Ясно, что число 332ab порождает двойной ассоциат числа ab, или число аb2аb2аb2аb. При этом необходимо, чтобы число 332 ab порождало ассоциат числа 332аb, который записывается как 332ab2332ab. Могут ли эти два числа оказаться одинаковыми? Для ответа на этот вопрос попробуем сравнить их на соответствие цифр:
аb2аb2аb2аb
332аb2332аb.
Сравнивая первые цифры каждого числа, мы видим, что а обязательно должно быть тройкой. Сравнение вторых цифр дает нам, что b также должно оказаться двойкой. Итак, число N = 33233 является решением нашей задачи и притом единственным».
4. — По правде говоря, — признался Крейг, — первую задачу я решал почти интуитивно; чтобы найти число 323, я не пользовался никаким специальным методом. К тому же я пока не успел обдумать вопрос, существует ли какое-либо иное число, которое порождало бы само себя.
— Однако, как мне кажется, ответы на эти вопросы не потребуют слишком много усилий. В самом деле, попробуем, к примеру, выяснить, не могло бы нам подойти какое-нибудь число вида 332Х. Такое число должно было бы порождать двойной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2Х2Х2Х и имеет длину 4h+3, где А — длина числа X. С другой стороны, нам необходимо взять такое число, чтобы оно порождало число 332Х, которое в свою очередь имеет длину h+3? Вполне очевидно, что при любых положительных h величина 4h+3 всегда больше, чем h+З, и потому число 332Х будет порождать число, в котором окажется слишком много цифр. То же самое можно сказать, по поводу числа вида 3332Х, а также чисел, начинающихся с четырех и более троек, для них соответствующие расхождения по длине окажутся еще большими. Значит, единственной возможностью для нас остается число вида 32Х (очевидно, что число вида 2Х нам также не годится, поскольку оно не может порождать само себя — ведь оно порождает число X). Далее, число 32Х порождает число Х2Х, и, кроме того, требуется, чтобы оно порождало само себя, то есть опять 32Х. Поэтому числа 32Х и Х2Х должны совпадать. Обозначим через Л длину числа X, тогда число 32Х имеет длину h+2, а число Х2Х — длину 2h+1. При этом должно выполняться условие 2h+1 = h+2, откуда сразу следует, что h равно 1. Стало быть, число X состоит из одной-единственной цифры. Наконец, для какой цифры а имеет место условие a2a = 32a? Ясно, что а в этом случае должно быть тройкой. Итак, число 323 является единственным решением данной задачи.
5. Возьмем в качестве N число 3273. Это число порождает ассоциат числа 73, то есть число 73273, которое в свою очередь можно представить как 7N. Итак, число 73273 есть решение нашей задачи. (Кроме того, это решение — единственное, что легко можно показать с помощью сравнительного анализа соответствующих длин, подробно обсуждавшегося в последних двух задачах.)
6. Поскольку число 323 порождает само себя, то число3323 должно порождать ассоциат числа 323. Итак, если положить N = 323, тогда число 3N действительно порождает ассоциат числи N. (Это решение является единственным.)
7. Решением будет число 332333. Проверка: положим N равным этому числу. Тогда оно порождает двойной ассоциат числа 333, который в свою очередь является ассоциатом числа 3332333 — или, иными словами, ассоциатом числа 3N.
8. Очевидно, что эта задача представляет собой прямое обобщение задачи 5. Там мы видели, что при N = 3273 число N порождает число 7N. Цифра 7 не играет в данном случае никакой особой роли. Действительно, для любого числа А справедливо условие: если мы положим Y = 32A3, то число У будет порождать число AY (поскольку оно порождает ассоциат числа A3, который записывается как A32A3 и который в свою очередь представляет собой число А У). Итак, например, если мы хотим найти число У, которое порождало бы число 837Y, то мы должны выбрать У равным 328373.
Указанный факт, как выяснится ниже, имеет важное теоретическое значение!
9. Ответом на поставленный вопрос будет «да». Возьмем в качестве У число 332A33. Это число порождает двойной ассоциат числа АЗЗ, который в свою очередь является ассоциатом числа A332/433. Но число A332A33 и есть АY; следовательно, число У порождает ассоциат числа А У.
Для частного примера, предложенного Мак-Каллохом (найти число У, которое порождало бы ассоциат числа 56 У), решением будет число У=3325633.
10. Решением является число 3332333. Оно порождает тройной ассоциат числа 333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа 333. При этом ассоциат числа 333 есть число 3332333, и, стало быть, число 3332333 порождает двойной ассоциат числа 3332333.
Заметим общую систему: число 323 порождает само себя, число 33233 порождает свой ассоциат, число 332333 порождает двойной ассоциат самого себя. Далее, число 333323333 порождает свой тройной ассоциат, число 33333233333 порождает четверной ассоциат самого себя и т. д. (Во всем этом читатель вполне может убедиться сам.)
7. Решением является X = 3332333. Это число порождает тройной ассоциат числа A333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа A333. При этом ассоциатом числа А333 оказывается число А3332АЗЗЗ, которое в свою очередь и есть АХ. Итак, число X порождает двойной ассоциат числа АХ.
В частном случае, когда А = 78, решением будет число 333278333.
12. Очевидно, что ответом будет N = 23. (Ведь мы уже знаем, что число 323 порождает само себя, поэтому, положив N = 23, мы действительно имеем, что число 3N порождает число 3N.)
13. Ответ: N = 22.
14. Ответ: N = 232.
15. Конечно, N = 2.
16. В этом случае вполне подойдет любая цепочка двоек.
17. Да; например, N = 32.
18. Положить N = 33.
19. Положить N = 32323.
20. Как читатель легко может удостовериться сам, любое число, начинающееся с двух или более троек, будет порождать число большей длины, нежели число N2. (Например, если N — число вида 332Х, и h — длина числа X, то само число N будет порождать двойной ассоциат числа X, который имеет длину 4h+3, в то время как само число N2 имеет длину h+4). Точно так же нам никак не подойдет ни одно число N вида
2Х, поскольку если и существует некое число N, которое порождает число N2, то оно обязательно должно быть вида 32Х. Далее, число 32Х порождает число Х2Х, тогда как нам требуется получить число 32X2. Если Х2Х представляет собой то же самое число, что и 32X2, то, обозначая, как обычно, через h длину числа X, мы должны прийти к условию 2h+1 = h+3, откуда следует, что h = 2. Итак, единственным числом, которое могло бы нас устроить (если, конечно, таковые существуют), должно быть число вида 32аb, где а и b — одиночные цифры, подлежащие определению ниже. Далее, число 32ab порождает число аb2ab, тогда как нам нужно получить число 32аb2. Итак, могут ли числа ab2ab и 32аb2 оказаться одним и тем же числом? Попробуем сравнить их цифру за цифрой:
ab2ab
32аb2.
