Страница:
В день, когда Греческое математическое общество собралось почтить двухсотпятидесятилетие со дня рождения Леонарда Эйлера, я пришел в зал заблаговременно, исполненный ожиданий. Хотя школьная математика никак не помогала разобраться в точном значении названия лекции – «Формальная логика и основания математики», оно меня заинтриговало с той минуты, как я прочел приглашение. Я знал, что бывает «формальное отношение к делу» и «обыкновенная логика», но как эти понятия сочетаются? Мне было известно, что основания есть у поступков и у домов, но у математики?
Но я напрасно ждал, пока в заполняющейся аудитории появится тощая, аскетичная фигура моего дяди. Как я должен был бы и сам догадаться, он не приехал. Я знал, что он вообще не принимает приглашений, а теперь узнал, что он не делает исключений даже ради математики.
Первый выступающий, президент Общества, назвал его имя с подчеркнутым уважением:
– Профессор Петрос Папахристос, всемирно известный греческий математик, не сможет, к сожалению, произнести свое приветствие в связи с легким нездоровьем.
Я хитро улыбнулся, гордый тем, что лишь мне во всей аудитории известно, что «легкое нездоровье» является дипломатической болезнью, предлогом, чтобы защитить свой покой.
Но, несмотря на отсутствие дяди Петроса, я остался до конца заседания. Я зачарованно слушал краткое описание жизни юбиляра (как оказалось, Леонард Эйлер сделал эпохальные открытия практически во всех областях математики). А когда на трибуну взошел основной докладчик и стал разрабатывать тему «Формально-логические основы математических теорий», я впал в транс. Пусть я абсолютно ничего не понял, кроме первых нескольких слов его доклада, дух мой купался в незнакомом ранее блаженстве неизвестных определений и понятий, всех символов мира, которые, хоть и были загадочны, поразили меня с самого начала как почти священные в своей недосягаемой мудрости. Плыли и плыли волшебные, неслыханные имена и названия, унося меня возвышенной музыкой: проблема континуума, алеф, Тарский, Готтлоб Фреге, индуктивные рассуждения, программа Гильберта, теория доказательств, риманова геометрия, проверяемость и непроверяемость, доказательство непротиворечивости, доказательство полноты, множество множеств, универсальная машина Тьюринга, автоматы фон Неймана, парадокс Рассела, булевы алгебры… В какой-то момент мне показалось, что в гипнотизирующих волнах речи я различил слова «проблема Гольдбаха», но не успел я сосредоточиться, как тема пошла разворачиваться дальше по новым волшебным путям: аксиомы арифметики Пеано, закон распределения простых чисел, замкнутые и открытые системы, аксиомы, Евклид, Эйлер, Кантор, Зенон, Гёдель…
Как это ни парадоксально, но лекция «Формально-логические основания математических теорий» так поразила мою незрелую душу именно потому, что не открыла мне ни одной тайны из тех, о которых в ней говорилось, – не знаю, был бы тот же эффект или нет, если бы все тайны разъяснялись в подробностях. Я понял наконец значение надписи на входе в Академию Платона: «Удеис агеометрос эйсето» – «Да не войдет сюда не знающий геометрии». Мораль этого вечера выделилась с хрустальной ясностью: математика – это нечто бесконечно более интересное, чем решение квадратных уравнений или вычисление объемов тел, презренные школьные задачки. Ее служители обитают в истинно концептуальных небесах – величественный мир поэзии, куда нет входа нематематическому хои поллои [2].
Этот вечер в Греческом математическом обществе стал поворотным пунктом моей судьбы. Тогда и там я впервые твердо решил стать математиком.
К концу этого учебного года я получил первое место в школе за успехи в математике. Мой отец похвастался этим перед дядей Анаргиросом – кто бы сомневался!
Это был предпоследний школьный год, и я уже решил, что поеду поступать в университет в Соединенных Штатах. Поскольку американская система высшего образования не требует от студентов при поступлении указывать специализацию, я могу не сразу открыть отцу ужасную правду (так он, без сомнения, оценил бы это решение) еще на несколько лет. (К счастью, оба моих кузена уже приняли решение, которое гарантировало моей семье новое поколение менеджеров.) А пока я морочил ему голову туманными разговорами о своих планах изучать экономику, тайно обдумывая свой план: когда я уже буду в университете и от власти отца меня будет отделять весь Атлантический океан, вот тогда я и направлю свой корабль туда, куда зовет меня судьба.
В этом году в день апостолов Петра и Павла я уже не мог больше таиться. Улучив момент, я отвел дядю Петроса в сторону и выпалил:
– Дядя, я хочу стать математиком.
Однако мой энтузиазм не встретил сочувственного отклика. Дядя молчал, но его бесстрастный взгляд с напряженной серьезностью уставился мне в лицо – я с трепетом понял, что именно так должен был он выглядеть, когда пытался проникнуть в тайну проблемы Гольдбаха.
– Что ты знаешь о математике, молодой человек? – спросил он, помолчав.
Тон его мне не понравился, но я продолжал по намеченному плану:
– Я был первым в классе, дядя Петрос, я получил школьную награду!
Он некоторое время обдумывал эту информацию, потом пожал плечами.
– Это важное решение, – сказал он, – и его нельзя принимать без серьезного размышления. Приезжай как-нибудь, и мы поговорим. – И добавил, в чем не было необходимости: – Отцу об этом лучше не говорить.
Я приехал через несколько дней, когда мне удалось сочинить для домашних правдоподобную легенду.
Дядя Петрос привел меня на кухню и угостил холодным напитком из собственных вишен. Потом сел напротив с видом торжественным и профессорским.
– Итак, скажи мне, – начал он, – что есть математика, по твоему мнению? – Подчеркнутые слова, казалось, подразумевали, что какой бы ответ я ни дал, он не может не быть неверен.
Я стал сыпать общими местами насчет «царицы наук» и удивительных приложений ее в электронике, медицине и исследованиях космоса.
Дядя Петрос поморщился:
– Если тебя так интересуют приложения, почему бы тебе не стать инженером? Или физиком? Они тоже занимаются математикой определенного рода.
На этот раз подчеркнутые слова значили, что дядя явно невысоко ставит этот «определенный род». Я понял, что дальше буду конфузить себя еще сильнее, потому что не готов спорить с дядей на равных, в чем тут же и сознался.
