Страница:
Ответ на задачу таков: выброшенный чемодан никак не изменит уровень воды,
если он будет плавать в воде.Если же он утонет — уровень воды понизится.
Сколько всего настройщиков пианино в мире?
В 1940-х и 1950-х годах нобелевский лауреат физик Энрико Ферми любил озадачивать подобными абсурдными вопросами, предложением оценить какие-то количественные параметры, не пользуясь статистическими данными, своих студентов в Чикагском университете. Хотя «вопросы Ферми» до сих пор используют некоторые преподаватели физики, они теперь гораздо больше известны как один из приемов, используемых интервьюерами при оценке кандидата на работу. Возможно, самый известный из «вопросов Ферми» (вероятно потому, что он самый глупый) — это предложение оценить количество настройщиков пианино в Чикаго.
Версия этого вопроса, используемая Microsoft,отличается от первоначальной тем, что требуется оценить количество настройщиков фортепиано во всем мире (а не только в Чикаго). Вам для этого не нужны какие-либо статистические данные о настройщиках или фортепиано. Профессиональные пианисты не знают, сколько этих инструментов существует в мире. Однако вам нужноиметь представление о численности населения Соединенных Штатов и мира. Вам также разрешат округлять числа, потому что большую часть расчетов вам придется делать в уме. (Хотя есть и исключения. Бухгалтерские фирмы, банки и консалтинговые фирмы обычно разрешают вам пользоваться при расчетах карандашом и бумагой и ожидают от вас более точного ответа, чем компьютерные и интернет-компании.)
Вот типичный анализ: количество настройщиков должно быть связано с тем, сколько есть для них работы. А это, в свою очередь, зависит от количества фортепиано и от того, как часто их требуется настраивать.
Сколько же в мире пианино? В Соединенных Штатах они есть в школах, филармонических обществах, церквах, барах, студиях грамзаписи, музеях и многих других местах. Тем не менее большинство этих музыкальных инструментов все же находится дома у жителей страны.
Пианино дороги и громоздки — их трудно разместить в небольших квартирах, общежитиях или передвижных домиках-трейлерах. В основном пианино можно обнаружить только в домах представителей среднего и высшего класса.
Население США — это примерно 300 миллионов человек. Предположим, что типичная семья состоит из трех человек. Это значит, что в стране 100 миллионов домохозяйств. Наиболее богатая половина из них, то есть 50 миллионов семей, — целевой сегмент для продажи пианино. Конечно, не у всех из этих семей есть пианино. Доля состоятельных семей, у которых есть этот музыкальный инструмент, очевидно, менее 100 процентов и более одного процента. Предположим, что среди состоятельных семей 10 процентов имеют пианино — это означает, что в США есть пианино у 5 миллионов семей. Именно это число мы и будем использовать для нашей оценки.
Сколько настройщиков нужно, чтобы настраивать 5 миллионов пианино? Допустим, что настройщик пианино в среднем работает 40 часов в неделю (этот ведь не компьютерный бизнес!). Сколько времени нужно, чтобы настроить один инструмент? Приблизительная догадка — один час. Но клиенты не приходят со своими пианино в мастерскую, следовательно, настройщик потратит в среднем час на дорогу к клиенту. Это значит, что настройщик в среднем сможет настраивать 40/2 = 20 пианино в неделю. За год, состоящий из 50 рабочих недель, это дает приятную круглую итоговую цифру — 1000 настроенных пианино.
Как часто необходимонастраивать пианино? Этот вопрос может оказаться неразрешимым для тех, кто ничего не знает о пианино. Догадка «с потолка» (раз в год?), вероятно, достаточно близка к истине. Поиск в Интернете позволил найти рекомендацию настраивать пианино четыре раза в первый год после покупки и по крайней мере дважды в год в последующие годы. Эта рекомендация очень похожа на другие подобные (вроде пережевывать пищу двадцать шесть раз перед тем, как ее проглотить), которые никто (за исключением настройщиков пианино) не принимает всерьез. Наверняка в гостиных стоит немало пианино, которые почти никогда не используются, и их не настраивают годами.
Если нужно настраивать пианино раз в год, настройщик может настроить за год 1000 инструментов, то, вероятно, на каждую тысячу пианино придется один настройщик. Если учесть, что в Соединенных Штатах примерно 5 миллионов пианино, то настройщиков в этой стране должно быть около 5000.
Америку во многих отношениях, нельзя считать типичной страной — количество настройщиков пианино в этом плане не является исключением. Учитывая, что США — богатая страна с европейскими музыкальными традициями, можно предположить, что доля настройщиков пианино, которая приходится на США, больше, чем процент мирового населения, проживающий в этой стране. Мировое население — шесть миллиардов человек — в 20 раз больше, чем население США. Наверное, общее количество настройщиков пианино в мире в несколько раз больше, чем в США, но уж никак не в двадцать раз. Вполне реальная догадка может быть такой: в Европе может быть в два раза больше настройщиков, чем в США, а во всем остальном мире — примерно столько же, сколько в США. Это значит, что примерно каждый четвертый настройщик пианино живет в США. Оценка общего количества настройщиков пианино в мире будет такой: в четыре раза больше, чем 5000, или 20 000 настройщиков.
Именно такой ответ рассчитывают услышать интервьюеры. Насколько он точен? У мировой Гильдии настройщиков фортепиано примерно 3500 членов во всем мире. Хотя не все настройщики входят в гильдию и не все ее члены работают исключительно настройщиками. Бюро статистики занятости США сообщает, что в стране в 1998 году было примерно 13 тыс. человек, занимающихся настройкой и ремонтом музыкальных инструментов, большинство из которых работает с пианино.
Статистика продаж, которую можно найти в Интернете, показывает, что в Соединенных Штатах производится примерно 23 процента всех пианино, выпускаемых в мире, и покупается 27 процентов всех пианино, изготовленных в мире. [135]Если предположить, что примерно 10 тыс. настройщиков пианино, проживающих в США, — это четверть от общего количества настройщиков в мире, то в мире должно быть около 40 тыс. настройщиков — в два раза больше, чем мы предположили выше (это совсем неплохой результат для ответа на вопросы Ферми). Заниженная оценка может объясняться тем, что большинство людей, которые названы в статистических данных настройщиками, на самом деле занимаются также ремонтом и реставрацией музыкальных инструментов. Это значит, что потребность в их услугах выше, чем предполагалось, а отсюда и больше «настройщиков пианино».