Сравнивая первые цифры, мы получаем, что а = 3; из сравнения же третьих цифр имеем, что а = 2. Полученное противоречие доказывает, что наша задача неразрешима. Итак, не существует такого числа N, которое порождало бы число N2!
Принцип Крейга
аb2аb2аb2аb
332аb2332аb.
Сравнивая первые цифры каждого числа, мы видим, что а обязательно должно быть тройкой. Сравнение вторых цифр дает нам, что b также должно оказаться двойкой. Итак, число N = 33233 является решением нашей задачи и притом единственным».
4. — По правде говоря, — признался Крейг, — первую задачу я решал почти интуитивно; чтобы найти число 323, я не пользовался никаким специальным методом. К тому же я пока не успел обдумать вопрос, существует ли какое-либо иное число, которое порождало бы само себя.
— Однако, как мне кажется, ответы на эти вопросы не потребуют слишком много усилий. В самом деле, попробуем, к примеру, выяснить, не могло бы нам подойти какое-нибудь число вида 332Х. Такое число должно было бы порождать двойной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2Х2Х2Х и имеет длину 4h+3, где А — длина числа X. С другой стороны, нам необходимо взять такое число, чтобы оно порождало число 332Х, которое в свою очередь имеет длину h+3? Вполне очевидно, что при любых положительных h величина 4h+3 всегда больше, чем h+З, и потому число 332Х будет порождать число, в котором окажется слишком много цифр. То же самое можно сказать, по поводу числа вида 3332Х, а также чисел, начинающихся с четырех и более троек, для них соответствующие расхождения по длине окажутся еще большими. Значит, единственной возможностью для нас остается число вида 32Х (очевидно, что число вида 2Х нам также не годится, поскольку оно не может порождать само себя — ведь оно порождает число X). Далее, число 32Х порождает число Х2Х, и, кроме того, требуется, чтобы оно порождало само себя, то есть опять 32Х. Поэтому числа 32Х и Х2Х должны совпадать. Обозначим через Л длину числа X, тогда число 32Х имеет длину h+2, а число Х2Х — длину 2h+1. При этом должно выполняться условие 2h+1 = h+2, откуда сразу следует, что h равно 1. Стало быть, число X состоит из одной-единственной цифры. Наконец, для какой цифры а имеет место условие a2a = 32a? Ясно, что а в этом случае должно быть тройкой. Итак, число 323 является единственным решением данной задачи.
5. Возьмем в качестве N число 3273. Это число порождает ассоциат числа 73, то есть число 73273, которое в свою очередь можно представить как 7N. Итак, число 73273 есть решение нашей задачи. (Кроме того, это решение — единственное, что легко можно показать с помощью сравнительного анализа соответствующих длин, подробно обсуждавшегося в последних двух задачах.)
6. Поскольку число 323 порождает само себя, то число3323 должно порождать ассоциат числа 323. Итак, если положить N = 323, тогда число 3N действительно порождает ассоциат числи N. (Это решение является единственным.)
7. Решением будет число 332333. Проверка: положим N равным этому числу. Тогда оно порождает двойной ассоциат числа 333, который в свою очередь является ассоциатом числа 3332333 — или, иными словами, ассоциатом числа 3N.
8. Очевидно, что эта задача представляет собой прямое обобщение задачи 5. Там мы видели, что при N = 3273 число N порождает число 7N. Цифра 7 не играет в данном случае никакой особой роли. Действительно, для любого числа А справедливо условие: если мы положим Y = 32A3, то число У будет порождать число AY (поскольку оно порождает ассоциат числа A3, который записывается как A32A3 и который в свою очередь представляет собой число А У). Итак, например, если мы хотим найти число У, которое порождало бы число 837Y, то мы должны выбрать У равным 328373.
Указанный факт, как выяснится ниже, имеет важное теоретическое значение!
9. Ответом на поставленный вопрос будет «да». Возьмем в качестве У число 332A33. Это число порождает двойной ассоциат числа АЗЗ, который в свою очередь является ассоциатом числа A332/433. Но число A332A33 и есть АY; следовательно, число У порождает ассоциат числа А У.
Для частного примера, предложенного Мак-Каллохом (найти число У, которое порождало бы ассоциат числа 56 У), решением будет число У=3325633.
10. Решением является число 3332333. Оно порождает тройной ассоциат числа 333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа 333. При этом ассоциат числа 333 есть число 3332333, и, стало быть, число 3332333 порождает двойной ассоциат числа 3332333.
Заметим общую систему: число 323 порождает само себя, число 33233 порождает свой ассоциат, число 332333 порождает двойной ассоциат самого себя. Далее, число 333323333 порождает свой тройной ассоциат, число 33333233333 порождает четверной ассоциат самого себя и т. д. (Во всем этом читатель вполне может убедиться сам.)
7. Решением является X = 3332333. Это число порождает тройной ассоциат числа A333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа A333. При этом ассоциатом числа А333 оказывается число А3332АЗЗЗ, которое в свою очередь и есть АХ. Итак, число X порождает двойной ассоциат числа АХ.
В частном случае, когда А = 78, решением будет число 333278333.
12. Очевидно, что ответом будет N = 23. (Ведь мы уже знаем, что число 323 порождает само себя, поэтому, положив N = 23, мы действительно имеем, что число 3N порождает число 3N.)
13. Ответ: N = 22.
14. Ответ: N = 232.
15. Конечно, N = 2.
16. В этом случае вполне подойдет любая цепочка двоек.
17. Да; например, N = 32.
18. Положить N = 33.
19. Положить N = 32323.
