Страница:
Если сквозь плоскость будет проходить разноцветный куб, то весь куб и его движение плоское существо будет воспринимать как изменение цвета линий, лежащих на поверхности. При этом если синяя линия сменит красную, то плоское существо будет считать красную линию прошедшим явлением. Оно не будет в состоянии представить себе, что красная линия где-нибудь существует. Оно скажет, что линия одна, но меняет цвет в силу каких-то причин физического характера. Если куб двинется обратно, и после синей опять появится красная линия, то для плоского существа это будет новое явление. Оно скажет, что линия опять покраснела.
Все, находящееся сверху и снизу, если плоскость горизонтальная, и справа и слева, если плоскость вертикальная, будет для существа, живущего на этой плоскости, лежать во времени, то есть в прошедшем и будущем. То есть то, что на самом деле лежит вне плоскости, будет считаться несуществующим: или уже прошедшим, то есть исчезнувшим, переставшим быть, тем, что никогда не вернется; или будущим, то есть еще не существующим, не проявившимся, только возможным.
* * *
Представим себе, что сквозь плоскость, на которой живет двумерное существо, вращается колесо с разноцветными спицами. Двумерное существо все движение спиц будет представлять переменой цвета линии, лежащей на поверхности. Это изменение цвета линии плоское существо назовет явлением, и, наблюдая эти явления, оно заметит в них некоторую последовательность. Оно будет знать, что за черной линией идет белая, за белой голубая, за голубой розовая. Если с появлением белой линии будет связано какое-нибудь другое явление, например звонок, то двумерное существо скажет, что белая линия есть причина звонка. Самая перемена цвета, по мнению двумерного существа, будет зависеть от каких-нибудь причин, лежащих здесь же на плоскости. Предположение о возможности существования причин, лежащих вне плоскости, оно назовет совершенно фантастическим и абсолютно ненаучным. Это будет казаться ему таким потому, что оно никогда не будет в состоянии представить себе колеса, то есть частей колеса по обе стороны от плоскости. Изучив перемену цвета линий и зная их порядок, плоское существо, видя одну из них, скажем голубую, будет думать, что черная и белая уже прошли, то есть исчезли, перестали существовать, ушли в прошедшее, а те линии, которые еще не появились -- желтая, зеленая и др., в том числе и новые белая и черная, которые еще будут, -- еще не существуют, лежат в будущем.
Таким образом, хотя и не сознавая формы своей Вселенной и считая ее бесконечной во всех направлениях, плоское существо невольно будет думать, что где-то с одной стороны от всего лежит прошедшее, а с другой стороны от всего лежит будущее. Так составится у двумерного существа идея времени. Мы видим, что она возникает благодаря тому, что двумерное существо из трех измерений пространства ощущает только два, третье измерение оно ощущает только по его эффектам на плоскости и потому считает чем-то отличным от двух первых измерений пространства, называя его временем.
Представим себе, что сквозь плоскость, на которой живет двумерное существо, вращаются два колеса с разноцветными спицами и вращаются в противоположные стороны. Спицы одного приходят сверху и уходят вниз; спицы другого приходят снизу и уходят вверх.
Плоское существо этого никогда не заметит. Оно никогда не заметит, что там, где для одной линии (которую оно видит), лежит прошедшее, -- для другой линии лежит будущее. Ему даже никогда не придет в голову эта мысль, потому что и прошедшее, и будущее оно будет представлять себе очень смутно и будет считать их только понятиями, не реальными фактами. Но в то же время оно будет твердо уверено, что прошедшее идет в одну сторону, а будущее в другую. И ему будет казаться диким абсурдом, что с одной стороны может лежать рядом нечто прошедшее и нечто будущее, а с другой тоже рядом нечто будущее и нечто прошедшее. И такой же нелепостью будет казаться ему, что одни явления приходят оттуда, куда другие уходят, и наоборот. Оно будет упорно думать, что будущее -- это то, откуда все приходит, а прошедшее -- это то, куда все уходит и откуда ничто не возвращается. Понять, что события могут идти из прошедшего, так же как из будущего, плоское существо не будет в состоянии.
Таким образом, мы видим, что плоское существо будет очень наивно относиться к изменению цвета линии, лежащей на поверхности. Появление разных спиц оно будет считать изменением цвета одной и той же линии, и повторяющееся появление спицы какого-нибудь цвета оно будет считать каждый раз новым появлением данного цвета.
Но тем не менее, заметив периодичность изменения цвета линий на поверхности, запомнив порядок их появления и научившись определять "время" появления известных спиц по сравнению с каким-нибудь другим, более постоянным явлением, плоское существо будет в состоянии предсказать изменение линии в тот или другой цвет.
Тогда оно скажет, что изучило это явление, то есть может применять к нему "математический метод" -- "вычислять его".
* * *
Если мы войдем в мир плоских существ, то плоское существо ощутит только линии, ограничивающие разрезы наших тел. Эти "разрезы", которые для него будут живыми существами, будут неизвестно откуда появляться, неизвестно почему меняться и неизвестно куда исчезать чудесным образом. Точно такими же самостоятельными живыми существами будут казаться им разрезы всех наших неодушевленных, но движущихся предметов.
Если бы сознание плоского существа заподозрило наше существование и вошло в какое-нибудь общение с нашим сознанием, то мы оказались бы для него высшим, всезнающим, может быть, всемогущим, а главное -- непостижимыми существами, совершенно непонятной категории.
Мы видели бы его мир как он есть, а не так, как он кажется ему. Мы видели бы прошедшее и будущее, могли бы предсказывать, направлять и даже создавать события.
Мы знали бы сущность вещей. Знали бы, что такое "материя" (прямая линия), что такое "движение" (кривая и ломаная линия, угол). Мы видели бы угол и видели бы центр. И все это давало бы нам огромное преимущество перед двумерным существом.
Во всех явлениях мира двумерного существа мы видели бы гораздо больше, чем видит оно, -- или видели бы совсем другое, чем оно.
И мы могли бы рассказать ему очень много нового, неожиданного и поразительного о явлениях его мира, -- если бы оно могло слушать нас и могло понимать нас.
