Рэймонд М.Смаллиан
ПРИНЦЕССА ИЛИ ТИГР?
От редактора перевода
В 30-х годах этого века психолог Дж. Струп, языковед Э. Бенвенист и логик К. Гёдель примерно в одно время выполнили три исследования, с разных сторон освещающие одно и то же явление. Друг о друге эти ученые едва ли знали. Все три работы впоследствии стали классикой для профессионалов — психологов, лингвистов и математиков соответственно, — но за пределами этих узких кругов стала известной разве что теорема Гёделя (современный немецкий поэт Ганс Магнус Энценсбергер даже посвятил ей стихотворение).
В экспериментах Струпа испытуемому предъявляли слово, написанное цветными чернилами, и просили быстро назвать цвет чернил. Оказалось, что если красными чернилами написано слово СИНИЙ, то время реакции увеличивается. Смысл слова как бы мешает названию цвета, поскольку не совпадает с ним.
Бенвенист изучал свойство некоторых речевых высказываний, которое можно назвать аутореферентностью — ссылкой на себя. Этим свойством обладают те высказывания, при описании смысла которых следует учитывать сами эти высказывания как элемент действительности. Например, в описание смысла фразы «Приказываю открыть парад» должно входить указание на то, что само произнесение этой фразы является сигналом к открытию парада. Почти все военные команды обладают аутореферентностью. Иногда это разделение смысла команды на две части — содержание команды и приказ к ее исполнению — может быть явным. В строевой команде, произносимой «Нале-во!», часть «нале-» указывает направление поворота, а «-во» является сигналом к исполнению; здесь первая часть перестает быть аутореферентной. Важно отметить, что, как и в опыте Струпа, аутореферентное высказывание может быть внутренне конфликтным. В нашем примере, если приказ отдается лицом, не имеющим на это права, то часть интерпретации «это есть приказ к исполнению» оказывается ложной.
Гёдель исследовал программу аксиоматизации математики. Существует ли, например, такая явная система постулатов о свойствах целых чисел (вроде аксиом евклидовой геометрии), из которой чисто логически можно вывести все истинные теоремы о них? (Ложные при этом не должны выводиться.) Объяснить точно содержание этой задачи не очень легко даже математику, который специально логикой не занимался. Трудность состоит в описании смысла слов «все» и «вывести»— сначала приходится построить целую теорию, формальную систему, внутри которой этими словами можно пользоваться как математическими терминами. Как бы то ни было, Гёдель показал — вопреки некоторым ожиданиям, — что ответ на поставленный вопрос отрицателен, полной системы аксиом арифметики нет. Причина же этого лежит в странных свойствах аутореферентных высказываний, тех же, что и выше. Старинный парадокс лжеца (лжет ли человек, говорящий «я лгу»?) выявляет такую же внутренне конфликтную ситуацию, как слово «синий», написанное красным цветом. Такой конфликт можно имитировать внутри любой достаточно богатой формальной системы, и в рамках этой системы он окажется неразрешимым.
В построении такой имитации и состоит главное техническое достижение Гёделя. Читатель этой книжки, сумевший продумать содержащуюся в ней версию теоремы Гёделя, вероятно, оценит остроумие разных конструкций, которые приходится изобретать. При этом стоит поразмыслить и над тем, почему в опытах Струпа и в парадоксе лжеца внутренне конфликтное аутореферентное высказывание организуется гораздо проще, чем в рассуждении Гёделя. Кажется, ответ связан с тем, что в человеческом сознании «речевая» система, воспринимающая сигнал, отделена от «образной», оценивающей его содержание. В гёделевской же ситуации их приходится реализовывать общими средствами.
Рэймонд М. Смаллиан всю свою профессиональную жизнь занимается вещами, так или иначе связанными с логикой вообще и гёделевой теоремой в частности. В своих математических работах он предложил несколько вариантов формальных систем, в которых идея Гёделя реализуется, по мнению коллег, особенно красиво. В своих же популярных книжках, как эта и предыдущая (Как же называется эта книга? — М.: Мир, 1981), он, подобно каждому писателю, пользуется неведомыми свойствами нашего мозга, чтобы заставить любого терпеливого читателя изумляться, застывать в ожидании, радостно предвкушать и вообще волноваться по поводу вещей, довольно сухих по меркам здравого смысла. Иногда профессор Смаллиан слегка перебарщивает — я не смог заставить себя решать задачки про упырей. Но в лучших головоломках книга заставляет работать речевую и образную системы восприятия так, что они смешно мешают друг другу, вроде ног сороконожки в известной истории.
Логика, оторванная от своего естественного носителя — человеческого мозга, заморожена в микросхемах современных компьютеров. В человеческой голове она живет совершенно иначе, и вечные попытки человечества понять самое себя постоянно возвращают нас к раздумьям, которым посвящена эта книжка. Модели, которые в ней предлагаются, бывают смешны то своей простотой, то эксцентричностью. Смех от души над собственной логикой целителен во многих конфликтах.
Ю.И. Минин
Леди Бланш
В экспериментах Струпа испытуемому предъявляли слово, написанное цветными чернилами, и просили быстро назвать цвет чернил. Оказалось, что если красными чернилами написано слово СИНИЙ, то время реакции увеличивается. Смысл слова как бы мешает названию цвета, поскольку не совпадает с ним.
Бенвенист изучал свойство некоторых речевых высказываний, которое можно назвать аутореферентностью — ссылкой на себя. Этим свойством обладают те высказывания, при описании смысла которых следует учитывать сами эти высказывания как элемент действительности. Например, в описание смысла фразы «Приказываю открыть парад» должно входить указание на то, что само произнесение этой фразы является сигналом к открытию парада. Почти все военные команды обладают аутореферентностью. Иногда это разделение смысла команды на две части — содержание команды и приказ к ее исполнению — может быть явным. В строевой команде, произносимой «Нале-во!», часть «нале-» указывает направление поворота, а «-во» является сигналом к исполнению; здесь первая часть перестает быть аутореферентной. Важно отметить, что, как и в опыте Струпа, аутореферентное высказывание может быть внутренне конфликтным. В нашем примере, если приказ отдается лицом, не имеющим на это права, то часть интерпретации «это есть приказ к исполнению» оказывается ложной.