20. Как читатель легко может удостовериться сам, любое число, начинающееся с двух или более троек, будет порождать число большей длины, нежели число N2. (Например, если N — число вида 332Х, и h — длина числа X, то само число N будет порождать двойной ассоциат числа X, который имеет длину 4h+3, в то время как само число N2 имеет длину h+4). Точно так же нам никак не подойдет ни одно число N вида
2Х, поскольку если и существует некое число N, которое порождает число N2, то оно обязательно должно быть вида 32Х. Далее, число 32Х порождает число Х2Х, тогда как нам требуется получить число 32X2. Если Х2Х представляет собой то же самое число, что и 32X2, то, обозначая, как обычно, через h длину числа X, мы должны прийти к условию 2h+1 = h+3, откуда следует, что h = 2. Итак, единственным числом, которое могло бы нас устроить (если, конечно, таковые существуют), должно быть число вида 32аb, где а и b — одиночные цифры, подлежащие определению ниже. Далее, число 32ab порождает число аb2ab, тогда как нам нужно получить число 32аb2. Итак, могут ли числа ab2ab и 32аb2 оказаться одним и тем же числом? Попробуем сравнить их цифру за цифрой:
ab2ab
32аb2.
Сравнивая первые цифры, мы получаем, что а = 3; из сравнения же третьих цифр имеем, что а = 2. Полученное противоречие доказывает, что наша задача неразрешима. Итак, не существует такого числа N, которое порождало бы число N2!
Принцип Крейга
Спустя две недели Крейг снова навестил Мак-Каллоха.
— Слыхал, что ты построил новый вариант своей машины, — сказал Крейг. — Наши общие друзья рассказывали мне, будто твоя новая машина способна проделывать какие-то удивительные вещи. Это правда?
— Совершенно верно, — ответил Мак-Каллох не без гордости. — Моя новая машина, как и раньше, работает в соответствии с правилами 1 и 2, и, кроме того, в нее введены два новых правила. Однако я только что заварил свежего чая — давай выпьем по чашечке, прежде чем я познакомлю тебя с новыми правилами.
После отличного чая с восхитительными сдобными булочками Мак-Каллох приступил к делу:
— Под обращением некоторого числа я понимаю число, цифры которого записаны в обратном порядке; например, обращение числа 5934 есть число 4395. Вот первое из моих новых правил.
Правило 3.Для любых чисел X и У справедливо следующее: если число X порождает число У, то число 4Х порождает обращение числа У.
— Позволь мне проиллюстрировать это правило таким примером, — продолжал Мак-Каллох. — Выбери какое-нибудь произвольное число Y.
— Согласен, — сказал Крейг. — Допустим, я выбрал число 7695.
— Прекрасно. А теперь возьмем число X, которое порождает число 7695, а именно число 27695, потом введем в машину число 427695 и посмотрим, что получится. Мак-Каллох ввел в машину число 427695, а та выдала, разумеется, 5967 — обращение 7695.
— Прежде чем познакомить тебя со следующим правилом, — сказал Мак-Каллох, — я хочу продемонстрировать еще несколько операций, которые моя машина может проделывать с помощью правила 3, конечно, в совокупности с правилами 1 и 2.
1. — Ты, конечно, помнишь, — сказал Мак-Каллох, — что число 323 порождает само себя. Так вот, для моей старой машины, в которую еще не было заложено правило 3, а использовались лишь правила 1 и 2,— число 323 было единственным числом, которое могло порождать самое себя. Для моей теперешней машины ситуация оказывается несколько иной. Можешь ли ты найти какое-нибудь другое число, которое порождало бы самое себя? Кроме того, сколько существует таких чисел?
Решение этой задачи не отняло у Крейга много времени. А вы сумеете ее решить? (Ответ Крейга приведен в разделе «Решения».)
2. — Это было превосходно, — одобрительно сказал Мак-Каллох, внимательно выслушав пояснения Крейга. — Тогда позволь задать тебе другую задачу. Я называю число симметричным, если оно читается одинаково в ту и другую сторону, то есть если оно равно своему обращению. Так, например, числа вида 58385 или 7447 — симметричны. Числа, не являющиеся симметричными, я называю несимметричными— например, такие, как 46733 или 3251. Очевидно, что существует число, которое порождает обращение самого себя — это число 323; действительно, оно порождает само себя и к тому же симметрично. Для моей первой машины, в которую не было заложено правило 3, не существовало такого несимметричного числа, которое порождало бы свое собственное обращение. Однако в случае использования правила 3 такое число все-таки существует — и на самом деле даже не одно. Можешь ли ты найти такое число?
3. — Кроме того, — сказал Мак-Каллох, — существуют числа, которые порождают ассоциаты своих собственных обращений. Можешь ли ты найти такое число?
— А теперь, — продолжал Мак-Каллох, — сформулируем еще одно новое правило.
Правило 4.Если число X порождает число Y, то число 5Х порождает число YY.
При этом напомню, что число YY называется повторением числа Y.
Затем Мак-Каллох предложил Крейгу рассмотреть иве новые задачи.
4. Найти число, которое порождает повторение самого
5. Найти число, которое порождает обращение повторения самого себя.
6. — Вот странно, — удивился Мак-Каллох, когда Крейг показал ему решение задачи 5. — А у меня получился другой ответ — правда, тоже число, состоящее из семи цифр.
Действительно, существуют два семизначных числа, каждое из которых порождает обращение своего собственного повторения. Можете ли вы найти второе из лих чисел?
7. — Для любого X, — сказал Мак-Каллох, — число 52Х, понятно, порождает повторение числа X. Не мог бы ты найти такое X, для которого число 5Х порождало бы повторение самого X?
Крейг некоторое время размышлял, а потом внезапно рассмеялся: настолько очевидным оказалось решение!
8. — А теперь, — сказал Мак-Каллох, — пусть имеется число, которое порождает повторение ассоциата самого себя. Не мог бы ты найти это число?
9. — Кроме того, — продолжал Мак-Каллох, — существует число, которое порождает ассоциат своего собственного повторения. Можешь ли ты его найти?
— Например, — продолжал Крейг, — должно существовать число, которое порождает повторение обращения своего собственного ассоциата, или, к примеру, число, которое порождает ассоциат повторения своего собственного обращения, или еще число, которое…
— Поразительно, — прервал его Мак-Каллох. — Я пробовал было отыскать несколько таких чисел, но у меня ничего не вышло. Что же это за числа?
— Ты научишься находить их мгновенно, как толь ко узнаешь, что это за принцип!
