25. — Мне только что пришел в голову еще один вопрос, — сказал Мак-Каллох. — Пусть для любого числа X величина X обозначает обращение этого X. Можешь ли ты найти такое число X, которое порождает Х67? (Иначе, существует ли такое число X, которое порождает обращение числа X, за которым следует число 67?) В общем виде этот вопрос можно сформулировать так: действительно ли для любого числа А существует некоторое число X, которое порождает ХА?
26. — Мне в голову пришел еще один вопрос, — сказал Мак-Каллох. — Существует ли такое число X, которое порождает повторение числа Х67? Или, в более общем виде: действительно ли для любого числа А существует такое число X, которое порождает повторение числа ХА? Или, если задать вопрос в еще более общем виде: действительно ли для любого числа А и для любого операционного числа М должно существовать некоторое число X, которое порождает м(ХА)?
Обсуждение
Принцип Крейга справедлив не только для второй машины Мак-Каллоха, но и для первой — а в сущности и для любой машины, в которую заложены правила 1 и 2. Это означает, что, как бы мы ни расширяли первую машину Мак-Каллоха, вводя в нее новые правила, работа результирующего устройства все равно будет подчиняться принципу Крейга (а фактически обоим его принципам).
Первый принцип Крейга связан с одним из знаменитых результатов теории вычислимых функций, известным под названием теоремы о рекурсии (или, как ее иногда называют, теоремы о неподвижной точке). С помощью правил 1 и 2, предложенных Мак-Каллохом, этот результат получается, пожалуй, наиболее простым способом. Кроме того, эти правила обладают еще одним занятным свойством (связанным уже с другим знаменитым результатом теории вычислимых функций, известным под названием теоремы о двойной рекурсии), о котором пойдет речь в следующей главе. Наконец, все эти сведения имеют отношение к теории самовоспроизводящихся машин и теории клонирования.
Первый принцип Крейга связан с одним из знаменитых результатов теории вычислимых функций, известным под названием теоремы о рекурсии (или, как ее иногда называют, теоремы о неподвижной точке). С помощью правил 1 и 2, предложенных Мак-Каллохом, этот результат получается, пожалуй, наиболее простым способом. Кроме того, эти правила обладают еще одним занятным свойством (связанным уже с другим знаменитым результатом теории вычислимых функций, известным под названием теоремы о двойной рекурсии), о котором пойдет речь в следующей главе. Наконец, все эти сведения имеют отношение к теории самовоспроизводящихся машин и теории клонирования.
Решения
1. — С помощью твоей теперешней машины можно получить бесконечное множество чисел, которые порождают сами себя, — сказал Крейг.
— Это верно, — согласился Мак-Каллох. — Но как ты это докажешь?
— Начнем с того, — сказал Крейг, — что будем называть некое число SA числом, если оно обладает тем свойством, что для любых чисел X и У в случае, если X порождает V, число SX порождает ассоциат У. До того как ты ввел свое новое правило, единственным А-числом у нас было число 3. Однако для твоей нынешней машины существует бесконечное множество А-чисел, причем для любого А-числа S число S2S обязательно должно порождать само себя, поскольку число S2S порождает ассоциат числа S, который и есть S2S.
А как ты догадался, что существует бесконечное множество А-чисел? — спросил Мак-Каллох.
Ну, во-первых, — ответил Крейг, — надеюсь, ты не будешь возражать, что при любых числах X и У, если число X порождает У, то число 44Х будет также порождать У?
— Удачное наблюдение! — воскликнул Мак-Каллох. — Конечно, ты прав: ведь если X порождает У, то число 4Х порождает обращение числа У, а значит, число 44 X должно порождать обращение обращения У — то есть само это число У.
— Прекрасно, — продолжал Крейг. — Таким образом, если X порождает У, то число 44Х будет тоже порождать У, и поэтому число 344Х будет порождать ассоциат числа У. Значит, 344 тоже представляет собой А-число. А раз 344 — это А-число, то число 3442344 должно также порождать само себя!
— Замечательно, — сказал Мак-Каллох, — теперь у нас есть уже два числа — 323 и 3442344, которые порождают сами себя. Но разве это позволяет нам сделать вывод о бесконечном множестве таких чисел?
— Видишь ли, — сказал Крейг, — если число S является А-числом, то А-числом должно быть также и число S44, поскольку для любых чисел X и У, если X порождает У, то число 44Х тоже порождает У, а значит, число S44X порождает ассоциат У, поскольку S по условию есть А-число. Таким образом, А-числами являются такие числа, как 3, 344, 34444, и вообще А-числом является любое число, состоящее из тройки, за которой следует любое четное число четверок. Итак, число 323 порождает само себя; то же самое можно сказать о числах 3442344, 34444234444 и т. д. Следовательно, мы действительно имеем бесконечное множество решений.
— Но, между прочим, — добавил Крейг, — ведь существуют и другие решения. Например, числа 443 и 44443 тоже представляют собой А-числа. А-числом является также любое число, состоящее из четного числа четверок, тройки и опять четного числа четверок, как, например, число 4434444,— ведь для любого такого числа S число S2S порождает самое себя.
2. Одно из решений — это число 43243. В самом деле, поскольку число 243 порождает 43, то число 3243 порождает ассоциат числа 43. Значит, число 43243 должно порождать обращение ассоциата числа 43, другими словами, обращение числа 43243 (поскольку число 43243 — это ассоциат числа 43). Итак, число 43243 порождает обращение самого себя.
Здесь читатель может поинтересоваться, а как же все-таки было найдено само число 43243. Может, с помощью сравнения соответствующих относительных длин? Нет, для доказательства свойств, относящихся к нынешней машине, метод сравнения относительных длин оказывается слишком громоздким. Как будет показано в конце этой главы, решение было найдено именно с помощью принципа Крейга.
3. Одним из решений является число 3432343. Мы предоставляем читателю самому найти число, порождаемое числом 3432343, и убедиться, что оно действительно представляет собой ассоциат обращения числа 3432343. (Это решение также было найдено с помощью принципа Крейга.)
4. Подходит, например, число 53253. (Оно получено опять же с помощью принципа Крейга.)
5. Одно из решений — число 4532453.