Прежде всего, мы могли бы сказать ему, что то, что оно считает явлениями, например углы или кривые, есть свойства высших тел, что другие "явления" его мира не есть явления, а только части или "разрезы" явлений, что то, что оно называет "телами", есть только разрезы тел -- и многое другое кроме этого.
Мы могли бы сказать ему, что с обеих сторон его плоскости, (то есть его пространства или его эфира) лежит бесконечное пространство (которое плоское существо называет временем). И что в этом пространстве лежат причины всех его "явлений" и сами явления, как прошедшие, так и будущие, -- и мы могли бы прибавить еще, что сами "явления" не есть нечто случающееся и перестающее быть, а только комбинации свойств высших тел.
При этом нам было бы очень трудно что-нибудь объяснить плоскому существу. А ему было бы очень трудно понять нас. И прежде всего это было бы трудно потому, что у него не было бы понятий, соответствующих нашим понятиям. Не было бы нужных "слов".
Например, разрез -- это было бы для него совершенно новое и непонятное слово. Затем угол -- опять непонятное слово. Центр -- еще более непонятное. Третий перпендикуляр -- нечто непостижимое, лежащее вне геометрии.
Неправильность его представлений о времени плоскому существу понять было бы труднее всего. Оно никак не могло бы себе представить, что то, что прошло, и то, что будет, существует одновременно на плоскостях, перпендикулярных к его плоскости. И никак не могло бы себе представить, что прошедшее тождественно с будущим, потому что явления приходят с обеих сторон и в обе стороны уходят.
Но труднее всего двумерному существу было бы понять то, что "время" заключает в себе две идеи: идею пространства и идею движения по этому пространству.
Мы уже сказали, что то, что двумерное существо, живущее на плоскости, будет называть движением, для нас будет иметь совершенно другой вид.
В книге "The Fourth Dimension" под заголовком "Первая глава в истории четырехмерного пространства" Хинтон пишет:
Парменид и азиатские мыслители, к которым он очень близок, излагали теорию существования, совершенно согласную с возможным отношением между высшим и низшим пространством. Эта теория во все века обладала большой притягательной силой для чистого интеллекта, и она представляет собой естественный способ мышления тех людей, которые воздерживаются от проектирования на природу под маской причинности своей собственной воли (volition).
Согласно Пармениду из элеатической школы, все есть единое, неподвижное и неизменное. Постоянное среди переходного -- та опора для мысли, та твердая почва для чувства, от открытия которой зависит вся наша жизнь, -- не фантом; это среди обмана образ истинного существа, вечного, неподвижного, единого. Так говорит Парменид.
Но как объяснить бегущие сцены, вечные перемены вещей?
Иллюзия, отвечает Парменид. И, проводя различие между истиной и заблуждением, он говорит об истинной доктрине единого -- и о ложном представлении меняющегося мира. И он интересен не только задачей, которую разбирает, но и своей манерой ее исследования.
Ум не может представить себе более восхитительной интеллектуальной картины, чем та, которую рисует Парменид, указывающий на единое, истинное, неизменное -- и, однако, в то же время готовый обсуждать все виды ложных мнений...
Истинное мнение он поддерживал, идя путем отрицания и указания противоречий в идеях перемены и движения. Чтобы выразить его идею тяжеловесным современным образом, мы должны сказать, что движение не реально, а феноменально.
Попробуем представить себе его учение.
Представим себе поверхность тихой воды, в которую опускаем палку в наклонном положении, движением вертикальным сверху вниз. Пускай 1, 2, 3 на рисунке 1-м будут тремя последовательными положениями палки. А, В, С будут три последовательных положения пункта встречи палки с поверхностью воды. При опускании палки вниз этот пункт встречи будет двигаться от А к В и С.
Предположим теперь, что вся вода исчезла, кроме тонкой пленки на поверхности. Палка, опускаясь, будет прорывать пленку. Но если мы предположим, что пленка обладает свойством пленки мыльного пузыря закрываться вокруг проникающего через нее предмета, тогда при вертикальном движении палки сверху вниз, прорыв пленки будет двигаться от А к С.
Рис. 1 и 2
Если мы пропустим спираль через пленку, их пересечение даст точку, двигающуюся по кругу, показанному пунктиром на рисунке 2-м.
Для плоского существа такая двигающаяся по кругу точка на его плоскости будет, вероятно, космическим явлением вроде движения планеты по орбите.
Если мы предположим, что спираль неподвижна, а пленка непрерывно движется вверх, то круговое движение точки будет идти, пока не остановится это движение.
Если вместо одной спирали мы возьмем сложное построение из спиралей, наклонных и прямых, ломаных и кривых линий -- то при движении пленки вверх на ней получается целый мир движущихся точек, движения которых плоскому существу будут казаться самостоятельными.
Разумеется, плоское существо будет объяснять эти движения как зависящие одно от другого, и ему даже в голову не придет фиктивность этого движения и зависимость его от спиралей и других линий, лежащих вне его пространства.
Возвращаясь к плоскому существу и к его представлению о мире и разбирая его отношение к трехмерному миру, мы видим, что двумерному и плоскому существу будет очень трудно понять всю сложность явлений нашего мира, как она является для нас. Оно (плоское существо) привыкло представлять себе мир чересчур простым.
Принимая разрезы тела за тела, плоское существо будет сравнивать их только в отношении длины и большей или меньшей кривизны, то есть для него более или менее быстрого движения. Различий, существующих между вещами в нашем мире, для него быть не могло бы.
Функции предметов нашего мира были бы совершенно недоступны его пониманию, непостижимы, " сверхъестественны ".
Представим себе, что на плоскость двумерного существа положена монета и поставлен огарок свечи одного диаметра с монетой. Для плоского существа это будут два равных круга, то есть две движущиеся линии абсолютно тождественные, никакого различия между ними он никогда не найдет. Функции монеты и свечи в нашем мире -- это для него совершенно terra incognita. Если мы только попробуем представить себе, какую огромную эволюцию должно проделать плоское существо, чтобы понять функции монеты и свечи и различие этих функций, -- мы поймем, что разделяет плоский мир от трехмерного. Разделяет, прежде всего, полнейшая невозможность даже представить на плоскости что-нибудь похожее на трехмерный мир с разнообразием его функций.