Гёдель исследовал программу аксиоматизации математики. Существует ли, например, такая явная система постулатов о свойствах целых чисел (вроде аксиом евклидовой геометрии), из которой чисто логически можно вывести все истинные теоремы о них? (Ложные при этом не должны выводиться.) Объяснить точно содержание этой задачи не очень легко даже математику, который специально логикой не занимался. Трудность состоит в описании смысла слов «все» и «вывести»— сначала приходится построить целую теорию, формальную систему, внутри которой этими словами можно пользоваться как математическими терминами. Как бы то ни было, Гёдель показал — вопреки некоторым ожиданиям, — что ответ на поставленный вопрос отрицателен, полной системы аксиом арифметики нет. Причина же этого лежит в странных свойствах аутореферентных высказываний, тех же, что и выше. Старинный парадокс лжеца (лжет ли человек, говорящий «я лгу»?) выявляет такую же внутренне конфликтную ситуацию, как слово «синий», написанное красным цветом. Такой конфликт можно имитировать внутри любой достаточно богатой формальной системы, и в рамках этой системы он окажется неразрешимым.
В построении такой имитации и состоит главное техническое достижение Гёделя. Читатель этой книжки, сумевший продумать содержащуюся в ней версию теоремы Гёделя, вероятно, оценит остроумие разных конструкций, которые приходится изобретать. При этом стоит поразмыслить и над тем, почему в опытах Струпа и в парадоксе лжеца внутренне конфликтное аутореферентное высказывание организуется гораздо проще, чем в рассуждении Гёделя. Кажется, ответ связан с тем, что в человеческом сознании «речевая» система, воспринимающая сигнал, отделена от «образной», оценивающей его содержание. В гёделевской же ситуации их приходится реализовывать общими средствами.
Рэймонд М. Смаллиан всю свою профессиональную жизнь занимается вещами, так или иначе связанными с логикой вообще и гёделевой теоремой в частности. В своих математических работах он предложил несколько вариантов формальных систем, в которых идея Гёделя реализуется, по мнению коллег, особенно красиво. В своих же популярных книжках, как эта и предыдущая (Как же называется эта книга? — М.: Мир, 1981), он, подобно каждому писателю, пользуется неведомыми свойствами нашего мозга, чтобы заставить любого терпеливого читателя изумляться, застывать в ожидании, радостно предвкушать и вообще волноваться по поводу вещей, довольно сухих по меркам здравого смысла. Иногда профессор Смаллиан слегка перебарщивает — я не смог заставить себя решать задачки про упырей. Но в лучших головоломках книга заставляет работать речевую и образную системы восприятия так, что они смешно мешают друг другу, вроде ног сороконожки в известной истории.
Логика, оторванная от своего естественного носителя — человеческого мозга, заморожена в микросхемах современных компьютеров. В человеческой голове она живет совершенно иначе, и вечные попытки человечества понять самое себя постоянно возвращают нас к раздумьям, которым посвящена эта книжка. Модели, которые в ней предлагаются, бывают смешны то своей простотой, то эксцентричностью. Смех от души над собственной логикой целителен во многих конфликтах.
Ю.И. Минин
Леди Бланш
Предисловие
Из множества занятных писем, присланных мне после выхода в свет моей первой книги логических головоломок (названия ее я никак не упомню!), одно принадлежало десятилетнему сыну довольно известного математика, с которым я в свое время учился в школе. В письме предлагалась весьма изящная и оригинальная задача, навеянная некоторыми задачками из моей книжки, которую мальчик прочитал взахлеб. Я сразу же позвонил отцу, решив поздравить его с таким умницей. Но тот, прежде чем позвать к телефону самого парнишку, стал заговорщически шептать в трубку: "Ему страшно нравится твоя книга! Но когда будешь с ним толковать, не проговорись, что эта штука называется математикой — в школе он ее просто ненавидит! Чуть заподозрит, что твоя книжка математическая, тут же забросит ее подальше».
Я вспомнил об этой истории потому, что она представляет собой иллюстрацию странного, но распространенного явления. Множество людей, с которыми я сталкивался, утверждали, что ненавидят математику, и в то же время с азартом накидывались на любую логическую или математическую задачу, которую я им подсовывал, стоило лишь облечь ее в форму занимательной головоломки. Я бы ничуть не удивился, если бы хорошие сборники головоломок оказались одним из лучших лекарств против так называемого «страха перед математикой». Более того, любой учебник математики вполне можно переписать в форме набора занимательных задач. Я иногда воображал, что бы произошло, если бы Евклид представил свои классические «Начала» именно в таком виде. Например, вместо того чтобы сформулировать в качестве теоремы утверждение о равенстве углов, лежащих в основании равнобедренного треугольника, а затем строго доказать эту теорему, Евклид начал бы так: «Задача. Дан треугольник с двумя равными сторонами. Всегда ли у него есть два равных угла? Если да, то почему, если нет, то тоже почему? (Решение смотри на странице такой-то.)» А потом и все остальные теоремы постарался бы изложить в таком же духе. Такая книжка вполне могла бы оказаться одним из самых популярных сборников задач в истории!