6. Другое решение — это число 5432543.
7. Решение очевидно — в том, конечно, случае, если нам известно, что некое число порождает само себя. При этом если X порождает X, то ясно, что 5Х порождает повторение X. Так, например, число 5323 порождает повторение числа 323.
8. Одно из решений — число 5332533. (Опять принцип Крейга!)
9. Одно из решений — число 3532353; оно тоже найдено с помощью принципа Крейга. (Надеюсь, я заинтриговал читателя этим принципом!)
10. 5(5) = 55. [Так как 5(5) — это повторение числа 5.] Поэтому возьмем число 5 в качестве М и число 5 в качестве X. (Ведь я не утверждал, что М и X должны быть разными числами.)
11. 4(4) = 4. [Поскольку 4(4) — это обращение числа 4, которое также равно 4.] Таким образом, М = 4 является одним из решений. (Фактически в качестве решения подойдет любая цепочка четверок.)
12. Возьмем М=3 и А=2. [3(2)=222].
13. 4(6)=6, а 6=4+2, поэтому 4(6)=4+2. Итак, М=4, а Х=2.
14. Одно из решений: М=55, Х=55.
15. Одно из решений: М=4, N=44.
16. Одно из решений: М=5, N=55.
17. Одно из решений: М=5, N=4.
18. Одно из решений: М=3, N=5.
19. Одно из решений: М=55, N=45.
20. Пусть М—любое операционное число. Мы знаем (утверждение 1), что в случае любых чисел Y и Z, если У порождает Z, MY порождает M(Z). Поэтому (принимая MY в качестве Z), если У порождает MY, то MY должно порождать M(MY). Таким образом, если вы брать МУ в качестве X, то число X будет порождать
М(Х). Итак, наша задача сводится к нахождению такого числа У, которое порождает МУ. Но эта задача уже была решена в предыдущей главе (с помощью закона Мак-Каллоха): надо просто взять в качестве У число 32МЗ. Итак, за X мы принимаем число М32МЗ, причем это X будет порождать М(Х). Проверим полученный результат: в самом деле, пусть Х=М32МЗ. Но поскольку число 2МЗ порождает число МЗ, то число 32МЗ порождает число М32МЗ (согласно правилу 2), и, следовательно, число М32МЗ будет порождать М(М32МЗ). Таким образом, действительно X порождает М(Х), где X—число М32МЗ.
Рассмотрим теперь некоторые приложения. Для того чтобы найти некое число X, порождающее повторение X, примем 5 в качестве М; тогда сразу получаем решение (а точнее, одно из решений) — число 53253. Для того чтобы найти число X, порождающее обращение самого себя, положим М = 4; тогда X есть число 43243. Для того чтобы найти число X, которое порождало бы ассоциат обращения X, выберем в качестве М число 34; отсюда возможное решение — число 3432343.
Для решения первой задачи Мак-Каллоха (найти число X, которое порождает повторение обращения ассоциата X) выберем в качестве М число 543 (5 — для получения повторения, 4 — для получения обращения и 3 — для получения ассоциата); решением в данном случае является число 543325433. (Читатель может легко удостовериться непосредственно, что число 543325433 действительно порождает повторение обращения ассоциата числа 543325433.)
Для решения второй задачи Мак-Каллоха (найти число X, которое порождает ассоциат повторения обращения X) возьмем в качестве М число 354; в результате получим решение — число 354323543.
Да, действительно, принцип Крейга великолепно работает в этих ситуациях!
21, 22, 23, 24. Задачи 21, 22 и 23 являются частными случаями задачи 24, поэтому мы начнем прямо с последней из них.
Пусть нам дано операционное число М и произвольное число А, причем мы хотим найти некое число X, которое порождает М(АХ). Вся штука теперь состоит в гом, чтобы найти такое число У, которое не порождает MY, однако порождает AMY. Возьмем в качестве У число 32АМЗ. Поскольку У порождает AMY, тогда MY в соответствии с утверждением 1 должно порождать M(AMY). Значит, если принять за X величину MY, то X будет порождать М(АХ). Но поскольку мы выбрали в качестве У число 32АМЗ, то число X в (данном случае будет равно М32АМЗ. Итак, искомое решение — число вида М32АМЗ.
Попробуем применить этот результат к решению задачи 21. Прежде всего отметим, что число 7X7X— это просто повторение 7X, так что мы ищем некое число X, которое порождает повторение IX—или повторение АХ, если считать А равным 7. Итак, А — это 7, а за М, очевидно, можно принять число 5 (поскольку 5 представляет собой операцию повторения); поэтому решением будет число 532753. (Читатель легко может убедиться сам, что число 532753 действительно порождает повторение числа 7532753.) Для задачи 22 в качестве А возьмем 9, а в качестве М примем 4, тогда решение — число 432943. Для задачи 23 в качестве А выберем 89, а в качестве М — число 3; решением будет 3328933.
25. Да, для любого числа А существует некое число X, которое порождает Х Г, а именно 432/443. (В данной конкретной задаче, для которой А = 67, имеем Г = 76, так что решением будет число 4327643.)
26. При рассмотрении наиболее общего случая самое главное — понять, что ХГ — это обращение ~АХ, и по этому М(ХА) = М4(АХ). Согласно второму принципу Крейга, числом X, порождающим М4(А~Х), является число М432ГМ43 — оно и будет решением дайной задачи. В частном случае, если вместо М взять 5, а вместо А — 67, числом X, порождающим повторение ~Х67, будет число 543276543 (в чем читатель может легко убедиться сам).
— Это верно, — согласился Мак-Каллох. — Но как ты это докажешь?
— Начнем с того, — сказал Крейг, — что будем называть некое число SA числом, если оно обладает тем свойством, что для любых чисел X и У в случае, если X порождает V, число SX порождает ассоциат У. До того как ты ввел свое новое правило, единственным А-числом у нас было число 3. Однако для твоей нынешней машины существует бесконечное множество А-чисел, причем для любого А-числа S число S2S обязательно должно порождать само себя, поскольку число S2S порождает ассоциат числа S, который и есть S2S.
А как ты догадался, что существует бесконечное множество А-чисел? — спросил Мак-Каллох.