Свойства явлений плоского мира будут крайне однообразны, они будут различаться порядком появлений, длительностью, периодичностью. Тела и предметы этого мира будут плоски и однообразны, как тени, то есть как тени совершенно разных предметов, которые нам представляются одинаковыми. Даже если бы плоское существо своим сознанием вступило в общение с нашим сознанием, то оно все-таки не было бы в состоянии понять все разнообразие и богатство явлений нашего мира и разнообразие функций наших предметов.
Плоские существа не были бы в состоянии усвоить себе самых обыкновенных для нас понятий.
Для них было бы очень трудно понять, что явления одинаковые для них, на самом деле разные -- и что, с другой стороны, явления совершенно отдельные для них на самом деле части одного большого явления и даже одного предмета или одного существа.
Это последнее будет одно из самых трудных вещей для понимания плоского существа. Если мы предположим, что наше плоское существо живет на горизонтальной плоскости, пересекающей вершину дерева параллельно земле, то для этого существа разрезы ветвей будут представляться совершенно отдельными явлениями или предметами. Идея дерева и его ветвей никогда не может представиться его воображению.
Вообще понимание даже самых основных и простых вещей нашего мира будет бесконечно долгим и трудным для плоского существа.
Оно должно совершенно перестроить свои представления о пространстве и времени. Это должно быть первым шагом. Пока это не сделано, нет ничего. Пока всю нашу Вселенную плоское существо представляет во времени, то есть относит ко времени все, лежащее по сторонам его плоскости, оно никогда ничего не поймет. Чтобы начать постигать "третье измерение", двумерное существо, живущее на плоскости, должно представить себе пространственно свои временные понятия, то есть перенести свое время в пространство.
Чтобы получить только искру правильного представления о нашем мире, оно должно будет совершенно перестроить все свои идеи о мире, -- переоценить все ценности, пересмотреть все понятия, объединяющие понятия разъединить, разъединяющие соединить и, главное, создать бесконечно много новых.
Если мы поставим на плоскость двумерного существа пять пальцев нашей руки, то это будет для него пять отдельных явлений.
Попробуем представить себе мысленно, какую огромную умственную эволюцию должно проделать плоское существо, чтобы понять, что пять отдельных явлений на его плоскости -- это концы пальцев руки большого, деятельного и разумного существа -- человека.
Если мы ясно представим себе всю трудность нарисовать всего человека, со всем богатством его жизненных функций и психической и духовной жизни, по одному только отпечатку его пальцев, то мы поймем трудность постигнуть трехмерный мир для плоского существа.
Разобрать подробно шаг за шагом, как плоское существо переходило бы к пониманию нашего мира, лежащего для него в области таинственного третьего измерения, то есть частью в прошедшем, частью в будущем, -- было бы в высшей степени интересно... но, может быть, совершенно не нужно. Чтобы постигнуть мир трех измерений, плоское существо прежде всего должно перестать быть двумерным -- то есть должно само стать трехмерным, или, иначе говоря, должно почувствовать интересы жизни в трехмерном пространстве. Почувствовав интересы этой жизни, оно уже этим самым отойдет от своей плоскости и никогда не будет в состоянии на нее вернуться. Все больше и больше входя в круг бывших для него раньше совершенно непостижимыми идей и понятий, оно уже станет не двумерным существом, а трехмерным.
ГЛАВА VII
Невозможность математического определения измерений. -- Почему математика не чувствует измерений? -- Полная условность изображения измерений степенями. -- Возможность представить себе все степени на линии. -- Кант и Лобачевский. -- Различие неэвклидовой геометрии и метагеометрии. -- Где должны мы искать объяснения трехмерности мира, если верны идеи Канта? -- Не заключаются ли условия трехмерности мира в нашем воспринимательном аппарате, в нашей психике?
Разобрав теперь "отношения, которые несет в себе самом наше пространство", мы должны вернуться к вопросу о том, что же в действительности представляют собой измерения пространства? И почему их три?
Самым странным для нас должно представляться то, что мы не можем определить трехмерность математически.
Мы плохо сознаем это, и это кажется парадоксом, потому что мы все время говорим об измерении пространства, но это факт. Математика не чувствует протяжений пространства.
Возникает вопрос, как может такое тонкое орудие анализа, как математика, не чувствовать измерений, если они представляют собой какие-то реальные свойства пространства.
Говоря о математике, мы прежде всего должны признать, как основную предпосылку, что всякому математическому выражению соответствует отношение каких-то реальностей.
Если этого нет, если это не верно -- то нет математики. Это ее главная сущность, главное содержание. Выражать отношения, вот задача математики. Но отношения должны быть между чем-нибудь. Вместо алгебраических а, b и с всегда должно быть можно подставить какую-нибудь реальность. Это азбука всей математики. А, b и c -- это кредитные билеты, они могут быть настоящими, и могут быть фальшивыми, если за ними нет никакой реальности.
"Измерения" играют здесь очень странную роль. Если мы изобразим их алгебраическими знаками а, b и с, то они будут иметь характер фальшивых кредитных билетов. Эти а, b и с нельзя заменить никакими реальными величинами, которые выражали бы отношения измерений.
Обыкновенно изображают измерения степенями, первой, второй и третьей, то есть если линию называют а, то квадрат, стороны которого равны этой линии, называют а2, и куб, стороны которого равны этому квадрату, называют а3.
Это, между прочим, дало основание Хинтону строить теорию тессарактов, тел четырех измерений, а4. Но это чистая беллетристика. Прежде всего потому, что изображение "измерений" степенями совершенно условно. Все степени можно изобразить на линии. Возьмем отрезок а, равный пяти миллиметрам, -- тогда отрезок в 25 миллиметров будет его квадратом, то есть а2; а отрезок в 125 миллиметров будет кубом, то есть а3.