Вообще-то мои собственные сборники задач отличаются тем, что меня в первую очередь привлекают задачи, связанные с наиболее глубокими и важными результатами логики и математики. Так, истинной целью моей первой книги логических задач было желание дать широкому читателю хотя бы скромное представление о том, в чем же суть великой теоремы Геделя. Книжка, которую вы держите в руках сейчас, — следующий шаг в этом направлении. Многие факты и задачи из нее я использовал в одном из своих курсов лекций, озаглавленном «Головоломки и парадоксы». Тогда-то один из моих студентов заметил мне: «Знаете, профессор, ваша книга — особенно ее третья и четвертая части — читается прямо как какой-то математический роман. Ничего подобного я раньше не встречал!». Мне кажется, что слова «математический роман» в этом случае весьма уместны. Действительно, большая часть книги написана в форме художественного повествования. Поэтому ее вполне можно было бы назвать как-то вроде «Тайна сейфа из Монте-Карло» — ведь в последней части книги речь идет о расследовании, в процессе которого инспектор Крейг из Скотланд-Ярда пытается подобрать комбинацию цифр, позволяющую открыть замок одного из сейфов в Монте-Карло, и тем предотвратить катастрофу. Когда все его усилия вскрыть сейф оказываются безуспешными, инспектор возвращается в Лондон, где по счастливой случайности вновь сталкивается с блестящим и чудаковатым изобретателем цифровых кодирующих машин. Они приглашают еще и специалиста по математической логике, и вскоре все трое погружаются в глубокие воды потока, ведущего в самое сердце великого открытия Гёделя. Конечно же, замок сейфа из Монте-Карло оказывается «гёделевым», а его modus ореrandi[!Принцип работы (лат.).!] прекрасно иллюстрирует фундаментальную идею Гёделя, влияние и результаты которой обнаруживаются во многих научных теориях, связанных с таким удивительным явлением, как процесс самовоспроизведения.
В конечном счете исследования Крейга и его друзей приводят к весьма примечательным математическим открытиям, не известным до настоящего времени ни ученому миру, ни тем более широкой публике, — это так называемые «законы Крейга» и «законы Фергюссона», которые впервые преданы гласности на страницах книги. Несомненно, они должны заинтересовать как любителей математики, так и логиков, лингвистов и специалистов по вычислительной технике.
Книгу эту я писал с огромным удовольствием; хотелось бы, чтобы с таким же удовольствием ее и читали. Собираюсь написать еще несколько книг в том же духе. Наконец, я хочу поблагодарить моего редактора Энн Клоуз и технического редактора Мелвина Розенталя за ту неоценимую помощь, которую они мне оказали.
Элка-Парк, штат Нью-Йорк
Рэймонд Смаллиан
Февраль 1982 г.
Я вспомнил об этой истории потому, что она представляет собой иллюстрацию странного, но распространенного явления. Множество людей, с которыми я сталкивался, утверждали, что ненавидят математику, и в то же время с азартом накидывались на любую логическую или математическую задачу, которую я им подсовывал, стоило лишь облечь ее в форму занимательной головоломки. Я бы ничуть не удивился, если бы хорошие сборники головоломок оказались одним из лучших лекарств против так называемого «страха перед математикой». Более того, любой учебник математики вполне можно переписать в форме набора занимательных задач. Я иногда воображал, что бы произошло, если бы Евклид представил свои классические «Начала» именно в таком виде. Например, вместо того чтобы сформулировать в качестве теоремы утверждение о равенстве углов, лежащих в основании равнобедренного треугольника, а затем строго доказать эту теорему, Евклид начал бы так: «Задача. Дан треугольник с двумя равными сторонами. Всегда ли у него есть два равных угла? Если да, то почему, если нет, то тоже почему? (Решение смотри на странице такой-то.)» А потом и все остальные теоремы постарался бы изложить в таком же духе. Такая книжка вполне могла бы оказаться одним из самых популярных сборников задач в истории!
Вообще-то мои собственные сборники задач отличаются тем, что меня в первую очередь привлекают задачи, связанные с наиболее глубокими и важными результатами логики и математики. Так, истинной целью моей первой книги логических задач было желание дать широкому читателю хотя бы скромное представление о том, в чем же суть великой теоремы Геделя. Книжка, которую вы держите в руках сейчас, — следующий шаг в этом направлении. Многие факты и задачи из нее я использовал в одном из своих курсов лекций, озаглавленном «Головоломки и парадоксы». Тогда-то один из моих студентов заметил мне: «Знаете, профессор, ваша книга — особенно ее третья и четвертая части — читается прямо как какой-то математический роман. Ничего подобного я раньше не встречал!». Мне кажется, что слова «математический роман» в этом случае весьма уместны. Действительно, большая часть книги написана в форме художественного повествования. Поэтому ее вполне можно было бы назвать как-то вроде «Тайна сейфа из Монте-Карло» — ведь в последней части книги речь идет о расследовании, в процессе которого инспектор Крейг из Скотланд-Ярда пытается подобрать комбинацию цифр, позволяющую открыть замок одного из сейфов в Монте-Карло, и тем предотвратить катастрофу. Когда все его усилия вскрыть сейф оказываются безуспешными, инспектор возвращается в Лондон, где по счастливой случайности вновь сталкивается с блестящим и чудаковатым изобретателем цифровых кодирующих машин. Они приглашают еще и специалиста по математической логике, и вскоре все трое погружаются в глубокие воды потока, ведущего в самое сердце великого открытия Гёделя. Конечно же, замок сейфа из Монте-Карло оказывается «гёделевым», а его modus ореrandi[!Принцип работы (лат.).!] прекрасно иллюстрирует фундаментальную идею Гёделя, влияние и результаты которой обнаруживаются во многих научных теориях, связанных с таким удивительным явлением, как процесс самовоспроизведения.
В конечном счете исследования Крейга и его друзей приводят к весьма примечательным математическим открытиям, не известным до настоящего времени ни ученому миру, ни тем более широкой публике, — это так называемые «законы Крейга» и «законы Фергюссона», которые впервые преданы гласности на страницах книги. Несомненно, они должны заинтересовать как любителей математики, так и логиков, лингвистов и специалистов по вычислительной технике.
Книгу эту я писал с огромным удовольствием; хотелось бы, чтобы с таким же удовольствием ее и читали. Собираюсь написать еще несколько книг в том же духе. Наконец, я хочу поблагодарить моего редактора Энн Клоуз и технического редактора Мелвина Розенталя за ту неоценимую помощь, которую они мне оказали.
Элка-Парк, штат Нью-Йорк
Рэймонд Смаллиан
Февраль 1982 г.
Часть первая. Принцесса или тигр?
Задачки с подвохом — старые и новые
Начнем с нескольких арифметических и логических задачек. Одни из них новые, а другие могут оказаться знакомыми читателю.
1. Сколько денег? Предположим, что у вас и у меня имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег я должен вам дать, чтобы у вас стало на 10 долларов больше, чем у меня? (Решения всех задач приведены в конце каждой главы.)
