бы совершенно одинаковы. Не веришь? Я тоже сначала не поверил. Но Олег доказал.
Допустим, двое собрали по восьми килограммов огурцов. Среднее арифметическое найдется так: (8 + 8) / 2 = 8
А среднее геометрическое так: √(8 * 8) = 8. Вещий Олег!
Среднегеометрические обжоры долго нас не отпускали. Да и нам не хотелось расставаться с такими гостеприимными хозяевами. Но стручок в кармане у Олега так разбушевался, что нам пришлось попрощаться.
Все высыпали нас провожать. Каждый тащил на дорогу что ни попало: кто помидоров, кто яблок… Но вкуснее всего были пирожки. Жаль, ты не попробовал! Всем нам досталось по-разному. Олегу — четыре, Тане — два, а мне — один. Я, понятно, плакать не стал. Но ребята сами решили разделить пирожки по-честному.
Сначала попробовали делить, как обжоры среднеарифметические. Сложили число пирожков: 4 + 2 + 1 = 7.
А семь разделили на три. Получилось по два и одной трети пирожка на брата. Не очень-то удобно. Во-первых, у нас нет ножа. Да если б и был, все равно разделить пирожок на три равные доли очень трудно. И потом, как же Пончик? Он хоть и маленький, но ведь и ему есть надо!
Тогда решили вычислить среднее геометрическое.
Сначала число пирожков перемножили: 4 * 2 * 1 = 8.
А потом из восьми извлекли корень третьей степени: 3√8 = 2.
Вот и вышло по два пирожка на душу населения. А один остался для Пончика.
В общем, неплохо провели время. Но мне все равно досадно. Ведь не из-за пирожков мы сюда пришли, а из-за Черной Маски! А о ней пока ни гугу. В следующий раз меня в это бешеное подземелье никакими пирожками не заманишь.
Будь здоров.
Сева.
Воздушная монорельсовая дорога
Школа на числовой площади
Правила движения
Центральный Парк Науки и Отдыха
Ты, наверное, думаешь, что тридцать шесть надо разделить на два? А вот и нет. Обжоры среднегеометрические и тут поступают по-своему. Они не делят, а извлекают из полученного произведения корень. Да, да, не удивляйся: у чисел есть корни и их можно извлекать. Об этом нам еще в прошлый раз рассказала Тройка с чемоданчиком на Проспекте действующих знаков. Эти самые знаки высыпались у нее из чемоданчика прямо на тротуар.
Помножь три на три. Получится девять. Знаешь, что ты сделал? Ты возвел три во вторую степень. Если же ты хочешь возвести три в третью степень, помножь его само на себя три раза. Получится двадцать семь. Пятая степень трех будет уже двести сорок три…
Так можно возвести число и в сотую, и в двухсотую, и в какую хочешь степень.
А теперь ответь на такой вопрос: какое число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить девять? Разумеется, три. Вот это три и есть корень второй степени из девяти.
Стало быть, извлечение корня — действие обратное возведению в степень. Совсем как вычитание — действие обратное сложению, а деление — умножению.
Так вот, из числа тридцать шесть среднегеометрические обжоры извлекают корень квадратный, иначе говоря, корень второй степени. Получается шесть.
Выходит, каждому обжоре досталось по шести килограммов огурцов. Это немного меньше, чем получил бы обжора среднеарифметический. Но зато при такой дележке один килограмм остается в запасе.
Тут мне пришло в голову, что обжор среднегеометрических тоже ведь не двое, а гораздо больше. Ну и что ж, ответили мне, каждый соберет свое количество килограммов, мы все эти числа перемножим…
— И извлечете корень второй степени? — перебил я.
— Что вы, что вы, — возмутились обжоры, — мы извлечем корень той степени, сколько у нас жителей!
Таня поинтересовалась, как обжоры обозначают такое действие.
Как? Да очень просто; закорючкой, которая похожа на сачок для ловли бабочек и называется радикалом. Только над сачком порхает не бабочка, а число, обозначающее степень корня. И называется оно показателем корня.
√36 = 6
Если в поселке четверо обжор, извлекается корень четвертой степени: 4√
Ну, а если сто четыре? Тогда и корень будет сто четвертой степени: 104√
Ты небось хочешь знать, почему это над радикалом не ставится двойка, когда извлекается корень квадратный? Почему, почему… Просто так уж условились.
Из всего, что мы увидели в Обжорах, мы с Таней поняли, что среднее арифметическое всегда больше среднего геометрического. Но Олег сообразил, что вовсе не всегда. Если бы жители Обжор собирали все до одного одинаковый урожай, среднее геометрическое и среднее арифметическое тоже были бы совершенно одинаковы. Не веришь? Я тоже сначала не поверил. Но Олег доказал.
Допустим, двое собрали по восьми килограммов огурцов. Среднее арифметическое найдется так: (8 + 8) / 2 = 8
А среднее геометрическое так: √(8 * 8) = 8. Вещий Олег!
Среднегеометрические обжоры долго нас не отпускали. Да и нам не хотелось расставаться с такими гостеприимными хозяевами. Но стручок в кармане у Олега так разбушевался, что нам пришлось попрощаться.
Все высыпали нас провожать. Каждый тащил на дорогу что ни попало: кто помидоров, кто яблок… Но вкуснее всего были пирожки. Жаль, ты не попробовал! Всем нам досталось по-разному. Олегу — четыре, Тане — два, а мне — один. Я, понятно, плакать не стал. Но ребята сами решили разделить пирожки по-честному.
Сначала попробовали делить, как обжоры среднеарифметические. Сложили число пирожков: 4 + 2 + 1 = 7.
А семь разделили на три. Получилось по два и одной трети пирожка на брата. Не очень-то удобно. Во-первых, у нас нет ножа. Да если б и был, все равно разделить пирожок на три равные доли очень трудно. И потом, как же Пончик? Он хоть и маленький, но ведь и ему есть надо!