Сколько всего бензоколонок в Соединенных Штатах?
Интервьюеры Microsoftтакже спрашивают кандидатов о том, сколько всего автомобилей в Соединенных Штатах. Решение этой задачи требуется для того, чтобы ответить на вопрос о количестве бензозаправочных станций, поэтому мы будем решать сразу обе задачи.
У детей, людей, живущих в городах с хорошим общественным транспортом, бездомных, членов религиозной секты Амиш и т. д. нет автомобилей. С другой стороны, есть люди, у которых более одной машины: это богатые люди, коллекционеры автомобилей, водители такси, у которых есть и автомобиль для работы, и второй автомобиль для личных надобностей.
Значит ли это, что на каждого жителя США приходится один автомобиль? Нет. А на каждых двух жителей? Это уже более вероятно. В таком случае, если учесть, что население США — это 300 миллионов человек, то в стране должно быть около 150 миллионов автомобилей.
Средний автомобиль заправляют примерно раз в неделю. Поэтому за неделю бензозаправочные станции обслуживают примерно столько же автомобилей, сколько их всего есть в стране.
Сколько примерно автомобилей может обслужить за неделю одна заправочная станция? Количество часов в неделе равно 24х7, но нe все бензоколонки работают круглосуточно. Допустим что типичная бензоколонка работает примерно сто часов в неделю. Если на заправку одной машины уходит шесть минут, то каждый из насосов заправочной станции может за час заправить десять автомобилей. Теперь нужно учесть, что на большой бензоколонке, расположенной в бойком месте, может быть много насосов, и, напротив, есть такие заправки, на которые клиенты заезжают редко. Давайте предположим, что среднее количество машин, которые заправляются на одной заправке в течение часа, — это десять. Тогда в среднем на одной бензоколонке за неделю будет заправляться 100 х 10, или 1000 автомашин.
Это значит, что количество бензозаправочных станций в США 150 миллионов / 1000 = 150 000.
Такие оценки количества бензоколонок и автомобилей достаточно точны. Министерство транспорта США сообщало, что в 1997 году в Соединенных Штатах было 129 748 704 «зарегистрированных пассажирских транспортных средства». В июньском номере за 1998 год журнала Journal of Petroleum Marketingутверждается, что в том году в США было 187 097 бензоколонок, которые продавали топливо для автомобилей.
Какое количество воды река Миссисипи проносит в течение часа мимо Нового Орлеана?
Возможно два подхода. Первый предполагает прямую оценку ширины реки Миссисипи около Нового Орлеана, ее средней глубины и скорости течения реки. Если вы можете оценить эти числа в футах и футах в час, то все, что вам нужно сделать, — это перемножить эти три числа для того, чтобы получить ответ (в кубических футах в час). Однако большинство людей (может быть, только за исключением тех, кто живет в дельте Миссисипи) не имеет ни малейшего представления об этих числах.
Второй подход подразумевает оценку площади водосбора реки. Вы можете знать или оценить, посмотрев на карту, что река Миссисипи со своими притоками собирает осадки примерно с половины территории Соединенных Штатов (и небольшого участка территории Канады). Оцените эту площадь и умножьте ее на среднее количество осадков для данного региона. Это даст вам объем воды, которая выпадает на этой площади в виде осадков в течение года. Почти вся эта вода в конце концов попадает в Миссисипи, за исключением той воды, которая испаряется. Вы должны сделать на это поправку, и большинство людей абсолютно не подозревает, какого порядка эта поправка должна быть.
Начнем с первого подхода, который кажется более простым. По крайней мере нужно найти всего три числа.
Насколько широка река Миссисипи в Новом Орлеане? На подробных картах нижнее течение реки Миссисипи изображается не синей линией — оно скорее похоже на озеро. Предположим, что ширина этого «озера» примерно две мили. Тогда в футах у нас получается удобная «круглая» цифра — 10 тыс. футов.
В воде Миссисипи очень много примесей, которые выпадают в виде осадков в дельте реки. Поэтому маловероятно, что река в дельте глубока. Кроме того, русло реки в ее нижнем течении не раз менялось — это бы вряд ли произошло, если бы река была глубокой.
Итак, река мелкая. Но насколько мелкая? Один фут? Десять футов? Сто футов? Вряд ли это один фут.
Если бы река была такой мелкой, ее можно было бы легко переходить вброд, и вы бы услышали об этом «удивительном факте»: мол, глубина Могучей Миссисипи — всего один фут.
10 футов (чуть больше трех метров) — это также мелко, но более вероятно. Специалисты по английской филологии, которые хотят стать менеджерами программ в Microsoft,могут припомнить, что «Марк Твен» (« mark twain») на жаргоне речников во времена писателя означало «отметка два», или глубину в 12 футов (примерно 3,7 метра). «Марк Твен» также означало, что глубина достаточна для свободного прохода речных судов. Это была важная информация, потому что во многих местах Миссисипи была более мелкой.Так что десять футов — это вполне приемлемая оценка.
Последний параметр, который нужно оценить, — это скорость течения реки. Еще раз вспомните о речных судах. Даже после появления паровых двигателей они оставались медлительным транспортным средством по сравнению с автомобилями. Реалистичная оценка скорости течения — 10 миль в час. Это примерно 50 тыс. футов в час. Таким образом, ответ на задачу: 10 000 х 10 х 50 000 = 5 миллиардов кубических футов воды в час.
Реальный сток воды Миссисипи трудно измерить, и он существенно зависит от времени года и количества осадков. В энциклопедии Encarta,которая издается корпорацией Microsoft,приводится такая уверенная оценка с точностью до трех знаков — 593 тыс. кубических футов воды в секунду. Еще один авторитетный веб-сайт предлагает оценку в 14 тыс. кубических метров в секунду. Это примерно 490 тыс. кубических футов в секунду. В других источниках приводится более консервативная оценка — 1 миллион кубических футов в секунду. Это эквивалентно 3,6 миллиарда кубических футов воды в час.
