Все ли обстоит благополучно в данной лечебнице?
10. В десятой лечебнице.
Инспектору Крейгу этот случай представляется особенно интересным, хотя раскрыть его оказалось весьма нелегко. Первое, с чем столкнулся инспектор в этой больнице, было то обстоятельство, что ее обитатели любили объединяться в различные комитеты. При этом, как разузнал Крейг, членами комитета могли быть, с одной стороны, как врачи, так и пациенты, а с другой — как люди в здравом уме, так и лишившиеся рассудка. Далее Крейгу удалось выяснить следующие обстоятельства:
1. Все пациенты объединены в один комитет.
2. Все доктора также объединены в один комитет.
3. У каждого обитателя этой лечебницы имеется несколько приятелей, один из которых является его близким другом. К тому же у каждого обитателя лечебницы существует несколько недругов, один из которых является его злейшим врагом.
4. Для любого комитета С справедливо условие: все обитатели, чьи лучшие друзья входят в С, образуют комитет; все обитатели, чьи злейшие враги входят в С, также образуют комитет.
5. Для любых двух комитетов, скажем комитета 1 и комитета 2, существует по крайней мере один обитатель лечебницы D, у которого лучший друг считает, что D входит в комитет 1, а его злейший враг полагает, что D состоит в комитете 2.
Сопоставив все эти факты, Крейг весьма остроумным способом сумел доказать, что либо один из врачей лишился рассудка, либо один из пациентов находится в и здравом уме. Как инспектор догадался об этом?
11. Еще одно затруднение.
Крейг несколько задержался в описываемой лечебнице, поскольку его склонность к теоретическим рассуждениям и тут не дала инспектору покоя — внимание его привлекло еще несколько неясных вопросов. Например, ему было крайне любопытно узнать, объединялись ли все здравомыслящие обитатели лечебницы в один комитет, а также образовывали комитет те обитатели лечебницы, которые лишились рассудка. Не будучи в состоянии ответить на эти вопросы и исходя из условий 1–5 предыдущей задачи, он все же сумел доказать — причем лишь на основании условий 3, 4 и 5,— что обе эти группы не могут образовывать комитеты. Каким образом он это сделал?
12. Новое осложнение все в той же десятой лечебнице.
В конце концов Крейг сумел доказать еще одно утверждение, относящееся к обитателям этой больницы. Инспектор посчитал его весьма важным — ведь фактически оно позволило упростить решения двух последних задач. Само это утверждение заключалось в том, что для любых двух комитетов, комитета 1 и комитета 2, всегда должны найтись два обитателя Е и F, такие, что Е считает, будто F является членом комитета 1, а F полагает, будто Е состоит членом комитета 2. Каким образом Крейг доказал это утверждение?
13. Лечебница доктора Смолля и профессора Перро.
Однако с самыми большими странностями инспектор Крейг столкнулся в последней лечебнице, которую ему довелось посетить. Лечебницей этой руководили два известных врача — доктор Смолль и профессор Перро; кроме них в штате состояло еще несколько врачей. При этом здесь неукоснительно придерживались следующих правил. Если обитатель лечебницы считал, что он является пациентом, то его называли чудаком. Если же все пациенты считали, что данный обитатель чудак, а ни один из врачей его за чудака не принимал, то такого обитателя больницы было принято именовать оригиналом. Вдобавок Крейгу удалось выяснить еще два обстоятельства: 1) по крайней мере один из обитателей больницы был вполне нормальным и 2) во всей лечебнице строго выполнялось следующее условие:
Условие С. У каждого обитателя лечебницы имеется близкий друг. При этом для любых двух обитателей А и В справедливо следующее утверждение: если А считает, что В является оригиналом, тогда близкий друг этого А полагает, что В — пациент.
Вскоре после этого открытия инспектор Крейг решил в частном порядке побеседовать с больничным руководством в лице доктора Смолля и профессора Перро. Разговор с первым из них протекал так.
Крейг. Скажите, доктор Смолль, все ли врачи в вашей больнице в здравом уме?
Смолль. Я в этом абсолютно уверен.
Крейг. А как обстоят дела с пациентами? Все ли они безумны?
Смолль. По крайней мере один из них.
Крейга поразил последний ответ — уж очень он был осторожным. Конечно, если все больные в лечебнице лишены рассудка, то утверждение, что хоть один из них безумен, представляет собой несомненную истину. Но почему доктор Смолль был так сдержан в своем утверждении?
Затем Крейг побеседовал с профессором Перро; на этот раз разговор протекал следующим образом.
Крейг. Доктор Смолль утверждает, что по крайней мере один из здешних пациентов безумен. Это правда, не так ли?
Профессор Перро. Конечно, правда. Все пациенты тут безумны! Чем же мы руководим, по-вашему?
Крейг. А как обстоят дела с врачами? Все ли они нормальны?
Профессор Перро. По крайней мере один из них нормален
Крейг. А что вы скажете о докторе Смолле? Он-то хоть нормален?
Профессор Перро. Ну, разумеется! Как вы смеете задавать мне такой вопрос?
Только в этот момент Крейг осознал весь ужас положения! В чем же он заключался?
(Те, кто читал рассказ Эдгара Аллана По «Система доктора Смолля и профессора Перро», по всей видимости, догадаются, в чем дело, еще до того, как сумеют доказать правильность найденного решения; см. также примечание в конце этой главы.)
Решения
10. В десятой лечебнице.
Инспектору Крейгу этот случай представляется особенно интересным, хотя раскрыть его оказалось весьма нелегко. Первое, с чем столкнулся инспектор в этой больнице, было то обстоятельство, что ее обитатели любили объединяться в различные комитеты. При этом, как разузнал Крейг, членами комитета могли быть, с одной стороны, как врачи, так и пациенты, а с другой — как люди в здравом уме, так и лишившиеся рассудка. Далее Крейгу удалось выяснить следующие обстоятельства:
1. Все пациенты объединены в один комитет.
2. Все доктора также объединены в один комитет.
3. У каждого обитателя этой лечебницы имеется несколько приятелей, один из которых является его близким другом. К тому же у каждого обитателя лечебницы существует несколько недругов, один из которых является его злейшим врагом.