Тогда решили вычислить среднее геометрическое.
Сначала число пирожков перемножили: 4 * 2 * 1 = 8.
А потом из восьми извлекли корень третьей степени: 3√8 = 2.
Вот и вышло по два пирожка на душу населения. А один остался для Пончика.
В общем, неплохо провели время. Но мне все равно досадно. Ведь не из-за пирожков мы сюда пришли, а из-за Черной Маски! А о ней пока ни гугу. В следующий раз меня в это бешеное подземелье никакими пирожками не заманишь.
Будь здоров.
Сева.
Воздушная монорельсовая дорога
(Таня — Нулику)
Вот, Нулик, наконец наступила и моя очередь писать. Дожидаться пришлось долго, зато есть о чем порассказать. Понимаешь, мы в первый раз побывали на воздушной монорельсовой дороге.
Чтобы тебе зря не ломать голову, скажу сразу: монорельсовая — значит, с одним рельсом. «Монос» — слово греческое и означает «один».
Вообще-то надземные дороги теперь строят всюду. Но эта совсем, совсем особенная. Не знаю только, сумею ли я описать все как следует. На всякий случай наберись терпения и читай внимательно.
Представь себе, что твоя мама выстирала белье и хочет его развесить. И вот она берет веревку и натягивает туго-натуго прямо в воздухе. Веревка такая длинная, что концов ее не видно. А вместо белья на ней висят маленькие разноцветные вагончики. Белье прикрепляют к веревке зажимом, а у вагончиков имеется для этого специальное колесико на крыше.
Конечно, мама не смогла бы натянуть такую длинную веревку. Тем более, что это вовсе не веревка, а стальной рельс и концы его уходят неведомо куда.
Вдоль рельса, немного пониже, тянется такая же бесконечная платформа, и на ней, совсем как на линейке, на равном расстоянии друг от друга расположены числа по порядку: один, два, три, четыре, пять и так далее. К каждому числу с земли ведет узкий эскалатор. Разница в том, что числа на линейке откладываются только вправо от нуля, а здесь и влево. А между двумя единицами светится большой нуль, точь-в-точь как буква «М» над станциями метро. Это Нулевая станция.
Когда мы подошли к ней, было еще довольно рано. Мы поднялись на пустынную платформу и стали прогуливаться вдоль невысокой ограды, которая состоит из тоненьких палочек. От нечего делать начали их считать. На том месте, где находится число, палочка чуть повыше, вслед за ней — девять палочек пониже. Против следующего числа — снова палочка повыше. И так без конца.
Мы отошли уже довольно далеко вправо от Нулевой станции, как вдруг позади послышался детский плач. Обернулись: возле эскалатора, обозначенного числом 2, сидели две маленькие Двоечки. На них были прехорошенькие ситцевые платьица в горошек (обязательно сошью себе такое!), и обе они горько плакали. Мы подошли и спросили, что у них стряслось.
— Мама задала нам задачу, — сказала одна из них, — а она не решается!
— Не решается! — повторила другая.
И обе снова заплакали.
Прелестные малышки! Мне так жалко их стало! Я спросила, какая такая задача. Оказалось, она и впрямь чудная: вычесть из двух три. Мы подумали, что малыши перепутали и вычесть надо из трех два.
— Нет, нет, — закричала первая Двоечка, — из трех два — это мы умеем.
— Это мы умеем, — сейчас же отозвалась другая.
Мы очень рассердились на маму, которая мучает детей такими ужасными задачами. Но мама никого и не думала мучить. Она просто отлучилась куда-то ненадолго и вскоре появилась на платформе.
Это была симпатичная Двойка. Она приветливо поздоровалась, и Сева (ох уж этот Сева!) с места в карьер попросил ее рассказать, как устроена воздушная монорельсовая дорога. Я незаметно дернула его за куртку — неудобно все-таки! Но Двойка охотно согласилась стать нашим экскурсоводом.
— Ведь устройство этой дороги, — пояснила она, — имеет прямое отношение к тем правилам, которые я собираюсь растолковать моим близняшкам.
Вместе с ней мы снова подошли к Нулевой станции и увидели большой щит с множеством кнопок и клавиш. Как это мы его раньше же заметили? Кроме кнопок, там были еще микрофоны.
Хочешь знать, для чего все это нужно? Сейчас объясню.
Я ведь уже говорила, что эта дорога особенная. Здесь нет ни расписаний, ни запасных путей, ни депо. Никаких кондукторов, диспетчеров, кассиров, проводников… даже поездов. Каждый пассажир может в любое время вызвать вагончик и ехать куда вздумается. Станции здесь не имеют названий. Они обозначаются числами. Захочешь поехать на станцию номер 2782 — нажимаешь кнопку «вызов» и говоришь в микрофон нужное число.
И тут же, как Сивка-Бурка вещий Каурка, на Нулевой станции появляется совершенно бесцветный прозрачный вагончик, такой прозрачный, что сразу его и не заметишь. Садишься в него и через несколько секунд попадаешь туда, куда нужно.
— Очень хорошо! — обрадовался Сева. — Вот я вызову вагончик и поеду на станцию… ну, скажем, 75!
Он нажал кнопку и назвал число. На Нулевой станции сейчас же появился вагончик. Сева хотел в него войти, но мама Двойка живо оттащила его назад.
— Что вы делаете? — закричала она в ужасе. — Разве вам туда можно?
— А что? Это же совсем недалеко! Станция 75.
— Да, 75, но не вправо, а влево от нуля! Вы случайно задели рычаг, переключающий направление.
Она указала на большой минус, загоревшийся в воздухе слева от светящегося нуля.
— Знаете вы, что это такое?
— Минус!
— Не просто минус, а светофор, открывающий путь к отрицательным числам. И вам туда ни в коем случае нельзя.