Сколько весит весь лед на хоккейном катке?
Хоккейный каток имеет размеры примерно 100 на 200 футов. Его толщина — примерно один дюйм. Давайте все переведем в дюймы: 1000 х 2000 х 1 — в итоге получаем 2 миллиона кубических дюймов льда.
Сколько весит кубический дюйм льда? Немного меньше, чем кубический дюйм воды. Вероятно, легче будет вести расчеты в метрической системе. Кубический сантиметр воды весит один грамм. Дюйм — это примерно 2,5 сантиметра, таким образом, один кубический дюйм (мы специально округляем для приблизительных расчетов в уме) — это 2хЗх2,5 = 3x5 = 15 кубических сантиметров. Это значит, что объем льда на катке — это 15x2 миллиона = 30 миллионов кубических сантиметров и его вес — такое же количество граммов, или 30 000 килограммов, или 60 000 фунтов.
По правилам НХЛ, хоккейный каток — это овал 85 на 200 футов с закругленными углами радиусом 28 футов. Толщина льда обычно один дюйм. Если вы используете эти точные цифры для вычислений, то вес воды, необходимой для заливки льда на катке этих размеров, можно оценить в 38 500 килограммов, но, учитывая меньшую плотность льда по сравнению с водой, его вес будет меньше — примерно 35 200 килограммов. Как видите, наша догадка была достаточно близка к этой цифре.
Если вам придется упразднить один из пятидесяти штатов США, какой штат вы выберете?
Популярные ответы: Аляска, Гавайи, Северная Дакота.
Плохой ответ: Вашингтон.
Самый плохой ответ: Я бы упразднил все.
Это один из самых известных примеров неточно сформулированных задач, используемых Microsoft.Это не то же самое, что спросить, какой у вас любимой цвет. Они хотят, чтобы вы так переформулировали вопрос, чтобы на него стало возможным дать «правильный ответ», который можно было бы найти при помощи логики.
От вас не требуется дать ответ с ходу. Вы можете представить интервьюеру свой ход рассуждений и только в самом конце выбрать штат. Вот обсуждение и обобщение подходов, которые получили одобрение интервьюеров.
Центральный вопрос: что произойдет с людьми,которые живут в упраздненном штате? Мы собираемся сбросить на него атомную бомбу? Пускай вариант (а) — это такая ситуация, когда, «упраздняя» штат, мы уничтожаем и все его население. Тогда у нас появляется моральное обязательство минимизировать людские потери.
Вариант (b) — население просто «исчезает». Их не убивают — их просто больше нет на свете. Может быть, это похоже на ситуацию из известного фантастического рассказа, в котором некто отправляется в прошлое и наступает на бабочку… а потом возвращается и обнаруживает, что штат, из которого он отправился в путешествие во времени, и его население исчезли и просто никогда не существовали.На всех флагах — только сорок девять звезд, а исчезнувший штат не упоминается ни в одной из энциклопедий.
Вариант (с) — исчезает только недвижимость, а люди уцелели. Эти уцелевшие люди, ставшие бездомными беженцами, сидят около огромной дыры, оставшейся на месте исчезнувшего штата, и раздумывают о том, где они будут сегодня ночевать. Этих людей придется переселять, что обойдется недешево (корпорации Microsoft.Федеральному правительству?).
Вариант (d) — люди «магическим способом» переносятся в какое-то другое место безо всяких эмоциональных или финансовых издержек. Просто нажимается кнопка, и все бывшие жители упраздненного штата получают дом и работу (предполагается, что они у них были и раньше) в каком-то из сохранившихся сорока девяти штатов, причем права «старожилов» штата, который станет для них рбдньгм, никак не ущемляются.
Вариант (е) — не исчезают ни люди, ни недвижимость. «Упразднение» штата — это чисто политическое решение. Упраздненный штат присоединяется к Канаде или Мексике или становится независимым государством.
Выбор в случае (а) достаточно очевиден. Если люди погибнут, то вы должны выбрать самый малонаселенный штат. Согласно переписи 2000 года, таким штатом был Вайоминг.
Вариант (b) — это тяжелый случай. Люди просто исчезают непонятно как, и для решения нет никаких моральных ориентиров. И все же эти люди — живые души, пока вы не нажмете на кнопку вашего «упразднителя истории». Это все равно очень похоже на убийство, и снова нужно, вероятно, выбирать Вайоминг.
Дилемма в случае (с) заключается в том, стоит ли подумать о выборе более населенного, чем Вайоминг, штата, учитывая природные красоты последнего. Вайоминг — это большой штат с красивым ландшафтом, и именно там расположен Йеллоустонский национальный парк с его знаменитыми секвойями. Чтобы все это сохранить, вы можете предпочесть переселить жителей более населенного, но меньшего по размеру и/или менее живописного штата.
По данным переписи 2000 года, пять штатов с наименьшим населением — это Вайоминг, Вермонт, Аляска, Северная Дакота и Южная Дакота. Вермонт и Аляска — тоже живописные штаты, кроме того, Аляска обладает огромной территорией. В Южной Дакоте есть гора Рашмор. В Северной Дакоте… да, в Северной Дакоте нетгоры Рашмор. Этот штат «выделяется» среди других тем, что трудно представить себе жителя какого-то другого штата, который сознательно решил бы провести в Северной Дакоте свой отпуск (есть даже такая шутка: дерево, символизирующее Северную Дакоту, — это телеграфный столб). Да и другие равнинные штаты не могут похвастаться интересным рельефом или лесами, но в Северной Дакоте кроме всего прочего еще и самая суровая зима — даже более суровая, чем в наиболее населенных районах Аляски.
Итак, в варианте (с) — никого не убивают, но нужно платить за переезд людей из упраздненного штата. Конечно, стоит пойти на несколько большие расходы, но сохранить Йелоустон, или лыжные курорты Вермонта, или Аляску, или гору Рашмор. Без Северной Дакоты можно обойтись.
В варианте (d) перевозка населения проводится при помощи магии и абсолютно бесплатна — тем больше причин упразднить именно Северную Дакоту.