Ну, во-первых, — ответил Крейг, — надеюсь, ты не будешь возражать, что при любых числах X и У, если число X порождает У, то число 44Х будет также порождать У?
— Удачное наблюдение! — воскликнул Мак-Каллох. — Конечно, ты прав: ведь если X порождает У, то число 4Х порождает обращение числа У, а значит, число 44 X должно порождать обращение обращения У — то есть само это число У.
— Прекрасно, — продолжал Крейг. — Таким образом, если X порождает У, то число 44Х будет тоже порождать У, и поэтому число 344Х будет порождать ассоциат числа У. Значит, 344 тоже представляет собой А-число. А раз 344 — это А-число, то число 3442344 должно также порождать само себя!
— Замечательно, — сказал Мак-Каллох, — теперь у нас есть уже два числа — 323 и 3442344, которые порождают сами себя. Но разве это позволяет нам сделать вывод о бесконечном множестве таких чисел?
— Видишь ли, — сказал Крейг, — если число S является А-числом, то А-числом должно быть также и число S44, поскольку для любых чисел X и У, если X порождает У, то число 44Х тоже порождает У, а значит, число S44X порождает ассоциат У, поскольку S по условию есть А-число. Таким образом, А-числами являются такие числа, как 3, 344, 34444, и вообще А-числом является любое число, состоящее из тройки, за которой следует любое четное число четверок. Итак, число 323 порождает само себя; то же самое можно сказать о числах 3442344, 34444234444 и т. д. Следовательно, мы действительно имеем бесконечное множество решений.
— Но, между прочим, — добавил Крейг, — ведь существуют и другие решения. Например, числа 443 и 44443 тоже представляют собой А-числа. А-числом является также любое число, состоящее из четного числа четверок, тройки и опять четного числа четверок, как, например, число 4434444,— ведь для любого такого числа S число S2S порождает самое себя.
2. Одно из решений — это число 43243. В самом деле, поскольку число 243 порождает 43, то число 3243 порождает ассоциат числа 43. Значит, число 43243 должно порождать обращение ассоциата числа 43, другими словами, обращение числа 43243 (поскольку число 43243 — это ассоциат числа 43). Итак, число 43243 порождает обращение самого себя.
Здесь читатель может поинтересоваться, а как же все-таки было найдено само число 43243. Может, с помощью сравнения соответствующих относительных длин? Нет, для доказательства свойств, относящихся к нынешней машине, метод сравнения относительных длин оказывается слишком громоздким. Как будет показано в конце этой главы, решение было найдено именно с помощью принципа Крейга.
3. Одним из решений является число 3432343. Мы предоставляем читателю самому найти число, порождаемое числом 3432343, и убедиться, что оно действительно представляет собой ассоциат обращения числа 3432343. (Это решение также было найдено с помощью принципа Крейга.)
4. Подходит, например, число 53253. (Оно получено опять же с помощью принципа Крейга.)
5. Одно из решений — число 4532453.
6. Другое решение — это число 5432543.
7. Решение очевидно — в том, конечно, случае, если нам известно, что некое число порождает само себя. При этом если X порождает X, то ясно, что 5Х порождает повторение X. Так, например, число 5323 порождает повторение числа 323.
8. Одно из решений — число 5332533. (Опять принцип Крейга!)
9. Одно из решений — число 3532353; оно тоже найдено с помощью принципа Крейга. (Надеюсь, я заинтриговал читателя этим принципом!)
10. 5(5) = 55. [Так как 5(5) — это повторение числа 5.] Поэтому возьмем число 5 в качестве М и число 5 в качестве X. (Ведь я не утверждал, что М и X должны быть разными числами.)
11. 4(4) = 4. [Поскольку 4(4) — это обращение числа 4, которое также равно 4.] Таким образом, М = 4 является одним из решений. (Фактически в качестве решения подойдет любая цепочка четверок.)
12. Возьмем М=3 и А=2. [3(2)=222].
13. 4(6)=6, а 6=4+2, поэтому 4(6)=4+2. Итак, М=4, а Х=2.
14. Одно из решений: М=55, Х=55.
15. Одно из решений: М=4, N=44.
16. Одно из решений: М=5, N=55.
17. Одно из решений: М=5, N=4.
18. Одно из решений: М=3, N=5.
19. Одно из решений: М=55, N=45.
20. Пусть М—любое операционное число. Мы знаем (утверждение 1), что в случае любых чисел Y и Z, если У порождает Z, MY порождает M(Z). Поэтому (принимая MY в качестве Z), если У порождает MY, то MY должно порождать M(MY). Таким образом, если вы брать МУ в качестве X, то число X будет порождать
М(Х). Итак, наша задача сводится к нахождению такого числа У, которое порождает МУ. Но эта задача уже была решена в предыдущей главе (с помощью закона Мак-Каллоха): надо просто взять в качестве У число 32МЗ. Итак, за X мы принимаем число М32МЗ, причем это X будет порождать М(Х). Проверим полученный результат: в самом деле, пусть Х=М32МЗ. Но поскольку число 2МЗ порождает число МЗ, то число 32МЗ порождает число М32МЗ (согласно правилу 2), и, следовательно, число М32МЗ будет порождать М(М32МЗ). Таким образом, действительно X порождает М(Х), где X—число М32МЗ.
Рассмотрим теперь некоторые приложения. Для того чтобы найти некое число X, порождающее повторение X, примем 5 в качестве М; тогда сразу получаем решение (а точнее, одно из решений) — число 53253. Для того чтобы найти число X, порождающее обращение самого себя, положим М = 4; тогда X есть число 43243. Для того чтобы найти число X, которое порождало бы ассоциат обращения X, выберем в качестве М число 34; отсюда возможное решение — число 3432343.
Для решения первой задачи Мак-Каллоха (найти число X, которое порождает повторение обращения ассоциата X) выберем в качестве М число 543 (5 — для получения повторения, 4 — для получения обращения и 3 — для получения ассоциата); решением в данном случае является число 543325433. (Читатель может легко удостовериться непосредственно, что число 543325433 действительно порождает повторение обращения ассоциата числа 543325433.)