– Дядя, я не могу объяснить почему. Знаю только, что хочу стать математиком – я думал, ты меня поймешь.
Он помолчал, обдумывая, что сказать, потом спросил:
– Ты в шахматы играешь?
– Немножко, только не предлагай мне сыграть, я сразу могу сказать, что проиграю.
Он улыбнулся:
– Я не предлагал партии, просто хотел найти пример, который ты поймешь. Видишь ли, настоящая математика не имеет ничего общего ни с приложениями, ни с вычислениями, которым тебя учат в школе. Она изучает абстрактные интеллектуальные построения, которые – по крайней мере пока математик ими занят – не имеют никакого отношения к миру физическому, ощущаемому.
– Мне это подходит, – сказал я.
– Математики, – продолжал он, – находят в своей работе ту же радость, что шахматисты в шахматах. На самом деле психологический склад настоящего математика ближе всего к складу поэта или композитора; другими словами, человека, занятого созданием Красоты и поисками Гармонии и Совершенства. Он диаметрально противоположен человеку практическому – инженеру, политику, или… – дядя на миг задумался, подыскивая на шкале сравнения что-нибудь уж совсем невыносимое, – или бизнесмену.
Если этим он хотел остудить мой пыл, то выбрал неправильную дорогу.
– Именно этого я и хочу, дядя Петрос! – воскликнул я. – Я не хочу быть инженером, и работать в семейном бизнесе тоже не хочу. Я хочу погрузиться в настоящую математику, вот как ты… как в проблему Гольдбаха!
Вырвалось! Еще собираясь в Экали, я решил, что всякого упоминания о Проблеме следует избегать, как черта. Но по неосторожности и в пылу разговора сам произнес эти слова.
Выражение дядиного лица осталось столь же бесстрастным, но по руке пробежала еле заметная дрожь.
– Кто сказал тебе о проблеме Гольдбаха? – спросил он спокойно.
– Папа, – пробормотал я смущенно.
– И что именно он тебе сказал?
– Что ты пытался ее решить.
– Только это?
– Ну… и что у тебя это не получилось. Дрожащая рука успокоилась.
– Больше ничего?
– Больше ничего.
– Гм! – произнес дядя. – Хочешь, заключим с тобой уговор?
– Какого рода уговор?
– Вот послушай. По моему мнению, в математике, как в искусстве – и в спорте, кстати, – если ты не лучший, то ты вообще никакой. Инженер, или юрист, или дантист, обладающий средними способностями, может прожить счастливую и наполненную профессиональную жизнь. Но математик среднего уровня – я говорю об ученых, конечно, а не о школьных учителях – это живая ходячая трагедия…
– Так ведь, дядя, – перебил я, – я не собираюсь быть математиком «среднего уровня». Я хочу быть Первым!
Он улыбнулся:
– По крайней мере в этом ты определенно на меня похож. Я тоже был честолюбив до крайности. Но видишь ли, мой мальчик, благих намерений здесь, к сожалению, недостаточно. В этой области в отличие от многих других прилежание не всегда вознаграждается. Чтобы добраться в математике до вершин, необходимо нечто большее, одно абсолютно необходимое условие для успеха.
– Какое?
Он поглядел на меня с недоумением – я не видел очевидного.
– Как какое? Талант, разумеется! Природная предрасположенность в самом крайнем ее проявлении. Никогда не забывай: Mathemaiticus nascitur , non fit –математиками рождаются, а не становятся. Если у тебя в генах нет этой особой способности, ты всю жизнь проработаешь напрасно и останешься посредственностью. Можешь ее называть золотой серединой, но посредственность есть посредственность. Я поглядел ему прямо в глаза:
– Дядя, какой ты предлагаешь уговор?
Он задумался, будто в поисках формулировки, а потом сказал:
– Я не хочу видеть, как ты пойдешь по пути, ведущему к поражению и несчастливой жизни. И потому я предлагаю тебе связать себя обещанием: стать математиком в том и только в том случае, если ты в высшей степени одарен. Ты согласен?
Я смешался:
– Дядя, но как же я это определю?
– Ты – никак, – ответил дядя Петрос с лукавой улыбочкой. – Это сделаю я.
– Ты?
– Да. Я поставлю тебе задачу, которую ты попытаешься дома решить. По результату твоих трудов, удачному или неудачному, я смогу с большой точностью оценить твой математический потенциал.
Предложенная сделка вызвала у меня противоречивые чувства: я терпеть не мог контрольных, но обожал задачки, над которыми приходится поломать голову.
– Сколько у меня будет времени? – спросил я.
Дядя Петрос полуприкрыл глаза, рассчитывая.
– М-м-м… Скажем, до начала учебного года, до первого октября. Это почти три месяца.
Я тогда настолько ничего не понимал, что считал, будто за три месяца можно решить не одну, а вообще сколько угодно задач.
– Ого сколько!
– Да, но задача будет трудная, – напомнил дядя. – Такая, что не каждый может ее решить. Но если в тебе есть то, что надо, чтобы быть великим математиком, ты справишься. Конечно, ты дашь слово ни у кого не просить помощи и не искать решения ни в каких книгах.
– Даю слово, – сказал я.
Он посмотрел на меня пристально:
– Значит ли это, что ты согласен на уговор?
Я глубоко вздохнул:
– Согласен.
Не говоря больше ни слова, дядя Петрос ненадолго исчез и вернулся с карандашом и бумагой. Манера его поведения изменилась, сделалась профессиональной – математик говорит с математиком.
– Задача вот какая… Я полагаю, ты уже знаешь, что такое простое число?
– А как же, дядя Петрос! Простое – это такое целое число большее единицы, у которого нет делителей, кроме его самого и единицы. Например, 2, 3,5,7, 11, 13 и так далее.
Ему понравилась точность моего определения.
– Чудесно! Теперь скажи мне, пожалуйста, сколько существует простых чисел?
Я свалился с приятных высот.
– Как это – сколько?
– Сколько их? Вас этому в школе не учат?
– Нет.
Дядя глубоко вздохнул, разочарованный уровнем математического образования в современной Греции.