4. Для любого комитета С справедливо условие: все обитатели, чьи лучшие друзья входят в С, образуют комитет; все обитатели, чьи злейшие враги входят в С, также образуют комитет.
5. Для любых двух комитетов, скажем комитета 1 и комитета 2, существует по крайней мере один обитатель лечебницы D, у которого лучший друг считает, что D входит в комитет 1, а его злейший враг полагает, что D состоит в комитете 2.
Сопоставив все эти факты, Крейг весьма остроумным способом сумел доказать, что либо один из врачей лишился рассудка, либо один из пациентов находится в и здравом уме. Как инспектор догадался об этом?
11. Еще одно затруднение.
Крейг несколько задержался в описываемой лечебнице, поскольку его склонность к теоретическим рассуждениям и тут не дала инспектору покоя — внимание его привлекло еще несколько неясных вопросов. Например, ему было крайне любопытно узнать, объединялись ли все здравомыслящие обитатели лечебницы в один комитет, а также образовывали комитет те обитатели лечебницы, которые лишились рассудка. Не будучи в состоянии ответить на эти вопросы и исходя из условий 1–5 предыдущей задачи, он все же сумел доказать — причем лишь на основании условий 3, 4 и 5,— что обе эти группы не могут образовывать комитеты. Каким образом он это сделал?
12. Новое осложнение все в той же десятой лечебнице.
В конце концов Крейг сумел доказать еще одно утверждение, относящееся к обитателям этой больницы. Инспектор посчитал его весьма важным — ведь фактически оно позволило упростить решения двух последних задач. Само это утверждение заключалось в том, что для любых двух комитетов, комитета 1 и комитета 2, всегда должны найтись два обитателя Е и F, такие, что Е считает, будто F является членом комитета 1, а F полагает, будто Е состоит членом комитета 2. Каким образом Крейг доказал это утверждение?
13. Лечебница доктора Смолля и профессора Перро.
Однако с самыми большими странностями инспектор Крейг столкнулся в последней лечебнице, которую ему довелось посетить. Лечебницей этой руководили два известных врача — доктор Смолль и профессор Перро; кроме них в штате состояло еще несколько врачей. При этом здесь неукоснительно придерживались следующих правил. Если обитатель лечебницы считал, что он является пациентом, то его называли чудаком. Если же все пациенты считали, что данный обитатель чудак, а ни один из врачей его за чудака не принимал, то такого обитателя больницы было принято именовать оригиналом. Вдобавок Крейгу удалось выяснить еще два обстоятельства: 1) по крайней мере один из обитателей больницы был вполне нормальным и 2) во всей лечебнице строго выполнялось следующее условие:
Условие С. У каждого обитателя лечебницы имеется близкий друг. При этом для любых двух обитателей А и В справедливо следующее утверждение: если А считает, что В является оригиналом, тогда близкий друг этого А полагает, что В — пациент.
Вскоре после этого открытия инспектор Крейг решил в частном порядке побеседовать с больничным руководством в лице доктора Смолля и профессора Перро. Разговор с первым из них протекал так.
Крейг. Скажите, доктор Смолль, все ли врачи в вашей больнице в здравом уме?
Смолль. Я в этом абсолютно уверен.
Крейг. А как обстоят дела с пациентами? Все ли они безумны?
Смолль. По крайней мере один из них.
Крейга поразил последний ответ — уж очень он был осторожным. Конечно, если все больные в лечебнице лишены рассудка, то утверждение, что хоть один из них безумен, представляет собой несомненную истину. Но почему доктор Смолль был так сдержан в своем утверждении?
Затем Крейг побеседовал с профессором Перро; на этот раз разговор протекал следующим образом.
Крейг. Доктор Смолль утверждает, что по крайней мере один из здешних пациентов безумен. Это правда, не так ли?
Профессор Перро. Конечно, правда. Все пациенты тут безумны! Чем же мы руководим, по-вашему?
Крейг. А как обстоят дела с врачами? Все ли они нормальны?
Профессор Перро. По крайней мере один из них нормален
Крейг. А что вы скажете о докторе Смолле? Он-то хоть нормален?
Профессор Перро. Ну, разумеется! Как вы смеете задавать мне такой вопрос?
Только в этот момент Крейг осознал весь ужас положения! В чем же он заключался?
(Те, кто читал рассказ Эдгара Аллана По «Система доктора Смолля и профессора Перро», по всей видимости, догадаются, в чем дело, еще до того, как сумеют доказать правильность найденного решения; см. также примечание в конце этой главы.)
Решения
1. Докажем, что либо Джонс, либо Смит (правда, не известно, кто именно) должен оказаться либо лишенным рассудка врачом, либо пациентом, находящимся в здравом уме (правда, мы вновь не знаем, кем именно).
Так, например, Джонс может оказаться либо безумцем, либо нормальным человеком. Предположим сначала, что он находится в здравом уме. Тогда его утверждения истинны и, следовательно, Смит на самом деле является врачом. Далее, если Смит лишился рассудка, то это значит, что он является врачом, лишившимся рассудка. Если же Смит находится в здравом уме, тогда его ответ будет истинным; это в свою очередь означает, что Джонс является пациентом, и притом нормальным (поскольку мы предположили, что Джонс находится в здравом уме). Тем самым доказано, что если Джонс находится в здравом уме, тогда либо он является находящимся в здравом уме пациентом, либо Смит оказывается лишившимся рассудка врачом.
Предположим теперь, что Джонс безумен. Тогда его суждения неверны, откуда следует вывод, что Смит является пациентом. При этом, если Смит не лишился рассудка, то он будет пациентом, находящимся в здравом рассудке. Если же Смит безумен, его суждения ложны; это означает, что Джонс должен быть врачом, причем врачом, лишившимся рассудка. В свою очередь это доказывает, что если Джонс безумен, то либо он является лишившимся рассудка врачом, либо Смит должен быть находящимся в здравом уме пациентом.
Подведем итоги: если Джонс нормальный человек, то либо он находящийся в здравом уме пациент, либо Смит является лишившимся рассудка врачом. Если же Джонс безумен, тогда либо он лишившийся рассудка врач, либо Смит должен быть находящимся в здравом уме пациентом.
2. У этой задачи много решений. Простейшее из тех, что я смог придумать, заключается в том, чтобы обитатель больницы заявил: «Я не врач, обладающий здравым умом». Тогда говорящий должен быть находящимся в здравом уме пациентом. Мы можем доказать это следующим образом.