Наконец, в варианте (е) сохраняются и люди, и территория. Мы просто меняем политическую карту. Тут стоит подумать об Аляске и Гавайях. И тот, и другой штаты отделены от основной материковой территории США. Некоторые люди скажут, что сохранение этих территорий — это наследие колониализма. Если вас в первую очередь интересует, как выглядят страны на географических картах — стоит выбрать или Аляску, или Гавайи.
Но признайте: если Конгрессу действительно придется обсуждать решение, какой из штатов упразднить, — географические соображения будут учитываться в последнюю очередь. Аляска богата нефтью и полезными ископаемыми. Гавайи — это то место, куда отправляются проводить отпуск жители континентальных штатов США. Оба эти штата стратегически важны. Поэтому об их упразднении не пойдет и речи.
Как и в вариантах (с) и (d), выбор будет сделан между штатами, которые уступают другим по численности населения и богатству природных ресурсов. Так что опять всплывет Северная Дакота, которая к тому же расположена на границе с Канадой. Предложите этот штат Канаде, а если Канаде он не нужен, что ж, пускай Северная Дакота станет независимым государством.
Сколько мест на земном шаре, где, если вы пройдете одну милю на юг, одну милю на восток и одну милю на север, вы вернетесь в то место, откуда вы отправлялись в путь?
Система оценок, которую используется Microsoftдля оценки ответов на этот вопрос, примерно такова:
0 таких мест — не принимать на работу;
1 такое место — не принимать на работу;
бесконечно + еще одно место — удовлетворительно;
бесконечно х бесконечно + еще одно место — правильный ответ.
Начнем с воображаемой карты: одна миля на юг, одна на восток и одна на север — это три стороны квадрата. Вы окажетесь в точке, которая будет расположена на одну милю восточнее, чем ваше место старта. Эта ситуация может вам показаться неразрешимой, и вы поспешите заявить, что таких мест на земле нет.
Попробуйте-ка еще один раз. Единственный способ разрешить эту ситуацию — вспомнить о том, что направление, которое указывает стрелка компаса, — это явление относительное, поскольку мы живем на поверхности сферы. На Северном полюсе любоегоризонтальное направление указывает на юг. Если вы стартуете на Северном полюсе, вы можете пройти милю в любомнаправлении, и это будет считаться движением на юг. Более того, следующая миля пути на восток будет расположена по окружности вокруг Северного полюса. У вас получится именно так, если вы не только изначально направитесь на восток, но и будете постоянно корректировать свое направление движения, чтобы все время идти строго на восток. Тогда у вас будет возможность на финальном отрезке идти прямо к Северному полюсу и вернуться туда, откуда вы отправились. Таким образом, ваш маршрут будет напоминать «треугольный кусок пирога», а не разомкнутый квадрат.
Итак, первая возможная точка — это Северный полюс. Обратите внимание на то, что Южный полюс для решения этой задачи не подходит. На Южном полюсе любое направление ведет на север, поэтому там вы просто не сможете двигаться на юг.
Вы можете решить, что правильный ответ — есть одно такое место, и вы снова будете не правы. Не правы потому, что такой маршрут может начаться и в точке, расположенной поблизостиот Южного полюса. Представьте, что вы стартуете в точке, которая расположена на расстоянии чуть больше мили от Южного полюса. Вы пройдете одну милю на юг, потом повернете на 90 градусов и отправитесь на восток, при этом вы опишете полную окружность длиной в одну милю вокруг полюса, направляясь все время строго на восток, и, наконец, пройдете милю на север и вернетесь в исходную точку.
Такая точка не одна — таких точек бесконечное количество. Вы можете отправиться из любой точки, которая находится на подходящем расстоянии от Южного полюса. Такие точки расположены на окружности, центр которой — Южный полюс.
Что такое «подходящее расстояние»? Окружность длиной в одну милю должна иметь радиус 1/2Пи мили. Стартовая точка маршрута должна располагаться еще на одну милю дальше от полюса, то есть на расстоянии в 1+1/2Пи мили от него, или примерно в 1,159 мили.
Но и это еще не все. Допустим, вы стартуете чуть ближе к полюсу. Вы идете одну милю на юг, а потом идете строго на восток по меньшей окружности, длина которой 1/2 мили. Вы дважды совершите полный круг, а потом пройдете еще одну милю на север и вернетесь в исходную точку. Таких точек опять-таки бесконечное множество, и они расположены на расстоянии в 1 + 1/4Пи мили от полюса.
Вы также можете выбрать такой маршрут, чтобы на втором этапе пройти вокруг полюса три раза, четыре раза и вообще любое целое число Пи раз. Каждый раз эти точки также будут расположены на окружности, центр которой полюс, а радиус — 1 + 1/2Пи мили. Таким образом, подобных точек — бесконечное множество, и расположены они на бесконечном количестве окружностей, расположенных концентрически вокруг полюса.
Эта задача — вариация на тему одной из самых известных в мире головоломок. В ней путешественник проходит удовлетворяющий решению задачи маршрут и по пути убивает медведя. Нужно ответить на вопрос о том, какого цвета был медведь. Ответ — это был белый медведь, так как у Северного полюса живут только белые медведи. В конце 1950-х годов Мартин Гарднер написал, что «недавно один человек понял, что Северный полюс — не единственный правильный ответ на эту старинную загадку». [136]На самом деле «новые» ответы не подходят для старинной головоломки, потому что в Антарктике нет наземных млекопитающих, включая медведей.
Сколько раз в течение суток перекрываются часовая и минутная стрелки?
Большинство людей сразу же понимает, что ответ должен быть 24 плюс-минус. Все проблема как раз в том, чтобы вычислить этот плюс-минус.
Сначала обратите внимание, что перекрытие стрелок — это абсолютно предсказуемое явление. Обе стрелки движутся с постоянной скоростью, следовательно, интервал времени между двумя последовательными перекрытиями постоянный.
Этот постоянный интервал чуть более часа. В полночь часовая и минутная стрелки точно совпадают. Минутной стрелке требуется ровно шестьдесят минут, чтобы описать полный круг, за то же самое время часовая стрелка проходит 1/12 часть круга и находится на отметке 1 час. Чтобы добраться до отметки 1 час, минутной стрелке потребуется пять минут, но за это время часовая стрелка еще немного продвинется вперед…
Сколько всего настройщиков пианино в мире?