– Ладно, я тебе это расскажу, потому что тебе это понадобится. Множество простых чисел бесконечно – факт, доказанный Евклидом в третьем веке до нашей эры. Его доказательство – жемчужина красоты и простоты. Используя метод reductio ad absurdum [3] ,он сперва предполагает обратное тому, что хочет доказать, а именно, что множество простых чисел конечно. Далее…
Несколько энергичных движений карандаша по бумаге, скупые пояснительные слова – так дядя Петрос изложил мне доказательство нашего мудрого предка, одновременно дав первый в моей жизни образец настоящей математики.
– …что, однако, противоречит нашему исходному допущению, – заключил он. – Предположение конечности привело к противоречию, ergo [4] ,множество простых чисел бесконечно. Quod erat demonstrandum [5] **.
– Дядя, это просто фантастика! – воскликнул я, восхищенный остроумием доказательства. – Это так просто!
– Да, просто, – вздохнул он, – но никто до Евклида этого не придумал. Вот тебе и мораль: некоторые вещи кажутся простыми только тогда, когда они уже сделаны.
Но у меня не было настроения философствовать.
– Давай теперь, дядя, сформулируй задачу, которую я должен решить!
Он сперва записал ее на листе бумаги, а потом прочел мне вслух.
– Я хочу, чтобы ты попытался доказать, что любое четное число, большее 2, является суммой двух простых чисел.
Я минутку подумал, лихорадочно молясь, чтобы на меня тут же снизошло озарение. Поскольку этого не случилось, я спросил:
– И это все?
Дядя Петрос предостерегающе помахал пальцем в воздухе.
– Э, задача не так уж проста! В каждом частном случае, который можно рассмотреть, например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 3 + 7, 12 = 7 + 5, 14 = 7 + 7 и т.д. – это очевидно, хотя чем больше число, тем больше приходится вычислять. Но поскольку четных чисел – бесконечное множество, перебирать их по одному невозможно. Ты должен найти общее доказательство этого факта, и я боюсь, это окажется труднее, чем ты думаешь.
Я встал:
– Трудно или нетрудно, а я это сделаю! И собираюсь начать прямо сейчас.
Я уже шел к воротам, когда он окликнул меня из кухни:
– Эй, ты лист с задачей не возьмешь?
Дул холодный ветер, от влажной земли поднимался аромат. Никогда в жизни – ни до, ни после этого краткого мига – не чувствовал я себя таким счастливым, таким исполненным надежд, предвкушений и радостного ожидания.
– Он мне не нужен, дядя, – отозвался я. – Отлично все помню: «Каждое четное число, большее 2, является суммой двух простых чисел». Первого октября покажу тебе решение!
Его суровое напоминание настигло меня на улице:
– Не забудь наш уговор! Только если ты решишь задачу, можешь становиться математиком!
Меня в этот год ждало трудное лето.
К счастью, родители всегда отправляли меня на жаркие месяцы – июль и август – в Пилос, к дяде со стороны матери. Это значило, что я, будучи вне досягаемости отца, хотя бы не имел дополнительной проблемы (будто мне не хватало той, что поставил дядя Петрос) – вести работу втайне. Приехав в Пилос, я сразу разложил бумаги на столе в столовой (летом мы всегда обедали на улице) и сообщил кузенам, что до дальнейших извещений прошу не приставать ко мне с глупостями вроде плавания, игр или походов в летний кинотеатр. Я трудился над задачей с утра до ночи почти без перерывов.
Моя тетя, добрая женщина, добродушно причитала:
– Милый мальчик, ты слишком много работаешь. Сейчас ведь каникулы, отложи хоть ненадолго книги. Ты же отдыхать приехал.
Но я твердо решил не отдыхать до окончательной победы. Я сидел за столом, не разгибая спины, и исписывал лист за листом, подходя к задачке то так, то этак. Иногда, усталый настолько, что абстрактно-дедуктивные рассуждения мне больше не давались, я начинал проверять конкретные числа на случай, если дядя Петрос поставил мне ловушку, попросив доказать утверждение заведомо неверное. После бесконечных делений я сделал таблицу нескольких сотен первых простых чисел (примитивное самодельное решето Эратосфена [6]) и складывал их по всем возможным парам, проверяя, работает ли принцип. Напрасно я искал в этих рамках четное число, для которого не выполнялось бы утверждение задачи: все как один выражались в виде суммы двух простых.
Где-то в середине августа, после многих вечеров работы и бесчисленных чашечек кофе по-гречески, я на несколько счастливых часов решил, что вот оно, найденное доказательство! Заполнив своими рассуждениями несколько страниц, я отправил их заказным письмом дяде Петросу.
Не успел я насладиться своим триумфом и двух дней, как почтальон принес мне телеграмму:
ЕДИНСТВЕННОЕ ЧТО ТЫ ДОКАЗАЛ ЭТО ТО ЧТО ЛЮБОЕ ЧЕТНОЕ ЧИСЛО ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ В ВИДЕ СУММЫ ПРОСТОГО И НЕЧЕТНОГО ЧТО ТРИВИАЛЬНО ТЧК
Неделю я приходил в себя после первого провала и удара по самолюбию. Но все же оправился и начал работу заново, на этот раз используя reductio ad absurdum :
«Допустим, что существует такое четное число n ,которое не может быть представлено в виде суммы двух простых. Тогда…»
Чем больше работал я над задачей, тем очевиднее для меня становилось: это утверждение выражает некую фундаментальную истину о натуральных числах, materia prima [7] математической вселенной. Вскоре я подошел к вопросу о том, как распределены простые числа среди других натуральных, а также о процедуре, которая позволит по данному простому числу найти следующее. Я знал, что эта информация, окажись она в моих руках, была бы крайне полезна в моем поиске, и раза два или три у меня было искушение поискать ее в книгах. Но я, верный своему обязательству работать без посторонней помощи, этого не сделал.
Дядя Петрос, продемонстрировав доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел, сказал, что дал мне единственно необходимый для моей работы инструмент. И все же я не мог продвинуться вперед.
К концу сентября, за несколько дней до начала моего последнего в школе учебного года, я снова оказался в Экали, мрачный и сломленный. Поскольку телефона у дяди Петроса не было, мне предстояло сообщить ему весть лицом к лицу.
– Ну? – спросил он, как только мы сели и я гордо отказался от его вишневого напитка. – Ты решил задачу?