Лишившийся рассудка врач не может верить в то, что он не является врачом в здравом уме, поскольку это правда. Нормальный врач не может придерживаться ложного убеждения, будто он не является врачом, находящимся в здравом уме. Безумный пациент не может верить в то, что он не является врачом, находящимся в здравом уме (ведь безумный пациент на самом деле не является находящимся в здравом уме врачом). Поэтому говорящий является пациентом в здравом рассудке, так что его суждение о том, что он не есть находящийся в здравом уме врач, абсолютно справедливо.
3. Одним из подходящих для данного случая утверждений является, например, такое: «Я — лишившийся рассудка пациент». В самом деле, пациент, находящийся в здравом уме, не может придерживаться ложного убеждения, будто он пациент, лишившийся рассудка. Лишившийся же рассудка пациент не может верить в то, что он является пациентом, лишившимся рассудка. Следовательно, говорящий являлся не пациентом, а врачом. В то же время врач, находящийся в здравом уме, никогда не станет считать, будто он — лишившийся рассудка пациент. Поэтому говорящий должен быть лишившимся рассудка врачом, который придерживается ложного убеждения в том, что он является лишившимся рассудка пациентом.
4. Говорящий считает, что он пациент. Если он нормальный человек, тогда он действительно будет пациентом. Таким образом, он — пациент, находящийся в здравом уме, и никак не должен оставаться в психиатрической больнице. Если же говорящий не в своем уме, тогда его суждение неверно: это означает, что он должен быть не пациентом, а врачом. Следовательно, он оказывается лишившимся рассудка врачом и тоже никак не может состоять в штате больницы. Правда, мы не можем наверняка сказать, кем же будет говорящий на самом деле — находящимся в здравом уме пациентом или безумным врачом; однако, конечно же, в любом случае в психиатрической больнице ему не место.
5. Здесь ситуация оказывается совершенно иной! Именно потому, что говорящий лишь утверждает, будто он верит в то, что является пациентом, это вовсе не обязательно должно означать, что он действительно верит в то, что он пациент. Поскольку он говорит, что верит, будто является пациентом, тогда, будучи человеком искренним, говорящий в самом деле думает, что считает себя пациентом. Предположим теперь, что говорящий сошел с ума. Тогда все его суждения — в том числе и о собственных убеждениях — будут неверными, поэтому его уверенность в том, что он считает, будто является пациентом, указывает на то, что его убеждение в том, что он пациент, является ложным, и, следовательно, на самом деле он считает, что является врачом. Но поскольку он безумен и воображает себя врачом, то, значит, фактически он пациент. Итак, если говорящий сошел с ума, то он — лишившийся рассудка пациент. С другой стороны, предположим, что говорящий — нормальный человек. Поскольку он верит в это и считает себя пациентом, его убежденность в том, будто он пациент, является истинной. И так как говорящий уверен в том, что он пациент, то он и в самом деле является пациентом. Итак, если говорящий — нормальный человек, то он все равно должен оказаться пациентом. Мы видим, следовательно, что говорящий может быть как пациентом, находящимся в здравом уме, так и пациентом, лишившимся рассудка, так что у нас нет причин считать, будто бы в этой психиатрической лечебнице сложилась неблагоприятная обстановка. Обобщая сказанное, отметим следующие основные факты.
Если обитатель данной психиатрической лечебницы убежден в чем-либо, тогда его убеждение будет либо истинным, либо ложным в зависимости от того, является ли говорящий нормальным человеком или же он лишился рассудка. Но если же обитатель лечебницы верит, будто он убежден в чем-либо, то это убеждение должно быть истинным вне зависимости от того, безумен ли говорящий или он находится в здравом уме. (Если он безумен, то эти два убеждения как бы «нейтрализуют» друг друга, совсем как по известному всем правилу «минус на минус дает плюс».)
6. В этом случае говорящий вовсе не утверждает ни того, что является пациентом, ни того, что он считает, будто является пациентом. Он утверждает лишь, что верит, будто считает, что является пациентом. Поскольку говорящий верит в то, что он утверждает, тогда он считает, что верит, будто считает, что является пациентом. Первые два утверждения «нейтрализуют» друг друга (смотри последнюю фразу в решении предыдущей задачи), так что фактически говорящий считает, будто он является пациентом. Таким образом, данная задача сводится к задаче о лечебнице номер четыре, решение которой уже получено нами (говорящий должен быть либо находящимся в здравом уме пациентом, либо утратившим рассудок врачом).
7. Крейг предложил удалить из лечебницы обитателя А, руководствуясь следующими соображениями. Предположим что А — нормальный человек. Тогда его убеждение в том, что В лишился рассудка, справедливо. Далее, поскольку В оказывается безумным, то его убеждение, будто А является врачом, ошибочно, а потому А- пациент, находящийся в здравом рассудке, и его следует выписать из лечебницы. С другой стороны допустим, что А безумен. Тогда его убеждение, что В лишился рассудка, ошибочно, и, стало быть B — нормальный человек. При этом уверенность В в том, что А является врачом, справедлива, и потому в данном случае А является лишившимся рассудка врачом которого следует выдворить из лечебницы.
Относительно же самого В никаких определенных выводов сделать нельзя.
8. Согласно условию 5 существует некий обитатель лечебницы, назовем его Артуром, который доверяет любому из пациентов и отказывает в доверии всем врачам. В то же самое время, согласно условию 4, всегда найдется другой обитатель, назовем его Билл, доверяющий только тем обитателям, которые имеют по крайней мере одного наставника, которому доверяет Артур. Это означает, что для любого обитателя Х справедливо следующее утверждение: если Билл доверяет X, то Артур доверяет по крайней мере одному из наставников X, а если Билл не доверяет X, тогда Артур не доверяет ни одному из наставников X. Поскольку пользоваться доверием Артура означает то же самое, что и быть пациентом (согласно условию 5), то мы можем переформулировать последнее утверждение таким образом. Для любого обитателя лечебницы X справедливо следующее: если Билл доверяет X, то по крайней мере один из наставников X является пациентом; если же Билл не доверяет X, то тогда ни один из наставников X пациентом не является. Далее, поскольку это утверждение справедливо для любого обитателя X, то, значит, оно справедливо также и в случае, когда этим X является сам Билл. Итак, нам известны следующие факты:
1) если Билл доверяет самому себе, то у него есть по крайней мере один наставник, который является пациентом;
2) если Билл не доверяет самому себе, тогда ни один из наставников Билла не является пациентом.