— Да что же это за принцип? — взмолился Мак-Каллох.
— И это не все, — продолжал Крейг, которому доставляло явное удовольствие разыгрывать Мак-Каллоха. — Я еще могу найти число X, которое порождает повторение обращения двоимого ассоциата X, или число Y, порождающее обращение двойного ассоциата числа YYYY, или число Z, которое…
— Хватит-хватит! — воскликнул Мак-Каллох. — А почему ты все-таки не хочешь мне сказать, в чем заключается твой принцип, а уж потом перейти к приложениям?
— Ну ладно, — согласился Крейг.
Тут инспектор взял лежавший на столе блокнот, вынул ручку и усадил Мак-Каллоха рядом с собой, с тем чтобы его друг мог видеть, что он пишет.
— Прежде всего, — начал Крейг, — я полагаю, что ты знаком с понятием операции над числами, как, например, операция прибавления единицы к данному числу, или операция умножения числа на 3, или операция возведения данного числа в квадрат, или, что имеет более близкое отношение к твоей машине, операция взятия обращения заданного числа или операции получения повторения и ассоциата некоторого числа, или же, наконец, более сложные операции, как, например, операция построения обращения повторения ассоциата некоторого числа. При этом буквой F будет обозначаться некоторая произвольная операция, а запись F(X), где X—заданное число (мы будем читать Это выражение как «эф от икс»), будет означать результат выполнения операции F над числом X. Все это как ты прекрасно понимаешь, — вполне обычные математические обозначения. Итак, к примеру, если F есть операция обращения, то число F(X) есть обращение числа X; если же F будет обозначать операцию повторения, а выражение F(X) будет повторением числа X и так далее.
Пусть теперь имеются определенные числа — а фактически любые числа, составленные из цифр 3, 4 или 5, — я их буду называть операционными числами, поскольку они определяют операции, которые может выполнять твоя машина. Пусть М—некоторое число, состоящее из цифр 3, 4 или 5, и пусть F — произвольная операция. Я буду говорить, что число М определяет операцию F, имея в виду, что для любых двух чисел X и Y, в случае если X порождает Y, число М(Х) порождает число F(Y). Например, если число X порождает число Y, то число 4Х порождает обращение числа Y (согласно правилу 3), и поэтому я буду говорить, что число 4 определяет или обозначает операцию обращения данного числа. Аналогичным образом в соответствии с правилом 4 число 5 определяет операцию повторения, а число 3 — операцию ассоциации, то есть операцию получения ассоциата данного числа. Далее, предположим, что F представляет собой операцию, которая, если ее выполнить над числом X, дает нам ассоциат повторения X. Другими словами, F(X) есть ассоциат повторения числа X. Существует ли число М, которое описывает эту операцию, и если да, то что это за число?
— Очевидно, 35,— ответил Мак-Каллох, — потому что если число X порождает число Y, то число 5Х порождает повторение числа У; значит, число 35X порождает ассоциат повторения У. Таким образом, число 35 обозначает операцию получения ассоциата повторения некоторого заданного числа X.
— Совершенно верно, — подтвердил Крейг. — А теперь, когда мы определили, каким образом число М представляет собой ту или иную операцию, мы будем называть эту операцию операцией М. Так, например, операция 4 будет операцией обращения, операция 5 представляет собой операцию повторения, операция 35 является операцией получения ассоциата повторения и так далее.
Вместе с тем возникает вопрос, — продолжал он, — возможно ли, чтобы два различных числа описывали одну и ту же операцию? Иначе, могут ли существовать операционные числа М и N, такие, что при М, не равном N, операция М оказывается тождественной операции N?
Мак-Каллох на мгновение задумался.
— Ну, конечно, — сказал он. — Ведь, например, числа 45 и 54 различны, однако они определяют собой одну и ту же операцию, поскольку обращение повторения некоторого числа есть то же самое, что и повторение его обращения.
— Правильно, — согласился Крейг, — хотя, по правде говоря, я имел в виду совсем другой пример. Прежде всего, какую операцию описывает число 44?
— Ну, это ясно, — ответил Мак-Каллох, — Операция 44, если ею подействовать на заданное число X, дает нам обращение обращения этого числа, то есть само X. Правда, я не знаю, как назвать такую операцию, которая при воздействии на число X дает нам само это число.
— В математике такая операция называется обычно операцией тождества, — продолжал свои объяснения Крейг, — и поэтому число 44 будет определять собой именно операцию тождества. Но ту же самую операцию будет определять и число 4444 или, например, любое другое число, составленное из четного количества четверок. Таким образом, существует бесконечно много чисел, описывающих подобную операцию. А вообще говоря, если задано некоторое операционное число М и если оно следует за четным количеством четверок или предшествует ему (или же имеет место и то и другое одновременно), то это число М описывает ту же самую операцию, что и само отдельно взятое М.
— Понятно, — кивнул Мак-Каллох.
— А теперь, — пояснил далее Крейг, — если нам заданно операционное число М и произвольное число X, то, чтобы обозначить результат воздействия операции М на число X, я буду просто писать М(Х). Например, число 3(Х) будет представлять собой ассоциат X, 4(Х) будет обращением числа X, 5(Х) окажется повторением числа X, а число 435(X) будет представлять собой вращение ассоциата повторения числа X. Понятны тебе эти обозначения?
— Вполне, — ответил Мак-Каллох.
— Надеюсь, теперь ты не будешь путать запись М(Х) с записью MX. Ведь первая из них обозначает результат воздействия операции М на число X, в то время как вторая утверждает лишь то, что за числом М следует число X, — а это совсем разные вещи! Например, запись 3(5) обозначает вовсе не 35, а 525.
— Это мне тоже понятно, — сказал Мак-Каллох. — Однако не может ли случиться так — хотя бы в силу чистой случайности, — чтобы число М(Х) совпадало с MX?
— Интересный вопрос, — ответил Крейг. — Мне нужно его обдумать!
— Может, сначала выпьем еще по чашечке чаю? — предложил Мак-Каллох.
— С удовольствием! — согласился Крейг.
Пока наши друзья наслаждаются чаем, мне хотелось бы предложить вам несколько занимательных задач с операционными числами. Они позволят читателям приобрести необходимый опыт в использовании обозначений типа М(Х), которые будут играть важную роль при дальнейшем изложении.