В 1940-х и 1950-х годах нобелевский лауреат физик Энрико Ферми любил озадачивать подобными абсурдными вопросами, предложением оценить какие-то количественные параметры, не пользуясь статистическими данными, своих студентов в Чикагском университете. Хотя «вопросы Ферми» до сих пор используют некоторые преподаватели физики, они теперь гораздо больше известны как один из приемов, используемых интервьюерами при оценке кандидата на работу. Возможно, самый известный из «вопросов Ферми» (вероятно потому, что он самый глупый) — это предложение оценить количество настройщиков пианино в Чикаго.
Версия этого вопроса, используемая Microsoft,отличается от первоначальной тем, что требуется оценить количество настройщиков фортепиано во всем мире (а не только в Чикаго). Вам для этого не нужны какие-либо статистические данные о настройщиках или фортепиано. Профессиональные пианисты не знают, сколько этих инструментов существует в мире. Однако вам нужноиметь представление о численности населения Соединенных Штатов и мира. Вам также разрешат округлять числа, потому что большую часть расчетов вам придется делать в уме. (Хотя есть и исключения. Бухгалтерские фирмы, банки и консалтинговые фирмы обычно разрешают вам пользоваться при расчетах карандашом и бумагой и ожидают от вас более точного ответа, чем компьютерные и интернет-компании.)
Вот типичный анализ: количество настройщиков должно быть связано с тем, сколько есть для них работы. А это, в свою очередь, зависит от количества фортепиано и от того, как часто их требуется настраивать.
Сколько же в мире пианино? В Соединенных Штатах они есть в школах, филармонических обществах, церквах, барах, студиях грамзаписи, музеях и многих других местах. Тем не менее большинство этих музыкальных инструментов все же находится дома у жителей страны.
Пианино дороги и громоздки — их трудно разместить в небольших квартирах, общежитиях или передвижных домиках-трейлерах. В основном пианино можно обнаружить только в домах представителей среднего и высшего класса.
Население США — это примерно 300 миллионов человек. Предположим, что типичная семья состоит из трех человек. Это значит, что в стране 100 миллионов домохозяйств. Наиболее богатая половина из них, то есть 50 миллионов семей, — целевой сегмент для продажи пианино. Конечно, не у всех из этих семей есть пианино. Доля состоятельных семей, у которых есть этот музыкальный инструмент, очевидно, менее 100 процентов и более одного процента. Предположим, что среди состоятельных семей 10 процентов имеют пианино — это означает, что в США есть пианино у 5 миллионов семей. Именно это число мы и будем использовать для нашей оценки.
Сколько настройщиков нужно, чтобы настраивать 5 миллионов пианино? Допустим, что настройщик пианино в среднем работает 40 часов в неделю (этот ведь не компьютерный бизнес!). Сколько времени нужно, чтобы настроить один инструмент? Приблизительная догадка — один час. Но клиенты не приходят со своими пианино в мастерскую, следовательно, настройщик потратит в среднем час на дорогу к клиенту. Это значит, что настройщик в среднем сможет настраивать 40/2 = 20 пианино в неделю. За год, состоящий из 50 рабочих недель, это дает приятную круглую итоговую цифру — 1000 настроенных пианино.
Как часто необходимонастраивать пианино? Этот вопрос может оказаться неразрешимым для тех, кто ничего не знает о пианино. Догадка «с потолка» (раз в год?), вероятно, достаточно близка к истине. Поиск в Интернете позволил найти рекомендацию настраивать пианино четыре раза в первый год после покупки и по крайней мере дважды в год в последующие годы. Эта рекомендация очень похожа на другие подобные (вроде пережевывать пищу двадцать шесть раз перед тем, как ее проглотить), которые никто (за исключением настройщиков пианино) не принимает всерьез. Наверняка в гостиных стоит немало пианино, которые почти никогда не используются, и их не настраивают годами.
Если нужно настраивать пианино раз в год, настройщик может настроить за год 1000 инструментов, то, вероятно, на каждую тысячу пианино придется один настройщик. Если учесть, что в Соединенных Штатах примерно 5 миллионов пианино, то настройщиков в этой стране должно быть около 5000.
Америку во многих отношениях, нельзя считать типичной страной — количество настройщиков пианино в этом плане не является исключением. Учитывая, что США — богатая страна с европейскими музыкальными традициями, можно предположить, что доля настройщиков пианино, которая приходится на США, больше, чем процент мирового населения, проживающий в этой стране. Мировое население — шесть миллиардов человек — в 20 раз больше, чем население США. Наверное, общее количество настройщиков пианино в мире в несколько раз больше, чем в США, но уж никак не в двадцать раз. Вполне реальная догадка может быть такой: в Европе может быть в два раза больше настройщиков, чем в США, а во всем остальном мире — примерно столько же, сколько в США. Это значит, что примерно каждый четвертый настройщик пианино живет в США. Оценка общего количества настройщиков пианино в мире будет такой: в четыре раза больше, чем 5000, или 20 000 настройщиков.
Именно такой ответ рассчитывают услышать интервьюеры. Насколько он точен? У мировой Гильдии настройщиков фортепиано примерно 3500 членов во всем мире. Хотя не все настройщики входят в гильдию и не все ее члены работают исключительно настройщиками. Бюро статистики занятости США сообщает, что в стране в 1998 году было примерно 13 тыс. человек, занимающихся настройкой и ремонтом музыкальных инструментов, большинство из которых работает с пианино.
Статистика продаж, которую можно найти в Интернете, показывает, что в Соединенных Штатах производится примерно 23 процента всех пианино, выпускаемых в мире, и покупается 27 процентов всех пианино, изготовленных в мире. [135]Если предположить, что примерно 10 тыс. настройщиков пианино, проживающих в США, — это четверть от общего количества настройщиков в мире, то в мире должно быть около 40 тыс. настройщиков — в два раза больше, чем мы предположили выше (это совсем неплохой результат для ответа на вопросы Ферми). Заниженная оценка может объясняться тем, что большинство людей, которые названы в статистических данных настройщиками, на самом деле занимаются также ремонтом и реставрацией музыкальных инструментов. Это значит, что потребность в их услугах выше, чем предполагалось, а отсюда и больше «настройщиков пианино».