Понятно, что при этом существуют две возможности: либо Билл доверяет самому себе, либо этого не происходит. Разберем теперь, что же получается в каждом из этих случаев.
Случай 1. Билл доверяет самому себе.
Тогда у Билла имеется по крайней мере один наставник, назовем его Питер, который должен быть пациентом. Поскольку Питер является наставником Билла, то Питер уверен, что Билл доверяет самому себе (согласно условию 3). Но Билл действительно доверяет самому себе, и потому убеждение Питера истинно, а значит, он нормальный человек. Стало быть, Питер — находящийся в здравом уме пациент, и ему никак не место в данной лечебнице.
Случай 2. Билл не доверяет самому себе.
В этой ситуации ни один из наставников Билла не является пациентом. Однако у Билла, как и у любого другого обитателя лечебницы, имеется по крайней мере один наставник, назовем его Ричардом; при этом ясно, что Ричард должен быть врачом. Кроме того, поскольку Ричард является наставником Билла, то, значит, Ричард полагает, что Билл доверяет самому себе. Однако его уверенность в этом оказывается ложной, и, следовательно, Ричард находится не в своем уме. Итак, Ричард является лишившимся рассудка врачом и никак не должен пребывать в штате этой лечебницы.
Подведем итоги: если Билл доверяет самому себе, то тогда по крайней мере один из пациентов данной лечебницы оказывается нормальным человеком. Если же Билл не доверяет самому себе, тогда по крайней мере один из врачей должен оказаться не в своем уме. Но так как нам не известно, доверяет ли Билл самому себе или нет, то мы не можем сказать точно, что же неладно в этой больнице — то ли туда помещен находящийся в здравом уме пациент, то ли там работает лишившийся рассудка врач.
9. Прежде всего покажем, что обитатели С и В обязательно должны быть одинаковы с точки зрения их психического состояния. Допустим сначала, что А и В являются нормальными людьми. Тогда по условию психическое состояние пары В и С (точно так же, как и пары А и D) должно быть одинаковым. Это означает, что все четверо будут находиться в здравом уме. Следовательно, в этом случае С и D будут оба нормальными людьми. Предположим теперь, что оба обитателя А и В безумны. Тогда психическое состояние пар В и С. а также А и D будет различным. Таким образом, С и D снова оказываются нормальными людьми и тем самым их психическое состояние опять будет одинаковым. Далее допустим, что А — нормальный человек, а В лишился рассудка.
Тогда, поскольку психика пары В и С одинакова, то С обязательно должен оказаться безумным, а так как психическое состояние пары А и D различно, то это означает, что D также будет безумным. Наконец. предположим, что А безумен, а В — нормальный человек. Поскольку пара В и С по условию различается по своему психическому состоянию, а пара А и D не различается, то отсюда следует, что и С, и D непременно должны быть безумными.
Резюмируя, можно сказать, что если у пары А и В состояние психики оказывается идентичным, то С и D будут нормальными людьми, если же психическое состояние А и В будет неодинаковым, то С и D обязательно должны оказаться не в своем уме.
Таким образом, мы установили, что С и D должны быть одновременно либо нормальными людьми, либо лишившимися рассудка. Предположим, к примеру, что оба они находятся в здравом уме. Тогда утверждение С, что он и D не являются оба врачами, будет истинным, откуда следует, что по крайней мере один из них является пациентом, и к тому же пациентом, находящимся в здравом уме. Если же С и D безумны, то заявление С оказывается ложным и, значит, оба они должны быть врачами, причем врачами, лишенными рассудка.
Итак, в обследованной Крейгом лечебнице содержится по крайней мере один находящийся в здравом уме пациент или работают двое лишившихся рассудка врачей.
10, 11, 12. Поначалу мы обратимся к задачам 11 и 12, поскольку самый легкий путь к решению задачи 10 состоит в том, чтобы сначала рассмотреть решение задачи 12.
Прежде чем приступить к их решению, позвольте мне сформулировать полезное правило. Пусть мы имеем два конкретных утверждения, например X и V, про которые нам известно, что они либо оба истинны, либо оба ложны. Тогда любой обитатель лечебницы, верящий в одно из этих утверждений, должен поверить также и другому. Основание: если оба утверждения истинны, то любой обитатель, который поверит одному из них, должен находиться в здравом уме, а значит, сразу должен поверить и другому утверждению, так как оно также является истинным. Если же оба утверждения ложны, тогда обитатель лечебницы, который примет за истину одно из них, непременно должен оказаться безумным, а значит, обязательно должен поверить и другому утверждению, поскольку оно тоже будет ложным.
Обратимся теперь к решению задачи 12. Рассмотрим два произвольных комитета — комитет 1 и комитет 2. Обозначим через U множество всех тех обитателей лечебницы, чьи злейшие враги объединены в комитет 1, а через V — множество всех тех обитателей, чьи лучшие друзья принадлежат комитету 2. Согласно утверждению 4, множества U и V представляют собой комитеты. Тогда в соответствии с утверждением 5 некий обитатель, назовем его Дэн, близкий друг которого, назовем его Эдвард, полагает, что Дэн входит в группу U, а злейший враг которого, назовем его Фрэд, считает, что Дэн состоит в V. Итак, Эдвард считает, что Дэн принадлежит комитету U, а Фрэд уверен, что Дэн входит в комитет V. Наконец, по определению множества U утверждение о том, что Дэн входит в U, равносильно утверждению о том, что его злейший враг Фрэд состоит в комитете 1. Другими словами, утверждения «Дэн входит в U» и «Фрэд состоит в комитете 1» либо оба истинны, либо оба ложны. Поскольку Эдвард принимает за истину одно из них, а именно, что Дэн входит в U, то он должен также принять на веру и другое, а именно что Фрэд состоит в комитете I (вспомним тут наше вспомогательное правило). Итак, Эдвард считает, что Фрэд состоит в комитете 1.