10. Ответом на последний (математический!) вопрос Мак-Каллоха будет «да»: действительно существуют операционное число М и некоторое число X, такие, что М(Х) = МХ. Не могли бы вы найти их?
11. Существует ли операционное число М, для которого М(М) = М?
12. Найти операционное число М и заданное число X, для которых М(Х) = ХХХ.
13. Найти операционное число М и число X, для которых М(Х) = М+2.
14. Найти М и X, для которых число М(Х) было бы повторением числа MX.
15. Найти операционные числа М и N, для которых M(N) оказалось бы повторением N(M).
16. Найти два различных операционных числа М и N, для которых M(N) = N(M).
17. Не могли бы вы отыскать два операционных числа М и N, для которых
18. Что можно сказать по поводу двух операционных чисел М и N, для которых M(N) = N(M) + 492?
19. Найти два различных операционных числа М и N, для которых выполняются условия M(N) = MМ и N(M) = NN.
— Ну, конечно, — отвечал Крейг. — Теперь, я думаю, ты легко сможешь понять идею этого принципа. Помнишь задачи, которые ты предлагал мне раньше? Ну, например, найти число X, которое порождает повторение самого себя. Иначе говоря, мы искали некое число X, которое порождает 5(Х). Или, пытаясь найти некоторое число X, которое порождает свой собственный ассоциат, мы искали число X, порождающее число 3(Х). Далее в свою очередь вспомним, что число X, порождающее обращение числа X, есть число, которое порождает 4(Х). Вместе с тем все эти задачи представляют собой частные случаи одного общего принципа, который заключается в следующем: для любого операционного числа М должно существовать некое число X, которое порождает М(Х). Другими словами, для любой заданной операции F, которую может выполнять твоя машина, — то есть для любой операции F, описываемой определенным операционным числом, — должно существовать число X, которое порождает F(X).
Более того, — продолжал Крейг, — если задано какое-то операционное число М, то существует очень простой способ найти такое X, которое порождает М(Х). Зная этот общий способ, можно найти, например, число X, которое порождает 543(X), — то есть решить задачу нахождения числа X, порождающего повторение обращения ассоциата этого X; или найти такое X, которое порождает 354(Х), — то есть решить задачу нахождения числа, порождающего ассоциат повторения своего собственного обращения. Или, как я уже упоминал, можно найти такое X, которое порождает повторение обращения двойного ассоциата X, — другими слова ми, найти X, порождающее 5433 (X). Если не знаешь этого способа, то решать эти задачи оказывается крайне затруднительным, если же воспользоваться моим принципом — то это будут не задачи, а детские игрушки.
— Я — весь внимание, — сказал Мак-Каллох. — Но что же это за такой замечательный способ?
— Сейчас объясню, — ответил Крейг, — но сначала давай разберем поподробнее одно вполне элементарное обстоятельство, а именно: для любого операционного числа М и для любых чисел У и Z, если число У порождает число Z, то МУ порождает M(Z). Например если У порождает Z, то 3У порождает 3(Z), то есть ассоциат Z; 4 У порождает 4(Z); 5 У порождает 5(Z); 34 У порождает 34(Z) и т. д. Точно так же для любого операционного числа М, если У порождает Z, то МУ порождает М(Z). В частности, если такое У, порождающее Z, оказывается равным 2Z, тогда всегда справедливо утверждение, что M2Z порождает M(Z). Например, число 32Z порождает число 3(Z) — ассоциат Z; число 42Z порождает число 4(Z), то есть при любом операционном числе М число M2Z порождает число M(Z). Собственно говоря, мы даже могли бы определить M(Z) как число, порождаемое числом M2Z.
— Это все понятно, — сказал Мак-Каллох.
— Прекрасно, — сказал Крейг, — однако этот факт легко забывается, поэтому разреши мне повторить его еще раз, с тем чтобы он хорошенько отложился у тебя в голове. Итак, утверждение 1: для любого операционного числа М и для любых чисел У и Z, если число У порождает число Z, число МУ порождает число M(Z). В частности, число M2Z порождает число M(Z).
— Отсюда, — продолжал Крейг, — а также из того факта, который ты обнаружил для своей первой машины и который справедлив и для нынешней, очевидно следует, что для любого заданного операционного числа М должно существовать некое число X, порождающее М(Х), — то есть в данном случае число X порождает результат применения операции М к числу X. При этом, зная число М, такое X можно легко найти с помощью простого и вполне общего правила.
20. Итак, Крейг открыл важное правило, которое мы в дальнейшем будем называть принципом Крейга, а именно: для любого операционного числа М всегда существует некоторое число X, такое, что оно порождает М(Х). Как же доказать принцип Крейга и как при заданном числе М найти число X? Например, какое число X порождает 543 (Х)? Или какое число X порождает повторение обращения ассоциата X? Или, наконец, какое X порождает ассоциат повторения обращения X — то есть какое X порождает 354 (Х)
— Я приготовил для тебя еще несколько задачек, — сказал Мак-Каллох, — однако сегодня уже поздно. Оставайся-ка ночевать у меня. А завтра мы с тобой поговорим подробнее.
У Крейга как раз было несколько свободных дней, и поэтому он с удовольствием принял приглашение Мак-Каллоха.
21. Найти число X, которое порождает число 7Х7Х.
22. Найти число X, которое порождает обращение числа 9Х.
23. Найти число X, которое порождает ассоциат числа 89х.
— Очень мило! — воскликнул Крейг, после того как покончил с решением последней задачи. — Ни одну из их задач нельзя решить с помощью того принципа, о котором я тебе рассказывал вчера.
— Вот именно! — рассмеялся Мак-Каллох.
— И все-таки, — возразил Крейг, — решение всех грех задач подчиняется некой общей идее: во-первых, конкретные числа 7, 5 и 89 не играют никакой роли; для любого данного числа А существует определенное число X, которое порождает повторение числа АХ, еще какое-то X порождает обращение АХ; наконец, есть X, порождающее ассоциат числа АХ. Кроме того, существует также некое число X, которое порождает повторение обращения числа АХ или, например, обращение ассоциата АХ. Фактически это означает, что для любого операционного числа М и для любого заданного числа А должно существовать некоторое число X, которое порождает М(АХ), то есть число, полученное в результате применения операции М к числу АХ.