Как же понять, что математика не чувствует измерений, -- то есть что математически нельзя выразить разницу между измерениями?
Это можно понять и объяснить только одним -- именно, что этой разницы не существует.
И действительно, мы знаем, что все измерения в сущности тождественны, то есть каждое из трех измерений можно по очереди рассматривать, как первое, как второе, как третье и наоборот. Это уже ясно доказывает, что измерения не есть математические величины. Все реальные свойства вещи могут быть выражены математически в виде величин, то есть числами, показывающими отношение этих свойств к другим свойствам.
Но математика в вопросе об измерениях видит как будто больше нас или дальше нас, через какие-то грани, которые останавливают нас, но не стесняют ее, -- и видит, что нашим понятиям измерений не соответствуют никакие реальности.
Если бы три измерения соответствовали действительно трем степеням, то мы имели бы право сказать, что только три степени относятся к геометрии, а все остальные отношения высших степеней, начиная с четвертой, лежат за геометрией.
Но у нас нет даже этого. Изображение измерений степенями совершенно условно.
Вернее сказать -- геометрия с точки зрения математики есть искусственное построение для разрешения задач на условных данных, выведенных, вероятно, из свойств нашей психики.
Систему исследования "высшего пространства" Хинтон называет метагеометрией, и он связывает с метагеометрией имена Лобачевского, Гаусса и других исследователей неэвклидовой геометрии.
Мы должны рассмотреть, в каком отношении к затронутым нами вопросам находятся теории этих ученых.
Хинтон выводит свои идеи из Канта и Лобачевского.
Другие, наоборот, противопоставляют идеи Канта идеям Лобачевского. Так, Роберто Бонола в "Неэвклидовой геометрии" говорит, что воззрение Лобачевского на пространство противоположно кантовскому. Он говорит:
Учение Канта рассматривает пространство как некоторую форму субъективного созерцания, необходимо предшествующую всякому опыту; учение Лобачевского, примыкающее скорее к сенсуализму и обычному эмпиризму, возвращает геометрию в область опытных наук. (Роберто Бонола. Неэвклидова геометрия. СПб., 1910, с. 77.)
Какой же взгляд правилен и в каком отношении стоят идеи Лобачевского к нашей проблеме? Вернее всего будет сказать: ни в каком отношении. Неэвклидова геометрия не есть метагеометрия, и неэвклидова геометрия стоит к метагеометрии в таком же отношении, как Эвклидова геометрия.
Результаты всей неэвклидовой геометрии, подвергшей переоценке основные аксиомы Эвклида и нашедшей свое наиболее полное выражение в работах Больяйя, Гаусса и Лобачевского, выражается в формуле: Аксиомы данной геометрии выражают свойства данного пространства.
Так, геометрия на плоскости принимает все три аксиомы Эвклида, то есть:
1. прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками;
2. каждую фигуру можно переносить на другое место, не нарушая ее свойств;
3. параллельные линии не встречаются.
(Эта последняя аксиома обыкновенно выражается по Эвклиду иначе).
В геометрии на сфере или на вогнутой поверхности верны только две первые аксиомы, так как меридианы параллельные у экватора у полюсов уже встречаются. Причем в геометрии на сфере сумма трех углов треугольника более двух прямых, а в геометрии на вогнутой поверхности -- меньше двух прямых.
В геометрии на поверхности с неправильной кривизной верна только первая аксиома, вторая -- о переносе фигур, уже невозможна, так как фигура, взятая в одном месте неправильной поверхности, может измениться при переносе на другое место. И сумма углов треугольника может быть и больше, и меньше двух прямых.
Таким образом, аксиомы выражают различие свойств различного рода поверхностей. Геометрическая аксиома есть закон данной поверхности.
Но что такое поверхность?
Заслуга Лобачевского в том, что он находил необходимым пересмотреть основные понятия геометрии. Но он никогда не шел так далеко, чтобы переоценить эти понятия с точки зрения Канта. В то же время он ни в каком случае не возражал против Канта. Поверхность в уме Лобачевского как геометра, была только средством обобщения некоторых свойств, в которых строилась та или другая геометрическая система, или обобщением свойств данных линий. О реальности или нереальности поверхности он, вероятно, совсем не думал.
Таким образом, с одной стороны, совершенно не прав Бонола, который приписывает Лобачевскому воззрения, противоположные кантовским, и близость к "сенсуализму" и "обычному эмпиризму", -- а с другой стороны, можно думать, что Хинтон совершенно субъективно приписывает Гауссу и Лобачевскому, что они открыли новую эру в философии.
Неэвклидова геометрия, в том числе и геометрия Лобачевского, не имеет никакого отношения к метагеометрии.
Лобачевский не выходит из сферы трех измерений.
Метагеометрия рассматривает сферу трех измерений как разрез высшего пространства. Из математиков ближе всех к этой идее стоял Риман, понимавший отношение времени к пространству.
Точка трехмерного пространства есть разрез метагеометрической линии. Линии, которые рассматривает метагеометрия, нельзя обобщить ни в какой поверхности. Это последнее, может быть, самое важное для определения различия геометрии (эвклидовой и неэвклидовой) и метагеометрии. Метагеометрические линии нельзя рассматривать как расстояние между точками в нашем пространстве. И нельзя представить себе образующими какие-либо фигуры в нашем пространстве.
Рассмотрение возможных свойств линий, лежащих вне нашего пространства, их углов и отношений этих линий и углов к линиям, углам, поверхностям и телам нашей геометрии и составляет предмет метагеометрии.
Исследователи неэвклидовой геометрии не могли решиться отойти от поверхности. В этом есть что-то прямо трагическое. Посмотрите, какие поверхности придумывал Лобачевский при своих исследованиях 11-го постулата Эвклида (о параллельных линиях, то есть собственно об углах, образуемых линией, пересекающей две параллельные) -- одна из его поверхностей похожа на поверхность лопастей вентилятора*, другая на поверхность воронки. Но отойти от поверхности совсем, бросить ее раз и навсегда, представить себе, что линия может быть не на поверхности, то есть что ряд линий параллельных или близких к параллельным не может быть обобщен ни в какой поверхности и даже вообще в трехмерном пространстве, -- он не мог решиться. И поэтому -- и он и очень многие другие геометры, создавая неэвклидову геометрию, не могли выйти из трехмерного мира.