– Нет, – ответил я. – Честно говоря, не решил. Меньше всего мне теперь хотелось прослеживать путь своих ошибок или чтобы их анализировал за меня дядя Петрос. Более того, мне абсолютно неинтересно было узнать решение, доказательство утверждения. Хотелось только одного: забыть все, хоть как-то связанное с числами – четными или нечетными, не говоря уже о простых.
Но дядя Петрос не собирался отпускать меня так легко.
– Ну что ж, – сказал он. – Ты помнишь наш уговор?
Я понял, что ему нужно официально закрепить свою победу (почему-то я был уверен, что он именно так рассматривает мой провал), и мне это было очень неприятно. Но я не собирался делать его победу еще слаще, показывая свои задетые чувства.
– Конечно, помню, дядя, как и ты. Мы договорились, что я не буду пытаться стать математиком, если не решу задачу…
– Нет! – прервал он меня с неожиданной горячностью. – В договоре было сказано, что если ты не решишь задачу, ты дашь обещание никогда не быть математиком!
– Именно так, – подтвердил я хмуро. – И поскольку задачу я не решил…
– Ты сейчас дашь обещание, – прервал дядя, заканчивая предложение и снова подчеркивая слова так, будто его (или скорее моя) жизнь от этого зависела.
– Конечно, – сказал я, заставляя себя не быть невежливым. – Если это тебе приятно, я даю обещание.
Он заговорил суровым и даже свирепым голосом:
– Дело не в том, молодой человек, что мне приятно или неприятно, дело в соблюдении соглашения. Ты поклянешься держаться подальше от математики!
Моя досада тут же развернулась в полноценную ненависть.
– Хорошо, дядя, – холодно сказал я. – Я клянусь держаться подальше от математики. Теперь ты доволен?
Я встал, но он грозно поднял руку:
– Не так быстро!
Он резким движением выхватил из кармана лист бумаги, развернул и сунул мне под нос. Вот что там было:
Я, нижеподписавшийся, находящийся в здравом уме и твердой памяти, не выдержав экзамена на способности в высшей математике и в соответствии с соглашением, заключенным мной с моим дядей, Петросом Папахристосом, никогда не буду добиваться диплома математика в каком-либо высшем учебном заведении, равно как не буду и каким-либо иным образом стремиться к профессиональной карьере математика.
Я уставился на дядю.
– Подпиши! – приказал он.
– Какой в этом толк?! – заревел я, уже не пытаясь скрывать свои чувства.
– Подпиши, – сказал дядя неколебимо. – Уговор есть уговор!
Я оставил без внимания его руку, державшую в воздухе авторучку, вытащил из кармана шариковую, вбил свою подпись в этот лист, и не успел дядя сказать хоть слово – как я бросил ему эту бумагу и выбежал прочь, к калитке.
– Погоди! – крикнул он мне вслед, но я уже был за оградой.
Я бежал, бежал, бежал, пока его крики не затихли вдали, а тогда остановился, запыхавшийся, согнулся пополам и заплакал, как маленький, слезами гнева, досады и унижения.
Весь последний школьный год я не видел дядю Петроса и не говорил с ним, а в июне придумал какой-то предлог, чтобы во время традиционной семейной поездки в Экали остаться дома.
Мой опыт предыдущего лета дал именно тот результат, который дядя Петрос, несомненно, предвидел. Независимо от любых обязательств выполнить свою часть «уговора», я начисто утратил желание становиться математиком. К счастью, этот побочный эффект моей неудачи не дошел до крайностей, я не отверг науки полностью и продолжал успевать в школе по всем предметам. В результате я был принят в один из лучших университетов в Соединенных Штатах. При регистрации я заявил главной областью своих интересов экономику, и этого выбора держался до третьего курса [8]. Если не считать обязательных курсов элементарного анализа и линейной алгебры (между прочим, высшие оценки там и там), я за первые два года никакой математики не изучал.
Успех (по крайней мере первоначальный) интриги дяди Петроса был основан на применении к моей жизни абсолютного детерминизма математики. Конечно, он шел на риск, но риск хорошо рассчитанный: вероятность того, что я в университетском курсе элементарной математики узнаю о том, что это была за задача, была пренебрежимо мала. Она (задача) относится к теории чисел, которую читают лишь немногим, избравшим своей специальностью математику. И потому вполне естественно было предположить, что, пока я держу обещание, я закончу университетский курс (и жизнь, насколько можно судить), не узнав правды.
Но реальность не так предопределена, как математика, и все вышло иначе.
В первый день моего третьего года мне сообщили, что Судьба (потому что кто же еще так умеет подстраивать совпадения?) назначила мне в соседи по комнате Сэмми Эпштейна – тщедушного паренька из Бруклина, известного среди студентов как феноменальный математический талант. Сэмми должен был уже в этом году получить диплом в возрасте семнадцати лет, и хотя он формально считался еще студентом, все курсы, которые он слушал, были для аспирантов. Он даже начал работать над диссертацией по алгебраической топологии.
Я в это время полагал, что раны от моего краткого периода математических надежд уже затянулись, и мне стало приятно и даже интересно, когда я узнал, кто будет моим соседом. В первый вечер, когда мы сидели в университетской столовой для лучшего знакомства, я небрежно сказал:
– Поскольку ты, Сэмми, математический гений, я уверен, что ты легко сможешь доказать вот что: каждое четное число, большее 2, представимо в виде суммы двух простых.
Он разразился хохотом.
– Если бы я мог доказать это, друг мой, я бы тут с тобой не сидел, а уже был бы профессором. Может, даже Филдсовскую медаль получил бы – это для математиков как Нобелевская!
Он еще не договорил, как мне уже внезапно открылась страшная истина. Сэмми подтвердил ее следующими словами:
– Утверждение, которое ты сейчас сформулировал, – это проблема Гольдбаха, одна из самых трудных нерешенных задач во всей математике!
Моя реакция состояла из Четырех Стадий Горя, называемых (если я правильно помню, чему меня учили в элементарном курсе психологии) Отторжением, Гневом, Подавленностью и Принятием. Первая оказалась самой краткосрочной.
– Это… Этого не может быть! – выговорил я, как только Сэмми произнес эти страшные слова. Я надеялся, что ослышался.