— Но почему? — огорчились мы.
— Да потому, что отрицательные числа — воображаемые числа. И свободный проезд влево от нуля разрешен только нам, карликанам.
— Значит, мы туда никогда не попадем?
— Отчего же, — улыбнулась Двойка, — только для этого вам понадобится другой транспорт: воображение.
Все сразу приуныли, но мама Двойка заметила, что воображаемое путешествие иной раз ничуть не хуже настоящего. Нашего Севу это, конечно, не устраивало.
— На что нужны воображаемые числа — числа, которых не существует?
— Что вы такое говорите? — возмутилась мама Двойка. — Да еще при маленьких! Дети, не слушайте!
Двоечки послушно отвернулись.
— Отрицательные числа очень нужны, — продолжала мама Двойка, — и я это сейчас докажу. Дети, можете повернуться.
Двоечки не заставили себя упрашивать.
— Вам было задано: вычесть из двух три. Решили вы мою задачу?
— Мы решали, но она не решается! — сказала первая.
— Не решается! — подтвердила вторая.
— Тогда я покажу вам, как это делается. Сейчас, — добавила мама Двойка, обращаясь к нам, — вы увидите, что на нашей дороге не только ездят, но и учатся производить разные действия с числами.
Она прикоснулась к кнопке и негромко сказала в микрофон:
— Два!
Справа от Нулевой станции зажегся знак плюс и против числа два на монорельсе появился вагончик, на этот раз не прозрачный и не бесцветный, а ярко-красный.
— Начнем вычитать из двух три. Сперва вычтем один.
Двойка нажала кнопку, и вагончик передвинулся влево на станцию 1.
— Теперь вычтем еще один.
Раз — и вагончик исчез.
— Вот ничего и не осталось! — позлорадствовал Сева.
— Как это — не осталось! — возразила Двойка. — Посмотрите получше.
И мы увидели, что на Нулевой станции вагончик есть. Только из красного он превратился в бесцветный и прозрачный. Оттого мы его и не заметили.
Но Севу не так-то легко смутить.
— Ну и что ж, — сказал он, — пусть вагончик на нуле есть, но ведь нуль — это ничто, пустое место!
— Тут-то вы и неправы! — улыбнулась Двойка. — Нуль тоже число.
— Хоть бы и так, — горячился Сева, — но он все-таки меньше единицы. Как же из него эту самую единицу вычесть?
— Сейчас увидите.
Двойка нажала еще какие-то кнопки. Слева от светящегося нуля вспыхнул знак минус. И не успели мы глазом моргнуть, как вагончик очутился слева от Нулевой станции точно против числа минус единица. Только теперь из бесцветного и прозрачного он уже стал синим.
— Вот вам решение. Два минус три равно минус единице: 2 — 3 = —1.
Понятно вам теперь, для чего нужны отрицательные числа?
Сказать по правде, мы еще ничего не понимали. Просто нам всем понравилось смотреть, как ловко вагончики меняют цвета. Особенно Севе.
— Можно и мне повычитать? — спросил он и, не дожидаясь разрешения, приступил к делу.
Сначала вычел из трех пять — получил минус два: 3 — 5 = —2.
Потом из семи одиннадцать. Получилось минус четыре: 7 — 11 = —4.
Мы с Олегом тоже несколько раз попробовали. И каждый раз слева от нуля загорался знак минус, а красный вагончик, миновав Нулевую станцию, превращался в синий и останавливался против какого-нибудь отрицательного числа.
— Интересно! — сказал Олег. — Из пяти вычесть три — получится два, а из трех пять — тоже два, только со знаком минус. Значит, вычесть из меньшего числа большее — это все равно что вычесть из большего меньшее. Надо только перед разностью поставить знак минус. Очевидно, — добавил он, — знаки плюс и минус не имеют в этом случае ничего общего со знаками сложения и вычитания.
— Не забегайте вперед, — посоветовала Двойка. — А чтобы не было путаницы, советую вам на первых порах ставить знаки положительных и отрицательных чисел не слева от числа, а над ним. Вот так:
+ + —
2 — 3 = 1
Мама Двойка хотела продолжать свое объяснение, но в это время Сева чихнул. Раз, другой, третий… Вечно на него что-нибудь нападает некстати — то смех, то насморк. Он полез за носовым платком — из кармана у него выпал зеленый стручок. Все мы сразу помрачнели, потому что вспомнили про Черную Маску. Если так пойдет дальше, ходить ей век заколдованной.
Тут, откуда ни возьмись, со страшным лаем вылетел Пончик. Он за кем-то гнался. Этот «кто-то» бежал так быстро, что рассмотреть его мы не успели. Пробегая мимо щита, незнакомец нажал кнопку, крикнул что-то в микрофон и вскочил в вагончик. В окне мелькнуло лицо, наполовину скрытое черной маской, и вагончика как не бывало.
— Держите! — закричал Сева. — Это он! Это она!
Мы бросились к щиту, чтобы вызвать другой вагончик и догнать беглеца, но в это время стручок взмыл в воздух и стал с такой быстротой кружиться перед нами, что нажать кнопку не было никакой возможности. Мы отмахивались от него, как от назойливой мухи, а он все кружился, кружился…
— Он не желает, чтобы мы уезжали, — вздохнул Олег.
Хочешь не хочешь, пришлось подчиниться. Стручок тотчас угомонился, и Сева снова спрятал его в карман.
Мама Двойка отнеслась к этому происшествию совершенно спокойно. Она и не думала спрашивать о причине переполоха, только сказала, ни к кому не обращаясь:
— Всякому овощу свое время!
И ушла, пообещав скоро вернуться и объяснить правила движения на монорельсовой дороге. Так мы и не поняли, о чем это она: то ли о стручке, то ли о Черной Маске!
Что было дальше, узнаешь из следующего письма. А пока веди себя прилично: не забывай, что ты теперь не просто Нулик, а действительный член отряда РВТ!