Все, находящееся сверху и снизу, если плоскость горизонтальная, и справа и слева, если плоскость вертикальная, будет для существа, живущего на этой плоскости, лежать во времени, то есть в прошедшем и будущем. То есть то, что на самом деле лежит вне плоскости, будет считаться несуществующим: или уже прошедшим, то есть исчезнувшим, переставшим быть, тем, что никогда не вернется; или будущим, то есть еще не существующим, не проявившимся, только возможным.
* * *
Представим себе, что сквозь плоскость, на которой живет двумерное существо, вращается колесо с разноцветными спицами. Двумерное существо все движение спиц будет представлять переменой цвета линии, лежащей на поверхности. Это изменение цвета линии плоское существо назовет явлением, и, наблюдая эти явления, оно заметит в них некоторую последовательность. Оно будет знать, что за черной линией идет белая, за белой голубая, за голубой розовая. Если с появлением белой линии будет связано какое-нибудь другое явление, например звонок, то двумерное существо скажет, что белая линия есть причина звонка. Самая перемена цвета, по мнению двумерного существа, будет зависеть от каких-нибудь причин, лежащих здесь же на плоскости. Предположение о возможности существования причин, лежащих вне плоскости, оно назовет совершенно фантастическим и абсолютно ненаучным. Это будет казаться ему таким потому, что оно никогда не будет в состоянии представить себе колеса, то есть частей колеса по обе стороны от плоскости. Изучив перемену цвета линий и зная их порядок, плоское существо, видя одну из них, скажем голубую, будет думать, что черная и белая уже прошли, то есть исчезли, перестали существовать, ушли в прошедшее, а те линии, которые еще не появились -- желтая, зеленая и др., в том числе и новые белая и черная, которые еще будут, -- еще не существуют, лежат в будущем.
Таким образом, хотя и не сознавая формы своей Вселенной и считая ее бесконечной во всех направлениях, плоское существо невольно будет думать, что где-то с одной стороны от всего лежит прошедшее, а с другой стороны от всего лежит будущее. Так составится у двумерного существа идея времени. Мы видим, что она возникает благодаря тому, что двумерное существо из трех измерений пространства ощущает только два, третье измерение оно ощущает только по его эффектам на плоскости и потому считает чем-то отличным от двух первых измерений пространства, называя его временем.
Представим себе, что сквозь плоскость, на которой живет двумерное существо, вращаются два колеса с разноцветными спицами и вращаются в противоположные стороны. Спицы одного приходят сверху и уходят вниз; спицы другого приходят снизу и уходят вверх.
Плоское существо этого никогда не заметит. Оно никогда не заметит, что там, где для одной линии (которую оно видит), лежит прошедшее, -- для другой линии лежит будущее. Ему даже никогда не придет в голову эта мысль, потому что и прошедшее, и будущее оно будет представлять себе очень смутно и будет считать их только понятиями, не реальными фактами. Но в то же время оно будет твердо уверено, что прошедшее идет в одну сторону, а будущее в другую. И ему будет казаться диким абсурдом, что с одной стороны может лежать рядом нечто прошедшее и нечто будущее, а с другой тоже рядом нечто будущее и нечто прошедшее. И такой же нелепостью будет казаться ему, что одни явления приходят оттуда, куда другие уходят, и наоборот. Оно будет упорно думать, что будущее -- это то, откуда все приходит, а прошедшее -- это то, куда все уходит и откуда ничто не возвращается. Понять, что события могут идти из прошедшего, так же как из будущего, плоское существо не будет в состоянии.
Таким образом, мы видим, что плоское существо будет очень наивно относиться к изменению цвета линии, лежащей на поверхности. Появление разных спиц оно будет считать изменением цвета одной и той же линии, и повторяющееся появление спицы какого-нибудь цвета оно будет считать каждый раз новым появлением данного цвета.
Но тем не менее, заметив периодичность изменения цвета линий на поверхности, запомнив порядок их появления и научившись определять "время" появления известных спиц по сравнению с каким-нибудь другим, более постоянным явлением, плоское существо будет в состоянии предсказать изменение линии в тот или другой цвет.
Тогда оно скажет, что изучило это явление, то есть может применять к нему "математический метод" -- "вычислять его".
* * *
Если мы войдем в мир плоских существ, то плоское существо ощутит только линии, ограничивающие разрезы наших тел. Эти "разрезы", которые для него будут живыми существами, будут неизвестно откуда появляться, неизвестно почему меняться и неизвестно куда исчезать чудесным образом. Точно такими же самостоятельными живыми существами будут казаться им разрезы всех наших неодушевленных, но движущихся предметов.
Если бы сознание плоского существа заподозрило наше существование и вошло в какое-нибудь общение с нашим сознанием, то мы оказались бы для него высшим, всезнающим, может быть, всемогущим, а главное -- непостижимыми существами, совершенно непонятной категории.
Мы видели бы его мир как он есть, а не так, как он кажется ему. Мы видели бы прошедшее и будущее, могли бы предсказывать, направлять и даже создавать события.
Мы знали бы сущность вещей. Знали бы, что такое "материя" (прямая линия), что такое "движение" (кривая и ломаная линия, угол). Мы видели бы угол и видели бы центр. И все это давало бы нам огромное преимущество перед двумерным существом.
Во всех явлениях мира двумерного существа мы видели бы гораздо больше, чем видит оно, -- или видели бы совсем другое, чем оно.
И мы могли бы рассказать ему очень много нового, неожиданного и поразительного о явлениях его мира, -- если бы оно могло слушать нас и могло понимать нас.
Прежде всего, мы могли бы сказать ему, что то, что оно считает явлениями, например углы или кривые, есть свойства высших тел, что другие "явления" его мира не есть явления, а только части или "разрезы" явлений, что то, что оно называет "телами", есть только разрезы тел -- и многое другое кроме этого.