– Как это – «не может быть»? Может, потому что так оно и есть! Проблема Гольдбаха, или гипотеза Гольдбаха – потому что это всего лишь гипотеза, которую никто еще не доказал, – состоит в том, что любое четное число есть сумма двух простых. Впервые она была сформулирована математиком по фамилии Гольдбах в письме к Эйлеру
Но я напрасно ждал, пока в заполняющейся аудитории появится тощая, аскетичная фигура моего дяди. Как я должен был бы и сам догадаться, он не приехал. Я знал, что он вообще не принимает приглашений, а теперь узнал, что он не делает исключений даже ради математики.
Первый выступающий, президент Общества, назвал его имя с подчеркнутым уважением:
– Профессор Петрос Папахристос, всемирно известный греческий математик, не сможет, к сожалению, произнести свое приветствие в связи с легким нездоровьем.
Я хитро улыбнулся, гордый тем, что лишь мне во всей аудитории известно, что «легкое нездоровье» является дипломатической болезнью, предлогом, чтобы защитить свой покой.
Но, несмотря на отсутствие дяди Петроса, я остался до конца заседания. Я зачарованно слушал краткое описание жизни юбиляра (как оказалось, Леонард Эйлер сделал эпохальные открытия практически во всех областях математики). А когда на трибуну взошел основной докладчик и стал разрабатывать тему «Формально-логические основы математических теорий», я впал в транс. Пусть я абсолютно ничего не понял, кроме первых нескольких слов его доклада, дух мой купался в незнакомом ранее блаженстве неизвестных определений и понятий, всех символов мира, которые, хоть и были загадочны, поразили меня с самого начала как почти священные в своей недосягаемой мудрости. Плыли и плыли волшебные, неслыханные имена и названия, унося меня возвышенной музыкой: проблема континуума, алеф, Тарский, Готтлоб Фреге, индуктивные рассуждения, программа Гильберта, теория доказательств, риманова геометрия, проверяемость и непроверяемость, доказательство непротиворечивости, доказательство полноты, множество множеств, универсальная машина Тьюринга, автоматы фон Неймана, парадокс Рассела, булевы алгебры… В какой-то момент мне показалось, что в гипнотизирующих волнах речи я различил слова «проблема Гольдбаха», но не успел я сосредоточиться, как тема пошла разворачиваться дальше по новым волшебным путям: аксиомы арифметики Пеано, закон распределения простых чисел, замкнутые и открытые системы, аксиомы, Евклид, Эйлер, Кантор, Зенон, Гёдель…
Как это ни парадоксально, но лекция «Формально-логические основания математических теорий» так поразила мою незрелую душу именно потому, что не открыла мне ни одной тайны из тех, о которых в ней говорилось, – не знаю, был бы тот же эффект или нет, если бы все тайны разъяснялись в подробностях. Я понял наконец значение надписи на входе в Академию Платона: «Удеис агеометрос эйсето» – «Да не войдет сюда не знающий геометрии». Мораль этого вечера выделилась с хрустальной ясностью: математика – это нечто бесконечно более интересное, чем решение квадратных уравнений или вычисление объемов тел, презренные школьные задачки. Ее служители обитают в истинно концептуальных небесах – величественный мир поэзии, куда нет входа нематематическому хои поллои [2].
Этот вечер в Греческом математическом обществе стал поворотным пунктом моей судьбы. Тогда и там я впервые твердо решил стать математиком.
К концу этого учебного года я получил первое место в школе за успехи в математике. Мой отец похвастался этим перед дядей Анаргиросом – кто бы сомневался!
Это был предпоследний школьный год, и я уже решил, что поеду поступать в университет в Соединенных Штатах. Поскольку американская система высшего образования не требует от студентов при поступлении указывать специализацию, я могу не сразу открыть отцу ужасную правду (так он, без сомнения, оценил бы это решение) еще на несколько лет. (К счастью, оба моих кузена уже приняли решение, которое гарантировало моей семье новое поколение менеджеров.) А пока я морочил ему голову туманными разговорами о своих планах изучать экономику, тайно обдумывая свой план: когда я уже буду в университете и от власти отца меня будет отделять весь Атлантический океан, вот тогда я и направлю свой корабль туда, куда зовет меня судьба.
В этом году в день апостолов Петра и Павла я уже не мог больше таиться. Улучив момент, я отвел дядю Петроса в сторону и выпалил:
– Дядя, я хочу стать математиком.
Однако мой энтузиазм не встретил сочувственного отклика. Дядя молчал, но его бесстрастный взгляд с напряженной серьезностью уставился мне в лицо – я с трепетом понял, что именно так должен был он выглядеть, когда пытался проникнуть в тайну проблемы Гольдбаха.
– Что ты знаешь о математике, молодой человек? – спросил он, помолчав.
Тон его мне не понравился, но я продолжал по намеченному плану:
– Я был первым в классе, дядя Петрос, я получил школьную награду!
Он некоторое время обдумывал эту информацию, потом пожал плечами.
– Это важное решение, – сказал он, – и его нельзя принимать без серьезного размышления. Приезжай как-нибудь, и мы поговорим. – И добавил, в чем не было необходимости: – Отцу об этом лучше не говорить.
Я приехал через несколько дней, когда мне удалось сочинить для домашних правдоподобную легенду.
Дядя Петрос привел меня на кухню и угостил холодным напитком из собственных вишен. Потом сел напротив с видом торжественным и профессорским.
– Итак, скажи мне, – начал он, – что есть математика, по твоему мнению? – Подчеркнутые слова, казалось, подразумевали, что какой бы ответ я ни дал, он не может не быть неверен.
Я стал сыпать общими местами насчет «царицы наук» и удивительных приложений ее в электронике, медицине и исследованиях космоса.
Дядя Петрос поморщился:
– Если тебя так интересуют приложения, почему бы тебе не стать инженером? Или физиком? Они тоже занимаются математикой определенного рода.
На этот раз подчеркнутые слова значили, что дядя явно невысоко ставит этот «определенный род». Я понял, что дальше буду конфузить себя еще сильнее, потому что не готов спорить с дядей на равных, в чем тут же и сознался.
– Дядя, я не могу объяснить почему. Знаю только, что хочу стать математиком – я думал, ты меня поймешь.
Он помолчал, обдумывая, что сказать, потом спросил:
– Ты в шахматы играешь?