24. Крейг, разумеется, был прав: для любого операционного числа М и для любого заданного числа А должно найтись некоторое число X, которое порождает число М(АХ). Будем называть это правило вторым принципом Крейга. Как же доказать этот принцип? И как при заданном операционном числе М и заданном А найти в явном виде такое число X, которое порождает М(АХ)?
— Слыхал, что ты построил новый вариант своей машины, — сказал Крейг. — Наши общие друзья рассказывали мне, будто твоя новая машина способна проделывать какие-то удивительные вещи. Это правда?
— Совершенно верно, — ответил Мак-Каллох не без гордости. — Моя новая машина, как и раньше, работает в соответствии с правилами 1 и 2, и, кроме того, в нее введены два новых правила. Однако я только что заварил свежего чая — давай выпьем по чашечке, прежде чем я познакомлю тебя с новыми правилами.
После отличного чая с восхитительными сдобными булочками Мак-Каллох приступил к делу:
— Под обращением некоторого числа я понимаю число, цифры которого записаны в обратном порядке; например, обращение числа 5934 есть число 4395. Вот первое из моих новых правил.
Правило 3.Для любых чисел X и У справедливо следующее: если число X порождает число У, то число 4Х порождает обращение числа У.
— Позволь мне проиллюстрировать это правило таким примером, — продолжал Мак-Каллох. — Выбери какое-нибудь произвольное число Y.
— Согласен, — сказал Крейг. — Допустим, я выбрал число 7695.
— Прекрасно. А теперь возьмем число X, которое порождает число 7695, а именно число 27695, потом введем в машину число 427695 и посмотрим, что получится. Мак-Каллох ввел в машину число 427695, а та выдала, разумеется, 5967 — обращение 7695.
— Прежде чем познакомить тебя со следующим правилом, — сказал Мак-Каллох, — я хочу продемонстрировать еще несколько операций, которые моя машина может проделывать с помощью правила 3, конечно, в совокупности с правилами 1 и 2.
1. — Ты, конечно, помнишь, — сказал Мак-Каллох, — что число 323 порождает само себя. Так вот, для моей старой машины, в которую еще не было заложено правило 3, а использовались лишь правила 1 и 2,— число 323 было единственным числом, которое могло порождать самое себя. Для моей теперешней машины ситуация оказывается несколько иной. Можешь ли ты найти какое-нибудь другое число, которое порождало бы самое себя? Кроме того, сколько существует таких чисел?
Решение этой задачи не отняло у Крейга много времени. А вы сумеете ее решить? (Ответ Крейга приведен в разделе «Решения».)
2. — Это было превосходно, — одобрительно сказал Мак-Каллох, внимательно выслушав пояснения Крейга. — Тогда позволь задать тебе другую задачу. Я называю число симметричным, если оно читается одинаково в ту и другую сторону, то есть если оно равно своему обращению. Так, например, числа вида 58385 или 7447 — симметричны. Числа, не являющиеся симметричными, я называю несимметричными— например, такие, как 46733 или 3251. Очевидно, что существует число, которое порождает обращение самого себя — это число 323; действительно, оно порождает само себя и к тому же симметрично. Для моей первой машины, в которую не было заложено правило 3, не существовало такого несимметричного числа, которое порождало бы свое собственное обращение. Однако в случае использования правила 3 такое число все-таки существует — и на самом деле даже не одно. Можешь ли ты найти такое число?
3. — Кроме того, — сказал Мак-Каллох, — существуют числа, которые порождают ассоциаты своих собственных обращений. Можешь ли ты найти такое число?
— А теперь, — продолжал Мак-Каллох, — сформулируем еще одно новое правило.
Правило 4.Если число X порождает число Y, то число 5Х порождает число YY.
При этом напомню, что число YY называется повторением числа Y.
Затем Мак-Каллох предложил Крейгу рассмотреть иве новые задачи.
4. Найти число, которое порождает повторение самого
5. Найти число, которое порождает обращение повторения самого себя.
6. — Вот странно, — удивился Мак-Каллох, когда Крейг показал ему решение задачи 5. — А у меня получился другой ответ — правда, тоже число, состоящее из семи цифр.
Действительно, существуют два семизначных числа, каждое из которых порождает обращение своего собственного повторения. Можете ли вы найти второе из лих чисел?
7. — Для любого X, — сказал Мак-Каллох, — число 52Х, понятно, порождает повторение числа X. Не мог бы ты найти такое X, для которого число 5Х порождало бы повторение самого X?
Крейг некоторое время размышлял, а потом внезапно рассмеялся: настолько очевидным оказалось решение!
8. — А теперь, — сказал Мак-Каллох, — пусть имеется число, которое порождает повторение ассоциата самого себя. Не мог бы ты найти это число?
9. — Кроме того, — продолжал Мак-Каллох, — существует число, которое порождает ассоциат своего собственного повторения. Можешь ли ты его найти?
Операционные числа
— А знаешь, — вдруг сказал Крейг, — я только сейчас сообразил, что все эти задачи могут быть решены, если исходить из некоторого общего принципа. Стоит лишь его понять, как оказывается возможным решать не только те задачи, которые ты мне задавал, но и массу других!— Например, — продолжал Крейг, — должно существовать число, которое порождает повторение обращения своего собственного ассоциата, или, к примеру, число, которое порождает ассоциат повторения своего собственного обращения, или еще число, которое…
— Поразительно, — прервал его Мак-Каллох. — Я пробовал было отыскать несколько таких чисел, но у меня ничего не вышло. Что же это за числа?
— Ты научишься находить их мгновенно, как толь ко узнаешь, что это за принцип!
— Да что же это за принцип? — взмолился Мак-Каллох.
— И это не все, — продолжал Крейг, которому доставляло явное удовольствие разыгрывать Мак-Каллоха. — Я еще могу найти число X, которое порождает повторение обращения двоимого ассоциата X, или число Y, порождающее обращение двойного ассоциата числа YYYY, или число Z, которое…
— Хватит-хватит! — воскликнул Мак-Каллох. — А почему ты все-таки не хочешь мне сказать, в чем заключается твой принцип, а уж потом перейти к приложениям?
— Ну ладно, — согласился Крейг.
Тут инспектор взял лежавший на столе блокнот, вынул ручку и усадил Мак-Каллоха рядом с собой, с тем чтобы его друг мог видеть, что он пишет.