Мы могли бы сказать ему, что с обеих сторон его плоскости, (то есть его пространства или его эфира) лежит бесконечное пространство (которое плоское существо называет временем). И что в этом пространстве лежат причины всех его "явлений" и сами явления, как прошедшие, так и будущие, -- и мы могли бы прибавить еще, что сами "явления" не есть нечто случающееся и перестающее быть, а только комбинации свойств высших тел.
При этом нам было бы очень трудно что-нибудь объяснить плоскому существу. А ему было бы очень трудно понять нас. И прежде всего это было бы трудно потому, что у него не было бы понятий, соответствующих нашим понятиям. Не было бы нужных "слов".
Например, разрез -- это было бы для него совершенно новое и непонятное слово. Затем угол -- опять непонятное слово. Центр -- еще более непонятное. Третий перпендикуляр -- нечто непостижимое, лежащее вне геометрии.
Неправильность его представлений о времени плоскому существу понять было бы труднее всего. Оно никак не могло бы себе представить, что то, что прошло, и то, что будет, существует одновременно на плоскостях, перпендикулярных к его плоскости. И никак не могло бы себе представить, что прошедшее тождественно с будущим, потому что явления приходят с обеих сторон и в обе стороны уходят.
Но труднее всего двумерному существу было бы понять то, что "время" заключает в себе две идеи: идею пространства и идею движения по этому пространству.
Мы уже сказали, что то, что двумерное существо, живущее на плоскости, будет называть движением, для нас будет иметь совершенно другой вид.
В книге "The Fourth Dimension" под заголовком "Первая глава в истории четырехмерного пространства" Хинтон пишет:
Парменид и азиатские мыслители, к которым он очень близок, излагали теорию существования, совершенно согласную с возможным отношением между высшим и низшим пространством. Эта теория во все века обладала большой притягательной силой для чистого интеллекта, и она представляет собой естественный способ мышления тех людей, которые воздерживаются от проектирования на природу под маской причинности своей собственной воли (volition).
Согласно Пармениду из элеатической школы, все есть единое, неподвижное и неизменное. Постоянное среди переходного -- та опора для мысли, та твердая почва для чувства, от открытия которой зависит вся наша жизнь, -- не фантом; это среди обмана образ истинного существа, вечного, неподвижного, единого. Так говорит Парменид.
Но как объяснить бегущие сцены, вечные перемены вещей?
Иллюзия, отвечает Парменид. И, проводя различие между истиной и заблуждением, он говорит об истинной доктрине единого -- и о ложном представлении меняющегося мира. И он интересен не только задачей, которую разбирает, но и своей манерой ее исследования.
Ум не может представить себе более восхитительной интеллектуальной картины, чем та, которую рисует Парменид, указывающий на единое, истинное, неизменное -- и, однако, в то же время готовый обсуждать все виды ложных мнений...
Истинное мнение он поддерживал, идя путем отрицания и указания противоречий в идеях перемены и движения. Чтобы выразить его идею тяжеловесным современным образом, мы должны сказать, что движение не реально, а феноменально.
Попробуем представить себе его учение.
Представим себе поверхность тихой воды, в которую опускаем палку в наклонном положении, движением вертикальным сверху вниз. Пускай 1, 2, 3 на рисунке 1-м будут тремя последовательными положениями палки. А, В, С будут три последовательных положения пункта встречи палки с поверхностью воды. При опускании палки вниз этот пункт встречи будет двигаться от А к В и С.
Предположим теперь, что вся вода исчезла, кроме тонкой пленки на поверхности. Палка, опускаясь, будет прорывать пленку. Но если мы предположим, что пленка обладает свойством пленки мыльного пузыря закрываться вокруг проникающего через нее предмета, тогда при вертикальном движении палки сверху вниз, прорыв пленки будет двигаться от А к С.
Рис. 1 и 2
Если мы пропустим спираль через пленку, их пересечение даст точку, двигающуюся по кругу, показанному пунктиром на рисунке 2-м.
Для плоского существа такая двигающаяся по кругу точка на его плоскости будет, вероятно, космическим явлением вроде движения планеты по орбите.
Если мы предположим, что спираль неподвижна, а пленка непрерывно движется вверх, то круговое движение точки будет идти, пока не остановится это движение.
Если вместо одной спирали мы возьмем сложное построение из спиралей, наклонных и прямых, ломаных и кривых линий -- то при движении пленки вверх на ней получается целый мир движущихся точек, движения которых плоскому существу будут казаться самостоятельными.
Разумеется, плоское существо будет объяснять эти движения как зависящие одно от другого, и ему даже в голову не придет фиктивность этого движения и зависимость его от спиралей и других линий, лежащих вне его пространства.
Возвращаясь к плоскому существу и к его представлению о мире и разбирая его отношение к трехмерному миру, мы видим, что двумерному и плоскому существу будет очень трудно понять всю сложность явлений нашего мира, как она является для нас. Оно (плоское существо) привыкло представлять себе мир чересчур простым.
Принимая разрезы тела за тела, плоское существо будет сравнивать их только в отношении длины и большей или меньшей кривизны, то есть для него более или менее быстрого движения. Различий, существующих между вещами в нашем мире, для него быть не могло бы.
Функции предметов нашего мира были бы совершенно недоступны его пониманию, непостижимы, " сверхъестественны ".
Представим себе, что на плоскость двумерного существа положена монета и поставлен огарок свечи одного диаметра с монетой. Для плоского существа это будут два равных круга, то есть две движущиеся линии абсолютно тождественные, никакого различия между ними он никогда не найдет. Функции монеты и свечи в нашем мире -- это для него совершенно terra incognita. Если мы только попробуем представить себе, какую огромную эволюцию должно проделать плоское существо, чтобы понять функции монеты и свечи и различие этих функций, -- мы поймем, что разделяет плоский мир от трехмерного. Разделяет, прежде всего, полнейшая невозможность даже представить на плоскости что-нибудь похожее на трехмерный мир с разнообразием его функций.