Сколько всего бензоколонок в Соединенных Штатах?
Интервьюеры Microsoftтакже спрашивают кандидатов о том, сколько всего автомобилей в Соединенных Штатах. Решение этой задачи требуется для того, чтобы ответить на вопрос о количестве бензозаправочных станций, поэтому мы будем решать сразу обе задачи.
У детей, людей, живущих в городах с хорошим общественным транспортом, бездомных, членов религиозной секты Амиш и т. д. нет автомобилей. С другой стороны, есть люди, у которых более одной машины: это богатые люди, коллекционеры автомобилей, водители такси, у которых есть и автомобиль для работы, и второй автомобиль для личных надобностей.
Значит ли это, что на каждого жителя США приходится один автомобиль? Нет. А на каждых двух жителей? Это уже более вероятно. В таком случае, если учесть, что население США — это 300 миллионов человек, то в стране должно быть около 150 миллионов автомобилей.
Средний автомобиль заправляют примерно раз в неделю. Поэтому за неделю бензозаправочные станции обслуживают примерно столько же автомобилей, сколько их всего есть в стране.
Сколько примерно автомобилей может обслужить за неделю одна заправочная станция? Количество часов в неделе равно 24х7, но нe все бензоколонки работают круглосуточно. Допустим что типичная бензоколонка работает примерно сто часов в неделю. Если на заправку одной машины уходит шесть минут, то каждый из насосов заправочной станции может за час заправить десять автомобилей. Теперь нужно учесть, что на большой бензоколонке, расположенной в бойком месте, может быть много насосов, и, напротив, есть такие заправки, на которые клиенты заезжают редко. Давайте предположим, что среднее количество машин, которые заправляются на одной заправке в течение часа, — это десять. Тогда в среднем на одной бензоколонке за неделю будет заправляться 100 х 10, или 1000 автомашин.
Это значит, что количество бензозаправочных станций в США 150 миллионов / 1000 = 150 000.
Такие оценки количества бензоколонок и автомобилей достаточно точны. Министерство транспорта США сообщало, что в 1997 году в Соединенных Штатах было 129 748 704 «зарегистрированных пассажирских транспортных средства». В июньском номере за 1998 год журнала Journal of Petroleum Marketingутверждается, что в том году в США было 187 097 бензоколонок, которые продавали топливо для автомобилей.
Какое количество воды река Миссисипи проносит в течение часа мимо Нового Орлеана?
Возможно два подхода. Первый предполагает прямую оценку ширины реки Миссисипи около Нового Орлеана, ее средней глубины и скорости течения реки. Если вы можете оценить эти числа в футах и футах в час, то все, что вам нужно сделать, — это перемножить эти три числа для того, чтобы получить ответ (в кубических футах в час). Однако большинство людей (может быть, только за исключением тех, кто живет в дельте Миссисипи) не имеет ни малейшего представления об этих числах.
Второй подход подразумевает оценку площади водосбора реки. Вы можете знать или оценить, посмотрев на карту, что река Миссисипи со своими притоками собирает осадки примерно с половины территории Соединенных Штатов (и небольшого участка территории Канады). Оцените эту площадь и умножьте ее на среднее количество осадков для данного региона. Это даст вам объем воды, которая выпадает на этой площади в виде осадков в течение года. Почти вся эта вода в конце концов попадает в Миссисипи, за исключением той воды, которая испаряется. Вы должны сделать на это поправку, и большинство людей абсолютно не подозревает, какого порядка эта поправка должна быть.
Начнем с первого подхода, который кажется более простым. По крайней мере нужно найти всего три числа.
Насколько широка река Миссисипи в Новом Орлеане? На подробных картах нижнее течение реки Миссисипи изображается не синей линией — оно скорее похоже на озеро. Предположим, что ширина этого «озера» примерно две мили. Тогда в футах у нас получается удобная «круглая» цифра — 10 тыс. футов.
В воде Миссисипи очень много примесей, которые выпадают в виде осадков в дельте реки. Поэтому маловероятно, что река в дельте глубока. Кроме того, русло реки в ее нижнем течении не раз менялось — это бы вряд ли произошло, если бы река была глубокой.
Итак, река мелкая. Но насколько мелкая? Один фут? Десять футов? Сто футов? Вряд ли это один фут.
Если бы река была такой мелкой, ее можно было бы легко переходить вброд, и вы бы услышали об этом «удивительном факте»: мол, глубина Могучей Миссисипи — всего один фут.
10 футов (чуть больше трех метров) — это также мелко, но более вероятно. Специалисты по английской филологии, которые хотят стать менеджерами программ в Microsoft,могут припомнить, что «Марк Твен» (« mark twain») на жаргоне речников во времена писателя означало «отметка два», или глубину в 12 футов (примерно 3,7 метра). «Марк Твен» также означало, что глубина достаточна для свободного прохода речных судов. Это была важная информация, потому что во многих местах Миссисипи была более мелкой.Так что десять футов — это вполне приемлемая оценка.
Последний параметр, который нужно оценить, — это скорость течения реки. Еще раз вспомните о речных судах. Даже после появления паровых двигателей они оставались медлительным транспортным средством по сравнению с автомобилями. Реалистичная оценка скорости течения — 10 миль в час. Это примерно 50 тыс. футов в час. Таким образом, ответ на задачу: 10 000 х 10 х 50 000 = 5 миллиардов кубических футов воды в час.
Реальный сток воды Миссисипи трудно измерить, и он существенно зависит от времени года и количества осадков. В энциклопедии Encarta,которая издается корпорацией Microsoft,приводится такая уверенная оценка с точностью до трех знаков — 593 тыс. кубических футов воды в секунду. Еще один авторитетный веб-сайт предлагает оценку в 14 тыс. кубических метров в секунду. Это примерно 490 тыс. кубических футов в секунду. В других источниках приводится более консервативная оценка — 1 миллион кубических футов в секунду. Это эквивалентно 3,6 миллиарда кубических футов воды в час.