— Прежде всего, — начал Крейг, — я полагаю, что ты знаком с понятием операции над числами, как, например, операция прибавления единицы к данному числу, или операция умножения числа на 3, или операция возведения данного числа в квадрат, или, что имеет более близкое отношение к твоей машине, операция взятия обращения заданного числа или операции получения повторения и ассоциата некоторого числа, или же, наконец, более сложные операции, как, например, операция построения обращения повторения ассоциата некоторого числа. При этом буквой F будет обозначаться некоторая произвольная операция, а запись F(X), где X—заданное число (мы будем читать Это выражение как «эф от икс»), будет означать результат выполнения операции F над числом X. Все это как ты прекрасно понимаешь, — вполне обычные математические обозначения. Итак, к примеру, если F есть операция обращения, то число F(X) есть обращение числа X; если же F будет обозначать операцию повторения, а выражение F(X) будет повторением числа X и так далее.
Пусть теперь имеются определенные числа — а фактически любые числа, составленные из цифр 3, 4 или 5, — я их буду называть операционными числами, поскольку они определяют операции, которые может выполнять твоя машина. Пусть М—некоторое число, состоящее из цифр 3, 4 или 5, и пусть F — произвольная операция. Я буду говорить, что число М определяет операцию F, имея в виду, что для любых двух чисел X и Y, в случае если X порождает Y, число М(Х) порождает число F(Y). Например, если число X порождает число Y, то число 4Х порождает обращение числа Y (согласно правилу 3), и поэтому я буду говорить, что число 4 определяет или обозначает операцию обращения данного числа. Аналогичным образом в соответствии с правилом 4 число 5 определяет операцию повторения, а число 3 — операцию ассоциации, то есть операцию получения ассоциата данного числа. Далее, предположим, что F представляет собой операцию, которая, если ее выполнить над числом X, дает нам ассоциат повторения X. Другими словами, F(X) есть ассоциат повторения числа X. Существует ли число М, которое описывает эту операцию, и если да, то что это за число?
— Очевидно, 35,— ответил Мак-Каллох, — потому что если число X порождает число Y, то число 5Х порождает повторение числа У; значит, число 35X порождает ассоциат повторения У. Таким образом, число 35 обозначает операцию получения ассоциата повторения некоторого заданного числа X.
— Совершенно верно, — подтвердил Крейг. — А теперь, когда мы определили, каким образом число М представляет собой ту или иную операцию, мы будем называть эту операцию операцией М. Так, например, операция 4 будет операцией обращения, операция 5 представляет собой операцию повторения, операция 35 является операцией получения ассоциата повторения и так далее.
Вместе с тем возникает вопрос, — продолжал он, — возможно ли, чтобы два различных числа описывали одну и ту же операцию? Иначе, могут ли существовать операционные числа М и N, такие, что при М, не равном N, операция М оказывается тождественной операции N?
Мак-Каллох на мгновение задумался.
— Ну, конечно, — сказал он. — Ведь, например, числа 45 и 54 различны, однако они определяют собой одну и ту же операцию, поскольку обращение повторения некоторого числа есть то же самое, что и повторение его обращения.
— Правильно, — согласился Крейг, — хотя, по правде говоря, я имел в виду совсем другой пример. Прежде всего, какую операцию описывает число 44?
— Ну, это ясно, — ответил Мак-Каллох, — Операция 44, если ею подействовать на заданное число X, дает нам обращение обращения этого числа, то есть само X. Правда, я не знаю, как назвать такую операцию, которая при воздействии на число X дает нам само это число.
— В математике такая операция называется обычно операцией тождества, — продолжал свои объяснения Крейг, — и поэтому число 44 будет определять собой именно операцию тождества. Но ту же самую операцию будет определять и число 4444 или, например, любое другое число, составленное из четного количества четверок. Таким образом, существует бесконечно много чисел, описывающих подобную операцию. А вообще говоря, если задано некоторое операционное число М и если оно следует за четным количеством четверок или предшествует ему (или же имеет место и то и другое одновременно), то это число М описывает ту же самую операцию, что и само отдельно взятое М.
— Понятно, — кивнул Мак-Каллох.
— А теперь, — пояснил далее Крейг, — если нам заданно операционное число М и произвольное число X, то, чтобы обозначить результат воздействия операции М на число X, я буду просто писать М(Х). Например, число 3(Х) будет представлять собой ассоциат X, 4(Х) будет обращением числа X, 5(Х) окажется повторением числа X, а число 435(X) будет представлять собой вращение ассоциата повторения числа X. Понятны тебе эти обозначения?
— Вполне, — ответил Мак-Каллох.
— Надеюсь, теперь ты не будешь путать запись М(Х) с записью MX. Ведь первая из них обозначает результат воздействия операции М на число X, в то время как вторая утверждает лишь то, что за числом М следует число X, — а это совсем разные вещи! Например, запись 3(5) обозначает вовсе не 35, а 525.
— Это мне тоже понятно, — сказал Мак-Каллох. — Однако не может ли случиться так — хотя бы в силу чистой случайности, — чтобы число М(Х) совпадало с MX?
— Интересный вопрос, — ответил Крейг. — Мне нужно его обдумать!
— Может, сначала выпьем еще по чашечке чаю? — предложил Мак-Каллох.
— С удовольствием! — согласился Крейг.
Пока наши друзья наслаждаются чаем, мне хотелось бы предложить вам несколько занимательных задач с операционными числами. Они позволят читателям приобрести необходимый опыт в использовании обозначений типа М(Х), которые будут играть важную роль при дальнейшем изложении.
10. Ответом на последний (математический!) вопрос Мак-Каллоха будет «да»: действительно существуют операционное число М и некоторое число X, такие, что М(Х) = МХ. Не могли бы вы найти их?
11. Существует ли операционное число М, для которого М(М) = М?
12. Найти операционное число М и заданное число X, для которых М(Х) = ХХХ.
13. Найти операционное число М и число X, для которых М(Х) = М+2.
14. Найти М и X, для которых число М(Х) было бы повторением числа MX.
15. Найти операционные числа М и N, для которых M(N) оказалось бы повторением N(M).
16. Найти два различных операционных числа М и N, для которых M(N) = N(M).