С другой стороны, сам Фрэд полагает, что Дэн входит в комитет V. Но при этом Дэн состоит в V только в том случае, если его друг Эдвард входит в комитет 2 (по определению V). Иными словами, два этих утверждения либо оба истинны, либо оба ложны. Тогда, поскольку Фрэд полагает, что Дэн входит в V, он (Фрэд) должен считать, что Эдвард состоит в комитете 2.
Таким образом, мы имеем двух обитателей, Эдварда и Фрэда, каждый из которых убежден в следующей Эдвард — что Фрэд входит в комитет 1, а Фрэд — что Эдвард состоит в комитете 2. Это и есть решение задачи 12.
Для решения задачи 10 выберем в качестве комитета 1 множество всех пациентов, а в качестве комитете множество всех врачей — эти комитеты существуют согласно условиям 1 и 2. В соответствии с решений задачи 12 существуют два обитателя лечебницы — Эдвард и Фрэд, которые уверены в следующем: Эдвард — в том, что Фрэд входит в составленный из пациентов комитет 1, а Фрэд — в том, что Эдвард входит в составленный из врачей комитет 2. Другими словами, Эдвард считает, что Фрэд является пациентом, а Фрэд уверен, что Эдвард — врач. Тогда, следуя решению задачи 1 (заменив лишь имена Джонс и Смит на Эдвард и Фрэд), мы находим, что один из названых обитателей, то есть Эдвард или Фрэд (кто именно, не известно), должен оказаться либо лишившимся рассудка врачом, либо находящимся в здравом уме пациентом. Ясно, что в любом из этих случаев ситуация в лечебнице будет явно ненормальной.
Обращаясь теперь к задаче 11, предположим, все находящиеся в здравом уме обитатели лечебницы все ее обитатели, лишившиеся рассудка, также составляют собой комитеты, а именно комитеты 1 и 2 соответственно. Тогда, согласно полученному только что решению задачи 12, обитатели Эдвард и Фрэд будут уверены в следующем:
а) Эдвард — в том, что Фрэнк находится в здравом уме, или, иными словами, что состоит членом комитета 1;
б) Фрэд — в том, что Эдвард лишился рассудка, а значит, состоит членом комитета 2.
Но это невозможно, так как если Эдвард является нормальным человеком, то его убеждения истинны, а это значит, что Фрэд находится в здравом уме. Следовательно, убеждения Фрэда истинны, а это свою очередь означает, что Эдвард лишился рассудка. Таким образом, мы получаем, что Эдвард должен быть одновременно и нормальным, и лишившимся рассудка человеком, что невозможно. С другой стороны, если Эдвард оказывается безумным, то его мнение поводу Фрэда оказывается ложным, а это значит, что Фрэд лишился рассудка. Тогда убеждения Фрэда относительно Эдварда также оказываются ложными, откуда следует, что Эдвард находится в здравом уме. Таким образом, мы имеем, что Эдвард опять должен быть одновременно и нормальным человеком, и безумным, что невозможно. Значит, допущение о том, что множество находящихся в здравом уме и множество безумных обитателей данной лечебницы представляют собой комитеты, приводит к явному противоречию. Следовательно, невозможно, чтобы обе эти группы были комитетами.
13. Вот что, к своему ужасу, понял Крейг: в последней лечебнице все врачи безумны, а все пациенты — нормальные люди! Инспектор пришел к этому выводу путем следующих рассуждений.
Еще до того, как Крейг сумел побеседовать с доктором Смоллем и профессором Перро, ему стало известно то, что в больнице имеется по крайней мере один нормальный обитатель А. Обозначим теперь через В близкого друга А. Согласно условию С, если А считает, что В является оригиналом, тогда близкий друг этого А уверен, что В — пациент. Поскольку В является близким другом этого А, тогда если А полагает, что В- оригинал, то сам В уверен, что является пациентом. Другими словами, если А считает, что В — оригинал В оказывается чудаком. Поскольку А — нормальный человек, то уверенность А в том, что В — оригинал эквивалентна утверждению, что В — на самом оригинал. Таким образом, мы имеем следующее ключевое наблюдение:
Если В оригинал, то В — чудак.
Итак, В — либо чудак, либо нет. Если В — чудак, то он уверен, что является пациентом, и, следовательно (смотри задачу 4), В должен быть либо лишившимся рассудка врачом, либо находящимся в здравом уме пациентом; в любом случае ему никак не следует находиться в больнице. Допустим теперь, что В не является чудаком. Что мы имеем тогда? Ясно, что если В не чудак, то он не будет также и оригиналом, поскольку в соответствии с ключевым наблюдением В может оказаться оригиналом только в том случае, если он является также и чудаком. Поэтому В не может быть ни оригиналом, ни чудаком. Далее, поскольку В не является оригиналом, то предположения о том, что все пациенты считают его чудаком, и о том, что ни один из врачей его чудаком не считает, не могут быть справедливы одновременно; значит, по крайней мере одно из них должно оказаться ложным. Допустим, что ложно первое из них. Тогда найдется по крайней мере один пациент Р, который не считает, что В — чудак. Если бы Р находился не в своем уме, то он был бы уверен, что В — чудак (поскольку В им не является). Следовательно, Р — нормальный человек. В свою очередь это означает, что Р — пациент, находящийся в здравом уме. Если же второе предположение оказывается ложным, тогда по крайней мере один врач, назовем его D, считает, что В — чудак. При этом D должен быть безумным (поскольку В — чудак), и, следовательно, D является врачом, лишившимся рассудка.
Так, например, Джонс может оказаться либо безумцем, либо нормальным человеком. Предположим сначала, что он находится в здравом уме. Тогда его утверждения истинны и, следовательно, Смит на самом деле является врачом. Далее, если Смит лишился рассудка, то это значит, что он является врачом, лишившимся рассудка. Если же Смит находится в здравом уме, тогда его ответ будет истинным; это в свою очередь означает, что Джонс является пациентом, и притом нормальным (поскольку мы предположили, что Джонс находится в здравом уме). Тем самым доказано, что если Джонс находится в здравом уме, тогда либо он является находящимся в здравом уме пациентом, либо Смит оказывается лишившимся рассудка врачом.