Сколько весит весь лед на хоккейном катке?
Хоккейный каток имеет размеры примерно 100 на 200 футов. Его толщина — примерно один дюйм. Давайте все переведем в дюймы: 1000 х 2000 х 1 — в итоге получаем 2 миллиона кубических дюймов льда.
Сколько весит кубический дюйм льда? Немного меньше, чем кубический дюйм воды. Вероятно, легче будет вести расчеты в метрической системе. Кубический сантиметр воды весит один грамм. Дюйм — это примерно 2,5 сантиметра, таким образом, один кубический дюйм (мы специально округляем для приблизительных расчетов в уме) — это 2хЗх2,5 = 3x5 = 15 кубических сантиметров. Это значит, что объем льда на катке — это 15x2 миллиона = 30 миллионов кубических сантиметров и его вес — такое же количество граммов, или 30 000 килограммов, или 60 000 фунтов.
По правилам НХЛ, хоккейный каток — это овал 85 на 200 футов с закругленными углами радиусом 28 футов. Толщина льда обычно один дюйм. Если вы используете эти точные цифры для вычислений, то вес воды, необходимой для заливки льда на катке этих размеров, можно оценить в 38 500 килограммов, но, учитывая меньшую плотность льда по сравнению с водой, его вес будет меньше — примерно 35 200 килограммов. Как видите, наша догадка была достаточно близка к этой цифре.
Если вам придется упразднить один из пятидесяти штатов США, какой штат вы выберете?
Популярные ответы: Аляска, Гавайи, Северная Дакота.
Плохой ответ: Вашингтон.
Самый плохой ответ: Я бы упразднил все.
Это один из самых известных примеров неточно сформулированных задач, используемых Microsoft.Это не то же самое, что спросить, какой у вас любимой цвет. Они хотят, чтобы вы так переформулировали вопрос, чтобы на него стало возможным дать «правильный ответ», который можно было бы найти при помощи логики.
От вас не требуется дать ответ с ходу. Вы можете представить интервьюеру свой ход рассуждений и только в самом конце выбрать штат. Вот обсуждение и обобщение подходов, которые получили одобрение интервьюеров.
Центральный вопрос: что произойдет с людьми,которые живут в упраздненном штате? Мы собираемся сбросить на него атомную бомбу? Пускай вариант (а) — это такая ситуация, когда, «упраздняя» штат, мы уничтожаем и все его население. Тогда у нас появляется моральное обязательство минимизировать людские потери.
Вариант (b) — население просто «исчезает». Их не убивают — их просто больше нет на свете. Может быть, это похоже на ситуацию из известного фантастического рассказа, в котором некто отправляется в прошлое и наступает на бабочку… а потом возвращается и обнаруживает, что штат, из которого он отправился в путешествие во времени, и его население исчезли и просто никогда не существовали.На всех флагах — только сорок девять звезд, а исчезнувший штат не упоминается ни в одной из энциклопедий.
Вариант (с) — исчезает только недвижимость, а люди уцелели. Эти уцелевшие люди, ставшие бездомными беженцами, сидят около огромной дыры, оставшейся на месте исчезнувшего штата, и раздумывают о том, где они будут сегодня ночевать. Этих людей придется переселять, что обойдется недешево (корпорации Microsoft.Федеральному правительству?).
Вариант (d) — люди «магическим способом» переносятся в какое-то другое место безо всяких эмоциональных или финансовых издержек. Просто нажимается кнопка, и все бывшие жители упраздненного штата получают дом и работу (предполагается, что они у них были и раньше) в каком-то из сохранившихся сорока девяти штатов, причем права «старожилов» штата, который станет для них рбдньгм, никак не ущемляются.
Вариант (е) — не исчезают ни люди, ни недвижимость. «Упразднение» штата — это чисто политическое решение. Упраздненный штат присоединяется к Канаде или Мексике или становится независимым государством.
Выбор в случае (а) достаточно очевиден. Если люди погибнут, то вы должны выбрать самый малонаселенный штат. Согласно переписи 2000 года, таким штатом был Вайоминг.
Вариант (b) — это тяжелый случай. Люди просто исчезают непонятно как, и для решения нет никаких моральных ориентиров. И все же эти люди — живые души, пока вы не нажмете на кнопку вашего «упразднителя истории». Это все равно очень похоже на убийство, и снова нужно, вероятно, выбирать Вайоминг.
Дилемма в случае (с) заключается в том, стоит ли подумать о выборе более населенного, чем Вайоминг, штата, учитывая природные красоты последнего. Вайоминг — это большой штат с красивым ландшафтом, и именно там расположен Йеллоустонский национальный парк с его знаменитыми секвойями. Чтобы все это сохранить, вы можете предпочесть переселить жителей более населенного, но меньшего по размеру и/или менее живописного штата.
По данным переписи 2000 года, пять штатов с наименьшим населением — это Вайоминг, Вермонт, Аляска, Северная Дакота и Южная Дакота. Вермонт и Аляска — тоже живописные штаты, кроме того, Аляска обладает огромной территорией. В Южной Дакоте есть гора Рашмор. В Северной Дакоте… да, в Северной Дакоте нетгоры Рашмор. Этот штат «выделяется» среди других тем, что трудно представить себе жителя какого-то другого штата, который сознательно решил бы провести в Северной Дакоте свой отпуск (есть даже такая шутка: дерево, символизирующее Северную Дакоту, — это телеграфный столб). Да и другие равнинные штаты не могут похвастаться интересным рельефом или лесами, но в Северной Дакоте кроме всего прочего еще и самая суровая зима — даже более суровая, чем в наиболее населенных районах Аляски.
Итак, в варианте (с) — никого не убивают, но нужно платить за переезд людей из упраздненного штата. Конечно, стоит пойти на несколько большие расходы, но сохранить Йелоустон, или лыжные курорты Вермонта, или Аляску, или гору Рашмор. Без Северной Дакоты можно обойтись.
В варианте (d) перевозка населения проводится при помощи магии и абсолютно бесплатна — тем больше причин упразднить именно Северную Дакоту.