Таня.
Чтобы тебе зря не ломать голову, скажу сразу: монорельсовая — значит, с одним рельсом. «Монос» — слово греческое и означает «один».
Вообще-то надземные дороги теперь строят всюду. Но эта совсем, совсем особенная. Не знаю только, сумею ли я описать все как следует. На всякий случай наберись терпения и читай внимательно.
Представь себе, что твоя мама выстирала белье и хочет его развесить. И вот она берет веревку и натягивает туго-натуго прямо в воздухе. Веревка такая длинная, что концов ее не видно. А вместо белья на ней висят маленькие разноцветные вагончики. Белье прикрепляют к веревке зажимом, а у вагончиков имеется для этого специальное колесико на крыше.
Конечно, мама не смогла бы натянуть такую длинную веревку. Тем более, что это вовсе не веревка, а стальной рельс и концы его уходят неведомо куда.
Вдоль рельса, немного пониже, тянется такая же бесконечная платформа, и на ней, совсем как на линейке, на равном расстоянии друг от друга расположены числа по порядку: один, два, три, четыре, пять и так далее. К каждому числу с земли ведет узкий эскалатор. Разница в том, что числа на линейке откладываются только вправо от нуля, а здесь и влево. А между двумя единицами светится большой нуль, точь-в-точь как буква «М» над станциями метро. Это Нулевая станция.
Мы отошли уже довольно далеко вправо от Нулевой станции, как вдруг позади послышался детский плач. Обернулись: возле эскалатора, обозначенного числом 2, сидели две маленькие Двоечки. На них были прехорошенькие ситцевые платьица в горошек (обязательно сошью себе такое!), и обе они горько плакали. Мы подошли и спросили, что у них стряслось.
— Мама задала нам задачу, — сказала одна из них, — а она не решается!
— Не решается! — повторила другая.
И обе снова заплакали.
Прелестные малышки! Мне так жалко их стало! Я спросила, какая такая задача. Оказалось, она и впрямь чудная: вычесть из двух три. Мы подумали, что малыши перепутали и вычесть надо из трех два.
— Нет, нет, — закричала первая Двоечка, — из трех два — это мы умеем.
— Это мы умеем, — сейчас же отозвалась другая.
Мы очень рассердились на маму, которая мучает детей такими ужасными задачами. Но мама никого и не думала мучить. Она просто отлучилась куда-то ненадолго и вскоре появилась на платформе.
— Ведь устройство этой дороги, — пояснила она, — имеет прямое отношение к тем правилам, которые я собираюсь растолковать моим близняшкам.
Вместе с ней мы снова подошли к Нулевой станции и увидели большой щит с множеством кнопок и клавиш. Как это мы его раньше же заметили? Кроме кнопок, там были еще микрофоны.
Хочешь знать, для чего все это нужно? Сейчас объясню.
Я ведь уже говорила, что эта дорога особенная. Здесь нет ни расписаний, ни запасных путей, ни депо. Никаких кондукторов, диспетчеров, кассиров, проводников… даже поездов. Каждый пассажир может в любое время вызвать вагончик и ехать куда вздумается. Станции здесь не имеют названий. Они обозначаются числами. Захочешь поехать на станцию номер 2782 — нажимаешь кнопку «вызов» и говоришь в микрофон нужное число.
И тут же, как Сивка-Бурка вещий Каурка, на Нулевой станции появляется совершенно бесцветный прозрачный вагончик, такой прозрачный, что сразу его и не заметишь. Садишься в него и через несколько секунд попадаешь туда, куда нужно.
— Очень хорошо! — обрадовался Сева. — Вот я вызову вагончик и поеду на станцию… ну, скажем, 75!
Он нажал кнопку и назвал число. На Нулевой станции сейчас же появился вагончик. Сева хотел в него войти, но мама Двойка живо оттащила его назад.
— Что вы делаете? — закричала она в ужасе. — Разве вам туда можно?
— А что? Это же совсем недалеко! Станция 75.
— Да, 75, но не вправо, а влево от нуля! Вы случайно задели рычаг, переключающий направление.
Она указала на большой минус, загоревшийся в воздухе слева от светящегося нуля.
— Знаете вы, что это такое?
— Минус!
— Не просто минус, а светофор, открывающий путь к отрицательным числам. И вам туда ни в коем случае нельзя.
— Но почему? — огорчились мы.
— Да потому, что отрицательные числа — воображаемые числа. И свободный проезд влево от нуля разрешен только нам, карликанам.
— Значит, мы туда никогда не попадем?
— Отчего же, — улыбнулась Двойка, — только для этого вам понадобится другой транспорт: воображение.
Все сразу приуныли, но мама Двойка заметила, что воображаемое путешествие иной раз ничуть не хуже настоящего. Нашего Севу это, конечно, не устраивало.
— На что нужны воображаемые числа — числа, которых не существует?
— Что вы такое говорите? — возмутилась мама Двойка. — Да еще при маленьких! Дети, не слушайте!
Двоечки послушно отвернулись.
— Отрицательные числа очень нужны, — продолжала мама Двойка, — и я это сейчас докажу. Дети, можете повернуться.
Двоечки не заставили себя упрашивать.
— Вам было задано: вычесть из двух три. Решили вы мою задачу?
— Мы решали, но она не решается! — сказала первая.
— Не решается! — подтвердила вторая.
— Тогда я покажу вам, как это делается. Сейчас, — добавила мама Двойка, обращаясь к нам, — вы увидите, что на нашей дороге не только ездят, но и учатся производить разные действия с числами.
Она прикоснулась к кнопке и негромко сказала в микрофон:
— Два!
Справа от Нулевой станции зажегся знак плюс и против числа два на монорельсе появился вагончик, на этот раз не прозрачный и не бесцветный, а ярко-красный.