– Немножко, только не предлагай мне сыграть, я сразу могу сказать, что проиграю.
Он улыбнулся:
– Я не предлагал партии, просто хотел найти пример, который ты поймешь. Видишь ли, настоящая математика не имеет ничего общего ни с приложениями, ни с вычислениями, которым тебя учат в школе. Она изучает абстрактные интеллектуальные построения, которые – по крайней мере пока математик ими занят – не имеют никакого отношения к миру физическому, ощущаемому.
– Мне это подходит, – сказал я.
– Математики, – продолжал он, – находят в своей работе ту же радость, что шахматисты в шахматах. На самом деле психологический склад настоящего математика ближе всего к складу поэта или композитора; другими словами, человека, занятого созданием Красоты и поисками Гармонии и Совершенства. Он диаметрально противоположен человеку практическому – инженеру, политику, или… – дядя на миг задумался, подыскивая на шкале сравнения что-нибудь уж совсем невыносимое, – или бизнесмену.
Если этим он хотел остудить мой пыл, то выбрал неправильную дорогу.
– Именно этого я и хочу, дядя Петрос! – воскликнул я. – Я не хочу быть инженером, и работать в семейном бизнесе тоже не хочу. Я хочу погрузиться в настоящую математику, вот как ты… как в проблему Гольдбаха!
Вырвалось! Еще собираясь в Экали, я решил, что всякого упоминания о Проблеме следует избегать, как черта. Но по неосторожности и в пылу разговора сам произнес эти слова.
Выражение дядиного лица осталось столь же бесстрастным, но по руке пробежала еле заметная дрожь.
– Кто сказал тебе о проблеме Гольдбаха? – спросил он спокойно.
– Папа, – пробормотал я смущенно.
– И что именно он тебе сказал?
– Что ты пытался ее решить.
– Только это?
– Ну… и что у тебя это не получилось. Дрожащая рука успокоилась.
– Больше ничего?
– Больше ничего.
– Гм! – произнес дядя. – Хочешь, заключим с тобой уговор?
– Какого рода уговор?
– Вот послушай. По моему мнению, в математике, как в искусстве – и в спорте, кстати, – если ты не лучший, то ты вообще никакой. Инженер, или юрист, или дантист, обладающий средними способностями, может прожить счастливую и наполненную профессиональную жизнь. Но математик среднего уровня – я говорю об ученых, конечно, а не о школьных учителях – это живая ходячая трагедия…
– Так ведь, дядя, – перебил я, – я не собираюсь быть математиком «среднего уровня». Я хочу быть Первым!
Он улыбнулся:
– По крайней мере в этом ты определенно на меня похож. Я тоже был честолюбив до крайности. Но видишь ли, мой мальчик, благих намерений здесь, к сожалению, недостаточно. В этой области в отличие от многих других прилежание не всегда вознаграждается. Чтобы добраться в математике до вершин, необходимо нечто большее, одно абсолютно необходимое условие для успеха.
– Какое?
Он поглядел на меня с недоумением – я не видел очевидного.
– Как какое? Талант, разумеется! Природная предрасположенность в самом крайнем ее проявлении. Никогда не забывай: Mathemaiticus nascitur , non fit –математиками рождаются, а не становятся. Если у тебя в генах нет этой особой способности, ты всю жизнь проработаешь напрасно и останешься посредственностью. Можешь ее называть золотой серединой, но посредственность есть посредственность. Я поглядел ему прямо в глаза:
– Дядя, какой ты предлагаешь уговор?
Он задумался, будто в поисках формулировки, а потом сказал:
– Я не хочу видеть, как ты пойдешь по пути, ведущему к поражению и несчастливой жизни. И потому я предлагаю тебе связать себя обещанием: стать математиком в том и только в том случае, если ты в высшей степени одарен. Ты согласен?
Я смешался:
– Дядя, но как же я это определю?
– Ты – никак, – ответил дядя Петрос с лукавой улыбочкой. – Это сделаю я.
– Ты?
– Да. Я поставлю тебе задачу, которую ты попытаешься дома решить. По результату твоих трудов, удачному или неудачному, я смогу с большой точностью оценить твой математический потенциал.
Предложенная сделка вызвала у меня противоречивые чувства: я терпеть не мог контрольных, но обожал задачки, над которыми приходится поломать голову.
– Сколько у меня будет времени? – спросил я.
Дядя Петрос полуприкрыл глаза, рассчитывая.
– М-м-м… Скажем, до начала учебного года, до первого октября. Это почти три месяца.
Я тогда настолько ничего не понимал, что считал, будто за три месяца можно решить не одну, а вообще сколько угодно задач.
– Ого сколько!
– Да, но задача будет трудная, – напомнил дядя. – Такая, что не каждый может ее решить. Но если в тебе есть то, что надо, чтобы быть великим математиком, ты справишься. Конечно, ты дашь слово ни у кого не просить помощи и не искать решения ни в каких книгах.
– Даю слово, – сказал я.
Он посмотрел на меня пристально:
– Значит ли это, что ты согласен на уговор?
Я глубоко вздохнул:
– Согласен.
Не говоря больше ни слова, дядя Петрос ненадолго исчез и вернулся с карандашом и бумагой. Манера его поведения изменилась, сделалась профессиональной – математик говорит с математиком.
– Задача вот какая… Я полагаю, ты уже знаешь, что такое простое число?
– А как же, дядя Петрос! Простое – это такое целое число большее единицы, у которого нет делителей, кроме его самого и единицы. Например, 2, 3,5,7, 11, 13 и так далее.
Ему понравилась точность моего определения.
– Чудесно! Теперь скажи мне, пожалуйста, сколько существует простых чисел?
Я свалился с приятных высот.
– Как это – сколько?
– Сколько их? Вас этому в школе не учат?
– Нет.
Дядя глубоко вздохнул, разочарованный уровнем математического образования в современной Греции.
– Ладно, я тебе это расскажу, потому что тебе это понадобится. Множество простых чисел бесконечно – факт, доказанный Евклидом в третьем веке до нашей эры. Его доказательство – жемчужина красоты и простоты. Используя метод reductio ad absurdum [3] ,он сперва предполагает обратное тому, что хочет доказать, а именно, что множество простых чисел конечно. Далее…
Несколько энергичных движений карандаша по бумаге, скупые пояснительные слова – так дядя Петрос изложил мне доказательство нашего мудрого предка, одновременно дав первый в моей жизни образец настоящей математики.