2 Задача о конгрессменах. В некоем конгрессе заседают сто политических деятелей. Каждый из них либо продажен либо честен. Нам известны следующие два факта:
1) По крайней мере один из конгрессменов является честным
2) Из каждой произвольно выбранной пары конгрессменов по крайней мере один продажен.
Можно ли с помощью этих двух утверждении определить, сколько конгрессменов в этом конгрессе будут честными, а сколько — продажными?
3. Старое вино в не слишком новые мехи. Бутылка вина стоит 10 долларов. Вино на 9 долларов дороже бутылки. Сколько стоит пустая бутылка?
4. Какова прибыль? Самое удивительное в этой задаче, что разные люди решают ее различными путями, каждый получает свой ответ и каждый с пеной у рта готов доказывать, что именно его ответ правильный.
Торговец купил некий товар за 7 долларов, продал его за 8, потом вновь купил за 9 долларов и опять продал его за 10. Какую прибыль он получил?
5. Задача о десяти любимцах. Самым поучительным в этой задаче является то, что, хотя она легко решается посредством элементарных алгебраических выкладок, ее можно решить вообще без всякой математики — лишь с помощью рассуждений. Более того, решение, подсказанное здравым смыслом, по-моему, гораздо интереснее и уж, конечно, более творческое, а также содержит больше информации, чем сугубо математическое решение.
Итак, десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, каждой кошке — пять. Сколько было собак и сколько кошек?
Любой читатель, хотя бы немного знакомый с алгеброй, легко найдет ответ. Можно решить эту задачу и методом проб и ошибок. Ясно, что для числа кошек в задаче есть 11 возможностей (от 0 до 10).
Перебрав все, легко найти правильный ответ. Однако если подойти к этой задаче толково, то оказывается, что есть еще одно удивительно простое решение, для которого не нужно ни алгебры, ни перебора вариантов. Поэтому я советую тем из вас, кто получит ответ ПО-СВОЕМУ, заглянуть в решение, приведенное в конце главы.
6. Большие и маленькие птицы. Вот еще одна задача, которая решатся как алгебраически, так и с помощью рассуждений; я и тут предпочитаю здравый смысл. В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди, зашедшая в магазин, купила 5 больших птиц и 3 маленьких, Если бы она вместо этого купила 3 больших птицы и 2 маленьких, то потратила бы на 20 долларов меньше. Что стоит каждая птица?
7. Как плохо быть рассеянным. Следующая история произошла на самом деле.
Как хорошо известно, с вероятностью более 50 % можно утверждать, что в группе, состоящей как минимум из 23 человек, всегда найдется по крайней мере двое, у которых день рождения падает на одно и то же число. В свое время я преподавал математику в Принстонском университете и как-то занимался со студентами элементарной теорией вероятностей. Я объяснил своим слушателям, что если число людей в группе увеличить с 23 до 30, то вероятность того, что в ней окажутся по крайней мере двое, которые родились в один и тот же день, окажется близка к единице.
— Но, — продолжал я — поскольку вас здесь всего 19, то вероятность того, что у двоих из вас дни рождения совпадают, будет гораздо меньше 50 %.
Тут один из студентов поднял руку:
— Бьюсь об заклад, профессор, что по крайней мере у двоих из присутствующих здесь дни рождения должны совпасть.
— С моей стороны было бы не очень честно принимать ваше пари, — ответил я. — Ведь теория вероятностей целиком на моей стороне.
— Это не имеет значения, — упорствовал студент. — Я все-таки готов с вами поспорить!
— Ну, ладно, — согласился я, надеясь преподать юному скептику достойный урок. Затем я стал по очереди опрашивать студентов, с тем, чтобы каждый назвал дату своего рождения. Не успели мы выслушать и половину присутствующих, как вдруг вся аудитория, в том числе и я, покатились со смеху по поводу моей бестолковости.
Юноша, который так самоуверенно вступил со мной в спор, не знал даты рождения никого из присутствующих, за исключением, конечно, самого себя. Не догадаетесь ли вы, почему он был так уверен в своей правоте?
8. Республиканцы и демократы. В одной фирме каждый служащий является либо республиканцем, либо демократом. Как-то раз один из демократов решил перейти в республиканцы, и после того, как это произошло, в фирме оказалось ровно столько же республиканцев, сколько и демократов. Спустя несколько недель новоиспеченный республиканец решил вновь стать демократом, так что все вернулось в исходное состояние.
Потом еще один республиканец также решил перейти в демократы — при этом демократов сразу стало вдвое больше, чем республиканцев. Сколько служащих в фирме?
9. Еще один вариант задачи о «разноцветных шляпах».
Три человека — А, В и С — обладают абсолютными логическими способностями. Любой из них может из произвольного набора предпосылок мгновенно вывести все возможные следствия. Кроме того, каждый из них знает, что двое других мыслят абсолютно логично.
Этой троице показали 7 марок: 2 красных, 2 желтых и 3 зеленых. Затем всем троим завязали глаза и каждому наклеили на лоб по марке, а оставшиеся 4 марки спрятали в коробку. Когда у них сняли с глаз повязки, у А спросили:
«Можете ли вы назвать хотя бы один цвет, которого на вас определенно нет?» На что А ответил: «Нет». Когда тот же самый вопрос задали В, он также ответил: «Нет».
Можно ли с помощью имеющейся информации установить, какого цвета марки у А, В и С?
10. Задача для тех, кто умеет играть в шахматы. Мне хотелось бы обратить ваше внимание на интересный класс головоломок с шахматами, которые в отличие от обычных шахматных задач типа «белые начинают и дают мат в столько-то ходов» заставляют нас обращаться к предыстории позиции, то есть исследовать, как она возникла на доске.
Однажды инспектор Крейг из Скотланд-Ярда[!Инспектор Крейг—герой моей предыдущей книги логических головоломок «Как же называется эта книга?» (М.: Мир, 1981).!], который интересовался такими задачами не меньше, чем Шерлок Холмс[!Многие задачи этого типа представлены в моей книге "Тhе Сhess Муsteries оf Shеrlоск Ноlmеs" («Шахматные тайны Шерлока Холмса»).!], вместе с другом заглянул в шахматный клуб, где их внимание привлекла оставленная кем-то шахматная доска с фигурами.