Для решения второй задачи Мак-Каллоха (найти число X, которое порождает ассоциат повторения обращения X) возьмем в качестве М число 354; в результате получим решение — число 354323543.
Да, действительно, принцип Крейга великолепно работает в этих ситуациях!
21, 22, 23, 24. Задачи 21, 22 и 23 являются частными случаями задачи 24, поэтому мы начнем прямо с последней из них.
Пусть нам дано операционное число М и произвольное число А, причем мы хотим найти некое число X, которое порождает М(АХ). Вся штука теперь состоит в гом, чтобы найти такое число У, которое не порождает MY, однако порождает AMY. Возьмем в качестве У число 32АМЗ. Поскольку У порождает AMY, тогда MY в соответствии с утверждением 1 должно порождать M(AMY). Значит, если принять за X величину MY, то X будет порождать М(АХ). Но поскольку мы выбрали в качестве У число 32АМЗ, то число X в (данном случае будет равно М32АМЗ. Итак, искомое решение — число вида М32АМЗ.
Попробуем применить этот результат к решению задачи 21. Прежде всего отметим, что число 7X7X— это просто повторение 7X, так что мы ищем некое число X, которое порождает повторение IX—или повторение АХ, если считать А равным 7. Итак, А — это 7, а за М, очевидно, можно принять число 5 (поскольку 5 представляет собой операцию повторения); поэтому решением будет число 532753. (Читатель легко может убедиться сам, что число 532753 действительно порождает повторение числа 7532753.) Для задачи 22 в качестве А возьмем 9, а в качестве М примем 4, тогда решение — число 432943. Для задачи 23 в качестве А выберем 89, а в качестве М — число 3; решением будет 3328933.
25. Да, для любого числа А существует некое число X, которое порождает Х Г, а именно 432/443. (В данной конкретной задаче, для которой А = 67, имеем Г = 76, так что решением будет число 4327643.)
26. При рассмотрении наиболее общего случая самое главное — понять, что ХГ — это обращение ~АХ, и по этому М(ХА) = М4(АХ). Согласно второму принципу Крейга, числом X, порождающим М4(А~Х), является число М432ГМ43 — оно и будет решением дайной задачи. В частном случае, если вместо М взять 5, а вместо А — 67, числом X, порождающим повторение ~Х67, будет число 543276543 (в чем читатель может легко убедиться сам).
Законы Фергюссона
А сейчас мы перейдем к рассказу о еще более интересных событиях, связанных с машинами Мак-Каллоха. Недели две спустя Мак-Каллох получил от Крейга письмо следующего содержания:
— Я слышал, вы построили несколько логических машин, — сказал Мак-Каллох. — Интересно было узнать о них поподробнее. Может быть, вы расскажете, как они работают?
— О, это долгий разговор, — отвечал Фергюссон. — К тому же я до сих пор не нашел ответа на один очень важный вопрос, связанный с их работой. Может, вы с Крейгом зайдете как-нибудь ко мне в лабораторию? Тогда я вам обо всем и расскажу. А сегодня я предпочел бы поговорить о ваших машинах. Несколько дней назад я рассказывал Крейгу, что у них обнаружились некоторые свойства, о которых, мне кажется, вы и не подозреваете.
— Что же это за свойства? — спросил Мак-Каллох.
1. — Ну что ж, — сказал Фергюссон, — давайте начнем с конкретного вопроса, относящегося к вашей второй машине. Пусть имеются некие числа X и У, такие, что число X порождает обращение числа У, а У порождает повторение числа X. Можете ли вы найти эти числа?
Крейга и Мак-Каллоха эта задача чрезвычайно заинтересовала, и они тут же засели за ее решение. Однако ни тому, ни другому это не удалось. Решить эту задачу, конечно, можно, и, вероятно, наш честолюбивый читатель не прочь попробовать сделать это сам. Заметим только, что в основе решения лежит один важный принцип (о котором пойдет речь в этой главе); если знать его, то решение задачи оказывается на удивление простым.
2. — Вы меня просто заинтриговали, — заявил Крейг, когда Фергюссон показал им решение. — Я вижу, что ваше решение правильно, но как вам удалось его найти? Вы просто случайно наткнулись на эти числа X и У или действовали по заранее намеченному плану? Мне, например, это кажется прямо каким-то фокусом.
— Вот именно, — вставил Мак-Каллох. — Так, знаете, фокусник в цирке вытаскивает кролика из шляпы!
— Ага, — засмеялся Фергюссон, явно наслаждаясь произведенным эффектом. — Только не одного, а двух кроликов, и при том они еще некоторым образом влияют друг на друга. Это точно, — сказал Крейг. — Но все же мне бы хотелось знать, как вы догадались, каких именно кроликов надо тащить?
— Прекрасный, ну просто замечательный вопрос! — сияя, воскликнул Фергюссон. — А ну-ка — вот вам еще задачка: найти такие числа X и У, чтобы число X порождало повторение числа У, а число У порождало обращение ассоциата X.
— С меня хватит! — воскликнул Мак-Каллох.
— Минуточку, минуточку, — перебил их Крейг. — Я, кажется, что-то начинаю понимать. Не хотите ли вы сказать, Фергюссон, что для любых двух операций, которые может выполнять машина, то есть для любых двух заданных операционных чисел М и N, должны существовать некие числа X и У, характеризующиеся тем, что X порождает M(Y), а У порождает N(X)?
— Вот именно! — воскликнул Фергюссон. — И поэтому мы можем найти, например, такие числа X и У, для которых X порождает двойной ассоциат У, а У порождает повторение обращения X или любые другие комбинации, какие вы захотите.
— Вот так штука! — изумился Мак-Каллох. — Ведь все это время я пытался придумать машину как раз с таким свойством, а она у меня, оказывается, уже есть!
— Безусловно есть, — подтвердил Фергюссон.
— А как вы докажете это свойство? — спросил Мак-Каллох.
— Я бы хотел начать доказывать его постепенно, — ответил Фергюссон. — Собственно говоря, суть дела заключается в ваших правилах 1 и 2. Поэтому сначала позвольте сделать несколько замечаний относительно вашей первой машины — той, в которой используются только эти два правила. Начнем со следующей простой задачи: можно ли, используя правила 1 и 2, найти два различных числа X и У, таких, чтобы число X порождало У, а число У в свою очередь порождало X?