Предположим теперь, что Джонс безумен. Тогда его суждения неверны, откуда следует вывод, что Смит является пациентом. При этом, если Смит не лишился рассудка, то он будет пациентом, находящимся в здравом рассудке. Если же Смит безумен, его суждения ложны; это означает, что Джонс должен быть врачом, причем врачом, лишившимся рассудка. В свою очередь это доказывает, что если Джонс безумен, то либо он является лишившимся рассудка врачом, либо Смит должен быть находящимся в здравом уме пациентом.
Подведем итоги: если Джонс нормальный человек, то либо он находящийся в здравом уме пациент, либо Смит является лишившимся рассудка врачом. Если же Джонс безумен, тогда либо он лишившийся рассудка врач, либо Смит должен быть находящимся в здравом уме пациентом.
2. У этой задачи много решений. Простейшее из тех, что я смог придумать, заключается в том, чтобы обитатель больницы заявил: «Я не врач, обладающий здравым умом». Тогда говорящий должен быть находящимся в здравом уме пациентом. Мы можем доказать это следующим образом.
Лишившийся рассудка врач не может верить в то, что он не является врачом в здравом уме, поскольку это правда. Нормальный врач не может придерживаться ложного убеждения, будто он не является врачом, находящимся в здравом уме. Безумный пациент не может верить в то, что он не является врачом, находящимся в здравом уме (ведь безумный пациент на самом деле не является находящимся в здравом уме врачом). Поэтому говорящий является пациентом в здравом рассудке, так что его суждение о том, что он не есть находящийся в здравом уме врач, абсолютно справедливо.
3. Одним из подходящих для данного случая утверждений является, например, такое: «Я — лишившийся рассудка пациент». В самом деле, пациент, находящийся в здравом уме, не может придерживаться ложного убеждения, будто он пациент, лишившийся рассудка. Лишившийся же рассудка пациент не может верить в то, что он является пациентом, лишившимся рассудка. Следовательно, говорящий являлся не пациентом, а врачом. В то же время врач, находящийся в здравом уме, никогда не станет считать, будто он — лишившийся рассудка пациент. Поэтому говорящий должен быть лишившимся рассудка врачом, который придерживается ложного убеждения в том, что он является лишившимся рассудка пациентом.
4. Говорящий считает, что он пациент. Если он нормальный человек, тогда он действительно будет пациентом. Таким образом, он — пациент, находящийся в здравом уме, и никак не должен оставаться в психиатрической больнице. Если же говорящий не в своем уме, тогда его суждение неверно: это означает, что он должен быть не пациентом, а врачом. Следовательно, он оказывается лишившимся рассудка врачом и тоже никак не может состоять в штате больницы. Правда, мы не можем наверняка сказать, кем же будет говорящий на самом деле — находящимся в здравом уме пациентом или безумным врачом; однако, конечно же, в любом случае в психиатрической больнице ему не место.
5. Здесь ситуация оказывается совершенно иной! Именно потому, что говорящий лишь утверждает, будто он верит в то, что является пациентом, это вовсе не обязательно должно означать, что он действительно верит в то, что он пациент. Поскольку он говорит, что верит, будто является пациентом, тогда, будучи человеком искренним, говорящий в самом деле думает, что считает себя пациентом. Предположим теперь, что говорящий сошел с ума. Тогда все его суждения — в том числе и о собственных убеждениях — будут неверными, поэтому его уверенность в том, что он считает, будто является пациентом, указывает на то, что его убеждение в том, что он пациент, является ложным, и, следовательно, на самом деле он считает, что является врачом. Но поскольку он безумен и воображает себя врачом, то, значит, фактически он пациент. Итак, если говорящий сошел с ума, то он — лишившийся рассудка пациент. С другой стороны, предположим, что говорящий — нормальный человек. Поскольку он верит в это и считает себя пациентом, его убежденность в том, будто он пациент, является истинной. И так как говорящий уверен в том, что он пациент, то он и в самом деле является пациентом. Итак, если говорящий — нормальный человек, то он все равно должен оказаться пациентом. Мы видим, следовательно, что говорящий может быть как пациентом, находящимся в здравом уме, так и пациентом, лишившимся рассудка, так что у нас нет причин считать, будто бы в этой психиатрической лечебнице сложилась неблагоприятная обстановка. Обобщая сказанное, отметим следующие основные факты.
Если обитатель данной психиатрической лечебницы убежден в чем-либо, тогда его убеждение будет либо истинным, либо ложным в зависимости от того, является ли говорящий нормальным человеком или же он лишился рассудка. Но если же обитатель лечебницы верит, будто он убежден в чем-либо, то это убеждение должно быть истинным вне зависимости от того, безумен ли говорящий или он находится в здравом уме. (Если он безумен, то эти два убеждения как бы «нейтрализуют» друг друга, совсем как по известному всем правилу «минус на минус дает плюс».)
6. В этом случае говорящий вовсе не утверждает ни того, что является пациентом, ни того, что он считает, будто является пациентом. Он утверждает лишь, что верит, будто считает, что является пациентом. Поскольку говорящий верит в то, что он утверждает, тогда он считает, что верит, будто считает, что является пациентом. Первые два утверждения «нейтрализуют» друг друга (смотри последнюю фразу в решении предыдущей задачи), так что фактически говорящий считает, будто он является пациентом. Таким образом, данная задача сводится к задаче о лечебнице номер четыре, решение которой уже получено нами (говорящий должен быть либо находящимся в здравом уме пациентом, либо утратившим рассудок врачом).
7. Крейг предложил удалить из лечебницы обитателя А, руководствуясь следующими соображениями. Предположим что А — нормальный человек. Тогда его убеждение в том, что В лишился рассудка, справедливо. Далее, поскольку В оказывается безумным, то его убеждение, будто А является врачом, ошибочно, а потому А- пациент, находящийся в здравом рассудке, и его следует выписать из лечебницы. С другой стороны допустим, что А безумен. Тогда его убеждение, что В лишился рассудка, ошибочно, и, стало быть B — нормальный человек. При этом уверенность В в том, что А является врачом, справедлива, и потому в данном случае А является лишившимся рассудка врачом которого следует выдворить из лечебницы.
Относительно же самого В никаких определенных выводов сделать нельзя.