Двойка нажала кнопку, и вагончик передвинулся влево на станцию 1.
— Теперь вычтем еще один.
Раз — и вагончик исчез.
— Вот ничего и не осталось! — позлорадствовал Сева.
— Как это — не осталось! — возразила Двойка. — Посмотрите получше.
И мы увидели, что на Нулевой станции вагончик есть. Только из красного он превратился в бесцветный и прозрачный. Оттого мы его и не заметили.
Но Севу не так-то легко смутить.
— Ну и что ж, — сказал он, — пусть вагончик на нуле есть, но ведь нуль — это ничто, пустое место!
— Тут-то вы и неправы! — улыбнулась Двойка. — Нуль тоже число.
— Хоть бы и так, — горячился Сева, — но он все-таки меньше единицы. Как же из него эту самую единицу вычесть?
— Сейчас увидите.
Двойка нажала еще какие-то кнопки. Слева от светящегося нуля вспыхнул знак минус. И не успели мы глазом моргнуть, как вагончик очутился слева от Нулевой станции точно против числа минус единица. Только теперь из бесцветного и прозрачного он уже стал синим.
— Вот вам решение. Два минус три равно минус единице: 2 — 3 = —1.
Понятно вам теперь, для чего нужны отрицательные числа?
Сказать по правде, мы еще ничего не понимали. Просто нам всем понравилось смотреть, как ловко вагончики меняют цвета. Особенно Севе.
— Можно и мне повычитать? — спросил он и, не дожидаясь разрешения, приступил к делу.
Сначала вычел из трех пять — получил минус два: 3 — 5 = —2.
Потом из семи одиннадцать. Получилось минус четыре: 7 — 11 = —4.
Мы с Олегом тоже несколько раз попробовали. И каждый раз слева от нуля загорался знак минус, а красный вагончик, миновав Нулевую станцию, превращался в синий и останавливался против какого-нибудь отрицательного числа.
— Интересно! — сказал Олег. — Из пяти вычесть три — получится два, а из трех пять — тоже два, только со знаком минус. Значит, вычесть из меньшего числа большее — это все равно что вычесть из большего меньшее. Надо только перед разностью поставить знак минус. Очевидно, — добавил он, — знаки плюс и минус не имеют в этом случае ничего общего со знаками сложения и вычитания.
— Не забегайте вперед, — посоветовала Двойка. — А чтобы не было путаницы, советую вам на первых порах ставить знаки положительных и отрицательных чисел не слева от числа, а над ним. Вот так:
+ + —
2 — 3 = 1
Мама Двойка хотела продолжать свое объяснение, но в это время Сева чихнул. Раз, другой, третий… Вечно на него что-нибудь нападает некстати — то смех, то насморк. Он полез за носовым платком — из кармана у него выпал зеленый стручок. Все мы сразу помрачнели, потому что вспомнили про Черную Маску. Если так пойдет дальше, ходить ей век заколдованной.
Тут, откуда ни возьмись, со страшным лаем вылетел Пончик. Он за кем-то гнался. Этот «кто-то» бежал так быстро, что рассмотреть его мы не успели. Пробегая мимо щита, незнакомец нажал кнопку, крикнул что-то в микрофон и вскочил в вагончик. В окне мелькнуло лицо, наполовину скрытое черной маской, и вагончика как не бывало.
— Держите! — закричал Сева. — Это он! Это она!
Мы бросились к щиту, чтобы вызвать другой вагончик и догнать беглеца, но в это время стручок взмыл в воздух и стал с такой быстротой кружиться перед нами, что нажать кнопку не было никакой возможности. Мы отмахивались от него, как от назойливой мухи, а он все кружился, кружился…
— Он не желает, чтобы мы уезжали, — вздохнул Олег.
Хочешь не хочешь, пришлось подчиниться. Стручок тотчас угомонился, и Сева снова спрятал его в карман.
Мама Двойка отнеслась к этому происшествию совершенно спокойно. Она и не думала спрашивать о причине переполоха, только сказала, ни к кому не обращаясь:
— Всякому овощу свое время!
И ушла, пообещав скоро вернуться и объяснить правила движения на монорельсовой дороге. Так мы и не поняли, о чем это она: то ли о стручке, то ли о Черной Маске!
Что было дальше, узнаешь из следующего письма. А пока веди себя прилично: не забывай, что ты теперь не просто Нулик, а действительный член отряда РВТ!
Таня.
Школа на числовой площади
(Нулик — отряду РВТ)
Здравствуйте, ребята! Пишет вам Нулик. Ваши письма получил. Большое спасибо. Про Черную Маску я маме ничего не говорил. Но, по-моему, она кое о чем догадывается. Недавно, например, сказала, что за последнее время мой культурный уровень очень повысился и что меня просто нельзя узнать. Но я думаю, что еще не очень изменился, потому что Пончик узнает меня сразу.
Что у меня вправду переменилось, так это имя. Я уже больше не Нулик-Озорник. Теперь меня зовут Нулик-Профессор. Я открыл на Числовой площади школу для Нуликов. Они почти совсем не шалят, а учатся. Все мои ученики внимательно слушают ваши письма, и я объясняю непонятные места. Каждое письмо мы прочитали по нескольку раз. Пишите поскорей дальше, а то мне уже нечего объяснять и придется ни с того ни с сего объявить каникулы.
Недавно у нас были практические занятия. Нулик-Сластена принес четырнадцать пирожных. А у нас в школе пятнадцать Нуликов. Одному не хватило. И я сказал, что ему досталось отрицательное пирожное. Он заплакал и сказал: почему это всем положительные, а ему отрицательное? И нам стало его жалко. Тогда я вспомнил про ваших обжор. Решили разделить пирожные по среднеарифметическому способу. Это было очень трудно, но мы все-таки разделили. Каждому досталось поровну, а вот поскольку — я уже забыл. Хотел спросить у моих учеников, да побоялся потерять свой афторетет.