Крейг и Мак-Каллох тут же занялись этой задачей.
— Ну, конечно, — рассмеялся вдруг Крейг. — Это же очевидно вытекает из того, что совсем недавно показы вал мне Мак-Каллох.
А вы можете найти эти числа?
— Теперь, — сказал Фергюссон, — для любого числа А существуют такие числа X и У, что X порождает У, а число У порождает АХ. Если число А нам задано, то можете ли вы найти числа X и У? Например, можете ли вы найти такие X и У, чтобы X порождало У, а У порождало 7X7
— Мы все еще пользуемся только правилами 1 и 2 или уже можно применять правила 3 и 4? — спросил Крейг.
— Вам понадобятся только правила 1 и 2,— ответил Фергюссон.
— Я уже нашел решение! — тут же заявил Крейг.
4. — Интересно, — сказал Мак-Каллох, просмотрев решение Крейга. — А у меня решение другое.
Действительно, в этой задаче существует и второе решение. Можете ли вы его найти?
5. — Ну, а теперь, — сказал Фергюссон, — мы добрались до действительно важного свойства. Так, из одних только правил 1 и 2 следует, что для любых чисел А и В существуют такие числа X и У, при которых X порождает АУ, а У порождает ВХ. Например, существуют такие X и У, что X порождает 7 У, а У порождает 8X. Не можете ли вы найти эти числа?
6. — Из последней задачи, — сказал Фергюссон, — со всей очевидностью следует (правда, из второго принципа Крейга это получается еще более просто), что для любых операционных чисел М и N должны существовать такие числа X и У, при которых X порождает M(Y), а У порождает N(X). Причем это оказывается справедливым не только для данной машины, но и для любой машины, в программу работы которой включены правила 1 и 2. С помощью вашей теперешней машины можно, например, найти такие X и У, при которых число X порождает обращение числа У, а число У порождает ассоциат числа X.
Сумеете ли вы их найти?
7. — Это страшно интересно, — сказал Фергюссону Мак-Каллох, когда они с Крейгом решили последнюю задачу. — Но у меня возник вот какой вопрос: подчиняется ли моя машина «двойному» аналогу второго принципа Крейга? Иначе говоря, если заданы два операционных числа М и N, а также два произвольных числа А и В, то обязательно ли существуют такие числа X и У, при которых X порождает M(AY), а У порождает N(BX)
— Ну, конечно, — подтвердил Фергюссон. — Например, существуют такие числа X и У, при которых число X порождает повторение 7 У, а число У порождает обращение 89X.
Не могли бы вы найти эти числа?
8. — Я подумал еще вот о чем, — сказал Крейг. — Если имеется некоторое операционное число М и произвольное число В, то обязательно ли должны существовать такие числа X и У, при которых X порождает М(Y), а У порождает ВХ? Например, существуют ли такие X и У, при которых число X порождает ассоциат У, а число У порождает число 78 X?
А как думаете вы?
9. — Фактически, — продолжал пояснения Фергюссон, — у нас возможны самые разные комбинации. Так, давая некоторые операционные числа М и N и произвольные числа А и В, всегда можно найти числа X и У, которые отвечают любому из ниже перечисленных условий:
а) X порождает М(АУ) а У порождает N(X);
б) X порождает М(АУ) а У порождает ВХ;
в) X порождает M(Y), а У порождает X;
г) X порождает M(AY), а У порождает X.
Попробуйте доказать эти утверждения.
10. Триплеты и так далее.
— Ну, теперь-то, мне кажется, мы перебрали уже все возможные варианты, — сказал Крейг.
— Да нет, — ответил Фергюссон. — То, что я вам показывал до сих пор, — это еще только начало. А знаете ли вы, например, что существуют три числа X, У и Z, такие, что число X порождает обращение У, число У порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?
— Неужели? — удивился Мак-Каллох.
— Именно так, — подтвердил Фергюссон. — Более того, если заданы три произвольных операционных числа М, N и Р, то должны существовать такие числа X, У и Z, при которых X порождает M(Y), Y порождает N(Z), a Z порождает Р(Х).
Не сумеете ли вы, читатель, доказать это утверждение? И в частности, каковы будут эти числа X, У и Z, если известно, что число X порождает обращение У, число У порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?
После того как Крейг и Мак-Каллох решили и эту задачу, Фергюссон сказал:
— Конечно, тут тоже возможны самые разные варианты этого «тройного» закона. Например, если заданы три любых операционных числа М, N и Р, а также три произвольных числа А, В и С, то существуют такие числа X, У и Z, при которых число X порождает M(AY), число У порождает N(BZ), а число Z порождает Р(СХ). Это справедливо и в том случае, если взять не три числа А, В, С, а любые два из них или даже одно[!Что соответствует случаю, когда одно или два числа из тройки А, В, С мы полагаем равными единице.!]. Так, мы можем найти такие числа X, У и Z, при которых X порождает А У, У порождает M(Z), a Z порождает N(BX). Возможны, естественно, и всякие другие варианты — вы вполне можете заняться ими на досуге.
— Кроме того, — продолжал он, — та же идея действует и тогда, когда мы используем 4 операционных числа или даже более. Например, мы можем найти числа X, У, Z и W, при которых число X порождает 78У, число У порождает повторение Z, число Z порождает обращение W, а число W порождает ассоциат 62Х. Возможности практически бесконечны, причем их удивительное многообразие обусловлено всего лишь правилами 1 и 2.
Мой дорогой Мак-Каллох!Ответ Мак-Каллоха не заставил себя долго ждать:
Я и мой друг Малькольм Фергюссон крайне заинтересовались твоими цифровыми машинами. Кстати, ты случайно не знаком с Фергюссоном? Последнее время он ведет активные исследования в области чистой логики и даже собственноручно построил несколько логических машин. Однако его интересы не ограничиваются этим; так, он весьма интересуется шахматными задачами, относящимися к области так называемого ретроградного анализа. Кроме того, он занимается и чисто комбинаторными задачами, с которыми так успешно справляются твои машины. На прошлой неделе я заглянул к нему в гости и показал все твои задачи — они его очень заинтересовали. Когда через три дня я вновь встретил Фергюссона, он невзначай заметил в разговоре что, по его мнению, обе твои машины обладают некоторыми новыми любопытными свойствами, о которых ты сам как изобретатель, по-видимому, даже не подозреваешь. Выражался он несколько туманно и сказал, что хочет еще поразмыслить обо всем этом.