8. Согласно условию 5 существует некий обитатель лечебницы, назовем его Артуром, который доверяет любому из пациентов и отказывает в доверии всем врачам. В то же самое время, согласно условию 4, всегда найдется другой обитатель, назовем его Билл, доверяющий только тем обитателям, которые имеют по крайней мере одного наставника, которому доверяет Артур. Это означает, что для любого обитателя Х справедливо следующее утверждение: если Билл доверяет X, то Артур доверяет по крайней мере одному из наставников X, а если Билл не доверяет X, тогда Артур не доверяет ни одному из наставников X. Поскольку пользоваться доверием Артура означает то же самое, что и быть пациентом (согласно условию 5), то мы можем переформулировать последнее утверждение таким образом. Для любого обитателя лечебницы X справедливо следующее: если Билл доверяет X, то по крайней мере один из наставников X является пациентом; если же Билл не доверяет X, то тогда ни один из наставников X пациентом не является. Далее, поскольку это утверждение справедливо для любого обитателя X, то, значит, оно справедливо также и в случае, когда этим X является сам Билл. Итак, нам известны следующие факты:
1) если Билл доверяет самому себе, то у него есть по крайней мере один наставник, который является пациентом;
2) если Билл не доверяет самому себе, тогда ни один из наставников Билла не является пациентом.
Понятно, что при этом существуют две возможности: либо Билл доверяет самому себе, либо этого не происходит. Разберем теперь, что же получается в каждом из этих случаев.
Случай 1. Билл доверяет самому себе.
Тогда у Билла имеется по крайней мере один наставник, назовем его Питер, который должен быть пациентом. Поскольку Питер является наставником Билла, то Питер уверен, что Билл доверяет самому себе (согласно условию 3). Но Билл действительно доверяет самому себе, и потому убеждение Питера истинно, а значит, он нормальный человек. Стало быть, Питер — находящийся в здравом уме пациент, и ему никак не место в данной лечебнице.
Случай 2. Билл не доверяет самому себе.
В этой ситуации ни один из наставников Билла не является пациентом. Однако у Билла, как и у любого другого обитателя лечебницы, имеется по крайней мере один наставник, назовем его Ричардом; при этом ясно, что Ричард должен быть врачом. Кроме того, поскольку Ричард является наставником Билла, то, значит, Ричард полагает, что Билл доверяет самому себе. Однако его уверенность в этом оказывается ложной, и, следовательно, Ричард находится не в своем уме. Итак, Ричард является лишившимся рассудка врачом и никак не должен пребывать в штате этой лечебницы.
Подведем итоги: если Билл доверяет самому себе, то тогда по крайней мере один из пациентов данной лечебницы оказывается нормальным человеком. Если же Билл не доверяет самому себе, тогда по крайней мере один из врачей должен оказаться не в своем уме. Но так как нам не известно, доверяет ли Билл самому себе или нет, то мы не можем сказать точно, что же неладно в этой больнице — то ли туда помещен находящийся в здравом уме пациент, то ли там работает лишившийся рассудка врач.
9. Прежде всего покажем, что обитатели С и В обязательно должны быть одинаковы с точки зрения их психического состояния. Допустим сначала, что А и В являются нормальными людьми. Тогда по условию психическое состояние пары В и С (точно так же, как и пары А и D) должно быть одинаковым. Это означает, что все четверо будут находиться в здравом уме. Следовательно, в этом случае С и D будут оба нормальными людьми. Предположим теперь, что оба обитателя А и В безумны. Тогда психическое состояние пар В и С. а также А и D будет различным. Таким образом, С и D снова оказываются нормальными людьми и тем самым их психическое состояние опять будет одинаковым. Далее допустим, что А — нормальный человек, а В лишился рассудка.
Тогда, поскольку психика пары В и С одинакова, то С обязательно должен оказаться безумным, а так как психическое состояние пары А и D различно, то это означает, что D также будет безумным. Наконец. предположим, что А безумен, а В — нормальный человек. Поскольку пара В и С по условию различается по своему психическому состоянию, а пара А и D не различается, то отсюда следует, что и С, и D непременно должны быть безумными.
Резюмируя, можно сказать, что если у пары А и В состояние психики оказывается идентичным, то С и D будут нормальными людьми, если же психическое состояние А и В будет неодинаковым, то С и D обязательно должны оказаться не в своем уме.
Таким образом, мы установили, что С и D должны быть одновременно либо нормальными людьми, либо лишившимися рассудка. Предположим, к примеру, что оба они находятся в здравом уме. Тогда утверждение С, что он и D не являются оба врачами, будет истинным, откуда следует, что по крайней мере один из них является пациентом, и к тому же пациентом, находящимся в здравом уме. Если же С и D безумны, то заявление С оказывается ложным и, значит, оба они должны быть врачами, причем врачами, лишенными рассудка.
Итак, в обследованной Крейгом лечебнице содержится по крайней мере один находящийся в здравом уме пациент или работают двое лишившихся рассудка врачей.
10, 11, 12. Поначалу мы обратимся к задачам 11 и 12, поскольку самый легкий путь к решению задачи 10 состоит в том, чтобы сначала рассмотреть решение задачи 12.
Прежде чем приступить к их решению, позвольте мне сформулировать полезное правило. Пусть мы имеем два конкретных утверждения, например X и V, про которые нам известно, что они либо оба истинны, либо оба ложны. Тогда любой обитатель лечебницы, верящий в одно из этих утверждений, должен поверить также и другому. Основание: если оба утверждения истинны, то любой обитатель, который поверит одному из них, должен находиться в здравом уме, а значит, сразу должен поверить и другому утверждению, так как оно также является истинным. Если же оба утверждения ложны, тогда обитатель лечебницы, который примет за истину одно из них, непременно должен оказаться безумным, а значит, обязательно должен поверить и другому утверждению, поскольку оно тоже будет ложным.