— Те, кто разыгрывал эту партию, — заметил приятель Крейга, — судя по всему, совершенно не знакомы с правилами игры. Подобная позиция просто невозможна!
— Почему? — поинтересовался Крейг.
— Потому что черные находятся под шахом одно временно от белой ладьи и от белого слона. Как могли белые объявить такой шах? Если бы они просто сделали ход ладьей, черный король уже находился бы под шахом от слона, а если бы они сходили слоном, то король еще перед этим должен был быть под шахом от ладьи. Поэтому такая позиция абсолютно нереальна!
Некоторое время Крейг внимательно изучал расположение фигур.
— Я думаю, — произнес он наконец, — это не так. Конечно, позиция весьма экстравагантна, но все же она вполне согласуется с правилами шахматной игры.
Тут Крейг оказался абсолютно прав! Данная позиция, хотя и выглядит на первый взгляд совершенно абсурдной, на самом деле вполне возможна, и мы можем даже указать последний ход белых. Что это был за ход?
1. Сколько денег? Предположим, что у вас и у меня имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег я должен вам дать, чтобы у вас стало на 10 долларов больше, чем у меня? (Решения всех задач приведены в конце каждой главы.)
2 Задача о конгрессменах. В некоем конгрессе заседают сто политических деятелей. Каждый из них либо продажен либо честен. Нам известны следующие два факта:
1) По крайней мере один из конгрессменов является честным
2) Из каждой произвольно выбранной пары конгрессменов по крайней мере один продажен.
Можно ли с помощью этих двух утверждении определить, сколько конгрессменов в этом конгрессе будут честными, а сколько — продажными?
3. Старое вино в не слишком новые мехи. Бутылка вина стоит 10 долларов. Вино на 9 долларов дороже бутылки. Сколько стоит пустая бутылка?
4. Какова прибыль? Самое удивительное в этой задаче, что разные люди решают ее различными путями, каждый получает свой ответ и каждый с пеной у рта готов доказывать, что именно его ответ правильный.
Торговец купил некий товар за 7 долларов, продал его за 8, потом вновь купил за 9 долларов и опять продал его за 10. Какую прибыль он получил?
5. Задача о десяти любимцах. Самым поучительным в этой задаче является то, что, хотя она легко решается посредством элементарных алгебраических выкладок, ее можно решить вообще без всякой математики — лишь с помощью рассуждений. Более того, решение, подсказанное здравым смыслом, по-моему, гораздо интереснее и уж, конечно, более творческое, а также содержит больше информации, чем сугубо математическое решение.
Итак, десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, каждой кошке — пять. Сколько было собак и сколько кошек?
Любой читатель, хотя бы немного знакомый с алгеброй, легко найдет ответ. Можно решить эту задачу и методом проб и ошибок. Ясно, что для числа кошек в задаче есть 11 возможностей (от 0 до 10).
Перебрав все, легко найти правильный ответ. Однако если подойти к этой задаче толково, то оказывается, что есть еще одно удивительно простое решение, для которого не нужно ни алгебры, ни перебора вариантов. Поэтому я советую тем из вас, кто получит ответ ПО-СВОЕМУ, заглянуть в решение, приведенное в конце главы.
6. Большие и маленькие птицы. Вот еще одна задача, которая решатся как алгебраически, так и с помощью рассуждений; я и тут предпочитаю здравый смысл. В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди, зашедшая в магазин, купила 5 больших птиц и 3 маленьких, Если бы она вместо этого купила 3 больших птицы и 2 маленьких, то потратила бы на 20 долларов меньше. Что стоит каждая птица?
7. Как плохо быть рассеянным. Следующая история произошла на самом деле.
Как хорошо известно, с вероятностью более 50 % можно утверждать, что в группе, состоящей как минимум из 23 человек, всегда найдется по крайней мере двое, у которых день рождения падает на одно и то же число. В свое время я преподавал математику в Принстонском университете и как-то занимался со студентами элементарной теорией вероятностей. Я объяснил своим слушателям, что если число людей в группе увеличить с 23 до 30, то вероятность того, что в ней окажутся по крайней мере двое, которые родились в один и тот же день, окажется близка к единице.
— Но, — продолжал я — поскольку вас здесь всего 19, то вероятность того, что у двоих из вас дни рождения совпадают, будет гораздо меньше 50 %.
Тут один из студентов поднял руку:
— Бьюсь об заклад, профессор, что по крайней мере у двоих из присутствующих здесь дни рождения должны совпасть.
— С моей стороны было бы не очень честно принимать ваше пари, — ответил я. — Ведь теория вероятностей целиком на моей стороне.
— Это не имеет значения, — упорствовал студент. — Я все-таки готов с вами поспорить!
— Ну, ладно, — согласился я, надеясь преподать юному скептику достойный урок. Затем я стал по очереди опрашивать студентов, с тем, чтобы каждый назвал дату своего рождения. Не успели мы выслушать и половину присутствующих, как вдруг вся аудитория, в том числе и я, покатились со смеху по поводу моей бестолковости.
Юноша, который так самоуверенно вступил со мной в спор, не знал даты рождения никого из присутствующих, за исключением, конечно, самого себя. Не догадаетесь ли вы, почему он был так уверен в своей правоте?
8. Республиканцы и демократы. В одной фирме каждый служащий является либо республиканцем, либо демократом. Как-то раз один из демократов решил перейти в республиканцы, и после того, как это произошло, в фирме оказалось ровно столько же республиканцев, сколько и демократов. Спустя несколько недель новоиспеченный республиканец решил вновь стать демократом, так что все вернулось в исходное состояние.
Потом еще один республиканец также решил перейти в демократы — при этом демократов сразу стало вдвое больше, чем республиканцев. Сколько служащих в фирме?
9. Еще один вариант задачи о «разноцветных шляпах».