В следующую пятницу я пригласил Фергюссона пообедать со мной. Не хочешь ли присоединиться к нам? Уверен, что у вас обоих найдется много общих тем для разговора; быть может, мы узнаем, что у него на уме.
В надежде на скорую встречу искренне твой
Л. Крей
Дорогой Крейг!Гости съехались. После превосходного обеда (его приготовила квартирная хозяйка Крейга миссис Хоффман) разговор зашел о математике.
С Малькольмом Фергюссоном я не знаком, но многое слышал о нем от наших общих знакомых. Не учился ли он у известного логика Готлоба Фреге? Насколько мне известно, он занимается некоторыми проблемами, весьма важными для оснований математики, и, конечно, я с удовольствием воспользуюсь возможностью познакомиться с ним лично. Само собой разумеется, мне будет также крайне любопытно узнать его мнение по поводу построенных мною машин. Весьма благодарен тебе за приглашение и с радостью его принимаю.
С глубоким уважением
Н. Мак-Каллох
— Я слышал, вы построили несколько логических машин, — сказал Мак-Каллох. — Интересно было узнать о них поподробнее. Может быть, вы расскажете, как они работают?
— О, это долгий разговор, — отвечал Фергюссон. — К тому же я до сих пор не нашел ответа на один очень важный вопрос, связанный с их работой. Может, вы с Крейгом зайдете как-нибудь ко мне в лабораторию? Тогда я вам обо всем и расскажу. А сегодня я предпочел бы поговорить о ваших машинах. Несколько дней назад я рассказывал Крейгу, что у них обнаружились некоторые свойства, о которых, мне кажется, вы и не подозреваете.
— Что же это за свойства? — спросил Мак-Каллох.
1. — Ну что ж, — сказал Фергюссон, — давайте начнем с конкретного вопроса, относящегося к вашей второй машине. Пусть имеются некие числа X и У, такие, что число X порождает обращение числа У, а У порождает повторение числа X. Можете ли вы найти эти числа?
Крейга и Мак-Каллоха эта задача чрезвычайно заинтересовала, и они тут же засели за ее решение. Однако ни тому, ни другому это не удалось. Решить эту задачу, конечно, можно, и, вероятно, наш честолюбивый читатель не прочь попробовать сделать это сам. Заметим только, что в основе решения лежит один важный принцип (о котором пойдет речь в этой главе); если знать его, то решение задачи оказывается на удивление простым.
2. — Вы меня просто заинтриговали, — заявил Крейг, когда Фергюссон показал им решение. — Я вижу, что ваше решение правильно, но как вам удалось его найти? Вы просто случайно наткнулись на эти числа X и У или действовали по заранее намеченному плану? Мне, например, это кажется прямо каким-то фокусом.
— Вот именно, — вставил Мак-Каллох. — Так, знаете, фокусник в цирке вытаскивает кролика из шляпы!
— Ага, — засмеялся Фергюссон, явно наслаждаясь произведенным эффектом. — Только не одного, а двух кроликов, и при том они еще некоторым образом влияют друг на друга. Это точно, — сказал Крейг. — Но все же мне бы хотелось знать, как вы догадались, каких именно кроликов надо тащить?
— Прекрасный, ну просто замечательный вопрос! — сияя, воскликнул Фергюссон. — А ну-ка — вот вам еще задачка: найти такие числа X и У, чтобы число X порождало повторение числа У, а число У порождало обращение ассоциата X.
— С меня хватит! — воскликнул Мак-Каллох.
— Минуточку, минуточку, — перебил их Крейг. — Я, кажется, что-то начинаю понимать. Не хотите ли вы сказать, Фергюссон, что для любых двух операций, которые может выполнять машина, то есть для любых двух заданных операционных чисел М и N, должны существовать некие числа X и У, характеризующиеся тем, что X порождает M(Y), а У порождает N(X)?
— Вот именно! — воскликнул Фергюссон. — И поэтому мы можем найти, например, такие числа X и У, для которых X порождает двойной ассоциат У, а У порождает повторение обращения X или любые другие комбинации, какие вы захотите.
— Вот так штука! — изумился Мак-Каллох. — Ведь все это время я пытался придумать машину как раз с таким свойством, а она у меня, оказывается, уже есть!
— Безусловно есть, — подтвердил Фергюссон.
— А как вы докажете это свойство? — спросил Мак-Каллох.
— Я бы хотел начать доказывать его постепенно, — ответил Фергюссон. — Собственно говоря, суть дела заключается в ваших правилах 1 и 2. Поэтому сначала позвольте сделать несколько замечаний относительно вашей первой машины — той, в которой используются только эти два правила. Начнем со следующей простой задачи: можно ли, используя правила 1 и 2, найти два различных числа X и У, таких, чтобы число X порождало У, а число У в свою очередь порождало X?
Крейг и Мак-Каллох тут же занялись этой задачей.
— Ну, конечно, — рассмеялся вдруг Крейг. — Это же очевидно вытекает из того, что совсем недавно показы вал мне Мак-Каллох.
А вы можете найти эти числа?
— Теперь, — сказал Фергюссон, — для любого числа А существуют такие числа X и У, что X порождает У, а число У порождает АХ. Если число А нам задано, то можете ли вы найти числа X и У? Например, можете ли вы найти такие X и У, чтобы X порождало У, а У порождало 7X7
— Мы все еще пользуемся только правилами 1 и 2 или уже можно применять правила 3 и 4? — спросил Крейг.
— Вам понадобятся только правила 1 и 2,— ответил Фергюссон.
— Я уже нашел решение! — тут же заявил Крейг.
4. — Интересно, — сказал Мак-Каллох, просмотрев решение Крейга. — А у меня решение другое.