Ax да! Я очень расстроен. Как это вы упустили Черную Маску? Не подумайте, что я хвастаюсь, но со мной бы этого не случилось. Пока до свидания.
Действительный член отряда РВТ.
Нулик-Профессор.
(Совсем забыл спросить: зачем нужны отрицательные числа?)
Что у меня вправду переменилось, так это имя. Я уже больше не Нулик-Озорник. Теперь меня зовут Нулик-Профессор. Я открыл на Числовой площади школу для Нуликов. Они почти совсем не шалят, а учатся. Все мои ученики внимательно слушают ваши письма, и я объясняю непонятные места. Каждое письмо мы прочитали по нескольку раз. Пишите поскорей дальше, а то мне уже нечего объяснять и придется ни с того ни с сего объявить каникулы.
Ax да! Я очень расстроен. Как это вы упустили Черную Маску? Не подумайте, что я хвастаюсь, но со мной бы этого не случилось. Пока до свидания.
Действительный член отряда РВТ.
Нулик-Профессор.
(Совсем забыл спросить: зачем нужны отрицательные числа?)
Правила движения
(Олег — Нулику)
Уважаемый Профессор! Тебе пришла в голову отличная мысль — занять своих товарищей полезным делом. Советую только: перед тем как что-нибудь объяснять другим, надо самому сперва хорошенько в этом разобраться. Вот лучший способ не потерять авторитета. Что же касается афторетета, то потерять его нельзя, потому что такого слова нет.
Если ты послушаешься меня, никому из твоих учеников не придется есть отрицательные пирожные. Отрицательными бывают только числа. И числа эти очень нужны. Без них многие задачи в Аль-Джебре так бы и остались нерешенными. Ты это мог понять хотя бы из той задачи, которую мама Двойка задала своим маленьким дочкам. Задача была простая. Но в Аль-Джебре есть и посложнее. Их здесь называют уравнениями. Мама Двойка сказала, что нам их пока решать рано. Сперва надо как следует познакомиться с правилами движения на монорельсовой дороге.
Как раз о них она сегодня и рассказывала.
Ты ведь помнишь, что справа от Нулевой станции живут только положительные числа, а слева — отрицательные. Так вот, отрицательные числа, так же как и положительные, можно складывать, вычитать, умножать и делить. Вагончики движутся там по тем же правилам, что и у положительных чисел только всегда в противоположном направлении. Уж очень они упрямы, отрицательные числа. Все у них наоборот!
Тут я нарисовал тебе, как мы складывали и вычитали положительные числа:
+ + +
5 + 3 = 8
+ + +
5 — 3 = 2
Против числа пять появлялся красный вагончик. При сложении он двигался вправо от пяти на станцию 8, а при вычитании — влево от пяти на станцию 2.
С отрицательными числами происходило то же самое, только в обратном направлении:
— — —
5 + 3 = 8
— — —
5 — 3 = 2
При этом против отрицательного числа пять появлялся синий вагончик, при сложении он переезжал влево — на станцию минус 8, а при вычитании вправо — на станцию минус 2.
— Понятно, — сказал Сева. — Но что будет, если одно слагаемое положительное, а другое — отрицательное?
— Какое же это имеет значение? — пожала плечами Двойка. — Правило движения во всех случаях одно и то же. Прибавляем положительное число — вагончик движется вправо, прибавляем отрицательное — влево. Вот смотрите:
— Гм! — Сева недоумевающе поднял брови. — Чудно как-то… Пять плюс три равно двум! Что-то я не очень понимаю такое сложение. Может, лучше повычитаем?
— Можно и повычитать, — согласилась мама Двойка. — Отнимем из минус пяти плюс три:
— +
5 — 3
Она нажала кнопку. Слева от нуля на станции минус 5 появился синий вагончик, который сейчас же покатился влево и остановился у станции минус 8.
— Час от часу не легче! — еще больше удивился Сева. — Вычитаем из пяти три и получаем восемь! Разве при вычитании числа увеличиваются?
— Не забывайте, что мы вычитали не из пяти, а из минус пяти, — ответила мама Двойка, — и получили не восемь, а минус восемь! А ведь минус восемь вовсе не больше, а меньше, чем минус пять!
— Вот те раз! Ничего не понимаю!
— Сейчас поймете. Чем ближе положительное число к Нулевой станции, тем оно меньше. Но при этом оно все-таки больше нуля. Так ведь? А числа, расположенные слева от Нулевой станции (то есть отрицательные числа), меньше нуля. И становятся все меньше и меньше, чем дальше они от Нулевой станции. Ведь у них все наоборот!
— Что же это, минус миллион меньше, чем минус тысяча?
— Конечно.
— Выходит, минус миллион на столько же меньше нуля, на сколько плюс миллион больше его, — сообразила Таня.
— Молодец! — похвалила мама Двойка. — Но так как оба миллиона находятся на одинаковом расстоянии от нуля, принято говорить, что они равны по абсолютным значениям. И записывается это так:
+ —
|1 000 000| = |1 000 000|.
— А это что за черточки? — поинтересовался Сева.
Двойка насмешливо улыбнулась.
— Что-то вроде загонов, куда посадили числа, чтобы они не подрались.
— А чего они не поделили?
— Видите ли, положительные и отрицательные числа хорошо знают, какая между ними разница. Они терпеть не могут, когда их приравнивают по абсолютным значениям. Стоит их выпустить из загонов и сложить, как они тут же накинутся друг на друга и взаимоуничтожатся.
Она нажала какие-то кнопки, и на монорельсе появились сразу два вагончика: на станции плюс 3 — красный, на станции минус 3 — синий. Вагончики двинулись навстречу друг другу. Вот они достигли Нулевой станции и превратились в один бесцветный прозрачный вагончик.
— Чудо! — закричал Сева.