Три человека — А, В и С — обладают абсолютными логическими способностями. Любой из них может из произвольного набора предпосылок мгновенно вывести все возможные следствия. Кроме того, каждый из них знает, что двое других мыслят абсолютно логично.
Этой троице показали 7 марок: 2 красных, 2 желтых и 3 зеленых. Затем всем троим завязали глаза и каждому наклеили на лоб по марке, а оставшиеся 4 марки спрятали в коробку. Когда у них сняли с глаз повязки, у А спросили:
«Можете ли вы назвать хотя бы один цвет, которого на вас определенно нет?» На что А ответил: «Нет». Когда тот же самый вопрос задали В, он также ответил: «Нет».
Можно ли с помощью имеющейся информации установить, какого цвета марки у А, В и С?
10. Задача для тех, кто умеет играть в шахматы. Мне хотелось бы обратить ваше внимание на интересный класс головоломок с шахматами, которые в отличие от обычных шахматных задач типа «белые начинают и дают мат в столько-то ходов» заставляют нас обращаться к предыстории позиции, то есть исследовать, как она возникла на доске.
Однажды инспектор Крейг из Скотланд-Ярда[!Инспектор Крейг—герой моей предыдущей книги логических головоломок «Как же называется эта книга?» (М.: Мир, 1981).!], который интересовался такими задачами не меньше, чем Шерлок Холмс[!Многие задачи этого типа представлены в моей книге "Тhе Сhess Муsteries оf Shеrlоск Ноlmеs" («Шахматные тайны Шерлока Холмса»).!], вместе с другом заглянул в шахматный клуб, где их внимание привлекла оставленная кем-то шахматная доска с фигурами.
— Те, кто разыгрывал эту партию, — заметил приятель Крейга, — судя по всему, совершенно не знакомы с правилами игры. Подобная позиция просто невозможна!
— Почему? — поинтересовался Крейг.
— Потому что черные находятся под шахом одно временно от белой ладьи и от белого слона. Как могли белые объявить такой шах? Если бы они просто сделали ход ладьей, черный король уже находился бы под шахом от слона, а если бы они сходили слоном, то король еще перед этим должен был быть под шахом от ладьи. Поэтому такая позиция абсолютно нереальна!
Некоторое время Крейг внимательно изучал расположение фигур.
— Я думаю, — произнес он наконец, — это не так. Конечно, позиция весьма экстравагантна, но все же она вполне согласуется с правилами шахматной игры.
Тут Крейг оказался абсолютно прав! Данная позиция, хотя и выглядит на первый взгляд совершенно абсурдной, на самом деле вполне возможна, и мы можем даже указать последний ход белых. Что это был за ход?
Решения
1. Распространенный неправильный ответ —10 долларов. Допустим теперь, что у каждого из нас, скажем, по 50 долларов. Если я дам вам 10 долларов, то у вас окажется 60 долларов, а у меня только 40. Следовательно, у вас будет на 20 долларов больше, чем у меня, а вовсе не на 10.
Итак, правильный ответ: 5 долларов.
2. Довольно распространенный ответ — 50 честных и 50 продажных. Другой сравнительно часто встречающийся ответ — 51 честный и 49 продажных. Оба этих ответа неправильны! Рассмотрим, какое же решение будет правильным.
Нам дано, что по меньшей мере один из конгрессменов должен быть честным. Возьмем любого честного конгрессмена, пусть его зовут Фрэнком. Выберем теперь любого из оставшихся 99 и назовем его Джоном. Согласно второму из условий задачи, по крайней мере один конгрессмен из пары Фрэнк — Джон является продажным. Так как Фрэнк не может быть продажным, то, следовательно, таковым должен быть Джон. Поскольку Джон условно представляет любого из оставшихся 99 конгрессменов, то, значит, каждый из этих 99 должен быть продажным. Таким образом, правильный ответ — 1 честный и 99 продажных.
Другой способ доказать это таков. В утверждении, что из любых двух конгрессменов хоть один продажен, сказано в точности то, что и в утверждении, что любые два конгрессмена не могут одновременно быть честными, иными словами, что сразу двух честных конгрессменов тут не найти. Значит, в этом конгрессе самое большее один конгрессмен честен. Но, согласно первому условию, уж один-то честный конгрессмен есть. Стало быть, ровно один честен. А на ваш взгляд, какое из двух доказательств лучшее?
3. Обычный неправильный ответ — 1 доллар. Так вот, если бы бутылка в самом деле стоила один доллар, тогда ее содержимое, будучи на 9 долларов дороже, стоило бы 10 долларов. Значит, вино вместе с бутылкой стоило бы 11 долларов.
Правильный ответ — бутылка стоит полдоллара, а вино — 9 /2 доллара. Общая их стоимость составляет 10.
4. Некоторые рассуждают так: купив некую вещь за 7 долларов и продав ее за 8, человек получает 1 доллар прибыли. Далее, вновь купив эту вещь за 9 долларов, после того как он уже продал ее за 8 долларов, покупатель теряет 1 доллар. Стало быть, к этому моменту он ничего не потерял и не приобрел. Но тогда (продолжая рассуждение аналогичным образом), продав за 10 долларов вещь, которую он перед этим купил за долларов, торговец вновь зарабатывает доллар. Следовательно, общая его прибыль составит 1 доллар.
Другой ход рассуждений приводит нас к выводу, что торговец ничего не выгадает и не потеряет. В самом деле, если он продал данную вещь за 8 долларов, купив ее перед этим за 7 долларов, то значит, человек сумел заработать 1 доллар. Но тогда он теряет 2 доллара, вновь покупая за 9 долларов ту вещь, за которую он первоначально заплатил 7 долларов, так что к этому моменту у него образуется дефицит в 1 доллар. В конце концов он получит свой доллар обратно, продав за 10 долларов вещь, которую перед этим купил за 9 долларов. Тем самым он остается, так сказать, при своих.