– …что, однако, противоречит нашему исходному допущению, – заключил он. – Предположение конечности привело к противоречию, ergo [4] ,множество простых чисел бесконечно. Quod erat demonstrandum [5] **.
– Дядя, это просто фантастика! – воскликнул я, восхищенный остроумием доказательства. – Это так просто!
– Да, просто, – вздохнул он, – но никто до Евклида этого не придумал. Вот тебе и мораль: некоторые вещи кажутся простыми только тогда, когда они уже сделаны.
Но у меня не было настроения философствовать.
– Давай теперь, дядя, сформулируй задачу, которую я должен решить!
Он сперва записал ее на листе бумаги, а потом прочел мне вслух.
– Я хочу, чтобы ты попытался доказать, что любое четное число, большее 2, является суммой двух простых чисел.
Я минутку подумал, лихорадочно молясь, чтобы на меня тут же снизошло озарение. Поскольку этого не случилось, я спросил:
– И это все?
Дядя Петрос предостерегающе помахал пальцем в воздухе.
– Э, задача не так уж проста! В каждом частном случае, который можно рассмотреть, например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 3 + 7, 12 = 7 + 5, 14 = 7 + 7 и т.д. – это очевидно, хотя чем больше число, тем больше приходится вычислять. Но поскольку четных чисел – бесконечное множество, перебирать их по одному невозможно. Ты должен найти общее доказательство этого факта, и я боюсь, это окажется труднее, чем ты думаешь.
Я встал:
– Трудно или нетрудно, а я это сделаю! И собираюсь начать прямо сейчас.
Я уже шел к воротам, когда он окликнул меня из кухни:
– Эй, ты лист с задачей не возьмешь?
Дул холодный ветер, от влажной земли поднимался аромат. Никогда в жизни – ни до, ни после этого краткого мига – не чувствовал я себя таким счастливым, таким исполненным надежд, предвкушений и радостного ожидания.
– Он мне не нужен, дядя, – отозвался я. – Отлично все помню: «Каждое четное число, большее 2, является суммой двух простых чисел». Первого октября покажу тебе решение!
Его суровое напоминание настигло меня на улице:
– Не забудь наш уговор! Только если ты решишь задачу, можешь становиться математиком!
Меня в этот год ждало трудное лето.
К счастью, родители всегда отправляли меня на жаркие месяцы – июль и август – в Пилос, к дяде со стороны матери. Это значило, что я, будучи вне досягаемости отца, хотя бы не имел дополнительной проблемы (будто мне не хватало той, что поставил дядя Петрос) – вести работу втайне. Приехав в Пилос, я сразу разложил бумаги на столе в столовой (летом мы всегда обедали на улице) и сообщил кузенам, что до дальнейших извещений прошу не приставать ко мне с глупостями вроде плавания, игр или походов в летний кинотеатр. Я трудился над задачей с утра до ночи почти без перерывов.
Моя тетя, добрая женщина, добродушно причитала:
– Милый мальчик, ты слишком много работаешь. Сейчас ведь каникулы, отложи хоть ненадолго книги. Ты же отдыхать приехал.
Но я твердо решил не отдыхать до окончательной победы. Я сидел за столом, не разгибая спины, и исписывал лист за листом, подходя к задачке то так, то этак. Иногда, усталый настолько, что абстрактно-дедуктивные рассуждения мне больше не давались, я начинал проверять конкретные числа на случай, если дядя Петрос поставил мне ловушку, попросив доказать утверждение заведомо неверное. После бесконечных делений я сделал таблицу нескольких сотен первых простых чисел (примитивное самодельное решето Эратосфена [6]) и складывал их по всем возможным парам, проверяя, работает ли принцип. Напрасно я искал в этих рамках четное число, для которого не выполнялось бы утверждение задачи: все как один выражались в виде суммы двух простых.
Где-то в середине августа, после многих вечеров работы и бесчисленных чашечек кофе по-гречески, я на несколько счастливых часов решил, что вот оно, найденное доказательство! Заполнив своими рассуждениями несколько страниц, я отправил их заказным письмом дяде Петросу.
Не успел я насладиться своим триумфом и двух дней, как почтальон принес мне телеграмму:
ЕДИНСТВЕННОЕ ЧТО ТЫ ДОКАЗАЛ ЭТО ТО ЧТО ЛЮБОЕ ЧЕТНОЕ ЧИСЛО ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ В ВИДЕ СУММЫ ПРОСТОГО И НЕЧЕТНОГО ЧТО ТРИВИАЛЬНО ТЧК
Неделю я приходил в себя после первого провала и удара по самолюбию. Но все же оправился и начал работу заново, на этот раз используя reductio ad absurdum :
«Допустим, что существует такое четное число n ,которое не может быть представлено в виде суммы двух простых. Тогда…»
Чем больше работал я над задачей, тем очевиднее для меня становилось: это утверждение выражает некую фундаментальную истину о натуральных числах, materia prima [7] математической вселенной. Вскоре я подошел к вопросу о том, как распределены простые числа среди других натуральных, а также о процедуре, которая позволит по данному простому числу найти следующее. Я знал, что эта информация, окажись она в моих руках, была бы крайне полезна в моем поиске, и раза два или три у меня было искушение поискать ее в книгах. Но я, верный своему обязательству работать без посторонней помощи, этого не сделал.
Дядя Петрос, продемонстрировав доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел, сказал, что дал мне единственно необходимый для моей работы инструмент. И все же я не мог продвинуться вперед.
К концу сентября, за несколько дней до начала моего последнего в школе учебного года, я снова оказался в Экали, мрачный и сломленный. Поскольку телефона у дяди Петроса не было, мне предстояло сообщить ему весть лицом к лицу.
– Ну? – спросил он, как только мы сели и я гордо отказался от его вишневого напитка. – Ты решил задачу?
– Нет, – ответил я. – Честно говоря, не решил. Меньше всего мне теперь хотелось прослеживать путь своих ошибок или чтобы их анализировал за меня дядя Петрос. Более того, мне абсолютно неинтересно было узнать решение, доказательство утверждения. Хотелось только одного: забыть все, хоть как-то связанное с числами – четными или нечетными, не говоря уже о простых.