Обратимся теперь к решению задачи 12. Рассмотрим два произвольных комитета — комитет 1 и комитет 2. Обозначим через U множество всех тех обитателей лечебницы, чьи злейшие враги объединены в комитет 1, а через V — множество всех тех обитателей, чьи лучшие друзья принадлежат комитету 2. Согласно утверждению 4, множества U и V представляют собой комитеты. Тогда в соответствии с утверждением 5 некий обитатель, назовем его Дэн, близкий друг которого, назовем его Эдвард, полагает, что Дэн входит в группу U, а злейший враг которого, назовем его Фрэд, считает, что Дэн состоит в V. Итак, Эдвард считает, что Дэн принадлежит комитету U, а Фрэд уверен, что Дэн входит в комитет V. Наконец, по определению множества U утверждение о том, что Дэн входит в U, равносильно утверждению о том, что его злейший враг Фрэд состоит в комитете 1. Другими словами, утверждения «Дэн входит в U» и «Фрэд состоит в комитете 1» либо оба истинны, либо оба ложны. Поскольку Эдвард принимает за истину одно из них, а именно, что Дэн входит в U, то он должен также принять на веру и другое, а именно что Фрэд состоит в комитете I (вспомним тут наше вспомогательное правило). Итак, Эдвард считает, что Фрэд состоит в комитете 1.
С другой стороны, сам Фрэд полагает, что Дэн входит в комитет V. Но при этом Дэн состоит в V только в том случае, если его друг Эдвард входит в комитет 2 (по определению V). Иными словами, два этих утверждения либо оба истинны, либо оба ложны. Тогда, поскольку Фрэд полагает, что Дэн входит в V, он (Фрэд) должен считать, что Эдвард состоит в комитете 2.
Таким образом, мы имеем двух обитателей, Эдварда и Фрэда, каждый из которых убежден в следующей Эдвард — что Фрэд входит в комитет 1, а Фрэд — что Эдвард состоит в комитете 2. Это и есть решение задачи 12.
Для решения задачи 10 выберем в качестве комитета 1 множество всех пациентов, а в качестве комитете множество всех врачей — эти комитеты существуют согласно условиям 1 и 2. В соответствии с решений задачи 12 существуют два обитателя лечебницы — Эдвард и Фрэд, которые уверены в следующем: Эдвард — в том, что Фрэд входит в составленный из пациентов комитет 1, а Фрэд — в том, что Эдвард входит в составленный из врачей комитет 2. Другими словами, Эдвард считает, что Фрэд является пациентом, а Фрэд уверен, что Эдвард — врач. Тогда, следуя решению задачи 1 (заменив лишь имена Джонс и Смит на Эдвард и Фрэд), мы находим, что один из названых обитателей, то есть Эдвард или Фрэд (кто именно, не известно), должен оказаться либо лишившимся рассудка врачом, либо находящимся в здравом уме пациентом. Ясно, что в любом из этих случаев ситуация в лечебнице будет явно ненормальной.
Обращаясь теперь к задаче 11, предположим, все находящиеся в здравом уме обитатели лечебницы все ее обитатели, лишившиеся рассудка, также составляют собой комитеты, а именно комитеты 1 и 2 соответственно. Тогда, согласно полученному только что решению задачи 12, обитатели Эдвард и Фрэд будут уверены в следующем:
а) Эдвард — в том, что Фрэнк находится в здравом уме, или, иными словами, что состоит членом комитета 1;
б) Фрэд — в том, что Эдвард лишился рассудка, а значит, состоит членом комитета 2.
Но это невозможно, так как если Эдвард является нормальным человеком, то его убеждения истинны, а это значит, что Фрэд находится в здравом уме. Следовательно, убеждения Фрэда истинны, а это свою очередь означает, что Эдвард лишился рассудка. Таким образом, мы получаем, что Эдвард должен быть одновременно и нормальным, и лишившимся рассудка человеком, что невозможно. С другой стороны, если Эдвард оказывается безумным, то его мнение поводу Фрэда оказывается ложным, а это значит, что Фрэд лишился рассудка. Тогда убеждения Фрэда относительно Эдварда также оказываются ложными, откуда следует, что Эдвард находится в здравом уме. Таким образом, мы имеем, что Эдвард опять должен быть одновременно и нормальным человеком, и безумным, что невозможно. Значит, допущение о том, что множество находящихся в здравом уме и множество безумных обитателей данной лечебницы представляют собой комитеты, приводит к явному противоречию. Следовательно, невозможно, чтобы обе эти группы были комитетами.
13. Вот что, к своему ужасу, понял Крейг: в последней лечебнице все врачи безумны, а все пациенты — нормальные люди! Инспектор пришел к этому выводу путем следующих рассуждений.
Еще до того, как Крейг сумел побеседовать с доктором Смоллем и профессором Перро, ему стало известно то, что в больнице имеется по крайней мере один нормальный обитатель А. Обозначим теперь через В близкого друга А. Согласно условию С, если А считает, что В является оригиналом, тогда близкий друг этого А уверен, что В — пациент. Поскольку В является близким другом этого А, тогда если А полагает, что В- оригинал, то сам В уверен, что является пациентом. Другими словами, если А считает, что В — оригинал В оказывается чудаком. Поскольку А — нормальный человек, то уверенность А в том, что В — оригинал эквивалентна утверждению, что В — на самом оригинал. Таким образом, мы имеем следующее ключевое наблюдение:
Если В оригинал, то В — чудак.
Итак, В — либо чудак, либо нет. Если В — чудак, то он уверен, что является пациентом, и, следовательно (смотри задачу 4), В должен быть либо лишившимся рассудка врачом, либо находящимся в здравом уме пациентом; в любом случае ему никак не следует находиться в больнице. Допустим теперь, что В не является чудаком. Что мы имеем тогда? Ясно, что если В не чудак, то он не будет также и оригиналом, поскольку в соответствии с ключевым наблюдением В может оказаться оригиналом только в том случае, если он является также и чудаком. Поэтому В не может быть ни оригиналом, ни чудаком. Далее, поскольку В не является оригиналом, то предположения о том, что все пациенты считают его чудаком, и о том, что ни один из врачей его чудаком не считает, не могут быть справедливы одновременно; значит, по крайней мере одно из них должно оказаться ложным. Допустим, что ложно первое из них. Тогда найдется по крайней мере один пациент Р, который не считает, что В — чудак. Если бы Р находился не в своем уме, то он был бы уверен, что В — чудак (поскольку В им не является). Следовательно, Р — нормальный человек. В свою очередь это означает, что Р — пациент, находящийся в здравом уме. Если же второе предположение оказывается ложным, тогда по крайней мере один врач, назовем его D, считает, что В — чудак. При этом D должен быть безумным (поскольку В — чудак), и, следовательно, D является врачом, лишившимся рассудка.