Оба рассуждения неверны. Правильный ответ — торговец заработает 2 доллара. Имеется несколько способов получения этого ответа. Один из них следующий. Во-первых, очевидно, что, продав за 8 долларов вещь, которую перед этим купил за 7 долларов, торговец заработал 1 доллар. Предположим теперь, что вместо того, чтобы вновь покупать ту же самую вещь за 9 долларов и потом продавать ее за 10 долларов, торговец покупает другую вещь за 9 долларов и пролает ее за 10 долларов. В самом деле, будет ли такая сделка хоть как-нибудь отличаться от предыдущей с чисто экономической точки зрения? Конечно же, нет! Поэтому очевидно, что, купив и опять продав эту другую вещь, торговец заработает еще 1 доллар. Следовательно, общая его прибыль составит 2 доллара.
Еще одно крайне простое доказательство таково: общая сумма расходов нашего торговца составляет 7 + 9 = 16 долларов, а его полный доход равен 8 + 10 = 18 долларам, что и составляет 2 доллара прибыли.
Для тех читателей, которых не убедили приведенные рассуждения, предположим, что у нашего торговца с утра имеется в бумажнике определенная сумма денег, скажем 100 долларов, и что в течение дня он совершит только 4 описанные сделки. Сколько денег окажется у него к концу дня? Пусть, например, он сначала заплатит за свою покупку 7 долларов; тогда у него в кармане останется 93 доллара. Когда же он продаст свое приобретение за 8 долларов, у него будет уже 101 доллар. Далее он вновь покупает эту же вещь за 9 долларов, то есть снова тратит 9 долларов на покупку, в результате чего у него остается 92 доллара. Наконец, продает злополучную вещь за 10 долларов, и, следовательно, у него оказывается 102 доллара. Итак, начал день с сотней долларов, а к вечеру имел 102 доллара. Так сколько же он приобрел за день? Ну, конечно же, 2 доллара!
5. Решение, которое я имею в виду, таково. Сперва скормим каждому из десяти животных по 5 галет. У нас останется 6 галет. Но теперь все кошки получили причитающуюся им долю! Значит, 6 оставшихся галет предназначаются собакам. А поскольку каждому псу должно достаться еще по одной галете, то, следовательно, собак — 6, а кошек — 4.
Конечно, это решение легко проверить. В самом деле, если 6 собак слопают по шесть галет, на это пойдет 36 галет. Четыре кошки, каждая из которых довольствуется 5 галетами, съедят 20 галет. В сумме это составит 56 галет, как и должно быть.
6. Поскольку цена одной большой птицы равна цене двух маленьких, то 5 больших птиц будут стоить столько же, сколько 10 маленьких. Значит, 5 больших птиц плюс 3 маленьких будут стоить столько же, сколько 13 маленьких. С другой стороны, цена 3 больших и 5 маленьких птиц равняется цене 11 маленьких птиц. Таким образом, разница между ценой 5 больших и 3 маленьких птиц оказывается равной разнице между ценой 13 и 11 маленьких птиц, то есть равна цене 2 маленьких птиц. Поскольку 2 маленькие птицы стоят 20 долларов, то цена одной маленькой птицы равняется 10 долларам.
Проверим наше решение. Маленькая птица стоит 10 долларов, большая — 20 долларов. Следовательно, счет на оплату 5 больших и 3 маленьких птиц составит 130 долларов. Если бы леди купила 3 больших и 5 маленьких птиц, она потратила бы 110 долларов, то есть действительно на 20 долларов меньше.
7. В тот момент, когда я заключил пари с этим студентом, у меня абсолютно вылетело из головы, что двое других моих студентов, всегда сидевших в аудитории рядышком, — близнецы.
8. В фирме было 12 служащих: 7 демократов и 5 республиканцев.
9. Единственным человеком, который может определить цвет своей марки, является С. Если бы марка С была красной, тогда В сразу сообразил бы, что его марка не может быть красной, рассуждая так: «Если бы моя марка тоже оказалась красной, тогда А, увидев перед собой две красные марки, сразу понял бы, что его марка не красная. Но А не знает, что его марка не красная. Следовательно, моя также не может быть красной». Это рассуждение доказывает, что если бы марка С была красной, то В знал бы, что его марка — не красная. Но В не знает, что его марка не красная, и, следовательно. марка С не может быть красной. То же самое рассуждение, в котором слово «красная» мы заменим на «желтая» показывает, что марка С не может быть также и желтой. Таким образом, на лбу у С марка зеленого цвета.
10. В условии задачи не оговорено, какая сторона доски соответствует белым фигурам, а какая — черным. Читателю может показаться, что белые ходят снизу вверх, но тогда эта позиция действительно не могла бы возникнуть! На самом же деле белые фигуры перемещаются сверху вниз и перед последним ходом позиция на доске была такой, как показано на рисунке.
Итак, правильный ответ: 5 долларов.
2. Довольно распространенный ответ — 50 честных и 50 продажных. Другой сравнительно часто встречающийся ответ — 51 честный и 49 продажных. Оба этих ответа неправильны! Рассмотрим, какое же решение будет правильным.
Нам дано, что по меньшей мере один из конгрессменов должен быть честным. Возьмем любого честного конгрессмена, пусть его зовут Фрэнком. Выберем теперь любого из оставшихся 99 и назовем его Джоном. Согласно второму из условий задачи, по крайней мере один конгрессмен из пары Фрэнк — Джон является продажным. Так как Фрэнк не может быть продажным, то, следовательно, таковым должен быть Джон. Поскольку Джон условно представляет любого из оставшихся 99 конгрессменов, то, значит, каждый из этих 99 должен быть продажным. Таким образом, правильный ответ — 1 честный и 99 продажных.
Другой способ доказать это таков. В утверждении, что из любых двух конгрессменов хоть один продажен, сказано в точности то, что и в утверждении, что любые два конгрессмена не могут одновременно быть честными, иными словами, что сразу двух честных конгрессменов тут не найти. Значит, в этом конгрессе самое большее один конгрессмен честен. Но, согласно первому условию, уж один-то честный конгрессмен есть. Стало быть, ровно один честен. А на ваш взгляд, какое из двух доказательств лучшее?
3. Обычный неправильный ответ — 1 доллар. Так вот, если бы бутылка в самом деле стоила один доллар, тогда ее содержимое, будучи на 9 долларов дороже, стоило бы 10 долларов. Значит, вино вместе с бутылкой стоило бы 11 долларов.