Наконец, в варианте (е) сохраняются и люди, и территория. Мы просто меняем политическую карту. Тут стоит подумать об Аляске и Гавайях. И тот, и другой штаты отделены от основной материковой территории США. Некоторые люди скажут, что сохранение этих территорий — это наследие колониализма. Если вас в первую очередь интересует, как выглядят страны на географических картах — стоит выбрать или Аляску, или Гавайи.
Но признайте: если Конгрессу действительно придется обсуждать решение, какой из штатов упразднить, — географические соображения будут учитываться в последнюю очередь. Аляска богата нефтью и полезными ископаемыми. Гавайи — это то место, куда отправляются проводить отпуск жители континентальных штатов США. Оба эти штата стратегически важны. Поэтому об их упразднении не пойдет и речи.
Как и в вариантах (с) и (d), выбор будет сделан между штатами, которые уступают другим по численности населения и богатству природных ресурсов. Так что опять всплывет Северная Дакота, которая к тому же расположена на границе с Канадой. Предложите этот штат Канаде, а если Канаде он не нужен, что ж, пускай Северная Дакота станет независимым государством.
Сколько мест на земном шаре, где, если вы пройдете одну милю на юг, одну милю на восток и одну милю на север, вы вернетесь в то место, откуда вы отправлялись в путь?
Система оценок, которую используется Microsoftдля оценки ответов на этот вопрос, примерно такова:
0 таких мест — не принимать на работу;
1 такое место — не принимать на работу;
бесконечно + еще одно место — удовлетворительно;
бесконечно х бесконечно + еще одно место — правильный ответ.
Начнем с воображаемой карты: одна миля на юг, одна на восток и одна на север — это три стороны квадрата. Вы окажетесь в точке, которая будет расположена на одну милю восточнее, чем ваше место старта. Эта ситуация может вам показаться неразрешимой, и вы поспешите заявить, что таких мест на земле нет.
Попробуйте-ка еще один раз. Единственный способ разрешить эту ситуацию — вспомнить о том, что направление, которое указывает стрелка компаса, — это явление относительное, поскольку мы живем на поверхности сферы. На Северном полюсе любоегоризонтальное направление указывает на юг. Если вы стартуете на Северном полюсе, вы можете пройти милю в любомнаправлении, и это будет считаться движением на юг. Более того, следующая миля пути на восток будет расположена по окружности вокруг Северного полюса. У вас получится именно так, если вы не только изначально направитесь на восток, но и будете постоянно корректировать свое направление движения, чтобы все время идти строго на восток. Тогда у вас будет возможность на финальном отрезке идти прямо к Северному полюсу и вернуться туда, откуда вы отправились. Таким образом, ваш маршрут будет напоминать «треугольный кусок пирога», а не разомкнутый квадрат.
Итак, первая возможная точка — это Северный полюс. Обратите внимание на то, что Южный полюс для решения этой задачи не подходит. На Южном полюсе любое направление ведет на север, поэтому там вы просто не сможете двигаться на юг.
Вы можете решить, что правильный ответ — есть одно такое место, и вы снова будете не правы. Не правы потому, что такой маршрут может начаться и в точке, расположенной поблизостиот Южного полюса. Представьте, что вы стартуете в точке, которая расположена на расстоянии чуть больше мили от Южного полюса. Вы пройдете одну милю на юг, потом повернете на 90 градусов и отправитесь на восток, при этом вы опишете полную окружность длиной в одну милю вокруг полюса, направляясь все время строго на восток, и, наконец, пройдете милю на север и вернетесь в исходную точку.
Такая точка не одна — таких точек бесконечное количество. Вы можете отправиться из любой точки, которая находится на подходящем расстоянии от Южного полюса. Такие точки расположены на окружности, центр которой — Южный полюс.
Что такое «подходящее расстояние»? Окружность длиной в одну милю должна иметь радиус 1/2Пи мили. Стартовая точка маршрута должна располагаться еще на одну милю дальше от полюса, то есть на расстоянии в 1+1/2Пи мили от него, или примерно в 1,159 мили.
Но и это еще не все. Допустим, вы стартуете чуть ближе к полюсу. Вы идете одну милю на юг, а потом идете строго на восток по меньшей окружности, длина которой 1/2 мили. Вы дважды совершите полный круг, а потом пройдете еще одну милю на север и вернетесь в исходную точку. Таких точек опять-таки бесконечное множество, и они расположены на расстоянии в 1 + 1/4Пи мили от полюса.
Вы также можете выбрать такой маршрут, чтобы на втором этапе пройти вокруг полюса три раза, четыре раза и вообще любое целое число Пи раз. Каждый раз эти точки также будут расположены на окружности, центр которой полюс, а радиус — 1 + 1/2Пи мили. Таким образом, подобных точек — бесконечное множество, и расположены они на бесконечном количестве окружностей, расположенных концентрически вокруг полюса.
Эта задача — вариация на тему одной из самых известных в мире головоломок. В ней путешественник проходит удовлетворяющий решению задачи маршрут и по пути убивает медведя. Нужно ответить на вопрос о том, какого цвета был медведь. Ответ — это был белый медведь, так как у Северного полюса живут только белые медведи. В конце 1950-х годов Мартин Гарднер написал, что «недавно один человек понял, что Северный полюс — не единственный правильный ответ на эту старинную загадку». [136]На самом деле «новые» ответы не подходят для старинной головоломки, потому что в Антарктике нет наземных млекопитающих, включая медведей.
Сколько раз в течение суток перекрываются часовая и минутная стрелки?
Большинство людей сразу же понимает, что ответ должен быть 24 плюс-минус. Все проблема как раз в том, чтобы вычислить этот плюс-минус.
Сначала обратите внимание, что перекрытие стрелок — это абсолютно предсказуемое явление. Обе стрелки движутся с постоянной скоростью, следовательно, интервал времени между двумя последовательными перекрытиями постоянный.
Этот постоянный интервал чуть более часа. В полночь часовая и минутная стрелки точно совпадают. Минутной стрелке требуется ровно шестьдесят минут, чтобы описать полный круг, за то же самое время часовая стрелка проходит 1/12 часть круга и находится на отметке 1 час. Чтобы добраться до отметки 1 час, минутной стрелке потребуется пять минут, но за это время часовая стрелка еще немного продвинется вперед…