Действительно, в этой задаче существует и второе решение. Можете ли вы его найти?
5. — Ну, а теперь, — сказал Фергюссон, — мы добрались до действительно важного свойства. Так, из одних только правил 1 и 2 следует, что для любых чисел А и В существуют такие числа X и У, при которых X порождает АУ, а У порождает ВХ. Например, существуют такие X и У, что X порождает 7 У, а У порождает 8X. Не можете ли вы найти эти числа?
6. — Из последней задачи, — сказал Фергюссон, — со всей очевидностью следует (правда, из второго принципа Крейга это получается еще более просто), что для любых операционных чисел М и N должны существовать такие числа X и У, при которых X порождает M(Y), а У порождает N(X). Причем это оказывается справедливым не только для данной машины, но и для любой машины, в программу работы которой включены правила 1 и 2. С помощью вашей теперешней машины можно, например, найти такие X и У, при которых число X порождает обращение числа У, а число У порождает ассоциат числа X.
Сумеете ли вы их найти?
7. — Это страшно интересно, — сказал Фергюссону Мак-Каллох, когда они с Крейгом решили последнюю задачу. — Но у меня возник вот какой вопрос: подчиняется ли моя машина «двойному» аналогу второго принципа Крейга? Иначе говоря, если заданы два операционных числа М и N, а также два произвольных числа А и В, то обязательно ли существуют такие числа X и У, при которых X порождает M(AY), а У порождает N(BX)
— Ну, конечно, — подтвердил Фергюссон. — Например, существуют такие числа X и У, при которых число X порождает повторение 7 У, а число У порождает обращение 89X.
Не могли бы вы найти эти числа?
8. — Я подумал еще вот о чем, — сказал Крейг. — Если имеется некоторое операционное число М и произвольное число В, то обязательно ли должны существовать такие числа X и У, при которых X порождает М(Y), а У порождает ВХ? Например, существуют ли такие X и У, при которых число X порождает ассоциат У, а число У порождает число 78 X?
А как думаете вы?
9. — Фактически, — продолжал пояснения Фергюссон, — у нас возможны самые разные комбинации. Так, давая некоторые операционные числа М и N и произвольные числа А и В, всегда можно найти числа X и У, которые отвечают любому из ниже перечисленных условий:
а) X порождает М(АУ) а У порождает N(X);
б) X порождает М(АУ) а У порождает ВХ;
в) X порождает M(Y), а У порождает X;
г) X порождает M(AY), а У порождает X.
Попробуйте доказать эти утверждения.
10. Триплеты и так далее.
— Ну, теперь-то, мне кажется, мы перебрали уже все возможные варианты, — сказал Крейг.
— Да нет, — ответил Фергюссон. — То, что я вам показывал до сих пор, — это еще только начало. А знаете ли вы, например, что существуют три числа X, У и Z, такие, что число X порождает обращение У, число У порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?
— Неужели? — удивился Мак-Каллох.
— Именно так, — подтвердил Фергюссон. — Более того, если заданы три произвольных операционных числа М, N и Р, то должны существовать такие числа X, У и Z, при которых X порождает M(Y), Y порождает N(Z), a Z порождает Р(Х).
Не сумеете ли вы, читатель, доказать это утверждение? И в частности, каковы будут эти числа X, У и Z, если известно, что число X порождает обращение У, число У порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?
После того как Крейг и Мак-Каллох решили и эту задачу, Фергюссон сказал:
— Конечно, тут тоже возможны самые разные варианты этого «тройного» закона. Например, если заданы три любых операционных числа М, N и Р, а также три произвольных числа А, В и С, то существуют такие числа X, У и Z, при которых число X порождает M(AY), число У порождает N(BZ), а число Z порождает Р(СХ). Это справедливо и в том случае, если взять не три числа А, В, С, а любые два из них или даже одно[!Что соответствует случаю, когда одно или два числа из тройки А, В, С мы полагаем равными единице.!]. Так, мы можем найти такие числа X, У и Z, при которых X порождает А У, У порождает M(Z), a Z порождает N(BX). Возможны, естественно, и всякие другие варианты — вы вполне можете заняться ими на досуге.
— Кроме того, — продолжал он, — та же идея действует и тогда, когда мы используем 4 операционных числа или даже более. Например, мы можем найти числа X, У, Z и W, при которых число X порождает 78У, число У порождает повторение Z, число Z порождает обращение W, а число W порождает ассоциат 62Х. Возможности практически бесконечны, причем их удивительное многообразие обусловлено всего лишь правилами 1 и 2.
Решения
1. Одно из решений состоит в том, чтобы принять Х=4325243 и У=524325243. Поскольку число 25243 порождает число 5243, то число 325243 порождает ассоциат 5243, или число 524325243, которое и есть У.
Далее, так как число 325243 порождает У, то число 4325243 порождает обращение У, но 4325243 — это как раз и есть X. Таким образом, X порождает обращение У. Кроме того. У, очевидно, порождает повторение X (потому что У — это есть число 52Х, а поскольку число 2Х порождает X, то число 52Х будет порождать повторение X). Итак, X порождает обращение У, а У порождает повторение X.
2. Крейг воспользовался законом Мак-Каллоха, а именно: для любого числа А существует некоторое число X (а именно число 32A3), которое порождает число АХ. Так, в частности, если мы примем А за число 2, то получим некоторое число X (а именно число 3223), которое порождает 2Х. Число же 2Х в свою очередь будет порождать X. Таким образом, в качестве решения этой задачи подходит пара чисел 3223 и 23223: 3223 порождает 23223, а 23223 порождает 3223.
3. Крейг решил эту задачу следующим способом. Он рассудил, что ему надо всего лишь найти такое число X, которое порождает 27X. Тогда, положив У = 27Х, мы получим, что число X порождает У, а число У порождает 7Х. Такое число X он тоже нашел- это число 32273. Поэтому решение Крейга имеет вид: Х = 32273, У=2732273.
То же самое происходит, конечно, и в том случае, если вместо конкретного числа 7 мы возьмем любое число А. В самом деле, если Х = 322АЗ, а У = 2А322АЗ, то число X будет порождать У, а число У будет порождать АХ.