17. Не могли бы вы отыскать два операционных числа М и N, для которых
18. Что можно сказать по поводу двух операционных чисел М и N, для которых M(N) = N(M) + 492?
19. Найти два различных операционных числа М и N, для которых выполняются условия M(N) = MМ и N(M) = NN.
Принцип Крейга
— Ты так и не рассказал мне, в чем же состоит твой принцип, — сказал Мак-Каллох, когда друзья покончили с чаем. — Полагаю, что об операционных числах и операциях мы заговорили именно в связи с этим принципом?— Ну, конечно, — отвечал Крейг. — Теперь, я думаю, ты легко сможешь понять идею этого принципа. Помнишь задачи, которые ты предлагал мне раньше? Ну, например, найти число X, которое порождает повторение самого себя. Иначе говоря, мы искали некое число X, которое порождает 5(Х). Или, пытаясь найти некоторое число X, которое порождает свой собственный ассоциат, мы искали число X, порождающее число 3(Х). Далее в свою очередь вспомним, что число X, порождающее обращение числа X, есть число, которое порождает 4(Х). Вместе с тем все эти задачи представляют собой частные случаи одного общего принципа, который заключается в следующем: для любого операционного числа М должно существовать некое число X, которое порождает М(Х). Другими словами, для любой заданной операции F, которую может выполнять твоя машина, — то есть для любой операции F, описываемой определенным операционным числом, — должно существовать число X, которое порождает F(X).
Более того, — продолжал Крейг, — если задано какое-то операционное число М, то существует очень простой способ найти такое X, которое порождает М(Х). Зная этот общий способ, можно найти, например, число X, которое порождает 543(X), — то есть решить задачу нахождения числа X, порождающего повторение обращения ассоциата этого X; или найти такое X, которое порождает 354(Х), — то есть решить задачу нахождения числа, порождающего ассоциат повторения своего собственного обращения. Или, как я уже упоминал, можно найти такое X, которое порождает повторение обращения двойного ассоциата X, — другими слова ми, найти X, порождающее 5433 (X). Если не знаешь этого способа, то решать эти задачи оказывается крайне затруднительным, если же воспользоваться моим принципом — то это будут не задачи, а детские игрушки.
— Я — весь внимание, — сказал Мак-Каллох. — Но что же это за такой замечательный способ?
— Сейчас объясню, — ответил Крейг, — но сначала давай разберем поподробнее одно вполне элементарное обстоятельство, а именно: для любого операционного числа М и для любых чисел У и Z, если число У порождает число Z, то МУ порождает M(Z). Например если У порождает Z, то 3У порождает 3(Z), то есть ассоциат Z; 4 У порождает 4(Z); 5 У порождает 5(Z); 34 У порождает 34(Z) и т. д. Точно так же для любого операционного числа М, если У порождает Z, то МУ порождает М(Z). В частности, если такое У, порождающее Z, оказывается равным 2Z, тогда всегда справедливо утверждение, что M2Z порождает M(Z). Например, число 32Z порождает число 3(Z) — ассоциат Z; число 42Z порождает число 4(Z), то есть при любом операционном числе М число M2Z порождает число M(Z). Собственно говоря, мы даже могли бы определить M(Z) как число, порождаемое числом M2Z.
— Это все понятно, — сказал Мак-Каллох.
— Прекрасно, — сказал Крейг, — однако этот факт легко забывается, поэтому разреши мне повторить его еще раз, с тем чтобы он хорошенько отложился у тебя в голове. Итак, утверждение 1: для любого операционного числа М и для любых чисел У и Z, если число У порождает число Z, число МУ порождает число M(Z). В частности, число M2Z порождает число M(Z).
— Отсюда, — продолжал Крейг, — а также из того факта, который ты обнаружил для своей первой машины и который справедлив и для нынешней, очевидно следует, что для любого заданного операционного числа М должно существовать некое число X, порождающее М(Х), — то есть в данном случае число X порождает результат применения операции М к числу X. При этом, зная число М, такое X можно легко найти с помощью простого и вполне общего правила.
20. Итак, Крейг открыл важное правило, которое мы в дальнейшем будем называть принципом Крейга, а именно: для любого операционного числа М всегда существует некоторое число X, такое, что оно порождает М(Х). Как же доказать принцип Крейга и как при заданном числе М найти число X? Например, какое число X порождает 543 (Х)? Или какое число X порождает повторение обращения ассоциата X? Или, наконец, какое X порождает ассоциат повторения обращения X — то есть какое X порождает 354 (Х)
— Я приготовил для тебя еще несколько задачек, — сказал Мак-Каллох, — однако сегодня уже поздно. Оставайся-ка ночевать у меня. А завтра мы с тобой поговорим подробнее.
У Крейга как раз было несколько свободных дней, и поэтому он с удовольствием принял приглашение Мак-Каллоха.
Некоторые варианты принципа Крейга
Наутро после плотного завтрака — а хозяин оказался человеком очень гостеприимным — Мак-Каллох предложил Крейгу следующие задачи.21. Найти число X, которое порождает число 7Х7Х.
22. Найти число X, которое порождает обращение числа 9Х.
23. Найти число X, которое порождает ассоциат числа 89х.
— Очень мило! — воскликнул Крейг, после того как покончил с решением последней задачи. — Ни одну из их задач нельзя решить с помощью того принципа, о котором я тебе рассказывал вчера.
— Вот именно! — рассмеялся Мак-Каллох.
— И все-таки, — возразил Крейг, — решение всех грех задач подчиняется некой общей идее: во-первых, конкретные числа 7, 5 и 89 не играют никакой роли; для любого данного числа А существует определенное число X, которое порождает повторение числа АХ, еще какое-то X порождает обращение АХ; наконец, есть X, порождающее ассоциат числа АХ. Кроме того, существует также некое число X, которое порождает повторение обращения числа АХ или, например, обращение ассоциата АХ. Фактически это означает, что для любого операционного числа М и для любого заданного числа А должно существовать некоторое число X, которое порождает М(АХ), то есть число, полученное в результате применения операции М к числу АХ.
24. Крейг, разумеется, был прав: для любого операционного числа М и для любого заданного числа А должно найтись некоторое число X, которое порождает число М(АХ). Будем называть это правило вторым принципом Крейга. Как же доказать этот принцип? И как при заданном операционном числе М и заданном А найти в явном виде такое число X, которое порождает М(АХ)?