— Ну, если и чудо, то самое обыкновенное! — засмеялась наша провожатая. — Просто к числу плюс три прибавлялась отрицательная тройка, вот красный вагончик и поехал влево. А к числу минус три прибавлялась положительная тройка. И синий вагончик поехал вправо. А так как абсолютные значения этих чисел одинаковы, они взаимоуничтожились на Нулевой станции:
+ —
3 + 3 = 0
Ну дорогой Профессор, не знаю, как у тебя, а у нас от всех этих премудростей головы вспухли. Хорошо еще чуткая мама Двойка заметила, как мы устали, и предложила нам немного погулять. Мы очень обрадовались, потому что она обещала повести нас в здешний парк.
На этом кончаю.
Следующее письмо тебе напишет Сева.
Олег.
Если ты послушаешься меня, никому из твоих учеников не придется есть отрицательные пирожные. Отрицательными бывают только числа. И числа эти очень нужны. Без них многие задачи в Аль-Джебре так бы и остались нерешенными. Ты это мог понять хотя бы из той задачи, которую мама Двойка задала своим маленьким дочкам. Задача была простая. Но в Аль-Джебре есть и посложнее. Их здесь называют уравнениями. Мама Двойка сказала, что нам их пока решать рано. Сперва надо как следует познакомиться с правилами движения на монорельсовой дороге.
Ты ведь помнишь, что справа от Нулевой станции живут только положительные числа, а слева — отрицательные. Так вот, отрицательные числа, так же как и положительные, можно складывать, вычитать, умножать и делить. Вагончики движутся там по тем же правилам, что и у положительных чисел только всегда в противоположном направлении. Уж очень они упрямы, отрицательные числа. Все у них наоборот!
Тут я нарисовал тебе, как мы складывали и вычитали положительные числа:
+ + +
5 + 3 = 8
+ + +
5 — 3 = 2
Против числа пять появлялся красный вагончик. При сложении он двигался вправо от пяти на станцию 8, а при вычитании — влево от пяти на станцию 2.
С отрицательными числами происходило то же самое, только в обратном направлении:
— — —
5 + 3 = 8
— — —
5 — 3 = 2
При этом против отрицательного числа пять появлялся синий вагончик, при сложении он переезжал влево — на станцию минус 8, а при вычитании вправо — на станцию минус 2.
— Понятно, — сказал Сева. — Но что будет, если одно слагаемое положительное, а другое — отрицательное?
— Какое же это имеет значение? — пожала плечами Двойка. — Правило движения во всех случаях одно и то же. Прибавляем положительное число — вагончик движется вправо, прибавляем отрицательное — влево. Вот смотрите:
— Можно и повычитать, — согласилась мама Двойка. — Отнимем из минус пяти плюс три:
— +
5 — 3
Она нажала кнопку. Слева от нуля на станции минус 5 появился синий вагончик, который сейчас же покатился влево и остановился у станции минус 8.
— Час от часу не легче! — еще больше удивился Сева. — Вычитаем из пяти три и получаем восемь! Разве при вычитании числа увеличиваются?
— Не забывайте, что мы вычитали не из пяти, а из минус пяти, — ответила мама Двойка, — и получили не восемь, а минус восемь! А ведь минус восемь вовсе не больше, а меньше, чем минус пять!
— Вот те раз! Ничего не понимаю!
— Сейчас поймете. Чем ближе положительное число к Нулевой станции, тем оно меньше. Но при этом оно все-таки больше нуля. Так ведь? А числа, расположенные слева от Нулевой станции (то есть отрицательные числа), меньше нуля. И становятся все меньше и меньше, чем дальше они от Нулевой станции. Ведь у них все наоборот!
— Что же это, минус миллион меньше, чем минус тысяча?
— Конечно.
— Выходит, минус миллион на столько же меньше нуля, на сколько плюс миллион больше его, — сообразила Таня.
— Молодец! — похвалила мама Двойка. — Но так как оба миллиона находятся на одинаковом расстоянии от нуля, принято говорить, что они равны по абсолютным значениям. И записывается это так:
+ —
|1 000 000| = |1 000 000|.
— А это что за черточки? — поинтересовался Сева.
Двойка насмешливо улыбнулась.
— Что-то вроде загонов, куда посадили числа, чтобы они не подрались.
— А чего они не поделили?
— Видите ли, положительные и отрицательные числа хорошо знают, какая между ними разница. Они терпеть не могут, когда их приравнивают по абсолютным значениям. Стоит их выпустить из загонов и сложить, как они тут же накинутся друг на друга и взаимоуничтожатся.
Она нажала какие-то кнопки, и на монорельсе появились сразу два вагончика: на станции плюс 3 — красный, на станции минус 3 — синий. Вагончики двинулись навстречу друг другу. Вот они достигли Нулевой станции и превратились в один бесцветный прозрачный вагончик.
— Чудо! — закричал Сева.
+ —
3 + 3 = 0
На этом кончаю.
Следующее письмо тебе напишет Сева.
Олег.
Центральный Парк Науки и Отдыха
(Сева — Нулику)
Здорово, Профессор! Ты, наверное, уже привык, что о Черной Маске ни слуху ни духу. Зато других новостей сколько угодно.
До сих пор не могу понять, что за государство такое Аль-Джебра! Уж очень оно разнообразное. То попадаешь в большой современный город, то в какой-то древний восточный городишко с узкими улочками, где не то что два троллейбуса — два осла не разойдутся! И называется этот городишко Хива.
Когда-то он был здесь столицей, потому что больше тысячи лет назад в нем жил основатель Аль-Джебры, Мухаммед ибн Муса аль-Хварезми. Не пугайся: имя хоть и длинное, но разобраться можно. Ибн Муса значит сын Мусы, по-нашему — отчество. Аль-Хварезми — читай из Хорезма. Хорезм — древнее государство, где находилась эта самая Хива. А в общем — Мухаммед Мусович Хорезмиец.