Свойства явлений плоского мира будут крайне однообразны, они будут различаться порядком появлений, длительностью, периодичностью. Тела и предметы этого мира будут плоски и однообразны, как тени, то есть как тени совершенно разных предметов, которые нам представляются одинаковыми. Даже если бы плоское существо своим сознанием вступило в общение с нашим сознанием, то оно все-таки не было бы в состоянии понять все разнообразие и богатство явлений нашего мира и разнообразие функций наших предметов.
Плоские существа не были бы в состоянии усвоить себе самых обыкновенных для нас понятий.
Для них было бы очень трудно понять, что явления одинаковые для них, на самом деле разные -- и что, с другой стороны, явления совершенно отдельные для них на самом деле части одного большого явления и даже одного предмета или одного существа.
Это последнее будет одно из самых трудных вещей для понимания плоского существа. Если мы предположим, что наше плоское существо живет на горизонтальной плоскости, пересекающей вершину дерева параллельно земле, то для этого существа разрезы ветвей будут представляться совершенно отдельными явлениями или предметами. Идея дерева и его ветвей никогда не может представиться его воображению.
Вообще понимание даже самых основных и простых вещей нашего мира будет бесконечно долгим и трудным для плоского существа.
Оно должно совершенно перестроить свои представления о пространстве и времени. Это должно быть первым шагом. Пока это не сделано, нет ничего. Пока всю нашу Вселенную плоское существо представляет во времени, то есть относит ко времени все, лежащее по сторонам его плоскости, оно никогда ничего не поймет. Чтобы начать постигать "третье измерение", двумерное существо, живущее на плоскости, должно представить себе пространственно свои временные понятия, то есть перенести свое время в пространство.
Чтобы получить только искру правильного представления о нашем мире, оно должно будет совершенно перестроить все свои идеи о мире, -- переоценить все ценности, пересмотреть все понятия, объединяющие понятия разъединить, разъединяющие соединить и, главное, создать бесконечно много новых.
Если мы поставим на плоскость двумерного существа пять пальцев нашей руки, то это будет для него пять отдельных явлений.
Попробуем представить себе мысленно, какую огромную умственную эволюцию должно проделать плоское существо, чтобы понять, что пять отдельных явлений на его плоскости -- это концы пальцев руки большого, деятельного и разумного существа -- человека.
Если мы ясно представим себе всю трудность нарисовать всего человека, со всем богатством его жизненных функций и психической и духовной жизни, по одному только отпечатку его пальцев, то мы поймем трудность постигнуть трехмерный мир для плоского существа.
Разобрать подробно шаг за шагом, как плоское существо переходило бы к пониманию нашего мира, лежащего для него в области таинственного третьего измерения, то есть частью в прошедшем, частью в будущем, -- было бы в высшей степени интересно... но, может быть, совершенно не нужно. Чтобы постигнуть мир трех измерений, плоское существо прежде всего должно перестать быть двумерным -- то есть должно само стать трехмерным, или, иначе говоря, должно почувствовать интересы жизни в трехмерном пространстве. Почувствовав интересы этой жизни, оно уже этим самым отойдет от своей плоскости и никогда не будет в состоянии на нее вернуться. Все больше и больше входя в круг бывших для него раньше совершенно непостижимыми идей и понятий, оно уже станет не двумерным существом, а трехмерным.
ГЛАВА VII
Невозможность математического определения измерений. -- Почему математика не чувствует измерений? -- Полная условность изображения измерений степенями. -- Возможность представить себе все степени на линии. -- Кант и Лобачевский. -- Различие неэвклидовой геометрии и метагеометрии. -- Где должны мы искать объяснения трехмерности мира, если верны идеи Канта? -- Не заключаются ли условия трехмерности мира в нашем воспринимательном аппарате, в нашей психике?
Разобрав теперь "отношения, которые несет в себе самом наше пространство", мы должны вернуться к вопросу о том, что же в действительности представляют собой измерения пространства? И почему их три?
Самым странным для нас должно представляться то, что мы не можем определить трехмерность математически.
Мы плохо сознаем это, и это кажется парадоксом, потому что мы все время говорим об измерении пространства, но это факт. Математика не чувствует протяжений пространства.
Возникает вопрос, как может такое тонкое орудие анализа, как математика, не чувствовать измерений, если они представляют собой какие-то реальные свойства пространства.
Говоря о математике, мы прежде всего должны признать, как основную предпосылку, что всякому математическому выражению соответствует отношение каких-то реальностей.
Если этого нет, если это не верно -- то нет математики. Это ее главная сущность, главное содержание. Выражать отношения, вот задача математики. Но отношения должны быть между чем-нибудь. Вместо алгебраических а, b и с всегда должно быть можно подставить какую-нибудь реальность. Это азбука всей математики. А, b и c -- это кредитные билеты, они могут быть настоящими, и могут быть фальшивыми, если за ними нет никакой реальности.
"Измерения" играют здесь очень странную роль. Если мы изобразим их алгебраическими знаками а, b и с, то они будут иметь характер фальшивых кредитных билетов. Эти а, b и с нельзя заменить никакими реальными величинами, которые выражали бы отношения измерений.
Обыкновенно изображают измерения степенями, первой, второй и третьей, то есть если линию называют а, то квадрат, стороны которого равны этой линии, называют а2, и куб, стороны которого равны этому квадрату, называют а3.
Это, между прочим, дало основание Хинтону строить теорию тессарактов, тел четырех измерений, а4. Но это чистая беллетристика. Прежде всего потому, что изображение "измерений" степенями совершенно условно. Все степени можно изобразить на линии. Возьмем отрезок а, равный пяти миллиметрам, -- тогда отрезок в 25 миллиметров будет его квадратом, то есть а2; а отрезок в 125 миллиметров будет кубом, то есть а3.
Как же понять, что математика не чувствует измерений, -- то есть что математически нельзя выразить разницу между измерениями?
Это можно понять и объяснить только одним -- именно, что этой разницы не существует.