4. Что же касается Мак-Каллоха, то он подошел к решению данной задачи несколько иначе. Он начал с того, что стал искать такое число У, которое порождает 72 У. Теперь, если обозначить через X число 2 У, то мы получаем, что число X порождает У, а число У порождает 7Х. При этом нам уже известно, как найти такое число У — надо взять У = 32723. Итак, решение Мак-Каллоха имеет вид: Х = 232723, У = 32723.
5. Единственное, что нам нужно — это найти такое число X, которое порождало бы число А2ВХ. Тогда, если мы положим У=2ВХ, то будем иметь, что число X порождает А У, а число У порождает ВХ. Таким числом X, которое порождает А2ВХ, является число 32А2ВЗ. Стало быть, решение задачи выглядит так: Х = 32А2ВЗ, У = 2В32А2ВЗ. (В частном случае А = 7, В = 8 и решением будет Х = 327283, У = 28327283.)
6. Сначала попробуем решить эту задачу с помощью второго принципа Крейга, который, как мы помним, гласит, что для любого операционного числа М и для произвольного числа А существует некоторое число X (а именно число М32АМЗ), которое порождает М(АХ). Возьмем теперь два любых операционных числа М и N. Тогда, согласно этому принципу (если взять в качестве А число N2), найдется некое число X (а именно число M32N2M3), которое порождает число M(N2X). Ясно также, что число N2X порождает N(X). Поэтому если обозначить число N2X через У, то мы получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X). Следовательно, решение задачи имеет вид: X = M32N2M3, Y = N2M32N2M3. (Для конкретной задачи, предложенной Фергюссоном, положим М = 4 и N = 3, тогда решение будет таким: Х = 4323243, У = 324323243, читатель сам может убедиться в том, что X порождает обращение У, а У порождает ассоциат X; последняя часть этого утверждения особенно очевидна.)
Можно подойти к решению этой задачи и по-другому. Из решения задачи 5 мы знаем, что существуют числа Z и W, при которых Z порождает NW, a W порождает MZ (а именно числа Z = 32N2M3 и W = 2M32N2M3). Тогда, согласно утверждению 1 из предыдущей главы, число MZ порождает M(NW), a число NW порождает N(MZ). Поэтому если мы обозначим MZ через X, a NW через У, то сразу получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X). Таким образом, мы получаем то же самое решение: X = M32N2M3 и y = N2M32N2M3.
Далее, так как число 325243 порождает У, то число 4325243 порождает обращение У, но 4325243 — это как раз и есть X. Таким образом, X порождает обращение У. Кроме того. У, очевидно, порождает повторение X (потому что У — это есть число 52Х, а поскольку число 2Х порождает X, то число 52Х будет порождать повторение X). Итак, X порождает обращение У, а У порождает повторение X.
2. Крейг воспользовался законом Мак-Каллоха, а именно: для любого числа А существует некоторое число X (а именно число 32A3), которое порождает число АХ. Так, в частности, если мы примем А за число 2, то получим некоторое число X (а именно число 3223), которое порождает 2Х. Число же 2Х в свою очередь будет порождать X. Таким образом, в качестве решения этой задачи подходит пара чисел 3223 и 23223: 3223 порождает 23223, а 23223 порождает 3223.
3. Крейг решил эту задачу следующим способом. Он рассудил, что ему надо всего лишь найти такое число X, которое порождает 27X. Тогда, положив У = 27Х, мы получим, что число X порождает У, а число У порождает 7Х. Такое число X он тоже нашел- это число 32273. Поэтому решение Крейга имеет вид: Х = 32273, У=2732273.
То же самое происходит, конечно, и в том случае, если вместо конкретного числа 7 мы возьмем любое число А. В самом деле, если Х = 322АЗ, а У = 2А322АЗ, то число X будет порождать У, а число У будет порождать АХ.
4. Что же касается Мак-Каллоха, то он подошел к решению данной задачи несколько иначе. Он начал с того, что стал искать такое число У, которое порождает 72 У. Теперь, если обозначить через X число 2 У, то мы получаем, что число X порождает У, а число У порождает 7Х. При этом нам уже известно, как найти такое число У — надо взять У = 32723. Итак, решение Мак-Каллоха имеет вид: Х = 232723, У = 32723.
5. Единственное, что нам нужно — это найти такое число X, которое порождало бы число А2ВХ. Тогда, если мы положим У=2ВХ, то будем иметь, что число X порождает А У, а число У порождает ВХ. Таким числом X, которое порождает А2ВХ, является число 32А2ВЗ. Стало быть, решение задачи выглядит так: Х = 32А2ВЗ, У = 2В32А2ВЗ. (В частном случае А = 7, В = 8 и решением будет Х = 327283, У = 28327283.)
6. Сначала попробуем решить эту задачу с помощью второго принципа Крейга, который, как мы помним, гласит, что для любого операционного числа М и для произвольного числа А существует некоторое число X (а именно число М32АМЗ), которое порождает М(АХ). Возьмем теперь два любых операционных числа М и N. Тогда, согласно этому принципу (если взять в качестве А число N2), найдется некое число X (а именно число M32N2M3), которое порождает число M(N2X). Ясно также, что число N2X порождает N(X). Поэтому если обозначить число N2X через У, то мы получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X). Следовательно, решение задачи имеет вид: X = M32N2M3, Y = N2M32N2M3. (Для конкретной задачи, предложенной Фергюссоном, положим М = 4 и N = 3, тогда решение будет таким: Х = 4323243, У = 324323243, читатель сам может убедиться в том, что X порождает обращение У, а У порождает ассоциат X; последняя часть этого утверждения особенно очевидна.)
Можно подойти к решению этой задачи и по-другому. Из решения задачи 5 мы знаем, что существуют числа Z и W, при которых Z порождает NW, a W порождает MZ (а именно числа Z = 32N2M3 и W = 2M32N2M3). Тогда, согласно утверждению 1 из предыдущей главы, число MZ порождает M(NW), a число NW порождает N(MZ). Поэтому если мы обозначим MZ через X, a NW через У, то сразу получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X). Таким образом, мы получаем то же самое решение: X = M32N2M3 и y = N2M32N2M3.