Ну, с Мухаммедом мы все выяснили. А вот что такое Аль-Джебра? Нам сказали, что это слово арабское и в переводе на русский язык означает «восстановление». Пусть так, но что здесь восстанавливают? На этот вопрос мама Двойка ответила своей любимой поговоркой: «Всякому овощу свое время». И пояснила, что из слова «Аль-Джебра» вышло название той самой науки, которую проходят у нас в каждой школе: алгебра. Вот те на! Отдохнули! Нигде от науки спасения нет. Даже парк, куда привела нас мама Двойка, называется Центральным Парком Науки и Отдыха. Я сразу скис. Но оказалось, что не так уж он плох, этот парк. Здесь столько аттракционов, что со всеми за один раз не познакомишься.
В парке полно народу. Кроме карликан, там разгуливают и буквы. Что-то часто они стали нам встречаться. Некоторых мы уже видели, но попадаются и совсем неизвестные. Мама Двойка со многими здоровалась и называла по имени: «Здравствуйте, дорогой Пи! Как вы себя чувствуете, уважаемая Омега? Ах, как я давно тебя не видела, крошка Эпсилон!»
Мы хотели разузнать об этих буквах получше, но мама Двойка, как на грех, разговорилась с какой-то толстушкой Сигмой. Тут мы увидели павильон с вывеской «Автоматическая справочная». Вот где нам ответят на все вопросы!
Поднялись по широким ступенькам и очутились в большом светлом помещении. Там всюду стоят пластикатные щиты. На каждом щите микрофон и динамик. Подходишь к микрофону, задаешь вопрос и тут же получаешь ответ. В Аль-Джебре, как и у вас в Карликании, секретов нет. Каждый может слышать, что автомат отвечает соседу.
Рядом с нами стояла какая-то непонятная буковка с маленьким красным зонтиком: i. Мы слышали, как она грустно спросила:
— Скажите, пожалуйста, найду ли я место в жизни?
Автомат призадумался, а потом ответил:
— И Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться.
Мнимая Единица облегченно вздохнула и выпорхнула из павильона. Ты что-нибудь понимаешь, Профессор? Мало нам отрицательных единиц, так тут еще появились мнимые!
Мы решили больше ничего не слушать и сразу приступили к делу. Олег подошел к микрофону и спросил:
— Скажите, пожалуйста, как нам разгадать тайну Черной Маски?
— Нет ничего проще! — ответил автомат. — Для этого нужно решить одно уравнение.
— Какое?
— То, которое вы сами составите.
— Но как это сделать?
— Прочитайте записку, которая была в зеленом стручке.
— А как ее расшифровать?
До сих пор не могу понять, что за государство такое Аль-Джебра! Уж очень оно разнообразное. То попадаешь в большой современный город, то в какой-то древний восточный городишко с узкими улочками, где не то что два троллейбуса — два осла не разойдутся! И называется этот городишко Хива.
Когда-то он был здесь столицей, потому что больше тысячи лет назад в нем жил основатель Аль-Джебры, Мухаммед ибн Муса аль-Хварезми. Не пугайся: имя хоть и длинное, но разобраться можно. Ибн Муса значит сын Мусы, по-нашему — отчество. Аль-Хварезми — читай из Хорезма. Хорезм — древнее государство, где находилась эта самая Хива. А в общем — Мухаммед Мусович Хорезмиец.
Ну, с Мухаммедом мы все выяснили. А вот что такое Аль-Джебра? Нам сказали, что это слово арабское и в переводе на русский язык означает «восстановление». Пусть так, но что здесь восстанавливают? На этот вопрос мама Двойка ответила своей любимой поговоркой: «Всякому овощу свое время». И пояснила, что из слова «Аль-Джебра» вышло название той самой науки, которую проходят у нас в каждой школе: алгебра. Вот те на! Отдохнули! Нигде от науки спасения нет. Даже парк, куда привела нас мама Двойка, называется Центральным Парком Науки и Отдыха. Я сразу скис. Но оказалось, что не так уж он плох, этот парк. Здесь столько аттракционов, что со всеми за один раз не познакомишься.
В парке полно народу. Кроме карликан, там разгуливают и буквы. Что-то часто они стали нам встречаться. Некоторых мы уже видели, но попадаются и совсем неизвестные. Мама Двойка со многими здоровалась и называла по имени: «Здравствуйте, дорогой Пи! Как вы себя чувствуете, уважаемая Омега? Ах, как я давно тебя не видела, крошка Эпсилон!»
Мы хотели разузнать об этих буквах получше, но мама Двойка, как на грех, разговорилась с какой-то толстушкой Сигмой. Тут мы увидели павильон с вывеской «Автоматическая справочная». Вот где нам ответят на все вопросы!
Поднялись по широким ступенькам и очутились в большом светлом помещении. Там всюду стоят пластикатные щиты. На каждом щите микрофон и динамик. Подходишь к микрофону, задаешь вопрос и тут же получаешь ответ. В Аль-Джебре, как и у вас в Карликании, секретов нет. Каждый может слышать, что автомат отвечает соседу.
— Скажите, пожалуйста, найду ли я место в жизни?
Автомат призадумался, а потом ответил:
— И Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться.
Мнимая Единица облегченно вздохнула и выпорхнула из павильона. Ты что-нибудь понимаешь, Профессор? Мало нам отрицательных единиц, так тут еще появились мнимые!
Мы решили больше ничего не слушать и сразу приступили к делу. Олег подошел к микрофону и спросил:
— Скажите, пожалуйста, как нам разгадать тайну Черной Маски?
— Нет ничего проще! — ответил автомат. — Для этого нужно решить одно уравнение.
— Какое?
— То, которое вы сами составите.
— Но как это сделать?
— Прочитайте записку, которая была в зеленом стручке.
— А как ее расшифровать?