И действительно, мы знаем, что все измерения в сущности тождественны, то есть каждое из трех измерений можно по очереди рассматривать, как первое, как второе, как третье и наоборот. Это уже ясно доказывает, что измерения не есть математические величины. Все реальные свойства вещи могут быть выражены математически в виде величин, то есть числами, показывающими отношение этих свойств к другим свойствам.
Но математика в вопросе об измерениях видит как будто больше нас или дальше нас, через какие-то грани, которые останавливают нас, но не стесняют ее, -- и видит, что нашим понятиям измерений не соответствуют никакие реальности.
Если бы три измерения соответствовали действительно трем степеням, то мы имели бы право сказать, что только три степени относятся к геометрии, а все остальные отношения высших степеней, начиная с четвертой, лежат за геометрией.
Но у нас нет даже этого. Изображение измерений степенями совершенно условно.
Вернее сказать -- геометрия с точки зрения математики есть искусственное построение для разрешения задач на условных данных, выведенных, вероятно, из свойств нашей психики.
Систему исследования "высшего пространства" Хинтон называет метагеометрией, и он связывает с метагеометрией имена Лобачевского, Гаусса и других исследователей неэвклидовой геометрии.
Мы должны рассмотреть, в каком отношении к затронутым нами вопросам находятся теории этих ученых.
Хинтон выводит свои идеи из Канта и Лобачевского.
Другие, наоборот, противопоставляют идеи Канта идеям Лобачевского. Так, Роберто Бонола в "Неэвклидовой геометрии" говорит, что воззрение Лобачевского на пространство противоположно кантовскому. Он говорит:
Учение Канта рассматривает пространство как некоторую форму субъективного созерцания, необходимо предшествующую всякому опыту; учение Лобачевского, примыкающее скорее к сенсуализму и обычному эмпиризму, возвращает геометрию в область опытных наук. (Роберто Бонола. Неэвклидова геометрия. СПб., 1910, с. 77.)
Какой же взгляд правилен и в каком отношении стоят идеи Лобачевского к нашей проблеме? Вернее всего будет сказать: ни в каком отношении. Неэвклидова геометрия не есть метагеометрия, и неэвклидова геометрия стоит к метагеометрии в таком же отношении, как Эвклидова геометрия.
Результаты всей неэвклидовой геометрии, подвергшей переоценке основные аксиомы Эвклида и нашедшей свое наиболее полное выражение в работах Больяйя, Гаусса и Лобачевского, выражается в формуле: Аксиомы данной геометрии выражают свойства данного пространства.
Так, геометрия на плоскости принимает все три аксиомы Эвклида, то есть:
1. прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками;
2. каждую фигуру можно переносить на другое место, не нарушая ее свойств;
3. параллельные линии не встречаются.
(Эта последняя аксиома обыкновенно выражается по Эвклиду иначе).
В геометрии на сфере или на вогнутой поверхности верны только две первые аксиомы, так как меридианы параллельные у экватора у полюсов уже встречаются. Причем в геометрии на сфере сумма трех углов треугольника более двух прямых, а в геометрии на вогнутой поверхности -- меньше двух прямых.
В геометрии на поверхности с неправильной кривизной верна только первая аксиома, вторая -- о переносе фигур, уже невозможна, так как фигура, взятая в одном месте неправильной поверхности, может измениться при переносе на другое место. И сумма углов треугольника может быть и больше, и меньше двух прямых.
Таким образом, аксиомы выражают различие свойств различного рода поверхностей. Геометрическая аксиома есть закон данной поверхности.
Но что такое поверхность?
Заслуга Лобачевского в том, что он находил необходимым пересмотреть основные понятия геометрии. Но он никогда не шел так далеко, чтобы переоценить эти понятия с точки зрения Канта. В то же время он ни в каком случае не возражал против Канта. Поверхность в уме Лобачевского как геометра, была только средством обобщения некоторых свойств, в которых строилась та или другая геометрическая система, или обобщением свойств данных линий. О реальности или нереальности поверхности он, вероятно, совсем не думал.
Таким образом, с одной стороны, совершенно не прав Бонола, который приписывает Лобачевскому воззрения, противоположные кантовским, и близость к "сенсуализму" и "обычному эмпиризму", -- а с другой стороны, можно думать, что Хинтон совершенно субъективно приписывает Гауссу и Лобачевскому, что они открыли новую эру в философии.
Неэвклидова геометрия, в том числе и геометрия Лобачевского, не имеет никакого отношения к метагеометрии.
Лобачевский не выходит из сферы трех измерений.
Метагеометрия рассматривает сферу трех измерений как разрез высшего пространства. Из математиков ближе всех к этой идее стоял Риман, понимавший отношение времени к пространству.
Точка трехмерного пространства есть разрез метагеометрической линии. Линии, которые рассматривает метагеометрия, нельзя обобщить ни в какой поверхности. Это последнее, может быть, самое важное для определения различия геометрии (эвклидовой и неэвклидовой) и метагеометрии. Метагеометрические линии нельзя рассматривать как расстояние между точками в нашем пространстве. И нельзя представить себе образующими какие-либо фигуры в нашем пространстве.
Рассмотрение возможных свойств линий, лежащих вне нашего пространства, их углов и отношений этих линий и углов к линиям, углам, поверхностям и телам нашей геометрии и составляет предмет метагеометрии.
Исследователи неэвклидовой геометрии не могли решиться отойти от поверхности. В этом есть что-то прямо трагическое. Посмотрите, какие поверхности придумывал Лобачевский при своих исследованиях 11-го постулата Эвклида (о параллельных линиях, то есть собственно об углах, образуемых линией, пересекающей две параллельные) -- одна из его поверхностей похожа на поверхность лопастей вентилятора*, другая на поверхность воронки. Но отойти от поверхности совсем, бросить ее раз и навсегда, представить себе, что линия может быть не на поверхности, то есть что ряд линий параллельных или близких к параллельным не может быть обобщен ни в какой поверхности и даже вообще в трехмерном пространстве, -- он не мог решиться. И поэтому -- и он и очень многие другие геометры, создавая неэвклидову геометрию, не могли выйти из трехмерного мира.