Но дядя Петрос не собирался отпускать меня так легко.
– Ну что ж, – сказал он. – Ты помнишь наш уговор?
Я понял, что ему нужно официально закрепить свою победу (почему-то я был уверен, что он именно так рассматривает мой провал), и мне это было очень неприятно. Но я не собирался делать его победу еще слаще, показывая свои задетые чувства.
– Конечно, помню, дядя, как и ты. Мы договорились, что я не буду пытаться стать математиком, если не решу задачу…
– Нет! – прервал он меня с неожиданной горячностью. – В договоре было сказано, что если ты не решишь задачу, ты дашь обещание никогда не быть математиком!
– Именно так, – подтвердил я хмуро. – И поскольку задачу я не решил…
– Ты сейчас дашь обещание, – прервал дядя, заканчивая предложение и снова подчеркивая слова так, будто его (или скорее моя) жизнь от этого зависела.
– Конечно, – сказал я, заставляя себя не быть невежливым. – Если это тебе приятно, я даю обещание.
Он заговорил суровым и даже свирепым голосом:
– Дело не в том, молодой человек, что мне приятно или неприятно, дело в соблюдении соглашения. Ты поклянешься держаться подальше от математики!
Моя досада тут же развернулась в полноценную ненависть.
– Хорошо, дядя, – холодно сказал я. – Я клянусь держаться подальше от математики. Теперь ты доволен?
Я встал, но он грозно поднял руку:
– Не так быстро!
Он резким движением выхватил из кармана лист бумаги, развернул и сунул мне под нос. Вот что там было:
Я, нижеподписавшийся, находящийся в здравом уме и твердой памяти, не выдержав экзамена на способности в высшей математике и в соответствии с соглашением, заключенным мной с моим дядей, Петросом Папахристосом, никогда не буду добиваться диплома математика в каком-либо высшем учебном заведении, равно как не буду и каким-либо иным образом стремиться к профессиональной карьере математика.
Я уставился на дядю.
– Подпиши! – приказал он.
– Какой в этом толк?! – заревел я, уже не пытаясь скрывать свои чувства.
– Подпиши, – сказал дядя неколебимо. – Уговор есть уговор!
Я оставил без внимания его руку, державшую в воздухе авторучку, вытащил из кармана шариковую, вбил свою подпись в этот лист, и не успел дядя сказать хоть слово – как я бросил ему эту бумагу и выбежал прочь, к калитке.
– Погоди! – крикнул он мне вслед, но я уже был за оградой.
Я бежал, бежал, бежал, пока его крики не затихли вдали, а тогда остановился, запыхавшийся, согнулся пополам и заплакал, как маленький, слезами гнева, досады и унижения.
Весь последний школьный год я не видел дядю Петроса и не говорил с ним, а в июне придумал какой-то предлог, чтобы во время традиционной семейной поездки в Экали остаться дома.
Мой опыт предыдущего лета дал именно тот результат, который дядя Петрос, несомненно, предвидел. Независимо от любых обязательств выполнить свою часть «уговора», я начисто утратил желание становиться математиком. К счастью, этот побочный эффект моей неудачи не дошел до крайностей, я не отверг науки полностью и продолжал успевать в школе по всем предметам. В результате я был принят в один из лучших университетов в Соединенных Штатах. При регистрации я заявил главной областью своих интересов экономику, и этого выбора держался до третьего курса [8]. Если не считать обязательных курсов элементарного анализа и линейной алгебры (между прочим, высшие оценки там и там), я за первые два года никакой математики не изучал.
Успех (по крайней мере первоначальный) интриги дяди Петроса был основан на применении к моей жизни абсолютного детерминизма математики. Конечно, он шел на риск, но риск хорошо рассчитанный: вероятность того, что я в университетском курсе элементарной математики узнаю о том, что это была за задача, была пренебрежимо мала. Она (задача) относится к теории чисел, которую читают лишь немногим, избравшим своей специальностью математику. И потому вполне естественно было предположить, что, пока я держу обещание, я закончу университетский курс (и жизнь, насколько можно судить), не узнав правды.
Но реальность не так предопределена, как математика, и все вышло иначе.
В первый день моего третьего года мне сообщили, что Судьба (потому что кто же еще так умеет подстраивать совпадения?) назначила мне в соседи по комнате Сэмми Эпштейна – тщедушного паренька из Бруклина, известного среди студентов как феноменальный математический талант. Сэмми должен был уже в этом году получить диплом в возрасте семнадцати лет, и хотя он формально считался еще студентом, все курсы, которые он слушал, были для аспирантов. Он даже начал работать над диссертацией по алгебраической топологии.
Я в это время полагал, что раны от моего краткого периода математических надежд уже затянулись, и мне стало приятно и даже интересно, когда я узнал, кто будет моим соседом. В первый вечер, когда мы сидели в университетской столовой для лучшего знакомства, я небрежно сказал:
– Поскольку ты, Сэмми, математический гений, я уверен, что ты легко сможешь доказать вот что: каждое четное число, большее 2, представимо в виде суммы двух простых.
Он разразился хохотом.
– Если бы я мог доказать это, друг мой, я бы тут с тобой не сидел, а уже был бы профессором. Может, даже Филдсовскую медаль получил бы – это для математиков как Нобелевская!
Он еще не договорил, как мне уже внезапно открылась страшная истина. Сэмми подтвердил ее следующими словами:
– Утверждение, которое ты сейчас сформулировал, – это проблема Гольдбаха, одна из самых трудных нерешенных задач во всей математике!
Моя реакция состояла из Четырех Стадий Горя, называемых (если я правильно помню, чему меня учили в элементарном курсе психологии) Отторжением, Гневом, Подавленностью и Принятием. Первая оказалась самой краткосрочной.
– Это… Этого не может быть! – выговорил я, как только Сэмми произнес эти страшные слова. Я надеялся, что ослышался.
– Как это – «не может быть»? Может, потому что так оно и есть! Проблема Гольдбаха, или гипотеза Гольдбаха – потому что это всего лишь гипотеза, которую никто еще не доказал, – состоит в том, что любое четное число есть сумма двух простых. Впервые она была сформулирована математиком по фамилии Гольдбах в письме к Эйлеру