Правильный ответ — бутылка стоит полдоллара, а вино — 9 /2 доллара. Общая их стоимость составляет 10.
4. Некоторые рассуждают так: купив некую вещь за 7 долларов и продав ее за 8, человек получает 1 доллар прибыли. Далее, вновь купив эту вещь за 9 долларов, после того как он уже продал ее за 8 долларов, покупатель теряет 1 доллар. Стало быть, к этому моменту он ничего не потерял и не приобрел. Но тогда (продолжая рассуждение аналогичным образом), продав за 10 долларов вещь, которую он перед этим купил за долларов, торговец вновь зарабатывает доллар. Следовательно, общая его прибыль составит 1 доллар.
Другой ход рассуждений приводит нас к выводу, что торговец ничего не выгадает и не потеряет. В самом деле, если он продал данную вещь за 8 долларов, купив ее перед этим за 7 долларов, то значит, человек сумел заработать 1 доллар. Но тогда он теряет 2 доллара, вновь покупая за 9 долларов ту вещь, за которую он первоначально заплатил 7 долларов, так что к этому моменту у него образуется дефицит в 1 доллар. В конце концов он получит свой доллар обратно, продав за 10 долларов вещь, которую перед этим купил за 9 долларов. Тем самым он остается, так сказать, при своих.
Оба рассуждения неверны. Правильный ответ — торговец заработает 2 доллара. Имеется несколько способов получения этого ответа. Один из них следующий. Во-первых, очевидно, что, продав за 8 долларов вещь, которую перед этим купил за 7 долларов, торговец заработал 1 доллар. Предположим теперь, что вместо того, чтобы вновь покупать ту же самую вещь за 9 долларов и потом продавать ее за 10 долларов, торговец покупает другую вещь за 9 долларов и пролает ее за 10 долларов. В самом деле, будет ли такая сделка хоть как-нибудь отличаться от предыдущей с чисто экономической точки зрения? Конечно же, нет! Поэтому очевидно, что, купив и опять продав эту другую вещь, торговец заработает еще 1 доллар. Следовательно, общая его прибыль составит 2 доллара.
Еще одно крайне простое доказательство таково: общая сумма расходов нашего торговца составляет 7 + 9 = 16 долларов, а его полный доход равен 8 + 10 = 18 долларам, что и составляет 2 доллара прибыли.
Для тех читателей, которых не убедили приведенные рассуждения, предположим, что у нашего торговца с утра имеется в бумажнике определенная сумма денег, скажем 100 долларов, и что в течение дня он совершит только 4 описанные сделки. Сколько денег окажется у него к концу дня? Пусть, например, он сначала заплатит за свою покупку 7 долларов; тогда у него в кармане останется 93 доллара. Когда же он продаст свое приобретение за 8 долларов, у него будет уже 101 доллар. Далее он вновь покупает эту же вещь за 9 долларов, то есть снова тратит 9 долларов на покупку, в результате чего у него остается 92 доллара. Наконец, продает злополучную вещь за 10 долларов, и, следовательно, у него оказывается 102 доллара. Итак, начал день с сотней долларов, а к вечеру имел 102 доллара. Так сколько же он приобрел за день? Ну, конечно же, 2 доллара!
5. Решение, которое я имею в виду, таково. Сперва скормим каждому из десяти животных по 5 галет. У нас останется 6 галет. Но теперь все кошки получили причитающуюся им долю! Значит, 6 оставшихся галет предназначаются собакам. А поскольку каждому псу должно достаться еще по одной галете, то, следовательно, собак — 6, а кошек — 4.
Конечно, это решение легко проверить. В самом деле, если 6 собак слопают по шесть галет, на это пойдет 36 галет. Четыре кошки, каждая из которых довольствуется 5 галетами, съедят 20 галет. В сумме это составит 56 галет, как и должно быть.
6. Поскольку цена одной большой птицы равна цене двух маленьких, то 5 больших птиц будут стоить столько же, сколько 10 маленьких. Значит, 5 больших птиц плюс 3 маленьких будут стоить столько же, сколько 13 маленьких. С другой стороны, цена 3 больших и 5 маленьких птиц равняется цене 11 маленьких птиц. Таким образом, разница между ценой 5 больших и 3 маленьких птиц оказывается равной разнице между ценой 13 и 11 маленьких птиц, то есть равна цене 2 маленьких птиц. Поскольку 2 маленькие птицы стоят 20 долларов, то цена одной маленькой птицы равняется 10 долларам.
Проверим наше решение. Маленькая птица стоит 10 долларов, большая — 20 долларов. Следовательно, счет на оплату 5 больших и 3 маленьких птиц составит 130 долларов. Если бы леди купила 3 больших и 5 маленьких птиц, она потратила бы 110 долларов, то есть действительно на 20 долларов меньше.
7. В тот момент, когда я заключил пари с этим студентом, у меня абсолютно вылетело из головы, что двое других моих студентов, всегда сидевших в аудитории рядышком, — близнецы.
8. В фирме было 12 служащих: 7 демократов и 5 республиканцев.
9. Единственным человеком, который может определить цвет своей марки, является С. Если бы марка С была красной, тогда В сразу сообразил бы, что его марка не может быть красной, рассуждая так: «Если бы моя марка тоже оказалась красной, тогда А, увидев перед собой две красные марки, сразу понял бы, что его марка не красная. Но А не знает, что его марка не красная. Следовательно, моя также не может быть красной». Это рассуждение доказывает, что если бы марка С была красной, то В знал бы, что его марка — не красная. Но В не знает, что его марка не красная, и, следовательно. марка С не может быть красной. То же самое рассуждение, в котором слово «красная» мы заменим на «желтая» показывает, что марка С не может быть также и желтой. Таким образом, на лбу у С марка зеленого цвета.
10. В условии задачи не оговорено, какая сторона доски соответствует белым фигурам, а какая — черным. Читателю может показаться, что белые ходят снизу вверх, но тогда эта позиция действительно не могла бы возникнуть! На самом же деле белые фигуры перемещаются сверху вниз и перед последним ходом позиция на доске была такой, как показано на рисунке.